كيفية إضافة الكسور ذات القواسم المختلفة. كيفية إحضارها إلى قاسم مشترك؟ قاعدة تقليل الكسور إلى المقام المحدد

كيفية تقليل الكسور الجبرية (العقلانية) إلى قاسم مشترك؟

1) إذا كانت مقامات الكسور تحتوي على كثيرات الحدود، فعليك تجربة إحدى الطرق المعروفة.

2) يتكون القاسم المشترك الأدنى (LCD) من الجميع المضاعفات المتخذة أعظم درجات.

نحن نبحث لفظيًا عن القاسم المشترك الأصغر للأرقام باعتباره أصغر رقم قابل للقسمة على الأرقام المتبقية.

3) للعثور على عامل إضافي لكل كسر، عليك قسمة المقام الجديد على القديم.

4) اضرب بسط ومقام الكسر الأصلي بعامل إضافي.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة اختزال الكسور الجبرية إلى قاسم مشترك.

للعثور على قاسم مشترك للأرقام، نختار الرقم الأكبر ونتحقق مما إذا كان قابلاً للقسمة على الرقم الأصغر. 15 لا يقبل القسمة على 9 نضرب 15 في 2 ونتحقق مما إذا كان الرقم الناتج يقبل القسمة على 9. 30 لا يقبل القسمة على 9. نضرب 15 في 3 ونتحقق مما إذا كان الرقم الناتج يقبل القسمة على 9. 45 يقبل القسمة على 9، مما يعني أن المقام المشترك للأرقام هو 45.

يتكون القاسم المشترك الأدنى من جميع العوامل المأخوذة بأقصى قوتها. وبالتالي فإن القاسم المشترك لهذه الكسور هو 45 ق.م (عادة ما تكتب الحروف بالترتيب الأبجدي).

للعثور على عامل إضافي لكل كسر، تحتاج إلى قسمة المقام الجديد على القديم. 45ق:(15ب)=3ج، 45ق:(9ج)=5ب. نضرب بسط ومقام كل كسر بعامل إضافي:

أولاً، نبحث عن قاسم مشترك للأرقام: 8 لا يقبل القسمة على 6، 8∙2=16 لا يقبل القسمة على 6، 8∙3=24 يقبل القسمة على 6. ويجب إدراج كل متغير في القاسم المشترك مرة واحدة. من الدرجات نأخذ الدرجة ذات الأس الكبير.

وبالتالي، فإن القاسم المشترك لهذه الكسور هو 24a³bc.

لإيجاد عامل إضافي لكل كسر، عليك قسمة المقام الجديد على المقام القديم: 24a³bc:(6a³c)=4b, 24a³bc:(8a²bc)=3a.

نضرب العامل الإضافي في البسط والمقام:

هناك حاجة إلى كثيرات الحدود في مقامات هذه الكسور. مقام الكسر الأول هو المربع الكامل للفرق: x²-18x+81=(x-9)²; في المقام الثاني - فرق المربعات: x²-81=(x-9)(x+9):

يتكون القاسم المشترك من جميع العوامل المأخوذة إلى أقصى درجة، أي تساوي (x-9)²(x+9). نجد العوامل الإضافية ونضربها في بسط ومقام كل كسر:

الكسور لها قواسم مختلفة أو متطابقة. نفس القاسم أو يسمى خلاف ذلك القاسم المشتركعند الكسر. مثال على القاسم المشترك:

\(\frac(17)(5)، \frac(1)(5)\)

مثال على المقامات المختلفة للكسور:

\(\frac(8)(3)، \frac(2)(13)\)

كيفية تقليل الكسر إلى قاسم مشترك؟

مقام الكسر الأول هو 3، ومقام الكسر الثاني هو 13. تحتاج إلى العثور على رقم يقبل القسمة على 3 و13. هذا الرقم هو 39.

يجب ضرب الكسر الأول ب مضاعف إضافي 13. للتأكد من عدم تغير الكسر، يجب علينا ضرب البسط في 13 والمقام.

\(\frac(8)(3) = \frac(8 \مرات \اللون(أحمر) (13))(3 \مرات \color(أحمر) (13)) = \frac(104)(39)\)

نضرب الكسر الثاني بعامل إضافي قدره 3.

\(\frac(2)(13) = \frac(2 \مرات \color(أحمر) (3))(13 \times \color(red) (3)) = \frac(6)(39)\)

لقد قمنا بتبسيط الكسر إلى قاسم مشترك:

\(\frac(8)(3) = \frac(104)(39)، \frac(2)(13) = \frac(6)(39)\)

القاسم المشترك الأدنى.

دعونا ننظر إلى مثال آخر:

دعونا نختصر الكسرين \(\frac(5)(8)\) و \(\frac(7)(12)\) إلى قاسم مشترك.

القاسم المشترك للرقمين 8 و 12 يمكن أن يكون الأرقام 24، 48، 96، 120، ...، ومن المعتاد الاختيار القاسم المشترك الأدنىوفي حالتنا هذا هو الرقم 24.

القاسم المشترك الأدنىهو أصغر عدد يمكن به قسمة مقام الكسرين الأول والثاني.

كيفية العثور على القاسم المشترك الأدنى؟
طريقة تعداد الأعداد التي يتم من خلالها قسمة مقام الكسرين الأول والثاني واختيار الأصغر.

نحتاج إلى ضرب الكسر الذي مقامه 8 في 3، وضرب الكسر الذي مقامه 12 في 2.

\(\begin(align)&\frac(5)(8) = \frac(5 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3)) = \frac(15) )(24)\\\\&\frac(7)(12) = \frac(7 \مرات \color(أحمر) (2))(12 \times \color(red) (2)) = \frac( 14)(24)\\\\\النهاية(محاذاة)\)

إذا لم تتمكن على الفور من تقليل الكسور إلى المقام المشترك الأدنى، فلا داعي للقلق؛ في المستقبل، عند حل المثال، قد تضطر إلى الحصول على الإجابة التي تلقيتها.

يمكن إيجاد المقام المشترك لأي كسرين، ويمكن أن يكون حاصل ضرب مقامات هذين الكسرين.

على سبيل المثال:
اختصر الكسرين \(\frac(1)(4)\) و \(\frac(9)(16)\) إلى المقام المشترك الأصغر لهما.

أسهل طريقة لإيجاد المقام المشترك هي ضرب المقامين 4⋅16=64. الرقم 64 ليس القاسم المشترك الأصغر. تتطلب المهمة منك العثور على القاسم المشترك الأدنى. لذلك، نحن نبحث أبعد من ذلك. نحتاج إلى رقم قابل للقسمة على 4 و16، هذا هو الرقم 16. لنجلب الكسر إلى مقام مشترك، ونضرب الكسر بالمقام 4 في 4، والكسر بالمقام 16 بواحد. نحن نحصل:

\(\begin(align)&\frac(1)(4) = \frac(1 \times \color(red) (4))(4 \times \color(red) (4)) = \frac(4) )(16)\\\\&\frac(9)(16) = \frac(9 \مرات \color(أحمر) (1))(16 \times \color(red) (1)) = \frac( 9)(16)\\\\ \النهاية(محاذاة)\)

سنتناول في هذا الدرس اختزال الكسور إلى مقام مشترك وحل المسائل المتعلقة بهذا الموضوع. دعونا نحدد مفهوم القاسم المشترك والعامل الإضافي، ونتذكر الأعداد الأولية نسبيًا. دعونا نحدد مفهوم القاسم المشترك الأدنى (LCD) ونحل عدداً من المسائل للعثور عليه.

الموضوع: جمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة

الدرس: اختزال الكسور إلى مقام مشترك

تكرار. الخاصية الرئيسية للكسر.

إذا تم ضرب بسط الكسر ومقامه أو قسمتهما على نفس العدد الطبيعي، فستحصل على كسر متساوي.

على سبيل المثال، يمكن تقسيم بسط ومقام الكسر على 2. نحصل على الكسر. هذه العملية تسمى تخفيض الكسر. يمكنك أيضًا إجراء التحويل العكسي عن طريق ضرب بسط الكسر ومقامه في 2. في هذه الحالة، نقول إننا قمنا بتبسيط الكسر إلى مقام جديد. الرقم 2 يسمى عامل إضافي.

خاتمة.يمكن اختزال الكسر إلى أي مقام يكون مضاعفًا لمقام الكسر المحدد. لإحضار كسر إلى مقام جديد، يتم ضرب البسط والمقام بعامل إضافي.

1. اختصر الكسر إلى المقام 35.

الرقم 35 هو من مضاعفات 7، أي أن 35 يقبل القسمة على 7 بدون باقي. وهذا يعني أن هذا التحول ممكن. دعونا نجد عاملاً إضافياً. للقيام بذلك، قسّم 35 على 7. نحصل على 5. اضرب بسط ومقام الكسر الأصلي في 5.

2. اختصر الكسر إلى المقام 18.

دعونا نجد عاملاً إضافياً. للقيام بذلك، قم بتقسيم المقام الجديد على المقام الأصلي. نحصل على 3. اضرب بسط هذا الكسر ومقامه في 3.

3. اختصر الكسر إلى مقام 60.

تقسيم 60 على 15 يعطي عاملاً إضافيًا. إنه يساوي 4. اضرب البسط والمقام بـ 4.

4. اختصر الكسر إلى المقام 24

في الحالات البسيطة، يتم إجراء الاختزال إلى مقام جديد عقليًا. من المعتاد فقط الإشارة إلى العامل الإضافي خلف قوس إلى اليمين قليلاً وفوق الكسر الأصلي.

يمكن تبسيط الكسر إلى مقام 15، كما يمكن تبسيط الكسر إلى مقام 15. وللكسور أيضًا مقام مشترك 15.

يمكن أن يكون القاسم المشترك للكسور هو أي مضاعف مشترك لمقاماتها. للتبسيط، يتم تقليل الكسور إلى أدنى مقام مشترك لها. وهو يساوي المضاعف المشترك الأصغر لمقامات الكسور المعطاة.

مثال. تقليل إلى أدنى قاسم مشترك للكسر و .

أولًا، دعونا نوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامات هذه الكسور. هذا الرقم هو 12. دعونا نجد عاملًا إضافيًا للكسرين الأول والثاني. للقيام بذلك، قم بتقسيم 12 على 4 و6. ثلاثة عامل إضافي للكسر الأول، واثنان للكسر الثاني. لنحضر الكسور إلى المقام 12.

لقد أوصلنا الكسور إلى مقام مشترك، أي أننا وجدنا كسورًا متساوية لها نفس المقام.

قاعدة.لتقليل الكسور إلى أدنى مقام مشترك لها، يجب عليك ذلك

أولاً، ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر لمقامات هذه الكسور، فسيكون المقام المشترك الأصغر لها؛

ثانياً: قسمة المقام المشترك الأصغر على مقامات هذه الكسور، أي إيجاد عامل إضافي لكل كسر.

ثالثًا، اضرب بسط ومقام كل كسر في العامل الإضافي الخاص به.

أ) تقليل الكسور إلى قاسم مشترك.

أدنى مقام مشترك هو 12. العامل الإضافي للكسر الأول هو 4، للثاني - 3. نقوم بتبسيط الكسور إلى المقام 24.

ب) اختزال الكسور وإلى قاسم مشترك.

المقام المشترك الأصغر هو 45. بقسمة 45 على 9 على 15 نحصل على 5 و3 على التوالي، ونختصر الكسور إلى المقام 45.

ج) اختزال الكسور وإلى قاسم مشترك.

القاسم المشترك هو 24. والعوامل الإضافية هي 2 و3 على التوالي.

في بعض الأحيان قد يكون من الصعب العثور لفظيًا على المضاعف المشترك الأصغر لمقامات كسور معينة. ثم يتم إيجاد القاسم المشترك والعوامل الإضافية باستخدام التحليل الأولي.

تقليل الكسور وإلى قاسم مشترك.

دعونا نحلل العددين 60 و168 إلى عوامل أولية. لنكتب مفكوك العدد 60 ونضيف العوامل المفقودة 2 و7 من مفكوك العدد الثاني. لنضرب 60 في 14 ونحصل على مقام مشترك 840. العامل الإضافي للكسر الأول هو 14. العامل الإضافي للكسر الثاني هو 5. لنصل الكسور إلى مقام مشترك 840.

فهرس

1. فيلينكين إن.يا.، جوخوف في.إي.، تشيسنوكوف أ.س. وغيرها الرياضيات 6. - م: منيموسين، 2012.

2. Merzlyak A.G.، Polonsky V.V.، Yakir M.S. الرياضيات الصف السادس. - صالة للألعاب الرياضية، 2006.

3. ديبمان آي.يا.، فيلينكين إن.يا. خلف صفحات كتاب الرياضيات. - التنوير، 1989.

4. روروكين أ.ن.، تشايكوفسكي آي.في. واجبات مقرر الرياضيات للصفوف 5-6. - زش ميفي، 2011.

5. روروكين إيه إن، سوتشيلوف إس في، تشايكوفسكي كي جي. الرياضيات 5-6. دليل لطلاب الصف السادس في مدرسة المراسلة MEPhI. - زش ميفي، 2011.

6. شيفرين إل إن، جين إيه جي، كورياكوف آي أو. وغيرها الرياضيات: كتاب مدرسي للصفوف 5-6 في المدرسة الثانوية. مكتبة معلم الرياضيات . - التنوير، 1989.

يمكنك تنزيل الكتب المحددة في البند 1.2. من هذا الدرس.

العمل في المنزل

فيلينكين إن.يا.، جوخوف في.إي.، تشيسنوكوف أ.س. وغيرها الرياضيات 6. - م: منيموسين، 2012. (رابط انظر 1.2)

الواجب: رقم 297، رقم 298، رقم 300.

مهام أخرى: رقم 270، رقم 290

في هذه المادة، سننظر في كيفية تحويل الكسور بشكل صحيح إلى مقام جديد، وما هو العامل الإضافي وكيفية العثور عليه. بعد ذلك، سنقوم بصياغة القاعدة الأساسية لاختزال الكسور إلى مقامات جديدة وتوضيحها بأمثلة للمسائل.

مفهوم اختزال الكسر إلى مقام آخر

دعونا نتذكر الخاصية الأساسية للكسر. ووفقا له، فإن الكسر العادي أ ب (حيث a و b عبارة عن أي أرقام) لديه عدد لا حصر له من الكسور التي تساويه. يمكن الحصول على مثل هذه الكسور عن طريق ضرب البسط والمقام بنفس الرقم m (الرقم الطبيعي). بمعنى آخر، يمكن استبدال جميع الكسور العادية بكسور أخرى على الصورة a · m b · m. هذا هو تخفيض القيمة الأصلية إلى كسر بالمقام المطلوب.

يمكنك اختزال الكسر إلى مقام آخر عن طريق ضرب بسطه ومقامه في أي عدد طبيعي. الشرط الرئيسي هو أن المضاعف يجب أن يكون هو نفسه لكلا جزأين الكسر. ستكون النتيجة كسرًا مساوٍ للكسر الأصلي.

دعونا نوضح هذا بمثال.

مثال 1

حول الكسر 11 25 إلى المقام الجديد.

حل

لنأخذ عددًا طبيعيًا اعتباطيًا 4 ونضرب طرفي الكسر الأصلي به. نحسب: 11 · 4 = 44 و 25 · 4 = 100. والنتيجة هي جزء من 44100.

يمكن كتابة جميع الحسابات بهذا الشكل: 11 25 = 11 4 25 4 = 44 100

اتضح أنه يمكن اختزال أي جزء إلى عدد كبير من القواسم المختلفة. بدلًا من أربعة، يمكننا أن نأخذ عددًا طبيعيًا آخر ونحصل على كسر آخر مكافئ للكسر الأصلي.

ولكن لا يمكن لأي رقم أن يصبح مقامًا لكسر جديد. لذلك، بالنسبة لـ a b، يمكن أن يحتوي المقام فقط على أرقام b m التي هي من مضاعفات b. مراجعة المفاهيم الأساسية للقسمة - المضاعفات والمقسومات. إذا لم يكن الرقم من مضاعفات b، لكنه لا يمكن أن يكون مقسومًا على الكسر الجديد. دعونا نوضح فكرتنا بمثال لحل المشكلة.

مثال 2

احسب ما إذا كان من الممكن اختزال الكسر 5 9 إلى المقامين 54 و21.

حل

54 هو أحد مضاعفات تسعة، وهو موجود في مقام الكسر الجديد (أي يمكن قسمة 54 على 9). وهذا يعني أن مثل هذا التخفيض ممكن. لكن لا يمكننا قسمة 21 على 9، لذا لا يمكن تنفيذ هذا الإجراء على هذا الكسر.

مفهوم المضاعف الإضافي

دعونا صياغة ما هو العامل الإضافي.

التعريف 1

مضاعف إضافيهو عدد طبيعي يتم به ضرب طرفي الكسر للوصول إلى مقام جديد.

أولئك. عندما نفعل ذلك مع الكسر، فإننا نأخذ عاملًا إضافيًا له. على سبيل المثال، لتبسيط الكسر 7 10 إلى الصورة 21 30، نحتاج إلى عامل إضافي قدره 3. ويمكنك الحصول على الكسر 15 40 من 3 8 باستخدام المضاعف 5.

وبناء على ذلك، إذا كنا نعرف المقام الذي يجب اختزال الكسر إليه، فيمكننا حساب عامل إضافي له. دعونا معرفة كيفية القيام بذلك.

لدينا كسر a b يمكن اختزاله إلى مقام معين c؛ دعونا نحسب العامل الإضافي m. نحن بحاجة إلى ضرب مقام الكسر الأصلي في م. نحصل على ب · م، وحسب شروط المسألة ب · م = ج. دعونا نتذكر كيف يرتبط الضرب والقسمة ببعضهما البعض. هذا الارتباط سيقودنا إلى الاستنتاج التالي: العامل الإضافي ليس أكثر من حاصل قسمة c على b، بمعنى آخر، m = c: b.

ومن ثم، لإيجاد العامل الإضافي، علينا قسمة المقام المطلوب على المقام الأصلي.

مثال 3

أوجد العامل الإضافي الذي تم به اختزال الكسر 17 4 إلى المقام 124.

حل

باستخدام القاعدة المذكورة أعلاه، نقسم ببساطة ١٢٤ على مقام الكسر الأصلي، وهو أربعة.

نعد: 124: 4 = 31.

غالبًا ما يكون هذا النوع من الحسابات مطلوبًا عند تحويل الكسور إلى مقام مشترك.

قاعدة تقليل الكسور إلى المقام المحدد

دعنا ننتقل إلى تحديد القاعدة الأساسية التي يمكنك من خلالها تقليل الكسور إلى المقام المحدد. لذا،

التعريف 2

لتقليل الكسر إلى المقام المحدد، تحتاج إلى:

1. تحديد عامل إضافي؛
2. اضرب بسط ومقام الكسر الأصلي به.

كيفية تطبيق هذه القاعدة في الممارسة العملية؟ دعونا نعطي مثالا على حل المشكلة.

مثال 4

اختصر الكسر 7 16 إلى المقام 336.

حل

لنبدأ بحساب المضاعف الإضافي. قسمة: 336: 16 = 21.

نضرب الإجابة الناتجة في كلا جزأي الكسر الأصلي: 7 16 = 7 · 21 16 · 21 = 147 336. وبذلك وصلنا الكسر الأصلي إلى المقام المطلوب وهو 336.

الجواب: 7 16 = 147 336.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

لفهم كيفية جمع الكسور ذات المقامات المختلفة، دعونا نتعلم القاعدة أولاً ثم ننظر إلى أمثلة محددة.

لإضافة أو طرح كسور ذات مقامات مختلفة:

1) أوجد (NOZ) الكسور المعطاة.

2) ابحث عن عامل إضافي لكل كسر. للقيام بذلك، يجب تقسيم المقام الجديد على القديم.

3) اضرب بسط ومقام كل كسر في عامل إضافي وأضف أو اطرح الكسور التي لها نفس المقامات.

4) التحقق مما إذا كان الكسر الناتج صحيحا وغير قابل للاختزال.

في الأمثلة التالية، تحتاج إلى جمع أو طرح الكسور ذات المقامات المختلفة:

1) لطرح الكسور ذات المقامات المختلفة، ابحث أولاً عن المقام المشترك الأصغر للكسور المعطاة. نختار أكبر رقم ونتحقق مما إذا كان قابلاً للقسمة على الرقم الأصغر. 25 لا يقبل القسمة على 20. نضرب 25 في 2. 50 لا يقبل القسمة على 20. نضرب 25 في 3. 75 لا يقبل القسمة على 20. اضرب 25 في 4. 100 مقسومة على 20. إذن، القاسم المشترك الأصغر هو 100.

2) للعثور على عامل إضافي لكل كسر، عليك قسمة المقام الجديد على القديم. 100:25=4، 100:20=5. وبناء على ذلك، فإن الكسر الأول له عامل إضافي قدره 4، والثاني له عامل إضافي هو 5.

3) اضرب بسط ومقام كل كسر في عامل إضافي واطرح الكسور وفقًا لقاعدة طرح الكسور التي لها نفس المقامات.

4) الكسر الناتج صحيح وغير قابل للاختزال. إذن هذا هو الجواب.

1) لجمع الكسور ذات المقامات المختلفة، ابحث أولاً عن المقام المشترك الأصغر. 16 لا يقبل القسمة على 12. 16∙2=32 لا يقبل القسمة على 12. 16∙3=48 يقبل القسمة على 12. لذا، 48 هو NOZ.

2) 48:16=3، 48:12=4. هذه عوامل إضافية لكل جزء.

3) اضرب بسط ومقام كل كسر بعامل إضافي وأضف كسورًا جديدة.

4) الكسر الناتج صحيح وغير قابل للاختزال.

1) 30 لا يقبل القسمة على 20. 30∙2=60 يقبل القسمة على 20. إذن 60 هو المقام المشترك الأصغر لهذه الكسور.

2) لإيجاد عامل إضافي لكل كسر، عليك قسمة المقام الجديد على القديم: 60:20=3، 60:30=2.

3) اضرب بسط ومقام كل كسر في عامل إضافي واطرح كسورًا جديدة.

4) الكسور الناتجة 5.

1) 8 لا يقبل القسمة على 6. 8∙2=16 لا يقبل القسمة على 6. 8∙3=24 قابلة للقسمة على 4 و6. وهذا يعني أن 24 هو NOZ.

2) للعثور على عامل إضافي لكل كسر، تحتاج إلى قسمة المقام الجديد على القديم. 24:8=3، 24:4=6، 24:6=4. وهذا يعني أن الأعداد 3 و6 و4 هي عوامل إضافية للكسر الأول والثاني والثالث.

3) اضرب بسط ومقام كل كسر بعامل إضافي. جمع وطرح. الكسر الناتج غير صحيح، لذلك من الضروري تحديد الجزء بأكمله.