أكثر موثوقية من الطريقة الرسومية التي تمت مناقشتها في الفقرة السابقة.

طريقة الاستبدال

استخدمنا هذه الطريقة في الصف السابع لحل الأنظمة المعادلات الخطية. الخوارزمية التي تم تطويرها في الصف السابع مناسبة تمامًا لحل أنظمة أي معادلتين (ليست بالضرورة خطية) بمتغيرين x وy (بالطبع، يمكن تحديد المتغيرات بأحرف أخرى، وهذا لا يهم). في الواقع، استخدمنا هذه الخوارزمية في الفقرة السابقة عندما حلت مشكلة رقم مزدوجأدى إلى نموذج رياضيوهو نظام المعادلات. لقد قمنا بحل نظام المعادلات أعلاه باستخدام طريقة الاستبدال (انظر المثال 1 من الفقرة 4).

خوارزمية لاستخدام طريقة الاستبدال عند حل نظام من معادلتين بمتغيرين x، y.

1. عبر عن y بدلالة x من إحدى معادلة النظام.
2. استبدل التعبير الناتج بدلاً من y في معادلة أخرى للنظام.
3. حل المعادلة الناتجة لـ x.
4. عوض بدوره بكل من جذور المعادلة الموجودة في الخطوة الثالثة بدلاً من x في التعبير y إلى x الذي تم الحصول عليه في الخطوة الأولى.
5. اكتب الإجابة على شكل أزواج من القيم (x; y) التي وجدت في الخطوتين الثالثة والرابعة على التوالي.

4) عوض واحدًا تلو الآخر عن كل قيمة من قيم y الموجودة في الصيغة x = 5 - 3. اذا ثم
5) الأزواج (2؛ 1) وحلول نظام معين من المعادلات.

الجواب: (2؛ 1)؛

طريقة الجمع الجبرية

هذه الطريقة، مثل طريقة الاستبدال، مألوفة لك من دورة الجبر للصف السابع، حيث تم استخدامها لحل أنظمة المعادلات الخطية. دعونا نتذكر جوهر الطريقة باستخدام المثال التالي.

مثال 2.حل نظام المعادلات

دعونا نضرب جميع حدود المعادلة الأولى للنظام في 3، ونترك المعادلة الثانية دون تغيير:
اطرح المعادلة الثانية للنظام من معادلته الأولى:

ونتيجة الجمع الجبري لمعادلتين من النظام الأصلي تم الحصول على معادلة أبسط من المعادلتين الأولى والثانية من النظام المعطى. وبهذه المعادلة الأبسط يحق لنا استبدال أي معادلة لنظام معين، على سبيل المثال المعادلة الثانية. ثم سيتم استبدال نظام المعادلات المحدد بنظام أبسط:

يمكن حل هذا النظام باستخدام طريقة الاستبدال. ومن المعادلة الثانية نجد أن استبدال هذا التعبير بدلاً من y في المعادلة الأولى للنظام نحصل عليه

يبقى استبدال قيم x الموجودة في الصيغة

إذا كان س = 2

وهكذا وجدنا حلين للنظام:

طريقة إدخال المتغيرات الجديدة

لقد تعرفت على طريقة إدخال متغير جديد عند حل المعادلات العقلانية بمتغير واحد في مقرر الجبر للصف الثامن. جوهر هذه الطريقة لحل أنظمة المعادلات هو نفسه، ولكن من الناحية الفنية هناك بعض الميزات التي سنناقشها في الأمثلة التالية.

مثال 3.حل نظام المعادلات

دعونا نقدم متغيرا جديدا، ثم يمكن إعادة كتابة المعادلة الأولى للنظام إلى أكثر في شكل بسيط: دعونا نحل هذه المعادلة للمتغير t:

كل من هاتين القيمتين تحققان الشرط وبالتالي هما جذور معادلة عقلانية ذات متغير t. ولكن هذا يعني إما حيث نجد أن x = 2y، أو
وهكذا، وباستخدام طريقة إدخال متغير جديد، تمكنا من "تقسيم" المعادلة الأولى للنظام، والتي كانت معقدة للغاية في المظهر، إلى معادلتين أبسط:

س = 2 ص؛ ص - 2x.

ماذا بعد؟ وبعد ذلك تلقى كل واحد من الاثنين معادلات بسيطةيجب النظر فيها واحدًا تلو الآخر في نظام يحتوي على المعادلة x 2 - y 2 = 3، والتي لم نتذكرها بعد. بمعنى آخر، تكمن المشكلة في حل نظامين من المعادلات:

نحن بحاجة إلى إيجاد حلول للنظام الأول، النظام الثاني وإدراج جميع أزواج القيم الناتجة في الإجابة. دعونا نحل النظام الأول من المعادلات:

دعونا نستخدم طريقة الاستبدال، خاصة وأن كل شيء جاهز لها هنا: دعنا نعوض بالتعبير 2y بدلاً من x في المعادلة الثانية للنظام. نحن نحصل

بما أن x = 2y، نجد، على التوالي، x 1 = 2، x 2 = 2. وبذلك يتم الحصول على حلين للنظام المعطى: (2؛ 1) و (-2؛ -1). دعونا نحل النظام الثاني من المعادلات:

لنستخدم طريقة الاستبدال مرة أخرى: استبدل التعبير 2x بدلاً من y في المعادلة الثانية للنظام. نحن نحصل

هذه المعادلة ليس لها جذور، مما يعني أن نظام المعادلات ليس له حلول. وبالتالي، يجب تضمين حلول النظام الأول فقط في الإجابة.

الجواب: (2؛ 1)؛ (-2؛-1).

يتم استخدام طريقة إدخال متغيرات جديدة عند حل أنظمة معادلتين بمتغيرين في نسختين. الخيار الأول: يتم إدخال متغير جديد واستخدامه في معادلة واحدة فقط من النظام. وهذا بالضبط ما حدث في المثال 3. الخيار الثاني: تم إدخال متغيرين جديدين واستخدامهما في وقت واحد في معادلتي النظام. سيكون هذا هو الحال في المثال 4.

مثال 4.حل نظام المعادلات

دعونا نقدم متغيرين جديدين:

فلنأخذ ذلك بعين الاعتبار إذن

هذا سيسمح لك بإعادة الكتابة هذا النظامفي شكل أبسط بكثير، ولكن متغيرات جديدة نسبيًا a وb:

بما أن a = 1، فمن المعادلة a + 6 = 2 نجد: 1 + 6 = 2؛ 6=1. وبالتالي، بالنسبة للمتغيرين a وb، لدينا حل واحد:

وبالعودة إلى المتغيرين x وy، نحصل على نظام المعادلات

دعونا نطبق الطريقة لحل هذا النظام إضافة جبرية:

ومنذ ذلك الحين من المعادلة 2x + y = 3 نجد:
وبالتالي، بالنسبة للمتغيرين x وy، لدينا حل واحد:

دعونا نختتم هذه الفقرة بمحادثة نظرية قصيرة ولكنها جادة إلى حد ما. لقد اكتسبت بالفعل بعض الخبرة في حلها معادلات مختلفة: خطي، مربع، عقلاني، غير عقلاني. أنت تعلم أن الفكرة الرئيسية لحل المعادلة هي الانتقال تدريجياً من معادلة إلى أخرى أبسط ولكنها تعادل المعادلة المعطاة. قدمنا ​​في الفقرة السابقة مفهوم التكافؤ للمعادلات ذات المتغيرين. يستخدم هذا المفهوم أيضًا لأنظمة المعادلات.

تعريف.

يسمى نظامان من المعادلات ذات المتغيرين x و y متكافئين إذا كان لهما نفس الحلول أو إذا لم يكن لدى كلا النظامين حلول.

جميع الطرق الثلاث (الاستبدال والجمع الجبري وإدخال متغيرات جديدة) التي ناقشناها في هذا القسم صحيحة تمامًا من وجهة نظر التكافؤ. بمعنى آخر، باستخدام هذه الطرق، نستبدل نظامًا من المعادلات بنظام آخر أبسط ولكنه مكافئ للنظام الأصلي.

طريقة رسومية لحل أنظمة المعادلات

لقد تعلمنا بالفعل كيفية حل أنظمة المعادلات بطرق شائعة وموثوقة مثل طريقة الاستبدال والإضافة الجبرية وإدخال متغيرات جديدة. الآن دعونا نتذكر الطريقة التي درستها بالفعل في الدرس السابق. وهذا يعني أننا نكرر ما تعرفه عنه طريقة رسوميةحلول.

طريقة حل أنظمة المعادلات بيانياً هي بناء رسم بياني لكل من المعادلات المحددة المضمنة في نظام معين والموجودة في نظام واحد خطة تنسيقوأيضًا عندما يكون من الضروري العثور على تقاطعات نقاط هذه الرسوم البيانية. لحل نظام المعادلات هذا هي إحداثيات هذه النقطة (x; y).

يجب أن نتذكر ذلك ل نظام الرسوماتتميل المعادلات إلى أن تحتوي على واحدة واحدة القرار الصائب، أو مجموعة لا نهائيةأو ليس لديهم حلول على الإطلاق.

الآن دعونا نلقي نظرة على كل من هذه الحلول بمزيد من التفصيل. وهكذا، يمكن أن يكون لنظام المعادلات القرار الوحيدفي حالة تقاطع الخطوط المستقيمة، وهي الرسوم البيانية لمعادلات النظام. إذا كانت هذه الخطوط متوازية، فهذا يعني أن نظام المعادلات هذا ليس له حلول على الإطلاق. إذا تزامنت الرسوم البيانية المباشرة لمعادلات النظام، فإن هذا النظام يسمح بالعثور على العديد من الحلول.

حسنًا، دعونا الآن نلقي نظرة على خوارزمية حل نظام من معادلتين بمجهولين باستخدام طريقة رسومية:

أولاً، نقوم أولاً ببناء رسم بياني للمعادلة الأولى؛
ستكون الخطوة الثانية هي إنشاء رسم بياني يتعلق بالمعادلة الثانية؛
ثالثًا، علينا إيجاد نقاط تقاطع الرسوم البيانية.
ونتيجة لذلك، نحصل على إحداثيات كل نقطة تقاطع، والتي ستكون الحل لنظام المعادلات.

دعونا نلقي نظرة على هذه الطريقة بمزيد من التفصيل باستخدام مثال. لدينا نظام من المعادلات التي تحتاج إلى حل:

حل المعادلات

1. أولاً، سنقوم ببناء جدول زمني معادلة معينة: س2+ص2=9.

لكن تجدر الإشارة إلى أن هذا التمثيل البياني للمعادلات سيكون عبارة عن دائرة مركزها نقطة الأصل، ونصف قطرها يساوي ثلاثة.

2. ستكون خطوتنا التالية هي رسم معادلة مثل: y = x – 3.

في هذه الحالة، يجب علينا إنشاء خط مستقيم وإيجاد النقطتين (0;−3) و(3;0).

3. دعونا نرى ما حصلنا عليه. نلاحظ أن الخط المستقيم يقطع الدائرة عند نقطتين منها A وB.

الآن نحن نبحث عن إحداثيات هذه النقاط. نرى أن الإحداثيات (3;0) تتوافق مع النقطة A، والإحداثيات (0;−3) تتوافق مع النقطة B.

وماذا نحصل نتيجة لذلك؟

الأرقام (3;0) و (0;−3) التي تم الحصول عليها عندما يتقاطع الخط مع الدائرة هي بالضبط الحلول لكلا معادلتي النظام. ويترتب على ذلك أن هذه الأعداد هي أيضًا حلول لنظام المعادلات هذا.

أي أن إجابة هذا الحل هي الأرقام: (3;0) و (0;−3).

نظام المعادلات الخطية ذات المجهولين هو معادلتان خطيتان أو أكثر من الضروري إيجادهما جميعًا حلول عامة. سننظر في أنظمة معادلتين خطيتين في مجهولين. يتم عرض النظرة العامة لنظام من معادلتين خطيتين مع مجهولين في الشكل أدناه:

( أ1*س + ب1*ص = ج1،
(أ2*س + ب2*ص = ج2

هنا x وy متغيرات غير معروفة، a1، a2، b1، b2، c1، c2 هي بعض الأرقام الحقيقية. حل نظام من معادلتين خطيتين في مجهولين هو زوج من الأرقام (x,y) بحيث إذا عوضنا بهذه الأرقام في معادلات النظام فإن كل معادلة من معادلات النظام تتحول إلى مساواة حقيقية. هناك عدة طرق لحل نظام المعادلات الخطية. دعونا نفكر في إحدى طرق حل نظام المعادلات الخطية، وهي طريقة الجمع.

خوارزمية للحل بطريقة الجمع

خوارزمية لحل نظام من المعادلات الخطية ذات مجهولين باستخدام طريقة الجمع.

1. إذا لزم الأمر، من خلال التحولات المكافئةمعادلة معاملات أحد المتغيرات المجهولة في المعادلتين.

2. من خلال جمع أو طرح المعادلات الناتجة، احصل على معادلة خطية ذات مجهول واحد

3. حل المعادلة الناتجة بمجهول واحد وابحث عن أحد المتغيرات.

4. عوض بالتعبير الناتج في أي من معادلتي النظام وحل هذه المعادلة وبذلك تحصل على المتغير الثاني.

5. التحقق من الحل.

مثال على الحل باستخدام طريقة الجمع

لمزيد من الوضوح، دعونا نحل نظام المعادلات الخطية التالي ذو المجهولين باستخدام طريقة الجمع:

(3*س + 2*ص = 10؛
(5*س + 3*ص = 12؛

وبما أن أيا من المتغيرات ليس لها معاملات متطابقة، فإننا نقوم بمساواة معاملات المتغير y. للقيام بذلك، اضرب المعادلة الأولى في ثلاثة، والمعادلة الثانية في اثنين.

(3*س+2*ص=10 |*3
(5*س + 3*ص = 12 |*2

نحن نحصل نظام المعادلات التالي:

(9*س+6*ص = 30;
(10*س+6*ص=24;

والآن نطرح الأولى من المعادلة الثانية. نقدم مصطلحات مماثلةوحل المعادلة الخطية الناتجة.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; س=-6;

نعوض بالقيمة الناتجة في المعادلة الأولى من نظامنا الأصلي ونحل المعادلة الناتجة.

(3*(-6) + 2*ص =10;
(2*ص=28; ص=14;

والنتيجة هي زوج من الأرقام x=6 و y=14. نحن نتحقق. دعونا نجعل الاستبدال.

(3*س + 2*ص = 10؛
(5*س + 3*ص = 12؛

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

كما ترون، حصلنا على معادلتين صحيحتين، وبالتالي وجدنا الحل الصحيح.

المواد الواردة في هذه المقالة مخصصة للتعرف الأول على أنظمة المعادلات. سنقدم هنا تعريف نظام المعادلات وحلولها، وننظر أيضًا في أنواع أنظمة المعادلات الأكثر شيوعًا. وكالعادة سنعطي أمثلة توضيحية.

التنقل في الصفحة.

ما هو نظام المعادلات؟

سوف نتناول تعريف نظام المعادلات بشكل تدريجي. أولاً، دعنا نقول فقط أنه من الملائم إعطاؤه، مع الإشارة إلى نقطتين: أولاً، نوع التسجيل، وثانيًا، المعنى المضمن في هذا التسجيل. دعونا ننظر إليها بدورها، ومن ثم تعميم المنطق في تعريف أنظمة المعادلات.

يجب أن يكون هناك العديد منهم أمامنا. على سبيل المثال، لنأخذ المعادلتين 2 x+y=−3 وx=5. لنكتبها واحدة تحت الأخرى ونجمعها على اليسار بقوس مجعد:

السجلات من هذا النوع، وهي عبارة عن عدة معادلات مرتبة في عمود ومتحدة على اليسار بقوس متعرج، هي سجلات لأنظمة المعادلات.

ماذا تعني هذه الإدخالات؟ وهي تحدد مجموعة كل هذه الحلول لمعادلات النظام التي تمثل حلاً لكل معادلة.

ولن يضر وصفها بكلمات أخرى. لنفترض أن بعض حلول المعادلة الأولى هي حلول لجميع معادلات النظام الأخرى. لذا فإن سجل النظام يعنيهم فقط.

نحن الآن على استعداد لقبول تعريف نظام المعادلات بشكل مناسب.

تعريف.

أنظمة المعادلاتسجلات الاستدعاء وهي معادلات تقع واحدة أسفل الأخرى، متحدة على اليسار بواسطة قوس متعرج، والتي تشير إلى مجموعة جميع حلول المعادلات التي تعد أيضًا حلولًا لكل معادلة في النظام.

ويرد تعريف مماثل في الكتاب المدرسي، لكنه لم يرد هناك الحالة العامة، ولاثنين المعادلات العقلانيةمع متغيرين.

أنواع رئيسية

ومن الواضح أن هناك عدد لا حصر له من المعادلات المختلفة. وبطبيعة الحال، هناك أيضًا عدد لا حصر له من أنظمة المعادلات التي تم تجميعها باستخدامها. لذلك، لسهولة الدراسة والعمل مع أنظمة المعادلات، فمن المنطقي تقسيمها إلى مجموعات وفقًا لخصائص متشابهة، ثم الانتقال إلى النظر في أنظمة المعادلات ذات الأنواع الفردية.

يقترح القسم الأول نفسه بعدد المعادلات المدرجة في النظام. إذا كانت هناك معادلتان، فيمكننا القول أن لدينا نظامًا من معادلتين، وإذا كان هناك ثلاث معادلات، فلدينا نظام من ثلاث معادلات، وما إلى ذلك. من الواضح أنه لا معنى للحديث عن نظام من معادلة واحدة، لأنه في هذه الحالة، في جوهرها، نحن نتعامل مع المعادلة نفسها، وليس مع النظام.

يعتمد القسم التالي على عدد المتغيرات المشاركة في كتابة معادلات النظام. إذا كان هناك متغير واحد، فإننا نتعامل مع نظام معادلات بمتغير واحد (يقولون أيضًا بمجهول واحد)، وإذا كان هناك اثنان، فإننا نتعامل مع نظام معادلات بمتغيرين (مع مجهولين)، إلخ. على سبيل المثال، هو نظام من المعادلات بمتغيرين x و y.

يشير هذا إلى عدد جميع المتغيرات المختلفة المشاركة في التسجيل. ولا يلزم إدراجها جميعًا في سجل كل معادلة مرة واحدة؛ فوجودها في معادلة واحدة على الأقل يكفي. على سبيل المثال، هو نظام من المعادلات بثلاثة متغيرات x وy وz. في المعادلة الأولى المتغير x موجود بشكل صريح، و y و z ضمنيين (يمكن أن نفترض أن هذه المتغيرات لها صفر)، وفي المعادلة الثانية يوجد x و z، لكن المتغير y لم يتم تقديمه بشكل صريح. وبعبارة أخرى، يمكن النظر إلى المعادلة الأولى على أنها ، والثاني – مثل x+0·y−3·z=0.

النقطة الثالثة التي تختلف فيها أنظمة المعادلات هي نوع المعادلات نفسها.

في المدرسة، تبدأ دراسة أنظمة المعادلات ب أنظمة معادلتين خطيتين في متغيرين. أي أن هذه الأنظمة تشكل معادلتين خطيتين. هنا بضعة أمثلة: و . يتعلمون أساسيات العمل مع أنظمة المعادلات.

عندما تقرر المزيد المهام المعقدةيمكنك أيضًا مواجهة أنظمة من ثلاث معادلات خطية مع ثلاثة مجاهيل.

علاوة على ذلك، في الصف التاسع، تتم إضافة المعادلات غير الخطية إلى أنظمة معادلتين بمتغيرين، معظمها معادلات كاملة من الدرجة الثانية، أقل في كثير من الأحيان - أكثر درجات عالية. تسمى هذه الأنظمة أنظمة المعادلات غير الخطية، وإذا لزم الأمر، يتم تحديد عدد المعادلات والمجهول. دعونا نعرض أمثلة على أنظمة المعادلات غير الخطية: و .

ثم هناك أيضًا في الأنظمة، على سبيل المثال، . وعادة ما يطلق عليها ببساطة أنظمة المعادلات، دون تحديد المعادلات. ومن الجدير بالذكر هنا أنه في أغلب الأحيان يُشار إلى نظام المعادلات ببساطة باسم "نظام المعادلات"، ولا تتم إضافة التوضيحات إلا إذا لزم الأمر.

في المدرسة الثانوية، كما يتم دراسة المواد، غير عقلانية، مثلثية، لوغاريتمية و المعادلات الأسية : , , .

إذا نظرنا إلى أبعد من ذلك في مناهج السنة الأولى بالجامعة، فإن التركيز الرئيسي ينصب على دراسة وحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية (SLAEs)، أي المعادلات التي يحتوي الجانب الأيسر فيها على كثيرات الحدود من الدرجة الأولى، والجانب الأيمن يحتوي على أرقام معينة. ولكن هناك، على عكس المدرسة، لم يعودوا يأخذون معادلتين خطيتين بمتغيرين، بل عددًا اعتباطيًا من المعادلات ذات المتغيرين أي رقمالمتغيرات، وفي كثير من الأحيان لا تتطابق مع عدد المعادلات.

ما هو حل نظام المعادلات؟

يشير مصطلح "حل نظام المعادلات" مباشرة إلى أنظمة المعادلات. يتم في المدرسة تعريف حل نظام المعادلات بمتغيرين :

تعريف.

حل نظام المعادلات بمتغيرينويسمى زوج من قيم هذه المتغيرات الذي يحول كل معادلة من معادلة النظام إلى المعادلة الصحيحة، بمعنى آخر، هو حل لكل معادلة من معادلة النظام.

على سبيل المثال، زوج من القيم المتغيرة x=5، y=2 (يمكن كتابته بالشكل (5، 2)) هو حل لنظام المعادلات حسب التعريف، حيث أن معادلات النظام عندما x= 5، y=2 يتم استبدالها بها، تصبح صحيحة المساواة العددية 5+2=7 و5−2=3 على التوالي. لكن زوج القيم x=3, y=0 ليس حلاً لهذا النظام، إذ عند استبدال هذه القيم في المعادلات، ستتحول أولها إلى المساواة غير الصحيحة 3+0=7.

ويمكن صياغة تعريفات مماثلة للأنظمة ذات متغير واحد، وكذلك للأنظمة ذات ثلاثة أو أربعة متغيرات، وما إلى ذلك. المتغيرات.

تعريف.

حل نظام المعادلات بمتغير واحدستكون هناك قيمة للمتغير الذي هو أصل جميع معادلات النظام، أي تحويل جميع المعادلات إلى معادلات عددية صحيحة.

دعونا نعطي مثالا. النظر في نظام المعادلات مع متغير واحد t من النموذج . الرقم −2 هو حلها، لأن كلا من (−2) 2 =4 و 5·(−2+2)=0 عبارة عن مساواة عددية حقيقية. وt=1 ليس حلاً للنظام، حيث أن استبدال هذه القيمة سيعطي معادلتين غير صحيحتين 1 2 =4 و5·(1+2)=0.

تعريف.

حل نظام بثلاثة، أربعة، الخ. المتغيراتيسمى ثلاثة، أربعة، الخ. قيم المتغيرات، على التوالي، تتحول إلى المساواة الحقيقيةجميع معادلات النظام.

لذا، بحكم التعريف، ثلاثية قيم المتغيرات x=1، y=2، z=0 هي حل للنظام ، بما أن 2·1=2، 5·2=10 و1+2+0=3 هي مساواة عددية حقيقية. و(1، 0، 5) ليس حلاً لهذا النظام، إذ عند استبدال قيم المتغيرات هذه في معادلات النظام، تتحول الثانية منها إلى المساواة غير الصحيحة 5·0=10، والثالثة وأيضا 1+0+5=3.

لاحظ أن أنظمة المعادلات قد لا يكون لها حلول، بل قد يكون لها الرقم النهائيالحلول، على سبيل المثال، واحد، اثنان، ...، ولكن يمكن أن تحتوي على عدد لا نهائي من الحلول. سترى هذا عندما تتعمق في الموضوع.

وبالأخذ في الاعتبار تعريفات نظام المعادلات وحلولها، يمكننا أن نستنتج أن حل نظام المعادلات هو تقاطع مجموعات الحلول لجميع معادلاته.

وفي الختام، إليك بعض التعريفات ذات الصلة:

تعريف.

غير مشترك، إذا لم يكن لها حلول، في خلاف ذلكيسمى النظام مشترك.

تعريف.

يسمى نظام المعادلات غير مؤكد، إذا كان لديه عدد لا نهائي من الحلول، و تأكيد، إذا كان لديه عدد محدود من الحلول أو لا يملكها على الإطلاق.

يتم تقديم هذه المصطلحات، على سبيل المثال، في الكتاب المدرسي، لكنها نادرا ما تستخدم في المدرسة، وغالبا ما يتم سماعها في مؤسسات التعليم العالي.

فهرس.

1. الجبر:كتاب مدرسي للصف السابع تعليم عام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ حررت بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة 17. - م: التربية، 2008. - 240 ص. : سوف. -ردمك 978-5-09-019315-3.
2. الجبر:الصف التاسع: تعليمي. للتعليم العام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ حررت بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة السادسة عشرة. - م: التربية، 2009. - 271 ص. : سوف. -ردمك 978-5-09-021134-5.
3. موردكوفيتش أ.ج.الجبر. الصف السابع. الساعة 2 بعد الظهر الجزء الأول الكتاب المدرسي للطلاب المؤسسات التعليمية/ أ.ج.موردكوفيتش. - الطبعة 17، إضافة. - م: منيموسين، 2013. - 175 ص: مريض. ردمك 978-5-346-02432-3.
4. موردكوفيتش أ.ج.الجبر. الصف التاسع. في ساعتين الجزء 1. كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام / A. G. Mordkovich، P. V. Semenov. - الطبعة 13، محذوفة. - م: منيموسين، 2011. - 222 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01752-3.
5. موردكوفيتش أ.ج.الجبر والبدايات التحليل الرياضي. الصف 11. الساعة الثانية ظهرا الجزء الأول الكتاب المدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام ( مستوى الملف الشخصي) / A. G. Mordkovich، P. V. Semenov. - الطبعة الثانية، محذوفة. - م: منيموسين، 2008. - 287 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01027-2.
6. الجبروبداية التحليل: بروك. للصفوف 10-11. تعليم عام المؤسسات / A. N. Kolmogorov، A. M. Abramov، Yu. P. Dudnitsyn وآخرون؛ إد. أ.ن.كولموجوروف - الطبعة الرابعة عشرة - م: التعليم، 2004. - 384 صفحة: مريض - ISBN 5-09-013651-3.
7. ايه جي كوروش. دورة الجبر العالي.
8. إيلين في.أ.، بوزنياك إي.جي. الهندسة التحليلية: الكتاب المدرسي: للجامعات. – الطبعة الخامسة. - م: العلم. فيزماتليت، 1999. – 224 ص. - (حسنًا الرياضيات العلياوحصيرة. الفيزياء). – ISBN 5-02-015234 – X (العدد 3)

تعليمات

طريقة الإضافة.
تحتاج إلى كتابة اثنين بدقة أسفل بعضهما البعض:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
في المعادلة المختارة بشكل تعسفي (من النظام)، أدخل الرقم 11 بدلاً من "اللعبة" الموجودة بالفعل واحسب المجهول الثاني:

س=61+5*11، س=61+55، س=116.
الإجابة على نظام المعادلات هذا هي x=116, y=11.

الطريقة الرسومية.
وهو يتألف من العثور عمليا على إحداثيات النقطة التي تتم عندها كتابة الخطوط رياضيا في نظام المعادلات. يجب رسم الرسوم البيانية لكلا الخطين بشكل منفصل في نفس نظام الإحداثيات. منظر عام: – y=khx+b. لبناء خط مستقيم، يكفي العثور على إحداثيات نقطتين، ويتم اختيار x بشكل تعسفي.
دع النظام يعطى: 2x – y=4

ص=-3س+1.
يتم إنشاء خط مستقيم باستخدام الخط الأول، ولتسهيل كتابته: y=2x-4. توصل إلى قيم (أسهل) لـ x، واستبدالها في المعادلة، وحلها، وإيجاد y. نحصل على نقطتين يتم على طولهما إنشاء خط مستقيم. (انظر الصورة)
× 0 1

ص -4 -2
يتم إنشاء الخط المستقيم باستخدام المعادلة الثانية: y=-3x+1.
قم أيضًا ببناء خط مستقيم. (انظر الصورة)

ص 1 -5
ابحث عن إحداثيات نقطة تقاطع خطين مبنيين على الرسم البياني (إذا كانت الخطوط لا تتقاطع، فإن نظام المعادلات لا يحتوي على ذلك).

فيديو حول الموضوع

نصائح مفيدة

إذا تم حل نفس نظام المعادلات بالثلاثة طرق مختلفةستكون الإجابة هي نفسها (إذا كان الحل صحيحًا).

مصادر:

• جبر الصف الثامن
• حل معادلة ذات مجهولين على الانترنت
• أمثلة على حل أنظمة المعادلات الخطية ذات اثنين

نظام المعادلاتعبارة عن مجموعة من السجلات الرياضية، يحتوي كل منها على عدد من المتغيرات. هناك عدة طرق لحلها.

سوف تحتاج

• - المسطرة والقلم الرصاص.
• -آلة حاسبة.

تعليمات

لنفكر في تسلسل حل النظام الذي يتكون من معادلات خطية لها الشكل: a1x + b1y = c1 وa2x + b2y = c2. حيث x وy متغيران غير معروفين، وb,c مصطلحان حران. عند تطبيق هذه الطريقة، يمثل كل نظام إحداثيات النقاط المقابلة لكل معادلة. للبدء، في كل حالة، عبر عن متغير واحد بدلالة متغير آخر. ثم قم بتعيين المتغير x على أي عدد من القيم. اثنان يكفي. عوّض في المعادلة وابحث عن y. قم ببناء نظام إحداثي، وحدد النقاط الناتجة عليه وارسم خطًا من خلالها. ويجب إجراء حسابات مماثلة لأجزاء أخرى من النظام.

النظام لديه حل فريد إذا تقاطعت الخطوط المشيدة وواحدة نقطة مشتركة. إنه غير متوافق إذا كان موازيًا لبعضه البعض. ولها عدد لا نهائي من الحلول عندما تندمج الخطوط مع بعضها البعض.

هذه الطريقةتعتبر مرئية للغاية. العيب الرئيسي هو أن المجهولات المحسوبة لها قيم تقريبية. يتم توفير نتائج أكثر دقة من خلال ما يسمى بالطرق الجبرية.

أي حل لنظام المعادلات يستحق التدقيق. للقيام بذلك، استبدل القيم الناتجة بدلا من المتغيرات. يمكنك أيضًا العثور على حل لها باستخدام عدة طرق. إذا كان حل النظام صحيحا، فيجب أن يكون الجميع نفس الشيء.

غالبًا ما تكون هناك معادلات يكون أحد المصطلحات فيها غير معروف. لحل المعادلة، عليك أن تتذكر وتفعل ذلك بالأرقام المعطاة مجموعة محددةأجراءات.

سوف تحتاج

• - ورق؛
• - قلم أو قلم رصاص.

تعليمات

تخيل أن أمامك 8 أرانب، ولديك 5 جزرات فقط. فكر في الأمر، لا تزال بحاجة إلى شراء المزيد من الجزر حتى يحصل كل أرنب على واحدة.

لنعرض هذه المشكلة على شكل معادلة: 5 + x = 8. لنعوض بالرقم 3 بدلاً من x، في الواقع 5 + 3 = 8.

عندما استبدلت رقمًا بـ x، فإنك فعلت نفس الشيء عندما طرحت 5 من 8. لذا، للعثور على مجهولالحد، اطرح الحد المعروف من المجموع.

لنفترض أن لديك 20 أرنبًا و5 جزرات فقط. دعونا نجعل الأمر. المعادلة هي مساواة تنطبق فقط على قيم معينة من الحروف المتضمنة فيها. الحروف التي يجب إيجاد معانيها تسمى . اكتب معادلة بمجهول واحد، سمها x. عند حل مسألة الأرنب نحصل على المعادلة التالية: 5 + x = 20.

دعونا نوجد الفرق بين 20 و 5. عند الطرح، فإن الرقم الذي يطرح منه هو الذي يتم تخفيضه. الرقم الذي يتم طرحه يسمى و النتيجة النهائيةيسمى الفرق. لذا، س = 20 - 5؛ س = 15. أنت بحاجة لشراء 15 جزرة للأرانب.

تحقق: 5 + 15 = 20. تم حل المعادلة بشكل صحيح. بالطبع متى نحن نتحدث عنحول مثل هذه الأشياء البسيطة، ليس من الضروري إجراء فحص. ومع ذلك، عندما يكون لديك معادلات مكونة من ثلاثة أرقام وأربعة أرقام وما إلى ذلك، فأنت بالتأكيد بحاجة إلى التحقق للتأكد تمامًا من نتيجة عملك.

فيديو حول الموضوع

نصائح مفيدة

للعثور على الحد الأدنى المجهول، تحتاج إلى إضافة المطروح إلى الفرق.

لايجاد مطروح غير معروف، تحتاج إلى طرح الفرق من القائمة.

نصيحة 4: كيفية حل نظام ثلاث معادلاتمع ثلاثة مجهولين

قد لا يكون لنظام من ثلاث معادلات ذات ثلاثة مجاهيل حلول، على الرغم من وجود عدد كاف من المعادلات. يمكنك محاولة حلها باستخدام طريقة الاستبدال أو باستخدام طريقة كرامر. تتيح لك طريقة كريمر، بالإضافة إلى حل النظام، تقييم ما إذا كان النظام قابلاً للحل قبل العثور على قيم المجهولة.

تعليمات

تتكون طريقة الاستبدال من مجهول واحد بالتتابع من خلال اثنين آخرين واستبدال النتيجة الناتجة في معادلات النظام. دعونا نعطي نظامًا من ثلاث معادلات منظر عام:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

عبر عن x من المعادلة الأولى: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - وعوض في المعادلتين الثانية والثالثة، ثم عبر y من المعادلة الثانية وعوض في الثالثة. سوف تحصل التعبير الخطيلـ z من خلال معاملات معادلات النظام. انتقل الآن إلى "الخلف": استبدل z في المعادلة الثانية وابحث عن y، ثم استبدل z وy في المعادلة الأولى وحل من أجل x. تظهر العملية بشكل عام في الشكل قبل العثور على z. مزيد من الكتابة بشكل عام سيكون مرهقًا للغاية؛ من الناحية العملية، من خلال استبدال ، يمكنك بسهولة العثور على المجهولات الثلاثة.

تتكون طريقة كريمر من بناء مصفوفة نظام وحساب محدد هذه المصفوفة، بالإضافة إلى ثلاث مصفوفات مساعدة أخرى. تتكون مصفوفة النظام من معاملات الحدود المجهولة للمعادلات. عمود يحتوي على الأرقام الموجودة على الجانب الأيمن من المعادلات، وهو عمود يحتوي على الأرقام الموجودة على الجانب الأيمن من المعادلات. لا يتم استخدامه في النظام، ولكن يتم استخدامه عند حل النظام.

فيديو حول الموضوع

ملحوظة

يجب أن توفر كافة المعادلات في النظام معلومات إضافية مستقلة عن المعادلات الأخرى. خلاف ذلك، سيتم تحديد النظام بشكل ناقص ولن يكون من الممكن إيجاد حل لا لبس فيه.

نصائح مفيدة

بعد حل نظام المعادلات، قم بتعويض القيم الموجودة في النظام الأصلي والتأكد من استيفائها لجميع المعادلات.

بنفسها المعادلةمع ثلاثة مجهوللها العديد من الحلول، لذلك غالبًا ما يتم استكمالها بمعادلتين أو شرطين آخرين. اعتمادًا على البيانات الأولية، سيعتمد مسار القرار إلى حد كبير.

سوف تحتاج

• - نظام من ثلاث معادلات مع ثلاثة مجهولين.

تعليمات

إذا كان اثنان من الأنظمة الثلاثة يحتويان على اثنين فقط من المجهولات الثلاثة، فحاول التعبير عن بعض المتغيرات بدلالة المتغيرات الأخرى واستبدالها في المعادلةمع ثلاثة مجهول. هدفك في هذه الحالة هو تحويله إلى الوضع الطبيعي المعادلةمع شخص مجهول. إذا كان الأمر كذلك، فإن الحل الإضافي بسيط للغاية - استبدل القيمة التي تم العثور عليها في معادلات أخرى وابحث عن جميع المجهولات الأخرى.

يمكن طرح بعض أنظمة المعادلات من معادلة إلى أخرى. معرفة ما إذا كان من الممكن ضرب أحد المتغيرين أو متغيرين بحيث يتم إلغاء مجهولين في وقت واحد. إذا كانت هناك فرصة كهذه، فاستغلها، وعلى الأرجح لن يكون الحل اللاحق صعبا. لا تنس أنه عند الضرب في رقم، يجب أن تضرب كـ الجهه اليسرى، والصحيح. وبالمثل، عند طرح المعادلات، يجب أن تتذكر أنه يجب أيضًا طرح الطرف الأيمن.

إذا لم تساعد الطرق السابقة، استخدم بشكل عامحلول أي معادلات مع ثلاثة مجهول. للقيام بذلك، أعد كتابة المعادلات في الصورة a11x1+a12x2+a13x3=b1، a21x1+a22x2+a23x3=b2، a31x1+a32x2+a33x3=b3. الآن قم بإنشاء مصفوفة معاملات x (A)، ومصفوفة المجهولين (X) ومصفوفة المعاملات الحرة (B). يرجى ملاحظة أنه بضرب مصفوفة المعاملات في مصفوفة المجهولات، ستحصل على مصفوفة من الحدود الحرة، أي A*X=B.

أوجد المصفوفة A للأس (-1) من خلال إيجاد أولًا، لاحظ أنه لا ينبغي أن يكون كذلك يساوي الصفر. بعد ذلك، اضرب المصفوفة الناتجة بالمصفوفة B، ونتيجة لذلك ستحصل على المصفوفة المطلوبة X، مع الإشارة إلى جميع القيم.

يمكنك أيضًا إيجاد حل لنظام من ثلاث معادلات باستخدام طريقة كرامر. للقيام بذلك، ابحث عن المحدد الثالث ∆ المطابق لمصفوفة النظام. ثم ابحث على التوالي عن ثلاثة محددات أخرى ∆1 و ∆2 و ∆3، مع استبدال قيم المصطلحات الحرة بدلاً من قيم الأعمدة المقابلة. الآن أوجد x: x1=∆1/∆، x2=∆2/∆، x3=∆3/∆.

مصادر:

• حلول المعادلات مع ثلاثة مجهولين

عند البدء في حل نظام من المعادلات، اكتشف نوع المعادلات. تمت دراسة طرق حل المعادلات الخطية جيدًا. المعادلات غير الخطيةفي أغلب الأحيان لا يجرؤون. هناك حالات خاصة واحدة فقط، كل منها فردية عمليا. ولذلك فإن دراسة تقنيات الحل يجب أن تبدأ بالمعادلات الخطية. ويمكن حل مثل هذه المعادلات بطريقة خوارزمية بحتة.

قواسم المجهولة التي تم العثور عليها هي نفسها تمامًا. نعم، وتظهر البسطات بعض الأنماط في بنائها. فإذا كان بُعد نظام المعادلات أكبر من اثنين، فإن طريقة الحذف ستؤدي إلى حسابات مرهقة للغاية. لتجنبها، تم تصميمها بحتة الأساليب الخوارزميةحلول. أبسطها هي خوارزمية كرامر (صيغ كرامر). لأنه يجب عليك معرفة ذلك النظام العامالمعادلات من المعادلات ن.

النظام ن الخطي المعادلات الجبريةمع n مجهول له النموذج (انظر الشكل 1 أ). فيه معاملات النظام
xj - مجهولة، ثنائية - مصطلحات حرة (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). يمكن كتابة مثل هذا النظام بشكل مضغوط في شكل مصفوفة AX=B. هنا A هي مصفوفة معاملات النظام، X هي مصفوفة الأعمدة للمجاهول، B هي مصفوفة الأعمدة للمصطلحات الحرة (انظر الشكل 1 ب). وفقا لطريقة كريمر، كل مجهول xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). يُطلق على المحدد ∆ لمصفوفة المعاملات اسم المحدد الرئيسي، و∆i هو المحدد المساعد. لكل مجهول المؤهل المساعدتم العثور عليه عن طريق استبدال العمود i للمحدد الرئيسي بعمود المصطلحات الحرة. يتم عرض طريقة Cramer لحالة أنظمة الدرجة الثانية والثالثة بالتفصيل في الشكل 1. 2.

النظام عبارة عن مزيج من معادلتين أو أكثر، تحتوي كل واحدة منها على مجهولين أو أكثر. هناك طريقتان رئيسيتان لحل أنظمة المعادلات الخطية المستخدمة داخلها المنهج المدرسي. واحد منهم يسمى الطريقة، والآخر - طريقة الجمع.

النموذج القياسي لنظام من معادلتين

في النموذج القياسيالمعادلة الأولى لها الشكل a1*x+b1*y=c1، والمعادلة الثانية لها الشكل a2*x+b2*y=c2 وهكذا. على سبيل المثال، في حالة وجود جزأين من النظام، كلاهما معطى a1، a2، b1، b2، c1، c2 هي بعض المعاملات العددية الممثلة في معادلات محددة. وبدورهما، يمثل x وy المجهولين الذين يجب تحديد قيمهم. القيم المطلوبة تحول كلا المعادلتين في وقت واحد إلى مساواة حقيقية.

حل النظام باستخدام طريقة الجمع

من أجل حل النظام، أي العثور على قيم x و y التي ستحولها إلى مساواة حقيقية، عليك اتخاذ عدة خطوات بسيطة. أولهما هو تحويل أي من المعادلتين بحيث تكون المعاملات العددية للمتغير x أو y في كلتا المعادلتين هي نفسها في الحجم، ولكنها مختلفة في الإشارة.

على سبيل المثال، لنفترض أن هناك نظامًا يتكون من معادلتين. الأول له الصيغة 2x+4y=8، والثاني له الصيغة 6x+2y=6. أحد الخيارات لإكمال المهمة هو ضرب المعادلة الثانية بمعامل -2، مما سيقودها إلى الصيغة -12x-4y=-12. الاختيار الصحيح للمعامل هو واحد من المهام الرئيسيةفي عملية حل النظام عن طريق الجمع، لأنه يحدد الكل مزيد من التحركإجراءات البحث عن المجهول.

الآن من الضروري إضافة معادلتي النظام. من الواضح أن التدمير المتبادل للمتغيرات ذات المعاملات المتساوية في القيمة ولكن المعاكسة في الإشارة سيؤدي إلى الشكل -10x=-4. بعد ذلك لا بد من حل هذه المعادلة البسيطة، والتي يترتب عليها بوضوح أن x = 0.4.

الخطوة الأخيرة في عملية الحل هي استبدال القيمة الموجودة لأحد المتغيرات في أي من المعادلات الأصلية المتوفرة في النظام. على سبيل المثال، باستبدال x=0.4 في المعادلة الأولى، يمكنك الحصول على التعبير 2*0.4+4y=8، والذي منه y=1.8. وبالتالي، x=0.4 و y=1.8 هما جذور نظام المثال.

للتأكد من العثور على الجذور بشكل صحيح، من المفيد التحقق عن طريق استبدال القيم التي تم العثور عليها في المعادلة الثانية للنظام. على سبيل المثال، في في هذه الحالةنحصل على مساواة بالشكل 0.4*6+1.8*2=6، وهذا صحيح.

فيديو حول الموضوع

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما تقوم بتقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوانك بريد إلكترونيإلخ.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تم جمعها من قبلنا معلومات شخصيةيسمح لنا بالاتصال بك وإبلاغك بذلك عروض فريدة من نوعهاوالترقيات وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية لأغراض داخلية مثل التدقيق وتحليل البيانات و دراسات مختلفةمن أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر، وفقا للقانون، الإجراء القضائي، الخامس محاكمةو/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات الواردة من وكالات الحكومةعلى أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الخلف المعني.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.