في أي نقطة يكون المشتق يساوي الصفر؟ آلة حاسبة على الانترنت

مشتقة الدالة هي واحدة من مواضيع صعبةالخامس المنهج المدرسي. لن يجيب كل خريج على سؤال ما هو المشتق.

تشرح هذه المقالة بطريقة بسيطة وواضحة ما هو المشتق ولماذا هو مطلوب.. لن نسعى الآن إلى الدقة الرياضية في العرض التقديمي. الشيء الأكثر أهمية هو فهم المعنى.

لنتذكر التعريف:

المشتق هو معدل تغير الدالة.

يوضح الشكل الرسوم البيانية لثلاث وظائف. أي واحد تعتقد أنه ينمو بشكل أسرع؟

الجواب واضح - الثالث. لديها أعلى معدل للتغيير، أي أكبر مشتق.

وهنا مثال آخر.

حصلت كوستيا وجريشا وماتفي على وظائف في نفس الوقت. دعونا نرى كيف تغير دخلهم خلال العام:

الرسم البياني يظهر كل شيء دفعة واحدة، أليس كذلك؟ تضاعف دخل كوستيا في ستة أشهر. كما زاد دخل جريشا أيضًا، ولكن قليلاً. وانخفض دخل ماتفي إلى الصفر. شروط البداية هي نفسها، ولكن معدل تغيير الوظيفة، أي المشتق، - مختلف. أما بالنسبة لماتفي، فإن مشتق دخله سلبي بشكل عام.

وبشكل بديهي، يمكننا بسهولة تقدير معدل تغير الدالة. ولكن كيف نفعل ذلك؟

ما ننظر إليه حقًا هو مدى انحدار الرسم البياني للدالة لأعلى (أو لأسفل). بمعنى آخر، ما مدى سرعة تغير y مع تغير x؟ ومن الواضح أن نفس الوظيفة في نقاط مختلفةقد يملك معنى مختلفمشتق - أي أنه يمكن أن يتغير بشكل أسرع أو أبطأ.

يتم الإشارة إلى مشتق الدالة .

سنوضح لك كيفية العثور عليه باستخدام الرسم البياني.

تم رسم رسم بياني لبعض الوظائف. دعونا نأخذ نقطة مع الإحداثي الإحداثي على ذلك. دعونا نرسم مماسًا للرسم البياني للدالة عند هذه النقطة. نريد تقدير مدى انحدار الرسم البياني للدالة. قيمة مناسبة لهذا ظل الزاوية المماسه.

مشتق الدالة عند نقطة ما يساوي ظل زاوية الظل المرسومة على الرسم البياني للدالة عند هذه النقطة.

يرجى ملاحظة أنه كزاوية ميل المماس نأخذ الزاوية بين المماس والاتجاه الموجب للمحور.

في بعض الأحيان يسأل الطلاب ما هو ظل الرسم البياني للدالة. وهذا خط مستقيم له واحد فقط نقطة مشتركةمع الرسم البياني، وكما هو مبين في الشكل لدينا. يبدو وكأنه مماس لدائرة.

دعونا نجد ذلك. ونتذكر أن ظل الزاوية الحادة في مثلث قائم يساوي النسبة الجانب المعاكسإلى المجاورة. من المثلث:

لقد وجدنا المشتقة باستخدام الرسم البياني دون معرفة صيغة الدالة. غالبًا ما توجد مثل هذه المشكلات في امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات تحت الرقم.

هناك علاقة أخرى مهمة. تذكر أن الخط المستقيم يُعطى بالمعادلة

تسمى الكمية في هذه المعادلة منحدر الخط المستقيم. وهو يساوي ظل زاوية ميل الخط المستقيم إلى المحور.

.

لقد حصلنا على ذلك

دعونا نتذكر هذه الصيغة. يعبر عن المعنى الهندسي للمشتق.

مشتقة الدالة عند نقطة ما يساوي ميل المماس المرسوم على الرسم البياني للدالة عند تلك النقطة.

بمعنى آخر، المشتقة تساوي ظل الزاوية المماسية.

لقد قلنا من قبل أن الدالة نفسها يمكن أن يكون لها مشتقات مختلفة عند نقاط مختلفة. دعونا نرى كيف يرتبط المشتق بسلوك الوظيفة.

لنرسم رسمًا بيانيًا لبعض الوظائف. لتزداد هذه الوظيفة في بعض المجالات، وتنقص في مناطق أخرى، ومع بسرعات مختلفة. ودع هذه الوظيفة تحتوي على الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط.

عند نقطة ما تزداد الوظيفة. المماس للرسم البياني المرسوم عند أشكال النقطة زاوية حادة; مع اتجاه المحور الإيجابي. وهذا يعني أن المشتقة عند هذه النقطة موجبة.

عند هذه النقطة تنخفض وظيفتنا. يشكل المماس عند هذه النقطة زاوية منفرجة؛ مع اتجاه المحور الإيجابي. منذ الظل زاوية منفرجةسالبة، عند النقطة التي يكون فيها المشتق سالبًا.

إليك ما يحدث:

إذا كانت الدالة متزايدة، فإن مشتقتها تكون موجبة.

فإذا نقصت تكون مشتقتها سالبة.

ماذا سيحدث عند الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط؟ نلاحظ أنه عند نقطتي (النقطة القصوى) و(النقطة الدنيا) يكون المماس أفقيًا. وبالتالي فإن ظل الزاوية المماس عند هذه النقاط يساوي الصفر، والمشتقة أيضًا صفر.

النقطة - النقطة القصوى. عند هذه النقطة، يتم استبدال الزيادة في الدالة بالنقصان. وبالتالي تتغير إشارة المشتقة عند النقطة من "موجب" إلى "سالب".

عند النقطة - النقطة الدنيا - يكون المشتق أيضًا صفرًا، لكن علامته تتغير من "ناقص" إلى "زائد".

الخلاصة: باستخدام المشتقة يمكننا معرفة كل ما يهمنا حول سلوك الوظيفة.

إذا كانت المشتقة موجبة، تزيد الدالة.

إذا كانت المشتقة سالبة، فإن الدالة تنخفض.

عند النقطة القصوى، يكون المشتق صفرًا وتتغير الإشارة من "زائد" إلى "سالب".

عند النقطة الدنيا، يكون المشتق أيضًا صفرًا وتتغير الإشارة من "ناقص" إلى "زائد".

لنكتب هذه الاستنتاجات في شكل جدول:

	يزيد	النقطة القصوى	يتناقص	نقطة الحد الأدنى	يزيد
+	0	-	0	+

دعونا نقدم توضيحين صغيرين. سوف تحتاج واحد منهم عند حل المشكلة. آخر - في السنة الأولى، مع دراسة أكثر جدية للوظائف والمشتقات.

من الممكن أن تكون مشتقة الدالة عند نقطة ما تساوي صفرًا، لكن الدالة ليس لها قيمة عظمى أو قيمة صغرى عند هذه النقطة. هذا هو ما يسمى :

عند نقطة ما، يكون مماس الرسم البياني أفقيًا وتكون المشتقة صفرًا. ومع ذلك، قبل النقطة زادت الدالة - وبعد النقطة استمرت في الزيادة. إشارة المشتقة لا تتغير، بل تبقى موجبة كما كانت.

ويحدث أيضًا أنه عند نقطة الحد الأقصى أو الأدنى لا يكون المشتق موجودًا. على الرسم البياني، يتوافق هذا مع كسر حاد، عندما يكون من المستحيل رسم مماس عند نقطة معينة.

كيف يمكن العثور على المشتق إذا كانت الدالة لا تُعطى من خلال رسم بياني، بل من خلال صيغة؟ في هذه الحالة ينطبق

مهمة.

يتم تعريف الدالة y=f(x) على الفاصل الزمني (-5; 6). يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للدالة y=f(x). أوجد بين النقاط x 1، x 2، ...، x 7 تلك النقاط التي يساوي عندها مشتق الدالة f(x) صفرًا. ردا على ذلك، اكتب عدد النقاط التي تم العثور عليها.

حل:

المبدأ في حل هذه المشكلة هو: هناك ثلاثة السلوك المحتملوظائف في هذه الفترة:

1) عندما تزيد الدالة (المشتق هناك أكبر من الصفر)

2) عندما تكون الدالة متناقصة (حيث يكون المشتق أقل من الصفر)

3) عندما لا تزيد الدالة أو تنقص (حيث يكون المشتق إما صفراً أو غير موجود)

نحن مهتمون بالخيار الثالث.

المشتق يساوي الصفر حيث تكون الدالة سلسة ولا توجد عند نقاط التوقف. دعونا ننظر إلى كل هذه النقاط.

x 1 - تزيد الدالة، مما يعني أن المشتق f'(x) >0

x 2 - تأخذ الدالة الحد الأدنى وتكون سلسة، مما يعني أن المشتقة f ′(x) = 0

x 3 - تأخذ الدالة الحد الأقصى، ولكن عند هذه النقطة يوجد فاصل، مما يعنيمشتق و ′(x) غير موجود

× 4 - تأخذ الوظيفة الحد الأقصى، ولكن في هذه المرحلة هناك استراحة، مما يعنيمشتق و ′(x) غير موجود

× 5 - المشتقة f ′(x) = 0

× 6 - تزيد الدالة، وهو ما يعني المشتقة f′(خ) >0

× 7 - الوظيفة تأخذ الحد الأدنى وتكون سلسة، وهو ما يعنيمشتق f ′(x) = 0

نرى أن ف ′(x) = 0 عند النقاط x 2، x 5 وx 7، بإجمالي 3 نقاط.

دراسة الدالة باستخدام مشتقتها. في هذه المقالة سنقوم بتحليل بعض المهام المتعلقة بدراسة الرسم البياني للدالة. في مثل هذه المسائل، يتم إعطاء رسم بياني للدالة y = f (x) وتطرح أسئلة تتعلق بتحديد عدد النقاط التي يكون فيها مشتق الدالة موجبًا (أو سالبًا)، بالإضافة إلى نقاط أخرى. يتم تصنيفها كمهام على تطبيق المشتقات لدراسة الوظائف.

لا يمكن حل مثل هذه المشكلات، وبشكل عام المشكلات المتعلقة بالبحث، إلا من خلال الفهم الكامل لخصائص المشتق لدراسة الرسوم البيانية للوظائف والمشتقات. لذلك، أوصي بشدة بدراسة النظرية ذات الصلة. يمكنك الدراسة والمشاهدة أيضاً (لكنه يحتوي على ملخص مختصر).

سننظر أيضًا في المشكلات التي يتم فيها تقديم الرسم البياني المشتق في المقالات المستقبلية، لا تفوتها! إذن المهام:

يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للدالة y = f (x)، المحددة على الفاصل الزمني (−6؛ 8). يُعرِّف:

1. عدد النقاط الصحيحة التي تكون فيها مشتقة الدالة سالبة؛

2. عدد النقاط التي يكون فيها مماس الرسم البياني للدالة موازيًا للخط المستقيم y = 2؛

1. يكون مشتق الدالة سالبًا على الفترات التي تتناقص فيها الدالة، أي على الفترات (−6؛ -3)، (0؛ 4.2)، (6.9؛ 8). أنها تحتوي على نقاط الأعداد الصحيحة −5، −4، 1، 2، 3، 4، و7. نحصل على 7 نقاط.

2. مباشر ذ= 2 موازي للمحورأوهذ= 2 فقط عند النقاط القصوى (عند النقاط التي يغير فيها الرسم البياني سلوكه من الزيادة إلى التناقص أو العكس). هناك أربع نقاط من هذا القبيل: -3؛ 0; 4.2؛ 6.9

تقرر لنفسك:

حدد عدد النقاط الصحيحة التي يكون عندها مشتق الدالة موجبًا.

يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للدالة y = f (x)، المحددة على الفاصل الزمني (−5؛ 5). يُعرِّف:

2. عدد النقاط الصحيحة التي يكون عندها مماس الرسم البياني للدالة موازيًا للخط المستقيم y = 3؛

3. عدد النقاط التي يكون عندها المشتق صفراً؛

1. من خواص مشتقة الدالة يعرف أنها موجبة على الفترات التي تزيد فيها الدالة، أي على الفترات (1.4؛ 2.5) و (4.4؛ 5). أنها تحتوي على واحد فقط بيت القصيدس = 2.

2. مباشر ذ= 3 موازي للمحورأوه. سيكون الظل موازيا للخطذ= 3 فقط عند النقاط القصوى (عند النقاط التي يغير فيها الرسم البياني سلوكه من الزيادة إلى التناقص أو العكس).

هناك أربع نقاط من هذا القبيل: -4.3؛ 1.4؛ 2.5؛ 4.4

3. المشتق هو صفر عند أربع نقاط(في أقصى الحدود) فقد سبق أن أشرنا إليها.

تقرر لنفسك:

حدد عدد النقاط الصحيحة التي يكون عندها مشتق الدالة f(x) سالبًا.

يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للدالة y = f (x)، المحددة على الفاصل الزمني (−2؛ 12). يجد:

1. عدد النقاط الصحيحة التي يكون فيها مشتق الدالة موجبًا؛

2. عدد النقاط الصحيحة التي تكون فيها مشتقة الدالة سالبة؛

3. عدد النقاط الصحيحة التي يكون عندها مماس الرسم البياني للدالة موازيًا للخط المستقيم y = 2؛

4. عدد النقاط التي يكون عندها المشتق صفراً.

1. من خصائص مشتقة الدالة يعرف أنها موجبة على الفترات التي تزداد فيها الدالة، أي على الفترات (-2؛ 1)، (2؛ 4)، (7؛ 9) و ( 10 ؛ 11). وهي تحتوي على نقاط أعداد صحيحة: -1، 0، 3، 8. هناك أربع نقاط منها في المجمل.

2. تكون مشتقة الدالة سالبة على الفترات التي تتناقص فيها الدالة، أي على الفترات (1؛ 2)، (4؛ 7)، (9؛ 10)، (11؛ 12). أنها تحتوي على نقاط عدد صحيح 5 و 6. نحصل على نقطتين.

3. مباشر ذ= 2 موازي للمحورأوه. سيكون الظل موازيا للخطذ= 2 فقط عند النقاط القصوى (عند النقاط التي يغير فيها الرسم البياني سلوكه من الزيادة إلى التناقص أو العكس). هناك سبع نقاط من هذا القبيل: 1؛ 2؛ 4؛ 7؛ 9؛ 10؛ أحد عشر.

4. المشتقة تساوي صفراً عند سبع نقاط (عند أقصى النقاط) وقد سبق أن أشرنا إليها.

عندما تقرر المهام المختلفةأصبحت الهندسة والميكانيكا والفيزياء وغيرها من فروع المعرفة ضرورية باستخدام نفس العملية التحليلية من هذه الوظيفة ص = و (س)يستلم ميزة جديدةمن اتصل وظيفة مشتقة(أو ببساطة مشتق) لدالة معينة f(x)ويتم تحديده بالرمز

العملية التي من خلالها من وظيفة معينة و (خ)الحصول على ميزة جديدة و" (خ)، مُسَمًّى التفاضلويتكون من الخطوات الثلاث التالية: 1) تقديم الحجة سزيادة راتب  سوتحديد الزيادة المقابلة للوظيفة  ص = و(س+ س) -و(خ); 2) تكوين علاقة

3) العد سثابت و  س0 نجد
، والتي نشير بها و" (خ)، كما لو كان التأكيد على أن الوظيفة الناتجة تعتمد فقط على القيمة س، حيث نذهب إلى الحد الأقصى. تعريف: مشتق ص " =f " (خ) دالة معينة y=f(x) لx معينيسمى حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة، بشرط أن تميل زيادة الوسيطة إلى الصفر، إذا كان هذا الحد موجودًا بالطبع، أي. محدود. هكذا،
، أو

لاحظ أنه إذا كان لبعض القيمة س، على سبيل المثال متى س=أ، سلوك
في  س0 لا يميل إلى حد محدود، ففي هذه الحالة يقولون أن الوظيفة و (خ)في س=أ(أو عند النقطة س=أ) ليس له مشتق أو غير قابل للاشتقاق عند هذه النقطة س=أ.

2. المعنى الهندسي للمشتق.

خذ بعين الاعتبار الرسم البياني للدالة y = f (x)، القابلة للتمييز بالقرب من النقطة x 0

و (خ)

لنفكر في خط مستقيم عشوائي يمر عبر نقطة على الرسم البياني للدالة - النقطة A(x 0, f (x 0)) ويتقاطع مع الرسم البياني عند نقطة ما B(x;f(x)). ويسمى هذا الخط (AB) بالقاطع. من ∆ABC: ​​​​AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

منذ التيار المتردد || Ox، ثم ALO = BAC = β (كما يقابل التوازي). لكن ALO هي زاوية ميل القاطع AB إلى الاتجاه الموجب لمحور الثور. وهذا يعني tanβ = ك - ميلمستقيم AB.

الآن سوف نقوم بتقليل ∆x، أي. ∆×→ 0. في هذه الحالة، ستقترب النقطة B من النقطة A وفقًا للرسم البياني، وسيدور القاطع AB. سيكون الموضع المحدد للقاطع AB عند ∆x→ 0 عبارة عن خط مستقيم (a)، يسمى ظل الرسم البياني للدالة y = f (x) عند النقطة A.

إذا ذهبنا إلى النهاية كـ ∆x → 0 في المساواة tgβ = ∆y/∆x، نحصل على
ortg =f "(x 0)، منذ ذلك الحين
-زاوية ميل المماس للاتجاه الموجب لمحور الثور
، حسب تعريف المشتق. لكن tg = k هو المعامل الزاوي للظل، وهو ما يعني k = tg = f "(x 0).

لذا فإن المعنى الهندسي للمشتق هو كما يلي:

مشتقة الدالة عند النقطة x 0 يساوي ميل المماس للرسم البياني للدالة المرسومة عند النقطة مع الإحداثي السيني x 0 .

3. المعنى المادي للمشتق.

النظر في حركة نقطة على طول خط مستقيم. دع إحداثيات نقطة ما في أي وقت x(t) تعطى. ومن المعروف (من مقرر الفيزياء) أن متوسط ​​السرعة خلال فترة زمنية تساوي نسبة المسافة المقطوعة خلال هذه الفترة الزمنية إلى الزمن، أي.

فاف = ∆x/∆t. دعنا نذهب إلى النهاية في المساواة الأخيرة مثل ∆t → 0.

ليم فاف (ر) = (ر 0) - سرعة لحظيةفي الوقت t 0، ∆t → 0.

و lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (حسب تعريف المشتق).

إذن، (t) =x"(t).

المعنى المادي للمشتق هو كما يلي: مشتق الوظيفةذ = F(س) عند نقطةس 0 هو معدل تغير الوظيفةF(خ) عند النقطةس 0

يتم استخدام المشتق في الفيزياء للعثور على السرعة من دالة معروفة للإحداثيات مقابل الوقت، والتسارع من دالة معروفة للسرعة مقابل الزمن.

(t) = x"(t) - السرعة،

أ(و) = "(ر) - التسارع، أو

إذا كان قانون حركة نقطة مادية في دائرة معروفًا، فيمكن إيجاد السرعة الزاوية و التسارع الزاويأثناء الحركة الدورانية:

φ = φ(t) - التغير في الزاوية مع مرور الوقت،

ω = φ"(ر) - السرعة الزاوية,

ε = φ"(t) - التسارع الزاوي، أو ε = φ"(t).

إذا كان قانون توزيع الكتلة للقضيب غير المتجانس معروفًا، فيمكن إيجاد الكثافة الخطية للقضيب غير المتجانس:

م = م(س) - الكتلة،

x  , l - طول القضيب،

ع = م"(س) - الكثافة الخطية.

باستخدام المشتقة، يتم حل المسائل من نظرية المرونة والاهتزازات التوافقية. لذلك، وفقا لقانون هوك

F = -kx، x - الإحداثيات المتغيرة، k - معامل مرونة الزنبرك. وبوضع ω 2 =k/m، نحصل على المعادلة التفاضلية للبندول الزنبركي x"(t) + ω 2 x(t) = 0،

حيث ω = √k/√m تردد التذبذب (l/c)، k - صلابة الزنبرك (H/m).

معادلة من الشكل y" + ω 2 y = 0 تسمى معادلة التذبذبات التوافقية (الميكانيكية، الكهربائية، الكهرومغناطيسية). حل هذه المعادلات هو الدالة

y = Asin(ωt + φ 0) أو y = Acos(ωt + φ 0)، حيث

أ - سعة التذبذبات، ω - التردد الدوري،

φ 0 - المرحلة الأولية.

بيان العلاقة بين إشارة المشتقة وطبيعة رتابة الدالة.

يرجى توخي الحذر الشديد بشأن ما يلي. انظروا، الجدول الزمني لما يعطى لك! الدالة أو مشتقتها

إذا أعطيت رسما بيانيا للمشتق، إذن سنكون مهتمين فقط بعلامات الدالة والأصفار. نحن لسنا معنيين بأية "تلال" أو "تجويفات" من حيث المبدأ!

مهمة 1.

يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لدالة محددة على الفاصل الزمني. حدد عدد النقاط الصحيحة التي تكون فيها مشتقة الدالة سالبة.

حل:

في الشكل، يتم تمييز المناطق ذات الوظيفة المتناقصة بالألوان:

تحتوي هذه المناطق المتناقصة للدالة على 4 قيم صحيحة.

المهمة 2.

يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لدالة محددة على الفاصل الزمني. أوجد عدد النقاط التي يكون عندها مماس الرسم البياني للدالة موازيًا للخط المستقيم أو متطابقًا معه.

حل:

بمجرد أن يكون مماس الرسم البياني للدالة موازيًا (أو يتطابق) مع خط مستقيم (أو، وهو نفس الشيء)، يكون له ميل , يساوي الصفر، فالظل له أيضًا معامل زاوي.

وهذا بدوره يعني أن المماس موازي للمحور، لأن الميل هو ظل زاوية ميل المماس للمحور.

لذلك، نجد النقاط القصوى (النقاط القصوى والدنيا) على الرسم البياني - عند هذه النقاط ستكون الوظائف المماس للرسم البياني موازية للمحور.

هناك 4 نقاط من هذا القبيل.

المهمة 3.

يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتقة دالة محددة في الفترة. أوجد عدد النقاط التي يكون عندها مماس الرسم البياني للدالة موازيًا للخط المستقيم أو متطابقًا معه.

حل:

بما أن مماس الرسم البياني للدالة يكون موازيًا (أو متطابقًا) مع خط له ميل، فإن المماس له ميل أيضًا.

وهذا بدوره يعني أنه عند نقاط اللمس.

ولذلك، فإننا ننظر إلى عدد النقاط على الرسم البياني التي لها إحداثيات تساوي .

كما ترون، هناك أربع نقاط من هذا القبيل.

المهمة 4.

يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لدالة محددة على الفاصل الزمني. أوجد عدد النقاط التي يكون عندها مشتق الدالة 0.

حل:

المشتق يساوي الصفر عند النقاط القصوى. لدينا 4 منهم:

المهمة 5.

يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للدالة وإحدى عشرة نقطة على المحور السيني:. عند كم من هذه النقاط تكون مشتقة الدالة سالبة؟

حل:

على فترات من الدالة المتناقصة، يأخذ مشتقها القيم السلبية. وتتناقص الدالة عند نقاط. هناك 4 نقاط من هذا القبيل.

المهمة 6.

يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لدالة محددة على الفاصل الزمني. أوجد مجموع النقاط القصوى للدالة.

حل:

النقاط القصوى- هذه هي النقاط القصوى (-3، -1، 1) والحد الأدنى من النقاط (-2، 0، 3).

مجموع النقاط القصوى: -3-1+1-2+0+3=-2.

المهمة 7.

يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتقة دالة محددة في الفترة. أوجد فترات زيادة الوظيفة. في إجابتك، أشر إلى مجموع النقاط الصحيحة المضمنة في هذه الفواصل الزمنية.

حل:

يسلط الشكل الضوء على الفترات التي يكون فيها مشتق الدالة غير سالب.

لا توجد نقاط عدد صحيح على الفاصل الزمني المتزايد الصغير؛ في الفاصل الزمني المتزايد توجد أربع قيم صحيحة: و و و.

مجموعهم:

المهمة 8.

يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتقة دالة محددة في الفترة. أوجد فترات زيادة الوظيفة. في إجابتك، أشر إلى طول أكبرها.

حل:

في الشكل، يتم تمييز جميع الفواصل الزمنية التي يكون المشتق فيها موجبًا باللون، مما يعني أن الدالة نفسها تزداد في هذه الفواصل الزمنية.

طول أكبر منهم هو 6.

المهمة 9.

يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتقة دالة محددة في الفترة. عند أي نقطة في القطعة تأخذ القيمة الأكبر؟

حل:

دعونا نرى كيف يتصرف الرسم البياني على المقطع، وهو ما يهمنا فقط علامة المشتقة .

إشارة المشتقة ناقص، لأن التمثيل البياني لهذا الجزء يقع أسفل المحور.