تعريف: الدالة العددية هي عبارة عن مراسلات تربط كل رقم x من مجموعة معينة برقم واحد y.

تعيين:

حيث x هو المتغير المستقل (الوسيطة)، y هو المتغير التابع (الدالة). تسمى مجموعة قيم x مجال الوظيفة (يشار إليها بـ D(f)). تسمى مجموعة قيم y نطاق قيم الدالة (يشار إليها بـ E(f)). الرسم البياني للدالة هو مجموعة النقاط في المستوى ذات الإحداثيات (x، f(x))

طرق تحديد الوظيفة.

1. الطريقة التحليلية (باستخدام صيغة رياضية)؛
2. الطريقة الجدولية (باستخدام الجدول)؛
3. الطريقة الوصفية (باستخدام الوصف اللفظي)؛
4. الطريقة الرسومية (باستخدام الرسم البياني).

الخصائص الأساسية للوظيفة.

1. زوجي وغريب

يتم استدعاء الدالة حتى لو
- مجال تعريف الدالة متماثل حول الصفر
و(-س) = و(خ)

الرسم البياني للدالة الزوجية متماثل حول المحور 0 ص

تسمى الوظيفة غريبة إذا
- مجال تعريف الدالة متماثل حول الصفر
- لأي x من مجال التعريف و(-س) = –و(خ)

الرسم البياني للدالة الفردية متماثل بالنسبة إلى الأصل.

2. التردد

تسمى الدالة f(x) دورية مع فترة إذا كانت لأي x من مجال التعريف و(س) = و(س+T) = و(س-T) .

يتكون الرسم البياني للدالة الدورية من تكرار أجزاء متطابقة بشكل غير محدود.

3. الرتابة (زيادة، نقصان)

الدالة f(x) تتزايد على المجموعة P إذا كان لأي x 1 و x 2 من هذه المجموعة، مثل x 1

الدالة f(x) تتناقص في المجموعة P إذا كان لأي x 1 و x 2 من هذه المجموعة، مثل x 1 f(x 2) .

4. النهايات

تسمى النقطة X max بالنقطة القصوى للدالة f(x) إذا كان عدم المساواة f(x) f(X max) راضيًا لجميع x من بعض أحياء X max.

القيمة Y max =f(X max) تسمى الحد الأقصى لهذه الوظيفة.

X ماكس – النقطة القصوى
عند الحد الأقصى - الحد الأقصى

تسمى النقطة X min الحد الأدنى للدالة f(x) إذا كان التباين f(x) f(X min) محققًا لجميع x من بعض الأحياء X min.

القيمة Y min =f(X min) تسمى الحد الأدنى لهذه الوظيفة.

X دقيقة – الحد الأدنى للنقطة
Y دقيقة – الحد الأدنى

X min , X max – النقاط القصوى
Y دقيقة، Y ماكس - الحدود القصوى.

5. أصفار الدالة

صفر الدالة y = f(x) هي قيمة الوسيطة x التي تصبح عندها الدالة صفرًا: f(x) = 0.

X 1، X 2، X 3 – أصفار الدالة y = f(x).

المهام والاختبارات حول موضوع "الخصائص الأساسية للوظيفة"

• خصائص الوظيفة - الدوال العددية الصف التاسع

  الدروس: 2 الواجبات: 11 الاختبارات: 1

• خصائص اللوغاريتمات - الدوال الأسية واللوغاريتمية الصف 11

  الدروس: 2 الواجبات: 14 الاختبارات: 1

• دالة الجذر التربيعي وخصائصها ورسمها البياني - دالة الجذر التربيعي. خصائص الجذر التربيعي الصف 8

  الدروس: 1 الواجبات: 9 الاختبارات: 1

• وظائف الطاقة وخصائصها والرسوم البيانية - الدرجات والجذور. وظائف الطاقة الصف 11

  الدروس: 4 واجبات: 14 اختبارات: 1

• وظائف - موضوعات هامة للمراجعة في امتحان الدولة الموحد في الرياضيات

  المهام: 24

بعد دراسة هذا الموضوع، يجب أن تكون قادرًا على العثور على مجال تعريف الدوال المختلفة، وتحديد فترات الرتابة للدالة باستخدام الرسوم البيانية، وفحص الدوال من حيث التساوي والغرابة. دعونا نفكر في حل مشكلات مماثلة باستخدام الأمثلة التالية.

أمثلة.

1. ابحث عن مجال تعريف الوظيفة.

حل:تم العثور على مجال تعريف الوظيفة من الشرط

وظائفها وخصائصها

الدالة هي واحدة من أهم المفاهيم الرياضية.وظيفة يسمون مثل هذا الاعتماد للمتغير y على المتغير x حيث تتوافق كل قيمة للمتغير x مع قيمة واحدة للمتغير y.

عامل Xمُسَمًّى متغير مستقل أو دعوى.عامل فيمُسَمًّى المتغير التابع. ويقولون ذلك أيضاالمتغير y هو دالة للمتغير x . يتم استدعاء قيم المتغير التابعقيم الوظيفة.

إذا كان الاعتماد على المتغيرفي من متغيرX هي دالة، فيمكن كتابتها بإيجاز على النحو التالي:ذ= و( س ). (يقرأ:في يساويو منX .) رمزو( س) تشير إلى قيمة الدالة المقابلة لقيمة الوسيطة التي تساويX .

جميع قيم شكل المتغير المستقلمجال الوظيفة . جميع القيم التي يتخذها المتغير التابعنطاق الوظيفة .

إذا تم تحديد دالة بواسطة صيغة ولم يتم تحديد مجال تعريفها، فإن مجال تعريف الدالة يعتبر يتكون من جميع قيم الوسيطة التي تكون الصيغة منطقية لها.

طرق تحديد الوظيفة:

1. الطريقة التحليلية (يتم تحديد الدالة باستخدام صيغة رياضية؛

2. الطريقة الجدولية (يتم تحديد الدالة باستخدام جدول)

3. الطريقة الوصفية (يتم تحديد الوظيفة عن طريق الوصف اللفظي)

4. الطريقة الرسومية (يتم تحديد الدالة باستخدام الرسم البياني).

الرسم البياني الوظيفي قم بتسمية مجموعة جميع نقاط المستوى الإحداثي، التي تساوي حروفها قيم الوسيطة، والإحداثيات - قيم الوظائف المقابلة.

الخصائص الأساسية للوظائف

1. وظيفة الأصفار

صفر الدالة هو قيمة الوسيطة التي تكون عندها قيمة الدالة تساوي صفرًا.

2. فترات الإشارة الثابتة للدالة

فترات الإشارة الثابتة للدالة هي مجموعات من قيم الوسيطات التي تكون فيها قيم الدالة موجبة فقط أو سالبة فقط.

3. زيادة (تناقص) وظيفة.

زيادة في فترة زمنية معينة، الدالة هي دالة تكون فيها القيمة الأكبر للوسيطة من هذا الفاصل الزمني تتوافق مع قيمة أكبر للدالة.

وظيفة ص = و ( س ) مُسَمًّى زيادة على الفاصل الزمني (أ؛ ب ), إذا لأي س 1 و س 2 من هذا الفاصل الزمني بحيثس 1 < س 2 , عدم المساواة صحيحو ( س 1 )< و ( س 2 ).

تنازلي في فترة زمنية معينة، الدالة هي دالة تكون فيها القيمة الأكبر للوسيطة من هذا الفاصل الزمني تتوافق مع قيمة أصغر للدالة.

وظيفة في = و ( س ) مُسَمًّى متناقصعلى الفاصل الزمني (أ؛ ب ) ، إذا كان لأي س 1 و س 2 من هذا الفاصل الزمني بحيث س 1 < س 2 , عدم المساواة صحيحو ( س 1 )> و ( س 2 ).

4. وظيفة زوجية (فردية).

حتى وظيفة - دالة مجال تعريفها متماثل بالنسبة للأصل ولأيX من مجال تعريف المساواةو (- س ) = و ( س ) . الرسم البياني للدالة الزوجية متماثل حول الإحداثي.

على سبيل المثال، ص = س 2 - حتى الوظيفة.

وظيفة غريبة- دالة مجال تعريفها متماثل بالنسبة للأصل ولأي Xمن مجال التعريف المساواة صحيحة و (- س ) = - و (س ). الرسم البياني للدالة الفردية متماثل بالنسبة إلى الأصل.

على سبيل المثال: ص = س 3 - وظيفة غريبة .

الدالة ذات الشكل العام ليست زوجية أو فردية (ص = س 2 +x ).

خصائص بعض الوظائف ورسوماتها

1. وظيفة خطية تسمى وظيفة النموذج , أين ك و ب - أرقام.

مجال تعريف الدالة الخطية هو مجموعةر أرقام حقيقية.

رسم بياني لوظيفة خطيةفي = kx + ب ( ك ≠ 0) هو خط مستقيم يمر بالنقطة (0؛ب ) وموازية للخطفي = kx .

مستقيم وغير موازي للمحورأوه، هو الرسم البياني لوظيفة خطية.

خصائص الدالة الخطية.

1. متى ك > 0 وظيفة في = kx + ب

2. متى ك < 0 وظيفة ص = kx + ب التناقص في مجال التعريف.

ذ = kx + ب ( ك ≠ 0 ) هو خط الأعداد بأكمله، أي كثيرر أرقام حقيقية.

في ك = 0 مجموعة من قيم الوظائفص = kx + ب يتكون من رقم واحدب .

3. متى ب = 0 و ك = 0 الدالة ليست زوجية ولا فردية.

في ك = 0 دالة خطية لها الشكلص = ب وفي ب ≠ 0 إنه حتى.

في ك = 0 و ب = 0 دالة خطية لها الشكلص = 0 وهو فردي وزوجي.

رسم بياني لوظيفة خطيةص = ب هو خط مستقيم يمر بالنقطة (0؛ ب ) وموازية للمحورأوه.لاحظ أنه عندما ب = 0 رسم بياني للوظيفةص = ب تتزامن مع المحور أوه .

5. متى ك > 0 لدينا ذلك في> 0، إذا و في< 0 إذا . في ك < 0 لدينا ذلك y > 0 إذاوفي< 0, если .

2. الوظيفة ذ = س 2

رأرقام حقيقية.

إعطاء متغيرX عدة قيم من مجال الوظيفة وحساب القيم المقابلة لهافيوفقا للصيغة ذ = س 2 ، نحن نصور الرسم البياني للوظيفة.

رسم بياني للدالة ذ = س 2 مُسَمًّى القطع المكافئ.

خصائص الدالة y = x 2 .

1. إذا X= 0 إذن ص = 0، أي. يحتوي القطع المكافئ على نقطة مشتركة مع محاور الإحداثيات (0؛ 0) - أصل الإحداثيات.

2. إذا س ≠ 0 , الذي - التي في > 0، أي جميع نقاط القطع المكافئ، باستثناء نقطة الأصل، تقع فوق المحور السيني.

3. مجموعة من القيم الوظيفيةفي = X 2 هي وظيفة تمتدفي = X 2 يتناقص.

X

3. الوظيفة

مجال هذه الدالة هو دالة الامتدادذ = | س | يتناقص.

7. تأخذ الدالة أصغر قيمة لها عند النقطةX،هو - هي يساوي 0. لا توجد قيمة أكبر.

6. وظيفة

نطاق الوظيفة: .

نطاق الوظيفة: .

الرسم البياني هو غلو.

1. الأصفار الوظيفية.

ذ ≠ 0، لا أصفار.

2. فترات ثبات العلامات،

لو ك > 0 إذن في> 0 في X > 0; في < 0 при X < О.

لو ك < 0, то في < 0 при X > 0; في> 0 في X < 0.

3. فترات الزيادة والنقصان.

لو ك > 0، فإن الدالة تتناقص كما .

لو ك < 0, то функция возрастает при .

4. الوظيفة الزوجية (الفردية).

الوظيفة غريبة.

ثلاثي الحدود مربع

معادلة النموذج الفأس 2 + bx + ج = 0، حيث أ , بو مع - بعض الأرقام، وأ≠ 0، دعا مربع.

في معادلة تربيعيةالفأس 2 + bx + ج = 0 معامل أمُسَمًّى المعامل الأول ب - المعاملات الثانية، مع - عضو حر.

صيغة جذور المعادلة التربيعية هي:

.

يسمى التعبير تمييزي المعادلة التربيعية ويرمز لهاد .

لو د = 0، إذن هناك رقم واحد فقط يحقق المعادلة الفأس 2 + bx + ج = 0. لكننا اتفقنا على القول إنه في هذه الحالة للمعادلة التربيعية جذران حقيقيان متساويان، والعدد نفسه مُسَمًّى جذر مزدوج.

لو د < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

لو د > 0، فإن المعادلة التربيعية لها جذرين حقيقيين مختلفين.

دعونا نعطي معادلة تربيعيةالفأس 2 + bx + ج = 0. منذ أ≠ 0، ثم قسمة طرفي هذه المعادلة علىأ، نحصل على المعادلة . الاعتقاد و , نصل إلى المعادلة حيث المعامل الأول يساوي 1. وتسمى هذه المعادلةمنح.

صيغة جذور المعادلة التربيعية أعلاه هي:

.

معادلات النموذج

أ س 2 + bx = 0, الفأس 2 + س = 0, أ س 2 = 0

يتم استدعاؤها المعادلات التربيعية غير كاملة. يتم حل المعادلات التربيعية غير المكتملة عن طريق تحليل الجانب الأيسر من المعادلة.

نظرية فييتا .

مجموع جذور المعادلة التربيعية يساوي نسبة المعامل الثاني إلى الأول مأخوذة بالإشارة المعاكسة، وحاصل الجذور هو نسبة الحد الحر إلى المعامل الأول، أي.

نظرية العكس.

إذا كان مجموع أي رقمينX 1 و X 2 يساوي ، وناتجهما متساويفإن هذه الأعداد هي جذور المعادلة التربيعيةأوه 2 + ب س + ج = 0.

وظيفة النموذج أوه 2 + ب س + جمُسَمًّى ثلاثي الحدود مربع. جذور هذه الدالة هي جذور المعادلة التربيعية المقابلةأوه 2 + ب س + ج = 0.

إذا كان مميز ثلاثية الحدود التربيعية أكبر من الصفر، فيمكن تمثيل هذه الثلاثية على النحو التالي:

أوه 2 + ب س + ج = أ(س-س 1 )(س-س 2 )

أين X 1 و X 2 - جذور ثلاثية الحدود

إذا كان مميز ثلاثية الحدود التربيعية صفرًا، فيمكن تمثيل هذه الثلاثية على النحو التالي:

أوه 2 + ب س + ج = أ(س-س 1 ) 2

أين X 1 - جذر ثلاثي الحدود.

على سبيل المثال، 3x 2 - 12س + 12 = 3(س - 2) 2 .

معادلة النموذج أوه 4 + ب X 2 + س= 0 يسمى المعادلة الرباعية. استخدام استبدال المتغير باستخدام الصيغةX 2 = ذ يتم اختزاله إلى معادلة تربيعيةأ ذ 2 + بواسطة + ج = 0.

دالة تربيعية

دالة تربيعية هي دالة يمكن كتابتها بواسطة صيغة النموذجذ = الفأس 2 + bx + ج ، أين س - متغير مستقل،أ , ب و ج - بعض الأرقام، وأ ≠ 0.

يتم تحديد خصائص الوظيفة ونوع الرسم البياني الخاص بها بشكل أساسي من خلال قيم المعاملأ والتمييز.

خصائص الدالة التربيعية

نِطَاق:ر;

نطاق القيم:

في أ > 0 [- د/(4 أ); ∞)

في أ < 0 (-∞; - د/(4 أ)];

حتى، غريب:

في ب = 0 وظيفة زوجية

في ب ≠ الدالة 0 ليست زوجية ولا فردية

في د> 0 صفرين: ,

في د= 0 واحد صفر:

في د < 0 нулей нет

فترات ثبات الإشارة:

إذا كان > 0، د> 0 ثم

إذا كان > 0، د= 0 إذن

هإذا كان > 0، د < 0, то

إذا أ< 0, د> 0 ثم

إذا أ< 0, د= 0 إذن

إذا أ< 0, د < 0, то

- فترات من الرتابة

ل> 0

في أ< 0

الرسم البياني للدالة التربيعية هوالقطع المكافئ – منحنى متماثل حول خط مستقيم ، مروراً برأس القطع المكافئ (رأس القطع المكافئ هو نقطة تقاطع القطع المكافئ مع محور التماثل).

لتمثيل دالة تربيعية، تحتاج إلى:

1) العثور على إحداثيات قمة القطع المكافئ ووضع علامة عليها في المستوى الإحداثي؛

2) بناء عدة نقاط أخرى تنتمي إلى القطع المكافئ؛

3) قم بتوصيل النقاط المحددة بخط ناعم.

يتم تحديد إحداثيات قمة القطع المكافئ بواسطة الصيغ:

; .

تحويل الرسوم البيانية الوظيفية

1. تمتد الرسوماتص = س 2 على طول المحورفي V|أ| مرات (في|أ| < 1 هو ضغط 1/|أ| مرة واحدة).

إذا، و< 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси X (سيتم توجيه فروع القطع المكافئ للأسفل).

نتيجة: رسم بياني للدالةص = آه 2 .

2. النقل الموازي الرسومات الوظيفيةص = آه 2 على طول المحورX على| م | (إلى اليمين متى

م > 0 وإلى اليسار متىت< 0).

النتيجة: الرسم البياني الوظيفيص = أ(س - ر) 2 .

3. النقل الموازي الرسومات الوظيفية على طول المحورفي على| ن | (حتى عندص> 0 وأسفل عندن< 0).

النتيجة: الرسم البياني الوظيفيص = أ(س - ر) 2 + ص.

المتباينات التربيعية

عدم المساواة في النموذجأوه 2 + ب س + ج> 0 وأوه 2 + ب س + ج< 0، حيثX - عامل،أ , ب ومع - بعض الأرقام، وأ≠ 0 تسمى متباينات من الدرجة الثانية بمتغير واحد.

يمكن اعتبار حل متباينة من الدرجة الثانية في متغير واحد بمثابة إيجاد الفترات التي تأخذ فيها الدالة التربيعية المقابلة قيمًا موجبة أو سالبة.

حل عدم المساواة في النموذجأوه 2 + ب س + ج > 0 وأوه 2 + ب س + ج< 0 تابع على النحو التالي:

1) العثور على مميز ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية ومعرفة ما إذا كان ثلاثي الحدود له جذور؛

2) إذا كان ثلاثي الحدود له جذور، ضع علامة عليها على المحورX ومن خلال النقاط المحددة يتم رسم قطع مكافئ بشكل تخطيطي، ويتم توجيه فروعه نحو الأعلىأ > 0 أو لأسفل متىأ< 0; إذا لم يكن لثلاثية الحدود جذور، فقم بتصوير القطع المكافئ الموجود في النصف العلوي من المستوى بشكل تخطيطيأ > 0 أو أقل عندأ < 0;

3) وجدت على المحورX الفواصل الزمنية التي تقع فيها نقاط القطع المكافئ فوق المحورX (إذا تم حل عدم المساواةأوه 2 + ب س + ج > 0) أو أسفل المحورX (إذا تم حل عدم المساواةأوه 2 + ب س + ج < 0).

مثال:

دعونا نحل عدم المساواة .

النظر في الوظيفة

الرسم البياني الخاص به عبارة عن قطع مكافئ، يتم توجيه فروعه نحو الأسفل (منذ ذلك الحين ).

دعنا نتعرف على كيفية تحديد موقع الرسم البياني بالنسبة للمحورX. دعونا نحل المعادلة لهذا . لقد حصلنا على ذلكس = 4. المعادلة لها جذر واحد. وهذا يعني أن القطع المكافئ يمس المحورX.

ومن خلال رسم القطع المكافئ بشكل تخطيطي، نجد أن الدالة تأخذ قيمًا سالبة لأيX، باستثناء 4.

يمكن كتابة الجواب هكذا:X - أي رقم لا يساوي 4.

حل المتباينات باستخدام طريقة الفترات

مخطط الحل

1. ابحث عن الأصفار وظيفة على الجانب الأيسر من عدم المساواة.

2. تحديد موضع الأصفار على محور الأعداد وتحديد تعددها (لوك أنا متساوي، فالصفر ذو تعدد زوجي إذاك أنا الغريب غريب).

3. ابحث عن علامات الوظيفة في الفترات بين أصفارها، بدءًا من الفترة الموجودة في أقصى اليمين: في هذه الفترة تكون الدالة الموجودة على الجانب الأيسر من المتراجحة موجبة دائمًا للشكل المحدد من عدم المساواة. عند المرور من اليمين إلى اليسار عبر صفر الدالة من فترة إلى فترة مجاورة، ينبغي مراعاة ما يلي:

إذا كان الصفر غريبا التعدد، علامة الدالة تتغير،

إذا كان الصفر زوجيًا التعدد، فعلامة الدالة محفوظة.

4. اكتب الجواب.

مثال:

(س + 6) (س + 1) (X - 4) < 0.

تم العثور على أصفار الدالة. إنهم متساوون:X 1 = -6; X 2 = -1; X 3 = 4.

دعونا نحدد أصفار الدالة على خط الإحداثياتو ( س ) = (س + 6) (س + 1) (X - 4).

دعونا نجد علامات هذه الدالة في كل فترة من الفترات (-∞؛ -6)، (-6؛ -1)، (-1؛ 4) و

يتضح من الشكل أن مجموعة حلول المتراجحة هي اتحاد الفترات (-∞؛ -6) و (-1؛ 4).

الجواب: (-∞ ; -6) و (-1؛ 4).

تسمى الطريقة المدروسة لحل المتبايناتطريقة الفاصل.

مجال التعريف ونطاق قيم الوظيفة.في الرياضيات الابتدائية، تتم دراسة الوظائف فقط على مجموعة الأعداد الحقيقية رهذا يعني أن وسيطة الدالة لا يمكنها أن تأخذ إلا تلك القيم الحقيقية التي تم تعريف الدالة من أجلها، أي. كما أنه يقبل القيم الحقيقية فقط. كثير Xكافة قيم الوسيطة الصالحة س، والتي الوظيفة ذ= و(س)محدد، يسمى مجال الوظيفة. كثير يكل القيم الحقيقية ذ، الذي تقبله الدالة، يتم استدعاؤه نطاق الوظيفة. الآن يمكننا إعطاء تعريف أكثر دقة للوظيفة: قاعدة(قانون) المراسلات بين المجموعتين X وY, وفقا لذلك لكل عنصر من المجموعةيمكن لـ X العثور على عنصر واحد فقط من المجموعة Y، يسمى الدالة.

ويترتب على هذا التعريف أن الدالة تعتبر محددة إذا:

يتم تحديد مجال الوظيفة X ;

تم تحديد نطاق الوظيفة ي ;

وقاعدة (قانون) المراسلات معروفة، وذلك لكل منها

يمكن العثور على قيمة دالة واحدة فقط لقيمة الوسيطة.

هذا الشرط لتفرد الوظيفة إلزامي.

وظيفة رتيبة.إذا كان لأي قيمتين للحجة س 1 و س 2 من الشرط س 2 > س 1 يتبع و(س 2) > و(س 1) ثم الدالة و(س) يسمى زيادة; إذا لأي س 1 و س 2 من الشرط س 2 > س 1 يتبع و(س 2) < و(س 1) ثم الدالة و(س) يسمى متناقص. تسمى الدالة التي تزيد أو تنقص فقط رتيب.

وظائف محدودة وغير محدودة.يتم استدعاء الدالة محدود، إذا كان هناك مثل هذا الرقم الإيجابي مماذا | و(س) | ملجميع القيم س.إذا لم يكن هذا الرقم موجودا، فإن الوظيفة موجودة غير محدود.

أمثلة.

الوظيفة الموضحة في الشكل 3 محدودة، ولكنها ليست رتيبة. الوظيفة في الشكل 4 هي العكس تمامًا، رتيبة، ولكنها غير محدودة. (اشرح هذا من فضلك!).

وظائف مستمرة ومتقطعة.وظيفة ذ = و (س) يسمى مستمر عند هذه النقطةس = أ، لو:

1) يتم تعريف الوظيفة متى س = أ، أي. و (أ) موجود؛

2) موجود محدودالحد ليم و (س) ;

س→أ

(انظر حدود الوظيفة)

3) و (أ) = ليم و (س) .

س→أ

إذا لم يتم استيفاء واحد على الأقل من هذه الشروط، يتم استدعاء الدالة متفجرعند هذه النقطة س = أ.

إذا كانت الوظيفة مستمرة أثناء الجميع نقاط مجال تعريفها، ثم يطلق عليه وظيفة مستمرة.

وظائف زوجية وغريبة.إذا ل أي س و(- س) = و (س)، ثم يتم استدعاء الدالة حتى;إذا حدث: و(- س) = - و (س)، ثم يتم استدعاء الدالة غريب. رسم بياني لوظيفة زوجية متناظرة حول المحور Y(الشكل 5)، رسم بياني لدالة فردية سيممتري بالنسبة إلى الأصل(الشكل 6).

وظيفة دورية.وظيفة و (س) - دورية، إذا كان هناك شيء من هذا القبيل غير الصفررقم تلماذا أي سمن مجال تعريف الدالة يحمل ما يلي: و (س + ت) = و (س). هذا الأقليتم استدعاء الرقم فترة الوظيفة. جميع الدوال المثلثية دورية.

مثال 1. اثبات تلك الخطيئة سلديه فترة 2.

الحل: نحن نعلم أن الخطيئة ( س+ 2ن) = خطيئة س، أين ن= 0، ± 1، ± 2، ...

ولذلك إضافة 2 نليس إلى حجة الجيب

يغير معناها. هل هناك رقم آخر مع هذا

نفس العقار؟

لنفترض ذلك ص- مثل هذا الرقم، أي. المساواة:

الخطيئة( س+ص) = خطيئة س,

صالحة لأي قيمة س. ولكن بعد ذلك حدث ذلك

المكان والزمان س= / 2، أي

الخطيئة(/2 + ص) = الخطيئة / 2 = 1.

ولكن وفقا لصيغة الاختزال الخطيئة ( / 2 + ص) = كوس ص. ثم

من المساويتين الأخيرتين يتبع ذلك cos ص= 1، ولكننا

ونحن نعلم أن هذا صحيح فقط عندما ص = 2ن. منذ الأصغر

رقم غير الصفر من 2 نهو 2، ثم هذا الرقم

وهناك فترة الخطيئة س. ويمكن إثباته بطريقة مماثلة 2من نإذن هذه هي الفترة sin 2 س.

وظيفة الأصفار.يتم استدعاء قيمة الوسيطة التي تكون فيها الدالة 0 صفر (وظيفة الجذر).. يمكن أن تحتوي الدالة على أصفار متعددة، على سبيل المثال، الدالة ذ = س (س + 1) (س-3) لديه ثلاثة أصفار: س= 0, س= -1, س= 3. هندسيا وظيفة فارغة - هذه هي نقطة تقاطع الرسم البياني للدالة مع المحور X .

يوضح الشكل 7 رسمًا بيانيًا لدالة ذات أصفار: س= أ, س = بو س= ج.

الخط المقارب.إذا كان الرسم البياني للدالة يقترب إلى أجل غير مسمى من خط معين أثناء تحركه بعيدًا عن نقطة الأصل، فإن هذا الخط يسمى الخط المقارب.

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم معلوماتك الشخصية:

• تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من الهيئات الحكومية في الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

هذه المادة التعليمية هي للإشارة فقط وتتعلق بمجموعة واسعة من المواضيع. تقدم المقالة نظرة عامة على الرسوم البيانية للوظائف الأولية الأساسية وتنظر في القضية الأكثر أهمية - كيفية بناء الرسم البياني بشكل صحيح وبسرعة. في سياق دراسة الرياضيات العليا دون معرفة الرسوم البيانية للوظائف الأولية الأساسية، سيكون الأمر صعبًا، لذلك من المهم جدًا أن تتذكر كيف تبدو الرسوم البيانية للقطع المكافئ، والقطع الزائد، والجيب، وجيب التمام، وما إلى ذلك، وتذكر بعض من معاني الوظائف. سنتحدث أيضًا عن بعض خصائص الوظائف الرئيسية.

أنا لا أدعي اكتمال المواد ودقتها العلمية؛ سيتم التركيز في المقام الأول على الممارسة - تلك الأشياء التي يتم بها ذلك يواجه المرء حرفيًا في كل خطوة في أي موضوع من موضوعات الرياضيات العليا. الرسوم البيانية للدمى؟ يمكن للمرء أن يقول ذلك.

نظرا للطلبات العديدة من القراء جدول محتويات قابل للنقر:

بالإضافة إلى ذلك، هناك ملخص قصير للغاية حول هذا الموضوع
- أتقن 16 نوعًا من الرسوم البيانية من خلال دراسة ست صفحات!

على محمل الجد، ستة، حتى أنني فوجئت. يحتوي هذا الملخص على رسومات محسنة ومتاح مقابل رسوم رمزية، ويمكن الاطلاع على النسخة التجريبية. من السهل طباعة الملف بحيث تكون الرسوم البيانية في متناول اليد دائمًا. شكرا لدعم المشروع!

ولنبدأ على الفور:

كيفية بناء محاور الإحداثيات بشكل صحيح؟

من الناحية العملية، يتم إكمال الاختبارات دائمًا تقريبًا من قبل الطلاب في دفاتر ملاحظات منفصلة، ​​مبطنة في مربع. لماذا تحتاج إلى علامات متقلب؟ بعد كل شيء، يمكن أن يتم العمل، من حيث المبدأ، على أوراق A4. والقفص ضروري فقط لتصميم الرسومات عالي الجودة والدقيق.

يبدأ أي رسم للرسم البياني للدالة بمحاور الإحداثيات.

يمكن أن تكون الرسومات ثنائية الأبعاد أو ثلاثية الأبعاد.

دعونا نفكر أولاً في الحالة ثنائية الأبعاد نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل:

1) رسم محاور الإحداثيات. يسمى المحور المحور السيني ، والمحور هو المحور ص . نحاول دائمًا رسمهم أنيق وغير ملتوي. يجب أيضًا ألا تشبه الأسهم لحية بابا كارلو.

2) نوقع المحاور بالأحرف الكبيرة "X" و"Y". لا تنس تسمية المحاور.

3) ضبط المقياس على طول المحاور: ارسم صفرًا واثنين من الآحاد. عند الرسم، فإن المقياس الأكثر ملاءمة والأكثر استخدامًا هو: وحدة واحدة = خليتين (الرسم على اليسار) - التزم به إذا أمكن. ومع ذلك، من وقت لآخر يحدث أن الرسم لا يتناسب مع ورقة دفتر الملاحظات - ثم نقوم بتقليل المقياس: وحدة واحدة = خلية واحدة (الرسم على اليمين). إنه أمر نادر، ولكن يحدث أنه يجب تقليل (أو زيادة) حجم الرسم أكثر

ليست هناك حاجة إلى "مدفع رشاش"...-5، -4، -3، -1، 0، 1، 2، 3، 4، 5، .....لأن المستوى الإحداثي ليس نصبًا تذكاريًا لديكارت، والطالب ليس حمامة. نضع صفرو وحدتين على طول المحاور. أحيانا بدلاً منالوحدات، من الملائم "وضع علامة" على القيم الأخرى، على سبيل المثال، "اثنين" على محور الإحداثيات و"ثلاثة" على المحور الإحداثي - وهذا النظام (0 و2 و3) سيحدد أيضًا شبكة الإحداثيات بشكل فريد.

من الأفضل تقدير الأبعاد المقدرة للرسم قبل إنشاء الرسم. لذلك، على سبيل المثال، إذا كانت المهمة تتطلب رسم مثلث ذو رؤوس، ,، فمن الواضح تمامًا أن المقياس الشائع 1 وحدة = 2 خلية لن يعمل. لماذا؟ دعونا نلقي نظرة على هذه النقطة - هنا سيتعين عليك قياس خمسة عشر سنتيمترًا لأسفل، ومن الواضح أن الرسم لن يتناسب (أو بالكاد يتناسب) مع ورقة دفتر الملاحظات. لذلك، نختار على الفور مقياسًا أصغر: وحدة واحدة = خلية واحدة.

بالمناسبة، حوالي سنتيمترات وخلايا الكمبيوتر المحمول. هل صحيح أن 30 خلية دفترية تحتوي على 15 سم؟ للمتعة، قم بقياس 15 سم في دفترك باستخدام المسطرة. ربما كان هذا صحيحًا في الاتحاد السوفييتي... ومن المثير للاهتمام ملاحظة أنه إذا قمت بقياس هذه السنتيمترات نفسها أفقيًا وعموديًا، فإن النتائج (في الخلايا) ستكون مختلفة! بالمعنى الدقيق للكلمة، أجهزة الكمبيوتر المحمولة الحديثة ليست متقلب، ولكن مستطيلة. قد يبدو هذا هراء، ولكن رسم دائرة بالبوصلة في مثل هذه المواقف، على سبيل المثال، أمر غير مريح للغاية. لنكون صادقين، في مثل هذه اللحظات، تبدأ في التفكير في صحة الرفيق ستالين، الذي تم إرساله إلى معسكرات العمل الاختراق في الإنتاج، ناهيك عن صناعة السيارات المحلية أو الطائرات المتساقطة أو انفجار محطات الطاقة.

الحديث عن الجودة، أو توصية موجزة بشأن القرطاسية. اليوم، معظم أجهزة الكمبيوتر المحمولة المعروضة للبيع هي، على أقل تقدير، حماقة كاملة. لسبب أنها تتبلل، ليس فقط من أقلام الجل، ولكن أيضًا من أقلام الحبر الجاف! إنهم يوفرون المال على الورق. لإكمال الاختبارات، أوصي باستخدام دفاتر الملاحظات من مصنع اللب والورق في أرخانجيلسك (18 ورقة، مربع) أو "Pyaterochka"، على الرغم من أنها أكثر تكلفة. يُنصح باختيار قلم هلامي؛ فحتى أرخص عبوة هلام صينية أفضل بكثير من قلم الحبر الجاف، الذي يؤدي إلى تلطيخ الورق أو تمزيقه. قلم الحبر الوحيد "التنافسي" الذي يمكنني تذكره هو قلم إريك كراوس. إنها تكتب بشكل واضح وجميل ومتسق – سواء بنواة كاملة أو بنواة فارغة تقريبًا.

بالإضافة إلى ذلك: رؤية نظام الإحداثيات المستطيل من خلال عيون الهندسة التحليلية تمت تغطيتها في المقالة الاعتماد الخطي (غير) للمتجهات. أساس المتجهات، يمكن العثور على معلومات مفصلة حول الأرباع الإحداثية في الفقرة الثانية من الدرس المتباينات الخطية.

حالة ثلاثية الأبعاد

إنه نفس الشيء تقريبًا هنا.

1) رسم محاور الإحداثيات. معيار: ينطبق المحور – موجه للأعلى، المحور – موجه لليمين، المحور – موجه للأسفل لليسار بدقةبزاوية 45 درجة.

2) تسمية المحاور.

3) ضبط المقياس على طول المحاور. المقياس على طول المحور أصغر مرتين من المقياس على طول المحاور الأخرى. لاحظ أيضًا أنه في الرسم الأيمن استخدمت "درجة" غير قياسية على طول المحور (وقد سبق ذكر هذا الاحتمال أعلاه). من وجهة نظري، هذا أكثر دقة وأسرع وأكثر جمالية - ليست هناك حاجة للبحث عن منتصف الخلية تحت المجهر و"نحت" وحدة قريبة من أصل الإحداثيات.

عند عمل رسم ثلاثي الأبعاد، أعط الأولوية مرة أخرى للقياس
وحدة واحدة = خليتين (الرسم على اليسار).

لماذا كل هذه القواعد؟ القواعد وضعت ليتم كسرها. وهذا ما سأفعله الآن. والحقيقة هي أن الرسومات اللاحقة للمقال سوف أقوم بها في Excel، وستبدو محاور الإحداثيات غير صحيحة من وجهة نظر التصميم الصحيح. يمكنني رسم جميع الرسوم البيانية يدويًا، ولكن من المخيف في الواقع رسمها لأن برنامج Excel متردد في رسمها بشكل أكثر دقة.

الرسوم البيانية والخصائص الأساسية للوظائف الأولية

يتم إعطاء دالة خطية بالمعادلة. الرسم البياني للوظائف الخطية هو مباشر. من أجل بناء خط مستقيم، يكفي معرفة نقطتين.

مثال 1

إنشاء رسم بياني للوظيفة. دعونا نجد نقطتين. من المفيد اختيار الصفر كأحد النقاط.

إذاً

لنأخذ نقطة أخرى، على سبيل المثال، 1.

إذاً

عند الانتهاء من المهام، عادة ما يتم تلخيص إحداثيات النقاط في جدول:

ويتم حساب القيم نفسها شفويا أو على مسودة الآلة الحاسبة.

تم العثور على نقطتين، دعونا نرسم:

عند إعداد الرسم، نقوم دائمًا بالتوقيع على الرسومات.

قد يكون من المفيد التذكير بحالات خاصة للدالة الخطية:

لاحظوا كيف وضعت التوقيعات، يجب ألا تسمح التوقيعات بالتناقضات عند دراسة الرسم. في هذه الحالة، كان من غير المرغوب فيه للغاية وضع التوقيع بجوار نقطة تقاطع الخطوط، أو في أسفل اليمين بين الرسوم البيانية.

1) تسمى الدالة الخطية بالشكل () التناسب المباشر. على سبيل المثال، . يمر مخطط التناسب المباشر دائمًا عبر نقطة الأصل. وبالتالي، يتم تبسيط إنشاء خط مستقيم - يكفي العثور على نقطة واحدة فقط.

2) تحدد معادلة النموذج خطًا مستقيمًا موازيًا للمحور، على وجه الخصوص، يتم إعطاء المحور نفسه بواسطة المعادلة. يتم رسم الرسم البياني للدالة على الفور، دون العثور على أي نقاط. أي أنه يجب فهم الإدخال على النحو التالي: "y تساوي دائمًا -4 لأي قيمة لـ x."

3) تحدد معادلة النموذج خطًا مستقيمًا موازيًا للمحور، على وجه الخصوص، يتم إعطاء المحور نفسه بواسطة المعادلة. يتم أيضًا رسم الرسم البياني للوظيفة على الفور. يجب أن يُفهم الإدخال على النحو التالي: "x دائمًا، لأي قيمة لـ y، تساوي 1."

قد يتساءل البعض لماذا تتذكر الصف السادس؟! هذا هو الحال، ربما يكون الأمر كذلك، ولكن على مدار سنوات الممارسة التقيت بعدد كبير من الطلاب الذين كانوا في حيرة من أمرهم بشأن مهمة إنشاء رسم بياني مثل أو.

يعد إنشاء خط مستقيم هو الإجراء الأكثر شيوعًا عند عمل الرسومات.

تمت مناقشة الخط المستقيم بالتفصيل في سياق الهندسة التحليلية، ويمكن للمهتمين الرجوع إلى المقال معادلة الخط المستقيم على المستوى.

رسم بياني لدالة تربيعية ومكعبة، رسم بياني لكثيرة الحدود

القطع المكافئ. الرسم البياني للدالة التربيعية () يمثل القطع المكافئ. لنتأمل الحالة الشهيرة:

دعونا نتذكر بعض خصائص الوظيفة.

إذن حل معادلتنا: – عند هذه النقطة يقع رأس القطع المكافئ. يمكن تعلم سبب ذلك من المقالة النظرية حول المشتقة والدرس الخاص بالنقاط القصوى للدالة. في هذه الأثناء، دعونا نحسب قيمة "Y" المقابلة:

وبالتالي فإن قمة الرأس تقع عند النقطة

والآن نجد نقاطًا أخرى، بينما نستخدم بوقاحة تماثل القطع المكافئ. وتجدر الإشارة إلى أن الوظيفة – ليست حتىولكن، مع ذلك، لم يقم أحد بإلغاء تماثل القطع المكافئ.

وبأي ترتيب للعثور على النقاط المتبقية، أعتقد أنه سيكون واضحا من الجدول النهائي:

يمكن تسمية خوارزمية البناء هذه مجازيًا بـ "المكوك" أو مبدأ "الذهاب والإياب" لدى Anfisa Chekhova.

لنقم بالرسم:

ومن خلال الرسوم البيانية التي تم فحصها، تتبادر إلى الذهن ميزة أخرى مفيدة:

لدالة تربيعية () صحيح ما يلي:

إذا، فإن فروع القطع المكافئ موجهة للأعلى.

إذا، فإن فروع القطع المكافئ موجهة نحو الأسفل.

يمكن الحصول على معرفة متعمقة حول المنحنى في درس القطع الزائد والقطع المكافئ.

يتم إعطاء القطع المكافئ المكعب بواسطة الوظيفة. هنا رسم مألوف من المدرسة:

دعونا قائمة الخصائص الرئيسية للوظيفة

رسم بياني للدالة

وهو يمثل أحد فروع القطع المكافئ. لنقم بالرسم:

الخصائص الرئيسية للوظيفة:

وفي هذه الحالة يكون المحور الخط المقارب العمودي للرسم البياني للقطع الزائد في .

سيكون خطأً فادحًا إذا سمحت للرسم البياني بالتقاطع مع الخط المقارب أثناء رسم الرسم.

تخبرنا الحدود أحادية الجانب أيضًا أن القطع الزائد لا يقتصر من فوقو لا يقتصر من الأسفل.

دعونا نتفحص الدالة عند اللانهاية: أي أننا إذا بدأنا التحرك على طول المحور إلى اليسار (أو اليمين) إلى ما لا نهاية، فإن "الألعاب" ستكون خطوة منظمة قريبة بلا حدوديقترب من الصفر، وبالتالي فروع القطع الزائد قريبة بلا حدودالاقتراب من المحور.

وبالتالي فإن المحور هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني للدالة، إذا كان "x" يميل إلى زائد أو ناقص اللانهاية.

الوظيفة هي غريب، وبالتالي فإن القطع الزائد متماثل حول الأصل. هذه الحقيقة واضحة من الرسم، بالإضافة إلى أنه يمكن التحقق منها بسهولة من الناحية التحليلية: .

يمثل الرسم البياني لدالة النموذج () فرعين من القطع الزائد.

إذا كان القطع الزائد يقع في ربعي الإحداثيات الأول والثالث(انظر الصورة أعلاه).

إذا كان القطع الزائد يقع في ربعي الإحداثيات الثاني والرابع.

من السهل تحليل النمط المشار إليه لإقامة القطع الزائد من وجهة نظر التحولات الهندسية للرسوم البيانية.

مثال 3

بناء الفرع الأيمن من القطع الزائد

نستخدم طريقة البناء النقطي، ومن المفيد اختيار القيم بحيث تكون قابلة للقسمة على الكل:

لنقم بالرسم:

لن يكون من الصعب إنشاء الفرع الأيسر من القطع الزائد؛ فغرابة الدالة ستساعد هنا. بشكل تقريبي، في جدول البناء النقطي، نضيف عقليًا ناقصًا لكل رقم، ونضع النقاط المقابلة ونرسم الفرع الثاني.

يمكن العثور على معلومات هندسية تفصيلية حول الخط المعني في مقالة القطع الزائد والقطع المكافئ.

رسم بياني للدالة الأسية

في هذا القسم، سأفكر على الفور في الوظيفة الأسية، لأنه في مشاكل الرياضيات العليا في 95٪ من الحالات، تظهر الأسي.

اسمحوا لي أن أذكرك أن هذا رقم غير منطقي: سيكون هذا مطلوبًا عند إنشاء رسم بياني، والذي سأبنيه في الواقع بدون احتفال. ثلاث نقاط ربما تكون كافية:

دعونا نترك الرسم البياني للوظيفة بمفرده في الوقت الحالي، وسنتحدث عنه لاحقًا.

الخصائص الرئيسية للوظيفة:

تبدو الرسوم البيانية للوظائف، وما إلى ذلك، متشابهة بشكل أساسي.

ويجب أن أقول إن الحالة الثانية تحدث بشكل أقل تكرارا في الممارسة العملية، ولكنها تحدث، لذلك رأيت أنه من الضروري إدراجها في هذه المقالة.

رسم بياني للدالة اللوغاريتمية

خذ بعين الاعتبار دالة ذات لوغاريتم طبيعي.
دعونا نرسم نقطة بنقطة:

إذا نسيت ما هو اللوغاريتم، يرجى الرجوع إلى الكتب المدرسية الخاصة بك.

الخصائص الرئيسية للوظيفة:

مجال التعريف:

نطاق القيم: .

الوظيفة لا تقتصر على ما سبق: وإن كان ذلك ببطء، إلا أن فرع اللوغاريتم يرتفع إلى ما لا نهاية.
دعونا نتفحص سلوك الدالة القريبة من الصفر على اليمين: . وبالتالي فإن المحور هو الخط المقارب العمودي للرسم البياني للدالة حيث يميل "x" إلى الصفر من اليمين.

من الضروري معرفة وتذكر القيمة النموذجية للوغاريتم: .

من حيث المبدأ، يبدو الرسم البياني للوغاريتم للأساس كما هو: , , (اللوغاريتم العشري للأساس 10)، إلخ. علاوة على ذلك، كلما كانت القاعدة أكبر، كلما كان الرسم البياني مسطحًا.

لن نأخذ هذه الحالة بعين الاعتبار؛ لا أتذكر آخر مرة قمت فيها بإنشاء رسم بياني على هذا الأساس. ويبدو أن اللوغاريتم ضيف نادر جدًا في مشاكل الرياضيات العليا.

وفي نهاية هذه الفقرة سأقول حقيقة أخرى: الدالة الأسية والدالة اللوغاريتمية- هاتان وظيفتان عكسيتان. إذا نظرت عن كثب إلى الرسم البياني للوغاريتم، يمكنك أن ترى أن هذا هو نفس الأس، ولكنه يقع بشكل مختلف قليلاً.

الرسوم البيانية للدوال المثلثية

أين يبدأ العذاب المثلثي في ​​المدرسة؟ يمين. من جيب

دعونا نرسم الوظيفة

هذا الخط يسمى الجيوب الأنفية.

اسمحوا لي أن أذكرك أن "باي" هو عدد غير نسبي: وفي علم المثلثات يجعل عينيك تبهر.

الخصائص الرئيسية للوظيفة:

هذه الوظيفة دوريةمع فترة . ماذا يعني ذلك؟ دعونا نلقي نظرة على هذا الجزء. وعلى يساره ويمينه، تتكرر نفس القطعة من الرسم البياني إلى ما لا نهاية.

مجال التعريف: أي أنه لأي قيمة لـ "x" هناك قيمة جيبية.

نطاق القيم: . الوظيفة هي محدود: أي أن جميع "الألعاب" موجودة بشكل صارم في هذا المقطع.
هذا لا يحدث: أو بالأحرى، يحدث، لكن هذه المعادلات ليس لها حل.