المعادلات cos x a. العلاقة مع الدوال المثلثية الأخرى

في القرن الخامس قبل الميلاد، صاغ الفيلسوف اليوناني القديم زينون الإيلي مفارقاته الشهيرة، وأشهرها مفارقات “أخيل والسلحفاة”. وهنا ما يبدو وكأنه:

لنفترض أن أخيل يجري أسرع بعشر مرات من السلحفاة ويتخلف عنها بألف خطوة. خلال الوقت الذي يستغرقه أخيل في قطع هذه المسافة، ستزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. فعندما يركض أخيل مائة خطوة، تزحف السلحفاة عشر خطوات أخرى، وهكذا. ستستمر العملية إلى ما لا نهاية، ولن يتمكن أخيل من اللحاق بالسلحفاة أبدًا.

أصبح هذا المنطق بمثابة صدمة منطقية لجميع الأجيال اللاحقة. أرسطو، ديوجين، كانط، هيجل، هيلبرت... كلهم ​​اعتبروا معضلة زينون بطريقة أو بأخرى. وكانت الصدمة قوية لدرجة " ...وتستمر المناقشات حتى يومنا هذا، للتوصل إلى رأي مشترك حول جوهر المفارقات المجتمع العلميحتى الآن لم يكن ذلك ممكنا... لقد شاركوا في دراسة القضية التحليل الرياضي، مجموعة النظرية، المادية الجديدة و المقاربات الفلسفية; ولم يصبح أي منها حلاً مقبولاً بشكل عام للمشكلة ..."[ويكيبيديا، "أبوريا زينو". الجميع يفهم أنه يتم خداعهم، ولكن لا أحد يفهم ما يتكون الخداع.

من وجهة نظر رياضية، أظهر زينون في كتابه المحرج بوضوح الانتقال من الكمية إلى . يتضمن هذا الانتقال التطبيق بدلاً من التطبيقات الدائمة. بقدر ما أفهم، جهاز رياضيإن استخدام وحدات القياس المتغيرة إما أنه لم يتم تطويره بعد، أو أنه لم يتم تطبيقه على مفارقة زينون. إن تطبيق منطقنا المعتاد يقودنا إلى الفخ. نحن، بسبب الجمود في التفكير، نطبق وحدات زمنية ثابتة على القيمة المتبادلة. مع النقطة الماديةمن وجهة نظر يبدو الأمر وكأن الزمن يتباطأ حتى يتوقف تمامًا في اللحظة التي يلحق فيها أخيل بالسلحفاة. إذا توقف الزمن، لن يتمكن أخيل من التفوق على السلحفاة.

إذا قلبنا منطقنا المعتاد، فإن كل شيء يقع في مكانه. أخيل يركض مع سرعة ثابتة. كل جزء لاحق من طريقه أقصر بعشر مرات من الجزء السابق. وعليه فإن الوقت المستغرق في التغلب عليها أقل بعشر مرات من الوقت السابق. ولو طبقنا مفهوم "اللانهاية" في هذه الحالة، لصح أن نقول "أخيل سوف يلحق بالسلحفاة بسرعة لا متناهية".

كيفية تجنب هذا الفخ المنطقي؟ ابقى في وحدات ثابتةقياسات الزمن ولا تذهب إلى الكميات المتبادلة. في لغة زينو يبدو الأمر كما يلي:

في الوقت الذي يستغرقه أخيل في الجري ألف خطوة، ستزحف السلحفاة مائة خطوة في نفس الاتجاه. للفاصل الزمني التالي، يساوي الأولسيركض أخيل ألف خطوة أخرى، وستزحف السلحفاة مائة خطوة. والآن يتقدم أخيل على السلحفاة بثمانمائة خطوة.

يصف هذا النهج الواقع بشكل مناسب دون أي مفارقات منطقية. ولكن الأمر ليس كذلك الحل الكاملمشاكل. إن عبارة أينشتاين حول عدم مقاومة سرعة الضوء تشبه إلى حد كبير مقولة زينو "أخيل والسلحفاة". لا يزال يتعين علينا دراسة هذه المشكلة وإعادة التفكير فيها وحلها. ويجب البحث عن الحل ليس بأعداد كبيرة بلا حدود، بل بوحدات القياس.

تحكي aporia أخرى مثيرة للاهتمام لزينو عن سهم طائر:

السهم الطائر لا يتحرك، لأنه في كل لحظة من الزمن يكون ساكنًا، وبما أنه ساكن في كل لحظة من الزمن، فهو ساكن دائمًا.

في هذا aporia، يتم التغلب على المفارقة المنطقية بكل بساطة - يكفي توضيح أنه في كل لحظة من الزمن يكون السهم الطائر في حالة سكون عند نقاط مختلفة في الفضاء، وهو في الواقع حركة. هناك نقطة أخرى يجب الإشارة إليها هنا. من خلال صورة واحدة لسيارة على الطريق، من المستحيل تحديد حقيقة حركتها أو المسافة إليها. لتحديد ما إذا كانت السيارة تتحرك، تحتاج إلى صورتين تم التقاطهما من نفس النقطة لحظات مختلفةالوقت، لكن لا يمكن تحديد المسافة منهم. لتحديد المسافة إلى السيارة، تحتاج إلى صورتين مأخوذتين منها نقاط مختلفةالفضاء في وقت ما، ولكن من المستحيل تحديد حقيقة الحركة منها (بطبيعة الحال، لا تزال هناك حاجة إلى بيانات إضافية لإجراء العمليات الحسابية، وسوف يساعدك علم المثلثات). ما أريد أن أشير إليه انتباه خاص، هو أن النقطتين في الزمان ونقطتين في المكان هما شيئان مختلفان ولا ينبغي الخلط بينهما، لأنهما يوفران فرصًا مختلفة للبحث.

الأربعاء 4 يوليو 2018

تم وصف الاختلافات بين المجموعة والمجموعات المتعددة بشكل جيد للغاية على ويكيبيديا. دعنا نرى.

كما ترون، "لا يمكن أن يكون هناك عنصرين متطابقين في مجموعة"، ولكن إذا كان هناك عناصر متطابقة في مجموعة، فإن هذه المجموعة تسمى "مجموعة متعددة". لن تفهم الكائنات العاقلة مثل هذا المنطق السخيف. هذا هو المستوى الببغاوات الناطقةوالقرود المدربة التي ليس لديها أي ذكاء من كلمة "تماما". يعمل علماء الرياضيات كمدربين عاديين، ويبشروننا بأفكارهم السخيفة.

في يوم من الأيام، كان المهندسون الذين بنوا الجسر في قارب تحت الجسر أثناء اختبار الجسر. وإذا انهار الجسر مات المهندس المتوسط ​​تحت أنقاض خلقه. وإذا كان الجسر قادرا على تحمل الأحمال، فقد قام المهندس الموهوب ببناء جسور أخرى.

مهما اختبأ علماء الرياضيات وراء عبارة "اهتم بي أنا في البيت" أو بالأحرى "دراسات الرياضيات" المفاهيم المجردة"، هناك حبل سري واحد يربطهم بالواقع بشكل لا ينفصم. هذا الحبل السري هو المال. تقدم بطلبك النظرية الرياضيةمجموعات لعلماء الرياضيات أنفسهم.

لقد درسنا الرياضيات جيدًا ونحن الآن نجلس عند ماكينة تسجيل المدفوعات النقدية ونوزع الرواتب. لذلك يأتي إلينا عالم الرياضيات من أجل ماله. نحسب له المبلغ بالكامل ونضعه على طاولتنا في أكوام مختلفة، حيث نضع فيها أوراقًا نقدية من نفس الفئة. ثم نأخذ ورقة واحدة من كل كومة ونسلمها إلى عالم الرياضيات" مجموعة رياضيةالرواتب." نوضح للرياضيين أنه لن يحصل على الفواتير المتبقية إلا عندما يثبت أن المجموعة التي لا تحتوي على عناصر متطابقة لا تساوي مجموعة ذات عناصر متطابقة. وهنا تبدأ المتعة.

بادئ ذي بدء، سيعمل منطق النواب: "يمكن تطبيق هذا على الآخرين، ولكن ليس علي!" ثم سيبدأون في طمأنتنا بأن الأوراق النقدية من نفس الفئة لها أرقام فواتير مختلفة، مما يعني أنه لا يمكن اعتبارها نفس العناصر. حسنًا، لنحسب الرواتب بالعملات المعدنية - لا توجد أرقام على العملات المعدنية. هنا سيبدأ عالم الرياضيات في تذكر الفيزياء بشكل محموم: هناك عملات معدنية مختلفة كميات مختلفةطين، الهيكل البلوريوترتيب الذرات في كل عملة فريد من نوعه...

والآن لدي أكثر اسأل الفائدة: أين هو الخط الذي تتحول بعده عناصر المجموعة المتعددة إلى عناصر مجموعة والعكس صحيح؟ مثل هذا الخط غير موجود - كل شيء يقرره الشامان، والعلم ليس قريبًا حتى من الكذب هنا.

انظر هنا. نختار ملاعب كرة القدم بنفس مساحة الملعب. مساحات الحقول هي نفسها - مما يعني أن لدينا مجموعة متعددة. لكن إذا نظرنا إلى أسماء هذه الملاعب نفسها، فسنحصل على الكثير منها، لأن الأسماء مختلفة. كما ترون، نفس مجموعة العناصر هي مجموعة ومتعددة. ايهم صحيح؟ وهنا يقوم عالم الرياضيات الشامان الحاد بسحب الآس من الأوراق الرابحة من جعبته ويبدأ في إخبارنا إما عن مجموعة أو مجموعة متعددة. وفي كل الأحوال سيقنعنا بأنه على حق.

لفهم كيفية عمل الشامان الحديثين مع نظرية المجموعات، وربطها بالواقع، يكفي الإجابة على سؤال واحد: كيف تختلف عناصر مجموعة واحدة عن عناصر مجموعة أخرى؟ سأريكم، دون أي "لا يمكن تصوره كوحدة واحدة" أو "لا يمكن تصوره ككل واحد".

الأحد 18 مارس 2018

مجموع أرقام الرقم هو رقصة الشامان مع الدف، والتي لا علاقة لها بالرياضيات. نعم، في دروس الرياضيات، يتم تعليمنا كيفية العثور على مجموع أرقام الرقم واستخدامها، ولكن هذا هو السبب في أنهم شامان، لتعليم أحفادهم مهاراتهم وحكمتهم، وإلا فإن الشامان سوف يموتون ببساطة.

هل تحتاج إلى دليل؟ افتح ويكيبيديا وحاول العثور على صفحة "مجموع أرقام الرقم". هي غير موجودة. لا توجد صيغة في الرياضيات يمكن استخدامها لإيجاد مجموع أرقام أي عدد. بعد كل شيء، الأرقام هي الرموز الرسوميةالتي نكتب بها الأرقام وفي لغة الرياضيات تبدو المهمة كما يلي: "ابحث عن مجموع الرموز الرسومية التي تمثل أي رقم." لا يستطيع علماء الرياضيات حل هذه المشكلة، لكن الشامان يمكنهم حلها بسهولة.

دعونا نكتشف ماذا وكيف نفعل للعثور على مجموع الأرقام رقم معين. إذن، دعونا نحصل على الرقم 12345. ما الذي يجب فعله لإيجاد مجموع أرقام هذا الرقم؟ دعونا نفكر في جميع الخطوات بالترتيب.

1. اكتب الرقم على قطعة من الورق. ماذا فعلنا؟ لقد قمنا بتحويل الرقم إلى رمز رقم رسومي. هذه ليست عملية رياضية.

2. نقوم بقص الصورة الناتجة إلى عدة صور تحتوي على أرقام فردية. إن قطع الصورة ليس عملية رياضية.

3. تحويل الرموز الرسومية الفردية إلى أرقام. هذه ليست عملية رياضية.

4. أضف الأرقام الناتجة. الآن هذه هي الرياضيات.

مجموع أرقام الرقم 12345 هو 15. هذه هي "دورات القطع والخياطة" التي يدرسها الشامان والتي يستخدمها علماء الرياضيات. ولكن هذا ليس كل شيء.

من وجهة نظر رياضية، لا يهم في أي نظام أرقام نكتب رقمًا. لذلك، في أنظمة مختلفةفي حساب التفاضل والتكامل، مجموع أرقام نفس العدد سيكون مختلفا. في الرياضيات، يُشار إلى نظام الأرقام كحرف منخفض على يمين الرقم. مع عدد كبير 12345 لا أريد أن أخدع رأسي، فلننظر إلى الرقم 26 من المقالة التي تتحدث عن . لنكتب هذا الرقم في أنظمة الأرقام الثنائية والثمانية والعشرية والست عشرية. لن ننظر إلى كل خطوة تحت المجهر؛ لقد فعلنا ذلك بالفعل. دعونا ننظر إلى النتيجة.

كما ترون، في أنظمة الأرقام المختلفة، يختلف مجموع أرقام نفس الرقم. هذه النتيجة لا علاقة لها بالرياضيات. الأمر نفسه كما لو حددت مساحة المستطيل بالمتر والسنتيمتر، فستحصل على نتائج مختلفة تمامًا.

يبدو الصفر متماثلًا في جميع أنظمة الأعداد ولا يحتوي على مجموع أرقام. وهذه حجة أخرى لصالح حقيقة ذلك. سؤال لعلماء الرياضيات: كيف يكون الشيء الذي ليس رقما محددا في الرياضيات؟ ماذا، بالنسبة لعلماء الرياضيات لا يوجد شيء سوى الأرقام؟ أستطيع أن أسمح بهذا للشامان، ولكن ليس للعلماء. الواقع لا يتعلق بالأرقام فقط.

يجب اعتبار النتيجة التي تم الحصول عليها دليلاً على أن أنظمة الأرقام هي وحدات قياس للأرقام. بعد كل شيء، لا يمكننا مقارنة الأرقام مع وحدات مختلفةقياسات. فإذا كانت نفس الأفعال مع وحدات قياس مختلفة لنفس الكمية تؤدي إلى نتائج مختلفة بعد مقارنتها، فهذا لا علاقة له بالرياضيات.

ما هي الرياضيات الحقيقية؟ هذا عندما تكون النتيجة عملية حسابيةلا يعتمد على حجم الرقم ووحدة القياس المستخدمة ومن يقوم بالإجراء.

التوقيع على الباب يفتح الباب ويقول:

أوه! أليس هذا هو مرحاض النساء؟
- شابة! هذا مختبر لدراسة قداسة النفوس غير المحببة أثناء صعودها إلى السماء! هالة في الأعلى والسهم لأعلى. ما المرحاض الآخر؟

أنثى... الهالة الموجودة في الأعلى والسهم لأسفل هما ذكران.

إذا كان هذا العمل الفني التصميمي يومض أمام عينيك عدة مرات في اليوم،

إذن ليس من المستغرب أن تجد فجأة رمزًا غريبًا في سيارتك:

أنا شخصياً أبذل جهداً لرؤية سالب أربع درجات في شخص يتغوط (صورة واحدة) (تركيبة من عدة صور: علامة الطرح، الرقم أربعة، تعيين الدرجات). وأنا لا أعتقد أن هذه الفتاة غبية، لا على دراية بالفيزياء. لديها فقط صورة نمطية مقوسة للإدراك الصور الرسومية. وعلماء الرياضيات يعلموننا هذا طوال الوقت. هنا مثال.

1A ليس "ناقص أربع درجات" أو "واحد أ". هذا هو "رجل التغوط" أو الرقم "ستة وعشرون" بالنظام الست عشري. هؤلاء الأشخاص الذين يعملون باستمرار في نظام الأرقام هذا يدركون تلقائيًا الرقم والحرف كرمز رسومي واحد.

نحن نعلم أن قيم جيب التمام تقع في النطاق [-1؛ 1]، أي. -1 ≥ cos α ≥ 1. لذلك، إذا |a| > 1، فإن المعادلة cos x = a ليس لها جذور. على سبيل المثال، المعادلة cos x = -1.5 ليس لها جذور.

دعونا ننظر في العديد من المشاكل.

حل المعادلة cos x = 1/2.

حل.

تذكر أن cos x هو حدود نقطة على دائرة نصف قطرها يساوي 1، ويتم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة P (1؛ 0) بزاوية x حول الأصل.

الإحداثي المحوري 1/2 يقع عند نقطتين من الدائرة M 1 و M 2. بما أن 1/2 = cos π/3، يمكننا الحصول على النقطة M 1 من النقطة P (1؛ 0) بالتدوير بزاوية x 1 = π/3، وكذلك بالزوايا x = π/3 + 2πk، حيث k = +/-1، +/-2، ...

يتم الحصول على النقطة M 2 من النقطة P (1؛ 0) بالتدوير بزاوية x 2 = -π/3، وكذلك بالزوايا -π/3 + 2πk، حيث k = +/-1، +/-2 ، ...

لذلك كل الجذور معادلات كوسيمكن العثور على x = 1/2 باستخدام الصيغ
س = ط/3 + 2ط ك
س = -π/3 + 2πك،

يمكن دمج الصيغتين المقدمتين في صيغة واحدة:

س = +/-π/3 + 2πك، ك € Z.

حل المعادلة cos x = -1/2.

حل.

نقطتان على الدائرة M 1 و M 2 لهما حدود تساوي – 1/2. بما أن -1/2 = cos 2π/3، فإن الزاوية x 1 = 2π/3، وبالتالي الزاوية x 2 = -2π/3.

وبالتالي، يمكن إيجاد جميع جذور المعادلة cos x = -1/2 باستخدام الصيغة: x = +/-2π/3 + 2πk, k € Z.

وبالتالي، فإن كل من المعادلات cos x = 1/2 وcos x = -1/2 موجودة مجموعة لا نهائيةجذور في الفترة 0 ≥ x ≥ π، كل من هذه المعادلات لها جذر واحد فقط: x 1 = π/3 هو جذر المعادلة cos x = 1/2 وx 1 = 2π/3 هو جذر المعادلة cos س = -1/2.

الرقم π/3 يسمى قوس جيب التمام للرقم 1/2 ويكتب: arccos 1/2 = π/3، والرقم 2π/3 يسمى قوس جيب التمام للرقم (-1/2) ويكتب : قوس قزح (-1/2) = 2π/3 .

بشكل عام، المعادلة cos x = a، حيث -1 ≥ a ≥ 1، لها جذر واحد فقط في الفترة 0 ≥ x ≥ π. إذا كانت ≥ 0، فإن الجذر موجود في الفاصل الزمني؛ اذا كان< 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.

وبالتالي، فإن قوس جيب التمام للرقم a € [-1؛ 1 ] هو الرقم € الذي يساوي جيب تمامه a:

arccos а = α، إذا cos α = а و 0 ≥ а ≥ π (1).

على سبيل المثال، arccos √3/2 = π/6، بما أن cos π/6 = √3/2 و0 ≥ π/6 ≥ π؛
arccos (-√3/2) = 5π/6، بما أن cos 5π/6 = -√3/2 و0 ≥ 5π/6 ≥ π.

بنفس الطريقة التي تم بها حل المسألتين 1 و 2، يمكن إثبات أن جميع جذور المعادلة cos x = a، حيث |a| ≥ 1، معبرًا عنها بالصيغة

x = +/-arccos a + 2 πn, n € Z (2).

حل المعادلة cos x = -0.75.

حل.

باستخدام الصيغة (2) نجد x = +/-arccos (-0.75) + 2 πn, n € Z.

يمكن العثور على قيمة القوس (-0.75) تقريبًا في الشكل عن طريق قياس الزاوية باستخدام المنقلة. يمكن أيضًا العثور على القيم التقريبية لقوس جيب التمام باستخدام جداول خاصة (جداول براديس) أو حاسبة صغيرة. على سبيل المثال، يمكن حساب قيمة arccos (-0.75) باستخدام حاسبة صغيرة، مما يعطي القيمة التقريبية 2.4188583. إذن، أركوس (-0.75) ≈ 2.42. ولذلك، أركوس (-0.75) ≈ 139°.

الجواب: أركوس (-0.75) ≈ 139 درجة.

حل المعادلة (4cos x – 1)(2cos 2x + 1) = 0.

حل.

1) 4cos x – 1 = 0، cos x = 1/4، x = +/-arcos 1/4 + 2 πn، n € Z.

2) 2cos 2x + 1 = 0، cos 2x = -1/2، 2x = +/-2π/3 + 2 πn، x = +/-π/3 + πn، n € Z.

إجابة. س = +/-أركوس 1/4 + 2 πn، x = +/-π/3 + πn.

يمكن إثبات أنه مقابل أي يورو [-1؛ 1] صيغة arccos (-а) = π – arccos а (3) صالحة.

تتيح لك هذه الصيغة التعبير عن قيم جيب التمام القوسي أرقام سلبيةمن خلال قيم جيب التمام قوس أرقام إيجابية. على سبيل المثال:

أركوس (-1/2) = π – أركوس 1/2 = π – π/3 = 2π/3;

أركوس (-√2/2) = π – أركوس √2/2 = π – π/4 = 3π/4

من الصيغة (2) يترتب على ذلك أنه يمكن إيجاد جذور المعادلة cos x = a لـ a = 0 وa = 1 وa = -1 باستخدام صيغ أبسط:

كوس س = 0 س = π/2 + πn، n € Z (4)

كوس س = 1 س = 2ط، ن € ض (5)

cos x = -1 x = π + 2πn, n € Z (6).

الموقع الإلكتروني، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.

أمثلة:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0.416…\)

الحجة والمعنى

جيب تمام الزاوية الحادة

جيب تمام الزاوية الحادةيمكن تحديده باستخدام مثلث قائم الزاوية - وهو يساوي نسبة الساق المجاورة إلى الوتر.

مثال :

1) دعنا نعطي زاوية ونحتاج إلى تحديد جيب تمام هذه الزاوية.

2) دعونا نكمل أي مثلث قائم الزاوية في هذه الزاوية.

3) بعد قياس الجوانب المطلوبة، يمكننا حساب جيب التمام.

جيب التمام لعدد

تسمح لك دائرة الأرقام بتحديد جيب التمام لأي رقم، ولكن عادةً ما تجد جيب التمام للأرقام مرتبط بطريقة ما بـ: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) ، \(-2π\ ).

على سبيل المثال، بالنسبة للرقم \(\frac(π)(6)\) - سيكون جيب التمام مساويًا لـ \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . وبالنسبة للرقم \(-\)\(\frac(3π)(4)\) فسيكون مساوياً لـ \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (تقريباً \ (-0،71\)).

لمعرفة جيب التمام للأرقام الأخرى التي غالبًا ما يتم مواجهتها عمليًا، راجع.

تقع قيمة جيب التمام دائمًا في النطاق من \(-1\) إلى \(1\). في هذه الحالة، يمكن حساب جيب التمام لأي زاوية ورقم على الإطلاق.

جيب التمام من أي زاوية

شكرا ل دائرة الرقميمكنك تحديد جيب التمام ليس فقط زاوية حادة، ولكنها أيضًا صريحة وسلبية، بل وأكبر من \(360°\) ( بدوره الكامل). كيفية القيام بذلك أسهل في رؤيتها مرة واحدة من سماعها \(100\) مرة، لذا انظر إلى الصورة.

الآن شرح: لنفترض أننا بحاجة إلى تحديد جيب تمام الزاوية كوامع قياس درجةفي \(150°\). الجمع بين النقطة عنمع مركز الدائرة، وجانبها نعم- مع المحور \(x\). بعد ذلك، ضع جانبًا \(150 درجة\) عكس اتجاه عقارب الساعة. ثم إحداثية النقطة أسوف تظهر لنا جيب تمام هذه الزاوية.

إذا كنا مهتمين بزاوية ذات قياس درجة، على سبيل المثال، في \(-60°\) (زاوية كوف)، افعل نفس الشيء، لكن اضبط \(60°\) في اتجاه عقارب الساعة.

وأخيرًا، الزاوية أكبر من \(360°\) (زاوية سي بي اس) - كل شيء يشبه الغبي، فقط بعد أن نسير في اتجاه عقارب الساعة دورة كاملة، نذهب إلى الدائرة الثانية و "نحصل على نقص الدرجات". على وجه التحديد، في حالتنا، يتم رسم الزاوية \(405°\) كـ \(360° + 45°\).

من السهل تخمين أنه لرسم زاوية، على سبيل المثال، في \(960°\)، تحتاج إلى عمل دورتين (\(360°+360°+240°\)) وزاوية في \(2640 °\) - سبعة كاملة.

كما يمكنك استبداله، يتم تعريف كل من جيب تمام الرقم وجيب تمام الزاوية التعسفية بشكل متماثل تقريبًا. فقط طريقة العثور على النقطة على الدائرة تتغير.

علامات جيب التمام بالارباع

باستخدام محور جيب التمام (أي محور الإحداثي الموضح باللون الأحمر في الشكل)، من السهل تحديد علامات جيب التمام على طول الدائرة العددية (المثلثية):

عندما تكون القيم على المحور من \(0\) إلى \(1\)، سيكون لجيب التمام علامة زائد (الربع الأول والرابع - المنطقة الخضراء)،
- حيث تكون القيم على المحور من \(0\) إلى \(-1\)، سيكون لجيب التمام علامة ناقص (الربعان II و III - المنطقة الأرجوانية).

العلاقة مع الدوال المثلثية الأخرى:

- نفس الزاوية (أو الرقم): الرئيسية الهوية المثلثية\(\الخطيئة^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- نفس الزاوية (أو الرقم): بالصيغة \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- وجيب الزاوية نفسها (أو الرقم): الصيغة \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
للاطلاع على الصيغ الأخرى الأكثر استخدامًا، راجع.

حل المعادلة \(\cos⁡x=a\)

حل المعادلة \(\cos⁡x=a\) حيث \(a\) عدد لا يزيد عن \(1\) ولا يقل عن \(-1\)، أي \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

إذا كان \(a>1\) أو \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

مثال . حل المعادلة المثلثية \(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\).
حل:

دعونا نحل المعادلة باستخدام دائرة الأعداد. لهذا:
1) دعونا نبني المحاور.
2) دعونا نبني دائرة.
3) على محور جيب التمام (المحور \(y\)) حدد النقطة \(\frac(1)(2)\) .
4) ارسم عموديًا على محور جيب التمام من خلال هذه النقطة.
5) حدد نقاط تقاطع العمودي مع الدائرة.
6) لنوقع على قيم هذه النقاط: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) لنكتب جميع القيم المقابلة لهذه النقاط باستخدام الصيغة \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

إجابة: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

الدالة \(y=\cos(x)\)

إذا رسمنا الزوايا بالراديان على طول المحور \(x\) وقيم جيب التمام المقابلة لهذه الزوايا على طول المحور \(y\) نحصل على الرسم البياني التالي:

يسمى هذا الرسم البياني وله الخصائص التالية:

مجال التعريف هو أي قيمة لـ x: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- نطاق القيم - من \(-1\) إلى \(1\) شاملاً: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- حتى: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- دورية مع الفترة \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:
محور الإحداثي السيني: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\)، حيث \(n ϵ Z\)
المحور ص: \((0;1)\)
- فترات ثبات الإشارة:
تكون الدالة موجبة على الفترات: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \)، حيث \(ن ϵ ض\)
تكون الدالة سالبة على الفواصل الزمنية: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ) ، حيث \(n ϵ Z\)
- فترات الزيادة والنقصان:
تزداد الدالة على الفواصل الزمنية: \((π+2πn;2π+2πn)\)، حيث \(n ϵ Z\)
تتناقص الدالة على الفواصل الزمنية: \((2πn;π+2πn)\)، حيث \(n ϵ Z\)
- الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة:
الدالة لها قيمة قصوى \(y=1\) عند النقاط \(x=2πn\)، حيث \(n ϵ Z\)
الدالة لها قيمة دنيا \(y=-1\) عند النقاط \(x=π+2πn\)، حيث \(n ϵ Z\).

أمثلة:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

كيفية حل المعادلات المثلثية:

ينبغي اختزال أي معادلة مثلثية إلى أحد الأنواع التالية:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

حيث \(t\) هو تعبير يحتوي على x، \(a\) هو رقم. تسمى هذه المعادلات المثلثية الابسط. يمكن حلها بسهولة باستخدام () أو الصيغ الخاصة:

مثال . حل المعادلة المثلثية \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
حل:

إجابة: \(\left[ \begin(gathered)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(gathered)\right.\) \(ك،ن∈Z\)

انظر ما يعنيه كل رمز في صيغة جذور المعادلات المثلثية.

انتباه!المعادلتان \(\sin⁡x=a\) و \(\cos⁡x=a\) ليس لهما حلول إذا كان \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). لأن جيب التمام وجيب التمام لأي x أكبر من أو يساوي \(-1\) وأقل من أو يساوي \(1\):

\(-1≥\sin x≤1\) \(-1≥\cos⁡x≥1\)

مثال . حل المعادلة \(\cos⁡x=-1,1\).
حل: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
إجابة : لا توجد حلول.

مثال . حل المعادلة المثلثية tg\(⁡x=1\).
حل:

دعونا نحل المعادلة باستخدام دائرة الأعداد. لهذا: 1) إنشاء دائرة) 2) أنشئ المحورين \(x\) و \(y\) ومحور المماس (يمر بالنقطة \((0;1)\) الموازية للمحور \(y\)). 3) على محور الظل حدد النقطة \(1\). 4) قم بتوصيل هذه النقطة وأصل الإحداثيات بخط مستقيم. 5) حدد نقاط تقاطع هذا الخط مع دائرة الأرقام. 6) لنوقع قيم هذه النقاط: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\) 7) اكتب جميع قيم هذه النقاط. وبما أنها تقع على مسافة \(π\) بالضبط من بعضها البعض، يمكن كتابة جميع القيم في صيغة واحدة:

إجابة: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\)، \(k∈Z\).

مثال . حل المعادلة المثلثية \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
حل:

دعونا نستخدم دائرة الأرقام مرة أخرى. 1) قم بإنشاء دائرة، المحورين \(x\) و\(y\). 2) على محور جيب التمام (محور \(x\))، ضع علامة \(0\). 3) ارسم عموديًا على محور جيب التمام من خلال هذه النقطة. 4) حدد نقاط تقاطع العمودي مع الدائرة. 5) لنوقع على قيم هذه النقاط: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) نكتب القيمة الكاملة لهذه النقاط ونساويها بجيب التمام (ما يوجد داخل جيب التمام). \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)، \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) كالعادة، سوف نعبر عن \(x\) في المعادلات. لا تنس التعامل مع الأرقام باستخدام \(π\)، بالإضافة إلى \(1\)، \(2\)، \(\frac(1)(4)\)، وما إلى ذلك. هذه هي نفس الأرقام مثل جميع الآخرين. لا التمييز العددي! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

إجابة: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

يعد اختزال المعادلات المثلثية إلى أبسطها مهمة إبداعية؛ وهنا تحتاج إلى استخدام كلتا الطريقتين الخاصتين لحل المعادلات:
- الطريقة (الأكثر شعبية في امتحان الدولة الموحدة).
- طريقة.
- طريقة الحجج المساعدة.

لنفكر في مثال لحل المعادلة المثلثية التربيعية

مثال . حل المعادلة المثلثية \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
حل:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	لنقم بالاستبدال \(t=\cos⁡x\).
	أصبحت معادلتنا نموذجية. يمكنك حلها باستخدام .
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	نقوم بإجراء استبدال عكسي.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	نحل المعادلة الأولى باستخدام دائرة الأعداد. المعادلة الثانية ليس لها حلول لأن \(\cos⁡x∈[-1;1]\) ولا يمكن أن يساوي اثنين لأي x.
	دعونا نكتب جميع الأرقام الموجودة في هذه النقاط.

إجابة: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

مثال على حل معادلة مثلثية مع دراسة ODZ:

مثال (استخدام) . حل المعادلة المثلثية \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	يوجد كسر ويوجد ظل التمام، وهذا يعني أن علينا كتابته. دعني أذكرك أن ظل التمام هو في الواقع كسر: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) ولذلك، فإن ODZ لـ ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\الخطيئة⁡س≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(ك،ن∈Z\)	دعونا نضع علامة على "غير الحلول" على دائرة الأعداد.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	دعونا نتخلص من المقام في المعادلة عن طريق ضربه في ctg\(x\). يمكننا القيام بذلك، لأننا كتبنا أعلاه ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	دعونا نطبق صيغة الزاوية المزدوجة لجيب الجيب: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	إذا مددت يداك لتقسم على جيب التمام، اسحبهما للخلف! يمكنك القسمة على تعبير بمتغير إذا كان بالتأكيد لا يساوي الصفر (على سبيل المثال، \(x^2+1.5^x\)). بدلاً من ذلك، دعونا نخرج \(\cos⁡x\) من الأقواس.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	دعونا "نقسم" المعادلة إلى قسمين.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	دعونا نحل المعادلة الأولى باستخدام دائرة الأعداد. نقسم المعادلة الثانية على \(2\) وننقل \(\sin⁡x\) إلى الجانب الأيمن.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	لا يتم تضمين الجذور الناتجة في ODZ. لذلك لن نكتبها ردا. المعادلة الثانية نموذجية. دعونا نقسمها على \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) لا يمكن أن يكون حلاً للمعادلة لأنه في هذه الحالة \(\cos⁡x=1\) أو \(\cos⁡ س=-1\)).
	نستخدم الدائرة مرة أخرى.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\)، \(n∈Z\)	لم يتم استبعاد هذه الجذور بواسطة ODZ، لذا يمكنك كتابتها في الإجابة.

إجابة: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\)، \(n∈Z\).

المعادلات المثلثية ليست موضوعا سهلا. فهي متنوعة للغاية.) على سبيل المثال، ما يلي:

خطيئة 2 س + cos3x = ctg5x

خطيئة(5س+ط /4) = سرير(2س-ط /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

إلخ...

لكن هذه الوحوش المثلثية (وجميعها) لها ميزتان مشتركتان وإلزاميتان. أولاً - لن تصدق - هناك دوال مثلثية في المعادلات.) ثانياً: تم العثور على جميع التعبيرات ذات x ضمن هذه الوظائف نفسها.وهناك فقط! إذا ظهر X في مكان ما الخارج،على سبيل المثال، الخطيئة2س + 3س = 3،ستكون هذه بالفعل معادلة من النوع المختلط. تتطلب مثل هذه المعادلات نهجًا فرديًا. لن نعتبرهم هنا.

لن نحل المعادلات الشريرة في هذا الدرس أيضًا.) هنا سنتعامل معها أبسط المعادلات المثلثية.لماذا؟ نعم لأن الحل أيتتكون المعادلات المثلثية من مرحلتين. في المرحلة الأولى، يتم اختزال المعادلة الشريرة إلى معادلة بسيطة من خلال مجموعة متنوعة من التحولات. وفي الثانية، تم حل هذه المعادلة الأبسط. لا توجد طريقة أخرى.

لذا، إذا كانت لديك مشاكل في المرحلة الثانية، فإن المرحلة الأولى ليس لها معنى كبير.)

كيف تبدو المعادلات المثلثية الأولية؟

سينكس = أ

كوسكس = أ

تغكس = أ

ctgx = أ

هنا أ يقف على أي رقم. أي.

بالمناسبة، داخل الدالة قد لا يكون هناك X خالص، ولكن نوع من التعبير، مثل:

cos(3x+π /3) = 1/2

إلخ. وهذا يعقد الحياة لكنه لا يؤثر على طريقة حل المعادلة المثلثية.

كيفية حل المعادلات المثلثية؟

يمكن حل المعادلات المثلثية بطريقتين. الطريقة الأولى: استخدام المنطق والدائرة المثلثية. سننظر في هذا المسار هنا. الطريقة الثانية - استخدام الذاكرة والصيغ - سيتم مناقشتها في الدرس التالي.

الطريقة الأولى واضحة وموثوقة ويصعب نسيانها.) إنها جيدة لحل المعادلات المثلثية والمتباينات وجميع أنواع الأمثلة غير القياسية الصعبة. المنطق أقوى من الذاكرة!)

حل المعادلات باستخدام الدائرة المثلثية.

نقوم بتضمين المنطق الأولي والقدرة على استخدام الدائرة المثلثية. لا تعرف كيف؟ ومع ذلك... سيكون لديك صعوبة في علم المثلثات...) ولكن لا يهم. قم بإلقاء نظرة على الدروس "الدائرة المثلثية... ما هي؟" و"قياس الزوايا على الدائرة المثلثية". كل شيء بسيط هناك. بخلاف الكتب المدرسية...)

انت تعرف!؟ وحتى أتقن "العمل العملي مع الدائرة المثلثية"!؟ تهانينا. سيكون هذا الموضوع قريبًا ومفهومًا بالنسبة لك.) الأمر الممتع بشكل خاص هو أن الدائرة المثلثية لا تهتم بالمعادلة التي تحلها. جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام - كل شيء هو نفسه بالنسبة له. هناك مبدأ حل واحد فقط.

لذا، فإننا نأخذ أي معادلة مثلثية أولية. على الأقل هذا:

كوزكس = 0.5

نحن بحاجة إلى العثور على X. التحدث باللغة البشرية، تحتاج أوجد الزاوية (x) التي جيب تمامها 0.5.

كيف استخدمنا الدائرة سابقًا؟ لقد رسمنا زاوية عليه. بالدرجات أو الراديان. وعلى الفور رأى الدوال المثلثية لهذه الزاوية. الآن دعونا نفعل العكس. لنرسم جيب التمام على الدائرة يساوي 0.5 وعلى الفور سوف نرى ركن. كل ما تبقى هو كتابة الإجابة.) نعم، نعم!

ارسم دائرة وضع علامة على جيب التمام يساوي 0.5. على محور جيب التمام، بطبيعة الحال. مثله:

الآن دعونا نرسم الزاوية التي يعطينا إياها جيب التمام هذا. قم بتمرير مؤشر الماوس فوق الصورة (أو المس الصورة الموجودة على جهازك اللوحي)، و سوف ترىهذه الزاوية بالذات X.

جيب التمام لأي زاوية يساوي 0.5؟

س = ط /3

كوس 60 درجة= كوس( π /3) = 0,5

سوف يضحك بعض الناس متشككين، نعم... مثل، هل كان الأمر يستحق عمل دائرة عندما يكون كل شيء واضحًا بالفعل... يمكنك بالطبع أن تضحك ضحكة مكتومة...) لكن الحقيقة هي أن هذه إجابة خاطئة. أو بالأحرى غير كافية. يدرك خبراء الدائرة أن هناك مجموعة كاملة من الزوايا هنا والتي تعطي أيضًا جيب التمام 0.5.

إذا قمت بتشغيل الجانب المتحرك الزراعة العضوية بدوره الكامل، ستعود النقطة A إلى وضعها الأصلي. مع نفس جيب التمام يساوي 0.5. أولئك. سوف تتغير الزاويةبمقدار 360° أو 2π راديان، و جيب التمام - لا.الزاوية الجديدة 60° + 360° = 420° ستكون أيضًا حلاً لمعادلتنا، لأن

ويمكن عمل عدد لا نهائي من هذه الدورات الكاملة... وكل هذه الزوايا الجديدة ستكون حلولاً لمعادلتنا المثلثية. ويجب تدوينهم جميعًا بطريقة أو بأخرى ردًا على ذلك. الجميع.وإلا فلا يعتد بالقرار، نعم...)

يمكن للرياضيات أن تفعل ذلك ببساطة وأناقة. اكتب في إجابة واحدة قصيرة مجموعة لا نهائيةقرارات. إليك ما تبدو عليه معادلتنا:

س = π /3 + 2π ن، ن ∈ ض

سأقوم بفك شفرتها. لا تزال تكتب بشكل هادفإنه أكثر متعة من رسم بعض الحروف الغامضة بغباء، أليس كذلك؟)

π /3 - هذه هي نفس الزاوية التي نحن فيها رأىعلى الدائرة و عازموفقا لجدول جيب التمام.

2π هي ثورة كاملة بالراديان.

ن - هذا هو عدد الكاملات، أي. جميعدورة في الدقيقة فمن الواضح أن ن يمكن أن تكون مساوية لـ 0، ±1، ±2، ±3.... وهكذا. كما هو موضح بواسطة إدخال قصير:

ن ∈ ض

ن ينتمي ( ∈ ) مجموعة من الأعداد الصحيحة ( ز ). بالمناسبة، بدلا من الرسالة ن يمكن استخدام الحروف ك، م، ر إلخ.

هذا الترميز يعني أنه يمكنك أخذ أي عدد صحيح ن . على الأقل -3، على الأقل 0، على الأقل +55. أياً كان ما تريد. إذا قمت باستبدال هذا الرقم في الإجابة، فستحصل على زاوية محددة، والتي ستكون بالتأكيد الحل لمعادلتنا القاسية.)

أو بكلمات أخرى، س = ط /3 - هذا هو الجذر الوحيد لمجموعة لا نهائية. للحصول على جميع الجذور الأخرى، يكفي إضافة أي عدد من الدورات الكاملة إلى π /3 ( ن ) بالراديان. أولئك. 2πn راديان.

الجميع؟ لا. أنا عمدا إطالة أمد المتعة. لنتذكر بشكل أفضل.) لقد تلقينا جزءًا فقط من إجابات معادلتنا. سأكتب هذا الجزء الأول من الحل مثل هذا:

س 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

× 1 - ليس جذرًا واحدًا فقط، بل سلسلة كاملة من الجذور، مكتوبة في شكل قصير.

ولكن هناك أيضًا زوايا تعطي أيضًا جيب التمام 0.5!

لنعد إلى صورتنا التي كتبنا منها الإجابة. ها هي:

مرر مؤشر الفأرة فوق الصورة و نحن نرىزاوية أخرى ذلك كما يعطي جيب التمام 0.5.ما رأيك يساوي؟ المثلثان متماثلان... نعم! وهي تساوي الزاوية X ، تأخر فقط في الاتجاه السلبي. هذه هي الزاوية -X. لكننا قمنا بالفعل بحساب x. π /3 أو 60 درجة. لذلك يمكننا أن نكتب بأمان:

س 2 = - ط /3

حسنًا، بالطبع، نضيف جميع الزوايا التي تم الحصول عليها من خلال الثورات الكاملة:

س 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

هذا كل شيء الآن.) في الدائرة المثلثية نحن رأى(من يفهم طبعا)) الجميعالزوايا التي تعطي جيب التمام 0.5. وكتبنا هذه الزوايا في صورة رياضية قصيرة. نتج عن الإجابة سلسلتين لا نهائيتين من الجذور:

س 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

س 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

هذا هو الجواب الصحيح.

يأمل، المبدأ العام لحل المعادلات المثلثيةباستخدام دائرة واضحة. نحدد جيب التمام (الجيب، الظل، ظل التمام) من المعادلة المحددة على دائرة، ونرسم الزوايا المقابلة لها ونكتب الإجابة.وبطبيعة الحال، نحن بحاجة إلى معرفة ما هي الزوايا التي نحن فيها رأىعلى الدائرة. في بعض الأحيان لا يكون الأمر واضحًا جدًا. حسنًا، لقد قلت أن المنطق مطلوب هنا.)

على سبيل المثال، دعونا ننظر إلى معادلة مثلثية أخرى:

يرجى الأخذ في الاعتبار أن الرقم 0.5 ليس الرقم الوحيد الممكن في المعادلات!) إن كتابته أكثر ملاءمة بالنسبة لي من الجذور والكسور.

نحن نعمل وفقا للمبدأ العام. نرسم دائرة ونضع علامة (على محور الجيب بالطبع!) 0.5. نرسم جميع الزوايا المقابلة لهذا الجيب مرة واحدة. نحصل على هذه الصورة:

دعونا نتعامل مع الزاوية أولا X في الربع الأول. نتذكر جدول الجيب ونحدد قيمة هذه الزاوية. إنها مسألة بسيطة:

س = ط /6

نتذكر المنعطفات الكاملة ونكتب بضمير مرتاح السلسلة الأولى من الإجابات:

س 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

تم إنجاز نصف المهمة. لكن الآن علينا أن نحدد الزاوية الثانية...إنها أصعب من استخدام جيب التمام، نعم... لكن المنطق سينقذنا! كيفية تحديد الزاوية الثانية من خلال العاشر؟ نعم سهل! المثلثات الموجودة في الصورة هي نفسها والزاوية الحمراء X يساوي الزاوية X . يتم حسابه فقط من الزاوية π في الاتجاه السلبي. ولهذا السبب هو أحمر.) وللإجابة نحتاج إلى زاوية، تقاس بشكل صحيح، من نصف المحور الموجب OX، أي. من زاوية 0 درجة.

نحرك المؤشر فوق الرسم ونرى كل شيء. أزلت الزاوية الأولى حتى لا أعقد الصورة. الزاوية التي نهتم بها (المرسومة باللون الأخضر) ستكون مساوية لـ:

π - س

× نحن نعرف هذا π /6 . وبالتالي تكون الزاوية الثانية:

π - π /6 = 5π /6

مرة أخرى نتذكر إضافة الثورات الكاملة ونكتب السلسلة الثانية من الإجابات:

× 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

هذا كل شئ. تتكون الإجابة الكاملة من سلسلتين من الجذور:

س 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

× 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

يمكن حل معادلات الظل وظل التمام بسهولة باستخدام نفس المبدأ العام لحل المعادلات المثلثية. إذا كنت، بالطبع، تعرف كيفية رسم الظل وظل التمام على دائرة مثلثية.

في الأمثلة أعلاه، استخدمت القيمة الجدولية للجيب وجيب التمام: 0.5. أولئك. أحد تلك المعاني التي يعرفها الطالب يجب.الآن دعونا توسيع قدراتنا ل جميع القيم الأخرى.قرر، فقرر!)

لنفترض أننا بحاجة إلى حل هذه المعادلة المثلثية:

لا توجد قيمة جيب التمام هذه في الجداول القصيرة. نحن نتجاهل ببرود هذه الحقيقة الرهيبة. ارسم دائرة، ضع علامة 2/3 على محور جيب التمام وارسم الزوايا المقابلة. نحصل على هذه الصورة.

دعونا ننظر أولاً إلى الزاوية الموجودة في الربع الأول. إذا كنا نعرف فقط ما يساوي x، فسوف نكتب الإجابة على الفور! لا ندري... فشل!؟ هادئ! الرياضيات لا تترك شعبها في ورطة! لقد توصلت إلى جيب التمام القوسي لهذه الحالة. لا أعلم؟ بلا فائدة. اكتشف، الأمر أسهل بكثير مما تعتقد. لا توجد تعويذة صعبة واحدة حول "الدوال المثلثية العكسية" على هذا الرابط... هذا غير ضروري في هذا الموضوع.

إذا كنت تعرف، فقط قل لنفسك: "X هي الزاوية التي جيب تمامها يساوي 2/3". وعلى الفور، من خلال تعريف قوس جيب التمام، يمكننا أن نكتب:

نتذكر الثورات الإضافية ونكتب بهدوء السلسلة الأولى من جذور معادلتنا المثلثية:

x 1 = قوس 2/3 + 2π n, n ∈ Z

تتم كتابة السلسلة الثانية من جذور الزاوية الثانية تلقائيًا تقريبًا. كل شيء هو نفسه، فقط X (arccos 2/3) سيكون مع ناقص:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

وهذا كل شيء! هذا هو الجواب الصحيح. حتى أسهل من قيم الجدول. ليست هناك حاجة لتذكر أي شيء.) بالمناسبة، سيلاحظ الأكثر انتباهًا أن هذه الصورة توضح الحل من خلال قوس جيب التمام في جوهرها لا يختلف عن الصورة بالنسبة للمعادلة cosx = 0.5.

بالضبط! المبدأ العام هو ذلك فقط! لقد قمت عمدا برسم صورتين متطابقتين تقريبا. الدائرة توضح لنا الزاوية X بواسطة جيب التمام. ما إذا كان جيب التمام جدولي أم لا غير معروف للجميع. ما هو نوع هذه الزاوية، π /3، أو ما هو قوس جيب التمام - الأمر متروك لنا لنقرره.

نفس الأغنية مع جيب. على سبيل المثال:

ارسم دائرة مرة أخرى، ضع علامة على جيب الجيب يساوي 1/3، وارسم الزوايا. وهذه هي الصورة التي نحصل عليها:

ومرة أخرى، الصورة هي نفسها تقريبًا بالنسبة للمعادلة سينكس = 0.5.مرة أخرى نبدأ من الزاوية في الربع الأول. ما هو X يساوي إذا كان جيبها هو 1/3؟ لا مشكلة!

الآن الحزمة الأولى من الجذور جاهزة:

x 1 = أركسين 1/3 + 2π n, n ∈ Z

دعونا نتعامل مع الزاوية الثانية. في المثال الذي تبلغ قيمته الجدولية 0.5، كانت تساوي:

π - س

وسوف يكون بالضبط نفس الشيء هنا أيضا! فقط x مختلف، arcsin 1/3. وماذا في ذلك!؟ يمكنك تدوين الحزمة الثانية من الجذور بأمان:

س 2 = π - أركسين 1/3 + 2π n, n ∈ Z

هذه إجابة صحيحة تماما. على الرغم من أنها لا تبدو مألوفة للغاية. ولكن الأمر واضح، كما آمل.)

هذه هي الطريقة التي يتم بها حل المعادلات المثلثية باستخدام الدائرة. وهذا الطريق واضح ومفهوم. هو الذي يحفظ في المعادلات المثلثية مع اختيار الجذور في فترة معينة، في عدم المساواة المثلثية - يتم حلها بشكل عام دائمًا تقريبًا في دائرة. باختصار، في أي مهام أصعب قليلاً من المهام القياسية.

دعونا نطبق المعرفة في الممارسة العملية؟)

حل المعادلات المثلثية:

أولاً، أبسط، مباشرة من هذا الدرس.

الآن أصبح الأمر أكثر تعقيدًا.

تلميح: هنا عليك أن تفكر في الدائرة. شخصيا.)

والآن هم بسيطون ظاهريًا... ويطلق عليهم أيضًا حالات خاصة.

com.sinx = 0

com.sinx = 1

com.cosx = 0

com.cosx = -1

تلميح: هنا تحتاج إلى معرفة مكان وجود سلسلتين من الإجابات في الدائرة ومكان وجود سلسلة واحدة... وكيفية كتابة سلسلة واحدة بدلاً من سلسلتين من الإجابات. نعم، حتى لا يضيع جذر واحد من عدد لا نهائي!)

حسنًا ، بسيط جدًا):

com.sinx = 0,3

com.cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

تلميح: هنا عليك أن تعرف ما هو أركسين وأركوسين؟ ما هو الظل القوسي، الظل القوسي؟ أبسط التعاريف. لكنك لا تحتاج إلى تذكر أي قيم في الجدول!)

الإجابات بالطبع فوضى):

× 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
× 2= π - أركسين0.3 + 2

ليس كل شيء يعمل؟ يحدث. إقرأ الدرس مرة أخرى. فقط مدروس(هناك مثل هذه الكلمة القديمة...) واتبع الروابط. الروابط الرئيسية تدور حول الدائرة. وبدونها، يصبح علم المثلثات مثل عبور الطريق معصوب العينين. في بعض الأحيان يعمل.)

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.