صيغ لإضافة وسيطات الدوال المثلثية. صيغ علم المثلثات

لن أحاول إقناعك بعدم كتابة أوراق الغش. يكتب! بما في ذلك أوراق الغش في علم المثلثات. أخطط لاحقًا لشرح سبب الحاجة إلى أوراق الغش وسبب فائدة أوراق الغش. وهنا معلومات حول كيفية عدم التعلم، ولكن تذكر بعض الصيغ المثلثية. إذن - علم المثلثات بدون ورقة غش نستخدم الارتباطات للحفظ.

1. صيغ الإضافة:

جيب التمام دائمًا "يأتي في أزواج": جيب التمام، جيب التمام، جيب التمام. وشيء آخر: جيب التمام "غير كاف". "كل شيء ليس على ما يرام" بالنسبة لهم، فيغيرون الإشارة: "-" إلى "+"، والعكس صحيح.

الجيوب الأنفية - "مزيج": جيب التمام، جيب التمام، جيب التمام.

2. صيغ الجمع والفرق:

جيب التمام دائمًا "يأتي في أزواج". بإضافة اثنين من جيب التمام - "koloboks"، نحصل على زوج من جيب التمام - "koloboks". وبالطرح، بالتأكيد لن نحصل على أي كولوبوك. نحصل على بضع الجيوب. أيضا مع ناقص المقبلة.

الجيوب الأنفية - "مزيج" :

3. صيغ تحويل المنتج إلى مجموع وفرق.

متى نحصل على زوج جيب التمام؟ عندما نضيف جيب التمام. لهذا

متى نحصل على زوجين من الجيوب؟ عند طرح جيب التمام. من هنا:

يتم الحصول على "الخلط" عند إضافة وطرح الجيوب. ما هو أكثر متعة: إضافة أو طرح؟ هذا صحيح، أضعاف. وللصيغة يأخذون إضافة:

في الصيغتين الأولى والثالثة، يكون المجموع بين قوسين. إعادة ترتيب أماكن المصطلحات لا يغير المجموع. الترتيب مهم فقط للصيغة الثانية. ولكن، لكي لا نخلط، ولسهولة التذكر، في جميع الصيغ الثلاثة الموجودة بين القوسين الأولين، نأخذ الفرق

وثانيا - المبلغ

تمنحك أوراق الغش الموجودة في جيبك راحة البال: إذا نسيت الصيغة، يمكنك نسخها. وهي تمنحك الثقة: إذا فشلت في استخدام ورقة الغش، فيمكنك تذكر الصيغ بسهولة.

نواصل حديثنا حول الصيغ الأكثر استخدامًا في علم المثلثات. وأهمها صيغ الجمع.

التعريف 1

تتيح لك صيغ الجمع التعبير عن دوال الفرق أو مجموع الزاويتين باستخدام الدوال المثلثيةهذه الزوايا.

لتبدأ، سوف نعطي القائمة الكاملةصيغ الجمع ثم سنثبتها ونحلل عدة أمثلة توضيحية.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

صيغ الجمع الأساسية في علم المثلثات

هناك ثماني صيغ أساسية: جيب التمام وجيب الفرق بين الزاويتين، وجيب التمام للمجموع والفرق، والظلال وظل التمام للمجموع والفرق، على التوالي. فيما يلي صيغها وحساباتها القياسية.

1. يمكن الحصول على جيب مجموع الزاويتين بالطريقة الآتية:

نحسب منتج جيب الزاوية الأولى وجيب التمام الثانية؛

اضرب جيب تمام الزاوية الأولى بجيب الزاوية الأولى؛

أضف القيم الناتجة.

تبدو الكتابة الرسومية للصيغة كما يلي: الخطيئة (α + β) = الخطيئة α · cos β + cos α · الخطيئة β

2. يتم حساب جيب الفرق بنفس الطريقة تقريبًا، ولا يلزم إضافة المنتجات الناتجة فقط، بل طرحها من بعضها البعض. وبالتالي، فإننا نحسب منتجات جيب الزاوية الأولى على جيب تمام الثانية وجيب تمام الزاوية الأولى على جيب تمام الثانية ونجد الفرق بينهما. الصيغة مكتوبة على النحو التالي: الخطيئة (α - β) = الخطيئة α · cos β + الخطيئة α · الخطيئة β

3. جيب تمام المبلغ. لذلك، نجد منتجات جيب تمام الزاوية الأولى على جيب تمام الثانية وجيب الزاوية الأولى على جيب الثانية، على التوالي، ونجد الفرق بينهما: cos (α + β) = cos α · كوس β - الخطيئة α · الخطيئة β

4. جيب التمام للفرق: احسب حاصل ضرب الجيب وجيب التمام لهذه الزوايا، كما كان من قبل، وقم بإضافتها. الصيغة: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. ظل المبلغ. يتم التعبير عن هذه الصيغة على شكل كسر، بسطه هو مجموع مماسات الزوايا المطلوبة، والمقام هو وحدة يُطرح منها حاصل ضرب مماسات الزوايا المطلوبة. كل شيء واضح من تدوينه الرسومي: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β

6. ظل الفرق. نحسب قيم الفرق وحاصل ضرب مماسات هذه الزوايا ونتابعها بطريقة مماثلة. في المقام نضيف إلى واحد، وليس العكس: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

7. ظل التمام للمبلغ. للحساب باستخدام هذه الصيغة، سنحتاج إلى حاصل الضرب ومجموع ظل التمام لهذه الزوايا، والذي نتبعه على النحو التالي: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β

8. ظل التمام للفرق . الصيغة مشابهة للصيغة السابقة، لكن البسط والمقام هما ناقص، وليس زائد c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.

ربما لاحظت أن هذه الصيغ متشابهة في الأزواج. باستخدام العلامات ± (زائد ناقص) و ∓ (ناقص زائد)، يمكننا تجميعها لتسهيل التسجيل:

الخطيئة (α ± β) = الخطيئة α · cos β ± cos α · الخطيئة β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ الخطيئة α · الخطيئة β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

وبناءً على ذلك، لدينا صيغة تسجيل واحدة لمجموع كل قيمة والفرق بينها، وفي حالة واحدة فقط ننتبه إلى العلامة العلوية، وفي الحالة الأخرى - إلى العلامة السفلية.

التعريف 2

يمكننا أن نأخذ أي زاويتين α و β، وستعمل صيغ الجمع لجيب التمام والجيب عليها. إذا تمكنا من تحديد قيم الظل وظل التمام لهذه الزوايا بشكل صحيح، فإن صيغ الجمع للظل وظل التمام ستكون صالحة لهم أيضًا.

مثل معظم المفاهيم في الجبر، يمكن إثبات صيغ الجمع. الصيغة الأولى التي سنثبتها هي صيغة فرق جيب التمام. ويمكن بعد ذلك استخلاص بقية الأدلة منه بسهولة.

دعونا توضيح المفاهيم الأساسية. سوف نحتاج دائرة الوحدة. سينجح الأمر إذا أخذنا نقطة معينة A وقمنا بتدوير الزوايا α و β حول المركز (النقطة O). ثم الزاوية بين المتجهات O A 1 → و O A → 2 ستكون مساوية لـ (α - β) + 2 π · z أو 2 π - (α - β) + 2 π · z (z هو أي عدد صحيح). تشكل المتجهات الناتجة زاوية تساوي α - β أو 2 π - (α - β)، أو قد تختلف عن هذه القيم بعدد صحيح الثورات الكاملة. نلقي نظرة على الصورة:

استخدمنا صيغ التخفيض وحصلنا على النتائج التالية:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

النتيجة: جيب تمام الزاوية بين المتجهات O A 1 → و O A 2 → يساوي جيب تمام الزاوية α - β، وبالتالي cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).

دعونا نتذكر تعريفات الجيب وجيب التمام: الجيب هو دالة للزاوية، يساوي النسبةساق الزاوية المقابلة للوتر، وجيب التمام هو جيب الزاوية التكميلية. ولذلك النقاط أ 1و أ2لها إحداثيات (cos α، sin α) و (cos β، sin β).

نحصل على ما يلي:

O A 1 → = (cos α، sin α) و O A 2 → = (cos β، sin β)

إذا لم يكن الأمر واضحًا، فانظر إلى إحداثيات النقاط الموجودة في بداية ونهاية المتجهات.

أطوال المتجهات تساوي 1، لأن لدينا دائرة الوحدة.

دعونا ننظر في الأمر الآن المنتج العدديالمتجهات O A 1 → و O A 2 → . في الإحداثيات يبدو كما يلي:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β

ومن هذا يمكننا أن نستنتج المساواة:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

وهكذا، تم إثبات صيغة فرق جيب التمام.

الآن سوف نثبت الصيغة التالية- جيب تمام المبلغ. وهذا أسهل لأنه يمكننا استخدام الحسابات السابقة. لنأخذ التمثيل α + β = α - (- β) . لدينا:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

هذا هو دليل على صيغة مجموع جيب التمام. يستخدم السطر الأخير خاصية الجيب وجيب التمام زوايا متقابلة.

يمكن استخلاص صيغة جيب التمام للمجموع من صيغة جيب التمام للفرق. لنأخذ صيغة التخفيض لهذا:

اكتب الخطيئة(α + β) = cos (π 2 (α + β)) . لذا
الخطيئة (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + الخطيئة (π 2 - α) الخطيئة β) = = الخطيئة α cos β + cos α الخطيئة β

وهنا دليل على صيغة الفرق الجيبية:

الخطيئة (α - β) = الخطيئة (α + (- β)) = الخطيئة α cos (- β) + cos α الخطيئة (- β) = = الخطيئة α cos β - cos α الخطيئة β
لاحظ استخدام خصائص الجيب وجيب التمام للزوايا المتقابلة في الحساب الأخير.

بعد ذلك، نحتاج إلى إثباتات صيغ الجمع للظل وظل التمام. دعونا نتذكر التعريفات الأساسية (الظل هو نسبة الجيب إلى جيب التمام، وظل التمام هو العكس) ونأخذ الصيغ المشتقة مسبقًا. لقد فعلناها:

t g (α + β) = الخطيئة (α + β) cos (α + β) = الخطيئة α cos β + cos α الخطيئة β cos α cos β - الخطيئة α الخطيئة β

لقد فعلناها جزء معقد. بعد ذلك، علينا قسمة البسط والمقام على cos α · cos β، بما أن cos α ≠ 0 و cos β ≠ 0، نحصل على:
الخطيئة α · cos β + cos α · الخطيئة β cos α · cos β cos α · cos β - الخطيئة α · الخطيئة β cos α · cos β = الخطيئة α · cos β cos α · cos β + cos α · الخطيئة β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β

الآن نقوم بتبسيط الكسور والحصول على الصيغة النوع التالي: الخطيئة α cos α + الخطيئة β cos β 1 - الخطيئة α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
حصلنا على t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. هذا هو دليل على صيغة إضافة الظل.

الصيغة التالية التي سنثبتها هي صيغة ظل صيغة الفرق. كل شيء يظهر بوضوح في الحسابات:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

تم إثبات صيغ ظل التمام بطريقة مماثلة:
ج t ز (α + β) = cos (α + β) الخطيئة (α + β) = cos α · cos β - الخطيئة α · الخطيئة β الخطيئة α · cos β + cos α · الخطيئة β = = cos α · cos β - الخطيئة α · الخطيئة β الخطيئة α · الخطيئة β الخطيئة α · cos β + cos α · الخطيئة β الخطيئة α · الخطيئة β = cos α · cos β الخطيئة α · الخطيئة β - 1 الخطيئة α · cos β الخطيئة α · الخطيئة β + cos α · الخطيئة β الخطيئة α · الخطيئة β = = - 1 + ج t g α · ج t g β c t g α + c t g β
إضافي:
ج t g (α - β) = c t g  (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β