أنت، كآباء، في عملية تعليم طفلك، ستواجه أكثر من مرة الحاجة إلى المساعدة في حل مهام الواجبات المنزلية في الرياضيات والجبر والهندسة. وإحدى المهارات الأساسية التي تحتاج إلى تعلمها هي كيفية العثور على معنى التعبير. كثير من الناس في طريق مسدود، لأنه كم سنة مرت منذ أن درسنا في الصفوف 3-5؟ لقد تم بالفعل نسيان الكثير، وبعضها لم يتم تعلمه. القواعد نفسها عمليات رياضية- بسيطة ويمكنك تذكرها بسهولة. لنبدأ بأساسيات التعبير الرياضي.
تعريف التعبير
التعبير الرياضي عبارة عن مجموعة من الأرقام وعلامات الفعل (=، +، -، *، /)، والأقواس، والمتغيرات. باختصار، هذه صيغة يجب العثور على قيمتها. مثل هذه الصيغ موجودة في مقررات الرياضيات منذ المدرسة، ومن ثم تطارد الطلاب الذين اختاروا التخصصات المتعلقة بها العلوم الدقيقة. التعبيرات الرياضيةتنقسم إلى مثلثية وجبرية وما إلى ذلك، دعونا لا ندخل في "البرية" ذاتها.
- قم بإجراء أي حسابات أولاً على المسودة، ثم أعد كتابتها دفتر العمل. بهذه الطريقة سوف تتجنب المعابر والأوساخ غير الضرورية.
- أعد حساب العدد الإجمالي للعمليات الرياضية التي يجب إجراؤها في التعبير. يرجى ملاحظة أنه وفقًا للقواعد، يتم إجراء العمليات بين قوسين أولاً، ثم القسمة والضرب، وفي النهاية الطرح والجمع. نوصي بتسليط الضوء على جميع الإجراءات بالقلم الرصاص ووضع الأرقام فوق الإجراءات بالترتيب الذي تم تنفيذها به. في هذه الحالة، سيكون من الأسهل بالنسبة لك ولطفلك التنقل؛
- ابدأ في إجراء الحسابات باتباع ترتيب الإجراءات بدقة. دع الطفل، إذا كانت العملية الحسابية بسيطة، حاول إجراءها في رأسه، ولكن إذا كانت صعبة، فضع في قلم رصاص الرقم المقابل للرقم الترتيبي للتعبير وقم بإجراء الحساب فيه في الكتابةتحت الصيغة؛
- عادة، ابحث عن القيمة تعبير بسيطليس من الصعب إذا تم تنفيذ جميع الحسابات وفقا للقواعد و بالترتيب الصحيح. معظم الناس يواجهون المشكلة على وجه التحديد في هذه المرحلةوإيجاد معنى التعبير، فتوخى الحذر ولا تخطئ؛
- منع الآلة الحاسبة سامي الصيغ الرياضيةوالمهام في حياة طفلك قد لا تكون مفيدة، لكن ليس هذا هو الهدف من دراسة المادة. الشيء الرئيسي هو التنمية التفكير المنطقي. إذا استخدمت الآلات الحاسبة، فسوف تفقد معنى كل شيء؛
- مهمتك كوالد ليست حل مشاكل طفلك، ولكن مساعدته في ذلك، وتوجيهه. دعه يقوم بإجراء جميع الحسابات بنفسه، وتأكد من أنه لا يخطئ، اشرح لماذا يحتاج إلى القيام بذلك بهذه الطريقة، وليس بطريقة أخرى.
- بمجرد العثور على إجابة التعبير، اكتبه بعد علامة "="؛
- يفتح آخر صفحةكتاب الرياضيات. عادة، هناك إجابات لكل تمرين في الكتاب. لا يضر التحقق مما إذا كان كل شيء قد تم حسابه بشكل صحيح.
إن العثور على معنى عبارة ما هو، من ناحية، إجراء بسيط، والشيء الرئيسي هو أن نتذكر القواعد الأساسية التي مررنا بها في دورة المدرسةالرياضيات. ومع ذلك، من ناحية أخرى، عندما تحتاج إلى مساعدة طفلك على التعامل مع الصيغ وحل المشكلات، تصبح المشكلة أكثر تعقيدًا. بعد كل شيء، أنت الآن لست طالبًا، بل مدرسًا، وتعليم أينشتاين المستقبلي يقع على عاتقك.
نأمل أن تساعدك مقالتنا في العثور على إجابة لسؤال كيفية العثور على معنى التعبير، ويمكنك بسهولة معرفة أي صيغة!
معادلة
الجمع والطرح والضرب والقسمة - العمليات الحسابية (أو عمليات حسابية ). هذه العمليات الحسابية تتوافق مع العلامات عمليات حسابية:
+ (يقرأ " زائد") - علامة عملية الإضافة،
- (يقرأ " ناقص") - لافتة عمليات الطرح,
∙ (يقرأ " تتضاعف") - لافتة عمليات الضرب,
: (يقرأ " يقسم") علامة عملية القسمة.
يسمى السجل الذي يتكون من أرقام مترابطة بواسطة علامات حسابية التعبير العددي.قد يحتوي التعبير الرقمي أيضًا على أقواس، على سبيل المثال، الإدخال 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) تعبير رقمي.
يتم استدعاء نتيجة تنفيذ الإجراءات على الأرقام في التعبير العددي قيمة التعبير الرقمي. يُطلق على تنفيذ هذه الإجراءات حساب قيمة التعبير الرقمي. قبل كتابة قيمة التعبير العددي، ضع علامة يساوي"=". ويبين الجدول 1 أمثلة على التعبيرات الرقمية ومعانيها.
إدخال يتكون من أرقام وأحرف صغيرة الأبجدية اللاتينية، ويسمى مترابطة من خلال علامات العمليات الحسابية التعبير الحرفي. قد يحتوي هذا الإدخال على أقواس. على سبيل المثال، سجل أ+ب - 3 ∙جهو تعبير حرفي. بدلا من الحروف في التعبير الحرفييمكن استبداله أرقام مختلفة. وفي هذه الحالة قد يتغير معنى الحروف، فتسمى أيضًا الحروف الموجودة في تعبير الحرف المتغيرات.
ومن خلال استبدال الأرقام بدلاً من الحروف في التعبير الحرفي وحساب قيمة التعبير الرقمي الناتج، وجدوا معنى التعبير الحرفي لقيم الحروف المعطاة(لقيم المتغيرات المعطاة). ويبين الجدول 2 أمثلة على تعبيرات الحروف.
قد لا يكون للتعبير الحرفي أي معنى إذا تم الحصول على تعبير رقمي قيمته عند استبدال قيم الحروف الأعداد الطبيعيةلا يمكن إيجاده. ويسمى هذا التعبير العددي غير صحيحللأعداد الطبيعية. ويقال أيضًا أن معنى مثل هذا التعبير هو " غير معرف"للأعداد الطبيعية، والتعبير نفسه "لا معنى له". على سبيل المثال، التعبير الحرفي أ-بلا يهم عندما يكون a = 10 وb = 17. في الواقع، بالنسبة للأعداد الطبيعية، لا يمكن أن يكون الطرح أقل من المطروح. على سبيل المثال، إذا كان لديك 10 تفاحات فقط (أ = 10)، فلا يمكنك التنازل عن 17 منها (ب = 17)!
يعرض الجدول 2 (العمود 2) مثالاً للتعبير الحرفي. قياسا على ذلك، املأ الجدول بالكامل.
بالنسبة للأعداد الطبيعية يكون التعبير 10 -17 غير صحيح (ليس له معنى)، أي. لا يمكن التعبير عن الفرق 10 -17 كعدد طبيعي. مثال آخر: لا يمكنك القسمة على صفر، لذا فإن أي عدد طبيعي b هو حاصل القسمة ب: 0 غير معرف.
القوانين الرياضيةوالخصائص وبعض القواعد والعلاقات غالبًا ما تكون مكتوبة بشكل حرفي (أي في شكل تعبير حرفي). في هذه الحالات، يتم استدعاء التعبير الحرفي معادلة. على سبيل المثال، إذا كانت جوانب المضلع السباعي متساوية أ،ب،ج،د،ه،F،ز، ثم الصيغة (التعبير الحرفي) لحساب محيطه صلديه النموذج:
ع =أ+ب+ج +د+ه+و+ز
مع a = 1، b = 2، c = 4، d = 5، e = 5، f = 7، g = 9، محيط المضلع السباعي p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.
مع a = 12، b = 5، c = 20، d = 35، e = 4، f = 40، g = 18، محيط المضلع السباعي الآخر p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.
الكتلة 1. المفردات
قم بعمل قاموس للمصطلحات والتعاريف الجديدة من الفقرة. للقيام بذلك، اكتب كلمات من قائمة المصطلحات أدناه في الخلايا الفارغة. في الجدول (في نهاية الكتلة)، قم بالإشارة إلى أرقام المصطلحات وفقًا لأرقام الإطارات. يوصى بمراجعة الفقرة بعناية مرة أخرى قبل ملء خلايا القاموس.
- العمليات: الجمع، الطرح، الضرب، القسمة.
2. العلامات "+" (زائد)، "-" (ناقص)، "∙" (اضرب، " : " (يقسم).
3. سجل يتكون من أرقام مترابطة بعلامات العمليات الحسابية ويمكن أن يحتوي أيضاً على أقواس.
4. نتيجة تنفيذ الإجراءات على الأرقام في التعبير العددي.
5. العلامة التي تسبق قيمة التعبير العددي.
6. سجل يتكون من أرقام وأحرف صغيرة من الأبجدية اللاتينية، مترابطة بواسطة علامات العمليات الحسابية (قد تكون الأقواس موجودة أيضًا).
7. اسم شائعالحروف في التعبير الحرفي.
8. قيمة التعبير الرقمي، والتي يتم الحصول عليها عن طريق استبدال المتغيرات في التعبير الحرفي.
9. تعبير عددي لا يمكن إيجاد قيمته للأعداد الطبيعية.
10. تعبير عددي يمكن إيجاد قيمته للأعداد الطبيعية.
11. القوانين الرياضية والخواص وبعض القواعد والعلاقات مكتوبة على شكل حرف.
12. أبجدية تستخدم حروفها الصغيرة لكتابة التعابير الأبجدية.
كتلة 2. تطابق
قم بمطابقة المهمة في العمود الأيسر مع الحل الموجود في العمود الأيمن. اكتب إجابتك على الصورة: 1أ، 2د، 3ب...
كتلة 3. اختبار الوجه. التعبيرات الرقمية والأبجدية
تحل اختبارات الوجه محل مجموعات المشكلات في الرياضيات، ولكنها تختلف عنها بشكل إيجابي من حيث أنه يمكن حلها على جهاز كمبيوتر، ويمكن التحقق من الحلول، ويمكن معرفة نتيجة العمل على الفور. يحتوي هذا الاختبار على 70 مسألة. ولكن يمكنك حل المشكلات باختيارك، ولهذا يوجد جدول تقييم يوضح ذلك مهام بسيطةوأكثر صعوبة. أدناه هو الاختبار.
- إعطاء مثلث مع الجانبين ج،د،م،أعرب في سم
- نظرا لشكل رباعي مع الجوانب ب،ج،د،م، أعرب في م
- سرعة السيارة بالكيلومتر في الساعة هي ب،وقت السفر بالساعات هو د
- المسافة التي يقطعها السائح مساعات هو معكم
- المسافة التي يقطعها السائح متحركاً بسرعة مكم / ساعة هو بكم
- مجموع رقمين أكبر من الرقم الثاني بمقدار 15
- الفرق أقل من الذي تم تخفيضه بمقدار 7
- تحتوي سفينة الركاب على طابقين مع نفس عدد مقاعد الركاب. في كل صف من صفوف سطح السفينة مالمقاعد والصفوف على سطح السفينة نأكثر من مقاعد متتالية
- يبلغ عمر بيتيا م عامًا، وماشا تبلغ من العمر n عامًا، وكاتيا أصغر من بيتيا وماشا معًا بألف عام
- م = 8، ن = 10، ك = 5
- م = 6، ن = 8، ك = 15
- ر = 121، س = 1458
- معنى هذا التعبير
- التعبير الحرفي للمحيط هو
- يتم التعبير عن المحيط بالسنتيمتر
- صيغة المسافة التي تقطعها السيارة
- صيغة السرعة v، الحركة السياحية
- صيغة الزمن t، الحركة السياحية
- المسافة التي تقطعها السيارة بالكيلومترات
- السرعة السياحية بالكيلومترات في الساعة
- مدة السفر السياحي بالساعات
- الرقم الأول هو...
- المطروح يساوي ...
- التعبير ل أكبر عددالركاب، والتي يمكن نقل الخطوط الملاحية المنتظمة ل كرحلات جوية
- ناي كمية كبيرةالركاب، والتي يمكن نقل الخطوط الملاحية المنتظمة ل كرحلات جوية
- تعبير حرف لعمر كاتيا
- عمر كاتيا
- إحداثيات النقطة B، إذا كانت إحداثيات النقطة C ر
- إحداثيات النقطة D، إذا كانت إحداثيات النقطة C ر
- إحداثيات النقطة أ، إذا كانت إحداثيات النقطة ج ر
- طول القطعة BD على خط الأعداد
- طول القطعة CA على خط الأعداد
- طول القطعة DA على خط الأعداد
مستوى اول
تحويل التعبيرات. النظرية التفصيلية (2019)
تحويل التعبيرات
كثيرا ما نسمع هذا عبارة غير سارة: "تبسيط التعبير." عادة نرى نوعًا من الوحش مثل هذا:
نقول: "الأمر أبسط بكثير"، لكن مثل هذه الإجابة لا تنجح عادة.
الآن سأعلمك ألا تخاف من أي شيء مهام مماثلة. علاوة على ذلك، في نهاية الدرس، ستقوم أنت بنفسك بتبسيط هذا المثال إلى (فقط!) رقم عادي (نعم، إلى الجحيم بهذه الحروف).
لكن قبل أن تبدأ هذا الدرس، يجب أن تكون قادرًا على التعامل مع الكسور وتحليل كثيرات الحدود. لذلك، أولا، إذا لم تكن قد فعلت ذلك من قبل، فتأكد من إتقان المواضيع "" و "".
هل قرأتها؟ إذا كانت الإجابة بنعم، فأنت الآن جاهز.
عمليات التبسيط الأساسية
الآن دعونا نلقي نظرة على التقنيات الأساسية المستخدمة لتبسيط التعبيرات.
أبسط واحد هو
1. جلب المماثل
ما هي مماثلة؟ لقد أخذت هذا في الصف السابع، عندما ظهرت الحروف بدلاً من الأرقام لأول مرة في الرياضيات. مماثلة هي المصطلحات (أحاديات الحد) التي لها نفس جزء الحرف. على سبيل المثال، في المجموع مصطلحات مماثلة- هذا أنا.
هل تذكر؟
لجلب وسائل مماثلة لإضافة عدة مصطلحات متشابهة لبعضها البعض والحصول على مصطلح واحد.
كيف يمكننا جمع الحروف معاً؟ - أنت تسأل.
من السهل جدًا فهم هذا إذا كنت تتخيل أن الحروف هي نوع من الكائنات. على سبيل المثال، الرسالة هي كرسي. ثم ما هو التعبير يساوي؟ كرسيان بالإضافة إلى ثلاثة كراسي، كم سيكون عددهم؟ صح يا كراسي : .
الآن جرب هذا التعبير: .
لتجنب الارتباك، دعونا حروف مختلفةتمثل كائنات مختلفة. على سبيل المثال، - هو (كالعادة) كرسي، و - هو طاولة. ثم:
كراسي طاولات طاولات كراسي طاولات كراسي طاولات
يتم استدعاء الأرقام التي يتم بها ضرب الحروف في مثل هذه المصطلحات معاملات. على سبيل المثال، في أحادية الحد يكون المعامل متساويًا. وفيه سواء.
لذا فإن القاعدة في جلب أمثالها هي:
أمثلة:
أعط مثلها:
الإجابات:
2. (وما أشبه ذلك، إذ أن هذه المصطلحات لها نفس الجزء من الحرف).
2. التخصيم
هذا هو عادة الأكثر جزء مهمفي تبسيط التعبيرات بعد أن قدمت تعبيرات مماثلة، غالبًا ما يحتاج التعبير الناتج إلى التحليل، أي تقديمه كمنتج. هذا مهم بشكل خاص في الكسور: لكي تكون قادرًا على تبسيط الكسر، يجب تمثيل البسط والمقام كمنتج.
لقد مررت بطرق تحليل التعبيرات بالتفصيل في الموضوع ""، لذلك عليك فقط أن تتذكر ما تعلمته. للقيام بذلك، تقرر عدد قليل أمثلة(يحتاج إلى عوامل):
حلول:
3. تقليل الكسر.
حسنًا، ما الذي يمكن أن يكون أكثر متعة من شطب جزء من البسط والمقام وطردهما من حياتك؟
هذا هو جمال تقليص الحجم.
انه سهل:
إذا كان البسط والمقام يحتويان على نفس العوامل، فيمكن اختزالهما، أي إزالتهما من الكسر.
تتبع هذه القاعدة الخاصية الأساسية للكسر:
وهذا يعني أن جوهر عملية التخفيض هو ذلك نقسم بسط ومقام الكسر على نفس الرقم (أو على نفس التعبير).
لتقليل الكسر تحتاج:
1) البسط والمقام حلل إلى عوامل
2) إذا كان البسط والمقام يحتويان العوامل المشتركة، يمكن شطبها.
المبدأ، أعتقد، واضح؟
أود أن ألفت انتباهكم إلى شيء واحد خطأ نموذجيعند التعاقد. على الرغم من أن هذا الموضوع بسيط، إلا أن الكثير من الناس يفعلون كل شيء بشكل خاطئ، ولا يفهمون ذلك يقلل- هذا يعنى يقسمالبسط والمقام هما نفس الرقم.
لا توجد اختصارات إذا كان البسط أو المقام عبارة عن مجموع.
على سبيل المثال: نحن بحاجة إلى تبسيط.
بعض الناس يفعلون هذا: وهذا خطأ مطلق.
مثال آخر: تقليل.
"الأذكى" سيفعل هذا: .
قل لي ما هو الخطأ هنا؟ يبدو: - هذا مضاعف، مما يعني أنه يمكن تخفيضه.
لكن لا: - هذا عامل لحد واحد فقط في البسط، لكن البسط نفسه ككل غير قابل للتحليل.
وهنا مثال آخر: .
يتم تحليل هذا التعبير، مما يعني أنه يمكنك تقليله، أي قسمة البسط والمقام على، ثم على:
يمكنك تقسيمها على الفور إلى:
لتجنب مثل هذه الأخطاء، تذكر طريقة سهلةكيفية تحديد ما إذا كان التعبير تم تحليله:
العملية الحسابية التي يتم إجراؤها أخيرًا عند حساب قيمة التعبير هي العملية "الرئيسية". أي أنه إذا قمت باستبدال بعض الأرقام (أي) بدلاً من الحروف وحاولت حساب قيمة التعبير، فعندئذ إذا أخر فعلسيكون هناك ضرب، وهو ما يعني أن لدينا منتج (يتم تحليل التعبير). إذا كان الإجراء الأخير هو الجمع أو الطرح، فهذا يعني أن التعبير غير قابل للتحليل (وبالتالي لا يمكن اختزاله).
لتوحيد، حل عدد قليل نفسك أمثلة:
الإجابات:
1. أتمنى ألا تتعجل على الفور في القطع و؟ لم يكن كافيًا بعد "تقليل" الوحدات مثل هذا:
يجب أن تكون الخطوة الأولى هي التحليل:
4. جمع وطرح الكسور. اختزال الكسور إلى قاسم مشترك.
جمع وطرح الكسور العادية- العملية معروفة جيدًا: نبحث عن قاسم مشترك، ونضرب كل كسر في العامل المفقود ونجمع/نطرح البسطين. دعنا نتذكر:
الإجابات:
1. المقامات أولية نسبيًا، أي ليس لديها عوامل مشتركة. ولذلك، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام يساوي حاصل ضربها. وسيكون هذا هو القاسم المشترك:
2. هنا القاسم المشترك هو:
3. أول شيء هنا كسور مختلطةنحولها إلى غير صحيحة، ثم نتبع النمط المعتاد:
الأمر مختلف تمامًا إذا كانت الكسور تحتوي على أحرف، على سبيل المثال:
لنبدأ بشيء بسيط:
أ) المقامات لا تحتوي على حروف
كل شيء هنا هو نفسه كما هو الحال مع الكسور العددية العادية: نجد القاسم المشترك، ونضرب كل كسر في العامل المفقود ونجمع/نطرح البسطين:
الآن في البسط يمكنك إعطاء أرقام متشابهة، إن وجدت، وتحليلها:
جربها بنفسك:
ب) المقامات تحتوي على حروف
لنتذكر مبدأ إيجاد قاسم مشترك بدون حروف:
· أولاً نحدد العوامل المشتركة؛
· ثم نكتب جميع العوامل المشتركة واحداً تلو الآخر؛
· وضربها بجميع العوامل الأخرى غير المشتركة.
لتحديد العوامل المشتركة للمقامات، نقوم أولًا بتحليلها إلى عوامل أولية:
دعونا نؤكد على العوامل المشتركة:
الآن دعونا نكتب العوامل المشتركة واحدًا تلو الآخر ونضيف إليها جميع العوامل غير المشتركة (التي لم تحتها خط):
هذا هو القاسم المشترك.
دعونا نعود إلى الحروف. يتم إعطاء المقامات بنفس الطريقة تمامًا:
· عامل المقامات.
· تحديد العوامل المشتركة (المتطابقة).
· اكتب جميع العوامل المشتركة مرة واحدة؛
· ضربهم بجميع العوامل الأخرى غير المشتركة.
لذا بالترتيب:
1) عامل المقامات:
2) تحديد العوامل المشتركة (المتطابقة):
3) اكتب جميع العوامل المشتركة مرة واحدة واضربها في جميع العوامل الأخرى (غير المؤكدة):
لذلك هناك قاسم مشترك هنا. يجب ضرب الكسر الأول بـ والثاني بـ:
بالمناسبة، هناك خدعة واحدة:
على سبيل المثال: .
نحن نرى نفس العوامل في المقامات، فقط مع كل ذلك مؤشرات مختلفة. القاسم المشترك سيكون:
إلى حد ما
إلى حد ما
إلى حد ما
إلى حد ما.
دعونا تعقيد المهمة:
كيفية جعل الكسور لها نفس المقام؟
دعونا نتذكر الخاصية الأساسية للكسر:
لم يذكر في أي مكان أنه يمكن طرح (أو إضافة) نفس الرقم من بسط ومقام الكسر. لأنه ليس صحيحا!
انظر بنفسك: خذ أي كسر، على سبيل المثال، وأضف بعض الأرقام إلى البسط والمقام، على سبيل المثال، . ماذا تعلمت؟
إذن قاعدة أخرى لا تتزعزع:
عند تقليل الكسور إلى القاسم المشترك، استخدم عملية الضرب فقط!
ولكن ما الذي تحتاج إلى الضرب للحصول عليه؟
حتى تتضاعف. واضرب بـ:
سوف نطلق على التعبيرات التي لا يمكن تحليلها اسم "العوامل الأولية". على سبيل المثال، - هذا عامل أولي. - نفس. لكن لا: يمكن تحليله.
ماذا عن التعبير؟ هل هي ابتدائية؟
لا، لأنه يمكن تحليله:
(لقد قرأت بالفعل عن التخصيم في الموضوع "").
لذلك، فإن العوامل الأولية التي تقوم بتوسيع التعبير بالأحرف إليها هي عوامل تناظرية العوامل الأولية، حيث تقوم بتحليل الأرقام. وسوف نتعامل معهم بنفس الطريقة.
نلاحظ أن كلا المقامين لهما مضاعف. سوف يذهب إلى القاسم المشترك إلى الدرجة (تذكر لماذا؟).
العامل أساسي، وليس لديهم عامل مشترك، مما يعني أنه يجب ببساطة ضرب الكسر الأول به:
مثال آخر:
حل:
قبل أن تضاعف هذه القواسم في حالة من الذعر، عليك أن تفكر في كيفية تحليلها؟ وكلاهما يمثل:
عظيم! ثم:
مثال آخر:
حل:
كالعادة، دعونا نحلل المقامات. في المقام الأول، قمنا ببساطة بإخراجه بين قوسين؛ في الثاني - فرق المربعات:
يبدو أنه لا توجد عوامل مشتركة. ولكن إذا نظرت عن كثب، فهي متشابهة... وهذا صحيح:
لذلك دعونا نكتب:
أي أن الأمر أصبح على النحو التالي: قمنا بتبديل الحدود داخل القوس، وفي نفس الوقت تغيرت الإشارة الموجودة أمام الكسر إلى العكس. لاحظ أنه سيتعين عليك القيام بذلك كثيرًا.
والآن لنصل إلى قاسم مشترك:
فهمتها؟ دعونا التحقق من ذلك الآن.
مهام الحل المستقل:
الإجابات:
هنا علينا أن نتذكر شيئًا آخر - الفرق بين المكعبات:
يرجى ملاحظة أن مقام الكسر الثاني لا يحتوي على صيغة "مربع المجموع"! سيبدو مربع المجموع كما يلي: .
A هو ما يسمى بالمربع غير الكامل للمجموع: الحد الثاني فيه هو منتج الأول والأخير، وليس منتجهما المزدوج. يعد المربع الجزئي للمجموع أحد عوامل توسيع فرق المكعبات:
ماذا تفعل إذا كان هناك بالفعل ثلاثة كسور؟
نعم نفس الشيء! أولا وقبل كل شيء، دعونا نتأكد من ذلك الحد الأقصى للمبلغكانت العوامل في المقامات هي نفسها:
يرجى ملاحظة: إذا قمت بتغيير الإشارات الموجودة داخل قوس واحد، فإن الإشارة التي أمام الكسر تتغير إلى العكس. عندما نغير الإشارة الموجودة في القوس الثاني، تتغير الإشارة الموجودة أمام الكسر مرة أخرى إلى العكس. ونتيجة لذلك، لم تتغير (العلامة الموجودة أمام الكسر).
نكتب المقام الأول بالكامل في المقام المشترك، ثم نضيف إليه جميع العوامل التي لم تتم كتابتها بعد، من الثاني، ثم من الثالث (وهكذا، إذا كان هناك المزيد من الكسور). وهذا هو، اتضح مثل هذا:
حسنًا... من الواضح ما يجب فعله بالكسور. ولكن ماذا عن الاثنين؟
الأمر بسيط: أنت تعرف كيفية إضافة الكسور، أليس كذلك؟ لذا، علينا أن نجعل الاثنين كسرًا! دعونا نتذكر: الكسر هو عملية قسمة (يتم قسمة البسط على المقام، في حال نسيت). وليس هناك أسهل من قسمة عدد على. في هذه الحالة لن يتغير الرقم نفسه بل سيتحول إلى كسر:
بالضبط ما هو مطلوب!
5. ضرب وقسمة الكسور.
حسنًا، لقد انتهى الجزء الأصعب الآن. وأمامنا الأبسط ولكن في نفس الوقت الأهم:
إجراء
ما هو الإجراء لحساب التعبير العددي؟ تذكر بحساب معنى هذا التعبير:
هل حسبت؟
يجب أن تعمل.
لذلك، اسمحوا لي أن أذكركم.
الخطوة الأولى هي حساب الدرجة.
والثاني هو الضرب والقسمة. إذا كان هناك عدة عمليات ضرب وقسمة في نفس الوقت، فيمكن إجراؤها بأي ترتيب.
وأخيرًا، نجري عمليات الجمع والطرح. مرة أخرى، بأي ترتيب.
ولكن: يتم تقييم التعبير بين قوسين خارج نطاق الدور!
إذا تم ضرب عدة أقواس أو قسمتها على بعضها البعض، فإننا نحسب أولًا التعبير الموجود في كل قوس، ثم نضربها أو نقسمها.
ماذا لو كان هناك المزيد من الأقواس داخل الأقواس؟ حسنًا، لنفكر: بعض التعبيرات مكتوبة بين قوسين. عند حساب التعبير، ما الذي يجب عليك فعله أولاً؟ هذا صحيح، احسب الأقواس. حسنًا، لقد اكتشفنا ذلك: أولاً نحسب الأقواس الداخلية، ثم كل شيء آخر.
لذا، فإن إجراء التعبير أعلاه هو كما يلي (يتم تمييز الإجراء الحالي باللون الأحمر، أي الإجراء الذي أقوم به الآن):
حسنا، كل شيء بسيط.
ولكن هذا ليس هو نفسه التعبير بالحروف؟
لا، إنه نفس الشيء! فقط بدلاً من العمليات الحسابية، تحتاج إلى القيام بعمليات جبرية، أي الإجراءات الموضحة في القسم السابق: جلب مماثلةوإضافة الكسور وتقليل الكسور وما إلى ذلك. سيكون الاختلاف الوحيد هو عملية تحليل كثيرات الحدود إلى عوامل (نستخدم هذا غالبًا عند التعامل مع الكسور). في أغلب الأحيان، للتحليل، تحتاج إلى استخدام I أو ببساطة إخراجها المضاعف المشتركخارج الأقواس.
عادةً ما يكون هدفنا هو تمثيل التعبير كمنتج أو حاصل القسمة.
على سبيل المثال:
دعونا نبسط التعبير.
1) أولا، نقوم بتبسيط التعبير بين قوسين. لدينا هناك فرق بين الكسور، وهدفنا هو تقديمه كمنتج أو خارج القسمة. لذلك، نأتي بالكسور إلى قاسم مشترك ونضيف:
من المستحيل تبسيط هذا التعبير أكثر من ذلك؛ جميع العوامل هنا أولية (هل مازلت تتذكر ماذا يعني هذا؟).
2) نحصل على:
ضرب الكسور: ما يمكن أن يكون أبسط.
3) الآن يمكنك تقصير:
حسنًا، لقد انتهى كل شيء الآن. لا شيء معقد، أليس كذلك؟
مثال آخر:
تبسيط التعبير.
أولا، حاول حلها بنفسك، وبعد ذلك فقط انظر إلى الحل.
أولا وقبل كل شيء، دعونا نحدد ترتيب الإجراءات. أولًا، دعونا نجمع الكسور الموجودة بين قوسين، لذا بدلًا من كسرين نحصل على كسر واحد. ثم سنقوم بتقسيم الكسور. حسنًا، دعونا نضيف النتيجة مع الكسر الأخير. سأقوم بترقيم الخطوات بشكل تخطيطي:
الآن سأعرض لك العملية، مع تلوين الإجراء الحالي باللون الأحمر:
وأخيرا، سأقدم لك نصيحتين مفيدتين:
1. إذا كان هناك مثلها فيجب إحضارها فوراً. عندما تظهر مثل هذه الأمور في بلدنا، فمن المستحسن طرحها على الفور.
2. وكذلك الحال في تقليل الكسور: فمتى سنحت فرصة التخفيض وجب استغلالها. الاستثناء هو للكسور التي تضيفها أو تطرحها: إذا كانت موجودة الآن نفس القواسم، فيجب ترك التخفيض لوقت لاحق.
فيما يلي بعض المهام التي يمكنك حلها بنفسك:
وما وعد به في البداية:
الحلول (قصيرة):
إذا تعاملت مع الأمثلة الثلاثة الأولى على الأقل، فهذا يعني أنك أتقنت الموضوع.
الآن إلى التعلم!
تحويل التعبيرات. الملخص والصيغ الأساسية
عمليات التبسيط الأساسية:
- جلب مماثل: لإضافة (تقليل) مصطلحات مماثلة، تحتاج إلى إضافة معاملاتها وتعيين جزء الحرف.
- التخصيم:وضع العامل المشترك بين قوسين، وتطبيقه، وما إلى ذلك.
- تقليل جزء: يمكن ضرب بسط الكسر ومقامه أو قسمته على نفس الرقم غير الصفر مما لا يغير من قيمة الكسر.
1) البسط والمقام حلل إلى عوامل
2) إذا كان للبسط والمقام عوامل مشتركة فيمكن شطبهما.هام: يمكن تقليل المضاعفات فقط!
- جمع وطرح الكسور:
; - ضرب وقسمة الكسور:
;
الآن بعد أن تعلمنا كيفية جمع الكسور الفردية وضربها، يمكننا أن ننظر إلى المزيد تصاميم معقدة. على سبيل المثال، ماذا لو كانت المشكلة نفسها تتضمن جمع وطرح وضرب الكسور؟
أولًا، عليك تحويل جميع الكسور إلى كسور غير صحيحة. ثم نقوم بتنفيذ الإجراءات المطلوبة بالتتابع - بنفس الترتيب المتبع أرقام عادية. يسمى:
- يتم إجراء الأسس أولاً - تخلص من جميع التعبيرات التي تحتوي على الأسس؛
- ثم - القسمة والضرب؛
- الخطوة الأخيرة هي الجمع والطرح.
بالطبع، إذا كان هناك أقواس في التعبير، يتغير ترتيب العمليات - يجب حساب كل ما هو داخل الأقواس أولاً. وتذكر الكسور غير الحقيقية: لا تحتاج إلى تمييز الجزء بأكمله إلا عند اكتمال جميع الإجراءات الأخرى بالفعل.
لنحول جميع الكسور من التعبير الأول إلى كسور غير صحيحة، ثم نقوم بالخطوات التالية:
الآن دعونا نجد قيمة التعبير الثاني. هنا الكسور مع الجزء الكامللا، ولكن هناك قوسين، لذا نقوم بعملية الجمع أولًا، وبعدها فقط القسمة. لاحظ أن 14 = 7 · 2. ثم:
وأخيرا، النظر في المثال الثالث. توجد أقواس ودرجة هنا - من الأفضل حسابها بشكل منفصل. وبما أن 9 = 3 3، لدينا:
انتبه إلى المثال الأخير. لرفع الكسر إلى قوة ما، يجب عليك رفع البسط إلى هذه القوة بشكل منفصل، والمقام بشكل منفصل.
يمكنك أن تقرر بشكل مختلف. وإذا تذكرنا تعريف الدرجة، تتلخص المشكلة في الضرب العاديالكسور:
كسور متعددة الطوابق
لقد تناولنا حتى الآن الكسور "النقية" فقط، عندما يكون البسط والمقام كذلك أرقام عادية. وهذا يتوافق تمامًا مع تعريف الكسر الرقمي الوارد في الدرس الأول.
ولكن ماذا لو كان البسط أو المقام يحتوي على أكثر من كائن معقد؟ على سبيل المثال، آخر جزء رقمي؟ تنشأ مثل هذه الإنشاءات في كثير من الأحيان، خاصة عند العمل مع التعبيرات الطويلة. هنا بضعة أمثلة:
هناك قاعدة واحدة فقط للتعامل مع الكسور متعددة المستويات: يجب عليك التخلص منها على الفور. تعد إزالة الطوابق "الإضافية" أمرًا بسيطًا للغاية، إذا كنت تتذكر أن الشرطة المائلة تعني عملية القسمة القياسية. ولذلك، يمكن إعادة كتابة أي كسر بالطريقة الآتية:
باستخدام هذه الحقيقة واتباع الإجراء، يمكننا بسهولة تحويل أي جزء متعدد الطوابق إلى جزء عادي. ألق نظرة على الأمثلة:
مهمة. تحويل الكسور متعددة الطوابق إلى الكسور العادية:
في كل حالة، نعيد كتابة الكسر الرئيسي، مع استبدال الخط الفاصل بعلامة القسمة. تذكر أيضًا أنه يمكن تمثيل أي عدد صحيح ككسر مقامه 1. هذا هو 12 = 12/1؛ 3 = 3/1. نحن نحصل:
في المثال الأخيرتم إلغاء الكسور قبل الضرب النهائي.
تفاصيل العمل مع الكسور متعددة المستويات
هناك دقة واحدة في الكسور متعددة المستويات يجب تذكرها دائمًا، وإلا فقد تحصل على إجابة خاطئة، حتى لو كانت جميع الحسابات صحيحة. إلق نظرة:
- يحتوي البسط على الرقم الوحيد 7، والمقام يحتوي على الكسر 12/5؛
- يحتوي البسط على الكسر 7/12، ويحتوي المقام على الرقم المنفصل 5.
لذلك، لإدخال واحد حصلنا على اثنين تماما تفسيرات مختلفة. إذا حسبت، ستكون الإجابات مختلفة أيضًا:
للتأكد من قراءة السجل دائمًا بشكل لا لبس فيه، استخدم قاعدة بسيطة: يجب أن يكون الخط الفاصل للكسر الرئيسي أطول من خط الكسر المتداخل. ويفضل عدة مرات.
إذا اتبعت هذه القاعدة، فيجب كتابة الكسور المذكورة أعلاه على النحو التالي:
نعم، ربما يكون شكله قبيحًا ويشغل مساحة كبيرة. لكنك سوف تحسب بشكل صحيح. أخيرًا، هناك بعض الأمثلة التي تظهر فيها الكسور متعددة الطوابق فعليًا:
مهمة. ابحث عن معاني العبارات:
لذلك، دعونا نعمل مع المثال الأول. لنحول جميع الكسور إلى كسور غير حقيقية، ثم نقوم بإجراء عمليات الجمع والقسمة:
دعونا نفعل الشيء نفسه مع المثال الثاني. لنحول جميع الكسور إلى كسور غير صحيحة ونقوم بالعمليات المطلوبة. وحتى لا أضجر القارئ، سأحذف بعض الحسابات الواضحة. لدينا:
نظرًا لأن بسط ومقام الكسور الأساسية يحتوي على مجاميع، يتم الالتزام بقاعدة كتابة الكسور متعددة الطوابق تلقائيًا. أيضًا، في المثال الأخير، تركنا عمدًا 46/1 في صورة كسرية لإجراء عملية القسمة.
سألاحظ أيضًا أنه في كلا المثالين، يحل شريط الكسور محل الأقواس: أولًا، وجدنا المجموع، وعندها فقط خارج القسمة.
قد يقول البعض أن الانتقال إلى الكسور غير المناسبةفي المثال الثاني كان من الواضح زائدة عن الحاجة. ربما هذا صحيح. ولكن من خلال القيام بذلك فإننا نؤمن أنفسنا ضد الأخطاء، لأنه في المرة القادمة قد يتبين أن المثال أكثر تعقيدًا. اختر لنفسك ما هو أكثر أهمية: السرعة أو الموثوقية.
(34∙10+(489–296)∙8):4–410. تحديد مسار العمل. قم بالإجراء الأول بين الأقواس الداخلية 489–296=193. ثم اضرب 193∙8=1544 و34∙10=340. الإجراء التالي: 340+1544=1884. بعد ذلك، اقسم 1884:4=461 ثم اطرح 461-410=60. لقد وجدت معنى هذا التعبير.
مثال. أوجد قيمة التعبير 2sin 30°∙cos 30°∙tg 30°∙ctg 30°. تبسيط هذا التعبير. للقيام بذلك، استخدم الصيغة tg α∙ctg α=1. احصل على: 2sin 30°∙cos 30°∙1=2sin 30°∙cos 30°. من المعروف أن sin 30°=1/2 و cos 30°=√3/2. وبالتالي، 2sin 30°∙cos 30°=2∙1/2∙√3/2=√3/2. لقد وجدت معنى هذا التعبير.
قيمة التعبير الجبري من . لإيجاد قيمة تعبير جبري بمعلومية المتغيرات، قم بتبسيط التعبير. بديل للمتغيرات قيم معينة. أكمل الخطوات اللازمة. ونتيجة لذلك، سوف تتلقى رقمًا، والذي سيكون قيمة التعبير الجبري للمتغيرات المحددة.
مثال. أوجد قيمة التعبير 7(a+y)–3(2a+3y) حيث a=21 وy=10. بسّط هذا التعبير واحصل على: a–2y. استبدل القيم المقابلة للمتغيرات واحسب: a–2y=21–2∙10=1. هذه هي قيمة التعبير 7(a+y)–3(2a+3y) حيث a=21 وy=10.
ملحوظة
يخرج تعبيرات جبريةوالتي لا معنى لها بالنسبة لبعض قيم المتغيرات. على سبيل المثال، التعبير x/(7–a) لا يكون له معنى إذا كانت a=7، لأن وفي هذه الحالة يصبح مقام الكسر صفرًا.
مصادر:
- يجد أصغر قيمةالتعبيرات
- أوجد معاني التعابير الخاصة بـ ج14
يعد تعلم تبسيط التعبيرات في الرياضيات أمرًا ضروريًا لحل المشكلات بشكل صحيح وسريع، معادلات مختلفة. يتضمن تبسيط التعبير تقليل عدد الخطوات، مما يجعل العمليات الحسابية أسهل ويوفر الوقت.
تعليمات
تعلم كيفية حساب القوى ج. عند ضرب القوى c، يتم الحصول على رقم له نفس الأساس، ويتم إضافة الأسس b^m+b^n=b^(m+n). عند تقسيم الدرجات مع لنفس الأسبابيحصلون على قوة الرقم الذي تظل قاعدته كما هي، ويتم طرح الأسس، ويتم طرح أس المقسوم عليه b^m من أس المقسوم: b^n=b^(mn). عند رفع قوة إلى قوة، يتم الحصول على قوة الرقم، الذي يبقى أساسه كما هو، ويتم ضرب الأسس (b^m)^n=b^(mn) عند الرفع إلى قوة، كل عامل مرفوع إلى هذه القوة.(abc)^m=a^m *b^m*c^m
عامل كثيرات الحدود، أي تخيلها كمنتج لعدة عوامل - ووحيدات الحد. أخرج العامل المشترك من الأقواس. تعلم الصيغ الأساسية للضرب المختصر: الفرق بين المربعات، والفرق التربيعي، والمجموع، والفرق بين المكعبات، ومكعب المجموع، والفرق. على سبيل المثال، m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. هذه الصيغ هي الصيغ الرئيسية في التبسيط. استخدم طريقة الاختيار مربع كاملفي ثلاثية الحدود من النموذج ax^2+bx+c.
قم باختصار الكسور قدر الإمكان. على سبيل المثال، (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). لكن تذكر أنه يمكنك فقط تقليل المضاعفات. إذا كان البسط والمقام جزء جبريإذا ضربنا في نفس العدد غير الصفر فلن تتغير قيمة الكسر. يمكنك تحويل التعبيرات بطريقتين: متسلسلة وعن طريق الإجراءات. الطريقة الثانية هي الأفضل، لأن فمن الأسهل التحقق من نتائج الإجراءات الوسيطة.
غالبًا ما يكون من الضروري استخراج الجذور في التعبيرات. حتى الجذور يتم استخلاصها فقط من التعبيرات أو الأرقام غير السالبة. يمكن استخراج الجذور الفردية من أي تعبير.
مصادر:
- تبسيط التعبيرات مع القوى
ظهرت الدوال المثلثية لأول مرة كأدوات مجردة. عمليات حسابيةتبعيات الكميات زوايا حادةالخامس مثلث قائممن أطوال جوانبها. الآن يتم استخدامها على نطاق واسع جدًا في المجالات العلمية والتقنية. النشاط البشري. لإجراء الحسابات العملية الدوال المثلثيةاعتمادًا على الوسيطات المحددة، يمكنك استخدام أدوات مختلفة - يتم وصف العديد من الأدوات التي يسهل الوصول إليها أدناه.
تعليمات
استخدم، على سبيل المثال، المثبت افتراضيًا مع نظام التشغيلبرنامج الآلة الحاسبة. يتم فتحه عن طريق تحديد عنصر "الآلة الحاسبة" في مجلد "الأدوات المساعدة" من القسم الفرعي "القياسي" الموجود في قسم "كافة البرامج". يمكن فتح هذا القسم بالضغط على زر "ابدأ" في قائمة التشغيل الرئيسية. إذا كنت تستخدم نسخة ويندوز 7، فيمكنك ببساطة إدخال "الآلة الحاسبة" في حقل "البحث عن البرامج والملفات" بالقائمة الرئيسية، ثم النقر فوق الرابط المقابل في نتائج البحث.
احسب الكمية الإجراءات اللازمةوالتفكير في الترتيب الذي ينبغي القيام به. إذا وجدت صعوبة هذا السؤاليرجى ملاحظة أن العمليات الموجودة بين القوسين تتم أولاً، ثم القسمة والضرب؛ ويتم تنفيذ الطرح في الحل الأخير. لتسهيل تذكر خوارزمية الإجراءات التي تم تنفيذها، في التعبير الموجود فوق كل علامة مشغل إجراء (+،-،*،:)، بقلم رصاص رفيع، اكتب الأرقام المقابلة لتنفيذ الإجراءات.
تابع بالخطوة الأولى، متبعًا الترتيب المحدد. عد في رأسك إذا كان من السهل تنفيذ الإجراءات لفظيًا. إذا كانت الحسابات مطلوبة (في عمود)، فاكتبها تحت التعبير، مع الإشارة رقم سريأجراءات.
تتبع بوضوح تسلسل الإجراءات المنجزة، وقم بتقييم ما يجب طرحه مما، وتقسيمه إلى ما، وما إلى ذلك. في كثير من الأحيان تكون الإجابة في التعبير غير صحيحة بسبب الأخطاء التي ارتكبت في هذه المرحلة.
سمة مميزةالتعبير هو وجود العمليات الرياضية. ويدل عليه بعلامات معينة (الضرب أو القسمة أو الطرح أو الجمع). يتم تصحيح تسلسل تنفيذ العمليات الحسابية باستخدام الأقواس إذا لزم الأمر. إجراء العمليات الحسابية يعني العثور على .
ما ليس تعبيرا
لا يمكن تصنيف كل الرموز الرياضية كتعبير.
المساواة ليست تعبيرات. لا يهم ما إذا كانت العمليات الرياضية موجودة في المساواة أم لا. على سبيل المثال، a=5 عبارة عن مساواة، وليس تعبيرًا، لكن 8+6*2=20 أيضًا لا يمكن اعتبارها تعبيرًا، على الرغم من أنها تحتوي على ضرب. وينتمي هذا المثال أيضًا إلى فئة المساواة.
إن مفهومي التعبير والمساواة لا يستبعد أحدهما الآخر، فالأول متضمن في الأخير. تربط علامة المساواة بين تعبيرين:
5+7=24:2
يمكن تبسيط هذه المعادلة:
5+7=12
يفترض التعبير دائمًا أن العمليات الحسابية التي يمثلها يمكن تنفيذها. 9+:-7 ليس تعبيرا، على الرغم من وجود علامات على العمليات الحسابية هنا، لأنه من المستحيل القيام بهذه الإجراءات.
هناك أيضًا تعبيرات رياضية تعتبر تعبيرات رسمية، ولكن ليس لها معنى. مثال على مثل هذا التعبير:
46:(5-2-3)
يجب قسمة الرقم 46 على نتيجة الإجراءات الموجودة بين القوسين، وعليه يساوي الصفر. لا يمكنك القسمة على صفر، فالعملية تعتبر محظورة.
التعبيرات الرقمية والجبرية
هناك نوعان من التعبيرات الرياضية.
إذا كان التعبير يحتوي فقط على أرقام ورموز العمليات الرياضية، فإن هذا التعبير يسمى رقميًا. إذا كان هناك في التعبير، إلى جانب الأرقام، متغيرات يُشار إليها بأحرف، أو لا توجد أرقام على الإطلاق، فإن التعبير يتكون فقط من متغيرات ورموز للعمليات الرياضية، ويسمى جبريًا.
الفرق الأساسي بين القيمة العددية والقيمة الجبرية هو أن التعبير العددي له قيمة واحدة فقط. على سبيل المثال، قيمة التعبير الرقمي 56–2*3 ستكون دائمًا مساوية لـ 50، ولا يمكن تغيير أي شيء. يمكن أن يحتوي التعبير الجبري على العديد من القيم، لأنه يمكن استبدال أي رقم. لذا، إذا قمنا في التعبير b-7 باستبدال 9 بـ b، فستكون قيمة التعبير 2، وإذا كانت 200، فستكون 193.
مصادر:
- التعبيرات الرقمية والجبرية