استخراج الجذور: الطرق والأمثلة والحلول. الانتقال من الجذور إلى القوى والعكس، أمثلة، حلول كيفية حل الأمثلة بالقوى والجذور

حان الوقت لفرزها طرق استخراج الجذور. وهي تعتمد على خصائص الجذور، وعلى وجه الخصوص، على المساواة، وهو ما ينطبق على أي عدد غير سالب ب.

أدناه سنلقي نظرة على الطرق الرئيسية لاستخراج الجذور واحدة تلو الأخرى.

لنبدأ بأبسط حالة - استخراج جذور الأعداد الطبيعية باستخدام جدول المربعات، وجدول المكعبات، وما إلى ذلك.

إذا كانت جداول المربعات والمكعبات وما إلى ذلك. إذا لم يكن لديك في متناول اليد، فمن المنطقي استخدام طريقة استخراج الجذر، والتي تنطوي على تحليل الرقم الجذري إلى عوامل أولية.

تجدر الإشارة بشكل خاص إلى ما هو ممكن للجذور ذات الأسس الفردية.

أخيرًا، دعونا نفكر في طريقة تسمح لنا بالعثور على أرقام القيمة الجذرية بالتسلسل.

هيا بنا نبدأ.

استخدام جدول المربعات، وجدول المكعبات، وما إلى ذلك.

في أبسط الحالات، تسمح لك جداول المربعات والمكعبات وما إلى ذلك باستخراج الجذور. ما هي هذه الجداول؟

يتكون جدول مربعات الأعداد الصحيحة من 0 إلى 99 (كما هو موضح أدناه) من منطقتين. تقع المنطقة الأولى من الجدول على خلفية رمادية؛ من خلال تحديد صف معين وعمود محدد، فهي تسمح لك بتكوين رقم من 0 إلى 99. على سبيل المثال، لنختار صفًا مكونًا من 8 عشرات وعمودًا مكونًا من 3 وحدات، وبذلك ثبتنا الرقم 83. المنطقة الثانية تحتل بقية الجدول. تقع كل خلية عند تقاطع صف معين وعمود معين، وتحتوي على مربع الرقم المقابل من 0 إلى 99. عند تقاطع الصف الذي اخترناه المكون من 8 عشرات والعمود 3 من الآحاد، توجد خلية تحمل الرقم 6889، وهو مربع الرقم 83.

جداول المكعبات، وجداول القوى الرابعة للأرقام من 0 إلى 99، وما إلى ذلك تشبه جدول المربعات، إلا أنها تحتوي على مكعبات، والقوى الرابعة، وما إلى ذلك في المنطقة الثانية. الأرقام المقابلة.

جداول المربعات والمكعبات والقوى الرابعة وما إلى ذلك. تسمح لك باستخراج الجذور التربيعية، والجذور التكعيبية، والجذور الرابعة، وما إلى ذلك. وذلك من خلال الأرقام الموجودة في هذه الجداول. دعونا نشرح مبدأ استخدامها عند استخراج الجذور.

لنفترض أننا بحاجة إلى استخراج الجذر النوني للرقم a، بينما الرقم a موجود في جدول القوى n. باستخدام هذا الجدول نجد الرقم b بحيث يكون a=b n. ثم وبالتالي فإن الرقم b سيكون الجذر المطلوب للدرجة n.

على سبيل المثال، دعونا نوضح كيفية استخدام جدول المكعب لاستخراج الجذر التكعيبي للرقم 19,683. نجد الرقم 19,683 في جدول المكعبات، ومنه نجد أن هذا الرقم هو مكعب الرقم 27، لذلك، .

من الواضح أن جداول القوى n ملائمة جدًا لاستخراج الجذور. ومع ذلك، فهي غالبًا ما لا تكون في متناول اليد، ويتطلب تجميعها بعض الوقت. علاوة على ذلك، غالبًا ما يكون من الضروري استخراج الجذور من الأرقام غير الواردة في الجداول المقابلة. في هذه الحالات عليك اللجوء إلى طرق أخرى لاستخراج الجذر.

تحليل عدد جذري إلى عوامل أولية

هناك طريقة ملائمة إلى حد ما لاستخراج جذر الرقم الطبيعي (إذا تم استخراج الجذر بالطبع) وهي تحليل الرقم الجذري إلى عوامل أولية. له النقطة هي هذا: بعد ذلك من السهل جدًا تمثيلها كقوة بالأس المطلوب، مما يسمح لك بالحصول على قيمة الجذر. دعونا نوضح هذه النقطة.

لنأخذ الجذر النوني لعدد طبيعي a وقيمته تساوي b. في هذه الحالة، المساواة a=b n صحيحة. يمكن تمثيل الرقم b، مثل أي عدد طبيعي، كحاصل ضرب جميع عوامله الأولية p 1 , p 2 , …, p m في الصورة p 1 ·p 2 ·…·p m ، والرقم الجذري a في هذه الحالة يتم تمثيلها كـ (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . نظرًا لأن تحلل العدد إلى عوامل أولية هو أمر فريد، فإن تحلل العدد الجذري a إلى عوامل أولية سيكون له الشكل (p 1 ·p 2 ·…·p m) n، مما يجعل من الممكن حساب قيمة الجذر مثل.

لاحظ أنه إذا كان التحلل إلى عوامل أولية لعدد جذري a لا يمكن تمثيله بالشكل (p 1 ·p 2 ·…·p m) n، فلن يتم استخراج الجذر النوني لمثل هذا الرقم a بالكامل.

دعونا نكتشف ذلك عند حل الأمثلة.

مثال.

خذ الجذر التربيعي لـ 144.

حل.

إذا نظرت إلى جدول المربعات الوارد في الفقرة السابقة، يمكنك أن ترى بوضوح أن 144 = 2 12، ومنه يتضح أن الجذر التربيعي لـ 144 يساوي 12.

لكن في ضوء هذه النقطة نحن مهتمون بكيفية استخلاص الجذر من خلال تحليل العدد الجذري 144 إلى عوامل أولية. دعونا ننظر إلى هذا الحل.

دعونا تتحلل 144 إلى العوامل الأولية:

أي 144=2·2·2·2·3·3. وبناء على التحلل الناتج يمكن إجراء التحولات التالية: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. لذلك، .

باستخدام خصائص الدرجات وخصائص الجذور، يمكن صياغة الحل بطريقة مختلفة قليلاً: .

إجابة:

لتوحيد المادة، فكر في حلول مثالين آخرين.

مثال.

احسب قيمة الجذر.

حل.

التحليل الأولي للعدد الجذري 243 له الصورة 243=3 5 . هكذا، .

إجابة:

مثال.

هل القيمة الجذرية عدد صحيح؟

حل.

للإجابة على هذا السؤال، دعونا نحلل العدد الجذري إلى عوامل أولية ونرى ما إذا كان من الممكن تمثيله على شكل مكعب لعدد صحيح.

لدينا 285768=2 3 ·3 6 ·7 2. لا يمكن تمثيل التوسع الناتج على شكل مكعب لعدد صحيح، لأن قوة العامل الأولي 7 ليست من مضاعفات الثلاثة. ولذلك، لا يمكن استخراج الجذر التكعيبي لـ 285,768 بشكل كامل.

إجابة:

لا.

استخراج الجذور من الأعداد الكسرية

حان الوقت لمعرفة كيفية استخراج جذر الرقم الكسري. دع الرقم الجذري الكسري يُكتب بالشكل p/q. وفقا لخاصية جذر خارج القسمة، فإن المساواة التالية صحيحة. ويترتب على هذه المساواة قاعدة استخراج جذر الكسر: جذر الكسر يساوي حاصل قسمة جذر البسط على جذر المقام.

دعونا نلقي نظرة على مثال لاستخراج جذر من الكسر.

مثال.

ما هو الجذر التربيعي للكسر المشترك 25/169؟

حل.

وباستخدام جدول المربعات نجد أن الجذر التربيعي لبسط الكسر الأصلي يساوي 5، والجذر التربيعي للمقام يساوي 13. ثم . وبذلك يكتمل استخراج جذر الكسر المشترك 25/169.

إجابة:

يتم استخراج جذر الكسر العشري أو العدد المختلط بعد استبدال الأعداد الجذرية بالكسور العادية.

مثال.

خذ الجذر التكعيبي للكسر العشري 474.552.

حل.

لنتخيل الكسر العشري الأصلي ككسر عادي: 474.552=474552/1000. ثم . يبقى استخراج الجذور التكعيبية الموجودة في البسط والمقام للكسر الناتج. لأن 474552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 = 78 3 و 1000 = 10 3، إذن و . كل ما تبقى هو استكمال الحسابات .

إجابة:

.

أخذ جذر العدد السالب

من المفيد الخوض في مسألة استخراج الجذور من الأعداد السالبة. عند دراسة الجذور، قلنا أنه عندما يكون الأس الجذر عددًا فرديًا، فمن الممكن أن يكون هناك عدد سالب تحت علامة الجذر. لقد أعطينا هذه الإدخالات المعنى التالي: بالنسبة للرقم السالب −a والأس الفردي للجذر 2 n−1، . هذه المساواة تعطي قاعدة استخراج الجذور الفردية من الأعداد السالبة: لاستخراج جذر الرقم السالب، عليك أن تأخذ جذر الرقم الموجب المعاكس، وتضع علامة الطرح أمام النتيجة.

دعونا نلقي نظرة على الحل المثال.

مثال.

أوجد قيمة الجذر.

حل.

لنقم بتحويل التعبير الأصلي بحيث يكون هناك رقم موجب تحت علامة الجذر: . الآن استبدل الرقم المختلط بكسر عادي: . نطبق قاعدة استخراج جذر الكسر العادي: . يبقى حساب الجذور في البسط والمقام للكسر الناتج: .

فيما يلي ملخص قصير للحل: .

إجابة:

.

تحديد اتجاه البت لقيمة الجذر

في الحالة العامة، يوجد تحت الجذر رقم، باستخدام التقنيات التي تمت مناقشتها أعلاه، لا يمكن تمثيله على أنه القوة n لأي رقم. لكن في هذه الحالة هناك حاجة لمعرفة معنى جذر معين، على الأقل حتى علامة معينة. في هذه الحالة، لاستخراج الجذر، يمكنك استخدام خوارزمية تسمح لك بالحصول على عدد كاف من القيم الرقمية للرقم المطلوب بشكل متسلسل.

الخطوة الأولى في هذه الخوارزمية هي معرفة الجزء الأكثر أهمية من قيمة الجذر. وللقيام بذلك، يتم رفع الأرقام 0، 10، 100، ... بشكل تسلسلي إلى القوة n حتى يتم الحصول على اللحظة التي يتجاوز فيها الرقم الرقم الجذري. ثم سيشير الرقم الذي رفعناه إلى القوة n في المرحلة السابقة إلى الرقم الأكثر أهمية.

على سبيل المثال، خذ بعين الاعتبار هذه الخطوة من الخوارزمية عند استخراج الجذر التربيعي لخمسة. خذ الأرقام 0، 10، 100، ... وقم بتربيعها حتى نحصل على رقم أكبر من 5. لدينا 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5، مما يعني أن الرقم الأكثر أهمية هو رقم الآحاد. سيتم العثور على قيمة هذا البت، بالإضافة إلى القيم السفلية، في الخطوات التالية لخوارزمية استخراج الجذر.

تهدف جميع الخطوات اللاحقة للخوارزمية إلى توضيح قيمة الجذر بشكل تسلسلي من خلال إيجاد قيم البتات التالية للقيمة المطلوبة للجذر، بدءًا من القيمة الأعلى والانتقال إلى البتات الأدنى. على سبيل المثال، قيمة الجذر في الخطوة الأولى هي 2، في الثانية – 2.2، في الثالثة – 2.23، وهكذا 2.236067977…. دعونا نصف كيفية العثور على قيم الأرقام.

يتم العثور على الأرقام من خلال البحث في قيمها المحتملة 0، 1، 2، ...، 9. في هذه الحالة، يتم حساب القوى النونية للأعداد المتناظرة على التوازي، ومقارنتها بالرقم الجذري. إذا تجاوزت قيمة الدرجة في مرحلة ما الرقم الجذري، فسيتم اعتبار قيمة الرقم المقابل للقيمة السابقة موجودة، ويتم الانتقال إلى الخطوة التالية من خوارزمية استخراج الجذر، إذا لم يحدث ذلك؛ فإن قيمة هذا الرقم هي 9.

دعونا نشرح هذه النقاط باستخدام نفس مثال استخراج الجذر التربيعي لخمسة.

أولًا، نوجد قيمة رقم الآحاد. سنمر عبر القيم 0، 1، 2، ...، 9، نحسب 0 2، 1 2، ...، 9 2 على التوالي، حتى نحصل على قيمة أكبر من الرقم الجذري 5. من الملائم تقديم كل هذه الحسابات في شكل جدول:

وبالتالي فإن قيمة رقم الوحدات هي 2 (حيث أن 2 2<5 , а 2 3 >5). لننتقل الآن إلى إيجاد قيمة الخانة من عشرة. في هذه الحالة، سنقوم بتربيع الأرقام 2.0، 2.1، 2.2، ...، 2.9، ومقارنة القيم الناتجة مع الرقم الجذري 5:

منذ 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5، فإن قيمة خانة العشرة هي 2. يمكنك المتابعة لإيجاد قيمة خانة الأجزاء من المائة:

هذه هي الطريقة التي تم بها إيجاد القيمة التالية لجذر خمسة، وهي تساوي 2.23. وهكذا يمكنك الاستمرار في العثور على القيم: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

لتوحيد المادة، سنقوم بتحليل استخراج الجذر بدقة مئات باستخدام الخوارزمية المدروسة.

أولاً نحدد الرقم الأكثر أهمية. للقيام بذلك، نقوم بتجميع الأرقام 0، 10، 100، إلخ. حتى نحصل على رقم أكبر من 2,151,186. لدينا 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186، لذا فإن الرقم الأكثر أهمية هو رقم العشرات.

دعونا نحدد قيمتها.

منذ 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186، فإن قيمة خانة العشرات هي 1. دعنا ننتقل إلى الوحدات.

وبالتالي فإن قيمة الرقم الآحاد هي 2. دعنا ننتقل إلى أعشار.

وبما أن 12.9 3 أصغر من العدد الجذري 2 151.186، فإن قيمة الخانة العشرية هي 9. ويبقى تنفيذ الخطوة الأخيرة من الخوارزمية، وسوف تعطينا قيمة الجذر بالدقة المطلوبة.

في هذه المرحلة، يتم العثور على قيمة الجذر بدقة تصل إلى أجزاء من المئات: .

وفي ختام هذا المقال أود أن أقول إن هناك العديد من الطرق الأخرى لاستخراج الجذور. لكن بالنسبة لمعظم المهام، فإن تلك التي درسناها أعلاه كافية.

فهرس.

• ماكاريتشيف يو.إن.، مينديوك إن.جي.، نيشكوف كي.آي.، سوفوروفا إس.بي. الجبر: كتاب مدرسي للصف الثامن. المؤسسات التعليمية.
• كولموجوروف إيه إن، أبراموف إيه إم، دودنيتسين يو.بي. وغيرها الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10 - 11 من مؤسسات التعليم العام.
• جوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج. الرياضيات (دليل للملتحقين بالمدارس الفنية).

غالبًا ما يتطلب تحويل التعبيرات ذات الجذور والقوى التنقل ذهابًا وإيابًا بين الجذور والقوى. في هذه المقالة، سننظر في كيفية إجراء مثل هذه التحولات، وما الذي يكمن وراءها، وفي أي نقاط تحدث الأخطاء في أغلب الأحيان. سنقدم كل هذا بأمثلة نموذجية مع تحليل مفصل للحلول.

التنقل في الصفحة.

الانتقال من القوى ذات الأسس الكسرية إلى الجذور

إن إمكانية الانتقال من درجة ذات أس كسري إلى الجذر تمليها تعريف الدرجة ذاته. دعونا نتذكر كيف يتم تحديده: قوة الرقم الموجب a مع الأس الكسري m/n، حيث m عدد صحيح و n عدد طبيعي، تسمى الجذر n لـ m، أي حيث a>0 ، م∈Z، ن∈ ن. يتم تعريف القوة الكسرية للصفر بالمثل ، مع الاختلاف الوحيد الذي في هذه الحالة لم يعد m يعتبر عددًا صحيحًا، بل عددًا طبيعيًا، بحيث لا تحدث القسمة على صفر.

وبالتالي، يمكن دائمًا استبدال الدرجة بالجذر. على سبيل المثال، يمكنك الانتقال من إلى، ويمكن استبدال الدرجة بالجذر. لكن لا يجب أن تنتقل من التعبير إلى الجذر، لأن الدرجة في البداية لا معنى لها (لم يتم تعريف درجة الأرقام السالبة)، على الرغم من أن الجذر له معنى.

كما ترون، لا يوجد شيء صعب على الإطلاق في الانتقال من قوى الأعداد إلى الجذور. يتم الانتقال إلى جذور القوى ذات الأسس الكسرية، بناءً على تعبيرات تعسفية، بالمثل. لاحظ أن هذا الانتقال يتم تنفيذه على ODZ للمتغيرات الخاصة بالتعبير الأصلي. على سبيل المثال، التعبير على ODZ بأكمله للمتغير x لهذا التعبير يمكن استبداله بالجذر . ومن الدرجة اذهب إلى الجذر ، يتم إجراء مثل هذا الاستبدال لأي مجموعة من المتغيرات x وy وz من ODZ للتعبير الأصلي.

استبدال الجذور بالقوى

الاستبدال العكسي ممكن أيضًا، أي استبدال الجذور بالقوى ذات الأسس الكسرية. كما أنه يقوم على المساواة، والتي تستخدم في هذه الحالة من اليمين إلى اليسار، أي في الشكل.

بالنسبة للإيجابية فإن التحول المشار إليه واضح. على سبيل المثال، يمكنك استبدال الدرجة بـ ، والانتقال من الجذر إلى الدرجة باستخدام الأس الكسري للنموذج.

وبالنسبة لسالب (أ)، فإن المساواة غير منطقية، لكن الجذر لا يزال منطقيًا. على سبيل المثال، الجذور منطقية، لكن لا يمكن استبدالها بالقوى. فهل من الممكن حتى تحويلها إلى تعبيرات ذات صلاحيات؟ من الممكن إذا قمت بإجراء تحويلات أولية، والتي تتمثل في الذهاب إلى الجذور ذات الأعداد غير السالبة تحتها، والتي يتم استبدالها بعد ذلك بالقوى ذات الأسس الكسرية. دعونا نبين ما هي هذه التحولات الأولية وكيفية تنفيذها.

في حالة الجذر، يمكنك إجراء التحويلات التالية: . وبما أن 4 هو عدد موجب، فيمكن استبدال الجذر الأخير بقوة. وفي الحالة الثانية تحديد الجذر الفردي لعدد سالب-a (حيث تكون a موجبة)، معبراً عنها بالمساواة ، يسمح لك باستبدال الجذر بتعبير يمكن من خلاله بالفعل استبدال الجذر التكعيبي لاثنين بدرجة، وسيأخذ الشكل .

يبقى معرفة كيفية استبدال الجذور التي تقع تحتها التعبيرات بالقوى التي تحتوي على هذه التعبيرات في القاعدة. ولا داعي للاستعجال في استبدالها بـ ، فقد استخدمنا حرف الألف للدلالة على تعبير معين. دعونا نعطي مثالا لتوضيح ما نعنيه بهذا. أريد فقط استبدال الجذر بدرجة، على أساس المساواة. لكن مثل هذا الاستبدال مناسب فقط في ظل الشرط x−3≥0، وللقيم المتبقية للمتغير x من ODZ (تلبية الشرط x−3<0 ) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a . Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.

وبسبب هذا التطبيق غير الدقيق للصيغة، غالبًا ما تحدث أخطاء عند الانتقال من الجذور إلى القوى. على سبيل المثال، في الكتاب المدرسي، يتم إعطاء المهمة لتمثيل تعبير في شكل قوة ذات أس عقلاني، ويتم إعطاء الإجابة، مما يثير الأسئلة، لأن الشرط لا يحدد القيد b>0. وفي الكتاب المدرسي هناك انتقال من التعبير على الأرجح من خلال التحولات التالية للتعبير غير العقلاني

الى التعبير. وتثير عملية الانتقال الأخيرة أيضاً تساؤلات، لأنها تعمل على تضييق نطاق المنطقة الجغرافية.

يطرح سؤال منطقي: "كيف يمكن الانتقال بشكل صحيح من الجذر إلى القوة لجميع قيم المتغيرات من ODZ؟" ويتم هذا الاستبدال على أساس العبارات التالية:

وقبل تبرير النتائج المسجلة، نعطي عدة أمثلة على استخدامها للانتقال من الجذور إلى القوى. أولا، دعونا نعود إلى التعبير. كان ينبغي استبداله ليس بـ ، بل بـ (في هذه الحالة m=2 عدد صحيح زوجي، n=3 عدد صحيح طبيعي). مثال آخر: .

الآن التبرير الموعود للنتائج.

عندما يكون m عددًا صحيحًا فرديًا، وn عددًا صحيحًا طبيعيًا زوجيًا، فبالنسبة لأي مجموعة من المتغيرات من ODZ للتعبير، تكون قيمة التعبير A موجبة (إذا كانت m<0 ) или неотрицательно (если m>0). لهذا السبب، .

دعنا ننتقل إلى النتيجة الثانية. دع m يكون عددًا صحيحًا فرديًا موجبًا وn عددًا طبيعيًا فرديًا. لجميع قيم المتغيرات من ODZ التي تكون قيمة التعبير A لها غير سالبة، ، والذي يعتبر سلبيا،

تم إثبات النتيجة التالية بشكل مشابه للأعداد الصحيحة السالبة والفردية m والأعداد الصحيحة الطبيعية الفردية n. لجميع قيم المتغيرات من ODZ التي تكون قيمة التعبير A موجبة فيها، ، والذي يعتبر سلبيا،

وأخيرا النتيجة الأخيرة. دع m يكون عددًا صحيحًا، n يكون أي عدد طبيعي. لجميع قيم المتغيرات من ODZ التي تكون قيمة التعبير A موجبة (إذا كانت m<0 ) или неотрицательно (если m>0 ), . والذي هو سلبي، . وبالتالي، إذا كان m عددًا صحيحًا، و n هو أي رقم طبيعي، فيمكن استبدال أي مجموعة من قيم المتغيرات من ODZ للتعبير بـ .

فهرس.

1. الجبروبداية التحليل: بروك. للصفوف 10-11. تعليم عام المؤسسات / A. N. Kolmogorov، A. M. Abramov، P. Dudnitsyn وآخرون؛ إد. أ.ن.كولموجوروف – الطبعة الرابعة عشرة – م: التعليم، 2004. – 384 صفحة: مريض – ISBN 5-09-013651-3.
2. الجبروبداية التحليل الرياضي. الصف الحادي عشر: تعليمي. للتعليم العام المؤسسات: الأساسية والملف الشخصي. المستويات / [يو. M. Kolyagin، M. V. Tkacheva، N. E. Fedorova، M. I. Shabunin]؛ حررت بواسطة أ.ب. زيزتشينكو. – م: التعليم، 2009.- 336 ص: مريض- ISBN 979-5-09-016551-8.

يستخدم برنامج Excel الوظائف المضمنة والعوامل الرياضية لاستخراج الجذر ورفع الرقم إلى قوة. دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.

أمثلة على وظيفة SQRT في Excel

تقوم الدالة SQRT المضمنة بإرجاع قيمة الجذر التربيعي الموجبة. في قائمة الوظائف، يقع ضمن فئة الرياضيات.

بناء جملة الوظيفة: =ROOT(الرقم).

الوسيطة الوحيدة والمطلوبة هي رقم موجب تقوم الدالة بحساب الجذر التربيعي له. إذا كانت الوسيطة سالبة، فسيقوم Excel بإرجاع الخطأ #NUM!

يمكنك تحديد قيمة محددة أو مرجع لخلية ذات قيمة رقمية كوسيطة.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.

قامت الدالة بإرجاع الجذر التربيعي للرقم 36. والوسيطة هي قيمة محددة.

ترجع الدالة ABS القيمة المطلقة لـ -36. لقد سمح لنا استخدامه بتجنب الأخطاء عند استخراج الجذر التربيعي لعدد سالب.

أخذت الدالة الجذر التربيعي لمجموع 13 وقيمة الخلية C1.



وظيفة الأس في Excel

بناء جملة الوظيفة: =POWER(القيمة، الرقم). كلا الوسيطتين مطلوبة.

القيمة هي أي قيمة رقمية حقيقية. الرقم هو مؤشر على القوة التي يجب رفع قيمة معينة إليها.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.

في الخلية C2 - نتيجة تربيع الرقم 10.

أعادت الدالة الرقم 100 مرفوعًا إلى ¾.

الأس باستخدام المشغل

لرفع رقم إلى قوة في Excel، يمكنك استخدام العامل الرياضي "^". لإدخاله، اضغط على Shift + 6 (مع تخطيط لوحة المفاتيح الإنجليزية).

لكي يتعامل برنامج Excel مع المعلومات المدخلة كصيغة، يتم وضع علامة "=" أولاً. التالي هو الرقم الذي يجب رفعه إلى قوة. وبعد علامة "^" توجد قيمة الدرجة.

بدلاً من أي قيمة لهذه الصيغة الرياضية، يمكنك استخدام مراجع للخلايا ذات الأرقام.

يعد هذا مناسبًا إذا كنت بحاجة إلى إنشاء قيم متعددة.

من خلال نسخ الصيغة إلى العمود بأكمله، حصلنا بسرعة على نتائج رفع الأعداد في العمود A إلى القوة الثالثة.

استخراج الجذور n

ROOT هي دالة الجذر التربيعي في Excel. كيفية استخراج جذر الدرجات الثالثة والرابعة وغيرها؟

دعونا نتذكر أحد القوانين الرياضية: لاستخراج الجذر النوني، عليك رفع الرقم إلى القوة 1/ن.

على سبيل المثال، لاستخراج الجذر التكعيبي، نرفع الرقم إلى القوة 1/3.

دعونا نستخدم الصيغة لاستخراج جذور بدرجات مختلفة في Excel.

أعادت الصيغة قيمة الجذر التكعيبي للرقم 21. وللرفع إلى قوة كسرية، تم استخدام عامل التشغيل "^".

تهانينا: سننظر اليوم إلى الجذور - وهو أحد أكثر المواضيع إثارة للذهن في الصف الثامن :).

كثير من الناس يرتبكون بشأن الجذور، ليس لأنها معقدة (الأمر المعقد فيها هو بضعة تعريفات وبعض الخصائص الأخرى)، ولكن لأنه في معظم الكتب المدرسية يتم تعريف الجذور من خلال مثل هذه الغابة التي لا يعرفها سوى مؤلفي الكتب المدرسية أنفسهم يمكن أن يفهموا هذه الكتابة. وحتى ذلك الحين فقط مع زجاجة من الويسكي الجيد.

لذلك، سأقدم الآن التعريف الأكثر صحة وكفاءة للجذر - وهو الوحيد الذي يجب أن تتذكره حقًا. وبعد ذلك سأشرح: لماذا نحتاج إلى كل هذا وكيفية تطبيقه عمليًا.

لكن أولاً، تذكر نقطة مهمة واحدة، والتي "ينساها" العديد من جامعي الكتب المدرسية لسبب ما:

يمكن أن تكون الجذور ذات درجة زوجية (المفضلة لدينا $\sqrt(a)$، بالإضافة إلى جميع أنواع $\sqrt(a)$ وحتى $\sqrt(a)$) والدرجة الفردية (جميع أنواع $\sqrt (أ)$، $\sqrt(a)$، وما إلى ذلك). وتعريف جذر الدرجة الفردية يختلف بعض الشيء عن الدرجة الزوجية.

ربما يكون 95٪ من جميع الأخطاء وسوء الفهم المرتبط بالجذور مخفيًا في هذا "المختلف إلى حد ما" اللعين. لذلك دعونا نوضح المصطلحات مرة واحدة وإلى الأبد:

تعريف. حتى الجذر نمن الرقم $a$ هو أي غير سلبيالرقم $b$ هو $((b)^(n))=a$. والجذر الفردي لنفس الرقم $a$ هو عمومًا أي رقم $b$ يحمل نفس المساواة: $((b)^(n))=a$.

على أية حال، يُشار إلى الجذر على النحو التالي:

\(أ)\]

الرقم $n$ في مثل هذا الترميز يسمى الأس الجذر، والرقم $a$ يسمى التعبير الجذري. على وجه الخصوص، بالنسبة إلى $n=2$، نحصل على الجذر التربيعي "المفضل" لدينا (بالمناسبة، هذا جذر من الدرجة الزوجية)، وبالنسبة إلى $n=3$ نحصل على الجذر التكعيبي (الدرجة الفردية)، وهو وغالبا ما توجد أيضا في المشاكل والمعادلات.

أمثلة. الأمثلة الكلاسيكية للجذور التربيعية:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \النهاية(محاذاة)\]

بالمناسبة، $\sqrt(0)=0$، و $\sqrt(1)=1$. وهذا أمر منطقي تمامًا، نظرًا لأن $((0)^(2))=0$ و$((1)^(2))=1$.

الجذور التكعيبية شائعة أيضًا - لا داعي للخوف منها:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \النهاية(محاذاة)\]

حسنًا، بعض "الأمثلة الغريبة":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \النهاية(محاذاة)\]

إذا كنت لا تفهم ما هو الفرق بين الدرجة الزوجية والدرجة الفردية، أعد قراءة التعريف مرة أخرى. انها مهمة جدا!

في غضون ذلك، سننظر في إحدى السمات غير السارة للجذور، والتي بسببها كنا بحاجة إلى تقديم تعريف منفصل للأسس الزوجية والفردية.

لماذا هناك حاجة للجذور على الإطلاق؟

بعد قراءة التعريف، سيتساءل العديد من الطلاب: "ما الذي كان علماء الرياضيات يدخنونه عندما توصلوا إلى هذا؟" وحقا: لماذا نحتاج كل هذه الجذور على الإطلاق؟

للإجابة على هذا السؤال، دعونا نعود إلى المدرسة الابتدائية للحظة. تذكر: في تلك الأوقات البعيدة، عندما كانت الأشجار أكثر خضرة والزلابية ألذ، كان همنا الرئيسي هو مضاعفة الأرقام بشكل صحيح. حسنًا، شيء مثل "خمسة في خمسة - خمسة وعشرون"، هذا كل شيء. ولكن يمكنك مضاعفة الأرقام ليس في أزواج، ولكن في ثلاثة توائم وأربعة أضعاف ومجموعات كاملة بشكل عام:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

ومع ذلك، هذه ليست النقطة. الحيلة مختلفة: علماء الرياضيات أناس كسالى، لذلك واجهوا صعوبة في كتابة ضرب العشرة بخمسات مثل هذا:

ولهذا السبب توصلوا إلى درجات علمية. لماذا لا تكتب عدد العوامل كخط مرتفع بدلاً من سلسلة طويلة؟ شيء من هذا القبيل:

انها مريحة للغاية! تم تقليل جميع الحسابات بشكل كبير، ولن تضطر إلى إهدار مجموعة من أوراق الرق والدفاتر لتدوين حوالي 5183. تم استدعاء هذا السجل قوة الرقم؛ تم العثور على مجموعة من الخصائص فيه، لكن السعادة تبين أنها قصيرة الأجل.

بعد حفلة شرب فخمة، تم تنظيمها فقط من أجل "اكتشاف" الدرجات، تساءل بعض علماء الرياضيات العنيدين بشكل خاص: "ماذا لو كنا نعرف درجة الرقم، ولكن الرقم نفسه غير معروف؟" الآن، في الواقع، إذا كنا نعلم أن عددًا معينًا $b$، على سبيل المثال، أس 5 يعطي 243، فكيف يمكننا تخمين ما يساوي الرقم $b$ نفسه؟

تبين أن هذه المشكلة أكثر عالمية مما قد تبدو للوهلة الأولى. لأنه اتضح أنه بالنسبة لمعظم القوى "الجاهزة" لا توجد مثل هذه الأرقام "الأولية". أحكم لنفسك:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \النهاية(محاذاة)\]

ماذا لو $((ب)^(3))=50 دولارًا؟ اتضح أننا بحاجة إلى إيجاد عدد معين، عندما نضربه في نفسه ثلاث مرات، نحصل على 50. لكن ما هو هذا العدد؟ ومن الواضح أنها أكبر من 3، حيث أن 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. هذا هو يقع هذا الرقم بين ثلاثة وأربعة، لكنك لن تفهم ما يساويه.

وهذا هو بالضبط السبب وراء توصل علماء الرياضيات إلى الجذور $n$th. وهذا هو بالضبط سبب ظهور الرمز الجذري $\sqrt(*)$. لتعيين الرقم $b$ نفسه، والذي سيعطينا إلى الدرجة المشار إليها قيمة معروفة مسبقًا

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

أنا لا أجادل: غالبًا ما يتم حساب هذه الجذور بسهولة - لقد رأينا العديد من هذه الأمثلة أعلاه. لكن مع ذلك، في معظم الحالات، إذا فكرت في رقم اعتباطي ثم حاولت استخراج جذر درجة اعتباطية منه، فسوف تواجه مشكلة مريعة.

ماذا هنالك! حتى أبسط وأشهر $\sqrt(2)$ لا يمكن تمثيله في شكلنا المعتاد - كعدد صحيح أو كسر. وإذا قمت بإدخال هذا الرقم في الآلة الحاسبة، فسوف ترى هذا:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

كما ترون، بعد العلامة العشرية هناك تسلسل لا نهاية له من الأرقام التي لا تخضع لأي منطق. يمكنك بالطبع تقريب هذا الرقم للمقارنة بسرعة مع الأرقام الأخرى. على سبيل المثال:

\[\sqrt(2)=1.4142...\حوالي 1.4 \lt 1.5\]

أو هنا مثال آخر:

\[\sqrt(3)=1.73205...\حوالي 1.7 \gt 1.5\]

لكن كل هذه التقريبات، أولاً، قاسية جدًا؛ وثانيًا، يجب أيضًا أن تكون قادرًا على العمل بقيم تقريبية، وإلا يمكنك التقاط مجموعة من الأخطاء غير الواضحة (بالمناسبة، مهارة المقارنة والتقريب مطلوبة للاختبار في امتحان الدولة الموحد للملف الشخصي).

لذلك، في الرياضيات الجادة، لا يمكنك الاستغناء عن الجذور - فهي نفس الممثلين المتساويين لمجموعة جميع الأعداد الحقيقية $\mathbb(R)$، تمامًا مثل الكسور والأعداد الصحيحة التي كنا نعرفها منذ فترة طويلة.

عدم القدرة على تمثيل الجذر ككسر من النموذج $\frac(p)(q)$ يعني أن هذا الجذر ليس عددًا نسبيًا. وتسمى هذه الأرقام غير عقلانية، ولا يمكن تمثيلها بدقة إلا بمساعدة الإنشاءات الجذرية أو غيرها من الإنشاءات المصممة خصيصًا لذلك (اللوغاريتمات، القوى، الحدود، إلخ). و المزيد لاحقا.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة حيث، بعد كل الحسابات، ستظل الأرقام غير المنطقية موجودة في الإجابة.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\approx -1.2599... \\ \end(align)\]

بطبيعة الحال، من مظهر الجذر، يكاد يكون من المستحيل تخمين الأرقام التي ستأتي بعد العلامة العشرية. ومع ذلك، يمكنك الاعتماد على الآلة الحاسبة، ولكن حتى حاسبة التاريخ الأكثر تقدمًا لا تعطينا سوى الأرقام القليلة الأولى من رقم غير نسبي. ولذلك، فمن الأصح كتابة الإجابات في النموذج $\sqrt(5)$ و $\sqrt(-2)$.

وهذا هو بالضبط سبب اختراعهم. لتسجيل الإجابات بسهولة.

لماذا هناك حاجة إلى تعريفين؟

ربما لاحظ القارئ اليقظ بالفعل أن جميع الجذور التربيعية الواردة في الأمثلة مأخوذة من أرقام موجبة. حسنا، على الأقل من الصفر. لكن يمكن استخراج الجذور المكعبة بهدوء من أي رقم على الإطلاق - سواء كان موجبًا أو سالبًا.

لماذا يحدث هذا؟ ألقِ نظرة على الرسم البياني للدالة $y=((x)^(2))$:

الرسم البياني للدالة التربيعية يعطي جذرين: موجب وسالب

دعونا نحاول حساب $\sqrt(4)$ باستخدام هذا الرسم البياني. للقيام بذلك، يتم رسم خط أفقي $y=4$ على الرسم البياني (معلم باللون الأحمر)، والذي يتقاطع مع القطع المكافئ عند نقطتين: $((x)_(1))=2$ و$((x )_(2)) =-2$. وهذا أمر منطقي تماما، منذ ذلك الحين

كل شيء واضح مع الرقم الأول - فهو موجب، فهو الجذر:

ولكن بعد ذلك ماذا تفعل مع النقطة الثانية؟ مثل أربعة لها جذرين في وقت واحد؟ بعد كل شيء، إذا قمنا بتربيع الرقم −2، فسنحصل أيضًا على 4. لماذا لا نكتب $\sqrt(4)=-2$ إذن؟ ولماذا ينظر المعلمون إلى مثل هذه المنشورات وكأنهم يريدون أكلك :)؟

المشكلة هي أنه إذا لم تفرض أي شروط إضافية، فسيكون للرباعية جذران تربيعيان - إيجابي وسالب. وأي عدد موجب سيكون له اثنان أيضًا. لكن الأعداد السالبة لن يكون لها جذور على الإطلاق - ويمكن ملاحظة ذلك من نفس الرسم البياني، نظرًا لأن القطع المكافئ لا يقع أبدًا أسفل المحور ذ، أي. لا يقبل القيم السلبية.

تحدث مشكلة مماثلة لجميع الجذور ذات الأس الزوجي:

1. بالمعنى الدقيق للكلمة، سيكون لكل رقم موجب جذرين لهما أس زوجي $n$؛
2. من الأرقام السالبة، لا يتم استخراج الجذر الذي يحتوي على $n$ على الإطلاق.

ولهذا السبب، ينص تعريف جذر الدرجة الزوجية $n$ على وجه التحديد على أن الإجابة يجب أن تكون رقمًا غير سالب. وبهذه الطريقة نتخلص من الغموض.

لكن بالنسبة إلى $n$ الغريب لا توجد مثل هذه المشكلة. لرؤية ذلك، دعونا نلقي نظرة على الرسم البياني للدالة $y=((x)^(3))$:

يمكن للقطع المكافئ المكعب أن يأخذ أي قيمة، لذا يمكن أخذ الجذر التكعيبي من أي رقم

يمكن استخلاص استنتاجين من هذا الرسم البياني:

1. فروع القطع المكافئ المكعب، على عكس المعتاد، تذهب إلى اللانهاية في كلا الاتجاهين - لأعلى ولأسفل. لذلك، بغض النظر عن الارتفاع الذي نرسمه خطًا أفقيًا، فإن هذا الخط سيتقاطع بالتأكيد مع الرسم البياني لدينا. وبالتالي، يمكن دائمًا استخراج الجذر التكعيبي من أي رقم على الإطلاق؛
2. بالإضافة إلى ذلك، سيكون هذا التقاطع فريدًا دائمًا، لذلك لا تحتاج إلى التفكير في الرقم الذي يعتبر الجذر "الصحيح" وأي رقم يجب تجاهله. ولهذا السبب يكون تحديد جذور الدرجة الفردية أسهل من تحديد الدرجة الزوجية (ليس هناك شرط لعدم السالبة).

ومن المؤسف أن هذه الأشياء البسيطة لم يتم شرحها في معظم الكتب المدرسية. وبدلاً من ذلك، تبدأ أدمغتنا في التحليق بكل أنواع الجذور الحسابية وخصائصها.

نعم، أنا لا أجادل: أنت بحاجة أيضًا إلى معرفة ما هو الجذر الحسابي. وسأتحدث عن هذا بالتفصيل في درس منفصل. اليوم سنتحدث عنه أيضًا، لأنه بدونه ستكون كل الأفكار حول جذور التعدد $n$-th غير مكتملة.

لكن عليك أولاً أن تفهم بوضوح التعريف الذي قدمته أعلاه. خلاف ذلك، بسبب وفرة المصطلحات، ستبدأ مثل هذه الفوضى في رأسك أنك في النهاية لن تفهم أي شيء على الإطلاق.

كل ما عليك فعله هو فهم الفرق بين المؤشرات الزوجية والفردية. لذلك، دعونا مرة أخرى نجمع كل ما تحتاج لمعرفته حول الجذور:

1. يوجد جذر الدرجة الزوجية فقط من رقم غير سالب ويكون في حد ذاته دائمًا رقمًا غير سالب. بالنسبة للأرقام السالبة، يكون هذا الجذر غير محدد.
2. لكن جذر الدرجة الفردية موجود من أي رقم ويمكن أن يكون في حد ذاته أي رقم: بالنسبة للأرقام الموجبة يكون موجبًا، وبالنسبة للأرقام السالبة، كما يشير الغطاء، يكون سالبًا.

هل هي صعبة؟ لا، ليس من الصعب. انها واضحة؟ نعم، الأمر واضح تمامًا! والآن سوف نتدرب قليلًا على العمليات الحسابية.

الخصائص والقيود الأساسية

للجذور العديد من الخصائص والقيود الغريبة - سيتم مناقشة ذلك في درس منفصل. لذلك، الآن سننظر فقط في "الخدعة" الأكثر أهمية، والتي تنطبق فقط على الجذور ذات الفهرس الزوجي. لنكتب هذه الخاصية كصيغة:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| س\يمين|\]

بمعنى آخر، إذا رفعنا عددًا إلى قوة زوجية ثم استخرجنا جذر القوة نفسها، فلن نحصل على العدد الأصلي، بل على مقياسه. هذه نظرية بسيطة يمكن إثباتها بسهولة (يكفي النظر إلى $x$ غير السالبة بشكل منفصل، ثم السالبة بشكل منفصل). يتحدث المعلمون باستمرار عن هذا الموضوع، وهو موجود في كل كتاب مدرسي. ولكن بمجرد أن يتعلق الأمر بحل المعادلات غير المنطقية (أي المعادلات التي تحتوي على علامة جذرية)، ينسى الطلاب بالإجماع هذه الصيغة.

لفهم المشكلة بالتفصيل، دعونا ننسى جميع الصيغ لمدة دقيقة ونحاول حساب رقمين للأمام مباشرة:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

هذه أمثلة بسيطة للغاية. معظم الناس سوف يحلون المثال الأول، لكن الكثير من الناس يعلقون في المثال الثاني. لحل أي مشكلة من هذا القبيل دون مشاكل، فكر دائمًا في الإجراء:

1. أولاً، يتم رفع العدد إلى القوة الرابعة. حسنًا، الأمر سهل نوعًا ما. سوف تحصل على رقم جديد يمكن العثور عليه حتى في جدول الضرب؛
2. والآن من هذا الرقم الجديد لا بد من استخراج الجذر الرابع. أولئك. لا يحدث أي "اختزال" للجذور والقوى - فهذه إجراءات متسلسلة.

دعونا نلقي نظرة على التعبير الأول: $\sqrt(((3)^(4)))$. من الواضح أنك تحتاج أولاً إلى حساب التعبير الموجود تحت الجذر:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

ثم نستخرج الجذر الرابع للرقم 81:

الآن دعونا نفعل الشيء نفسه مع التعبير الثاني. أولًا، نرفع العدد −3 إلى القوة الرابعة، وهو ما يتطلب ضربه في نفسه 4 مرات:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ يسار(-3 \يمين)=81\]

لقد حصلنا على رقم موجب، نظرًا لأن العدد الإجمالي للسلبيات في المنتج هو 4، وسوف تلغي جميعها بعضها البعض (بعد كل شيء، ناقص ناقص يعطي علامة زائد). ثم نستخرج الجذر مرة أخرى:

من حيث المبدأ، لا يمكن أن يكون هذا السطر مكتوبًا، لأنه ليس من المنطقي أن تكون الإجابة هي نفسها. أولئك. الجذر الزوجي لنفس القوة الزوجية "يحرق" السلبيات، وبهذا المعنى لا يمكن تمييز النتيجة عن الوحدة النمطية العادية:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \يمين|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \صحيح|=3. \\ \النهاية(محاذاة)\]

تتوافق هذه الحسابات بشكل جيد مع تعريف جذر الدرجة الزوجية: النتيجة دائمًا غير سالبة، كما تحتوي علامة الجذر دائمًا على رقم غير سالب. وإلا فإن الجذر غير محدد.

ملاحظة حول الإجراء

1. الترميز $\sqrt(((a)^(2)))$ يعني أننا نقوم أولاً بتربيع الرقم $a$ ثم نأخذ الجذر التربيعي للقيمة الناتجة. لذلك، يمكننا التأكد من وجود رقم غير سالب دائمًا تحت علامة الجذر، نظرًا لأن $((a)^(2))\ge 0$ على أي حال؛
2. لكن التدوين $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$، على العكس من ذلك، يعني أننا نأخذ أولاً جذر رقم معين $a$ وبعد ذلك فقط نقوم بتربيع النتيجة. لذلك، لا يمكن أن يكون الرقم $a$ سالبًا بأي حال من الأحوال - وهذا مطلب إلزامي مدرج في التعريف.

وبالتالي، لا ينبغي بأي حال من الأحوال تقليل الجذور والدرجات دون تفكير، وبالتالي "تبسيط" التعبير الأصلي. لأنه إذا كان الجذر يحتوي على رقم سالب وأسه زوجي، فسنحصل على مجموعة من المشاكل.

ومع ذلك، فإن كل هذه المشاكل ذات صلة فقط بالمؤشرات.

إزالة علامة الطرح من تحت علامة الجذر

وبطبيعة الحال، فإن الجذور ذات الأسس الفردية لها أيضًا ميزة خاصة بها، والتي من حيث المبدأ غير موجودة مع الأسس الزوجية. يسمى:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

باختصار، يمكنك إزالة الطرح من تحت علامة الجذور ذات الدرجة الفردية. هذه خاصية مفيدة للغاية تسمح لك "بالتخلص" من جميع العيوب:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(محاذاة)\]

تعمل هذه الخاصية البسيطة على تبسيط العديد من الحسابات إلى حد كبير. الآن لا داعي للقلق: ماذا لو تم إخفاء تعبير سلبي تحت الجذر، ولكن تبين أن الدرجة عند الجذر متساوية؟ يكفي فقط "التخلص" من كل السلبيات خارج الجذور، وبعد ذلك يمكن مضاعفة بعضها البعض، وتقسيمها، والقيام بشكل عام بالعديد من الأشياء المشبوهة، والتي في حالة الجذور "الكلاسيكية" تضمن أن تقودنا إلى خطا.

وهنا يظهر تعريف آخر على الساحة - وهو نفس التعريف الذي تبدأ به معظم المدارس دراسة التعبيرات غير العقلانية. وبدون ذلك سيكون تفكيرنا ناقصا. يقابل!

الجذر الحسابي

لنفترض للحظة أنه تحت علامة الجذر يمكن أن يكون هناك أرقام موجبة فقط، أو في الحالات القصوى، صفر. دعونا ننسى المؤشرات الزوجية/الفردية، دعونا ننسى جميع التعريفات المذكورة أعلاه - سنعمل فقط مع الأرقام غير السالبة. ماذا بعد؟

وبعد ذلك سنحصل على جذر حسابي - فهو يتداخل جزئيًا مع تعريفاتنا "المعيارية"، ولكنه لا يزال يختلف عنها.

تعريف. الجذر الحسابي للدرجة $n$th للرقم غير السالب $a$ هو رقم غير سالب $b$ بحيث يكون $((b)^(n))=a$.

وكما نرى، لم نعد مهتمين بالتكافؤ. وبدلاً من ذلك، ظهر قيد جديد: أصبح التعبير الجذري الآن دائمًا غير سلبي، والجذر نفسه أيضًا غير سلبي.

لفهم كيفية اختلاف الجذر الحسابي عن الجذر الحسابي بشكل أفضل، ألقِ نظرة على الرسوم البيانية للقطع المكافئ المربع والمكعب الذي نعرفه بالفعل:

منطقة البحث عن الجذر الحسابي - أرقام غير سالبة

كما ترون، من الآن فصاعدا نحن مهتمون فقط بتلك الأجزاء من الرسوم البيانية الموجودة في الربع الإحداثي الأول - حيث تكون الإحداثيات $x$ و $y$ موجبة (أو على الأقل صفر). لم تعد بحاجة إلى النظر إلى المؤشر لفهم ما إذا كان لدينا الحق في وضع رقم سالب تحت الجذر أم لا. لأن الأرقام السالبة لم تعد تعتبر من حيث المبدأ.

قد تسأل: "حسنًا، لماذا نحتاج إلى مثل هذا التعريف المخصٍ؟" أو: "لماذا لا نستطيع التعامل مع التعريف القياسي المذكور أعلاه؟"

حسنًا، سأقدم خاصية واحدة فقط يصبح التعريف الجديد مناسبًا بسببها. على سبيل المثال، قاعدة الأس:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((أ)^(ك)))\]

يرجى ملاحظة: يمكننا رفع التعبير الجذري إلى أي قوة وفي نفس الوقت ضرب الجذر الأسي بنفس القوة - وستكون النتيجة نفس الرقم! فيما يلي أمثلة:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

ذلك ما الصفقة الكبيرة؟ لماذا لم نتمكن من القيام بذلك من قبل؟ هذا هو السبب. لنفكر في تعبير بسيط: $\sqrt(-2)$ - هذا الرقم طبيعي تمامًا في فهمنا الكلاسيكي، ولكنه غير مقبول على الإطلاق من وجهة نظر الجذر الحسابي. دعونا نحاول تحويله:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

كما ترون، في الحالة الأولى قمنا بإزالة الطرح من تحت الجذر (لدينا كل الحق، لأن الأس فردي)، وفي الحالة الثانية استخدمنا الصيغة أعلاه. أولئك. من وجهة نظر رياضية، كل شيء يتم وفقًا للقواعد.

ماهذا الهراء؟! كيف يمكن أن يكون نفس العدد موجبًا وسالبًا؟ مستحيل. كل ما في الأمر أن صيغة الأس، التي تعمل بشكل جيد مع الأعداد الموجبة والصفر، تبدأ في إنتاج بدعة كاملة في حالة الأعداد السالبة.

ومن أجل التخلص من هذا الغموض تم اختراع الجذور الحسابية. تم تخصيص درس كبير منفصل لهم، حيث نعتبر جميع خصائصهم بالتفصيل. لذلك لن نتناولها الآن - لقد تبين أن الدرس طويل جدًا بالفعل.

الجذر الجبري: لمن يريد معرفة المزيد

فكرت لفترة طويلة فيما إذا كنت سأضع هذا الموضوع في فقرة منفصلة أم لا. وفي النهاية قررت أن أتركها هنا. هذه المادة مخصصة لأولئك الذين يرغبون في فهم الجذور بشكل أفضل - ليس على مستوى "المدرسة" المتوسط، ولكن على مقربة من مستوى الأولمبياد.

لذلك: بالإضافة إلى التعريف "الكلاسيكي" للجذر $n$th للرقم والتقسيم المرتبط به إلى أسس زوجية وفردية، هناك تعريف أكثر "للبالغين" لا يعتمد على الإطلاق على التكافؤ والتفاصيل الدقيقة الأخرى. وهذا ما يسمى جذر جبري.

تعريف. الجذر الجبري $n$th لأي $a$ هو مجموعة جميع الأرقام $b$ بحيث يكون $((b)^(n))=a$. لا يوجد تحديد ثابت لهذه الجذور، لذلك سنضع شرطة في الأعلى:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

والفرق الأساسي عن التعريف القياسي الوارد في بداية الدرس هو أن الجذر الجبري ليس رقمًا محددًا، بل مجموعة. وبما أننا نعمل مع الأعداد الحقيقية، فإن هذه المجموعة تأتي في ثلاثة أنواع فقط:

1. مجموعة فارغة. يحدث عندما تحتاج إلى إيجاد جذر جبري لدرجة زوجية من رقم سالب؛
2. مجموعة مكونة من عنصر واحد. جميع جذور القوى الفردية، وكذلك جذور القوى الزوجية للصفر، تقع ضمن هذه الفئة؛
3. أخيرًا، يمكن أن تتضمن المجموعة رقمين - نفس $((x)_(1))$ و$((x)_(2))=-((x)_(1))$ التي رأيناها في دالة تربيعية بيانية. وبناء على ذلك، فإن مثل هذا الترتيب ممكن فقط عند استخراج جذر درجة زوجية من رقم موجب.

الحالة الأخيرة تستحق دراسة أكثر تفصيلا. دعونا نعد بضعة أمثلة لفهم الفرق.

مثال. تقييم التعبيرات:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

حل. التعبير الأول بسيط:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

إنه رقمان يشكلان جزءًا من المجموعة. لأن كل واحد منهم مربع يعطي أربعة.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

نرى هنا مجموعة تتكون من رقم واحد فقط. وهذا أمر منطقي تماما، لأن الأس الجذر غريب.

وأخيرا التعبير الأخير:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

لقد حصلنا على مجموعة فارغة. لأنه لا يوجد رقم حقيقي واحد، عند رفعه إلى القوة الرابعة (أي حتى!) سيعطينا الرقم السالب −16.

الملاحظة النهائية. يرجى ملاحظة: لم يكن من قبيل الصدفة أن لاحظت في كل مكان أننا نعمل بأرقام حقيقية. نظرًا لوجود أرقام معقدة أيضًا - فمن الممكن تمامًا حساب $\sqrt(-16)$ هناك، والعديد من الأشياء الغريبة الأخرى.

ومع ذلك، فإن الأعداد المركبة لا تظهر أبدًا في دورات الرياضيات المدرسية الحديثة. لقد تمت إزالتها من معظم الكتب المدرسية لأن المسؤولين لدينا يعتبرون الموضوع "صعب الفهم للغاية".

هذا كل شئ. في الدرس التالي، سنلقي نظرة على جميع الخصائص الأساسية للجذور وسنتعلم أخيرًا كيفية تبسيط التعبيرات غير المنطقية :).

العمليات مع القوى والجذور. درجة مع السلبية ,

صفر وكسور مؤشر. عن التعبيرات التي ليس لها معنى.

العمليات بالدرجات.

1. عند ضرب القوى ذات الأساس نفسه، فإن أسسها تتراكم:

أكون · أ ن = أ م + ن .

2. عند قسمة الدرجات التي لها نفس الأساس تكون أسسها يتم خصمها .

3. درجة حاصل ضرب عاملين أو أكثر تساوي حاصل ضرب درجات هذه العوامل.

(اي بي سي… ) ن = ن· ب ن · ج ن…

4. درجة النسبة (الكسر) تساوي نسبة درجات المقسوم (البسط) والمقسوم عليه (المقام):

(أ / ب ) ن = أ ن / ب ن .

5. عند رفع قوة إلى قوة، يتم ضرب أسسها:

(أكون ) ن = أ م ن .

تتم قراءة جميع الصيغ المذكورة أعلاه وتنفيذها في كلا الاتجاهين من اليسار إلى اليمين والعكس.

مثال (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

العمليات مع الجذور. في جميع الصيغ أدناه، الرمز وسائل الجذر الحسابي(التعبير الجذري إيجابي).

1. جذر منتج عدة عوامل يساوي المنتج جذور هذه العوامل:

2. جذر النسبة يساوي نسبة جذور المقسوم والمقسوم عليه:

3. عند رفع الجذر إلى قوة ما، يكفي الرفع إلى هذه القوة العدد الجذري:

4. إذا قمنا بزيادة درجة الجذرم يرفع لم القوة th هي رقم جذري، فإن قيمة الجذر لن تتغير:

5. إذا قمنا بتقليل درجة الجذرم استخراج الجذر مرة واحدة وفي نفس الوقتم القوة رقم الجذر، فإن قيمة الجذر ليست كذلكسوف يتغير:

توسيع مفهوم الدرجة. لقد تناولنا حتى الآن الدرجات ذات الأسس الطبيعية فقط؛ولكن الإجراءات مع يمكن أن تؤدي الدرجات والجذور أيضًا إلى سلبي, صفرو كسورالمؤشرات. كل هذه الأسس تتطلب تعريفا إضافيا.

درجة ذات أس سلبي. قوة بعض الأرقام ج يتم تعريف الأس السالب (العدد الصحيح) على أنه واحد مقسم بقوة لها نفس العدد وأس يساوي القيمة المطلقةمؤشر سلبي:

تالآن الصيغة أكون: ن= أكون - ن يمكن استخدامها ليس فقط لم، أكثر من ن، ولكن أيضًا مع م، أقل من ن .

مثال أ 4 :أ 7 = أ 4 - 7 = أ - 3 .

إذا أردنا الصيغةأكون : ن= أكون - نكان عادلا عندمام = ن, نحن بحاجة إلى تعريف لدرجة الصفر.

درجة مع مؤشر صفر. قوة أي عدد غير الصفر وأسه صفر هي 1.

أمثلة. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

درجة مع الأس الكسرية. لرفع عدد حقيقيوإلى السلطة م / ن ، تحتاج إلى استخراج الجذرالقوة ن من م -القوة رقم هذا الرقمأ :

عن التعبيرات التي ليس لها معنى. هناك العديد من هذه التعبيرات.أي رقم.

في الواقع، إذا افترضنا أن هذا التعبير يساوي عددًا ما سإذن حسب تعريف عملية القسمة لدينا : 0 = 0 · س. ولكن هذه المساواة تحدث عندما أي رقم ×، وهو ما كان يحتاج إلى إثبات.

الحالة 3.

0 0 - أي رقم.

حقًا،

الحل دعونا ننظر في ثلاث حالات رئيسية:

1) س = 0 – هذه القيمة لا تلبي هذه المعادلة

(لماذا؟).

2) متى س> 0 نحصل على: س / س = 1، أي 1=1 يعني

ماذا س- أي رقم؛ ولكن مع الأخذ بعين الاعتبار أن في

في حالتنا هذه س> 0، الجواب هوس > 0 ;

3) متى س < 0 получаем: – س / س= 1، أي ه . -1 = 1، وبالتالي،

في هذه الحالة ليس هناك حل.

هكذا، س > 0.