ضرب عدد أولي في كسر. كيفية ضرب ثلاثة كسور عادية أو أكثر

في آخر مرةلقد تعلمنا كيفية جمع وطرح الكسور (راجع الدرس "جمع وطرح الكسور"). معظم لحظة صعبةتضمنت تلك الإجراءات جلب الكسور إلى قاسم مشترك.

الآن حان الوقت للتعامل مع الضرب والقسمة. أخبار جيدةهو أن هذه العمليات أبسط من الجمع والطرح. أولا، دعونا ننظر أبسط حالةعندما يكون هناك اثنان الكسور الإيجابيةبدون الجزء الكامل المحدد.

لضرب كسرين، يجب عليك ضرب بسطهما ومقاميهما بشكل منفصل. الرقم الأول سيكون البسط جزء جديد، والثاني هو القاسم.

لتقسيم كسرين، عليك ضرب الكسر الأول في الكسر الثاني "المقلوب".

تعيين:

ويترتب على التعريف أن تقسيم الكسور يؤدي إلى الضرب. "لقلب" الكسر، ما عليك سوى تبديل البسط والمقام. لذلك، طوال الدرس سننظر بشكل أساسي في الضرب.

نتيجة للضرب، يمكن أن ينشأ جزء قابل للاختزال (وغالبا ما ينشأ) - بالطبع، يجب تخفيضه. إذا تبين بعد كل التخفيضات أن الكسر غير صحيح، فيجب تسليط الضوء على الجزء بأكمله. لكن ما لن يحدث بالتأكيد مع الضرب هو الاختزال إلى قاسم مشترك: لا توجد طرق متقاطعة، العوامل الأكبر والمضاعفات المشتركة الأصغر.

حسب التعريف لدينا:

ضرب الكسور بالأجزاء الكاملة والكسور السالبة

إذا كانت الكسور تحتوي على جزء صحيح، فيجب تحويلها إلى أجزاء غير صحيحة - وعندها فقط يتم ضربها وفقًا للمخططات الموضحة أعلاه.

إذا كان هناك ناقص في بسط الكسر أو في المقام أو أمامه، فيمكن إخراجه من الضرب أو حذفه نهائياً وفق القواعد الآتية:

1. زائد بواسطة ناقص يعطي ناقص؛
2. اثنين من السلبيات تجعل الإيجابية.

حتى الآن، تم مواجهة هذه القواعد فقط في الجمع والطرح. الكسور السلبيةعندما كان من الضروري التخلص من جزء كامل. بالنسبة للعمل، يمكن تعميمها من أجل "حرق" العديد من العيوب في وقت واحد:

1. نقوم بشطب السلبيات في أزواج حتى تختفي تمامًا. في الحالات القصوى، يمكن أن يبقى واحد ناقص - الشخص الذي لم يكن هناك رفيقة؛
2. إذا لم يكن هناك أي سلبيات متبقية، فقد اكتملت العملية - يمكنك البدء في الضرب. وإذا لم يتم شطب الطرح الأخير، لعدم وجود زوج له، أخرجناه من حدود الضرب. والنتيجة هي جزء سلبي.

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

نقوم بتحويل جميع الكسور إلى كسور غير حقيقية، ثم نحذف السالب من الضرب. نحن نضاعف ما تبقى القواعد العادية. نحصل على:

اسمحوا لي أن أذكرك مرة أخرى أن الطرح الذي يظهر أمام الكسر مع الجزء الكامل المميز يشير على وجه التحديد إلى الكسر بأكمله، وليس فقط الجزء بأكمله (وهذا ينطبق على المثالين الأخيرين).

لاحظ أيضا أرقام سلبية: عند الضرب، يتم وضعها بين قوسين. يتم ذلك من أجل فصل السالب عن علامات الضرب وجعل التدوين بأكمله أكثر دقة.

تقليل الكسور على الطاير

الضرب هو عملية كثيفة العمالة للغاية. الأرقام هنا كبيرة جدًا، ولتبسيط المشكلة، يمكنك محاولة تقليل الكسر بشكل أكبر قبل الضرب. في الواقع، في جوهرها، تعتبر بسط ومقامات الكسور عوامل عادية، وبالتالي يمكن اختزالها باستخدام الخاصية الأساسية للكسر. ألق نظرة على الأمثلة:

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

حسب التعريف لدينا:

وفي جميع الأمثلة، يتم تحديد الأعداد التي تم تخفيضها وما تبقى منها باللون الأحمر.

يرجى ملاحظة: في الحالة الأولى، تم تخفيض المضاعفات بالكامل. وتبقى في مكانها وحدات لا تحتاج عمومًا إلى كتابتها. في المثال الثاني، لم يكن من الممكن تحقيق التخفيض الكامل، لكن إجمالي عدد الحسابات انخفض.

ومع ذلك، لا تستخدم هذه التقنية أبدًا عند جمع وطرح الكسور! نعم، في بعض الأحيان توجد أرقام مماثلة تريد تقليلها فقط. هنا انظر:

لا يمكنك أن تفعل ذلك!

يحدث الخطأ لأنه عند الجمع، ينتج عن بسط الكسر مجموع، وليس حاصل ضرب الأرقام. لذلك، من المستحيل تطبيق الخاصية الأساسية للكسر، كما هو الحال في هذه الخاصية نحن نتحدث عنهعلى وجه التحديد حول ضرب الأرقام.

ببساطة لا توجد أسباب أخرى لتقليل الكسور، لذلك القرار الصحيح المهمة السابقةيبدو مثل هذا:

الحل الصحيح:

كما ترون، تبين أن الإجابة الصحيحة ليست جميلة جدا. بشكل عام، كن حذرا.

هناك عملية أخرى يمكن إجراؤها باستخدام الكسور العادية وهي الضرب. سنحاول شرح قواعده الأساسية عند حل المسائل، وإظهار كيفية ضرب الكسر العادي في عدد طبيعي وكيفية ضرب ثلاثة بشكل صحيح الكسور العاديةوأكثر.

دعونا أولا نكتب القاعدة الأساسية:

التعريف 1

إذا ضربنا كسرًا مشتركًا واحدًا، فسيكون بسط الكسر الناتج يساوي المنتجبسط الكسور الأصلية، والمقام هو حاصل ضرب مقاميها. بشكل حرفي، بالنسبة للكسرين a / b و c / d، يمكن التعبير عن ذلك بالشكل a b · c d = a · c b · d.

دعونا نلقي نظرة على مثال لكيفية تطبيق هذه القاعدة بشكل صحيح. لنفترض أن لدينا مربعًا طول ضلعه يساوي وحدة عددية واحدة. ثم ستكون مساحة الشكل 1 مربع. وحدة. إذا قمت بتقسيم المربع على مستطيلات متساويةمع جوانب تساوي 1 4 و 1 8 وحدات عددية، لدينا الآن أنها تتكون من 32 مستطيلًا (لأن 8 4 = 32). وعليه فإن مساحة كل منهما ستكون 1 32 من مساحة الشكل بأكمله، أي. 1 32 قدم مربع وحدات.

لدينا جزء مظلل جوانبه تساوي 58 وحدات عددية و34 وحدات عددية. وفقا لذلك، لحساب مساحتها، تحتاج إلى ضرب الكسر الأول بالثانية. ستكون مساوية لـ 5 8 · 3 4 متر مربع. وحدات. ولكن يمكننا ببساطة حساب عدد المستطيلات المضمنة في القطعة: هناك 15 منها، مما يعني المساحة الإجماليةهو 15 32 وحدة مربعة.

بما أن 5 3 = 15 و 8 4 = 32، فيمكننا كتابة المساواة التالية:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

إنه يؤكد القاعدة التي صاغناها لضرب الكسور العادية، والتي يتم التعبير عنها بـ a · c d = a · c b · d. إنه يعمل بنفس الطريقة بالنسبة للكسور الصحيحة وغير الصحيحة؛ يمكن استخدامه لضرب الكسور ذات المختلف والمختلف نفس القواسم.

دعونا نلقي نظرة على حلول العديد من المسائل التي تتضمن ضرب الكسور العادية.

مثال 1

اضرب 7 11 في 9 8.

حل

أولاً، دعونا نحسب حاصل ضرب البسطين الكسور المحددةبضرب 7 في 9. وصلنا 63 ثم نحسب حاصل ضرب المقامات ونحصل على: 11 · 8 = 88. دعونا نجمع رقمين والجواب هو: 63 88.

يمكن كتابة الحل بأكمله على النحو التالي:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

إجابة: 7 11 · 9 8 = 63 88.

إذا حصلنا على كسر قابل للاختزال في إجابتنا، فعلينا إكمال العملية الحسابية وإجراء اختزاله. إذا نجحنا جزء غير لائق، تحتاج إلى تحديد جزء كامل منه.

مثال 2

حساب منتج الكسور 4 15 و 55 6 .

حل

وفقًا للقاعدة المدروسة أعلاه، نحتاج إلى ضرب البسط في البسط، والمقام في المقام. سيبدو سجل الحل كما يلي:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

لقد حصلنا على جزء قابل للاختزال، أي. واحد يقبل القسمة على 10.

لنقم بتبسيط الكسر: 220 90 جي سي دي (220، 90) = 10، 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. ونتيجة لذلك، حصلنا على كسر غير حقيقي، نختار منه الجزء بأكمله ونحصل على رقم مختلط: 22 9 = 2 4 9.

إجابة: 4 15 55 6 = 2 4 9.

لسهولة الحساب، يمكننا أيضًا تبسيط الكسور الأصلية قبل إجراء عملية الضرب، والتي نحتاج من أجلها إلى تبسيط الكسر إلى الصورة a · c b · d. دعونا نحلل قيم المتغيرات إلى العوامل الأوليةوسوف نقوم بتقليل نفس تلك.

دعونا نشرح كيف يبدو هذا باستخدام بيانات من مهمة محددة.

مثال 3

احسب المنتج 4 15 55 6.

حل

دعونا نكتب العمليات الحسابية بناءً على قاعدة الضرب. سوف نحصل على:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

بما أن 4 = 2 2، 55 = 5 11، 15 = 3 5 و 6 = 2 3، إذن 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

إجابة: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

التعبير الرقمي، التي يتم فيها ضرب الكسور العادية، لها خاصية تبادلية، أي أنه يمكننا تغيير ترتيب العوامل إذا لزم الأمر:

أ ب · ج د = ج د · أ ب = أ · ج ب · د

كيفية ضرب الكسر بعدد طبيعي

دعونا نكتب القاعدة الأساسية على الفور، ثم نحاول شرحها عمليًا.

التعريف 2

لضرب كسر عادي في عدد طبيعي، عليك ضرب بسط هذا الكسر في هذا الرقم. في هذه الحالة، سيكون مقام الكسر النهائي يساوي المقامالكسر المشترك الأصلي. يمكن كتابة ضرب جزء معين a b بعدد طبيعي n بالصيغة a b · n = a · n b.

من السهل فهم هذه الصيغة إذا كنت تتذكر أنه يمكن تمثيل أي عدد طبيعي ككسر عادي بمقامه يساوي واحد، إنه:

أ ب · ن = أ ب · ن 1 = أ · ن ب · 1 = أ · ن ب

دعونا نشرح فكرتنا بأمثلة محددة.

مثال 4

احسب الناتج 2 27 ضرب 5.

حل

وبضرب بسط الكسر الأصلي في العامل الثاني، نحصل على 10. وبموجب القاعدة المذكورة أعلاه، سوف نحصل على 10 27 نتيجة لذلك. الحل كاملا موجود في هذه التدوينة:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

إجابة: 2 27 5 = 10 27

عندما نضرب عددًا طبيعيًا في كسر، فغالبًا ما يتعين علينا اختصار النتيجة أو تمثيلها كرقم مختلط.

مثال 5

الحالة: احسب الناتج 8 في 5 12.

حل

وفقا للقاعدة أعلاه، نضرب العدد الطبيعي في البسط. ونتيجة لذلك، نحصل على 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. الكسر الأخير لديه علامات القسمة على 2، لذلك نحن بحاجة إلى تقليله:

م م م (40، 12) = 4، إذن 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

الآن كل ما علينا فعله هو اختيار الجزء بأكمله وكتابة الإجابة الجاهزة: 3 10 = 3 1 3.

في هذا الإدخال يمكنك رؤية الحل بأكمله: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.

يمكننا أيضًا تبسيط الكسر عن طريق تحليل البسط والمقام، وستكون النتيجة هي نفسها تمامًا.

إجابة: 5 12 8 = 3 1 3.

التعبير العددي الذي يتم فيه ضرب عدد طبيعي بكسر له أيضًا خاصية الإزاحة، أي أن ترتيب العوامل لا يؤثر على النتيجة:

أ ب · ن = ن · أ ب = أ · ن ب

كيفية ضرب ثلاثة كسور عادية أو أكثر

يمكننا أن نمتد إلى عملية ضرب الكسور العادية بنفس الخصائص التي تتميز بها عملية ضرب الأعداد الطبيعية. وهذا يأتي من تعريف هذه المفاهيم.

بفضل معرفة خصائص التجميع والإبدال، يمكنك ضرب ثلاثة كسور عادية أو أكثر. ومن المقبول إعادة ترتيب العوامل لمزيد من الراحة أو ترتيب الأقواس بطريقة تسهل العد.

دعونا نعرض بمثال كيف يتم ذلك.

مثال 6

اضرب الكسور الأربعة المشتركة 1 20 و12 5 و3 7 و5 8.

الحل: أولاً، دعونا نسجل العمل. نحصل على 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . علينا ضرب كل البسط وكل المقامات معًا: 1 ​​20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

قبل أن نبدأ الضرب، يمكننا أن نسهل الأمور على أنفسنا قليلًا ونقوم بتحليل بعض الأعداد إلى عوامل أولية لمزيد من الاختزال. سيكون هذا أسهل من تقليل الكسر الناتج الجاهز بالفعل.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9,280

إجابة: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9,280.

مثال 7

اضرب 5 أرقام 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

حل

للراحة، يمكننا تجميع الكسر 7 8 مع الرقم 8، والرقم 12 مع الكسر 5 36، لأن الاختصارات المستقبلية ستكون واضحة لنا. ونتيجة لذلك سوف نحصل على:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 350 3 = 116 2 3

إجابة: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

§ 87. إضافة الكسور.

هناك العديد من أوجه التشابه بين إضافة الكسور وجمع الأعداد الصحيحة. إضافة الكسور هو إجراء يتكون من حقيقة أن عدة أرقام معينة (مصطلحات) يتم دمجها في رقم واحد (مجموع)، يحتوي على جميع الوحدات والكسور من وحدات المصطلحات.

وسنتناول ثلاث حالات تباعا:

1. جمع الكسور ذات المقامات المتشابهة.
2. إضافة الكسور مع قواسم مختلفة.
3. الإضافة أرقام مختلطة.

1. جمع الكسور ذات المقامات المتشابهة.

خذ مثالا: 1/5 + 2/5.

لنأخذ القطعة AB (الشكل 17)، ونعتبرها واحدة ونقسمها على 5 أجزاء متساوية، فإن الجزء AC من هذا المقطع سيكون مساويا لـ 1/5 من المقطع AB، وجزء من نفس المقطع CD سيكون مساويا لـ 2/5 AB.

ومن الرسم يتضح أننا إذا أخذنا القطعة AD فإنها تساوي 3/5 AB؛ لكن المقطع AD هو بالضبط مجموع المقطعين AC وCD. لذلك يمكننا أن نكتب:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

وبالنظر إلى هذه الحدود والمجموع الناتج، نرى أنه تم الحصول على بسط المجموع عن طريق إضافة بسط الحدود، وبقي المقام دون تغيير.

من هنا نحصل القاعدة التالية: لجمع كسور لها نفس المقامات، تحتاج إلى جمع بسطها وترك نفس المقام.

دعونا نلقي نظرة على مثال:

2. جمع الكسور ذات المقامات المختلفة.

دعونا نضيف الكسور: 3 / 4 + 3 / 8 أولاً يجب اختزالها إلى المقام المشترك الأصغر:

متوسطربما لم يتم كتابة 6/8 + 3/8؛ لقد كتبناها هنا من أجل الوضوح.

وبالتالي، لجمع الكسور ذات المقامات المختلفة، يجب عليك أولاً تقليلها إلى المقام المشترك الأصغر، وإضافة بسطها والإشارة إليها القاسم المشترك.

لنفكر في مثال (سنكتب عوامل إضافية فوق الكسور المقابلة):

3. جمع الأعداد الكسرية.

لنجمع الأرقام: 2 3/8 + 3 5/6.

دعونا أولاً نجمع الأجزاء الكسرية من أرقامنا إلى قاسم مشترك ونعيد كتابتها مرة أخرى:

الآن نقوم بإضافة الأجزاء الصحيحة والكسرية بالتسلسل:

§ 88. طرح الكسور.

يتم تعريف طرح الكسور بنفس طريقة طرح الأعداد الصحيحة. هذا إجراء يتم من خلاله العثور على حد آخر إذا كان مجموع حدين وأحدهما. ولنتأمل ثلاث حالات متتالية:

1. طرح الكسور ذات المقامات المتشابهة.
2. طرح الكسور ذات المقامات المختلفة.
3. طرح الأعداد الكسرية.

1. طرح الكسور ذات المقامات المتشابهة.

دعونا نلقي نظرة على مثال:

13 / 15 - 4 / 15

لنأخذ القطعة AB (الشكل 18)، ونأخذها كوحدة ونقسمها إلى 15 جزءًا متساويًا؛ فإن الجزء AC من هذا المقطع سيمثل 1/15 من AB، والجزء AD من نفس المقطع سوف يمثل 13/15 AB. دعونا نضع جانبا قطعة أخرى ED تساوي 4/15 AB.

نحن بحاجة إلى طرح الكسر 4/15 من 13/15. في الرسم، هذا يعني أنه يجب طرح القطعة ED من القطعة AD. ونتيجة لذلك، سيبقى الجزء AE، وهو 15/9 من الجزء AB. لذلك يمكننا أن نكتب:

يوضح المثال الذي قدمناه أنه تم الحصول على بسط الفرق عن طريق طرح البسطين، لكن المقام بقي كما هو.

لذلك، لطرح الكسور ذات المقامات المتشابهة، تحتاج إلى طرح بسط المطروح من بسط المطرح وترك نفس المقام.

2. طرح الكسور ذات المقامات المختلفة.

مثال. 3/4 - 5/8

أولاً، دعونا نختصر هذه الكسور إلى أصغر مقام مشترك:

الرابط الوسيط 6 / 8 - 5 / 8 مكتوب هنا للتوضيح، ولكن يمكن تخطيه من الآن فصاعدا.

وبالتالي، من أجل طرح كسر من الكسر، يجب عليك أولا تخفيضهما إلى المقام المشترك الأصغر، ثم طرح بسط الطرح من بسط الطرح وتوقيع المقام المشترك تحت الفرق بينهما.

دعونا نلقي نظرة على مثال:

3. طرح الأعداد الكسرية.

مثال. 10 3/4 - 7 2/3.

دعونا نختصر الأجزاء الكسرية من المطرح ونطرحها إلى المقام المشترك الأصغر:

لقد طرحنا عددًا صحيحًا من الكل وكسرًا من الكسر. ولكن هناك أوقات عندما جزء كسريالمطروح أكبر من الجزء الكسري من المطرح. في مثل هذه الحالات، من الضروري أن تأخذ وحدة واحدة من الجزء بأكمله من المينند، وتقسيمها إلى تلك الأجزاء التي يتم فيها التعبير عن الجزء الكسري، وإضافتها إلى الجزء الكسري من المينيوم. ومن ثم سيتم إجراء الطرح بنفس الطريقة كما في المثال السابق:

§ 89. ضرب الكسور.

عند دراسة ضرب الكسور سننظر في ذلك الأسئلة التالية:

1. ضرب الكسر في عدد صحيح.
2. العثور على جزء من رقم معين.
3. ضرب عدد صحيح في كسر.
4. ضرب الكسر في الكسر.
5. ضرب الأعداد الكسرية.
6. مفهوم الفائدة.
7. العثور على النسبة المئوية لرقم معين. دعونا نعتبرها بالتسلسل.

1. ضرب الكسر في عدد صحيح.

ضرب الكسر في عدد صحيح له نفس معنى ضرب عدد صحيح في عدد صحيح. إن ضرب كسر (مضاعف) بعدد صحيح (عامل) يعني إنشاء مجموع من المصطلحات المتطابقة، حيث يكون كل حد يساوي المضاعف، وعدد المصطلحات يساوي المضاعف.

هذا يعني أنه إذا كنت بحاجة إلى ضرب 1/9 في 7، فيمكن القيام بذلك على النحو التالي:

لقد حصلنا على النتيجة بسهولة، حيث تم اختصار الإجراء إلى إضافة كسور لها نفس المقامات. لذلك،

يوضح النظر في هذا الإجراء أن ضرب الكسر في عدد صحيح يعادل زيادة هذا الكسر بعدد مرات وجود وحدات في العدد الصحيح. وبما أن زيادة الكسر تتم إما بزيادة بسطه

أو بتقليل مقامه ، فيمكننا إما ضرب البسط بعدد صحيح أو قسمة المقام عليه، إذا كانت هذه القسمة ممكنة.

ومن هنا نحصل على القاعدة:

لضرب كسر في عدد صحيح، عليك ضرب البسط في هذا العدد الصحيح وترك المقام كما هو، أو إذا أمكن، قسمة المقام على هذا الرقم، مع ترك البسط دون تغيير.

عند الضرب، من الممكن استخدام الاختصارات، على سبيل المثال:

2. العثور على جزء من رقم معين.هناك العديد من المسائل التي يتعين عليك فيها العثور على جزء من رقم معين أو حسابه. الفرق بين هذه المسائل وغيرها هو أنها تعطي عدد بعض الأشياء أو وحدات القياس وتحتاج إلى العثور على جزء من هذا الرقم، والذي يشار إليه هنا أيضًا بكسر معين. ولتسهيل الفهم، سنقدم أولاً أمثلة على مثل هذه المشكلات، ثم نقدم طريقة لحلها.

المهمة 1.كان لدي 60 روبل. لقد أنفقت ثلث هذا المال على شراء الكتب. كم كانت تكلفة الكتب؟

المهمة 2.يجب أن يقطع القطار مسافة بين المدينتين A وB تساوي 300 كيلومتر. لقد قطع بالفعل ثلثي هذه المسافة. كم كيلومترا هذا؟

المهمة 3.يوجد في القرية 400 منزل، ثلاثة أرباعها من الطوب والباقي من الخشب. كم عدد المنازل المبنية من الطوب في المجموع؟

هذه بعض من المسائل العديدة التي نواجهها والتي تتضمن إيجاد جزء من عدد معين. يطلق عليها عادة مشاكل للعثور على جزء من رقم معين.

حل المشكلة 1.من 60 فرك. لقد أنفقت الثلث على الكتب. هذا يعني أنه للعثور على تكلفة الكتب، عليك تقسيم الرقم 60 على 3:

حل المشكلة 2.الهدف من المشكلة هو أنك بحاجة إلى العثور على ثلثي 300 كيلومتر. دعونا أولا نحسب 1/3 من 300؛ ويتم تحقيق ذلك بتقسيم 300 كيلومتر على 3:

300: 3 = 100 (أي 1/3 من 300).

للعثور على ثلثي 300، تحتاج إلى مضاعفة الناتج الناتج، أي الضرب في 2:

100 × 2 = 200 (أي 2/3 من 300).

حل المشكلة 3.هنا تحتاج إلى تحديد عدد المنازل المبنية من الطوب التي تشكل 3/4 من 400. دعونا أولاً نوجد 1/4 من 400،

400: 4 = 100 (أي 1/4 من 400).

ل حسابات الثلاثةأرباع 400، يجب مضاعفة الناتج ثلاث مرات، أي مضروبًا في 3:

100 × 3 = 300 (أي 3/4 من 400).

وبناء على حل هذه المشاكل يمكننا استخلاص القاعدة التالية:

للعثور على قيمة الكسر من رقم معين، تحتاج إلى قسمة هذا الرقم على مقام الكسر وضرب الناتج الناتج في بسطه.

3. ضرب عدد صحيح في كسر.

في وقت سابق (الفقرة 26) ثبت أن ضرب الأعداد الصحيحة يجب أن يُفهم على أنه إضافة مصطلحات متطابقة (5 × 4 = 5+5 +5+5 = 20). ثبت في هذه الفقرة (النقطة 1) أن ضرب الكسر بعدد صحيح يعني إيجاد مجموع الحدود المتطابقة يساوي هذا الكسر.

في كلتا الحالتين، كان الضرب عبارة عن إيجاد مجموع الحدود المتطابقة.

ننتقل الآن إلى ضرب عدد صحيح في كسر. سنواجه هنا، على سبيل المثال، الضرب: 9 2 / 3. ومن الواضح أن التعريف السابق للضرب لا ينطبق على هذه الحالة. وهذا واضح من أننا لا نستطيع استبدال هذا الضرب بإضافة أعداد متساوية.

ولهذا السبب، سيتعين علينا تقديم تعريف جديد للضرب، أي بمعنى آخر، الإجابة على سؤال ما الذي يجب أن يُفهم من الضرب في الكسر، وكيف ينبغي فهم هذا الإجراء.

تم توضيح معنى ضرب عدد صحيح في كسر التعريف التالي: ضرب عدد صحيح (مضاعف) بكسر (مضاعف) يعني إيجاد هذا الكسر من المضاعف.

أي أن ضرب 9 في 2/3 يعني إيجاد 2/3 من تسع وحدات. وفي الفقرة السابقة تم حل مثل هذه المشاكل؛ لذلك من السهل معرفة أننا سنحصل في النهاية على العدد 6.

ولكن الآن هناك مثيرة للاهتمام و سؤال مهم: لماذا هم هكذا للوهلة الأولى؟ إجراءات مختلفةكيفية العثور على المبلغ أعداد متساويةوإيجاد كسور الأعداد في علم الحساب تسمى نفس الكلمة "الضرب"؟

يحدث هذا لأن الإجراء السابق (تكرار الرقم مع المصطلحات عدة مرات) والإجراء الجديد (العثور على جزء من الرقم) يعطي إجابات لأسئلة متجانسة. وهذا يعني أننا ننطلق هنا من اعتبارات أن الأسئلة أو المهام المتجانسة يتم حلها بنفس الإجراء.

لفهم هذا، فكر في المشكلة التالية: "1 متر من القماش يكلف 50 روبل. كم ستكون تكلفة 4 م من هذا القماش؟

ويتم حل هذه المشكلة بضرب عدد الروبل (50) في عدد الأمتار (4)، أي 50 × 4 = 200 (روبل).

لنأخذ نفس المشكلة، ولكن سيتم التعبير عن كمية القماش فيها ككسر: "1 متر من القماش يكلف 50 روبل. كم سيكلف 3/4 م من هذا القماش؟

يجب أيضًا حل هذه المشكلة بضرب عدد الروبل (50) في عدد الأمتار (3/4).

يمكنك تغيير الأرقام الموجودة فيه عدة مرات، دون تغيير معنى المشكلة، على سبيل المثال، خذ 9/10 م أو 2 3/10 م، إلخ.

نظرًا لأن هذه المشكلات لها نفس المحتوى وتختلف فقط في الأرقام، فإننا نسمي الإجراءات المستخدمة في حلها نفس الكلمة - الضرب.

كيف يمكنك ضرب عدد صحيح في كسر؟

لنأخذ الأرقام التي تمت مواجهتها في المشكلة الأخيرة:

وفقا للتعريف، يجب أن نجد 3/4 من 50. دعونا أولا نجد 1/4 من 50، ثم 3/4.

1/4 من 50 هو 50/4؛

3/4 من العدد 50 هو .

لذلك.

لنفكر في مثال آخر: 12 5 / 8 =؟

1/8 من العدد 12 هو 12/8،

5/8 من العدد 12 هو .

لذلك،

ومن هنا نحصل على القاعدة:

لضرب عدد صحيح في كسر، تحتاج إلى ضرب العدد الصحيح في بسط الكسر وجعل هذا الناتج هو البسط، وتوقيع مقام هذا الكسر على أنه المقام.

لنكتب هذه القاعدة باستخدام الحروف:

لتوضيح هذه القاعدة تمامًا، يجب أن نتذكر أنه يمكن اعتبار الكسر بمثابة خارج القسمة. لذلك، من المفيد مقارنة القاعدة التي تم العثور عليها مع قاعدة ضرب الرقم في حاصل القسمة، والتي تم تحديدها في الفقرة 38

من المهم أن تتذكر أنه قبل إجراء الضرب، يجب عليك القيام (إن أمكن) التخفيضات، على سبيل المثال:

4. ضرب الكسر في الكسر.إن ضرب الكسر بكسر له نفس معنى ضرب عدد صحيح بكسر، أي عند ضرب الكسر بكسر، تحتاج إلى العثور على الكسر الموجود في العامل من الكسر الأول (المضاعف).

أي أن ضرب 3/4 في 1/2 (النصف) يعني إيجاد نصف 3/4.

كيف يمكنك ضرب الكسر في الكسر؟

لنأخذ مثالاً: 3/4 مضروبًا في 5/7. هذا يعني أنك بحاجة إلى العثور على 5/7 من 3/4. دعونا أولا نجد 1/7 من 3/4، ثم 5/7

سيتم التعبير عن 1/7 من الرقم 3/4 على النحو التالي:

سيتم التعبير عن أرقام 5/7 3/4 على النحو التالي:

هكذا،

مثال آخر: 5/8 مضروبًا في 4/9.

1/9 من 5/8 هو ،

4/9 من العدد 5/8 هو .

هكذا،

ومن هذه الأمثلة يمكن استنتاج القاعدة التالية:

لضرب كسر في كسر، تحتاج إلى ضرب البسط في البسط، والمقام في المقام، وجعل المنتج الأول هو البسط، والمنتج الثاني هو مقام المنتج.

هذه هي القاعدة في منظر عاميمكن كتابتها مثل هذا:

عند الضرب، من الضروري إجراء تخفيضات (إن أمكن). دعونا نلقي نظرة على الأمثلة:

5. ضرب الأعداد الكسرية.نظرًا لأنه من السهل استبدال الأعداد الكسرية بكسور غير حقيقية، يُستخدم هذا الظرف عادةً عند ضرب الأعداد الكسرية. وهذا يعني أنه في الحالات التي يتم فيها التعبير عن المضاعف أو المضاعف أو كلا العاملين كأرقام كسرية، يتم استبدالها بكسور غير صحيحة. لنضرب، على سبيل المثال، الأعداد الكسرية: 2 1/2 و3 1/5. لنحول كل واحد منهم إلى كسر غير فعلي ثم نضرب الكسور الناتجة وفقًا لقاعدة ضرب الكسر في الكسر:

قاعدة.لضرب الأعداد الكسرية، يجب عليك أولًا تحويلها إلى كسور غير حقيقية ثم ضربها وفقًا لقاعدة ضرب الكسور في الكسور.

ملحوظة.إذا كان أحد العوامل عددًا صحيحًا، فيمكن إجراء الضرب بناءً على قانون التوزيع كما يلي:

6. مفهوم الفائدة.عند حل المسائل وإجراء العمليات الحسابية المختلفة، نستخدم جميع أنواع الكسور. ولكن يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن العديد من الكميات لا تسمح بأي تقسيمات طبيعية لها. على سبيل المثال، يمكنك أن تأخذ جزءًا من مائة (1/100) من الروبل، وسيكون كوبيك، ومائتان يساوي 2 كوبيل، وثلاثمائة يساوي 3 كوبيل. يمكنك أن تأخذ 1/10 من الروبل، سيكون "10 كوبيل، أو قطعة من عشرة كوبيك. يمكنك أن تأخذ ربع روبل، أي 25 كوبيل، نصف روبل، أي 50 كوبيل (خمسين كوبيل). لكن عمليا لا يأخذونها، على سبيل المثال، 2/7 من الروبل، لأن الروبل غير مقسم إلى سبعة.

وحدة الوزن، أي الكيلوجرام، تسمح في المقام الأول بالتقسيم العشري، على سبيل المثال 1/10 كجم، أو 100 جرام، وأجزاء الكيلوجرام مثل 1/6، 1/11، 1/13 ليست شائعة.

بشكل عام، تكون مقاييسنا (المترية) عشرية وتسمح بالتقسيم العشري.

ومع ذلك، تجدر الإشارة إلى أنه من المفيد والمريح للغاية في مجموعة واسعة من الحالات استخدام نفس الطريقة (الموحدة) لتقسيم الكميات. لقد أظهرت سنوات عديدة من الخبرة أن مثل هذا التقسيم المبرر هو القسم "المائة". دعونا نفكر في عدة أمثلة تتعلق بمجالات الممارسة الإنسانية الأكثر تنوعًا.

1.انخفاض أسعار الكتب بنسبة 12/100 من السعر السابق.

مثال. كان السعر السابق للكتاب 10 روبل. انخفض بمقدار 1 روبل. 20 كوبيل

2. تدفع بنوك الادخار للمودعين 2/100 من المبلغ المودع للادخار خلال العام.

مثال. يتم إيداع 500 روبل في السجل النقدي، والدخل من هذا المبلغ لهذا العام هو 10 روبل.

3. بلغ عدد الخريجين من المدرسة الواحدة 5/100 من إجمالي عدد الطلاب.

مثال كان عدد الطلاب في المدرسة 1200 طالب فقط، وتخرج منهم 60 طالبًا.

الجزء المائة من الرقم يسمى النسبة المئوية.

كلمة "النسبة المئوية" مستعارة من اللغة اللاتينيةوجذره "سنت" يعني مائة. جنبا إلى جنب مع حرف الجر (pro Centum)، تعني هذه الكلمة "لمئة". معنى مثل هذا التعبير يأتي من حقيقة أنه في البداية روما القديمةوكانت الفائدة هي المال الذي يدفعه المدين للمقرض "عن كل مائة". تُسمع كلمة "سنت" بكلمات مألوفة: سنتنر (مائة كيلوغرام)، سنتيمتر (على سبيل المثال سنتيمتر).

على سبيل المثال، بدلاً من القول إن المصنع أنتج خلال الشهر الماضي 1/100 من جميع المنتجات التي أنتجها كانت معيبة، سنقول هذا: خلال الشهر الماضي أنتج المصنع واحداً بالمائة من العيوب. بدلًا من أن تقول: أنتج المصنع 4/100 منتجًا إضافيًا الخطة الموضوعةسنقول: المصنع تجاوز الخطة بنسبة 4 بالمائة.

يمكن التعبير عن الأمثلة المذكورة أعلاه بشكل مختلف:

1. انخفاض أسعار الكتب بنسبة 12 بالمائة عن السعر السابق.

2. تدفع بنوك الادخار للمودعين 2 في المائة سنويًا على المبلغ المودع في المدخرات.

3. بلغ عدد خريجي المدرسة الواحدة 5% من إجمالي طلاب المدرسة.

ولتقصير الحرف، جرت العادة على كتابة الرمز % بدلاً من كلمة "النسبة المئوية".

ومع ذلك، عليك أن تتذكر أنه في العمليات الحسابية، عادة لا يتم كتابة علامة %؛ ويمكن كتابتها في بيان المشكلة وفي النتيجة النهائية. عند إجراء العمليات الحسابية، تحتاج إلى كتابة كسر بمقام 100 بدلاً من رقم صحيح بهذا الرمز.

يجب أن تكون قادرًا على استبدال عدد صحيح بالرمز المشار إليه بكسر مقامه 100:

على العكس من ذلك، عليك أن تعتاد على كتابة عدد صحيح بالرمز المشار إليه بدلا من الكسر بمقام 100:

7. العثور على النسبة المئوية لرقم معين.

المهمة 1.استلمت المدرسة 200 متر مكعب. م من الحطب، مع حطب البتولا يمثل 30٪. كم كان هناك حطب البتولا؟

معنى هذه المشكلة هو أن حطب البتولا لا يشكل سوى جزء من الحطب الذي تم تسليمه إلى المدرسة، ويتم التعبير عن هذا الجزء بالكسر 30/100. هذا يعني أن لدينا مهمة العثور على جزء من الرقم. لحلها، يجب علينا ضرب 200 في 30/100 (يتم حل مشاكل العثور على جزء من الرقم عن طريق ضرب الرقم في الكسر).

وهذا يعني أن 30% من 200 يساوي 60.

يمكن تقليل الكسر 30/100 الموجود في هذه المشكلة بمقدار 10. وسيكون من الممكن القيام بهذا التخفيض من البداية؛ حل المشكلة لن يتغير.

المهمة 2.كان هناك 300 طفل في المخيم الأعمار المختلفة. الأطفال بعمر 11 سنة يشكلون 21%، الأطفال بعمر 12 سنة يشكلون 61% وأخيراً الأطفال بعمر 13 سنة يشكلون 18%. كم عدد الأطفال من كل الأعمار الموجودين في المخيم؟

في هذه المسألة تحتاج إلى إجراء ثلاث عمليات حسابية، أي إيجاد عدد الأطفال بعمر 11 عامًا، ثم 12 عامًا، وأخيرًا 13 عامًا، بشكل تسلسلي.

هذا يعني أنك ستحتاج هنا إلى العثور على كسر الرقم ثلاث مرات. دعونا نفعل هذا:

1) كم عدد الأطفال بعمر 11 سنة؟

2) كم عدد الأطفال الذين يبلغون من العمر 12 عامًا؟

3) كم عدد الأطفال الذين يبلغون من العمر 13 عامًا؟

بعد حل المشكلة، من المفيد إضافة الأرقام الموجودة؛ يجب أن يكون مجموعهم 300:

63 + 183 + 54 = 300

وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن مجموع النسب المئوية الواردة في بيان المشكلة هو 100:

21% + 61% + 18% = 100%

وهذا يوحي بذلك العدد الإجماليتم أخذ الأطفال في المخيم بنسبة 100٪.

3 أ د أ أ 3.تلقى العامل 1200 روبل شهريا. ومن هذا المبلغ، أنفق 65% على الطعام، و6% على الشقق والتدفئة، و4% على الغاز والكهرباء والراديو، و10% على الاحتياجات الثقافية، وادخر 15%. ما مقدار الأموال التي تم إنفاقها على الاحتياجات الموضحة في المشكلة؟

لحل هذه المشكلة، عليك إيجاد الكسر 1200 5 مرات.

1) كم من المال أنفق على الطعام؟ المشكلة تقول أن هذه النفقات تمثل 65% من إجمالي الأرباح، أي 65/100 من الرقم 1200، فلنقم بالحساب:

2) ما هو المبلغ الذي دفعته لشراء شقة مع التدفئة؟ وباستدلال مماثل للتحليل السابق، نصل إلى الحساب التالي:

3) كم دفعت من المال مقابل الغاز والكهرباء والراديو؟

4) ما حجم الأموال التي أنفقت على الاحتياجات الثقافية؟

5) ما مقدار المال الذي ادخره العامل؟

للتحقق، من المفيد جمع الأرقام الموجودة في هذه الأسئلة الخمسة. يجب أن يكون المبلغ 1200 روبل. يتم أخذ جميع الأرباح على أنها 100%، وهو أمر يسهل التحقق منه عن طريق إضافة أرقام النسبة المئوية الواردة في بيان المشكلة.

لقد حللنا ثلاث مشاكل. ورغم أن هذه المشاكل تناولت أمورا مختلفة (توصيل الحطب للمدرسة، عدد الأطفال من مختلف الأعمار، مصاريف العامل)، إلا أنها تم حلها بنفس الطريقة. حدث هذا لأنه في جميع المسائل كان من الضروري العثور على عدة بالمائة من الأرقام المعطاة.

§ 90. تقسيم الكسور.

أثناء دراستنا لقسمة الكسور، سنطرح الأسئلة التالية:

1. قسمة عدد صحيح على عدد صحيح.
2. قسمة الكسر على عدد صحيح
3. قسمة عدد صحيح على كسر.
4. قسمة الكسر على الكسر.
5. قسمة الأعداد الكسرية.
6. إيجاد رقم من الكسر المعطى له.
7. العثور على رقم بنسبة مئوية.

دعونا نعتبرها بالتسلسل.

1. قسمة عدد صحيح على عدد صحيح.

كما تمت الإشارة في قسم الأعداد الصحيحة، فإن القسمة هي إجراء يتكون من حقيقة أنه، مع وجود عاملين (المقسّم) وأحد هذه العوامل (المقسوم عليه)، يتم العثور على عامل آخر.

لقد بحثنا في قسمة عدد صحيح على عدد صحيح في القسم الخاص بالأعداد الصحيحة. لقد واجهنا هناك حالتين للقسمة: القسمة بدون باق، أو "بالكامل" (150: 10 = 15)، والقسمة بباقي (100: 9 = 11 وباقي 1). ومن ثم يمكننا أن نقول ذلك في مجال الأعداد الصحيحة التقسيم الدقيقليس ممكنًا دائمًا، لأن المقسوم ليس دائمًا حاصل ضرب المقسوم عليه والعدد الصحيح. بعد إدخال الضرب على كسر، يمكننا اعتبار أي حالة لقسمة الأعداد الصحيحة ممكنة (يتم استبعاد القسمة على صفر فقط).

على سبيل المثال، قسمة 7 على 12 تعني إيجاد رقم يكون حاصل ضربه على 12 يساوي 7. هذا الرقم هو الكسر 7/12 لأن 7/12 12 = 7. مثال آخر: 14: 25 = 14 / 25، لأن 14 / 25 25 = 14.

وبالتالي، لتقسيم عدد صحيح على عدد صحيح، تحتاج إلى إنشاء كسر بسطه يساوي المقسوم ومقامه يساوي المقسوم عليه.

2. قسمة الكسر على عدد صحيح.

اقسم الكسر 6/7 على 3. وفقًا لتعريف القسمة المذكور أعلاه، لدينا هنا حاصل الضرب (6/7) وأحد العوامل (3)؛ تحتاج إلى العثور على العامل الثاني الذي سيعطيك عند ضربه في 3 هذا العمل 6/7. من الواضح أنه يجب أن يكون أصغر بثلاث مرات من هذا المنتج. وهذا يعني أن المهمة التي كانت أمامنا هي تقليل الكسر 6/7 بمقدار 3 مرات.

نحن نعلم بالفعل أن تبسيط الكسر يمكن أن يتم إما بتقليل بسطه أو بزيادة مقامه. لذلك يمكنك الكتابة:

في في هذه الحالةبسط 6 يقبل القسمة على 3، لذا يجب أن يقسم البسط إلى النصف.

لنأخذ مثالًا آخر: 5/8 مقسومًا على 2. هنا البسط 5 لا يقبل القسمة على 2، مما يعني أنه يجب ضرب المقام بهذا الرقم:

وعلى هذا يمكن وضع قاعدة: لقسمة كسر على عدد صحيح، عليك قسمة بسط الكسر على هذا العدد الصحيح.(إذا كان ذلك ممكنا)، ترك نفس المقام، أو ضرب مقام الكسر بهذا الرقم، وترك نفس البسط.

3. قسمة عدد صحيح على كسر.

لنفترض أنه من الضروري قسمة 5 على 1/2، أي العثور على رقم يعطي الناتج 5 بعد الضرب في 1/2. من الواضح أن هذا الرقم يجب أن يكون أكبر من 5، نظرًا لأن 1/2 كسر صحيح ، وعند ضرب رقم، يجب أن يكون منتج الكسر الصحيح أقل من المنتج الذي يتم ضربه. لجعل هذا أكثر وضوحا، دعونا نكتب أفعالنا على النحو التالي: 5: 1 / 2 = X مما يعني × 1/2 = 5.

يجب أن نجد مثل هذا الرقم X ، والتي إذا ضربت في 1/2، ستحصل على 5. وبما أن ضرب عدد معين في 1/2 يعني إيجاد نصف هذا الرقم، إذن، نصف العدد المجهول X يساوي 5، والعدد الصحيح X ضعف ذلك، أي 5 2 = 10.

إذن 5: 1/2 = 5 2 = 10

دعونا نتحقق:

دعونا ننظر إلى مثال آخر. لنفترض أنك تريد تقسيم 6 على 2/3. لنحاول أولاً العثور على النتيجة المرجوة باستخدام الرسم (الشكل 19).

الشكل 19

دعونا نرسم قطعة AB تساوي 6 وحدات ونقسم كل وحدة إلى 3 أجزاء متساوية. في كل وحدة، ثلاثة ثلثي (3/3) الجزء بأكمله AB أكبر بـ 6 مرات، أي. هـ 18/3. باستخدام الأقواس الصغيرة، نقوم بتوصيل الأجزاء الـ 18 الناتجة المكونة من 2؛ سيكون هناك 9 أجزاء فقط. وهذا يعني أن الكسر 2/3 موجود في 6 وحدات 9 مرات، أو بمعنى آخر، الكسر 2/3 أقل بـ 9 مرات من 6 وحدات كاملة. لذلك،

كيف تحصل على هذه النتيجة بدون رسم باستخدام الحسابات وحدها؟ لنفكر بهذه الطريقة: نحتاج إلى قسمة 6 على 2/3، أي نحتاج إلى الإجابة على السؤال كم مرة يوجد 2/3 في 6. لنكتشف أولاً: كم مرة يوجد 1/3 في 6؟ وفي الوحدة الكاملة 3 أثلاث، وفي 6 وحدات 6 أمثال، أي 18 ثلثًا؛ للعثور على هذا الرقم يجب علينا ضرب 6 في 3. وهذا يعني أن 1/3 موجود في الوحدات b 18 مرة، و2/3 موجود في الوحدات b ليس 18 مرة، بل نصف عدد المرات، أي 18: 2 = 9 ولذلك عند قسمة 6 على 2/3 قمنا بما يلي:

ومن هنا نحصل على قاعدة قسمة عدد صحيح على كسر. لتقسيم عدد صحيح على كسر، تحتاج إلى ضرب هذا العدد الصحيح في مقام الكسر المحدد، وجعل هذا المنتج هو البسط، وتقسيمه على بسط الكسر المحدد.

لنكتب القاعدة باستخدام الحروف:

لتوضيح هذه القاعدة تمامًا، يجب أن نتذكر أنه يمكن اعتبار الكسر بمثابة خارج القسمة. لذلك، من المفيد مقارنة القاعدة الموجودة بقاعدة قسمة الرقم على حاصل القسمة، المنصوص عليها في الفقرة 38. يرجى ملاحظة أنه تم الحصول على نفس الصيغة هناك.

عند التقسيم تكون الاختصارات ممكنة، على سبيل المثال:

4. قسمة الكسر على الكسر.

لنفترض أننا بحاجة إلى قسمة 3/4 على 3/8. ماذا يعني العدد الناتج عن القسمة؟ سوف يجيب على السؤال كم مرة يوجد الكسر 3/8 في الكسر 3/4. لفهم هذه المشكلة، دعونا نرسم رسمًا (الشكل 20).

لنأخذ القطعة AB ونعتبرها قطعة واحدة ونقسمها إلى 4 أجزاء متساوية ونضع علامة على 3 أجزاء من هذا القبيل. سيكون الجزء AC مساوياً لـ 3/4 الجزء AB. دعونا الآن نقسم كل قطعة من الأجزاء الأربعة الأصلية إلى نصفين، ثم يتم تقسيم القطعة AB إلى 8 أجزاء متساوية، وكل جزء منها سيكون مساويًا لـ 1/8 من القطعة AB. دعونا نربط 3 قطع من هذا القبيل بأقواس، ثم سيكون كل مقطع AD وDC مساويًا لـ 3/8 من المقطع AB. يوضح الرسم أن القطعة التي تساوي 3/8 موجودة في قطعة تساوي 3/4 مرتين بالضبط؛ وهذا يعني أنه يمكن كتابة نتيجة القسمة على النحو التالي:

3 / 4: 3 / 8 = 2

دعونا ننظر إلى مثال آخر. لنفترض أننا بحاجة إلى قسمة 15/16 على 3/32:

يمكننا أن نفكر بهذه الطريقة: نحتاج إلى العثور على رقم، بعد ضربه في 3/32، نحصل على ناتج يساوي 15/16. لنكتب الحسابات هكذا:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 رقم غير معروف X هي 15/16

1/32 من عدد غير معروف X يكون ،

32 / 32 رقم X ماكياج .

لذلك،

وبالتالي، لتقسيم كسر على كسر، تحتاج إلى ضرب بسط الكسر الأول في مقام الثاني، وضرب مقام الكسر الأول في بسط الثاني، وجعل المنتج الأول هو البسط، والثاني القاسم.

لنكتب القاعدة باستخدام الحروف:

عند التقسيم تكون الاختصارات ممكنة، على سبيل المثال:

5. قسمة الأعداد الكسرية.

عند قسمة الأعداد الكسرية، يجب أولاً تحويلها إلى الكسور غير الصحيحة وثم قسّم الكسور الناتجة وفقًا لقواعد القسمة أرقام كسرية. دعونا نلقي نظرة على مثال:

دعونا نحول الأعداد الكسرية إلى كسور غير حقيقية:

الآن دعونا نقسم:

وبالتالي، لتقسيم الأعداد الكسرية، تحتاج إلى تحويلها إلى كسور غير حقيقية ثم القسمة باستخدام قاعدة قسمة الكسور.

6. إيجاد رقم من الكسر المعطى له.

ضمن مهام مختلفةفي الكسور، في بعض الأحيان هناك تلك التي يتم فيها إعطاء قيمة جزء من رقم غير معروف وتحتاج إلى العثور على هذا الرقم. سيكون هذا النوع من المسائل معكوسًا لمشكلة إيجاد الكسر من رقم معين؛ تم تقديم رقم هناك وكان مطلوبًا العثور على جزء من هذا الرقم، وهنا تم تقديم جزء من الرقم وكان مطلوبًا العثور على هذا الرقم نفسه. وستصبح هذه الفكرة أكثر وضوحًا إذا لجأنا إلى حل هذا النوع من المشكلات.

المهمة 1.في اليوم الأول، قام عمال الزجاج بتزجيج 50 نافذة، أي ثلث إجمالي نوافذ المنزل المبني. كم نافذة يوجد في هذا المنزل؟

حل.تقول المشكلة أن 50 نافذة زجاجية تشكل 1/3 جميع نوافذ المنزل، مما يعني أن إجمالي عدد النوافذ أكبر بثلاث مرات، أي.

كان للمنزل 150 نافذة.

المهمة 2.باع المتجر 1500 كجم من الدقيق، وهو ما يعادل 3/8 إجمالي مخزون الدقيق الموجود في المتجر. ما هو العرض الأولي للدقيق في المتجر؟

حل.ومن ظروف المشكلة يتضح أن 1500 كيلو جرام من الدقيق المباع تشكل 3/8 إجمالي المخزون؛ هذا يعني أن 1/8 من هذا الاحتياطي سيكون أقل بثلاث مرات، أي لحسابه تحتاج إلى تقليل 1500 بمقدار 3 مرات:

1500: 3 = 500 (أي 1/8 الاحتياطي).

ومن الواضح أن العرض بأكمله سيكون أكبر 8 مرات. لذلك،

500 8 = 4000 (كجم).

كان المخزون الأولي من الدقيق في المتجر 4000 كجم.

ومن النظر في هذه المشكلة، يمكن استخلاص القاعدة التالية.

للعثور على رقم من قيمة معينة لكسره، يكفي تقسيم هذه القيمة على بسط الكسر وضرب النتيجة بمقام الكسر.

لقد حللنا مسألتين عند إيجاد عدد بمعلومية كسره. مثل هذه المسائل، كما يتضح بشكل خاص من المسألة الأخيرة، يتم حلها بإجراءين: القسمة (عند العثور على جزء واحد) والضرب (عند العثور على العدد الصحيح).

لكن بعد أن تعلمنا قسمة الكسور، يمكن حل المسائل المذكورة أعلاه بإجراء واحد، وهو: القسمة على كسر.

على سبيل المثال، يمكن حل المهمة الأخيرة بإجراء واحد مثل هذا:

في المستقبل، سوف نحل مسائل إيجاد رقم من كسره بإجراء واحد - القسمة.

7. العثور على رقم بنسبة مئوية.

في هذه المسائل، ستحتاج إلى العثور على رقم يعرف نسبة قليلة من هذا الرقم.

المهمة 1.في البداية العام الحاليتلقيت 60 روبل من بنك التوفير. الدخل من المبلغ الذي وضعته في المدخرات قبل عام. كم من المال قمت بوضعه في بنك التوفير؟ (تمنح مكاتب النقد المودعين عائدًا بنسبة 2٪ سنويًا).

معنى المشكلة أنني وضعت مبلغًا معينًا من المال في بنك التوفير وبقيت هناك لمدة عام. بعد عام تلقيت منها 60 روبل. الدخل، وهو 2/100 من الأموال التي أودعتها. كم من المال قمت بوضعه؟

وبالتالي، بمعرفة جزء من هذه الأموال، معبرًا عنها بطريقتين (بالروبل والكسور)، يجب علينا العثور على المبلغ بالكامل، غير المعروف حتى الآن. هذه مسألة عادية لإيجاد رقم بمعلومية كسره. يتم حل المشكلات التالية عن طريق القسمة:

وهذا يعني أنه تم إيداع 3000 روبل في بنك التوفير.

المهمة 2.وأنجز الصيادون الخطة الشهرية بنسبة 64% خلال أسبوعين، وحصدوا 512 طناً من الأسماك. ماذا كانت خطتهم؟

ومن ظروف المشكلة يعرف أن الصيادين أنجزوا جزءا من الخطة. ويساوي هذا الجزء 512 طناً أي 64% من المخطط. لا نعرف عدد أطنان الأسماك التي يجب تحضيرها وفقًا للخطة. العثور على هذا الرقم سيكون الحل للمشكلة.

يتم حل هذه المشاكل عن طريق التقسيم:

وهذا يعني أنه وفقًا للخطة، يجب تحضير 800 طن من الأسماك.

المهمة 3.ذهب القطار من ريغا إلى موسكو. عندما تجاوز الكيلومتر 276، سأل أحد الركاب سائق المارة عن مقدار الرحلة التي قطعوها بالفعل. أجاب قائد القطار: "لقد قطعنا بالفعل 30% من الرحلة بأكملها". ما هي المسافة من ريغا إلى موسكو؟

يتضح من ظروف المشكلة أن 30٪ من الطريق من ريغا إلى موسكو يبلغ طوله 276 كم. نحتاج إلى إيجاد المسافة الكاملة بين هذه المدن، أي بالنسبة لهذا الجزء، نجد الكل:

§ 91. الأعداد المتبادلة. استبدال القسمة بالضرب.

لنأخذ الكسر 2/3 ونضع البسط مكان المقام، نحصل على 3/2. لقد حصلنا على معكوس هذا الكسر.

للحصول على معكوس لكسر معين، عليك أن تضع بسطه مكان المقام، والمقام مكان البسط. بهذه الطريقة يمكننا الحصول على مقلوب أي كسر. على سبيل المثال:

3/4، عكس 4/3؛ 5/6، عكس 6/5

يسمى الكسران اللذان لهما خاصية أن بسط الأول هو مقام الثاني ومقام الأول هو بسط الثاني معكوسين بشكل متبادل.

الآن دعونا نفكر في الكسر الذي سيكون مقلوب 1/2. من الواضح أنها ستكون 2/1، أو 2 فقط. من خلال البحث عن الكسر العكسي للكسر المحدد، حصلنا على عدد صحيح. وهذه الحالة ليست معزولة؛ على العكس من ذلك، بالنسبة لجميع الكسور التي بسطها 1 (واحد)، ستكون المعادلات أعدادًا صحيحة، على سبيل المثال:

1/3، عكس 3؛ 1/5، عكس 5

نظرًا لأننا واجهنا أيضًا أعدادًا صحيحة عند إيجاد الكسور المتبادلة، فلن نتحدث فيما يلي عن الكسور المتبادلة، بل عن أرقام متبادلة.

دعونا معرفة كيفية كتابة معكوس عدد صحيح. بالنسبة للكسور، يمكن حل ذلك ببساطة: تحتاج إلى وضع المقام بدلاً من البسط. بنفس الطريقة، يمكنك الحصول على الرقم العكسي لعدد صحيح، حيث أن أي عدد صحيح يمكن أن يكون مقامه 1. وهذا يعني أن الرقم العكسي لـ 7 سيكون 1/7، لأن 7 = 7/1؛ بالنسبة للرقم 10 فإن المعكوس سيكون 1/10، حيث أن 10 = 10/1

يمكن التعبير عن هذه الفكرة بشكل مختلف: يتم الحصول على مقلوب رقم معين عن طريق قسمة واحد على رقم معين . هذه العبارة صحيحة ليس فقط بالنسبة للأعداد الصحيحة، ولكن أيضًا بالنسبة للكسور. في الواقع، إذا كنت بحاجة إلى كتابة رقم، جزء متبادل 5/9، إذن يمكننا أن نأخذ 1 ونقسمه على 5/9، أي.

الآن دعونا نشير إلى شيء واحد ملكيةأرقام متبادلة، والتي ستكون مفيدة لنا: حاصل ضرب الأعداد المتبادلة يساوي واحدًا.في الحقيقة:

باستخدام هذه الخاصية، يمكننا إيجاد الأعداد المقلوبة بالطريقة التالية. لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد معكوس العدد 8.

دعنا نشير إلى ذلك بالحرف X ، ثم 8 X = 1، وبالتالي X = 1/8. دعونا نجد رقمًا آخر هو معكوس 7/12 ونشير إليه بالحرف X ، ثم 7/12 X = 1، وبالتالي X = 1: 7 / 12 أو X = 12 / 7 .

لقد قدمنا ​​هنا مفهوم الأعداد المتبادلة من أجل استكمال المعلومات المتعلقة بقسمة الكسور بشكل طفيف.

عندما نقسم العدد 6 على 3/5 نقوم بما يلي:

يرجى الملاحظة اهتمام خاصإلى التعبير ومقارنته مع ما هو مذكور: .

إذا أخذنا التعبير بشكل منفصل، دون الاتصال بالتعبير السابق، فمن المستحيل حل مسألة من أين جاء: من قسمة 6 على 3/5 أو من ضرب 6 في 5/3. وفي كلتا الحالتين يحدث نفس الشيء. ولذلك يمكننا أن نقول أنه يمكن استبدال قسمة رقم على آخر بضرب المقسوم على معكوس المقسوم عليه.

الأمثلة التي نعطيها أدناه تؤكد تماما هذا الاستنتاج.

في سياق الثانوية و مدرسة ثانويةدرس الطلاب موضوع "الكسور". ومع ذلك، فإن هذا المفهوم أوسع بكثير مما هو مذكور في عملية التعلم. اليوم، يتم العثور على مفهوم الكسر في كثير من الأحيان، ولا يمكن للجميع حساب أي تعبير، على سبيل المثال، ضرب الكسور.

ما هو الكسر؟

تاريخيًا، نشأت الأعداد الكسرية نتيجة للحاجة إلى القياس. كما تبين الممارسة، غالبا ما تكون هناك أمثلة لتحديد طول القطعة وحجم المستطيل المستطيل.

في البداية، يتم تعريف الطلاب بمفهوم الحصة. على سبيل المثال، إذا قسمت البطيخة إلى 8 أجزاء، فسيحصل كل شخص على ثمن البطيخة. هذا الجزء من الثمانية يسمى حصة.

تسمى الحصة التي تساوي ½ من أي قيمة بالنصف؛ ⅓ - الثالث؛ ¼ - ربع. السجلات ذات الشكل 5/8، 4/5، 2/4 تسمى الكسور العادية. ينقسم الكسر العادي إلى بسط ومقام. بينهما شريط الكسر، أو شريط الكسر. يمكن رسم الخط الكسري إما كخط أفقي أو مائل. في هذه الحالة، فإنه يدل على علامة القسمة.

يمثل المقام عدد الأجزاء المتساوية التي تم تقسيم الكمية أو الكائن إليها؛ والبسط هو عدد الأسهم المتطابقة التي تم أخذها. البسط مكتوب فوق خط الكسر والمقام مكتوب تحته.

من الأكثر ملاءمة إظهار الكسور العادية شعاع الإحداثيات. إذا تم قسمة قطعة الوحدة على 4 حصص متساوية، حدد كل نبضة حرف لاتيني، ثم يمكن أن تكون النتيجة ممتازة المساعدات البصرية. لذا، فإن النقطة A تظهر حصة تساوي 1/4 من قطعة الوحدة بأكملها، والنقطة B تمثل 2/8 من قطعة معينة.

أنواع الكسور

يمكن أن تكون الكسور أرقامًا عادية وعشرية ومختلطة. بالإضافة إلى ذلك، يمكن تقسيم الكسور إلى صحيحة وغير صحيحة. هذا التصنيف مناسب أكثر للكسور العادية.

تحت الكسر المناسبفهم الرقم الذي البسط أقل من القاسم. وبناء على ذلك، فإن الكسر غير الحقيقي هو عدد بسطه أكبر من مقامه. النوع الثاني عادة ما يتم كتابته كرقم مختلط. يتكون هذا التعبير من عدد صحيح وجزء كسري. على سبيل المثال، 1½. 1 جزء صحيح، ½ جزء كسري. ومع ذلك، إذا كنت بحاجة إلى إجراء بعض التلاعبات بالتعبير (تقسيم أو ضرب الكسور، أو تقليلها أو تحويلها)، فسيتم تحويل الرقم المختلط إلى كسر غير حقيقي.

التعبير الكسري الصحيح دائمًا أقل من واحد، والتعبير الكسري غير الصحيح دائمًا أكبر من أو يساوي 1.

أما هذا التعبير فنقصد به السجل الذي يمثل فيه أي رقم يمكن التعبير عن مقام تعبيره الكسري بواحد بعدة أصفار. فإذا كان الكسر صحيحا، كان الجزء كله صحيحا التدوين العشريسيكون مساوياً للصفر.

لكتابة كسر عشري، يجب عليك أولًا كتابة الجزء بأكمله، ثم فصله عن الكسر باستخدام فاصلة، ثم كتابة تعبير الكسر. يجب أن نتذكر أنه بعد العلامة العشرية، يجب أن يحتوي البسط على نفس عدد الأحرف الرقمية التي تحتوي على أصفار في المقام.

مثال. عبر عن الكسر 7 21 / 1000 بالتدوين العشري.

خوارزمية لتحويل الكسر غير الحقيقي إلى عدد مختلط والعكس

من غير الصحيح كتابة كسر غير فعلي في إجابة المسألة، لذا يجب تحويله إلى رقم كسري:

• قسمة البسط على المقام الموجود؛
• V مثال محددحاصل غير مكتمل - كامل؛
• والباقي هو بسط الجزء الكسري، مع بقاء المقام دون تغيير.

مثال. تحويل الكسر غير الحقيقي إلى رقم كسري: 47 / 5.

حل. 47: 5. حاصل القسمة الجزئي هو 9، والباقي = 2. إذن، 47 / 5 = 9 2 / 5.

في بعض الأحيان تحتاج إلى تمثيل رقم مختلط ككسر غير حقيقي. ثم تحتاج إلى استخدام الخوارزمية التالية:

• يتم ضرب الجزء الصحيح بمقام التعبير الكسري؛
• تتم إضافة المنتج الناتج إلى البسط؛
• تتم كتابة النتيجة في البسط، ويبقى المقام دون تغيير.

مثال. عبّر عن العدد في صورة كسرية في صورة كسر غير حقيقي: 9 8 / 10.

حل. 9 × 10 + 8 = 90 + 8 = 98 هو البسط.

إجابة: 98 / 10.

ضرب الكسور

يمكن إجراء عمليات مختلفة على الكسور العادية. العمليات الجبرية. لضرب رقمين، عليك ضرب البسط في البسط، والمقام في المقام. علاوة على ذلك، فإن ضرب الكسور ذات المقامات المختلفة لا يختلف عن ضرب الكسور ذات المقامات نفسها.

يحدث أنه بعد العثور على النتيجة تحتاج إلى تقليل الكسر. من الضروري تبسيط التعبير الناتج قدر الإمكان. بالطبع، لا يمكن للمرء أن يقول إن الكسر غير الحقيقي في الإجابة هو خطأ، ولكن من الصعب أيضًا تسميته بالإجابة الصحيحة.

مثال. أوجد حاصل ضرب كسرين عاديين: ½ و20/18.

كما يتبين من المثال، بعد العثور على المنتج، يتم الحصول على تدوين كسري قابل للاختزال. يتم قسمة كل من البسط والمقام في هذه الحالة على 4، وتكون النتيجة هي 5/9.

ضرب الكسور العشرية

يختلف منتج الكسور العشرية تمامًا عن منتج الكسور العادية من حيث المبدأ. إذن يكون ضرب الكسور كما يلي:

• يجب كتابة كسرين عشريين تحت الآخر بحيث تكون الأرقام الموجودة في أقصى اليمين واحدة تحت الأخرى؛
• تحتاج إلى مضاعفة الأرقام المكتوبة، بغض النظر عن الفواصل، أي كأعداد طبيعية؛
• حساب عدد الأرقام بعد العلامة العشرية في كل رقم؛
• في النتيجة التي تم الحصول عليها بعد الضرب، تحتاج إلى حساب عدد الرموز الرقمية الموجودة في المجموع في كلا العاملين بعد العلامة العشرية من اليمين، ووضع علامة فاصلة؛
• إذا كان المنتج يحتوي على أرقام أقل، فأنت بحاجة إلى كتابة العديد من الأصفار أمامهم لتغطية هذا الرقم، ووضع فاصلة وإضافة الجزء بأكمله يساوي الصفر.

مثال. احسب حاصل ضرب كسرين عشريين: 2.25 و3.6.

حل.

ضرب الكسور المختلطة

لحساب ناتج اثنين كسور مختلطة، تحتاج إلى استخدام القاعدة لضرب الكسور:

• تحويل الأعداد الكسرية إلى كسور غير حقيقية؛
• أوجد حاصل ضرب البسطين؛
• العثور على منتج القواسم.
• اكتب النتيجة
• تبسيط التعبير قدر الإمكان.

مثال. أوجد حاصل ضرب 4½ و6 2/5.

ضرب عدد في كسر (الكسور في عدد)

بالإضافة إلى إيجاد حاصل ضرب كسرين وأعداد كسرية، هناك مهام تحتاج إلى ضربها في كسر.

لذلك، للعثور على المنتج عشريوالعدد الطبيعي تحتاج إلى:

• اكتب الرقم تحت الكسر بحيث تكون الأرقام الموجودة في أقصى اليمين واحدة فوق الأخرى؛
• ابحث عن المنتج بغض النظر عن الفاصلة؛
• في النتيجة الناتجة، افصل الجزء الصحيح عن الجزء الكسري باستخدام فاصلة، مع حساب عدد الأرقام الموجودة بعد العلامة العشرية في الكسر من اليمين.

لضرب كسر عادي في رقم، عليك إيجاد حاصل ضرب البسط والعامل الطبيعي. إذا كانت الإجابة تنتج كسرًا يمكن تصغيره، فيجب تحويله.

مثال. احسب حاصل ضرب 5/8 و12.

حل. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

إجابة: 7 1 / 2.

كما ترون من المثال السابق، كان من الضروري تقليل النتيجة الناتجة وتحويل التعبير الكسري غير الصحيح إلى رقم مختلط.

يتعلق ضرب الكسور أيضًا بإيجاد حاصل ضرب عدد في صورة مختلطة وعامل طبيعي. لضرب هذين الرقمين، يجب عليك ضرب الجزء الكامل من العامل المختلط بالرقم، وضرب البسط بنفس القيمة، وترك المقام دون تغيير. إذا لزم الأمر، تحتاج إلى تبسيط النتيجة الناتجة قدر الإمكان.

مثال. أوجد حاصل ضرب 9 5 / 6 و9.

حل. 9 5 / 6 × 9 = 9 × 9 + (5 × 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

إجابة: 88 1 / 2.

الضرب بعوامل 10، 100، 1000 أو 0.1؛ 0.01؛ 0.001

من الفقرة السابقةيتبع القاعدة التالية. لضرب كسر عشري في 10، 100، 1000، 10000، وما إلى ذلك، تحتاج إلى تحريك العلامة العشرية إلى اليمين بعدد من الأرقام يساوي عدد الأصفار في العامل الذي يلي الواحد.

مثال 1. أوجد حاصل ضرب 0.065 و1000.

حل. 0.065 × 1000 = 0065 = 65.

إجابة: 65.

مثال 2. أوجد حاصل ضرب 3.9 و1000.

حل. 3.9 × 1000 = 3.900 × 1000 = 3900.

إجابة: 3900.

إذا كنت بحاجة إلى ضرب عدد طبيعي في 0.1؛ 0.01؛ 0.001؛ 0.0001، وما إلى ذلك، يجب عليك تحريك الفاصلة في المنتج الناتج إلى اليسار بعدد من الأحرف الرقمية يساوي عدد الأصفار قبل الواحد. إذا لزم الأمر، قبل ذلك عدد طبيعييتم تسجيل أعداد كافية من الأصفار.

مثال 1. أوجد حاصل ضرب 56 و0.01.

حل. 56 × 0.01 = 0056 = 0.56.

إجابة: 0,56.

مثال 2. أوجد حاصل ضرب 4 و0.001.

حل. 4 × 0.001 = 0004 = 0.004.

إجابة: 0,004.

لذلك، العثور على المنتج كسور مختلفةلا ينبغي أن يسبب صعوبات، باستثناء حساب النتيجة؛ في هذه الحالة، لا يمكنك الاستغناء عن الآلة الحاسبة.

ضرب وقسمة الكسور.

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

هذه العملية أجمل بكثير من عملية الجمع والطرح! لأنه أسهل. للتذكير، لضرب كسر في كسر، تحتاج إلى ضرب البسطين (سيكون هذا هو بسط النتيجة) والمقامات (سيكون هذا هو المقام). إنه:

على سبيل المثال:

كل شيء بسيط للغاية. ومن فضلك لا تبحث عن قاسم مشترك! ولا داعي له هنا..

لقسمة كسر على كسر، عليك أن تقلبه ثانية(هذا مهم!) قم بكسرها وضربها، أي:

على سبيل المثال:

إذا صادفت الضرب أو القسمة مع الأعداد الصحيحة والكسور، فلا بأس. كما هو الحال مع عملية الجمع، فإننا نقوم بعمل كسر من عدد صحيح به واحد في المقام - وهيا بنا! على سبيل المثال:

في المدرسة الثانوية، غالبًا ما يتعين عليك التعامل مع كسور مكونة من ثلاثة طوابق (أو حتى من أربعة طوابق!). على سبيل المثال:

كيف يمكنني أن أجعل هذا الكسر يبدو لائقًا؟ نعم، بسيط جدا! استخدام القسمة على نقطتين:

لكن لا تنسى ترتيب القسمة! على عكس الضرب، هذا مهم جدًا هنا! وبطبيعة الحال، لن نخلط بين 4: 2 أو 2: 4. ولكن من السهل ارتكاب خطأ في جزء من ثلاثة طوابق. يرجى ملاحظة على سبيل المثال:

في الحالة الأولى (التعبير على اليسار):

وفي الثاني (التعبير على اليمين):

هل تشعر بالفرق؟ 4 و 1/9!

ما الذي يحدد ترتيب القسمة؟ إما بأقواس، أو (كما هنا) بطول الخطوط الأفقية. تطوير عينك. وإذا لم يكن هناك قوسين أو شرطات، مثل:

ثم القسمة والضرب بالترتيب، من اليسار إلى اليمين!

وأيضا بسيطة جدا و تقنية مهمة. في الإجراءات ذات الدرجات، سيكون ذلك مفيدًا جدًا لك! لنقسم الواحد على أي كسر، على سبيل المثال، على 13/15:

لقد انقلبت اللقطة! وهذا يحدث دائمًا. عند قسمة 1 على أي كسر، يكون الناتج هو نفس الكسر، فقط رأسًا على عقب.

هذا كل شيء بالنسبة للعمليات مع الكسور. الأمر بسيط للغاية، لكنه يعطي أخطاء أكثر من كافية. يرجى الملاحظة نصيحة عمليةوسيكون هناك عدد أقل منهم (الأخطاء)!

نصائح عملية:

1. أهم شيء عند التعامل مع التعبيرات الكسرية هو الدقة والانتباه! هذا ليس كذلك كلمات شائعة، ليست التمنيات الطيبة! هذه ضرورة ماسة! قم بإجراء جميع العمليات الحسابية في امتحان الدولة الموحدة كمهمة كاملة ومركزة وواضحة. من الأفضل أن تكتب سطرين إضافيين في المسودة بدلاً من أن تخطئ عند إجراء الحسابات الذهنية.

2. في الأمثلة مع أنواع مختلفةالكسور - انتقل إلى الكسور العادية.

3. نقوم بتقليل جميع الكسور حتى تتوقف.

4. متعدد الطوابق التعبيرات الكسريةاختصرها إلى نقاط عادية باستخدام القسمة على نقطتين (شاهد ترتيب القسمة!).

5. اقسم الوحدة على كسر في رأسك، ببساطة قم بقلب الكسر.

فيما يلي المهام التي تحتاج بالتأكيد إلى حلها. يتم إعطاء الإجابات بعد كل المهام. استخدم المواد المتعلقة بهذا الموضوع والنصائح العملية. قم بتقدير عدد الأمثلة التي تمكنت من حلها بشكل صحيح. الحق في المرة الأولى! بدون آلة حاسبة! واستخلاص النتائج الصحيحة..

تذكر - الإجابة الصحيحة هي المستلمة من المرة الثانية (وخاصة الثالثة) لا تحسب!هذه هي الحياة القاسية.

لذا، حل في وضع الامتحان ! بالمناسبة، هذا تحضير لامتحان الدولة الموحدة. نحل المثال، نتحقق منه، نحل المثال التالي. لقد قررنا كل شيء - فحصنا مرة أخرى من الأول إلى الأخير. وفقط ثمانظر إلى الإجابات.

احسب:

هل قررت؟

نحن نبحث عن الإجابات التي تطابق لك. لقد كتبتها عمدا في حالة من الفوضى، بعيدا عن الإغراء، إذا جاز التعبير... وها هي الإجابات، مكتوبة بفواصل منقوطة.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

الآن نستخلص النتائج. إذا نجح كل شيء، فأنا سعيد من أجلك! الحسابات الأساسيةمع الكسور - ليست مشكلتك! يمكنك أن تفعل المزيد أشياء خطيرة. إذا لم يكن كذلك...

لذلك لديك واحدة من مشكلتين. أو كلاهما في وقت واحد.) قلة المعرفة و (أو) عدم الانتباه. لكن... هذا قابلة للحل مشاكل.

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.