واحد من أهم العلوموالتي يمكن رؤية تطبيقها في تخصصات مثل الكيمياء والفيزياء وحتى علم الأحياء، هي الرياضيات. دراسة هذا العلم تسمح لك بتنمية بعض الصفات العقلية وتحسين قدرتك على التركيز. من المواضيع التي تستحق اهتمامًا خاصًا في مقرر الرياضيات جمع وطرح الكسور. يجد العديد من الطلاب صعوبة في الدراسة. ربما ستساعدك مقالتنا على فهم هذا الموضوع بشكل أفضل.
كيفية طرح الكسور التي مقاماتها هي نفسها
الكسور هي نفس الأرقام التي يمكنك من خلالها إجراء عمليات مختلفة. يكمن اختلافهم عن الأعداد الصحيحة في وجود مقام. لهذا السبب، عند إجراء العمليات مع الكسور، تحتاج إلى دراسة بعض ميزاتها وقواعدها. معظم حالة بسيطةهو الطرح الكسور العادية، والتي يتم تمثيل قواسمها بنفس الرقم. لن يكون تنفيذ هذا الإجراء صعبًا إذا كنت تعرف قاعدة بسيطة:
- من أجل طرح ثانية من كسر واحد، من الضروري طرح بسط الكسر المطروح من بسط الكسر الذي يتم اختزاله. نكتب هذا الرقم في بسط الفرق، ونترك المقام كما هو: k/m - b/m = (k-b)/m.
أمثلة على طرح الكسور ذات المقامات نفسها
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
من بسط الكسر "7" نطرح بسط الكسر "3" المراد طرحه، نحصل على "4". نكتب هذا الرقم في بسط الإجابة، وفي المقام نضع نفس الرقم الذي كان في مقامي الكسرين الأول والثاني - "19".
توضح الصورة أدناه العديد من الأمثلة المشابهة.
لنفكر في مثال أكثر تعقيدًا حيث يتم طرح الكسور ذات المقامات المتشابهة:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
من بسط الكسر "29" يتم تخفيضه عن طريق طرح بسط جميع الكسور اللاحقة - "3"، "8"، "2"، "7". ونتيجة لذلك، نحصل على النتيجة "9"، والتي نكتبها في بسط الإجابة، وفي المقام نكتب الرقم الموجود في مقامات كل هذه الكسور - "47".
جمع الكسور التي لها نفس المقام
جمع وطرح الكسور العادية يتبع نفس المبدأ.
- من أجل جمع الكسور التي مقاماتها هي نفسها، تحتاج إلى إضافة البسط. الرقم الناتج هو بسط المجموع، وسيظل المقام كما هو: k/m + b/m = (k + b)/m.
دعونا نرى كيف يبدو هذا باستخدام مثال:
1/4 + 2/4 = 3/4.
إلى بسط الحد الأول من الكسر - "1" - أضف بسط الحد الثاني من الكسر - "2". النتيجة - "3" - تُكتب في بسط المجموع، ويُترك المقام كما هو موجود في الكسور - "4".
الكسور ذات المقامات المختلفة وطرحها
العمل مع الكسور التي لديها نفس القاسم، لقد نظرنا بالفعل. كما نرى، مع العلم قواعد بسيطة، حل مثل هذه الأمثلة سهل للغاية. ولكن ماذا تفعل إذا كنت بحاجة إلى إجراء عملية باستخدام الكسور التي لها قواسم مختلفة؟ كثير من طلاب المدارس الثانوية مرتبكون بمثل هذه الأمثلة. ولكن حتى هنا، إذا كنت تعرف مبدأ الحل، فإن الأمثلة لن تكون صعبة بالنسبة لك. هناك أيضًا قاعدة هنا، والتي بدونها الحل كسور مماثلةإنه ببساطة مستحيل.
- 2/3 - واحد ثلاثة وواحد اثنان مفقودان في المقام:
2/3 = (2 × 3 × 2)/(3 × 3 × 2) = 12/18. - 7/9 أو 7/(3 × 3) - المقام ينقصه اثنان:
7/9 = (7 × 2)/(9 × 2) = 14/18. - 5/6 أو 5/(2 × 3) - المقام ينقصه ثلاثة:
5/6 = (5 × 3)/(6 × 3) = 15/18. - الرقم 18 يتكون من 3x2x3
- الرقم 15 يتكون من 5×3
- المضاعف المشترك سيكون العوامل التالية: 5 × 3 × 3 × 2 = 90.
- 90 مقسومة على 15. الرقم الناتج "6" سيكون مضاعفًا لـ 3/15.
- 90 مقسومة على 18. الرقم الناتج "5" سيكون مضاعفًا لـ 4/18.
- تحويل جميع الكسور التي تحتوي على جزء صحيح إلى كسور غير صحيحة. تكلم بكلمات بسيطة، قم بإزالة الجزء بأكمله. للقيام بذلك، اضرب عدد الجزء الصحيح بمقام الكسر، وأضف المنتج الناتج إلى البسط. الرقم الذي يخرج بعد هذه الإجراءات هو البسط جزء غير لائق. يبقى القاسم دون تغيير.
- إذا كانت الكسور لها مقامات مختلفة، فيجب اختزالها إلى نفس المقام.
- إجراء عمليات الجمع أو الطرح بنفس المقامات.
- عند استلام كسر غير حقيقي، حدد الجزء بأكمله.
لطرح الكسور من قواسم مختلفة، فمن الضروري تقليلها إلى نفس القاسم الأدنى.
سنتحدث بمزيد من التفاصيل حول كيفية القيام بذلك.
خاصية الكسر
من أجل جلب عدة كسور إلى نفس المقام، تحتاج إلى استخدام الخاصية الرئيسية للكسر في الحل: بعد قسمة أو ضرب البسط والمقام نفس الرقمتحصل على جزء يساوي المعطى.
لذلك، على سبيل المثال، يمكن أن يكون للكسر 2/3 مقامات مثل "6"، "9"، "12"، وما إلى ذلك، أي أنه يمكن أن يكون له شكل أي رقم يكون من مضاعفات "3". بعد أن نضرب البسط والمقام في "2"، نحصل على الكسر 4/6. وبعد أن نضرب بسط ومقام الكسر الأصلي في "3" نحصل على 6/9، وإذا أجرينا عملية مماثلة مع الرقم "4" نحصل على 8/12. يمكن كتابة المساواة الواحدة على النحو التالي:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
كيفية تحويل كسور متعددة إلى نفس المقام
دعونا نلقي نظرة على كيفية اختزال الكسور المتعددة إلى نفس المقام. على سبيل المثال، لنأخذ الكسور الموضحة في الصورة أدناه. تحتاج أولاً إلى تحديد الرقم الذي يمكن أن يصبح مقامًا لهم جميعًا. لتسهيل الأمور، دعونا نحلل المقامات الموجودة.
لا يمكن تحليل مقام الكسر 1/2 والكسر 2/3. المقام 7/9 له عاملان 7/9 = 7/(3 × 3)، ومقام الكسر 5/6 = 5/(2 × 3). والآن علينا تحديد العوامل الأصغر لجميع هذه الكسور الأربعة. وبما أن الكسر الأول يحمل الرقم "2" في المقام، فهذا يعني أنه يجب أن يكون موجودًا في جميع المقامات؛ وفي الكسر 7/9 يوجد ثلاثة توائم، مما يعني أن كلاهما يجب أن يكون موجودًا في المقام أيضًا. وبأخذ ما سبق في الاعتبار، نحدد أن المقام يتكون من ثلاثة عوامل: 3، 2، 3 ويساوي 3 × 2 × 3 = 18.
لنفكر في الكسر الأول - 1/2. يوجد "2" في مقامه، ولكن لا يوجد رقم "3" واحد، ولكن يجب أن يكون هناك رقمان. للقيام بذلك، نضرب المقام في مضاعفتين، ولكن وفقًا لخاصية الكسر، يجب علينا ضرب البسط في مضاعفتين:
1/2 = (1 × 3 × 3)/(2 × 3 × 3) = 9/18.
نقوم بنفس العمليات مع الكسور المتبقية.
يبدو الأمر معًا كما يلي:
كيفية طرح وإضافة الكسور التي لها مقامات مختلفة
كما ذكرنا أعلاه، من أجل جمع أو طرح الكسور التي لها مقامات مختلفة، يجب تخفيضها إلى نفس المقام، ثم استخدام قواعد طرح الكسور التي لها نفس المقام، والتي تمت مناقشتها بالفعل.
لننظر إلى هذا كمثال: 18/4 - 15/3.
إيجاد مضاعف العددين 18 و 15:
بعد العثور على المقام، من الضروري حساب العامل الذي سيكون مختلفًا لكل كسر، أي الرقم الذي سيكون من الضروري ضرب ليس فقط المقام، ولكن أيضًا البسط. للقيام بذلك، قم بتقسيم الرقم الذي وجدناه (المضاعف المشترك) على مقام الكسر الذي يجب تحديد عوامل إضافية له.
المرحلة التالية من الحل هي تقليل كل كسر إلى المقام "90".
لقد تحدثنا بالفعل عن كيفية القيام بذلك. دعونا نرى كيف يتم كتابة هذا في مثال:
(4 × 5)/(18 × 5) - (3 × 6)/(15 × 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
إذا كانت الكسور بأعداد صغيرة، فيمكنك ذلك القاسم المشتركتحديد كما في المثال الموضح في الصورة أدناه.
وينطبق الشيء نفسه على أولئك الذين لديهم قواسم مختلفة.
الطرح والحصول على أجزاء صحيحة
لقد ناقشنا بالفعل بالتفصيل طرح الكسور وإضافتها. ولكن كيفية طرح إذا كان الكسر الجزء الكامل؟ مرة أخرى، دعونا نستخدم بعض القواعد:
هناك طريقة أخرى يمكنك من خلالها جمع وطرح الكسور ذات الأجزاء الكاملة. للقيام بذلك، يتم تنفيذ الإجراءات بشكل منفصل مع الأجزاء الكاملة، والإجراءات مع الكسور بشكل منفصل، ويتم تسجيل النتائج معًا.
يتكون المثال الموضح من كسور لها نفس المقام. في حالة اختلاف المقامات، يجب إحضارها إلى نفس القيمة، ثم تنفيذ الإجراءات كما هو موضح في المثال.
طرح الكسور من الأعداد الصحيحة
نوع آخر من الإجراءات مع الكسور هو الحالة التي يجب فيها طرح الكسر من للوهلة الأولى مثال مماثليبدو من الصعب حلها. ومع ذلك، كل شيء بسيط للغاية هنا. لحلها، تحتاج إلى تحويل العدد الصحيح إلى كسر، وبنفس المقام الموجود في الكسر المطروح. بعد ذلك، نقوم بإجراء عملية طرح مشابهة لعملية الطرح ذات المقامات المتطابقة. في مثال يبدو مثل هذا:
7 - 4/9 = (7 × 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
إن طرح الكسور (الصف 6) المقدمة في هذه المقالة هو الأساس لحل الأمثلة الأكثر تعقيدًا التي يتم تناولها في الدرجات اللاحقة. يتم استخدام المعرفة بهذا الموضوع لاحقًا لحل الوظائف والمشتقات وما إلى ذلك. لذلك، من المهم جدًا فهم وفهم العمليات مع الكسور التي تمت مناقشتها أعلاه.
الإجراءات مع الكسور.
انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")
إذن، ما هي الكسور، وأنواع الكسور، والتحولات - تذكرنا. دعونا نصل إلى القضية الرئيسية.
ماذا يمكنك أن تفعل مع الكسور؟نعم كل ما هو معه أرقام عادية. إضافة، طرح، ضرب، قسمة.
كل هذه التصرفات مع عدد عشريالعمل مع الكسور لا يختلف عن العمل مع الأعداد الصحيحة. في الواقع، هذا هو الشيء الجيد فيها، الأعداد العشرية. الشيء الوحيد هو أنك تحتاج إلى وضع الفاصلة بشكل صحيح.
أرقام مختلطة كما قلت من قبل، ليست ذات فائدة تذكر في معظم الإجراءات. لا تزال بحاجة إلى تحويلها إلى كسور عادية.
لكن الأفعال مع الكسور العاديةسيكونون أكثر دهاءً. والأهم من ذلك بكثير! دعني أذكرك: جميع الأفعال ذات العبارات الكسرية بالأحرف والجيوب والمجهولات وما إلى ذلك لا تختلف عن الأفعال ذات الكسور العادية! العمليات على الكسور العادية هي أساس كل الجبر. ولهذا السبب سنقوم بتحليل كل هذه الحسابات بتفصيل كبير هنا.
جمع وطرح الكسور.
يمكن للجميع إضافة (طرح) الكسور بنفس القواسم (آمل حقًا!). حسنا، اسمحوا لي أن أذكر أولئك الذين ينسون تماما: عند الجمع (الطرح)، لا يتغير المقام. تتم إضافة (طرح) البسط لإعطاء بسط النتيجة. يكتب:
باختصار في منظر عام:
ماذا لو كانت القواسم مختلفة؟ بعد ذلك، باستخدام الخاصية الأساسية للكسر (وهنا تصبح مفيدة مرة أخرى!) نجعل المقامات متساوية! على سبيل المثال:
هنا كان علينا أن نجعل الكسر 4/10 من الكسر 2/5. لغرض وحيد هو جعل القواسم متماثلة. اسمحوا لي أن أشير، في حالة حدوث ذلك، إلى أن 2/5 و4/10 كذلك نفس الكسر! فقط 2/5 غير مريح بالنسبة لنا، و4/10 لا بأس بها حقًا.
بالمناسبة، هذا هو جوهر حل أي مشاكل في الرياضيات. عندما نكون من غير مريحنحن نفعل التعبيرات نفس الشيء، ولكن أكثر ملاءمة للحل.
مثال آخر:
الوضع مشابه. هنا نحصل على 48 من أصل 16. عن طريق الضرب البسيطبواسطة 3. هذا كله واضح. لكننا واجهنا شيئًا مثل:
كيف تكون؟! من الصعب الحصول على تسعة من سبعة! لكننا أذكياء، ونعرف القواعد! دعونا نتحول كلكسر بحيث تكون المقامات متساوية. وهذا ما يسمى "الاختزال إلى قاسم مشترك":
رائع! كيف عرفت عن 63؟ بسيط جدا! 63 هو رقم يقبل القسمة على 7 و 9 في نفس الوقت. يمكن دائمًا الحصول على هذا الرقم عن طريق ضرب المقامات. فإذا ضربنا رقماً في 7 مثلاً، فإن النتيجة ستكون بالتأكيد قابلة للقسمة على 7!
إذا كنت بحاجة إلى إضافة (طرح) عدة كسور، ليست هناك حاجة للقيام بذلك في أزواج، خطوة بخطوة. كل ما عليك فعله هو العثور على المقام المشترك لجميع الكسور واختزال كل كسر إلى نفس المقام. على سبيل المثال:
وماذا سيكون القاسم المشترك؟ يمكنك بالطبع ضرب 2 و4 و8 و16. نحصل على 1024. كابوس. من الأسهل معرفة أن الرقم 16 قابل للقسمة تمامًا على 2 و4 و8. لذلك، من السهل الحصول على 16 من هذه الأرقام. وسيكون هذا الرقم هو القاسم المشترك. دعونا نحول 1/2 إلى 8/16، و3/4 إلى 12/16، وهكذا.
بالمناسبة، إذا كنت تأخذ 1024 كقاسم مشترك، فسوف ينجح كل شيء، وفي النهاية سيتم تخفيض كل شيء. لكن لن يصل الجميع إلى هذه الغاية، بسبب الحسابات...
أكمل المثال بنفسك ليس نوعًا من اللوغاريتم... يجب أن يكون 29/16.
إذن جمع (طرح) الكسور واضح أتمنى؟ بالطبع، من الأسهل العمل في نسخة مختصرة، مع مضاعفات إضافية. ولكن هذه المتعة متاحة لأولئك الذين عملوا بأمانة فيها فصول المبتدئين...ولم أنس شيئاً.
والآن سنفعل نفس الإجراءات، ولكن ليس بالكسور، ولكن مع التعبيرات الكسرية. سيتم الكشف عن أشعل النار الجديد هنا، نعم...
لذلك، نحن بحاجة إلى إضافة تعبيرين كسريين:
علينا أن نجعل المقامين متساويين. وفقط بمساعدة عمليه الضرب! هذا ما تمليه الخاصية الرئيسية للكسر. لذلك، لا يمكنني إضافة واحد إلى X في الكسر الأول في المقام. (ولكن هذا سيكون لطيفا!). ولكن إذا قمت بمضاعفة القواسم، كما ترى، كل شيء ينمو معًا! لذلك نكتب خط الكسر في الأعلى مكان فارغلنتركها ثم نضيفها ونكتب حاصل ضرب المقامات أدناه حتى لا ننسى:
وبالطبع، نحن لا نضرب أي شيء على الجانب الأيمن، ولا نفتح القوسين! والآن، بالنظر إلى المقام المشترك على الجانب الأيمن، ندرك: للحصول على المقام x(x+1) في الكسر الأول، تحتاج إلى ضرب بسط هذا الكسر ومقامه في (x+1) . وفي الكسر الثاني - إلى x. هذا هو ما تحصل عليه:
ملحوظة! هنا الأقواس! هذا هو أشعل النار الذي يخطو عليه كثير من الناس. ليس بين قوسين، بطبيعة الحال، ولكن غيابهم. تظهر الأقواس لأننا نضرب الجميعالبسط و الجميعالمقام - صفة مشتركة - حالة! وليس قطعهم الفردية..
في بسط الجانب الأيمن نكتب مجموع البسطين، كل شيء كما هو الكسور العددية، ثم افتح القوسين في بسط الجانب الأيمن، أي. نضرب كل شيء ونعطي أشياء مماثلة. ليست هناك حاجة لفتح الأقواس في المقامات أو ضرب أي شيء! بشكل عام، في القواسم (أي) يكون المنتج دائمًا أكثر متعة! نحن نحصل:
لذلك حصلنا على الجواب. تبدو العملية طويلة وصعبة، ولكنها تعتمد على الممارسة. بمجرد حل الأمثلة، تعتاد عليها، سيصبح كل شيء بسيطًا. أولئك الذين أتقنوا الكسور في الوقت المناسب يقومون بكل هذه العمليات بيد يسرى واحدة تلقائيًا!
وملاحظة أخرى. يتعامل الكثير من الناس بذكاء مع الكسور، لكنهم يتعثرون في الأمثلة جميعأعداد. مثل: 2 + 1/2 + 3/4= ؟ أين يمكن ربط القطعتين؟ لا تحتاج إلى ربطه في أي مكان، بل تحتاج إلى عمل جزء من اثنين. انها ليست سهلة، ولكنها بسيطة جدا! 2=2/1. مثله. يمكن كتابة أي عدد صحيح في صورة كسر. البسط هو الرقم نفسه، والمقام هو واحد. 7 هو 7/1، 3 هو 3/1 وهكذا. إنه نفس الشيء مع الحروف. (أ+ب) = (أ+ب)/1، x=x/1، إلخ. ثم نتعامل مع هذه الكسور وفقًا لجميع القواعد.
حسنًا، تم تحديث معرفة جمع وطرح الكسور. تم تكرار تحويل الكسور من نوع إلى آخر. يمكنك أيضًا التحقق. هل نسوي الأمر قليلاً؟)
احسب:
الإجابات (في حالة من الفوضى):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
ضرب وقسمة الكسور - في الدرس القادم. هناك أيضًا مهام لجميع العمليات مع الكسور.
إذا أعجبك هذا الموقع...
بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)
يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)
يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.
الإجراءات مع الكسور. في هذه المقالة سننظر في الأمثلة، كل شيء بالتفصيل مع التوضيحات. سننظر في الكسور العادية. سننظر في الكسور العشرية في وقت لاحق. أنصح بمشاهدة الموضوع كاملاً ودراسته بالتسلسل.
1. مجموع الكسور، الفرق بين الكسور.
القاعدة: عند إضافة الكسور مع قواسم متساوية، ونتيجة لذلك نحصل على كسر - يبقى مقامه كما هو، وسيكون بسطه يساوي المبلغبسط الكسور.
القاعدة: عند حساب الفرق بين الكسور ذات المقامات نفسها، نحصل على كسر - يبقى المقام كما هو، ويتم طرح بسط الثاني من بسط الكسر الأول.
التدوين الرسمي لمجموع وفرق الكسور ذات المقامات المتساوية:
أمثلة (1):
من الواضح أنه عندما يتم إعطاء الكسور العادية، فكل شيء بسيط، ولكن ماذا لو تم خلطها؟ لا شيء معقد...
الخيار 1– يمكنك تحويلها إلى عادية ومن ثم حسابها.
الخيار 2- يمكنك "العمل" بشكل منفصل مع الأجزاء الصحيحة والكسرية.
أمثلة (2):
أكثر:
وإذا أعطيت الفرق بين اثنين كسور مختلطةويكون بسط الكسر الأول أقل من بسط الثاني؟ يمكنك أيضًا التصرف بطريقتين.
أمثلة (3):
* تحويلها إلى كسور عادية، وحساب الفرق، وتحويل الكسر غير الحقيقي الناتج إلى كسر مختلط.
* قمنا بتقسيمها إلى أعداد صحيحة وأجزاء كسرية، وحصلنا على ثلاثة، ثم قدمنا 3 كمجموع 2 و1، مع تمثيل واحد على أنه 11/11، ثم أوجدنا الفرق بين 11/11 و11/7 وحسبنا النتيجة . معنى التحويلات المذكورة أعلاه هو أن نأخذ (نختار) وحدة ونقدمها على شكل كسر بالمقام الذي نحتاجه، ثم يمكننا طرح آخر من هذا الكسر.
مثال آخر:
الخلاصة: هناك نهج عالمي - من أجل حساب مجموع (الفرق) من الكسور المختلطة ذات القواسم المتساوية، يمكن دائما تحويلها إلى غير صحيحة، ثم القيام بالإجراء اللازم. بعد ذلك، إذا كانت النتيجة كسرًا غير حقيقي، نحوله إلى كسر مختلط.
لقد نظرنا أعلاه إلى أمثلة للكسور التي لها مقامات متساوية. ماذا لو كانت القواسم مختلفة؟ في هذه الحالة، يتم تقليل الكسور إلى نفس المقام ويتم تنفيذ الإجراء المحدد. لتغيير (تحويل) الكسر، يتم استخدام الخاصية الأساسية للكسر.
دعونا نلقي نظرة على أمثلة بسيطة:
في هذه الأمثلة، نلاحظ على الفور كيف يمكن تحويل أحد الكسرين للحصول على مقامين متساويين.
إذا حددنا طرقًا لتبسيط الكسور إلى نفس المقام، فسنسميها هذه الطريقة الطريقة الأولى.
وهذا هو، على الفور عند "تقييم" الكسر، تحتاج إلى معرفة ما إذا كان هذا النهج سيعمل - نتحقق مما إذا كان المقام الأكبر قابل للقسمة على الأصغر. وإذا كان قابلا للقسمة، فإننا نجري تحويلا - نضرب البسط والمقام بحيث تصبح مقامات كلا الكسرين متساوية.
والآن انظر إلى هذه الأمثلة:
وهذا النهج لا ينطبق عليهم. هناك أيضًا طرق لتبسيط الكسور إلى مقام مشترك؛ فلنفكر فيها.
الطريقة الثانية.
نضرب بسط ومقام الكسر الأول في مقام الثاني، وبسط ومقام الكسر الثاني في مقام الأول:
*في الواقع، نقوم بتبسيط الكسور إلى الصورة عندما تصبح المقامات متساوية. بعد ذلك، نستخدم قاعدة جمع الكسور ذات المقامات المتساوية.
مثال:
*يمكن تسمية هذه الطريقة بأنها عالمية، وهي تعمل دائمًا. السلبية الوحيدة هي أنه بعد الحسابات قد ينتهي بك الأمر بجزء يحتاج إلى مزيد من التخفيض.
لنلقي نظرة على مثال:
يمكن ملاحظة أن البسط والمقام قابلان للقسمة على 5:
الطريقة الثالثة.
أنت بحاجة إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للمقامات. وسيكون هذا هو القاسم المشترك. أي نوع من هذا الرقم؟ هذا هو الأقل عدد طبيعي، وهو قابل للقسمة على كل رقم.
انظر، هنا رقمان: 3 و 4، هناك العديد من الأرقام التي تقبل القسمة عليهما - هذه هي 12، 24، 36، ... أصغرهما هو 12. أو 6 و 15، وهما يقبلان القسمة على 30، 60، 90 .... الأصغر هو 30. والسؤال هو - كيفية تحديد هذا المضاعف المشترك الأصغر؟
هناك خوارزمية واضحة، ولكن في كثير من الأحيان يمكن القيام بذلك على الفور دون حسابات. على سبيل المثال، وفقًا للأمثلة المذكورة أعلاه (3 و4 و6 و15) ليست هناك حاجة إلى خوارزمية، فقد أخذنا أرقامًا كبيرة (4 و15) وقمنا بمضاعفتها ورأينا أنها قابلة للقسمة على الرقم الثاني، ولكن يمكن لأزواج من الأرقام يكون غيرها، على سبيل المثال 51 و 119.
خوارزمية. من أجل تحديد المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام، يجب عليك:
- تحلل كل رقم إلى عوامل بسيطة
- اكتب تحلل أكبرها
- اضربها بالعوامل المفقودة للأرقام الأخرى
دعونا نلقي نظرة على الأمثلة:
50 و 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
في التحلل أكثرواحد خمسة مفقود
=> المضاعف المشترك الأصغر(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 و 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
في توسيع عدد أكبر اثنين وثلاثة مفقودة
=> م م(48.72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* المضاعف المشترك الأصغر للاثنين الأعداد الأوليةيساوي منتجاتهم
سؤال! لماذا يعتبر إيجاد المضاعف المشترك الأصغر مفيدًا، حيث يمكنك استخدام الطريقة الثانية وتبسيط الكسر الناتج؟ نعم، من الممكن، لكنه ليس مناسبا دائما. انظر إلى مقام الرقمين 48 و72 إذا قمت بضربهما ببساطة 48∙72 = 3456. ستوافق على أنه من الممتع العمل مع أرقام أصغر.
دعونا نلقي نظرة على الأمثلة:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
توسيع عدد أكبر يفتقد الثلاثي
=> NOC(51,119) = 3∙7∙17
والآن لنستخدم الطريقة الأولى:
*انظر إلى الفرق في الحسابات، في الحالة الأولى يوجد حد أدنى منها، لكن في الحالة الثانية تحتاج إلى العمل بشكل منفصل على قطعة من الورق، وحتى الكسر الذي تلقيته يحتاج إلى تقليل. يؤدي العثور على LOC إلى تبسيط العمل بشكل كبير.
مزيد من الأمثلة:
* وفي المثال الثاني يتضح ذلك أصغر عددالذي يقبل القسمة على 40 و 60 يساوي 120.
نتيجة! خوارزمية الحوسبة العامة!
- نقوم بتبسيط الكسور إلى كسور عادية إذا كان هناك جزء صحيح.
- نأتي بالكسور إلى مقام مشترك (أولاً ننظر إلى ما إذا كان المقام قابلاً للقسمة على آخر؛ وإذا كان قابلاً للقسمة، فإننا نضرب البسط والمقام لهذا الكسر الآخر؛ وإذا لم يكن قابلاً للقسمة، فإننا نتصرف باستخدام الطرق الأخرى المشار إليها أعلاه).
- بعد الحصول على كسور ذات قواسم متساوية نقوم بإجراء العمليات (الجمع والطرح).
- إذا لزم الأمر، نقوم بتقليل النتيجة.
- إذا لزم الأمر، حدد الجزء بأكمله.
2. منتج الكسور.
القاعدة بسيطة. عند ضرب الكسور، يتم ضرب بسطها ومقامها:
أمثلة:
مهمة. تم إحضار 13 طنًا من الخضار إلى القاعدة. تشكل البطاطس ¾ جميع الخضروات المستوردة. كم كيلوغراما من البطاطس تم إحضارها إلى القاعدة؟
دعونا ننتهي من القطعة.
*لقد وعدتك سابقًا أن أقدم لك شرحًا رسميًا للخاصية الرئيسية للكسر من خلال المنتج، من فضلك:
3. تقسيم الكسور.
تقسيم الكسور يأتي لضربها. من المهم أن نتذكر هنا أن الكسر الذي هو المقسوم عليه (الذي يتم القسمة عليه) يقلب ويتحول الإجراء إلى الضرب:
يمكن كتابة هذا الإجراء في شكل ما يسمى بالكسر المكون من أربعة طوابق، لأن القسمة ":" نفسها يمكن أيضًا كتابتها ككسر:
أمثلة:
هذا كل شئ! كل التوفيق لك!
مع خالص التقدير، الكسندر كروتيتسكيخ.
تعليمات
التخفيض إلى قاسم مشترك.
دع الكسور a/b و c/d مذكورة.
يتم ضرب بسط ومقام الكسر الأول في LCM/b
يتم ضرب بسط ومقام الكسر الثاني بـ LCM/d
يظهر مثال في الشكل.
لمقارنة الكسور، عليك جمعها مع مقام مشترك، ثم مقارنة البسطين. على سبيل المثال، 3/4< 4/5, см. .
جمع وطرح الكسور.
للعثور على مجموع كسرين عاديين، يجب إحضارهما إلى قاسم مشترك، ثم إضافة البسطين، وترك المقام دون تغيير. يظهر في الشكل مثال على إضافة الكسور 1/2 و1/3.
يتم إيجاد فرق الكسور بطريقة مماثلة؛ بعد إيجاد المقام المشترك، يتم طرح بسط الكسور، انظر الشكل.
عند ضرب الكسور العادية، يتم ضرب البسط والمقامات معًا.
من أجل تقسيم كسرين، من الضروري وجود كسر من الكسر الثاني، أي. قم بتغيير البسط والمقام، ثم اضرب الكسور الناتجة.
فيديو حول الموضوع
مصادر:
- الكسور الصف 5 باستخدام مثال
- مسائل الكسر الأساسية
وحدةيمثل قيمه مطلقهالتعبيرات. يتم استخدام الأقواس المستقيمة للإشارة إلى الوحدة النمطية. تعتبر القيم الواردة فيها modulo. الحل لهذه الوحدة هو توسيع الأقواس وفقًا لـ قواعد معينةوإيجاد مجموعة قيم التعبير. في معظم الحالات، يتم توسيع الوحدة النمطية بحيث يتلقى التعبير الفرعي سلسلة من الإيجابية و القيم السلبيةبما في ذلك القيمة صفر. واستنادًا إلى خصائص الوحدة هذه، يتم تجميع وحل المزيد من المعادلات والمتباينات في التعبير الأصلي.
تعليمات
اكتب المعادلة الأصلية بـ . للقيام بذلك، افتح الوحدة النمطية. النظر في كل تعبير submodular. حدد عند أي قيمة للكميات المجهولة الموجودة فيه يصبح التعبير الموجود بين قوسين معياريين صفرًا.
للقيام بذلك، قم بمساواة التعبير الجزئي بالصفر وإيجاد المعادلة الناتجة. اكتب القيم التي تجدها. وبنفس الطريقة، حدد قيم المتغير غير المعروف لكل وحدة فيه معادلة معينة.
ارسم خط الأعداد ورسم القيم الناتجة عليه. ستكون قيم المتغير في الوحدة الصفرية بمثابة قيود عند حل المعادلة المعيارية.
في المعادلة الأصلية، تحتاج إلى توسيع الوحدات المعيارية، وتغيير الإشارة بحيث تتوافق قيم المتغير مع تلك المعروضة على خط الأعداد. حل المعادلة الناتجة. تحقق من القيمة التي تم العثور عليها للمتغير مقابل القيد المحدد بواسطة الوحدة. إذا كان الحل يحقق الشرط فهو صحيح. يجب التخلص من الجذور التي لا تستوفي القيود.
وبالمثل، قم بتوسيع وحدات التعبير الأصلي، مع مراعاة الإشارة، وحساب جذور المعادلة الناتجة. اكتب جميع الجذور الناتجة التي تحقق متباينات القيود.
يمكن التعبير عن الأرقام الكسرية في بأشكال مختلفة القيمة الدقيقةكميات. يمكنك أن تفعل الشيء نفسه مع الكسور عمليات رياضيةكما هو الحال مع الأعداد الصحيحة: الطرح والجمع والضرب والقسمة. لتعلم اتخاذ القرار الكسوريجب أن نتذكر بعض ميزاتها. يعتمدون على النوع الكسور، وجود جزء صحيح، قاسم مشترك. بعض عمليات حسابيةبعد التنفيذ يحتاجون إلى تقليل الجزء الكسري من النتيجة.
سوف تحتاج
- - آلة حاسبة
تعليمات
انظر عن كثب إلى الأرقام. إذا كانت هناك كسور عشرية وغير منتظمة بين الكسور، في بعض الأحيان يكون من الملائم أكثر إجراء العمليات مع الكسور العشرية أولاً، ثم تحويلها إلى الشكل غير المنتظم. هل يمكنك الترجمة الكسورفي هذا النموذج في البداية، كتابة القيمة بعد العلامة العشرية في البسط ووضع 10 في المقام. إذا لزم الأمر، قم بتبسيط الكسر عن طريق قسمة الأرقام الموجودة بالأعلى والأسفل على مقسوم واحد. الكسور التي يتم فيها عزل الجزء بالكامل يجب تحويلها إلى الشكل الخاطئ عن طريق ضربها في المقام وإضافة البسط إلى النتيجة. ستصبح هذه القيمة البسط الجديد الكسور. لاختيار جزء كامل من جزء غير صحيح في البداية الكسور، تحتاج إلى قسمة البسط على المقام. اكتب النتيجة كاملة من الكسور. وسيصبح باقي القسمة هو البسط والمقام الجديد الكسورلا يتغير. بالنسبة للكسور التي تحتوي على جزء صحيح، من الممكن تنفيذ إجراءات بشكل منفصل، أولاً للعدد الصحيح ثم للأجزاء الكسرية. على سبيل المثال، يمكن حساب مجموع 1 2/3 و2 ¾:
- تحويل الكسور إلى الصورة الخاطئة:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12؛
- جمع الأجزاء الصحيحة والكسرية من المصطلحات بشكل منفصل:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
لأنه مع القيم الموجودة أسفل السطر، ابحث عن القاسم المشترك. على سبيل المثال، بالنسبة للعددين 5/9 و7/12، سيكون المقام المشترك 36. ولهذا، فإن البسط والمقام الأول الكسورتحتاج إلى الضرب في 4 (تحصل على 28/36)، والثاني - في 3 (تحصل على 15/36). الآن يمكنك إجراء الحسابات.
إذا كنت ستقوم بحساب مجموع الكسور أو الفرق بينها، فاكتب أولًا المقام المشترك الموجود تحت السطر. ينفذ الإجراءات اللازمةبين البسطين، واكتب النتيجة فوق السطر الجديد الكسور. وبالتالي، سيكون البسط الجديد هو الفرق أو مجموع بسطي الكسور الأصلية.
لحساب حاصل ضرب الكسور، اضرب بسط الكسور واكتب النتيجة بدلاً من بسط العدد النهائي الكسور. افعل نفس الشيء بالنسبة للمقامات. عند تقسيم واحد الكسوراكتب كسرًا واحدًا على الآخر، ثم اضرب بسطه في مقام الكسر الثاني. وفي هذه الحالة القاسم الأول الكسورمضروبا وفقا لذلك في البسط الثاني. وفي هذه الحالة يحدث نوع من الثورة الكسور(المقسوم عليه). سيكون الكسر الأخير نتيجة ضرب البسط والمقامين لكلا الكسرين. ليس من الصعب التعلم الكسور، مكتوبة في الحالة على شكل "أربعة طوابق" الكسور. إذا كان يفرق بين اثنين الكسور، أعد كتابتها باستخدام الفاصل ":" واستمر تقسيم منتظم.
للحصول على النتيجة النهائيةقلل الكسر الناتج عن طريق قسمة البسط والمقام على عدد صحيح واحد، وهو أكبر عدد ممكن في هذه الحالة. في هذه الحالة، يجب أن تكون هناك أعداد صحيحة أعلى الخط وتحته.
ملحوظة
لا تقم بإجراء العمليات الحسابية مع الكسور التي تختلف مقاماتها. اختر رقمًا بحيث عندما تضرب بسط ومقام كل كسر به، تكون النتيجة أن مقامي الكسرين متساويان.
عند التسجيل أرقام كسريةيتم كتابة الأرباح فوق السطر. يتم تعيين هذه الكمية كبسط للكسر. يُكتب المقسوم عليه أو مقامه أسفل السطر. على سبيل المثال، سيتم كتابة كيلو ونصف من الأرز في صورة كسر بالطريقة الآتية: ½ كيلو أرز. إذا كان مقام الكسر 10، يسمى الكسر عددًا عشريًا. في هذه الحالة، يُكتب البسط (العائد) على يمين الجزء بأكمله، مفصولاً بفاصلة: 1.5 كجم من الأرز. ولتسهيل الحساب، يمكن دائمًا كتابة هذا الكسر في شكل خاطئ: 1 2/10 كيلو بطاطس. للتبسيط، يمكنك تقليل قيم البسط والمقام عن طريق قسمتهما على عدد صحيح واحد. في في هذا المثاليمكن القسمة على 2. وستكون النتيجة 1 1/5 كجم من البطاطس. تأكد من أن الأرقام التي ستقوم بإجراء العمليات الحسابية بها معروضة بنفس الشكل.
تعليمات
انقر مرة واحدة على عنصر القائمة "إدراج"، ثم حدد "الرمز". هذا هو واحد من أكثر طرق بسيطةإدراج الكسورفي النص. وهو يتألف مما يلي. تتضمن مجموعة الرموز الجاهزة الكسور. عددهم، كقاعدة عامة، صغير، ولكن إذا كنت بحاجة إلى الكتابة في النص بدلا من 1/2، فسيكون هذا الخيار هو الأمثل بالنسبة لك. بالإضافة إلى ذلك، قد يعتمد عدد أحرف الكسر على الخط. على سبيل المثال، بالنسبة للخط Times New Roman، هناك كسور أقل قليلاً من نفس Arial. قم بتنويع الخطوط للعثور على الخيار الأفضل عندما يتعلق الأمر بذلك تعبيرات بسيطة.
انقر فوق عنصر القائمة "إدراج" وحدد العنصر الفرعي "كائن". ستظهر أمامك نافذة تحتوي على قائمة بالكائنات التي يمكن إدراجها. اختر من بينها Microsoft Equation 3.0. هذا التطبيق سوف يساعدك على الكتابة الكسور. وليس فقط الكسور، ولكنها معقدة أيضًا التعبيرات الرياضية، تحتوي على مختلف الدوال المثلثيةوعناصر أخرى. انقر نقرًا مزدوجًا فوق هذا الكائن باستخدام زر الماوس الأيسر. ستظهر أمامك نافذة تحتوي على العديد من الرموز.
لطباعة كسر، حدد الرمز الذي يمثل كسرًا ببسط ومقام فارغين. اضغط عليها مرة واحدة بزر الفأرة الأيسر. ستظهر قائمة إضافية توضح المخطط نفسه. الكسور. قد يكون هناك عدة خيارات. اختر الخيار الذي يناسبك وانقر عليه مرة واحدة بزر الفأرة الأيسر.
تعتبر الأمثلة مع الكسور أحد العناصر الأساسية للرياضيات. هناك العديد من أنواع مختلفةالمعادلات مع الكسور. في الأسفل يكون تعليمات مفصلةلحل أمثلة من هذا النوع.
كيفية حل الأمثلة بالكسور - القواعد العامة
لحل أمثلة الكسور من أي نوع، سواء كان ذلك الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة، تحتاج إلى معرفة القواعد الأساسية:
- من أجل إضافة تعبيرات كسرية بنفس المقام (المقام هو الرقم الموجود في أسفل الكسر، والبسط في الأعلى)، تحتاج إلى إضافة البسطين وترك المقام كما هو.
- من أجل طرح تعبير كسري ثانٍ (بنفس المقام) من كسر واحد، عليك طرح البسطين وترك المقام كما هو.
- لجمع أو طرح كسور ذات مقامات مختلفة، عليك إيجاد المقام المشترك الأصغر.
- من أجل العثور على المنتج الكسري، تحتاج إلى ضرب البسط والمقامات، وإذا أمكن، تقليلها.
- لتقسيم كسر على كسر، عليك ضرب الكسر الأول في الكسر الثاني المعكوس.
كيفية حل الأمثلة مع الكسور - التدريب
القاعدة 1، المثال 1:
احسب 3/4 +1/4.
وفقًا للقاعدة 1، إذا كان هناك كسران (أو أكثر) لهما نفس المقام، فما عليك سوى إضافة بسطيهما. نحصل على: 3/4 + 1/4 = 4/4. إذا كان الكسر له نفس البسط والمقام، فإن الكسر يساوي 1.
الجواب: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.
القاعدة 2، المثال 1:
احسب: 3/4 – 1/4
باستخدام القاعدة رقم 2، لحل هذه المعادلة عليك طرح 1 من 3 وترك المقام كما هو. نحصل على 2/4. وبما أنه يمكن اختزال اثنين 2 و4، فإننا نختصر ونحصل على 1/2.
الجواب: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.
القاعدة 3، المثال 1
احسب: 3/4 + 1/6
الحل: باستخدام القاعدة الثالثة، نجد المقام المشترك الأصغر. القاسم المشترك الأصغر هو العدد الذي يقبل القسمة على مقامات الكل التعبيرات الكسريةمثال. وبالتالي، نحن بحاجة إلى العثور على الحد الأدنى للرقم الذي سيكون قابلا للقسمة على كل من 4 و 6. هذا الرقم هو 12. نكتب 12 كمقام نقسم 12 على مقام الكسر الأول، نحصل على 3، نضرب في 3، نكتب. 3 في البسط *3 وعلامة +. نقسم 12 على مقام الكسر الثاني، نحصل على 2، نضرب 2 في 1، نكتب 2*1 في البسط. لذلك، اتضح جزء جديدبمقام يساوي 12 وبسط يساوي 3*3+2*1=11. 11/12.
الجواب: 11/12
القاعدة 3، المثال 2:
احسب 3/4 - 1/6. هذا المثال مشابه جدًا للمثال السابق. نقوم بنفس الخطوات، ولكن في البسط بدلًا من علامة +، نكتب علامة الطرح. نحصل على: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.
الجواب: 7/12
القاعدة 4، المثال 1:
احسب: 3/4 * 1/4
باستخدام القاعدة الرابعة، نضرب مقام الكسر الأول في مقام الثاني، وبسط الكسر الأول في بسط الثاني. 3*1/4*4 = 3/16.
الجواب: 16/3
القاعدة 4، المثال 2:
احسب 2/5 * 10/4.
يمكن تقليل هذا الجزء. في حالة المنتج، يتم إلغاء بسط الكسر الأول ومقام الثاني وبسط الكسر الثاني ومقام الأول.
2 تلغي من 4. 10 تلغي من 5. نحصل على 1 * 2/2 = 1 * 1 = 1.
الجواب: 2/5 * 10/4 = 1
القاعدة 5، المثال 1:
احسب: 3/4: 5/6
وباستخدام القاعدة الخامسة نحصل على: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. نقوم بتبسيط الكسر وفقًا لمبدأ المثال السابق ونحصل على 9/10.
الجواب: 9/10.
كيفية حل الأمثلة بالكسور - المعادلات الكسرية
المعادلات الكسرية هي أمثلة حيث يحتوي المقام على مجهول. من أجل حل هذه المعادلة، تحتاج إلى استخدام قواعد معينة.
لنلقي نظرة على مثال:
حل المعادلة 15/3س+5 = 3
دعونا نتذكر أنه لا يمكنك القسمة على صفر، أي. يجب ألا تكون قيمة المقام صفرًا. عند حل مثل هذه الأمثلة يجب الإشارة إلى ذلك. لهذا الغرض، هناك OA (نطاق القيمة المسموح بها).
إذن 3x+5 ≠ 0.
وبالتالي: 3x ≠ 5.
س ≠ 5/3
عند x = 5/3، لا يوجد للمعادلة حل.
بعد الإشارة إلى ODZ، في أفضل طريقة ممكنةيقرر معادلة معينةسوف تتخلص من الكسور. للقيام بذلك، نقدم أولًا جميع القيم غير الكسرية على شكل كسر، وهو في هذه الحالة الرقم 3. نحصل على: 15/(3x+5) = 3/1. للتخلص من الكسور تحتاج إلى ضرب كل منها في المقام المشترك الأصغر. في هذه الحالة سيكون (3x+5)*1. التسلسل:
- اضرب 15/(3x+5) في (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
- افتح القوسين: 15*(3س+5) = 45س + 75.
- نفعل الشيء نفسه مع الطرف الأيمن من المعادلة: 3*(3x+5) = 9x + 15.
- مساواة الجانبين الأيسر والأيمن: 45س + 75 = 9س +15
- حرك علامة X إلى اليسار، والأرقام إلى اليمين: 36x = – 50
- أوجد س: س = -50/36.
- نقوم بالتقليل: -50/36 = -25/18
الجواب: ODZ x ≠ 5/3. س = -25/18.
كيفية حل الأمثلة بالكسور - المتباينات الكسرية
يتم حل المتباينات الكسرية من النوع (3x-5)/(2-x)≥0 باستخدام محور الأعداد. دعونا ننظر إلى هذا المثال.
التسلسل:
- نحن نساوي البسط والمقام بالصفر: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
2. 2-س=0 => س=2 - نرسم محور الأعداد ونكتب القيم الناتجة عليه.
- ارسم دائرة تحت القيمة. هناك نوعان من الدوائر - المملوءة والفارغة. تعني الدائرة المملوءة أن القيمة المحددة تقع ضمن نطاق الحل. تشير الدائرة الفارغة إلى أن هذه القيمة غير مضمنة في منطقة الحل.
- لأن القاسم لا يمكن أن يكون يساوي الصفر، تحت الثانية ستكون هناك دائرة فارغة.
- لتحديد العلامات، نعوض بأي رقم أكبر من اثنين في المعادلة، على سبيل المثال 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. القيمة سالبة، مما يعني أننا نكتب علامة ناقص فوق المساحة التي تقع بعد الاثنين. ثم استبدل X بأي قيمة للفاصل الزمني من 5/3 إلى 2، على سبيل المثال 1. وتكون القيمة سالبة مرة أخرى. نكتب ناقص. نكرر الأمر نفسه مع المساحة الواقعة حتى 5/3. نعوض بأي رقم أقل من 5/3، على سبيل المثال 1. ومرة أخرى، ناقص.
- نظرًا لأننا مهتمون بقيم x التي يكون عندها التعبير أكبر من أو يساوي 0، ولا توجد مثل هذه القيم (في كل مكان توجد سلبيات)، فإن هذه المتضاربة ليس لها حل، أي x = Ø (مجموعة فارغة).
الجواب: س = Ø