تطبيق الخصائص الأساسية للكسور في الطب. أرقام متبادلة

تمت مناقشته بالتفصيل الخاصية الرئيسية للكسروقد تقدمت صياغته، وقدمت برهانًا ومثالًا. يتم أيضًا النظر في تطبيق الخاصية الأساسية للكسر عند اختزال الكسور واختزال الكسور إلى مقام جديد.

التنقل في الصفحة.

الخاصية الرئيسية للكسر هي الصياغة والإثبات والأمثلة التوضيحية

دعونا نلقي نظرة على مثال يوضح الخاصية الأساسية للكسر. لنفترض أن لدينا مربعًا مقسمًا إلى 9 مربعات "كبيرة"، وكل مربع من هذه المربعات "الكبيرة" مقسم إلى 4 مربعات "صغيرة". وبالتالي، يمكننا أيضًا أن نقول إن المربع الأصلي مقسم إلى 4 9 = 36 مربعًا "صغيرًا". لنرسم 5 مربعات "كبيرة". في هذه الحالة، 4·5=20 مربعًا "صغيرًا" سيتم تظليلها. هنا رسم يتوافق مع مثالنا.

الجزء المظلل هو 5/9 من المربع الأصلي، أو، وهو نفسه، 20/36 من المربع الأصلي، أي أن الكسور 5/9 و 20/36 متساوية: أو. من هذه التساويات، وكذلك من التساويات 20=5·4، 36=9·4، 20:4=5 و36:4=9، يتبع ذلك و.

لدمج المادة المفككة، فكر في حل المثال.

مثال.

تم ضرب البسط والمقام لبعض الكسر المشترك في 62، وبعد ذلك تم تقسيم البسط والمقام للكسر الناتج على 2. هل الكسر الناتج يساوي الكسر الأصلي؟

حل.

ضرب بسط ومقام الكسر في أي عدد طبيعي، خاصة في 62، يعطي كسرًا، نظرًا للخاصية الأساسية للكسر، يساوي الكسر الأصلي. الخاصية الرئيسية للكسر تسمح لنا بالقول أنه بعد قسمة البسط والمقام للكسر الناتج على 2، فإن الكسر الناتج سيكون مساويا للكسر الأصلي.

إجابة:

نعم، الكسر الناتج يساوي الكسر الأصلي.

تطبيق الخاصية الأساسية للكسر

تُستخدم الخاصية الأساسية للكسر بشكل أساسي في حالتين: أولاً، عند اختزال الكسور إلى مقام جديد، وثانيًا، عند اختزال الكسور.

إن اختزال الكسر إلى مقام جديد يعني استبدال الكسر الأصلي بكسر مساوٍ له، ولكن ببسط ومقام أكبر. لإحضار كسر إلى مقام جديد، يتم ضرب كل من بسط ومقام الكسر في عدد طبيعي ما، ووفقًا للخاصية الأساسية للكسر، يتم الحصول على كسر يساوي الكسر الأصلي، ولكن مع بسط ومقام مختلفين. من المستحيل الاستغناء عن تقليل الكسور إلى مقام جديد عند أداء Vilenkin N.Ya. والرياضيات. الصف السادس: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام.

حقوق الطبع والنشر من قبل Smartstudents

كل الحقوق محفوظة.
محمية بموجب قانون حق المؤلف. لا يجوز إعادة إنتاج أي جزء من موقع www.site، بما في ذلك المواد الداخلية والمظهر، بأي شكل من الأشكال أو استخدامه دون الحصول على إذن كتابي مسبق من صاحب حقوق الطبع والنشر.

كسور الوحدة ويتم تمثيلها كـ \frac(أ)(ب).

بسط الكسر (أ)- الرقم الموجود أعلى خط الكسر ويبين عدد الأسهم التي تم تقسيم الوحدة إليها.

مقام الكسر (ب)- الرقم الموجود تحت خط الكسر ويبين عدد الأجزاء التي تنقسم إليها الوحدة.

إخفاء العرض

الخاصية الرئيسية للكسر

إذا كان الإعلان = قبل الميلاد ثم كسرين \frac(أ)(ب)و \frac(ج)(د)تعتبر متساوية. على سبيل المثال، الكسور ستكون متساوية \frac35و \frac(9)(15)، بما أن 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 ، \frac(12)(7)و \frac(24)(14)، بما أن 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

ويترتب على تعريف مساواة الكسور أن الكسور ستكون متساوية \frac(أ)(ب)و \frac(صباحا)(بم)نظرًا لأن a(bm)=b(am) هو مثال واضح على استخدام الخصائص الترابطية والإبدالية لضرب الأعداد الطبيعية أثناء العمل.

وسائل \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- وهذا هو ما يبدو الخاصية الرئيسية للكسر.

بمعنى آخر، نحصل على كسر يساوي الكسر المعطى عن طريق ضرب أو قسمة بسط ومقام الكسر الأصلي على نفس العدد الطبيعي.

تقليل جزءهي عملية استبدال كسر يكون فيه الكسر الجديد مساويًا للكسر الأصلي، ولكن ببسط ومقام أصغر.

من المعتاد تقليل الكسور بناءً على الخاصية الأساسية للكسر.

على سبيل المثال، \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(يتم تقسيم البسط والمقام على الرقم 3)؛ يمكن تخفيض الكسر الناتج مرة أخرى عن طريق القسمة على 5، أي \frac(15)(20)=\frac 34.

جزء غير قابل للاختزالهو جزء من النموذج \فارك 34، حيث البسط والمقام عددان أوليان بشكل متبادل. الغرض الرئيسي من تقليل الكسر هو جعل الكسر غير قابل للاختزال.

اختزال الكسور إلى قاسم مشترك

لنأخذ كسرين كمثال: \frac(2)(3)و \frac(5)(8)بمقامات مختلفة 3 و 8. لكي نصل بهذه الكسور إلى مقام مشترك، نقوم أولاً بضرب بسط الكسر ومقامه \frac(2)(3)بحلول 8. نحصل على النتيجة التالية: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). ثم نضرب بسط الكسر ومقامه \frac(5)(8)بحلول 3. ونتيجة لذلك نحصل على: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). لذلك، يتم تقليل الكسور الأصلية إلى قاسم مشترك هو 24.

العمليات الحسابية على الكسور العادية

إضافة الكسور العادية

أ) إذا كان المقامان متساويين، يضاف بسط الكسر الأول إلى بسط الكسر الثاني، ويترك المقام كما هو. كما ترون في المثال:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

ب) بالنسبة للمقامات المختلفة، يتم أولاً اختزال الكسور إلى مقام مشترك، ثم يتم إضافة البسط وفقًا للقاعدة أ):

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\فارك(3)(12)=\فارك(31)(12).

طرح الكسور

أ) إذا كان المقامان متساويين، فاطرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول، واترك المقام كما هو:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

ب) إذا كانت مقامات الكسور مختلفة، يتم أولاً إحضار الكسور إلى مقام مشترك، ثم يتم تكرار الخطوات كما في النقطة أ).

ضرب الكسور العادية

ضرب الكسور يخضع للقاعدة التالية:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

أي أنهم يضربون البسط والمقامات بشكل منفصل.

على سبيل المثال:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

تقسيم الكسور

يتم تقسيم الكسور على النحو التالي:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

وهذا هو، جزء \frac(أ)(ب)مضروبة في الكسر \frac(د)(ج).

مثال: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\فارك(56)(2).

أرقام متبادلة

إذا كان ab=1 فإن الرقم b هو رقم متبادلللرقم أ.

مثال: بالنسبة للرقم 9 فإن المقلوب هو \frac(1)(9)، لأن 9\cdot\frac(1)(9)=1، للرقم 5 - \frac(1)(5)، لأن 5\cdot\frac(1)(5)=1.

الكسور العشرية

عدد عشرييسمى الكسر الحقيقي الذي مقامه 10، 1000، 10\,000، ...، 10^n.

على سبيل المثال: \frac(6)(10)=0.6;\enspace \frac(44)(1000)=0.044.

تتم كتابة الأرقام غير المنتظمة ذات المقام 10^n أو الأرقام المختلطة بنفس الطريقة.

على سبيل المثال: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.

أي كسر عادي مقامه هو مقسوم على قوة معينة 10 يتم تمثيله ككسر عشري.

مثال: 5 هو مقسوم على 100، فهو كسر \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0.2.

العمليات الحسابية على الأعداد العشرية

إضافة الكسور العشرية

لإضافة كسرين عشريين، عليك ترتيبهما بحيث تكون هناك أرقام متطابقة تحت بعضها البعض وفاصلة تحت الفاصلة، ثم قم بإضافة الكسور مثل الأرقام العادية.

طرح الأعداد العشرية

يتم تنفيذه بنفس طريقة الإضافة.

ضرب الأعداد العشرية

عند ضرب الأعداد العشرية، يكفي ضرب الأعداد المعطاة، دون الاهتمام بالفواصل (مثل الأعداد الطبيعية)، وفي الإجابة الناتجة، تفصل فاصلة على اليمين عدد الأرقام الموجودة بعد العلامة العشرية في كلا العاملين في المجموع.

دعونا نضرب 2.7 في 1.3. لدينا 27 \cdot 13=351 . نقوم بفصل رقمين على اليمين بفاصلة (الرقمان الأول والثاني يحتويان على رقم واحد بعد العلامة العشرية؛ 1+1=2). ونتيجة لذلك، نحصل على 2.7 \cdot 1.3=3.51.

إذا كانت النتيجة الناتجة تحتوي على أرقام أقل مما يلزم فصلها بفاصلة، فسيتم كتابة الأصفار المفقودة في المقدمة، على سبيل المثال:

للضرب في 10، 100، 1000، تحتاج إلى تحريك العلامة العشرية 1، 2، 3 أرقام إلى اليمين (إذا لزم الأمر، يتم تعيين عدد معين من الأصفار إلى اليمين).

على سبيل المثال: 1.47\cdot 10\,000 = 14,700.

القسمة العشرية

يتم إجراء قسمة الكسر العشري على عدد طبيعي بنفس طريقة قسمة عدد طبيعي على عدد طبيعي. يتم وضع الفاصلة في الحاصل بعد اكتمال تقسيم الجزء بأكمله.

إذا كان الجزء الصحيح من المقسوم أقل من المقسوم عليه فإن الإجابة هي أعداد صحيحة صفر، على سبيل المثال:

دعونا نلقي نظرة على قسمة عدد عشري على عدد عشري. لنفترض أننا بحاجة إلى قسمة 2.576 على 1.12. أولًا، دعونا نضرب مقسوم الكسر ومقسومه على 100، أي نحرك العلامة العشرية إلى اليمين في المقسوم والمقسوم عليه بعدد الأرقام الموجودة في المقسوم عليه بعد العلامة العشرية (في هذا المثال، اثنين). ثم تحتاج إلى تقسيم الكسر 257.6 على العدد الطبيعي 112، أي أن المشكلة تقتصر على الحالة التي سبق النظر فيها:

يحدث أنه لا يتم دائمًا الحصول على الكسر العشري النهائي عند قسمة رقم على آخر. والنتيجة هي كسر عشري لانهائي. في مثل هذه الحالات، ننتقل إلى الكسور العادية.

2.8: 0.09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1)(9).

يوتيوب الموسوعي

• 1 / 5

  عادي(أو بسيط) الكسر - كتابة رقم نسبي في النموذج ± م ن (\displaystyle \pm (\frac (م)(n)))أو ± م / ن , (\displaystyle \pm m/n,)أين ن ≠ 0. (\displaystyle n\neq 0.)يشير الأفقي أو المائل إلى علامة القسمة، مما يؤدي إلى حاصل القسمة. يسمى توزيع الأرباح البسطالكسور، والمقسوم عليه هو المقام - صفة مشتركة - حالة.

  تدوين للكسور المشتركة

  هناك عدة أنواع لكتابة الكسور العادية بشكل مطبوع:

  الكسور الصحيحة وغير الصحيحة

  صحيحالكسر الذي بسطه أقل من مقامه يسمى كسرا. يسمى الكسر غير الصحيح خطأويمثل عددًا منطقيًا بمعامل أكبر من أو يساوي واحدًا.

  على سبيل المثال، الكسور 3 5 (\displaystyle (\frac (3)(5))), 7 8 (\displaystyle (\frac (7)(8)))وهي كسور مناسبة، في حين 8 3 (\displaystyle (\frac (8)(3))), 9 5 (\displaystyle (\frac (9)(5))), 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1)))و 1 1 (\displaystyle (\frac (1)(1)))- الكسور غير الصحيحة. يمكن تمثيل أي عدد صحيح غير الصفر على أنه كسر غير فعلي مقامه 1.

  كسور مختلطة

  يسمى الكسر المكتوب على صورة عدد صحيح وكسر حقيقي جزء مختلطويفهم على أنه مجموع هذا العدد والكسر. يمكن كتابة أي عدد نسبي في صورة كسر مختلط. على النقيض من الكسر المختلط، يسمى الكسر الذي يحتوي فقط على البسط والمقام بسيط.

  على سبيل المثال، 2 3 7 = 2 + 3 7 = 14 7 + 3 7 = 17 7 (\displaystyle 2(\frac (3)(7))=2+(\frac (3)(7))=(\frac (14) )(7))+(\frac (3)(7))=(\frac (17)(7))). في الأدبيات الرياضية الصارمة، يفضلون عدم استخدام مثل هذا الترميز بسبب تشابه تدوين الكسر المختلط مع تدوين حاصل ضرب عدد صحيح في كسر، وكذلك بسبب التدوين الأكثر تعقيدًا والحسابات الأقل ملاءمة .

  الكسور المركبة

  الكسر متعدد الطوابق أو المركب هو تعبير يحتوي على عدة خطوط أفقية (أو مائلة بشكل أقل شيوعًا):

  1 2 / 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(2))/(\frac (1)(3)))أو 1 / 2 1 / 3 (\displaystyle (\frac (1/2)(1/3)))أو 12 3 4 26 (\displaystyle (\frac (12(\frac (3)(4))))(26)))

  الكسور العشرية

  العلامة العشرية هي تمثيل موضعي لكسر. تبدو هكذا:

  ± أ 1 أ 2 … أ ن , ب 1 ب 2 … (\displaystyle \pm a_(1)a_(2)\dots a_(n)(,)b_(1)b_(2)\dots )

  مثال: 3.141 5926 (\displaystyle 3(,)1415926).

  جزء السجل الذي يأتي قبل العلامة العشرية الموضعية هو الجزء الصحيح من الرقم (الكسر)، والجزء الذي يأتي بعد العلامة العشرية هو الجزء الكسري. يمكن تحويل أي كسر عادي إلى عدد عشري، والذي في هذه الحالة إما يحتوي على عدد محدود من المنازل العشرية أو يكون كسرًا دوريًا.

  بشكل عام، لكتابة رقم موضعيًا، لا يمكنك استخدام نظام الأرقام العشرية فحسب، بل يمكنك أيضًا استخدام أنظمة أخرى (بما في ذلك أنظمة محددة، مثل فيبوناتشي).

  معنى الكسر والممتلكات الرئيسية للكسر

  الكسر هو مجرد تمثيل لرقم. يمكن أن يتوافق نفس الرقم مع كسور مختلفة، عادية وعشرية.

  0 , 999... = 1 (\displaystyle 0,999...=1)- كسران مختلفان يتطابقان مع نفس الرقم.

  العمليات مع الكسور

  يغطي هذا القسم العمليات على الكسور العادية. بالنسبة للعمليات التي تحتوي على الكسور العشرية، راجع الكسر العشري.

  التخفيض إلى قاسم مشترك

  لمقارنة الكسور وجمعها وطرحها، يجب تحويلها ( يحضر) إلى نموذج له نفس المقام. دعونا نعطي كسرين: أ ب (\displaystyle (\frac (a)(b)))و ج د (\displaystyle (\frac (c)(d))). إجراء:

  بعد ذلك، يتطابق مقاما الكسرين (يساوي م). بدلاً من المضاعف المشترك الأصغر، في الحالات البسيطة يمكننا أن نأخذ كـ مأي مضاعف مشترك آخر، مثل حاصل ضرب المقامات. على سبيل المثال، راجع قسم المقارنة أدناه.

  مقارنة

  لمقارنة كسرين مشتركين، تحتاج إلى إحضارهما إلى قاسم مشترك ومقارنة بسط الكسور الناتجة. الكسر ذو البسط الأكبر سيكون أكبر.

  مثال. فلنقارن 3 4 (\displaystyle (\frac (3)(4)))و 4 5 (\displaystyle (\frac (4)(5))). LCM(4, 5) = 20. نقوم بتبسيط الكسور إلى المقام 20.

  3 4 = 15 20 ; 4 5 = 16 20 (\displaystyle (\frac (3)(4))=(\frac (15)(20));\quad (\frac (4)(5))=(\frac (16)( 20))))

  لذلك، 3 4 < 4 5 {\displaystyle {\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}}

  جمع وطرح

  لإضافة كسرين عاديين، يجب تقليلهما إلى قاسم مشترك. ثم أضف البسطين واترك المقام دون تغيير:
  

  1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))) + = + = 5 6 (\displaystyle (\frac (5)(6)))

  المضاعف المشترك الأصغر للمقامين (هنا 2 و 3) يساوي 6. نعطي الكسر 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)))إلى المقام 6، ولهذا يجب ضرب البسط والمقام بـ 3.
  حدث 3 6 (\displaystyle (\frac (3)(6))). نعطي الكسر 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3)))لنفس المقام، ولهذا يجب ضرب البسط والمقام بـ 2. 2 6 (\displaystyle (\frac (2)(6))).
  للحصول على الفرق بين الكسور، يجب أيضًا إحضارها إلى قاسم مشترك، ثم طرح البسطين، وترك المقام دون تغيير:
  

  1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))) - = - 1 4 (\displaystyle (\frac (1)(4))) = 1 4 (\displaystyle (\frac (1)(4)))

  المضاعف المشترك الأصغر للمقامات (هنا 2 و 4) يساوي 4. نقدم الكسر 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)))إلى المقام 4، ولهذا تحتاج إلى ضرب البسط والمقام بـ 2. نحصل على 2 4 (\displaystyle (\frac (2)(4))).

  الضرب والقسمة

  لضرب كسرين عاديين، عليك ضرب بسطيهما ومقاميهما:

  أ ب ⋅ ج د = أ ج ب د . (\displaystyle (\frac (a)(b))\cdot (\frac (c)(d))=(\frac (ac)(bd)).)

  على وجه الخصوص، لضرب كسر في عدد طبيعي، تحتاج إلى ضرب البسط في الرقم، وترك المقام كما هو:

  2 3 ⋅ 3 = 6 3 = 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))\cdot 3=(\frac (6)(3))=2)

  بشكل عام، قد لا يكون بسط ومقام الكسر الناتج من النوع الأساسي، وقد يلزم تصغير الكسر، على سبيل المثال:

  5 8 ⋅ 2 5 = 10 40 = 1 4 . (\displaystyle (\frac (5)(8))\cdot (\frac (2)(5))=(\frac (10)(40))=(\frac (1)(4)).)

  لقسمة كسر عادي على آخر، عليك ضرب الأول في مقلوب الثاني:

  ا ب: ج د = أ ب ⋅ د ج = أ د ب ج , ج ≠ 0. (\displaystyle (\frac (a)(b)):(\frac (c)(d))=(\frac (a)(b))\ cdot (\frac (d)(c))=(\frac (ad)(bc)),\quad c\neq 0.)

  على سبيل المثال،

  1 2: 1 3 = 1 2 ⋅ 3 1 = 3 2. (\displaystyle (\frac (1)(2)):(\frac (1)(3))=(\frac (1)(2))\cdot (\frac (3)(1))=(\ فارك (3)(2)).)

  التحويل بين صيغ التسجيل المختلفة

  لتحويل كسر إلى عدد عشري، قم بقسمة البسط على المقام. يمكن أن تحتوي النتيجة على عدد محدود من المنازل العشرية، ولكن يمكن أن تحتوي أيضًا على عدد لا نهائي

  في الرياضيات، الكسر هو رقم يتكون من جزء أو أكثر (كسور) من الوحدة. وفقًا لشكل التسجيل، يتم تقسيم الكسور إلى عادية (مثال \frac(5)(8)) وعشرية (على سبيل المثال 123.45).

  تعريف. الكسر العادي (أو الكسر البسيط)

  الكسر العادي (البسيط).يُسمى رقمًا بالصيغة \pm\frac(m)(n) حيث m وn أعداد طبيعية. يسمى الرقم م البسطهذا الكسر، والرقم n هو الخاص به المقام - صفة مشتركة - حالة.

  يشير الخط الأفقي أو المائل إلى علامة القسمة، أي \frac(m)(n)=()^m/n=m:n

  تنقسم الكسور الشائعة إلى نوعين: صحيحة وغير مناسبة.

  تعريف. الكسور الصحيحة وغير الصحيحة

  صحيحالكسر الذي بسطه أقل من مقامه يسمى كسرا. على سبيل المثال، \frac(9)(11) ، لأن 9

  خطأيسمى الكسر الذي يكون فيه معامل البسط أكبر من أو يساوي معامل المقام. مثل هذا الكسر هو عدد نسبي معامله أكبر من أو يساوي واحدًا. على سبيل المثال، الكسور \frac(11)(2) ، \frac(2)(1) ، -\frac(7)(5) ، \frac(1)(1)

  إلى جانب الكسر غير الحقيقي، هناك تمثيل آخر للرقم، وهو ما يسمى الكسر المختلط (الرقم المختلط). هذا ليس جزء عادي.

  تعريف. الكسر المختلط (الرقم المختلط)

  جزء مختلطهو كسر مكتوب كعدد صحيح وكسر حقيقي ويفهم على أنه مجموع هذا العدد والكسر. على سبيل المثال، 2\frac(5)(7)

  (مكتوب كرقم مختلط) 2\frac(5)(7)=2+\frac(5)(7)=\frac(14)(7)+\frac(5)(7)=\frac(19) )(7) (مكتوب على شكل كسر غير فعلي)

  الكسر هو مجرد تمثيل لرقم. يمكن أن يتوافق نفس الرقم مع كسور مختلفة، عادية وعشرية. دعونا نشكل إشارة تشير إلى تساوي كسرين عاديين.

  تعريف. علامة المساواة بين الكسور

  الكسران \frac(a)(b) و\frac(c)(d) هما متساوي، إذا كان a\cdot d=b\cdot c . على سبيل المثال، \frac(2)(3)=\frac(8)(12) منذ 2\cdot12=3\cdot8

  من هذه السمة تتبع الخاصية الرئيسية للكسر.

  ملكية. الخاصية الرئيسية للكسر

  إذا تم ضرب أو قسمة بسط ومقام كسر معين على نفس الرقم، لا يساوي الصفر، فستحصل على كسر يساوي الكسر المحدد.

  \frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K);\quad C \ne 0,\quad K \ne 0

  باستخدام الخاصية الأساسية للكسر، يمكنك استبدال كسر معين بكسر آخر يساوي الكسر المحدد، ولكن ببسط ومقام أصغر. هذا الاستبدال يسمى تخفيض الكسر. على سبيل المثال، \frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (هنا تم قسمة البسط والمقام أولاً على 2، ثم على 2 آخرين). يمكن تبسيط الكسر إذا وفقط إذا لم يكن بسطه ومقامه أعدادًا أولية متبادلة. إذا كان البسط والمقام لكسر معين أوليين بشكل متبادل، فلا يمكن اختزال الكسر، على سبيل المثال، \frac(3)(4) هو كسر غير قابل للاختزال.

  قواعد الكسور الإيجابية:

  من كسرين مع نفس القواسمالكسر الذي بسطه أكبر هو أكبر. على سبيل المثال، \frac(3)(15)

  من كسرين مع نفس البسطينالأكبر هو الكسر الذي مقامه أصغر. على سبيل المثال، \frac(4)(11)>\frac(4)(13) .

  لمقارنة كسرين لهما بسطان ومقامان مختلفان، يجب عليك تحويل كلا الكسرين بحيث يكون مقامهما متساويًا. يسمى هذا التحول اختزال الكسور إلى قاسم مشترك.

  هذا الموضوع مهم جدًا؛ فكل الرياضيات والجبر الأخرى تعتمد على الخصائص الأساسية للكسور. خصائص الكسور التي تم تناولها، على الرغم من أهميتها، بسيطة للغاية.

  لفهم الخصائص الأساسية للكسوردعونا نفكر في دائرة.

  على الدائرة يمكنك أن ترى أن 4 أجزاء أو مظللة من الثمانية المحتملة. لنكتب الكسر الناتج \(\frac(4)(8)\)

  

  في الدائرة التالية يمكنك أن ترى أن أحد الجزأين المحتملين مظلل. لنكتب الكسر الناتج \(\frac(1)(2)\)

  إذا نظرنا عن كثب، فسنرى أنه في الحالة الأولى، في الحالة الثانية لدينا نصف الدائرة المظللة، وبالتالي فإن الكسور الناتجة تساوي \(\frac(4)(8) = \frac(1)( 2)\)، أي أنه نفس الرقم.

  كيف تثبت هذا رياضيا؟ الأمر بسيط جدًا، تذكر جدول الضرب واكتب الكسر الأول إلى عوامل.

  \(\frac(4)(8) = \frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4)) = \frac(1)(2) \cdot \color(red) (\frac(4)(4)) =\frac(1)(2) \cdot \color(red)(1) = \frac(1)(2)\)

  ماذا فعلنا؟ قمنا بتحليل البسط والمقام \(\frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4))\)، ثم قسمنا الكسور \(\frac(1) ) (2) \cdot \color(red) (\frac(4)(4))\). أربعة مقسومًا على أربعة يساوي 1، وواحد مضروبًا في أي رقم هو الرقم نفسه. ما فعلناه في المثال أعلاه يسمى تقليل الكسور.

  دعونا نلقي نظرة على مثال آخر ونقوم بتبسيط الكسر.

  \(\frac(6)(10) = \frac(3 \cdot \color(red) (2))(5 \cdot \color(red) (2)) = \frac(3)(5) \cdot \color(red) (\frac(2)(2)) =\frac(3)(5) \cdot \color(red)(1) = \frac(3)(5)\)

  لقد حللنا البسط والمقام مرة أخرى، وقمنا بتبسيط الأعداد نفسها إلى بسط ومقام. أي أن اثنين مقسومًا على اثنين يعطي واحدًا، وواحد مضروبًا في أي رقم يعطي العدد نفسه.

  الخاصية الرئيسية للكسر.

  وهذا يعني الخاصية الرئيسية للكسر:

  إذا تم ضرب كل من البسط والمقام لكسر في نفس الرقم (ما عدا الصفر)، فإن قيمة الكسر لن تتغير.

  \(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n)\)

  يمكنك أيضًا قسمة البسط والمقام على نفس الرقم في نفس الوقت.
  لنلقي نظرة على مثال:

  \(\frac(6)(8) = \frac(6 \div \color(أحمر) (2))(8 \div \color(red) (2)) = \frac(3)(4)\)

  إذا تم قسمة كل من البسط والمقام لكسر على نفس الرقم (ما عدا الصفر)، فإن قيمة الكسر لن تتغير.

  \(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \div n)(b \div n)\)

  تسمى الكسور التي لها عوامل أولية مشتركة في البسط والمقامات الكسور القابلة للاختزال.

  مثال على كسر قابل للاختزال: \(\frac(2)(4), \frac(6)(10), \frac(9)(15), \frac(10)(5), ...\)

  يوجد ايضا الكسور غير القابلة للاختزال.

  جزء غير قابل للاختزالهو الكسر الذي ليس له عوامل أولية مشتركة في بسطه ومقامه.

  مثال على كسر غير قابل للاختزال: \(\frac(1)(2), \frac(3)(5), \frac(5)(7), \frac(13)(5), ...\)

  يمكن التعبير عن أي رقم على شكل كسر، لأن أي رقم يقبل القسمة على واحد.على سبيل المثال:

  \(7 = \frac(7)(1)\)

  أسئلة للموضوع:
  هل تعتقد أنه يمكن تخفيض أي جزء أم لا؟
  الجواب: لا، هناك كسور قابلة للاختزال وكسور غير قابلة للاختزال.

  تحقق مما إذا كانت المساواة صحيحة: \(\frac(7)(11) = \frac(14)(22)\)؟
  الجواب: اكتب الكسر \(\frac(14)(22) = \frac(7 \cdot 2)(11 \cdot 2) = \frac(7)(11)\)نعم هذا عادل.

  مثال 1:
  أ) أوجد كسرًا مقامه 15 يساوي الكسر \(\فارك(2)(3)\).
  ب) أوجد الكسر الذي بسطه 8 يساوي الكسر \(\فارك(1)(5)\).

  حل:
  أ) نحتاج إلى الرقم 15 في المقام. الآن أصبح المقام يحمل الرقم 3. ما الرقم الذي يجب أن نضرب فيه الرقم 3 لنحصل على 15؟ لنتذكر جدول الضرب 3×5. نحتاج إلى استخدام الخاصية الأساسية للكسور وضرب كل من بسط الكسر ومقامه \(\فارك(2)(3)\)بحلول 5.

  \(\frac(2)(3) = \frac(2 \cdot 5)(3 \cdot 5) = \frac(10)(15)\)

  ب) نحتاج أن يكون الرقم 8 في البسط، والآن الرقم 1 موجود في البسط. ما هو الرقم الذي يجب أن نضربه في الرقم 1 لنحصل على 8؟ بالطبع 1⋅8. نحتاج إلى استخدام الخاصية الأساسية للكسور وضرب كل من بسط الكسر ومقامه \(\فارك(1)(5)\)بواسطة 8. نحصل على:

  \(\frac(1)(5) = \frac(1 \cdot 8)(5 \cdot 8) = \frac(8)(40)\)

  المثال رقم 2:
  أوجد كسرًا غير قابل للاختزال يساوي الكسر: أ) \(\فارك(16)(36)\)،ب) \(\فارك(10)(25)\).

  حل:
  أ) \(\frac(16)(36) = \frac(4 \cdot 4)(9 \cdot 4) = \frac(4)(9)\)

  ب) \(\frac(10)(25) = \frac(2 \cdot 5)(5 \cdot 5) = \frac(2)(5)\)

  المثال رقم 3:
  اكتب الرقم في صورة كسر: أ) 13 ب) 123

  حل:
  أ) \(13 = \frac(13) (1)\)

  ب) \(123 = \frac(123) (1)\)