الموضوع الأول: الكسور الجبرية، العمليات الحسابية. المسائل المتعلقة بجمع وطرح الكسور

№ ص / ص	عناصر المحتوى	يكون قادرا علىحل المشاكل والمواقف الإشكالية	د-9
26	القوة ذات الأس الصحيح السالب	الأس الطبيعي، الأس السالب، الضرب، القسمة، الأسي	يملكفكرة عن قوة ذات أس طبيعي، قوة ذات أس سالب، الضرب والقسمة الأسي لعدد يكون قادرا على: - تبسيط التعبيرات باستخدام تعريف الدرجة ذات الأس السالب وخصائص الدرجة؛ - كتابة النص بأسلوب علمي	إس-10
29	الاختبار رقم 2 "تحويل التعبيرات العقلانية"		يكون قادرا علىاختيار طريقة عقلانية بشكل مستقل لتحويل التعبيرات العقلانية، وإثبات المتطابقات، وحل المعادلات العقلانية عن طريق إزالة المقامات، وإنشاء نموذج رياضي للموقف الحقيقي	ك.ر. رقم 2

أسئلة للاختبار

• 
  اذكر الخاصية الرئيسية للكسر.
• 
  صياغة
  1. 
     خوارزمية لإيجاد عامل إضافي لكسر جبري.
  2. 
     قواعد جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المتشابهة.
  3. 
     خوارزمية لإيجاد القاسم المشترك لعدة كسور
  4. 
     قاعدة جمع (طرح) الكسور الجبرية ذات المقامات المختلفة.
  5. 
     قاعدة ضرب الكسور الجبرية
  6. 
     قاعدة قسمة الكسور الجبرية.
  7. 
     قاعدة رفع الكسر الجبري إلى قوة.

يتناول هذا الدرس مفهوم الكسر الجبري. يواجه الناس الكسور في أبسط مواقف الحياة: عندما يكون من الضروري تقسيم شيء ما إلى عدة أجزاء، على سبيل المثال، قطع كعكة بالتساوي إلى عشرة أشخاص. ومن الواضح أن الجميع يحصل على قطعة من الكعكة. في هذه الحالة، نواجه مفهوم الكسر العددي، ولكن الوضع ممكن عندما يتم تقسيم الكائن إلى عدد غير معروف من الأجزاء، على سبيل المثال، بواسطة x. في هذه الحالة، ينشأ مفهوم التعبير الكسري. لقد تعرفت بالفعل على التعبيرات الكاملة (التي لا تحتوي على التقسيم إلى تعبيرات ذات متغيرات) وخصائصها في الصف السابع. بعد ذلك سننظر إلى مفهوم الكسر العقلاني، وكذلك القيم المقبولة للمتغيرات.

موضوع:الكسور الجبرية. العمليات الحسابية على الكسور الجبرية

درس:مفاهيم أساسية

1. تعريف وأمثلة على الكسور الجبرية

وتنقسم التعبيرات العقلانية إلى التعبيرات الصحيحة والكسرية.

تعريف. جزء عقلانيهو تعبير كسري للنموذج، حيث توجد كثيرات الحدود. - البسط والمقام.

أمثلة التعبيرات العقلانية:- التعبيرات الكسرية؛ - التعبيرات الكاملة. في التعبير الأول، على سبيل المثال، البسط هو والمقام هو .

معنى جزء جبريمثل أي شخص تعبير جبري، يعتمد على القيمة العددية للمتغيرات المضمنة فيه. على وجه الخصوص، في المثال الأول تعتمد قيمة الكسر على قيم المتغيرات و، وفي المثال الثاني فقط على قيمة المتغير.

2. حساب قيمة الكسر الجبري ومسألتين أساسيتين للكسر

لنفكر في المهمة النموذجية الأولى: حساب القيمة جزء عقلانيلقيم مختلفة للمتغيرات المضمنة فيه.

مثال 1. احسب قيمة الكسر لـ a) , b) , c)

حل. دعونا نستبدل قيم المتغيرات في الكسر المشار إليه: أ) ، ب) ، ج) - غير موجود (نظرًا لأنه لا يمكنك القسمة على صفر).

الجواب: 3؛ 1؛ غير موجود.

كما ترون، تنشأ مشكلتان نموذجيتان لأي كسر: 1) حساب الكسر، 2) إيجاده القيم الصالحة وغير الصالحةمتغيرات الحروف

تعريف. القيم المتغيرة الصالحة- قيم المتغيرات التي يكون فيها التعبير منطقيًا. تسمى مجموعة جميع القيم الممكنة للمتغيرات ODZأو اِختِصاص.

3. القيم المقبولة (ADV) وغير المقبولة للمتغيرات في الكسور ذات المتغير الواحد

قد تكون قيمة المتغيرات الحرفية غير صالحة إذا كان مقام الكسر عند هذه القيم صفراً. وفي جميع الحالات الأخرى تكون قيم المتغيرات صحيحة، إذ يمكن حساب الكسر.

مثال 2. حدد قيم المتغير التي لا معنى لها للكسر.

حل. لكي يكون هذا التعبير منطقيًا، من الضروري والكافي أن يكون مقام الكسر لا يساوي صفرًا. وبالتالي، فإن قيم المتغير فقط هي التي ستكون غير صالحة حيث يكون مقامها صفرًا. مقام الكسر هو لذلك نحل المعادلة الخطية:

ولذلك، بالنظر إلى قيمة المتغير، فإن الكسر ليس له معنى.

من حل المثال تتبع قاعدة البحث عن قيم غير صالحة للمتغيرات - مقام الكسر يساوي صفر ويتم العثور على جذور المعادلة المقابلة.

دعونا نلقي نظرة على عدة أمثلة مماثلة.

مثال 3. حدد قيم المتغير التي لا معنى لها للكسر.

حل. .

مثال 4. حدد قيم المتغير التي لا معنى لها للكسر.

حل..

هناك تركيبات أخرى لهذه المشكلة - تجد اِختِصاصأو نطاق قيم التعبير المقبولة (APV). وهذا يعني العثور على كافة القيم المتغيرة الصالحة. في مثالنا، هذه كلها قيم باستثناء . من الملائم تصوير مجال التعريف على محور الأرقام.

للقيام بذلك، سوف نقطع نقطة عليه، كما هو مبين في الشكل:

هكذا، مجال تعريف الكسرسيكون هناك جميع الأرقام باستثناء 3.

مثال 5. حدد قيم المتغير التي لا معنى لها للكسر.

حل..

دعونا نصور الحل الناتج على المحور العددي:

4. التمثيل الرسومي لمنطقة القيم المقبولة (AP) والقيم غير المقبولة للمتغيرات في الكسور

مثال 6. حدد قيم المتغيرات التي لا معنى لها للكسر.

الحل.. لقد حصلنا على تساوي المتغيرين، وسنعطي أمثلة عددية: أو، إلخ.

دعونا نصور هذا الحل على الرسم البياني في نظام الإحداثيات الديكارتية:

أرز. 3. الرسم البياني للوظيفة.

لا يتم تضمين إحداثيات أي نقطة تقع على هذا الرسم البياني في نطاق قيم الكسر المقبولة.

5. حالة نوع "القسمة على الصفر".

في الأمثلة التي تمت مناقشتها، واجهنا موقفًا حدث فيه القسمة على صفر. الآن فكر في الحالة التي ينشأ فيها موقف أكثر إثارة للاهتمام مع تقسيم النوع.

مثال 7. حدد قيم المتغيرات التي لا معنى لها للكسر.

حل..

وتبين أن الكسر لا معنى له في . ولكن يمكن القول بأن هذا ليس هو الحال للأسباب التالية: .

قد يبدو أنه إذا كان التعبير النهائي يساوي 8 عند ، فيمكن أيضًا حساب التعبير الأصلي، وبالتالي يكون منطقيًا عند . ومع ذلك، إذا عوضنا به في التعبير الأصلي، فسنحصل على - لا معنى له.

لفهم هذا المثال بمزيد من التفصيل، دعونا نحل المشكلة التالية: عند أي قيم يساوي الكسر المشار إليه الصفر؟

(الكسر يكون صفراً عندما يكون بسطه صفراً) . لكن من الضروري حل المعادلة الأصلية بكسر، وهذا لا معنى له، لأنه عند هذه القيمة للمتغير يكون المقام صفرًا. وهذا يعني أن هذه المعادلة لها جذر واحد فقط.

6. قاعدة العثور على ODZ

وبالتالي، يمكننا صياغة قاعدة دقيقة للعثور على نطاق القيم المسموح بها للكسر: العثور عليه ODZالكسورفمن الضروري والكافي مساواة مقامه بالصفر وإيجاد جذور المعادلة الناتجة.

لقد نظرنا في مهمتين رئيسيتين: حساب قيمة الكسرللقيم المحددة للمتغيرات و إيجاد نطاق القيم المقبولة للكسر.

دعونا الآن نفكر في بعض المشكلات الأخرى التي قد تنشأ عند التعامل مع الكسور.

7. مهام واستنتاجات مختلفة

مثال 8. أثبت أنه لأي قيم للمتغير الكسر .

دليل. البسط هو رقم موجب. . ونتيجة لذلك، فإن كلا من البسط والمقام عددان موجبان، وبالتالي فإن الكسر هو رقم موجب.

ثبت.

مثال 9. من المعروف أن تجد .

حل. دعونا نقسم مصطلح الكسر حسب المصطلح. لدينا الحق في التخفيض، مع الأخذ بعين الاعتبار القيمة المتغيرة غير الصالحة لكسر معين.

تناولنا في هذا الدرس المفاهيم الأساسية المتعلقة بالكسور. في الدرس القادم سوف ننظر الخاصية الرئيسية للكسر.

فهرس

1. باشماكوف م. الجبر الصف الثامن. - م: التربية، 2004.

2. دوروفييف جي في، سوفوروفا إس بي، بونيموفيتش إي إيه الجبر 8. - الطبعة الخامسة. - م: التربية، 2010.

3. نيكولسكي إس إم، بوتابوف إم إيه، ريشيتنيكوف إن إن، شيفكين إيه في الجبر الصف الثامن. كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام. - م: التربية، 2006.

1. مهرجان الأفكار التربوية.

2. المدرسة القديمة.

3. بوابة الإنترنت lib2.podelise. رو.

العمل في المنزل

1. رقم 4، 7، 9، 12، 13، 14. Dorofeev G.V.، Suvorova S.B.، Bunimovich E.A. الجبر 8. - الطبعة الخامسة. - م: التربية، 2010.

2. اكتب كسرًا كسريًا مجال تعريفه هو: أ) المجموعة، ب) المجموعة، ج) خط الأعداد بأكمله.

3. أثبت أنه لجميع القيم الممكنة للمتغير تكون قيمة الكسر غير سالبة.

4. ابحث عن مجال التعبير. التعليمات: فكر في حالتين منفصلتين: عندما يكون مقام الكسر السفلي صفرًا وعندما يكون مقام الكسر الأصلي صفرًا.

الموضوع 1. الكسور الجبرية. العمليات الحسابية على الكسور الجبرية. (18 ساعة)

قسم الرياضيات. من خلال الخط.

• 
  الأرقام والحسابات
• 
  التعبيرات والتحولات

• 
  جزء جبري.
• 
  تقليل الكسور.
• 
  العمليات على الكسور الجبرية.

• 
  

برنامج	^ عدد الساعات	يتحكم علامات
يو-1. الدرس المشترك "المفاهيم الأساسية"	1		مهام الحساب الذهني. التمرين 1 "التعبيرات العددية"
يو-2. محاضرة الدرس "الخاصية الرئيسية للكسر الجبري. تقليل الكسور"	1		مادة توضيحية "الخاصية الرئيسية للكسور الجبرية"
يو-3. الدرس - توحيد ما تم تعلمه	1	العد اللفظي العمل المستقل 1.1 "الخاصية الرئيسية للكسر. تقليل الكسور"	مهام الحساب الذهني. تمرين 2 "تبسيط الكسور الجبرية"
يو-4. درس مشترك "جمع وطرح الكسور ذات المقامات المتشابهة"	1
تحت 5 سنوات. الدرس - حل المشكلات	1		مؤتمر نزع السلاح الرياضيات 5-11 تمارين "الأعداد النسبية".
تحت 6. درس مشترك "جمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة"	1		مادة توضيحية "جمع وطرح الكسور الجبرية"
يو-7. الدرس - حل المشكلات	1	العد اللفظي	مهام الحساب الذهني. التمرين 3 "جمع وطرح الكسور الجبرية"
يو-8. الدرس - العمل المستقل	1	العمل المستقل 1.2 "جمع وطرح الكسور الجبرية"
يو-9. الدرس - حل المشكلات	1
تحت 10 سنوات. اختبار الدرس	1	الاختبار رقم 1
تحت 11 سنة. درس مشترك "ضرب وقسمة الكسور الجبرية. رفع الكسور الجبرية إلى قوى"	1
تحت 12 سنة. الدرس - حل المشكلات	2	العمل المستقل 1.3 "ضرب وقسمة الكسور"
تحت 13 سنة. درس مشترك "تحويل التعبيرات العقلانية"	1	العد اللفظي	مهام الحساب الذهني. التمرين 4 "ضرب وقسمة الكسور الجبرية"
تحت 14 سنة. الدرس - حل المشكلات	1
تحت 15 سنة. الدرس - العمل المستقل	1	العمل المستقل 1.4 "تحول التعبيرات العقلانية"
تحت 16 سنة. درس الورشة "الأفكار الأولى حول حل المعادلات العقلانية"	1		مؤتمر نزع السلاح الرياضيات 5-11 المختبر الافتراضي "الرسم البياني للدالة".
تحت 17 سنة. الدرس - حل المشكلات	1	اختبار 1 "الكسور الجبرية"
تحت 18 سنة. الدرس - الاختبار.	1	الاختبار رقم 2

• 
  تكون قادرة على تقليل الكسور الجبرية.
• 
  

• 
  تكون قادرة على إجراء العمليات الأساسية مع الكسور الجبرية.
• 
  تكون قادرًا على أداء تمارين مجمعة على الإجراءات المتعلقة بالكسور الجبرية.

الموضوع 2. الدالة التربيعية. وظيفة . (18 ساعة)

 الوظيفة

الحد الأدنى الإلزامي للمحتوى التعليمي للرياضيات

برنامج. مراقبة تنفيذه

برنامج	رقم في الساعة	يتحكم علامات	برامج الكمبيوتر درس
يو-1. الدرس المشترك "الوظيفة وخصائصه ورسمه البياني"	1
	1	العد اللفظي	مهام الحساب الذهني. التمرين 5 "الوظيفة" مادة توضيحية “القطع المكافئ. التطبيق في العلوم والتكنولوجيا"
يو-3. درس حل المشكلات	1	العمل المستقل 2.1 "وظيفة ص = ك س 2 »
يو-4. محاضرة الدرس "الوظيفة والرسم البياني لها"	1		مادة توضيحية "الوظيفة وخصائصها والرسم البياني"
^ تحت 5 سنوات. درس حل المشكلات	3	العد اللفظي العمل المستقل 2.2 "وظيفة"	مهام الحساب الذهني. التمرين 6 "التناسب العكسي"
يو-6,7. دروس-ورش عمل "كيفية رسم دالة بيانيا »	2	العمل التطبيقي
يو-8,9. دروس-ورش عمل "كيفية رسم دالة بيانيا إذا كان الرسم البياني للدالة معروفًا »	2		قرص مضغوط "الرياضيات الصفوف 5-11". المختبر الافتراضي "الرسوم البيانية للوظائف"
^ تحت 10 سنوات. اختبار الدرس	1	الاختبار رقم 3
ورشة عمل دروس فئة U-11 "كيفية رسم الرسم البياني للدالة إذا كان الرسم البياني للدالة معروفًا »	1		قرص مضغوط "الرياضيات الصفوف 5-11". المختبر الافتراضي "الرسوم البيانية للوظائف"
ورشة عمل دروس فئة U-12 "كيفية رسم الرسم البياني للدالة إذا كان الرسم البياني للدالة معروفًا »	1	العمل المستقل 2.3 "الرسوم البيانية الوظيفية"	قرص مضغوط "الرياضيات الصفوف 5-11". المختبر الافتراضي "الرسوم البيانية للوظائف"
تحت 13 سنة. الدرس المشترك "الوظيفة وخصائصه ورسمه البياني"	1		مادة توضيحية "خصائص الدالة التربيعية"
تحت 14 سنة. الدرس - توحيد ما تم تعلمه.	1	العد اللفظي	مهام الحساب الذهني. التمرين 7 "الدالة التربيعية"
تحت 15 سنة. درس حل المشكلات	1	العد اللفظي العمل المستقل 2.4 "خصائص ورسم بياني للدالة التربيعية"	مهام الحساب الذهني. التمرين 8 "خصائص الدالة التربيعية"
تحت 16 سنة. اختبار الدرس	1	الاختبار 2 "وظيفة من الدرجة الثانية"
^ تحت 17 سنة. ورشة عمل "الحل البياني للمعادلات التربيعية"	1		مادة توضيحية "الحل الرسومي للمعادلات التربيعية"
تحت 18 سنة. اختبار الدرس	1	الاختبار رقم 4

متطلبات التدريب الرياضي

مستوى التدريب الإلزامي للطالب

مستوى التدريب الممكن للطالب

الموضوع 3 الوظيفة . خصائص الجذر التربيعي (11 ساعة)

قسم الرياضيات. من خلال الخط

• 
  الأرقام والحسابات
• 
  التعبيرات والتحولات
• 
  المهام

الحد الأدنى الإلزامي للمحتوى التعليمي للرياضيات

 الجذر التربيعي للرقم. الجذر التربيعي الحسابي.

 مفهوم العدد غير العقلاني. عدم عقلانية الأرقام.

 الأعداد الحقيقية.

 خصائص الجذور التربيعية وتطبيقاتها في الحسابات.

 الوظيفة.

برنامج. مراقبة تنفيذه

برنامج	عدد الساعات	يتحكم علامات	دعم الكمبيوتر للدرس
^ يو-1. محاضرة الدرس “مفهوم الجذر التربيعي للعدد غير السالب”	1		مادة توضيحية "مفهوم الجذر التربيعي"
يو-2. الدرس - حل المشكلات	1	العمل المستقل 3.1 "الجذر التربيعي الحسابي"
يو-3. الدرس المشترك "الوظيفة وخصائصه ورسمه البياني"	1		مادة توضيحية "الوظيفة وخصائصها والرسم البياني"
^ يو-4. الدرس - حل المشكلات	1	العد اللفظي	مهام الحساب الذهني. التمرين 9 "الجذر التربيعي الحسابي"
^ تحت 5 سنوات. الدرس المشترك "خصائص الجذور التربيعية"	1		مادة توضيحية "تطبيق خصائص الجذر التربيعي الحسابي"
^ درس U-6 - حل المشكلات	1	العد اللفظي العمل المستقل 3.2 "خصائص الجذر التربيعي الحسابي"	مهام الحساب الذهني. التمرين 10 "الجذر التربيعي للمنتج والكسر"
^ يو-7.8. ورش عمل “تحويل العبارات التي تحتوي على عملية استخراج الجذر التربيعي”.	2	العمل التطبيقي
^ يو-9. الدرس - حل المشكلات	1	العد اللفظي العمل المستقل 3.3 "تطبيق خصائص الجذر التربيعي الحسابي"	مهام الحساب الذهني. التمرين 11 "الجذر التربيعي للدرجة"
تحت 10 سنوات. الدرس - حل المشكلات	1	اختبار 3 "الجذور التربيعية"
تحت 11 سنة. الدرس - الاختبار.	1	الاختبار رقم 5

^ متطلبات التدريب الرياضي

مستوى التدريب الإلزامي للطالب

 البحث عن معاني الجذور في الحالات البسيطة.

 معرفة تعريف الدالة وخصائصها , تكون قادرة على بناء الجدول الزمني.

 التمكن من استخدام خصائص الجذور التربيعية الحسابية لحساب القيم والتحويلات البسيطة للتعبيرات العددية التي تحتوي على جذور تربيعية.

مستوى التدريب الممكن للطالب

 التعرف على مفهوم الجذر التربيعي الحسابي.

 القدرة على تطبيق خصائص الجذر التربيعي الحسابي عند تحويل التعبيرات.

 أن تكون قادرًا على استخدام خصائص الوظيفة عند حل المشكلات العملية.

 أن يكون لديه فهم للأعداد الحقيقية وغير المنطقية.

^ الموضوع الرابع المعادلات التربيعية (21 ساعة)

قسم الرياضيات. من خلال الخط

 المعادلات والمتباينات

الحد الأدنى الإلزامي للمحتوى التعليمي للرياضيات

 المعادلة التربيعية: صيغة لجذور المعادلة التربيعية.

 حل المعادلات العقلانية.

 حل المسائل الكلامية باستخدام المعادلات العقلانية التربيعية والكسرية.

برنامج. مراقبة تنفيذه

برنامج	عدد الساعات	يتحكم علامات	برامج الكمبيوتر درس
^ يو-1. دراسة الدرس للمواد الجديدة "المفاهيم الأساسية".	1		مادة توضيحية "المعادلات التربيعية"
يو-2. الدرس - توحيد ما تم تعلمه.	1	العد اللفظي	مهام الحساب الذهني. التمرين 12 "المعادلة التربيعية وجذورها"
يو-3. الدرس المشترك "صيغ جذور المعادلات التربيعية".	1	العمل المستقل 4.1 "المعادلة التربيعية وجذورها"
يو-4.5. دروس حل المشكلات	2	العد اللفظي	مهام الحساب الذهني. التمرين 11 "حل المعادلات التربيعية"
تحت 6. الدرس - العمل المستقل	1	العمل المستقل 4.2 "حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغة"
يو-7. الدرس المشترك "المعادلات العقلانية"	1	العمل التطبيقي
يو-8,9. دروس حل المشكلات	2	العمل المستقل 4.3 "المعادلات العقلانية"
تحت 10،11. ورش عمل "المعادلات العقلانية كنماذج رياضية لمواقف حقيقية".	2
تحت 12 سنة. درس حل المشكلات	1
تحت 13 سنة. الدرس - العمل المستقل	1	العمل المستقل 4.4 "حل المسائل باستخدام المعادلات التربيعية"
تحت 14 سنة. الدرس المشترك "صيغة أخرى لجذور المعادلة التربيعية."	1
تحت 15 سنة. الدرس - حل المشكلات	1
تحت 16 سنة. درس مشترك "نظرية فييت".	1		مادة توضيحية "نظرية فييتا"
تحت 17 سنة. الدرس - حل المشكلات	1	العد اللفظي	مهام الحساب الذهني. التمرين 14 "نظرية فييتا"
تحت 18 سنة. الدرس المشترك "المعادلات غير العقلانية"	1
تحت 19 سنة. الدرس - حل المشكلات	1
تحت 20 سنة. درس حل المشكلات	1	اختبار 4 "المعادلات التربيعية"	مؤتمر نزع السلاح الرياضيات 5-11. المختبر الافتراضي “الرسوم البيانية للمعادلات والمتباينات”
تحت 21 سنة. الدرس - الاختبار.	1	الاختبار رقم 6

^ متطلبات الإعداد الرياضي

مستوى التدريب الإلزامي للطالب

 أن يكون قادراً على حل المعادلات التربيعية، والمعادلات العقلانية البسيطة وغير العقلانية.

 القدرة على حل المسائل اللفظية البسيطة باستخدام المعادلات.

مستوى التدريب الممكن للطالب

• 
  فهم أن المعادلات هي جهاز رياضي لحل المشكلات المختلفة من الرياضيات ومجالات المعرفة ذات الصلة والممارسة.
• 
  تكون قادرة على حل المعادلات التربيعية والمعادلات العقلانية وغير العقلانية التي يمكن اختزالها إلى المعادلات التربيعية.
• 
  تكون قادرة على استخدام المعادلات التربيعية والمعادلات العقلانية لحل المشاكل.

سنستمر في هذا الدرس في النظر في أبسط العمليات على الكسور الجبرية - جمعها وطرحها. سنركز اليوم على النظر في الأمثلة التي سيكون فيها الجزء الأكثر أهمية من الحل هو تحليل المقام بجميع الطرق التي نعرفها: مع العامل المشترك، وطريقة التجميع، وعزل المربع الكامل، باستخدام صيغ الضرب المختصرة. خلال الدرس سوف ننظر في العديد من المسائل الكسور المعقدة إلى حد ما.

موضوع:الكسور الجبرية. العمليات الحسابية على الكسور الجبرية

درس:المسائل المتعلقة بجمع وطرح الكسور

خلال الدرس سوف ندرس ونعمم جميع حالات جمع وطرح الكسور: ذات المقامات نفسها والمختلفة. بشكل عام سوف نقوم بحل مشاكل النموذج:

لقد رأينا سابقًا أنه عند جمع أو طرح الكسور الجبرية، فإن إحدى أهم العمليات هي تحليل المقامات. يتم تنفيذ إجراء مماثل في حالة الكسور العادية. دعونا نتذكر مرة أخرى كيفية التعامل مع الكسور العادية.

مثال 1.احسب.

حل.دعونا نستخدم، كما في السابق، النظرية الحسابية الأساسية التي تنص على أنه يمكن تحليل أي عدد إلى عوامل أولية: .

دعونا نحدد المضاعف المشترك الأصغر للمقامات: - سيكون هذا هو المقام المشترك للكسور، وبناءً عليه سنحدد عوامل إضافية لكل كسور: للكسر الأول ، للجزء الثاني ، للجزء الثالث.

إجابة..

في المثال أعلاه، استخدمنا النظرية الأساسية في الحساب لتحليل الأعداد. علاوة على ذلك، عندما تعمل كثيرات الحدود كمقامات، فإنها ستحتاج إلى تحليلها باستخدام الطرق التالية المعروفة لدينا: إخراج عامل مشترك، وطريقة التجميع، وعزل مربع كامل، واستخدام صيغ الضرب المختصرة.

مثال 2.إضافة وطرح الكسور .

حل.مقامات الكسور الثلاثة عبارة عن تعبيرات معقدة يجب تحليلها ثم العثور على المقام المشترك الأصغر لها والإشارة إلى العوامل الإضافية لكل كسر من الكسور. لنقم بكل هذه الخطوات بشكل منفصل، ثم نستبدل النتائج في التعبير الأصلي.

في المقام الأول نخرج العامل المشترك: - بعد إخراج العامل المشترك، يمكنك ملاحظة أن التعبير بين القوسين مطوي حسب صيغة مربع المجموع.

في المقام الثاني نخرج العامل المشترك: - بعد إخراج العامل المشترك نطبق صيغة فرق المربعات.

وفي المقام الثالث نخرج العامل المشترك: .

بعد تحليل المقام الثالث، يمكنك ملاحظة أنه في المقام الثاني يمكنك تحديد عامل للبحث أكثر ملاءمة عن المقام المشترك الأصغر للكسور، سنقوم بذلك عن طريق وضع الطرح خارج الأقواس، في القوس الثاني لدينا استبدلت المصطلحات بصيغة أكثر ملاءمة للتدوين.

لنحدد القاسم المشترك الأصغر للكسور على أنه التعبير الذي يتم قسمته على جميع المقامات في نفس الوقت، وسيكون مساوياً لـ: .

دعونا نشير إلى عوامل إضافية: للكسر الأول ، للجزء الثاني - لا نأخذ في الاعتبار الطرح في المقام، لأننا سنكتبه للكسر بأكمله، للكسر الثالث .

الآن لننفذ الإجراءات مع الكسور، دون أن ننسى تغيير العلامة قبل الكسر الثاني:

وفي المرحلة الأخيرة من الحل، أحضرنا مصطلحات متشابهة وكتبناها بالترتيب التنازلي لقوى المتغير.

إجابة..

باستخدام المثال أعلاه، قمنا مرة أخرى، كما في الدروس السابقة، بتوضيح خوارزمية جمع/طرح الكسور، وهي كما يلي: تحليل مقامات الكسور، والعثور على المقام المشترك الأصغر، والعوامل الإضافية، وتنفيذ إجراء الجمع/الطرح وإذا أمكن، تبسيط التعبير وإجراء التخفيض. سنستمر في استخدام هذه الخوارزمية في المستقبل. دعونا الآن نلقي نظرة على أمثلة أبسط.

مثال 3.اطرح الكسور .

حل.في هذا المثال، من المهم رؤية الفرصة لتقليل الكسر الأول قبل الوصول به إلى مقام مشترك مع الكسر الثاني. للقيام بذلك، نقوم بتحليل بسط ومقام الكسر الأول.

البسط: - في الخطوة الأولى قمنا بتوسيع جزء من التعبير حسب صيغة فرق المربعات، وفي الخطوة الثانية قمنا بإخراج العامل المشترك.

المقام: - في الخطوة الأولى قمنا بتوسيع جزء من التعبير حسب صيغة مربع الفرق، وفي الخطوة الثانية أخرجنا العامل المشترك. استبدل البسط والمقام الناتجين في التعبير الأصلي واختصر الكسر الأول بعامل مشترك:

إجابة:.

مثال 4.تنفيذ الإجراءات .

حل.في هذا المثال، كما في المثال السابق، من المهم ملاحظة وتنفيذ تخفيض الكسر قبل تنفيذ الإجراءات. دعونا نحلل البسط والمقام.

موضوع:

درس: تحويل التعبيرات العقلانية

1. التعبير العقلاني وطرق تبسيطه

دعونا نتذكر أولا تعريف التعبير العقلاني.

تعريف. تعبير عقلاني- تعبير جبري لا يحتوي على جذور ويتضمن فقط عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة (الرفع إلى قوة).

نعني بمفهوم "تحويل التعبير العقلاني" في المقام الأول تبسيطه. ويتم ذلك على ترتيب الأفعال المعروفة لدينا: أولاً الأفعال بين القوسين، ثم منتج الأرقام(الأسي)، وقسمة الأعداد، ثم عمليات الجمع والطرح.

2. تبسيط التعبيرات العقلانية مع مجموع/فرق الكسور

سيكون الهدف الرئيسي لدرس اليوم هو اكتساب الخبرة في حل المشكلات الأكثر تعقيدًا لتبسيط التعبيرات العقلانية.

مثال 1.

حل.في البداية قد يبدو أنه يمكن اختزال هذه الكسور، لأن التعبيرات الموجودة في بسط الكسور تشبه إلى حد كبير صيغ المربعات الكاملة للمقامات المقابلة لها. في هذه الحالة، من المهم عدم التسرع، ولكن للتحقق بشكل منفصل ما إذا كان الأمر كذلك.

دعونا نتحقق من بسط الكسر الأول: . الآن البسط الثاني : .

كما ترون، لم تتحقق توقعاتنا، والتعبيرات الموجودة في البسط ليست مربعات كاملة، لأنها لا تحتوي على منتج مضاعف. مثل هذه التعبيرات، إذا كنت تتذكر دورة الصف السابع، تسمى المربعات غير المكتملة. ويجب الحذر الشديد في مثل هذه الحالات، لأن الخلط بين صيغة المربع الكامل والناقص هو خطأ شائع جداً، ومثل هذه الأمثلة تختبر انتباه الطالب.

بما أن الاختزال مستحيل، فسنقوم بجمع الكسور. المقامات ليس لها عوامل مشتركة، لذلك يتم ضربها ببساطة للحصول على المقام المشترك الأصغر، والعامل الإضافي لكل كسر هو مقام الكسر الآخر.

بالطبع، يمكنك بعد ذلك فتح الأقواس وإحضار حدود مماثلة، ولكن في هذه الحالة يمكنك القيام بذلك بجهد أقل وتلاحظ في البسط أن الحد الأول هو صيغة مجموع المكعبات، والثاني هو صيغة مجموع المكعبات اختلاف المكعبات. للراحة، دعونا نتذكر هذه الصيغ بشكل عام:

في حالتنا، يتم طي التعبيرات في البسط على النحو التالي:

, التعبير الثاني مشابه. لدينا:

إجابة..

مثال 2.تبسيط التعبير العقلاني .

حل.هذا المثال مشابه للمثال السابق، ولكن هنا يتضح على الفور أن بسط الكسور تحتوي على مربعات جزئية، لذا فإن التخفيض في المرحلة الأولية للحل أمر مستحيل. كما في المثال السابق، نقوم بإضافة الكسور:

هنا، على غرار الطريقة الموضحة أعلاه، لاحظنا وقمنا بطي التعبيرات باستخدام صيغ مجموع المكعبات والفرق بينها.

إجابة..

مثال 3.تبسيط التعبير العقلاني.

حل.يمكنك ملاحظة أن مقام الكسر الثاني تم تحليله باستخدام صيغة مجموع المكعبات. كما نعلم بالفعل، فإن تحليل المقامات إلى عواملها مفيد في العثور على المقام المشترك الأصغر للكسور.

دعنا نشير إلى القاسم المشترك الأصغر للكسور، وهو يساوي: https://pandia.ru/text/80/351/images/image016_27.gif" alt="http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront. net/content/konspekt_image/ 23332/d6838ff258e40dc138ebee9552f3b9fb.png" width="624" height="70">.!}

إجابة.

3. تبسيط التعبيرات العقلانية بالكسور المعقدة "متعددة الطوابق".

لنفكر في مثال أكثر تعقيدًا للكسور "متعددة الطوابق".

مثال 4.إثبات الهوية https://pandia.ru/text/80/351/images/image019_25.gif" alt="http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/23335/25bd4e84df065d130e03bf9d1738a99d.png" width="402" height="55">. Доказано при всех допустимых значениях переменной.!}

ثبت.

في الدرس التالي، سننظر بالتفصيل في أمثلة أكثر تعقيدًا لتحويل التعبيرات النسبية.

موضوع: الكسور الجبرية. العمليات الحسابية على الكسور الجبرية

درس: تحويل التعبيرات المنطقية الأكثر تعقيدًا

1. مثال على إثبات الهوية باستخدام تحويلات التعبيرات العقلانية

في هذا الدرس سننظر في تحويل التعبيرات المنطقية الأكثر تعقيدًا. سيتم تخصيص المثال الأول لإثبات الهوية.

مثال 1

إثبات الهوية : .

دليل:

بادئ ذي بدء، عند تحويل التعبيرات العقلانية، من الضروري تحديد ترتيب الإجراءات. ولنذكرك أن العمليات التي بين القوسين تتم أولًا، ثم الضرب والقسمة، ثم الجمع والطرح. لذلك، في هذا المثال، سيكون ترتيب الإجراءات على النحو التالي: أولا نقوم بتنفيذ الإجراء في الأقواس الأولى، ثم في الأقواس الثانية، ثم نقسم النتائج التي تم الحصول عليها، ثم نضيف كسرًا إلى التعبير الناتج. ونتيجة لهذه الإجراءات، فضلا عن التبسيط، ينبغي الحصول على التعبير.