ما هو نوك من الأرقام. كيفية العثور على المضاعف المشترك الأصغر لعددين

دعونا نفكر في حل المشكلة التالية. خطوة الصبي 75 سم وخطوة الفتاة 60 سم ومن الضروري إيجاد أصغر مسافة يقطع فيها كل منهما عددا صحيحا من الخطوات.

حل.يجب أن يكون المسار بأكمله الذي سيمر به الأطفال قابلاً للقسمة على 60 و70، حيث يجب على كل منهم أن يتخذ عددًا صحيحًا من الخطوات. بمعنى آخر، يجب أن تكون الإجابة من مضاعفات العددين 75 و60.

أولًا، سوف نكتب جميع مضاعفات العدد 75. فنحصل على:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

الآن دعونا نكتب الأعداد التي ستكون من مضاعفات العدد 60. ونحصل على:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

الآن نجد الأرقام الموجودة في كلا الصفين.

• المضاعفات الشائعة للأرقام ستكون 300، 600، إلخ.

أصغرها هو الرقم 300. وفي هذه الحالة، سيتم تسميتها بالمضاعف المشترك الأصغر للرقمين 75 و 60.

بالعودة إلى حالة المشكلة، فإن أصغر مسافة سيقطع فيها الرجال عددًا صحيحًا من الخطوات ستكون 300 سم، وسيقطع الصبي هذا المسار في 4 خطوات، وستحتاج الفتاة إلى اتخاذ 5 خطوات.

تحديد المضاعف المشترك الأصغر

• المضاعف المشترك الأصغر لعددين طبيعيين a وb هو أصغر عدد طبيعي يكون مضاعفًا لكل من a وb.

من أجل العثور على المضاعف المشترك الأصغر لعددين، ليس من الضروري كتابة جميع مضاعفات هذه الأرقام على التوالي.

يمكنك استخدام الطريقة التالية.

كيفية العثور على المضاعف المشترك الأصغر

تحتاج أولاً إلى تحليل هذه الأرقام إلى عوامل أولية.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

الآن دعونا نكتب جميع العوامل الموجودة في مفكوك الرقم الأول (2،2،3،5) ونضيف إليها جميع العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الثاني (5).

ونتيجة لذلك، نحصل على سلسلة من الأعداد الأولية: 2،2،3،5،5. سيكون منتج هذه الأرقام هو العامل المشترك الأصغر لهذه الأرقام. 2*2*3*5*5 = 300.

المخطط العام لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر

• 1. قسمة الأعداد إلى عوامل أولية.
• 2. اكتب العوامل الأولية التي تشكل جزءًا من أحدها.
• 3. أضف إلى هذه العوامل كل ما هو في توسعة العوامل الأخرى، ولكن ليس في العامل المحدد.
• 4. أوجد حاصل ضرب جميع العوامل المكتوبة.

هذه الطريقة عالمية. ويمكن استخدامه للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لأي عدد من الأعداد الطبيعية.

المضاعف هو رقم يقبل القسمة على رقم معين دون باقي. المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لمجموعة أرقام هو أصغر رقم يقبل القسمة على كل رقم في المجموعة دون ترك باقي. للعثور على المضاعف المشترك الأصغر، عليك إيجاد العوامل الأولية لأرقام معينة. يمكن أيضًا حساب LCM باستخدام عدد من الطرق الأخرى التي تنطبق على مجموعات مكونة من رقمين أو أكثر.

خطوات

سلسلة من المضاعفات

انظر إلى هذه الأرقام.من الأفضل استخدام الطريقة الموصوفة هنا عند إعطاء رقمين، كل منهما أقل من 10. إذا تم إعطاء أرقام أكبر، استخدم طريقة مختلفة.

• على سبيل المثال، ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 5 و8. هذه أرقام صغيرة، لذا يمكنك استخدام هذه الطريقة.

1. المضاعف هو رقم يقبل القسمة على رقم معين دون باقي. يمكن العثور على المضاعفات في جدول الضرب.

   • على سبيل المثال، الأعداد التي تكون من مضاعفات العدد 5 هي: 5، 10، 15، 20، 25، 30، 35، 40.

2. اكتب سلسلة من الأرقام التي هي مضاعفات الرقم الأول.قم بذلك ضمن مضاعفات الرقم الأول لمقارنة مجموعتين من الأرقام.

   • على سبيل المثال، الأرقام التي تكون من مضاعفات الرقم 8 هي: 8، 16، 24، 32، 40، 48، 56، و64.

3. أوجد أصغر عدد موجود في مجموعتي المضاعفات.قد تضطر إلى كتابة سلسلة طويلة من المضاعفات للعثور على العدد الإجمالي. أصغر رقم موجود في مجموعتي المضاعفات هو المضاعف المشترك الأصغر.

   • على سبيل المثال، أصغر رقم يظهر في سلسلة مضاعفات العددين 5 و8 هو الرقم 40. لذلك، 40 هو المضاعف المشترك الأصغر للعددين 5 و8.

   التخصيم الأولي

   1. انظر إلى هذه الأرقام.من الأفضل استخدام الطريقة الموضحة هنا عند إعطاء رقمين، كل منهما أكبر من 10. إذا تم إعطاء أرقام أصغر، فاستخدم طريقة مختلفة.

      • على سبيل المثال، ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 20 و84. كل رقم أكبر من 10، لذا يمكنك استخدام هذه الطريقة.

   2. قم بتحليل العدد الأول إلى عوامل أولية.وهذا هو، تحتاج إلى العثور على مثل هذه الأعداد الأولية التي، عند ضربها، ستؤدي إلى رقم معين. بمجرد العثور على العوامل الأولية، اكتبها في صورة مساواة.

      • على سبيل المثال، 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2)) \مرات 10=20)و 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2)) \times (\mathbf (5) )=10). وبالتالي، فإن العوامل الأولية للعدد 20 هي الأرقام 2 و 2 و 5. اكتبها كتعبير: .

   3. قم بتحليل العدد الثاني إلى عوامل أولية.قم بذلك بنفس الطريقة التي قمت بها بتحليل الرقم الأول، أي العثور على هذه الأعداد الأولية التي، عند ضربها، ستنتج الرقم المحدد.

      • على سبيل المثال، 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2)) \مرات 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7)) \مرات 6=42)و 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3)) \times (\mathbf (2) )=6). وبالتالي، فإن العوامل الأولية للرقم 84 هي الأرقام 2 و 7 و 3 و 2. اكتبها كتعبير: .

   4. اكتب العوامل المشتركة بين الرقمين.اكتب عوامل مثل عملية الضرب. أثناء كتابة كل عامل، قم بشطبه في كلا التعبيرين (التعبيرات التي تصف تحليلات الأعداد إلى عوامل أولية).

      • على سبيل المثال، كلا الرقمين لهما عامل مشترك وهو 2، لذا اكتب 2 × (\displaystyle 2\times )وشطب الرقم 2 في كلا التعبيرين.
      • القاسم المشترك بين الرقمين هو عامل آخر وهو 2، لذا اكتب 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)وشطب الرقم 2 الثاني في كلا التعبيرين.

   5. أضف العوامل المتبقية إلى عملية الضرب.هذه هي العوامل التي لم يتم شطبها في كلا التعبيرين، أي العوامل غير المشتركة بين كلا الرقمين.

      • على سبيل المثال، في التعبير 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\مرات 2\مرات 5)تم شطب الاثنين (2) لأنهما عاملان مشتركان. لم يتم شطب العامل 5، لذا اكتب عملية الضرب هكذا: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • في التعبير 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\مرات 7\مرات 3\مرات 2)تم شطب كلا الاثنين (2) أيضًا. العاملان 7 و 3 لم يتم شطبهما، لذا اكتب عملية الضرب هكذا: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. احسب المضاعف المشترك الأصغر.للقيام بذلك، قم بضرب الأرقام في عملية الضرب المكتوبة.

      • على سبيل المثال، 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). إذن المضاعف المشترك الأصغر للعددين 20 و84 هو 420.

   إيجاد العوامل المشتركة

   1. ارسم شبكة مثل لعبة تيك تاك تو.تتكون هذه الشبكة من خطين متوازيين يتقاطعان (بزوايا قائمة) مع خطين متوازيين آخرين. سيعطيك هذا ثلاثة صفوف وثلاثة أعمدة (الشبكة تشبه إلى حد كبير الرمز #). اكتب الرقم الأول في السطر الأول والعمود الثاني. اكتب الرقم الثاني في الصف الأول والعمود الثالث.

      • على سبيل المثال، ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر بين الرقمين 18 و30. اكتب الرقم 18 في الصف الأول والعمود الثاني، واكتب الرقم 30 في الصف الأول والعمود الثالث.

   2. أوجد القاسم المشترك لكلا الرقمين.اكتبه في الصف الأول والعمود الأول. ومن الأفضل البحث عن العوامل الأولية، ولكن هذا ليس شرطا.

      • على سبيل المثال، 18 و30 أرقام زوجية، لذا فإن العامل المشترك بينهما هو 2. لذا اكتب 2 في الصف الأول والعمود الأول.

   3. اقسم كل رقم على المقسوم عليه الأول.اكتب كل حاصل تحت الرقم المناسب. الحاصل هو نتيجة قسمة رقمين.

      • على سبيل المثال، 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9)، فاكتب 9 تحت 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15)، لذا اكتب 15 تحت 30.

   4. أوجد القاسم المشترك لكلا الناتجين.إذا لم يكن هناك مثل هذا المقسوم عليه، تجاوز الخطوتين التاليتين. بخلاف ذلك، اكتب المقسوم عليه في الصف الثاني والعمود الأول.

      • على سبيل المثال، 9 و15 يقبلان القسمة على 3، لذا اكتب 3 في الصف الثاني والعمود الأول.

   5. اقسم كل حاصل على المقسوم عليه الثاني.اكتب نتيجة كل قسمة تحت الحاصل المقابل لها.

      • على سبيل المثال، 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3)، فاكتب 3 تحت 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5)، فاكتب 5 تحت 15.

   6. إذا لزم الأمر، قم بإضافة خلايا إضافية إلى الشبكة.كرر الخطوات الموضحة حتى يكون للقسمة قاسم مشترك.

   7. ضع دائرة حول الأرقام الموجودة في العمود الأول والصف الأخير من الشبكة.ثم اكتب الأرقام المحددة كعملية ضرب.

      • على سبيل المثال، الرقمان 2 و 3 موجودان في العمود الأول، والرقمان 3 و 5 موجودان في الصف الأخير، لذا اكتب عملية الضرب هكذا: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. العثور على نتيجة ضرب الأرقام.سيؤدي هذا إلى حساب المضاعف المشترك الأصغر لعددين محددين.

      • على سبيل المثال، 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). إذن المضاعف المشترك الأصغر للعددين 18 و30 هو 90.

   خوارزمية إقليدس

   1. تذكر المصطلحات المرتبطة بعملية القسمة.المقسوم هو الرقم الذي يتم تقسيمه. المقسوم عليه هو الرقم الذي يتم القسمة عليه. الحاصل هو نتيجة قسمة رقمين. الباقي هو الرقم المتبقي عند قسمة رقمين.

      • على سبيل المثال، في التعبير 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 هو الأرباح
        6 هو المقسوم عليه
        2 هو حاصل
        3 هو الباقي.

القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر هما مفاهيم حسابية أساسية تجعل التعامل مع الكسور أمرًا سهلاً. LCM وغالبًا ما يتم استخدامها للعثور على القاسم المشترك لعدة كسور.

مفاهيم أساسية

المقسوم على عدد صحيح X هو عدد صحيح آخر Y يتم قسمة X عليه دون ترك باقي. على سبيل المثال، المقسوم على 4 هو 2، و36 هو 4، 6، 9. مضاعف العدد الصحيح X هو الرقم Y الذي يقبل القسمة على X بدون باقي. على سبيل المثال، 3 هو مضاعف للرقم 15، و6 هو مضاعف للرقم 12.

بالنسبة لأي زوج من الأرقام، يمكننا العثور على المقسومات والمضاعفات المشتركة لها. على سبيل المثال، بالنسبة للعددين 6 و9، المضاعف المشترك هو 18 والمقسوم المشترك هو 3. من الواضح أن الأزواج يمكن أن تحتوي على عدة مقسومات ومضاعفات، لذلك تستخدم الحسابات القاسم الأكبر GCD وأصغر مضاعف LCM.

المقسوم عليه الأصغر لا معنى له، لأنه دائمًا ما يكون واحدًا لأي رقم. والمضاعف الأكبر لا معنى له أيضًا، لأن تسلسل المضاعفات يصل إلى ما لا نهاية.

البحث عن جي سي دي

هناك العديد من الطرق لإيجاد القاسم المشترك الأكبر، ومن أشهرها:

• البحث المتسلسل عن المقسومات واختيار القواسم المشتركة للزوج والبحث عن أكبرها؛
• تحليل الأرقام إلى عوامل غير قابلة للتجزئة؛
• الخوارزمية الإقليدية؛
• خوارزمية ثنائية.

اليوم في المؤسسات التعليمية الأساليب الأكثر شعبية هي التحلل إلى عوامل أولية والخوارزمية الإقليدية. يتم استخدام الأخير بدوره عند حل معادلات ديوفانتاين: البحث عن GCD مطلوب للتحقق من المعادلة لمعرفة إمكانية الحل بالأعداد الصحيحة.

العثور على شهادة عدم الممانعة

يتم تحديد المضاعف المشترك الأصغر أيضًا عن طريق البحث المتسلسل أو التحلل إلى عوامل غير قابلة للتجزئة. بالإضافة إلى ذلك، من السهل العثور على القاسم المشترك الأكبر إذا تم تحديد القاسم الأكبر بالفعل. بالنسبة للأرقام X وY، يرتبط LCM وGCD بالعلاقة التالية:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

على سبيل المثال، إذا كان GCM(15,18) = 3، فإن المضاعف المشترك الأصغر (15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. المثال الأكثر وضوحًا لاستخدام المضاعف المشترك الأصغر هو إيجاد المقام المشترك، وهو المضاعف المشترك الأصغر للعددين. الكسور المعطاة.

أرقام كوبريم

إذا لم يكن لزوج من الأرقام قواسم مشتركة، فإن هذا الزوج يسمى كوبريم. إن gcd لمثل هذه الأزواج يساوي دائمًا واحدًا، واستنادًا إلى العلاقة بين المقسومات والمضاعفات، فإن gcd لأزواج coprime يساوي منتجها. على سبيل المثال، الرقمان 25 و28 أوليان نسبيًا، لأنه ليس لهما قواسم مشتركة، وLCM(25, 28) = 700، وهو ما يتوافق مع حاصل ضربهما. أي رقمين غير قابلين للقسمة سيكونان دائمًا أوليين نسبيًا.

القاسم المشترك وآلة حاسبة متعددة

باستخدام الآلة الحاسبة الخاصة بنا، يمكنك حساب GCD وLCM لعدد عشوائي من الأرقام للاختيار من بينها. تم العثور على مهام حساب المقسومات المشتركة والمضاعفات في الرياضيات للصف الخامس والسادس، لكن GCD وLCM هما مفهومان أساسيان في الرياضيات ويستخدمان في نظرية الأعداد والقياس والجبر التواصلي.

أمثلة من الحياة الحقيقية

القاسم المشترك للكسور

يتم استخدام المضاعف المشترك الأصغر عند إيجاد القاسم المشترك لكسور متعددة. لنفترض أنه في مسألة حسابية تحتاج إلى جمع 5 كسور:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

لجمع الكسور، يجب اختزال التعبير إلى قاسم مشترك، مما يقلل من مشكلة إيجاد القاسم المشترك الأصغر. للقيام بذلك، حدد 5 أرقام في الآلة الحاسبة وأدخل قيم المقامات في الخلايا المقابلة. سيقوم البرنامج بحساب المضاعف المشترك الأصغر (8، 9، 12، 15، 18) = 360. الآن تحتاج إلى حساب عوامل إضافية لكل كسر، والتي يتم تعريفها على أنها نسبة المضاعف المشترك الأصغر إلى المقام. لذلك ستبدو المضاعفات الإضافية كما يلي:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

بعد ذلك، نضرب جميع الكسور في العامل الإضافي المقابل ونحصل على:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

يمكننا بسهولة جمع هذه الكسور والحصول على النتيجة 159/360. نقوم بتقليل الكسر بمقدار 3 ونرى الإجابة النهائية - 53/120.

حل المعادلات الديوفانتينية الخطية

المعادلات الديوفانتينية الخطية هي تعبيرات بالصيغة ax + by = d. إذا كانت النسبة d / gcd(a, b) عددًا صحيحًا، فإن المعادلة قابلة للحل بالأعداد الصحيحة. دعونا نتحقق من معادلتين لمعرفة ما إذا كان لديهما حل صحيح. أولًا، دعونا نتحقق من المعادلة 150x + 8y = 37. باستخدام الآلة الحاسبة، نجد GCD (150.8) = 2. نقسم 37/2 = 18.5. الرقم ليس عددًا صحيحًا، وبالتالي فإن المعادلة ليس لها جذور صحيحة.

دعونا نتحقق من المعادلة 1320x + 1760y = 10120. استخدم الآلة الحاسبة للعثور على GCD(1320, 1760) = 440. اقسم 10120/440 = 23. ونتيجة لذلك، نحصل على عدد صحيح، وبالتالي فإن معادلة ديوفانتين قابلة للحل في معاملات الأعداد الصحيحة .

خاتمة

يلعب GCD وLCM دورًا كبيرًا في نظرية الأعداد، وتُستخدم المفاهيم نفسها على نطاق واسع في مجموعة واسعة من مجالات الرياضيات. استخدم الآلة الحاسبة الخاصة بنا لحساب المقسومات الكبرى والمضاعفات الصغرى لأي عدد من الأرقام.

الرقم الثاني: ب=

فاصل الألفبدون فاصل مسافة "´

نتيجة:

القاسم المشترك الأكبر gcd( أ,ب)=6

المضاعف المشترك الأصغر لـ LCM( أ,ب)=468

يسمى أكبر عدد طبيعي يمكن قسمته بدون باقي على الرقمين a وb القاسم المشترك الأكبر(GCD) من هذه الأرقام. يُشار إليه بـ gcd(a,b) أو (a,b) أو gcd(a,b) أو hcf(a,b).

أقل مضاعف مشتركالمضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين a وb هو أصغر عدد طبيعي يقبل القسمة على a وb بدون باقي. يُشار إليه بـ LCM(a,b) أو lcm(a,b).

يتم استدعاء الأعداد الصحيحة a و b رئيسي متبادل، إذا لم يكن لديهم قواسم مشتركة غير +1 و −1.

القاسم المشترك الأكبر

دعونا نعطي رقمين موجبين أ 1 و أ 2 1). مطلوب إيجاد القاسم المشترك لهذه الأرقام، أي. العثور على مثل هذا الرقم λ ، الذي يقسم الأرقام أ 1 و أ 2 في نفس الوقت. دعونا نصف الخوارزمية.

1) في هذه المقالة سيتم فهم كلمة رقم على أنها عدد صحيح.

يترك أ 1 ≥ أ 2 ودع

أين م 1 , أ 3 هي بعض الأعداد الصحيحة، أ 3 <أ 2(باقي القسمة أ 1 لكل أ 2 ينبغي أن يكون أقل أ 2).

دعونا نتظاهر بذلك λ يقسم أ 1 و أ 2 ثم λ يقسم م 1 أ 2 و λ يقسم أ 1 −م 1 أ 2 =أ 3 (البيان 2 من مقال "قابلية قسمة الأعداد. اختبار قابلية القسمة"). ويترتب على ذلك أن كل قاسم مشترك أ 1 و أ 2 هو القاسم المشترك أ 2 و أ 3. والعكس صحيح أيضاً إذا λ القاسم المشترك أ 2 و أ 3 ثم م 1 أ 2 و أ 1 =م 1 أ 2 +أ 3 قابل للقسمة أيضًا λ . وبالتالي القاسم المشترك أ 2 و أ 3 هو أيضًا قاسم مشترك أ 1 و أ 2. لأن أ 3 <أ 2 ≤أ 1، إذن يمكننا القول أن حل مشكلة إيجاد القاسم المشترك للأعداد أ 1 و أ 2 تم اختزالها إلى مشكلة أبسط تتمثل في إيجاد القاسم المشترك للأرقام أ 2 و أ 3 .

لو أ 3 ≠0، ثم يمكننا القسمة أ 2 لكل أ 3. ثم

,

أين م 1 و أ 4 هي بعض الأعداد الصحيحة، ( أ 4 باقي من القسمة أ 2 لكل أ 3 (أ 4 <أ 3)). ومن خلال تفكير مماثل نتوصل إلى استنتاج مفاده أن القواسم المشتركة للأعداد أ 3 و أ 4 يتزامن مع القواسم المشتركة للأرقام أ 2 و أ 3، وأيضا مع القواسم المشتركة أ 1 و أ 2. لأن أ 1 , أ 2 , أ 3 , أ 4، ... هي أعداد تتناقص باستمرار، وبما أن هناك عددًا محدودًا من الأعداد الصحيحة بينها أ 2 و0، ثم في مرحلة ما ن، باقي القسمة أعدم أ n+1 ستكون مساوية للصفر ( أن +2 = 0).

.

كل قاسم مشترك λ أعداد أ 1 و أ 2 هو أيضًا مقسوم على الأرقام أ 2 و أ 3 , أ 3 و أ 4 , .... أن و أن+1 . والعكس صحيح أيضًا، وهو قواسم مشتركة للأعداد أن و أ n+1 هي أيضًا مقسومات للأرقام أن −1 و أن ، .... ، أ 2 و أ 3 , أ 1 و أ 2. لكن القاسم المشترك للأرقام أن و أ n+1 هو رقم أن+1، لأن أن و أ n+1 قابلة للقسمة على أن+1 (تذكر ذلك أن +2 = 0). لذلك أ n+1 هو أيضًا مقسوم على الأرقام أ 1 و أ 2 .

لاحظ أن الرقم أ n+1 هو المقسوم الأكبر على الأرقام أن و أ n+1 ، منذ المقسوم عليه الأكبر أ n+1 هو نفسه أن+1 . لو أيمكن تمثيل n+1 كحاصل ضرب أعداد صحيحة، فهذه الأرقام هي أيضًا قواسم مشتركة للأرقام أ 1 و أ 2. رقم أيتم استدعاء n+1 القاسم المشترك الأكبرأعداد أ 1 و أ 2 .

أعداد أ 1 و أ 2 يمكن أن تكون أرقامًا موجبة أو سالبة. إذا كان أحد الأرقام يساوي صفرًا، فإن القاسم المشترك الأكبر لهذه الأرقام سيكون مساويًا للقيمة المطلقة للرقم الآخر. القاسم المشترك الأكبر للأعداد الصفرية غير محدد.

تسمى الخوارزمية المذكورة أعلاه الخوارزمية الإقليديةلإيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين.

مثال على إيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين

أوجد القاسم المشترك الأكبر لعددين 630 و 434.

• الخطوة 1. اقسم الرقم 630 على 434. والباقي هو 196.
• الخطوة 2. اقسم الرقم 434 على 196. والباقي هو 42.
• الخطوة 3. اقسم الرقم 196 على 42. والباقي هو 28.
• الخطوة 4. اقسم الرقم 42 على 28. والباقي هو 14.
• الخطوة 5. اقسم الرقم 28 على 14. والباقي هو 0.

في الخطوة 5، باقي القسمة هو 0. لذلك، القاسم المشترك الأكبر للرقمين 630 و434 هو 14. لاحظ أن الرقمين 2 و7 هما أيضًا قواسم للرقمين 630 و434.

أرقام كوبريم

تعريف 1. دع القاسم المشترك الأكبر للأرقام أ 1 و أ 2 يساوي واحد. ثم يتم استدعاء هذه الأرقام أرقام كوبريم، ليس لها قاسم مشترك.

نظرية 1. لو أ 1 و أ 2 أرقام أولية، و λ رقم ما، ثم أي قاسم مشترك للأرقام LA 1 و أ 2 هو أيضًا قاسم مشترك للأرقام λ و أ 2 .

دليل. خذ بعين الاعتبار الخوارزمية الإقليدية لإيجاد القاسم المشترك الأكبر للأرقام أ 1 و أ 2 (انظر أعلاه).

.

ويترتب على شروط النظرية أن القاسم المشترك الأكبر للأعداد أ 1 و أ 2 وبالتالي أن و أ n+1 هو 1. هذا هو أن+1 =1.

دعونا نضرب كل هذه المساواة في λ ، ثم

.

دع القاسم المشترك أ 1 λ و أ 2 نعم δ . ثم δ يتم تضمينه كمضاعف في أ 1 λ , م 1 أ 2 λ و في أ 1 λ -م 1 أ 2 λ =أ 3 λ (انظر "قابلية تقسيم الأرقام"، البيان 2). إضافي δ يتم تضمينه كمضاعف في أ 2 λ و م 2 أ 3 λ ، وبالتالي فهو عامل أ 2 λ -م 2 أ 3 λ =أ 4 λ .

بالتفكير بهذه الطريقة، نحن مقتنعون بذلك δ يتم تضمينه كمضاعف في أن −1 λ و من −1 أن λ ، وبالتالي في أن −1 λ −من −1 أن λ =أن+1 λ . لأن أن+1=1 إذن δ يتم تضمينه كمضاعف في λ . ولذلك الرقم δ هو القاسم المشترك للأرقام λ و أ 2 .

دعونا نفكر في حالات خاصة للنظرية 1.

عاقبة 1. يترك أو جالأعداد الأولية نسبية ب. ثم منتجاتهم تيار مترددهو عدد أولي بالنسبة ل ب.

حقًا. من النظرية 1 تيار مترددو بلها نفس القواسم المشتركة مثل جو ب. لكن الأرقام جو ببسيطة نسبيا، أي. لديك قاسم مشترك واحد 1. ثم تيار مترددو بلدينا أيضًا قاسم مشترك واحد 1. لذلك تيار مترددو ببسيطة بشكل متبادل.

عاقبة 2. يترك أو بأرقام coprim والسماح بيقسم أك. ثم بيقسم و ك.

حقًا. من شرط الموافقة أكو بلها قاسم مشترك ب. بموجب النظرية 1، بيجب أن يكون القاسم المشترك بو ك. لذلك بيقسم ك.

يمكن تعميم النتيجة الطبيعية 1.

عاقبة 3. 1. دع الأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 , ..., أم هي أولية بالنسبة للعدد ب. ثم أ 1 أ 2 , أ 1 أ 2 · أ 3 , ..., أ 1 أ 2 أ 3 ··· أم، منتج هذه الأرقام هو أولي بالنسبة إلى الرقم ب.

2. دعونا يكون لدينا صفين من الأرقام

بحيث يكون كل رقم في السلسلة الأولى أوليًا بنسبة كل رقم في السلسلة الثانية. ثم المنتج

تحتاج إلى العثور على أرقام قابلة للقسمة على كل من هذه الأرقام.

إذا كان الرقم يقبل القسمة على أ 1، ففيه الشكل سا 1 حيث سبعض العدد. لو سهو القاسم المشترك الأكبر للأرقام أ 1 و أ 2، ثم

أين س 1 هو عدد صحيح. ثم

يكون المضاعفات الأقل شيوعا للأرقام أ 1 و أ 2 .

أ 1 و أ 2 أولية نسبيًا، ثم المضاعف المشترك الأصغر للأرقام أ 1 و أ 2:

علينا إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد.

مما سبق يترتب على ذلك أي مضاعف للأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 يجب أن يكون من مضاعفات الأرقام ε و أ 3 والعودة. دع المضاعف المشترك الأصغر للأرقام ε و أ 3 نعم ε 1 . التالي، مضاعفات الأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 , أ 4 يجب أن يكون من مضاعفات الأرقام ε 1 و أ 4 . دع المضاعف المشترك الأصغر للأرقام ε 1 و أ 4 نعم ε 2. وهكذا اكتشفنا أن جميع الأعداد مضاعفات أ 1 , أ 2 , أ 3 ,...,أم تتزامن مع مضاعفات عدد معين ε n، وهو ما يسمى المضاعف المشترك الأصغر للأرقام المحددة.

في حالة خاصة عندما تكون الأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 ,...,أ m أولية نسبيًا، ثم المضاعف المشترك الأصغر للأرقام أ 1 , أ 2 كما هو موضح أعلاه، له الشكل (3). التالي منذ ذلك الحين أ 3 أعداد أولية بالنسبة للأرقام أ 1 , أ 2 ثم أ 3 عدد أولي أ 1 · أ 2 (النتيجة الطبيعية 1). يعني المضاعف المشترك الأصغر للأرقام أ 1 ,أ 2 ,أ 3 هو رقم أ 1 · أ 2 · أ 3. وبالتفكير بطريقة مماثلة، نصل إلى العبارات التالية.

إفادة 1. المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأولية أ 1 , أ 2 , أ 3 ,...,أم يساوي منتجهم أ 1 · أ 2 · أ 3 ··· أم.

إفادة 2. أي رقم يقبل القسمة على كل من الأعداد الأولية أ 1 , أ 2 , أ 3 ,...,أم قابل للقسمة أيضًا على منتجهم أ 1 · أ 2 · أ 3 ··· أم.

تتيح لك الآلة الحاسبة عبر الإنترنت العثور بسرعة على القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر لعددين أو أي عدد آخر من الأرقام.

آلة حاسبة لإيجاد GCD وLCM

ابحث عن GCD وLOC

تم العثور على GCD وLOC: 5806

كيفية استخدام الآلة الحاسبة

• أدخل الأرقام في حقل الإدخال
• إذا قمت بإدخال أحرف غير صحيحة، فسيتم تمييز حقل الإدخال باللون الأحمر
• انقر فوق الزر "البحث عن GCD وLOC".

كيفية إدخال الأرقام

• يتم إدخال الأرقام مفصولة بمسافة أو نقطة أو فاصلة
• طول الأرقام المدخلة غير محدود، لذا فإن العثور على GCD و LCM للأعداد الطويلة ليس بالأمر الصعب

ما هي GCD وNOC؟

القاسم المشترك الأكبرالأعداد المتعددة هي أكبر عدد صحيح طبيعي تقبل به جميع الأعداد الأصلية القسمة بدون باقي. يتم اختصار القاسم المشترك الأكبر كـ جي سي دي.
أقل مضاعف مشتركعدة أرقام هي أصغر عدد يقبل القسمة على كل رقم من الأعداد الأصلية دون باقي. يتم اختصار المضاعف المشترك الأصغر كـ شهادة عدم الممانعة.

كيفية التحقق من أن الرقم يقبل القسمة على رقم آخر دون باقي؟

لمعرفة ما إذا كان أحد الأرقام قابلاً للقسمة على رقم آخر دون باقي، يمكنك استخدام بعض خصائص قابلية قسمة الأرقام. ومن ثم، من خلال الجمع بينها، يمكنك التحقق من قابلية قسمة بعضها ومجموعاتها.

بعض علامات قابلية قسمة الأعداد

1. اختبار قابلية القسمة على رقم 2
لتحديد ما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على اثنين (سواء كان زوجيًا)، يكفي النظر إلى الرقم الأخير من هذا الرقم: إذا كان يساوي 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8، فإن الرقم زوجي، مما يعني أنه يقبل القسمة على 2.
مثال:تحديد ما إذا كان الرقم 34938 يقبل القسمة على 2.
حل:ننظر إلى الرقم الأخير: 8 - وهذا يعني أن الرقم يقبل القسمة على اثنين.

2. اختبار قابلية القسمة على رقم 3
يقبل العدد القسمة على 3 عندما يكون مجموع أرقامه يقبل القسمة على ثلاثة. وبالتالي، لتحديد ما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 3، فأنت بحاجة إلى حساب مجموع الأرقام والتحقق مما إذا كان قابلاً للقسمة على 3. حتى لو كان مجموع الأرقام كبيرًا جدًا، يمكنك تكرار نفس العملية مرة أخرى.
مثال:تحديد ما إذا كان الرقم 34938 يقبل القسمة على 3.
حل:نحسب مجموع الأعداد: 3+4+9+3+8 = 27. 27 يقبل القسمة على 3، مما يعني أن الرقم يقبل القسمة على ثلاثة.

3. اختبار قابلية القسمة على رقم 5
يقبل العدد القسمة على 5 عندما يكون رقمه الأخير صفرًا أو خمسة.
مثال:تحديد ما إذا كان الرقم 34938 يقبل القسمة على 5.
حل:انظر إلى الرقم الأخير: 8 يعني أن الرقم لا يقبل القسمة على خمسة.

4. اختبار قابلية القسمة على رقم 9
هذه العلامة تشبه إلى حد كبير علامة القسمة على ثلاثة: الرقم يقبل القسمة على 9 عندما يكون مجموع أرقامه قابلاً للقسمة على 9.
مثال:تحديد ما إذا كان الرقم 34938 يقبل القسمة على 9.
حل:نحسب مجموع الأعداد: 3+4+9+3+8 = 27. 27 يقبل القسمة على 9، مما يعني أن العدد يقبل القسمة على تسعة.

كيفية العثور على GCD و LCM من رقمين

كيفية العثور على gcd من رقمين

أسهل طريقة لحساب القاسم المشترك الأكبر لعددين هي إيجاد جميع المقسومات الممكنة لهذه الأرقام واختيار أكبرها.

لنفكر في هذه الطريقة باستخدام مثال العثور على GCD(28, 36):

1. نقوم بتحليل كلا الرقمين: 28 = 1·2·2·7، 36 = 1·2·2·3·3
2. نجد العوامل المشتركة، أي تلك التي يجمعها كلا الرقمين: 1، 2، 2.
3. نحسب حاصل ضرب هذه العوامل: 1 2 2 = 4 - هذا هو القاسم المشترك الأكبر للرقمين 28 و36.

كيفية العثور على LCM من رقمين

هناك طريقتان شائعتان للعثور على المضاعف الأصغر لعددين. الطريقة الأولى هي أنه يمكنك كتابة المضاعفات الأولى لعددين، ثم تختار من بينها الرقم الذي سيكون مشتركًا بين الرقمين وفي نفس الوقت الأصغر. والثاني هو العثور على GCD لهذه الأرقام. دعونا نفكر في ذلك فقط.

لحساب LCM، تحتاج إلى حساب حاصل ضرب الأرقام الأصلية ثم تقسيمها على GCD الذي تم العثور عليه مسبقًا. لنجد المضاعف المشترك الأصغر لنفس الرقمين 28 و36:

1. أوجد حاصل ضرب الرقمين 28 و36: 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36)، كما هو معروف بالفعل، يساوي 4
3. م م(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

إيجاد GCD و LCM لعدة أرقام

يمكن العثور على القاسم المشترك الأكبر لعدة أرقام، وليس اثنين فقط. وللقيام بذلك، يتم تحليل الأعداد المطلوب إيجادها للمقسوم المشترك الأكبر إلى عوامل أولية، ثم إيجاد حاصل ضرب العوامل الأولية المشتركة لهذه الأعداد. يمكنك أيضًا استخدام العلاقة التالية للعثور على gcd لعدة أرقام: GCD(أ، ب، ج) = GCD(GCD(أ، ب)، ج).

تنطبق علاقة مماثلة على المضاعف المشترك الأصغر: م م م (أ، ب، ج) = م م م (م م م (أ، ب)، ج)

مثال:ابحث عن GCD وLCM للأرقام 12 و32 و36.

1. أولاً، دعونا نحلل الأرقام إلى عوامل: 12 = 1·2·2·3، 32 = 1·2·2·2·2·2، 36 = 1·2·2·3·3.
2. لنجد العوامل المشتركة: 1، 2، 2.
3. سيعطي منتجهم GCD: 1·2·2 = 4
4. الآن دعونا نوجد المضاعف المشترك الأصغر: للقيام بذلك، دعونا أولًا نوجد المضاعف المشترك الأصغر(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لجميع الأرقام الثلاثة، عليك إيجاد GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. م م(12، 32، 36) = 96·36 / 12 = 288.