أنواع المعادلات اللوغاريتمية وطرق حلها. المعادلات اللوغاريتمية

بهذا الفيديو أبدأ سلسلة طويلة من الدروس حول المعادلات اللوغاريتمية. الآن أمامك ثلاثة أمثلة، على أساسها سنتعلم حل أكبر قدر ممكن مهام بسيطة، والتي تسمى بذلك - الكائنات الاوليه.

سجل 0.5 (3س - 1) = −3

سجل (س + 3) = 3 + 2 سجل 5

دعني أذكرك أن أبسط معادلة لوغاريتمية هي كما يلي:

سجل و (س) = ب

في هذه الحالة، من المهم أن يكون المتغير x موجودًا فقط داخل الوسيطة، أي في الدالة f (x) فقط. والرقمان a وb هما مجرد أرقام، وليسا بأي حال من الأحوال دوال تحتوي على المتغير x.

طرق الحل الأساسية

هناك طرق عديدة لحل مثل هذه الهياكل. على سبيل المثال، يقدم معظم المعلمين في المدرسة هذه الطريقة: التعبير فورًا عن الدالة f (x) باستخدام الصيغة F ( س) = أ ب . وهذا هو، عندما تصادف أبسط البناء، يمكنك الانتقال على الفور إلى الحل دون إجراءات وإنشاءات إضافية.

نعم بالطبع القرار سيكون صحيحا. ومع ذلك، فإن المشكلة في هذه الصيغة هي أن معظم الطلاب لا تفهمومن أين يأتي ولماذا نرفع حرف أ إلى حرف ب.

ونتيجة لذلك، كثيرا ما أرى أخطاء مزعجة للغاية عندما يتم، على سبيل المثال، تبديل هذه الحروف. يجب أن تكون هذه الصيغة مفهومة أو مكتظة، والطريقة الثانية تؤدي إلى أخطاء في أكثر اللحظات غير المناسبة والأكثر أهمية: أثناء الامتحانات والاختبارات وما إلى ذلك.

ولهذا السبب أقترح على جميع طلابي التخلي عن الصيغة المدرسية القياسية واستخدام الطريقة الثانية لحل المعادلات اللوغاريتمية، والتي، كما خمنت على الأرجح من الاسم، تسمى الشكل الكنسي.

فكرة الشكل القانوني بسيطة. دعونا نلقي نظرة على مشكلتنا مرة أخرى: على اليسار لدينا سجل a، ونعني بالحرف a رقمًا، وليس بأي حال من الأحوال دالة تحتوي على المتغير x. وبالتالي فإن هذه الرسالة تخضع لجميع القيود التي تفرض على أساس اللوغاريتم. يسمى:

1 ≠ أ > 0

ومن ناحية أخرى، من نفس المعادلة نرى أن اللوغاريتم يجب أن يكون كذلك يساوي العددب، ولا توجد قيود على هذا الحرف، لأنه يمكن أن يأخذ أي قيم - إيجابية وسلبية. كل هذا يتوقف على القيم التي تأخذها الدالة f(x).

وهنا نتذكر قاعدتنا الرائعة التي تنص على أن أي رقم b يمكن تمثيله لوغاريتم للأساس a لـ a أس b:

ب = سجل أ ب

كيف تتذكر هذه الصيغة؟ نعم، بسيط جدا. لنكتب البناء التالي:

ب = ب 1 = ب سجل أ

بالطبع، في هذه الحالة تنشأ جميع القيود التي كتبناها في البداية. الآن دعونا نستخدم الخاصية الأساسية للوغاريتم ونقدم المضاعف b كقوة a. نحن نحصل:

ب = ب 1 = ب سجل أ = سجل أ أ ب

ونتيجة لذلك، سيتم إعادة كتابة المعادلة الأصلية على النحو التالي:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب → و (س) = أ ب

هذا كل شئ. ميزة جديدةلم تعد تحتوي على لوغاريتم ويمكن حلها باستخدام التقنيات الجبرية القياسية.

بالطبع، سوف يعترض شخص ما الآن: لماذا كان من الضروري التوصل إلى نوع من الصيغة الأساسية على الإطلاق، لماذا قم بإجراء خطوتين إضافيتين غير ضروريتين إذا كان من الممكن الانتقال على الفور من التصميم الأصلي إلى الصيغة النهائية؟ نعم، فقط لأن معظم الطلاب لا يفهمون من أين تأتي هذه الصيغة، ونتيجة لذلك، يرتكبون أخطاء بانتظام عند تطبيقها.

لكن هذا التسلسل من الإجراءات، الذي يتكون من ثلاث خطوات، يسمح لك بحل المعادلة اللوغاريتمية الأصلية، حتى لو كنت لا تفهم من أين تأتي الصيغة النهائية. بالمناسبة، الصيغة الكنسيةهذا الإدخال يسمى:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

تكمن ملاءمة الشكل القانوني أيضًا في حقيقة أنه يمكن استخدامه لحل فئة واسعة جدًا من المعادلات اللوغاريتمية، وليس فقط أبسط المعادلات التي نفكر فيها اليوم.

أمثلة على الحلول

الآن دعونا نلقي نظرة أمثلة حقيقية. لذلك، دعونا نقرر:

سجل 0.5 (3س - 1) = −3

دعنا نعيد كتابتها هكذا:

سجل 0.5 (3س − 1) = سجل 0.5 0.5 −3

العديد من الطلاب في عجلة من أمرهم ويحاولون رفع الرقم 0.5 على الفور إلى القوة التي أتت إلينا من المشكلة الأصلية. في الواقع، عندما تكون مدربًا جيدًا على حل مثل هذه المشكلات، يمكنك تنفيذ هذه الخطوة على الفور.

ومع ذلك، إذا كنت قد بدأت للتو في دراسة هذا الموضوع، فمن الأفضل عدم التسرع في أي مكان لتجنب ارتكاب الأخطاء الهجومية. إذن، لدينا الشكل القانوني. لدينا:

3س − 1 = 0.5 −3

لم تعد هذه معادلة لوغاريتمية، بل خطية بالنسبة للمتغير x. لحلها، دعونا نلقي نظرة أولًا على الرقم 0.5 أس −3. لاحظ أن 0.5 هو 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

الجميع الكسور العشريةقم بالتحويل إلى المعادلات العادية عند حل معادلة لوغاريتمية.

نعيد الكتابة ونحصل على:

3س - 1 = 8
3س = 9
س = 3

هذا كل شيء، حصلنا على الجواب. تم حل المشكلة الأولى.

المهمة الثانية

لننتقل إلى المهمة الثانية:

وكما نرى فإن هذه المعادلة لم تعد هي الأبسط. فقط لأنه يوجد فرق على اليسار، وليس لوغاريتمًا واحدًا لقاعدة واحدة.

لذلك، نحن بحاجة إلى التخلص بطريقة أو بأخرى من هذا الاختلاف. في في هذه الحالةكل شيء بسيط جدا. دعونا نلقي نظرة فاحصة على القواعد: على اليسار يوجد الرقم الموجود تحت الجذر:

توصية عامة: في جميع المعادلات اللوغاريتمية، حاول التخلص من الجذور، أي من المدخلات ذات الجذور والانتقال إلى وظائف الطاقة، وذلك ببساطة لأن أسس هذه القوى يتم إخراجها بسهولة من علامة اللوغاريتم، وفي النهاية، يؤدي هذا التدوين إلى تبسيط العمليات الحسابية وتسريعها بشكل كبير. دعنا نكتبها هكذا:

الآن دعونا نتذكر الخاصية الرائعة للوغاريتم: يمكن اشتقاق القوى من الوسيطة، وكذلك من القاعدة. وفي حالة الأسباب يحدث ما يلي:

سجل أ ك ب = 1/ك سجل ب

بمعنى آخر، يتم تقديم الرقم الذي كان في القوة الأساسية للأمام وفي نفس الوقت مقلوبًا، أي يصبح رقم متبادل. في حالتنا، كانت الدرجة الأساسية 1/2. لذلك يمكننا إخراجها على أنها 2/1. نحن نحصل:

5 2 سجل 5 x − سجل 5 x = 18
10 سجل 5 س - سجل 5 س = 18

يرجى ملاحظة: لا ينبغي بأي حال من الأحوال التخلص من اللوغاريتمات في هذه الخطوة. تذكر رياضيات الصف الرابع إلى الخامس وترتيب العمليات: يتم إجراء الضرب أولاً، وبعد ذلك فقط الجمع والطرح. في هذه الحالة نطرح أحد العناصر نفسها من 10 عناصر:

9 سجل 5 × = 18
سجل 5 × = 2

الآن تبدو المعادلة كما ينبغي. هذا هو البناء الأبسط، ونحله باستخدام الصيغة الأساسية:

سجل 5 س = سجل 5 5 2
س = 5 2
س = 25

هذا كل شئ. تم حل المشكلة الثانية.

المثال الثالث

لننتقل إلى المهمة الثالثة:

سجل (س + 3) = 3 + 2 سجل 5

دعني أذكرك بالصيغة التالية:

سجل ب = سجل 10 ب

إذا كنت مرتبكًا لسبب ما من سجل التدوين ب، فعند إجراء جميع الحسابات، يمكنك ببساطة كتابة السجل 10 ب. يمكنك العمل مع اللوغاريتمات العشرية بنفس الطريقة كما هو الحال مع الآخرين: خذ الصلاحيات، وأضف وتمثل أي أرقام في النموذج lg 10.

هذه هي الخصائص التي سنستخدمها الآن لحل المشكلة، لأنها ليست أبسط ما كتبناه في بداية درسنا.

أولاً، لاحظ أنه يمكن إضافة العامل 2 أمام lg 5 ويصبح قوة للأساس 5. بالإضافة إلى ذلك، يمكن أيضًا تمثيل الحد الحر 3 على هيئة لوغاريتم - وهذا من السهل جدًا ملاحظته من خلال تدويننا.

احكم بنفسك: يمكن تمثيل أي رقم على أنه سجل للأساس 10:

3 = سجل 10 10 3 = سجل 10 3

لنعد كتابة المشكلة الأصلية مع مراعاة التغييرات التي تم الحصول عليها:

سجل (س - 3) = سجل 1000 + سجل 25
سجل (س − 3) = سجل 1000 25
سجل (س - 3) = سجل 25000

أمامنا الشكل القانوني مرة أخرى، وحصلنا عليه دون المرور بمرحلة التحويل، أي أن أبسط معادلة لوغاريتمية لم تظهر في أي مكان.

هذا هو بالضبط ما تحدثت عنه في بداية الدرس. يتيح لك النموذج الأساسي حل فئة أكبر من المشكلات مقارنة بالمشكلة القياسية صيغة المدرسةوالتي يقدمها معظم معلمي المدارس.

حسنًا، هذا كل شيء، لقد تخلصنا من إشارة اللوغاريتم العشري، وحصلنا على بناء خطي بسيط:

س + 3 = 25000
س = 24,997

الجميع! حلت المشكلة.

ملاحظة حول النطاق

وأود هنا أن أبدي ملاحظة هامة فيما يتعلق بنطاق التعريف. بالتأكيد سيكون هناك الآن طلاب ومعلمون سيقولون: "عندما نحل تعبيرات باللوغاريتمات، يجب أن نتذكر أن الوسيطة f (x) يجب أن تكون أكبر من الصفر!" وفي هذا الصدد يطرح سؤال منطقي: لماذا لم نشترط استيفاء هذا التفاوت في أي من المشاكل المطروحة؟

لا تقلق. في هذه الحالات، لن تظهر أي جذور إضافية. وهذه خدعة رائعة أخرى تسمح لك بتسريع الحل. اعلم فقط أنه إذا كان المتغير x موجودًا في المشكلة في مكان واحد فقط (أو بالأحرى، في وسيطة واحدة لوغاريتم واحد)، ولم يظهر المتغير x في أي مكان آخر في حالتنا، فاكتب مجال التعريف لا حاجةلأنه سيتم تنفيذه تلقائيًا.

احكم بنفسك: في المعادلة الأولى حصلنا على 3x − 1، أي أن الوسيطة يجب أن تساوي 8. وهذا يعني تلقائيًا أن 3x − 1 سيكون أكبر من الصفر.

وبنفس النجاح يمكننا أن نكتب أنه في الحالة الثانية يجب أن تكون x مساوية لـ 5 2، أي أنها بالتأكيد أكبر من الصفر. وفي الحالة الثالثة، حيث x + 3 = 25000، أي مرة أخرى، من الواضح أنها أكبر من الصفر. بمعنى آخر، يتم استيفاء النطاق تلقائيًا، ولكن فقط في حالة ظهور x فقط في وسيطة لوغاريتم واحد فقط.

هذا كل ما تحتاج إلى معرفته لحل أبسط المشاكل. ستسمح لك هذه القاعدة وحدها، إلى جانب قواعد التحويل، بحل فئة واسعة جدًا من المشكلات.

ولكن دعونا نكون صادقين: لفهم هذه التقنية أخيرًا، وتعلم كيفية تطبيق الشكل القانوني للمعادلة اللوغاريتمية، لا يكفي مجرد مشاهدة درس فيديو واحد. لذا قم بتنزيل الخيارات الآن لـ قرار مستقل، المرفقة بدرس الفيديو هذا وابدأ في حل واحد على الأقل من هذين العملين المستقلين.

سوف يأخذك حرفيا بضع دقائق. لكن تأثير هذا التدريب سيكون أعلى بكثير مما لو شاهدت درس الفيديو هذا ببساطة.

آمل أن يساعدك هذا الدرس على فهم المعادلات اللوغاريتمية. استخدم النموذج الأساسي، وقم بتبسيط التعبيرات باستخدام قواعد العمل مع اللوغاريتمات - ولن تخاف من أي مشاكل. هذا كل ما لدي لهذا اليوم.

مع مراعاة مجال التعريف

الآن دعونا نتحدث عن مجال تعريف الدالة اللوغاريتمية، وكيف يؤثر ذلك على حل المعادلات اللوغاريتمية. النظر في بناء النموذج

سجل و(س) = ب

يسمى هذا التعبير الأبسط - فهو يحتوي على دالة واحدة فقط، والأرقام a و b مجرد أرقام، وليست بأي حال من الأحوال دالة تعتمد على المتغير x. يمكن حلها بكل بساطة. تحتاج فقط إلى استخدام الصيغة:

ب = سجل أ ب

هذه الصيغةهي إحدى الخصائص الأساسية للوغاريتم، وعند التعويض في التعبير الأصلي نحصل على ما يلي:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

و (خ) = أ ب

هذه صيغة مألوفة من الكتب المدرسية. من المحتمل أن يكون لدى العديد من الطلاب سؤال: نظرًا لأن الوظيفة f (x) موجودة في التعبير الأصلي تحت علامة السجل، فقد تم فرض القيود التالية عليها:

و(خ) > 0

ينطبق هذا القيد لأن لوغاريتم أرقام سلبيةغير موجود. لذلك، ربما، نتيجة لهذا القيد، ينبغي تقديم التحقق من الإجابات؟ ربما يحتاجون إلى إدراجها في المصدر؟

لا، في أبسط المعادلات اللوغاريتمية، لا يلزم إجراء فحص إضافي. وهذا هو السبب. ألق نظرة على الصيغة النهائية لدينا:

و (خ) = أ ب

الحقيقة هي أن الرقم a أكبر من 0 بأي حال من الأحوال - وهذا المطلب يفرضه اللوغاريتم أيضًا. الرقم أ هو الأساس في هذه الحالة، لا يتم فرض أي قيود على الرقم ب. لكن هذا لا يهم، لأنه بغض النظر عن القوة التي نرفع إليها عددًا موجبًا، سنحصل على عدد موجب عند المخرج. وبالتالي، يتم استيفاء المتطلب f (x) > 0 تلقائيًا.

ما يستحق التحقق حقًا هو مجال الوظيفة الموجود أسفل علامة السجل. قد تكون هناك هياكل معقدة للغاية، ومن المؤكد أنك تحتاج إلى مراقبتها أثناء عملية الحل. دعونا نلقي نظرة.

المهمة الأولى:

الخطوة الأولى: تحويل الكسر الموجود على اليمين. نحن نحصل:

نتخلص من علامة اللوغاريتم ونحصل على المعادلة غير المنطقية المعتادة:

من الجذور التي تم الحصول عليها، فقط الأول يناسبنا، لأن الجذر الثاني أقل من الصفر. الإجابة الوحيدة ستكون الرقم 9. خلاص تم حل المشكلة. ليست هناك حاجة إلى فحوصات إضافية للتأكد من أن التعبير تحت علامة اللوغاريتم أكبر من 0، لأنه ليس أكبر من 0 فقط، ولكن حسب شرط المعادلة يساوي 2. لذلك فإن شرط "أكبر من صفر" "يتم رضاه تلقائيًا.

لننتقل إلى المهمة الثانية:

كل شيء هو نفسه هنا. نعيد كتابة البناء ونستبدل الثلاثي:

نتخلص من علامات اللوغاريتم ونحصل على معادلة غير منطقية:

نقوم بتربيع الجانبين مع مراعاة القيود ونحصل على:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

س 2 + 8س + 16 −4 + ​​​​6س + س 2 = 0

2س 2 + 14س + 12 = 0 |:2

× 2 + 7س + 6 = 0

نحل المعادلة الناتجة من خلال المميز:

د = 49 − 24 = 25

س 1 = −1

س 2 = −6

لكن x = −6 لا يناسبنا، لأننا إذا عوضنا بهذا الرقم في متباينتنا، نحصل على:

−6 + 4 = −2 < 0

في حالتنا، يجب أن يكون أكبر من 0، أو في الحالات القصوى، يساوي. لكن x = −1 يناسبنا:

−1 + 4 = 3 > 0

الإجابة الوحيدة في حالتنا ستكون x = −1. هذا هو الحل. دعنا نعود إلى بداية حساباتنا.

الدرس الرئيسي المستفاد من هذا الدرس هو أنك لا تحتاج إلى التحقق من القيود المفروضة على دالة في المعادلات اللوغاريتمية البسيطة. لأنه أثناء عملية الحل يتم استيفاء جميع القيود تلقائيًا.

ومع ذلك، هذا لا يعني بأي حال من الأحوال أنه يمكنك نسيان التحقق تمامًا. وفي عملية العمل على معادلة لوغاريتمية قد تتحول إلى معادلة غير عقلانية، والتي سيكون لها قيودها ومتطلباتها الخاصة بالجانب الأيمن، وهو ما رأيناه اليوم في مثالين مختلفين.

لا تتردد في حل مثل هذه المشاكل وكن حذرًا بشكل خاص إذا كان هناك جذر في الحجة.

المعادلات اللوغاريتمية ذات الأساسات المختلفة

نواصل دراسة المعادلات اللوغاريتمية وننظر إلى تقنيتين أكثر إثارة للاهتمام من المألوف من خلالهما حل الإنشاءات الأكثر تعقيدًا. لكن أولاً، دعونا نتذكر كيف يتم حل أبسط المشكلات:

سجل و(س) = ب

في هذا الإدخال، a و b عبارة عن أرقام، وفي الدالة f (x) يجب أن يكون المتغير x موجودًا، وهناك فقط، أي يجب أن يكون x في الوسيطة فقط. سنقوم بتحويل هذه المعادلات اللوغاريتمية باستخدام الصورة الأساسية. للقيام بذلك، لاحظ ذلك

ب = سجل أ ب

علاوة على ذلك، فإن a b هي على وجه التحديد حجة. دعونا نعيد كتابة هذا التعبير على النحو التالي:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

هذا هو بالضبط ما نحاول تحقيقه، بحيث يكون هناك لوغاريتم يرتكز على كل من اليسار واليمين. في هذه الحالة، يمكننا، مجازيًا، شطب علامات السجل، ومن وجهة نظر رياضية يمكننا القول أننا ببساطة نساوي بين الحجج:

و (خ) = أ ب

ونتيجة لذلك، سوف نحصل على تعبير جديد سيكون حله أسهل بكثير. دعونا نطبق هذه القاعدة على مشاكلنا اليوم.

إذن التصميم الأول :

أولًا، ألاحظ أن على اليمين يوجد كسر مقامه لوغاريتم. عندما ترى تعبيرًا مثل هذا، فمن الجيد أن تتذكر خاصية رائعة للوغاريتمات:

وهذا يعني ترجمته إلى اللغة الروسية أنه يمكن تمثيل أي لوغاريتم كحاصل لوغاريتمين مع أي أساس c. بالطبع 0< с ≠ 1.

إذن: هذه الصيغة لها واحدة رائعة حالة خاصةعندما يكون المتغير c مساوياً للمتغير ب. في هذه الحالة نحصل على بناء مثل:

وهذا هو بالضبط البناء الذي نراه من العلامة الموجودة على اليمين في المعادلة. لنستبدل هذا البناء بـ log a b، نحصل على:

بمعنى آخر، بالمقارنة مع المهمة الأصلية، قمنا بتبديل الوسيطة وأساس اللوغاريتم. وبدلًا من ذلك، كان علينا عكس الكسر.

ونذكر أنه يمكن اشتقاق أي درجة من القاعدة وفقا للقاعدة التالية:

وبعبارة أخرى، يتم التعبير عن المعامل k، وهو قوة القاعدة، ككسر مقلوب. لنجعله كسرًا مقلوبًا:

لا يمكن ترك العامل الكسري في المقدمة، لأنه في هذه الحالة لن نتمكن من تمثيل هذا التدوين كشكل قانوني (بعد كل شيء، في الشكل الكنسي لا يوجد عامل إضافي قبل اللوغاريتم الثاني). لذلك، دعونا نضيف الكسر 1/4 إلى الوسيط كقوة:

الآن نحن نساوي بين الحجج التي أسسها متماثلة (وأساساتنا متماثلة بالفعل)، ونكتب:

س + 5 = 1

س = −4

هذا كل شئ. لقد حصلنا على إجابة المعادلة اللوغاريتمية الأولى. يرجى ملاحظة: في المشكلة الأصلية، يظهر المتغير x في سجل واحد فقط، ويظهر في الوسيط الخاص به. لذلك، ليست هناك حاجة للتحقق من المجال، ورقمنا x = −4 هو الجواب بالفعل.

والآن ننتقل إلى التعبير الثاني:

سجل 56 = سجل 2 سجل 2 7 − 3سجل (س + 4)

هنا، بالإضافة إلى اللوغاريتمات المعتادة، سيتعين علينا العمل مع السجل f (x). كيفية حل مثل هذه المعادلة؟ بالنسبة للطالب غير المستعد، قد يبدو أن هذه مهمة صعبة نوعًا ما، ولكن في الواقع يمكن حل كل شيء بطريقة أولية.

ألق نظرة فاحصة على المصطلح lg 2 log 2 7. ماذا يمكننا أن نقول عنه؟ أسس ووسائط log وlg هي نفسها، وهذا ينبغي أن يعطي بعض الأفكار. دعونا نتذكر مرة أخرى كيف يتم إخراج القوى من تحت علامة اللوغاريتم:

سجل أ ب ن = نسجل أ ب

بمعنى آخر، ما كان قوة b في الوسيطة يصبح عاملاً أمام السجل نفسه. دعونا نطبق هذه الصيغة على التعبير lg 2 log 2 7. لا تخف من lg 2 - هذا هو التعبير الأكثر شيوعًا. يمكنك إعادة كتابتها على النحو التالي:

جميع القواعد التي تنطبق على أي لوغاريتم آخر صالحة لذلك. على وجه الخصوص، يمكن إضافة العامل الموجود في المقدمة إلى درجة الوسيطة. دعنا نكتبها:

في كثير من الأحيان، لا يرى الطلاب هذا الإجراء مباشرة، لأنه ليس من الجيد إدخال سجل واحد تحت علامة آخر. في الواقع، لا يوجد شيء إجرامي في هذا الأمر. علاوة على ذلك، حصلنا على صيغة يسهل حسابها إذا كنت تتذكر قاعدة مهمة:

يمكن اعتبار هذه الصيغة كتعريف وكأحد خصائصها. على أية حال، إذا كنت تقوم بتحويل معادلة لوغاريتمية، فيجب أن تعرف هذه الصيغة تمامًا كما تعرف التمثيل اللوغاريتمي لأي رقم.

دعونا نعود إلى مهمتنا. نعيد كتابتها مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن الحد الأول على يمين علامة التساوي سيكون ببساطة مساويًا لـ lg 7. لدينا:

إل جي 56 = إل جي 7 - 3 إل جي (س + 4)

لنحرك lg 7 إلى اليسار، فنحصل على:

إل جي 56 - إل جي 7 = −3إل جي (س + 4)

نطرح التعبيرات الموجودة على اليسار لأنها لها نفس الأساس:

إل جي (56/7) = −3إل جي (س + 4)

الآن دعونا نلقي نظرة فاحصة على المعادلة التي حصلنا عليها. إنه الشكل القانوني عمليا، ولكن هناك عامل −3 على اليمين. دعنا نضيفها إلى وسيطة lg الصحيحة:

سجل 8 = سجل (س + 4) −3

أمامنا الشكل القانوني للمعادلة اللوغاريتمية، لذلك نقوم بشطب علامات lg ومساواة الوسيطات:

(س + 4) −3 = 8

س + 4 = 0.5

هذا كل شئ! لقد حللنا المعادلة اللوغاريتمية الثانية. في هذه الحالة، لا يلزم إجراء فحوصات إضافية، لأنه في المشكلة الأصلية كانت x موجودة في وسيطة واحدة فقط.

اسمحوا لي أن أذكر النقاط الرئيسية في هذا الدرس مرة أخرى.

الصيغة الرئيسية التي يتم تدريسها في جميع الدروس في هذه الصفحة المخصصة لحل المعادلات اللوغاريتمية هي الصيغة الأساسية. ولا تخف من حقيقة أنه في معظم الكتب المدرسية يتم تعليمك كيفية حلها مهام مماثلةبشكل مختلف. تعمل هذه الأداة بشكل فعال للغاية وتتيح لك حل فئة أكبر بكثير من المشكلات مقارنة بأبسط المشكلات التي درسناها في بداية درسنا.

بالإضافة إلى ذلك، لحل المعادلات اللوغاريتمية سيكون من المفيد معرفة الخصائص الأساسية. يسمى:

1. صيغة الانتقال إلى قاعدة واحدة والحالة الخاصة عندما نقوم بعكس السجل (كان هذا مفيدًا جدًا لنا في المشكلة الأولى)؛
2. صيغة لإضافة وطرح القوى من علامة اللوغاريتم. وهنا، يتعثر العديد من الطلاب ولا يرون أن الدرجة التي تم أخذها وتقديمها يمكن أن تحتوي في حد ذاتها على السجل f (x). لا حرج في ذلك. يمكننا إدخال سجل واحد حسب إشارة الآخر وفي نفس الوقت تبسيط حل المشكلة بشكل كبير، وهو ما نلاحظه في الحالة الثانية.

في الختام، أود أن أضيف أنه ليس من الضروري التحقق من مجال التعريف في كل حالة من هذه الحالات، لأنه في كل مكان يكون المتغير x موجودًا في علامة سجل واحدة فقط، وفي نفس الوقت موجود في حجته. ونتيجة لذلك، يتم استيفاء جميع متطلبات النطاق تلقائيًا.

مشاكل مع قاعدة متغيرة

سننظر اليوم إلى المعادلات اللوغاريتمية، والتي تبدو للعديد من الطلاب غير قياسية، إن لم تكن غير قابلة للحل تمامًا. إنه على وشكحول التعبيرات التي لا تعتمد على الأرقام، بل على المتغيرات وحتى الوظائف. سوف نقوم بحل مثل هذه الإنشاءات باستخدام تقنيتنا القياسية، أي من خلال الشكل القانوني.

بادئ ذي بدء، دعونا نتذكر كيف يتم حل أبسط المشاكل، على أساس أرقام منتظمة. لذلك، يسمى أبسط البناء

سجل و(س) = ب

لحل مثل هذه المشاكل يمكننا استخدام الصيغة التالية:

ب = سجل أ ب

نعيد كتابة التعبير الأصلي ونحصل على:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

ثم نساوي بين الحجج، أي نكتب:

و (خ) = أ ب

وهكذا نتخلص من علامة السجل ونحل المشكلة المعتادة. في هذه الحالة، الجذور التي تم الحصول عليها من الحل ستكون جذور المعادلة اللوغاريتمية الأصلية. بالإضافة إلى ذلك، فإن السجل الذي يكون فيه كل من اليسار واليمين في نفس اللوغاريتم مع نفس الأساس يسمى على وجه التحديد بالشكل القانوني. إنه لمثل هذا السجل أننا سنحاول تقليل تصاميم اليوم. إذا هيا بنا.

المهمة الأولى:

السجل x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

استبدل 1 ب السجل x − 2 (x − 2) 1 . الدرجة التي نلاحظها في الوسيطة هي في الواقع الرقم b الذي يقع على يمين علامة المساواة. وبالتالي، دعونا نعيد كتابة تعبيرنا. نحن نحصل:

سجل x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = سجل x − 2 (x − 2)

ماذا نرى؟ أمامنا الشكل القانوني للمعادلة اللوغاريتمية، حتى نتمكن من مساواة الحجج بأمان. نحن نحصل:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

لكن الحل لا ينتهي عند هذا الحد، لأن هذه المعادلة لا تعادل المعادلة الأصلية. بعد كل شيء، يتكون البناء الناتج من وظائف محددة على خط الأعداد بأكمله، ولم يتم تعريف اللوغاريتمات الأصلية في كل مكان وليس دائمًا.

ولذلك، يجب علينا أن نكتب مجال التعريف بشكل منفصل. دعونا لا نقسم الشعر ونكتب أولاً جميع المتطلبات:

أولاً، يجب أن تكون وسيطة كل من اللوغاريتمات أكبر من 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

س − 2 > 0

ثانيًا، يجب ألا يكون الأساس أكبر من 0 فحسب، بل يجب أيضًا أن يكون مختلفًا عن 1:

س − 2 ≠ 1

ونتيجة لذلك نحصل على النظام:

ولكن لا تنزعج: عند معالجة المعادلات اللوغاريتمية، يمكن تبسيط هذا النظام بشكل كبير.

احكم بنفسك: من ناحية، مطلوب منا أن تكون الدالة التربيعية أكبر من الصفر، ومن ناحية أخرى، هذه الدالة التربيعية تعادل معينة التعبير الخطي، والذي يشترط أيضًا أن يكون أكبر من الصفر.

في هذه الحالة، إذا طلبنا أن x − 2 > 0، فإن الشرط 2x 2 − 13x + 18 > 0 سيتم استيفاءه تلقائيًا. لذلك، يمكننا بأمان شطب المتراجحة التي تحتوي على وظيفة من الدرجة الثانية. وبالتالي، سيتم تقليل عدد التعبيرات الموجودة في نظامنا إلى ثلاثة.

بالطبع، يمكننا أيضًا الشطب عدم المساواة الخطية، أي قم بشطب x − 2 > 0 واطلب أن 2x 2 − 13x + 18 > 0. لكن يجب أن توافق على أن حل أبسط المتباينة الخطية أسرع وأسهل بكثير من حل المتباينة التربيعية، حتى لو كان ذلك نتيجة لحل المتباينة بأكملها هذا النظام سوف نحصل على نفس الجذور.

بشكل عام، حاول تحسين الحسابات كلما أمكن ذلك. وفي حالة المعادلات اللوغاريتمية، شطب المتباينات الأكثر صعوبة.

دعونا نعيد كتابة نظامنا:

هنا نظام من ثلاثة تعبيرات، اثنان منها، في الواقع، تعاملنا معهما بالفعل. دعونا نكتبها بشكل منفصل معادلة من الدرجة الثانيةودعونا حلها:

2س 2 − 14س + 20 = 0

س 2 − 7س + 10 = 0

المعطى أمامنا ثلاثية الحدود من الدرجة الثانيةوبالتالي، يمكننا استخدام صيغ فييتا. نحن نحصل:

(س − 5)(س − 2) = 0

× 1 = 5

× 2 = 2

نعود الآن إلى نظامنا ونجد أن x = 2 لا تناسبنا، لأننا مطالبون بأن تكون x أكبر من 2.

لكن x = 5 يناسبنا تمامًا: الرقم 5 أكبر من 2، وفي نفس الوقت 5 لا يساوي 3. لذلك، فإن الحل الوحيد لهذا النظام سيكون x = 5.

كل شيء، تم حل المشكلة، بما في ذلك مراعاة ODZ. دعنا ننتقل إلى المعادلة الثانية. حسابات أكثر إثارة للاهتمام وغنية بالمعلومات تنتظرنا هنا:

الخطوة الأولى: كما في آخر مرة، نأتي بهذا الأمر برمته إلى الشكل القانوني. وللقيام بذلك يمكننا كتابة الرقم 9 على النحو التالي:

ليس من الضروري أن تلمس القاعدة بالجذر، ولكن من الأفضل تحويل الوسيطة. لننتقل من الجذر إلى القوة ج مؤشر عقلاني. دعنا نكتب:

اسمحوا لي ألا أعيد كتابة معادلتنا اللوغاريتمية الكبيرة بالكامل، ولكن سأعادل الوسيطتين على الفور:

س 3 + 10س 2 + 31س + 30 = س 3 + 9س 2 + 27س + 27

× 2 + 4س + 3 = 0

أمامنا ثلاثية حدود تربيعية مختزلة حديثًا، فلنستخدم صيغ فييتا ونكتب:

(س + 3)(س + 1) = 0

س 1 = −3

س 2 = −1

إذن، حصلنا على الجذور، لكن لم يضمن لنا أحد أنها ستناسب المعادلة اللوغاريتمية الأصلية. بعد كل شيء، تفرض علامات السجل قيودًا إضافية (هنا كان يجب أن نكتب النظام، ولكن نظرًا للطبيعة المرهقة للهيكل بأكمله، قررت حساب مجال التعريف بشكل منفصل).

أولاً، تذكر أن الوسائط يجب أن تكون أكبر من 0، وهي:

هذه هي المتطلبات التي يفرضها نطاق التعريف.

نلاحظ على الفور أنه بما أننا نساوي التعبيرين الأولين للنظام مع بعضهما البعض، فيمكننا شطب أي منهما. لنحذف الأول لأنه يبدو أكثر تهديدًا من الثاني.

بالإضافة إلى ذلك، لاحظ أن حل المتباينتين الثانية والثالثة سيكون من نفس المجموعات (مكعب رقم ما أكبر من الصفر، إذا كان هذا الرقم نفسه أكبر من الصفر؛ وبالمثل، مع جذر الدرجة الثالثة - هذه المتباينات متشابهان تمامًا، حتى نتمكن من شطبهما).

لكن مع عدم المساواة الثالث، لن ينجح هذا. دعونا نتخلص من علامة الجذر الموجودة على اليسار من خلال رفع كلا الجزأين إلى مكعب. نحن نحصل:

لذلك نحصل على المتطلبات التالية:

− 2 ≠ س > −3

أي من جذورنا: x 1 = −3 أو x 2 = −1 يلبي هذه المتطلبات؟ من الواضح أن x = −1 فقط، لأن x = −3 لا تحقق المتباينة الأولى (نظرًا لأن متباينتنا صارمة). لذا، وبالعودة إلى مسألتنا، نحصل على جذر واحد: x = −1. هذا كل شيء، تم حل المشكلة.

مرة أخرى، النقاط الرئيسية لهذه المهمة:

1. لا تتردد في تطبيق وحل المعادلات اللوغاريتمية باستخدام النموذج المتعارف عليه. الطلاب الذين يكتبون بهذه الطريقة، بدلاً من الانتقال مباشرة من المشكلة الأصلية إلى بناء مثل log a f (x) = b، يسمحون بالكثير أخطاء أقلمن أولئك الذين هم في عجلة من أمرهم في مكان ما، وتخطي الخطوات الوسيطة للحسابات؛
2. بمجرد ظهور قاعدة متغيرة في اللوغاريتم، تتوقف المشكلة عن أن تكون الأبسط. لذلك، عند حلها، من الضروري أن نأخذ في الاعتبار مجال التعريف: يجب أن تكون الحجج أكبر من الصفر، ويجب ألا تكون القواعد أكبر من 0 فحسب، بل يجب أيضًا ألا تساوي 1.

يمكن تطبيق المتطلبات النهائية على الإجابات النهائية بطرق مختلفة. على سبيل المثال، يمكنك حل نظام كامل يحتوي على جميع متطلبات مجال التعريف. من ناحية أخرى، يمكنك أولا حل المشكلة نفسها، ثم تذكر مجال التعريف، والعمل بشكل منفصل في شكل نظام وتطبيقه على الجذور التي تم الحصول عليها.

إن الطريقة التي تختارها عند حل معادلة لوغاريتمية معينة أمر متروك لك. وفي كل الأحوال فإن الجواب سيكون هو نفسه.

الفيديوهات النهائية في سلسلة طويلة من الدروس حول حل المعادلات اللوغاريتمية. هذه المرة سنعمل بشكل أساسي مع ODZ للوغاريتم - على وجه التحديد بسبب الاعتبار غير الصحيح (أو حتى التجاهل) لمجال التعريف الذي تنشأ فيه معظم الأخطاء عند حل مثل هذه المشكلات.

في درس الفيديو القصير هذا، سنلقي نظرة على استخدام الصيغ لجمع وطرح اللوغاريتمات، وسنتعامل أيضًا مع المعادلات المنطقية الكسرية، والتي يواجه العديد من الطلاب أيضًا مشكلات فيها.

عن ما سنتحدث؟ الصيغة الرئيسية التي أود أن أفهمها تبدو كما يلي:

log a (f g ) = log a f + log a g

هذا هو الانتقال القياسي من المنتج إلى مجموع اللوغاريتمات والعودة. ربما تعرف هذه الصيغة منذ بداية دراسة اللوغاريتمات. ومع ذلك، هناك عقبة واحدة.

طالما أن المتغيرات a وf وg هي أرقام عادية، فلن تنشأ أي مشاكل. هذه الصيغة تعمل بشكل رائع.

ومع ذلك، بمجرد ظهور الوظائف بدلاً من f وg، تنشأ مشكلة توسيع أو تضييق مجال التعريف اعتمادًا على الاتجاه الذي سيتم التحويل فيه. احكم بنفسك: في اللوغاريتم المكتوب على اليسار، مجال التعريف هو كما يلي:

ف> 0

ولكن في المبلغ المكتوب على اليمين، فإن مجال التعريف مختلف بالفعل إلى حد ما:

و > 0

ز> 0

هذه المجموعة من المتطلبات أكثر صرامة من المجموعة الأصلية. في الحالة الأولى، سنكتفي بالخيار (و).< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 يتم تنفيذه).

لذلك، عند الانتقال من البناء الأيسر إلى اليمين، يحدث تضييق مجال التعريف. إذا كان لدينا في البداية مجموع، وأعدنا كتابته في شكل منتج، فإن مجال التعريف يتوسع.

بمعنى آخر، في الحالة الأولى قد نفقد جذورًا، وفي الحالة الثانية قد نحصل على جذور إضافية. يجب أن يؤخذ ذلك في الاعتبار عند حل المعادلات اللوغاريتمية الحقيقية.

إذن المهمة الأولى:

[تعليق على الصورة]

على اليسار نرى مجموع اللوغاريتمات باستخدام نفس الأساس. ولذلك يمكن إضافة هذه اللوغاريتمات:

[تعليق على الصورة]

كما ترون، على اليمين قمنا باستبدال الصفر باستخدام الصيغة:

أ = سجل ب ب أ

دعونا نعيد ترتيب معادلتنا أكثر قليلاً:

سجل 4 (س − 5) 2 = سجل 4 1

أمامنا الشكل القانوني للمعادلة اللوغاريتمية، يمكننا شطب علامة السجل ومساواة الوسيطات:

(س − 5) 2 = 1

|س − 5| = 1

يرجى ملاحظة: من أين أتت الوحدة؟ اسمحوا لي أن أذكرك أن جذر المربع الدقيق يساوي المعامل:

[تعليق على الصورة]

ثم نحل المعادلة الكلاسيكية بالمعامل:

|و | = ز (ز > 0) ⇒f = ±ز

س − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; × 2 = 5 + 1 = 6

فيما يلي إجابتان للمرشحين. هل هي حل للمعادلة اللوغاريتمية الأصلية؟ مستحيل!

ليس لدينا الحق في ترك كل شيء على هذا النحو وكتابة الإجابة. ألقِ نظرة على الخطوة التي نستبدل فيها مجموع اللوغاريتمات بلوغاريتم واحد لمنتج الوسائط. المشكلة هي أنه في التعبيرات الأصلية لدينا وظائف. لذلك يجب أن تطلب:

س(س − 5) > 0; (س − 5)/س > 0.

عندما قمنا بتحويل المنتج، والحصول على مربع دقيق، تغيرت المتطلبات:

(س − 5) 2 > 0

متى يتم استيفاء هذا المطلب؟ نعم، دائما تقريبا! باستثناء الحالة عندما x − 5 = 0. هذا هو سيتم تقليل عدم المساواة إلى نقطة واحدة مثقوبة:

س − 5 ≠ 0 ⇒ س ≠ 5

وكما ترون فقد اتسع نطاق التعريف، وهو ما تحدثنا عنه في بداية الدرس. ولذلك، قد يكون هناك جذور اضافية.

كيف يمكنك منع ظهور هذه الجذور الإضافية؟ الأمر بسيط للغاية: ننظر إلى الجذور التي حصلنا عليها ونقارنها بمجال تعريف المعادلة الأصلية. دعونا نحسب:

س (س − 5) > 0

سنحل باستخدام طريقة الفاصل:

س (س − 5) = 0 ⇒ س = 0; س = 5

نحتفل بالأرقام الناتجة على السطر. جميع النقاط مفقودة لأن عدم المساواة صارم. خذ أي رقم أكبر من 5 واستبدله بما يلي:

[تعليق على الصورة]

نحن مهتمون بالفترات (−∞; 0) ∪ (5; ∞). إذا وضعنا علامة على جذورنا على القطعة، فسنرى أن x = 4 لا تناسبنا، لأن هذا الجذر يقع خارج نطاق تعريف المعادلة اللوغاريتمية الأصلية.

نعود إلى المجموع ونحذف الجذر x = 4 ونكتب الإجابة: x = 6. هذه هي الإجابة النهائية للمعادلة اللوغاريتمية الأصلية. هذا كل شيء، تم حل المشكلة.

لننتقل إلى المعادلة اللوغاريتمية الثانية:

[تعليق على الصورة]

دعونا حلها. لاحظ أن الحد الأول عبارة عن كسر، والثاني هو نفس الكسر، ولكنه معكوس. لا تخف من التعبير lgx - فهو مجرد لوغاريتم عشري، يمكننا كتابته:

إل جي إكس = سجل 10 س

بما أن لدينا كسرين مقلوبين، أقترح إدخال متغير جديد:

[تعليق على الصورة]

ولذلك يمكن إعادة كتابة معادلتنا على النحو التالي:

ر + 1/ر = 2؛

ر + 1/ر − 2 = 0;

(ر 2 − 2ر + 1)/ر = 0;

(ر − 1) 2 /ر = 0.

كما ترون، بسط الكسر هو مربع صحيح. الكسر يساوي الصفر عندما يكون بسطه يساوي الصفر، والمقام يختلف عن الصفر:

(ر − 1) 2 = 0؛ ر ≠ 0

دعونا نحل المعادلة الأولى:

ر − 1 = 0;

ر = 1.

هذه القيمة تلبي الشرط الثاني. لذلك، يمكننا القول أننا قد حللنا المعادلة بالكامل، ولكن فقط بالنسبة للمتغير t. الآن دعونا نتذكر ما هو:

[تعليق على الصورة]

حصلنا على النسبة:

سجلx = 2 سجلx + 1

2 سجلx − سجلx = −1

سجلx = −1

نأتي بهذه المعادلة إلى شكلها القانوني:

سجلx = سجل 10 −1

س = 10 −1 = 0.1

ونتيجة لذلك، حصلنا على جذر واحد، وهو، من الناحية النظرية، الحل للمعادلة الأصلية. ومع ذلك، فلنواصل اللعب بأمان ونكتب مجال تعريف المعادلة الأصلية:

[تعليق على الصورة]

ولذلك، فإن جذرنا يلبي جميع المتطلبات. لقد وجدنا حلاً للمعادلة اللوغاريتمية الأصلية. الجواب: س = 0.1. حلت المشكلة.

هناك نقطة رئيسية واحدة فقط في درس اليوم: عند استخدام صيغة الانتقال من المنتج إلى المجموع والعودة، تأكد من مراعاة أن نطاق التعريف يمكن أن يضيق أو يتوسع اعتمادًا على الاتجاه الذي يتم فيه الانتقال.

كيف نفهم ما يحدث: الانكماش أم التوسع؟ بسيط جدا. إذا كانت الوظائف في وقت سابق معًا، ولكنها الآن منفصلة، ​​فقد ضاقت نطاق التعريف (لأن هناك المزيد من المتطلبات). إذا كانت الوظائف منفصلة في البداية، وهي الآن معًا، فسيتم توسيع مجال التعريف (يتم فرض متطلبات أقل على المنتج مقارنة بالعوامل الفردية).

مع الأخذ في الاعتبار هذه الملاحظة، أود أن أشير إلى أن المعادلة اللوغاريتمية الثانية لا تتطلب هذه التحولات على الإطلاق، أي أننا لا نضيف أو نضرب الحجج في أي مكان. ومع ذلك، أود هنا أن ألفت انتباهكم إلى تقنية رائعة أخرى يمكنها تبسيط الحل بشكل كبير. يتعلق الأمر باستبدال متغير.

ومع ذلك، تذكر أنه لا توجد بدائل تعفينا من نطاق التعريف. ولهذا السبب، بعد العثور على جميع الجذور، لم نكن كسالى وعدنا إلى المعادلة الأصلية للعثور على ODZ الخاص بها.

في كثير من الأحيان، عند استبدال متغير، يحدث خطأ مزعج عندما يجد الطلاب قيمة t ويعتقدون أن الحل كامل. مستحيل!

بمجرد العثور على قيمة t، عليك العودة إلى المعادلة الأصلية ومعرفة ما قصدناه بالضبط بهذه الرسالة. ونتيجة لذلك، يتعين علينا حل معادلة أخرى، ولكنها ستكون أبسط بكثير من المعادلة الأصلية.

وهذا هو بالضبط الهدف من إدخال متغير جديد. لقد قسمنا المعادلة الأصلية إلى معادلتين متوسطتين، ولكل منهما حل أبسط بكثير.

كيفية حل المعادلات اللوغاريتمية "المتداخلة".

نواصل اليوم دراسة المعادلات اللوغاريتمية وسنقوم بتحليل الإنشاءات عندما يكون أحد اللوغاريتمات تحت إشارة لوغاريتم آخر. سوف نحل المعادلتين باستخدام الصورة القانونية.

نواصل اليوم دراسة المعادلات اللوغاريتمية وسنقوم بتحليل الإنشاءات عندما يكون أحد اللوغاريتمات تحت إشارة لوغاريتم آخر. سوف نحل المعادلتين باستخدام الصورة القانونية. اسمحوا لي أن أذكرك أنه إذا كان لدينا أبسط معادلة لوغاريتمية من الشكل سجل a f (x) = b، لحل هذه المعادلة نقوم بتنفيذها الخطوات التالية. أولًا، علينا استبدال الرقم b :

ب = سجل أ ب

ملحوظة: a b هي وسيطة. وبالمثل، في المعادلة الأصلية، تكون الوسيطة هي الدالة f(x). ثم نعيد كتابة المعادلة ونحصل على هذا البناء:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

ثم يمكننا تنفيذ الخطوة الثالثة - التخلص من علامة اللوغاريتم وكتابة ببساطة:

و (خ) = أ ب

ونتيجة لذلك، نحصل على معادلة جديدة. في هذه الحالة، لا يتم فرض أي قيود على الدالة f (x). على سبيل المثال، في مكانها قد يكون هناك أيضا وظيفة لوغاريتمية. وبعد ذلك سنحصل مرة أخرى على معادلة لوغاريتمية، والتي سنختصرها مرة أخرى إلى أبسط صورة ونحلها من خلال الصورة القانونية.

ومع ذلك، ما يكفي من كلمات الأغاني. دعونا نحل المشكلة الحقيقية. إذن المهمة رقم 1:

سجل 2 (1 + 3 سجل 2 × ) = 2

كما ترون، لدينا معادلة لوغاريتمية بسيطة. دور f (x) هو بناء 1 + 3 log 2 x، ودور الرقم b هو الرقم 2 (دور a يلعبه اثنان أيضًا). دعونا نعيد كتابة هذين على النحو التالي:

من المهم أن نفهم أن أول اثنين جاءا إلينا من قاعدة اللوغاريتم، أي إذا كان هناك 5 في المعادلة الأصلية، فسنحصل على 2 = log 5 5 2. بشكل عام، الأساس يعتمد فقط على اللوغاريتم الذي تم تقديمه في الأصل في المشكلة. وفي حالتنا هذا هو الرقم 2.

لذا، نعيد كتابة المعادلة اللوغاريتمية مع الأخذ في الاعتبار أن الاثنين الموجودين على اليمين هما في الواقع لوغاريتم أيضًا. نحن نحصل:

سجل 2 (1 + 3 سجل 2 س ) = سجل 2 4

دعنا ننتقل إلى الخطوة الأخيرة من مخططنا - التخلص من الشكل القانوني. يمكنك القول أننا ببساطة نقوم بشطب علامات السجل. ومع ذلك، من وجهة نظر رياضية، من المستحيل "شطب السجل" - سيكون من الأصح أن نقول إننا ببساطة نساوي الحجج:

1 + 3 سجل 2 × = 4

من هنا يمكننا بسهولة العثور على 3 log 2 x:

3 سجل 2 × = 3

سجل 2 × = 1

لقد حصلنا مرة أخرى على أبسط معادلة لوغاريتمية، فلنعيدها إلى الشكل القانوني. للقيام بذلك نحن بحاجة إلى إجراء التغييرات التالية:

1 = سجل 2 2 1 = سجل 2 2

لماذا يوجد اثنان في القاعدة؟ لأنه في معادلتنا الأساسية على اليسار يوجد لوغاريتم محدد للأساس 2. نعيد كتابة المشكلة مع مراعاة هذه الحقيقة:

سجل 2 س = سجل 2 2

مرة أخرى، نتخلص من علامة اللوغاريتم، أي أننا ببساطة نساوي الحجج. لدينا الحق في القيام بذلك لأن القواعد هي نفسها، ولم يتم تنفيذ المزيد من الإجراءات الإضافية سواء على اليمين أو على اليسار:

هذا كل شئ! حلت المشكلة. لقد وجدنا حلاً للمعادلة اللوغاريتمية.

ملحوظة! على الرغم من ظهور المتغير x في الوسيطة (أي أن هناك متطلبات لمجال التعريف)، إلا أننا لن نضع أي متطلبات إضافية.

وكما قلت أعلاه، هذا الاختياريكون زائدًا عن الحاجة إذا حدث المتغير في وسيطة واحدة فقط من لوغاريتم واحد فقط. في حالتنا، x يظهر بالفعل فقط في الوسيطة وتحت علامة سجل واحدة فقط. ولذلك، لا يلزم إجراء فحوصات إضافية.

ومع ذلك، إذا كنت لا تثق هذه الطريقة، فيمكنك بسهولة التحقق من أن x = 2 هو بالفعل جذر. ويكفي استبدال هذا الرقم في المعادلة الأصلية.

دعنا ننتقل إلى المعادلة الثانية، فهي أكثر إثارة للاهتمام:

سجل 2 (سجل 1/2 (2س − 1) + سجل 2 4) = 1

إذا كنا نشير إلى التعبير في الداخل لوغاريتم كبيرالدالة f (x)، نحصل على أبسط معادلة لوغاريتمية بدأنا بها درس الفيديو اليوم. لذلك، يمكننا تطبيق النموذج القانوني، والذي سيتعين علينا تمثيل الوحدة في النموذج log 2 2 1 = log 2 2.

دعونا نعيد كتابة معادلتنا الكبيرة:

سجل 2 (سجل 1/2 (2س − 1) + سجل 2 4) = سجل 2 2

دعنا نبتعد عن علامة اللوغاريتم، ومساواة الحجج. لدينا الحق في القيام بذلك، لأن القواعد الموجودة على اليسار واليمين هي نفسها. بالإضافة إلى ذلك، لاحظ أن السجل 2 4 = 2:

سجل 1/2 (2س - 1) + 2 = 2

سجل 1/2 (2س - 1) = 0

أمامنا مرة أخرى أبسط معادلة لوغاريتمية على شكل سجل a f (x) = b. دعنا ننتقل إلى النموذج القانوني، أي أننا نمثل الصفر في النموذج log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.

نعيد كتابة معادلتنا ونتخلص من علامة السجل، ونساوي الوسيطات:

سجل 1/2 (2س - 1) = سجل 1/2 1

2س - 1 = 1

مرة أخرى، تلقينا إجابة على الفور. لا توجد فحوصات إضافية مطلوبة لأنه في المعادلة الأصلية يحتوي لوغاريتم واحد فقط على الدالة كوسيطة.

ولذلك، لا يلزم إجراء فحوصات إضافية. يمكننا أن نقول بأمان أن x = 1 هو الجذر الوحيد لهذه المعادلة.

ولكن إذا كان هناك في اللوغاريتم الثاني وظيفة x بدلاً من أربعة (أو لم يكن 2x في الوسيطة، ولكن في القاعدة) - فسيكون من الضروري التحقق من مجال التعريف. خلاف ذلك، هناك فرصة كبيرة للوصول إلى جذور إضافية.

من أين تأتي هذه الجذور الإضافية؟ ويجب فهم هذه النقطة بوضوح شديد. ألقِ نظرة على المعادلات الأصلية: في كل مكان تكون الدالة x تحت علامة اللوغاريتم. لذلك، بما أننا كتبنا السجل 2 x، فإننا نقوم تلقائيًا بتعيين المتطلب x > 0. وإلا هذا الإدخالهذا لا معنى له.

ومع ذلك، عندما نحل المعادلة اللوغاريتمية، نتخلص من جميع العلامات اللوغاريتمية ونحصل على إنشاءات بسيطة. لم تعد هناك قيود هنا بعد الآن، لأن دالة خطيةمحددة لأي قيمة x.

هذه هي المشكلة بالضبط عندما الوظيفة النهائيةيتم تعريفه في كل مكان ودائمًا، لكن الأصل ليس موجودًا بأي حال من الأحوال في كل مكان وليس دائمًا، وهو السبب وراء ظهور جذور إضافية في كثير من الأحيان عند حل المعادلات اللوغاريتمية.

لكنني أكرر مرة أخرى: يحدث هذا فقط في الحالة التي تكون فيها الدالة إما بعدة لوغاريتمات أو عند أساس أحدها. في المشاكل التي نتناولها اليوم، من حيث المبدأ، لا توجد مشاكل مع توسيع مجال التعريف.

حالات لأسباب مختلفة

هذا الدرس مخصص للمزيد الهياكل المعقدة. لن يتم حل اللوغاريتمات في معادلات اليوم على الفور، بل سيتعين إجراء بعض التحويلات أولا.

نبدأ في حل المعادلات اللوغاريتمية ذات أسس مختلفة تمامًا، وهي ليست قوى دقيقة لبعضها البعض. لا تدع مثل هذه المشاكل تخيفك - فهي ليست أكثر صعوبة في حلها من أبسط التصاميم التي ناقشناها أعلاه.

ولكن قبل الانتقال مباشرة إلى المشاكل، اسمحوا لي أن أذكركم بصيغة حل أبسط المعادلات اللوغاريتمية باستخدام الشكل القانوني. النظر في مشكلة مثل هذا:

سجل و(س) = ب

من المهم أن تكون الدالة f (x) مجرد دالة، ودور الأرقام a وb يجب أن يكون أرقامًا (بدون أي متغيرات x). بالطبع، سننظر حرفيًا خلال دقيقة واحدة إلى مثل هذه الحالات عندما تكون هناك وظائف بدلاً من المتغيرات a و b، لكن الأمر لا يتعلق بذلك الآن.

كما نتذكر، يجب استبدال الرقم ب بلوغاريتم لنفس الأساس أ، الموجود على اليسار. يتم ذلك بكل بساطة:

ب = سجل أ ب

وبطبيعة الحال، فإن عبارة "أي رقم ب" و"أي رقم أ" تعني القيم التي تلبي نطاق التعريف. وعلى وجه الخصوص في هذه المعادلة نحن نتحدث عنفقط القاعدة a > 0 و ≠ 1.

ومع ذلك، يتم استيفاء هذا المطلب تلقائيًا، لأن المشكلة الأصلية تحتوي بالفعل على لوغاريتم للأساس a - سيكون بالتأكيد أكبر من 0 ولا يساوي 1. لذلك، نواصل حل المعادلة اللوغاريتمية:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

يسمى هذا التدوين بالشكل القانوني. تكمن ملاءمتها في حقيقة أنه يمكننا التخلص فورًا من علامة السجل من خلال مساواة الوسيطات:

و (خ) = أ ب

وهذه هي التقنية التي سنستخدمها الآن لحل المعادلات اللوغاريتمية قاعدة متغيرة. إذا هيا بنا!

سجل 2 (س 2 + 4س + 11) = سجل 0.5 0.125

ماذا بعد؟ سيقول شخص ما الآن أنك بحاجة إلى حساب اللوغاريتم الصحيح، أو تقليلها إلى نفس الأساس، أو أي شيء آخر. وبالفعل، نحن الآن بحاجة إلى جعل القاعدتين بنفس الشكل - إما 2 أو 0.5. ولكن دعونا نتعلم القاعدة التالية مرة واحدة وإلى الأبد:

إذا كانت هناك أعداد عشرية في معادلة لوغاريتمية، فتأكد من تحويل تلك الكسور منها العشريإلى وضعها الطبيعي. هذا التحويل يمكن أن يبسط الحل إلى حد كبير.

يجب إجراء هذا الانتقال على الفور، حتى قبل تنفيذ أي إجراءات أو تحويلات. دعونا نلقي نظرة:

سجل 2 (س 2 + 4س + 11) = سجل 1 /2 1/8

ماذا يعطينا هذا السجل؟ يمكننا تمثيل 1/2 و1/8 كقوى c مؤشر سلبي:

[تعليق على الصورة]

أمامنا الشكل القانوني. نحن نساوي الحجج ونحصل على المعادلة التربيعية الكلاسيكية:

× 2 + 4س + 11 = 8

× 2 + 4س + 3 = 0

أمامنا المعادلة التربيعية التالية، والتي يمكن حلها بسهولة باستخدام صيغ فييتا. في المدرسة الثانوية، يجب أن تشاهد عروضًا مماثلة حرفيًا شفهيًا:

(س + 3)(س + 1) = 0

س 1 = −3

س 2 = −1

هذا كل شئ! تم حل المعادلة اللوغاريتمية الأصلية. لقد حصلنا على جذرين.

اسمحوا لي أن أذكرك أنه في هذه الحالة ليس من الضروري تحديد مجال التعريف، لأن الدالة ذات المتغير x موجودة في وسيطة واحدة فقط. لذلك، يتم تنفيذ نطاق التعريف تلقائيًا.

وبذلك تم حل المعادلة الأولى. دعنا ننتقل إلى الثاني:

سجل 0.5 (5س 2 + 9س + 2) = سجل 3 1/9

سجل 1/2 (5س 2 + 9س + 2) = سجل 3 9 −1

لاحظ الآن أنه يمكن أيضًا كتابة وسيطة اللوغاريتم الأول كقوة ذات أس سالب: 1/2 = 2 −1. ثم يمكنك إخراج القوى من طرفي المعادلة وتقسيم كل شيء على −1:

[تعليق على الصورة]

والآن أنجزنا الكثير خطوة مهمةفي حل معادلة لوغاريتمية ربما لم يلاحظ شخص ما شيئا، لذلك اسمحوا لي أن أشرح.

انظر إلى معادلتنا: يوجد على اليسار واليمين علامة سجل، ولكن على اليسار يوجد لوغاريتم للأساس 2، وعلى اليمين يوجد لوغاريتم للأساس 3. ثلاثة ليس قوة صحيحة لـ اثنان، وعلى العكس من ذلك، لا يمكنك كتابة أن 2 يساوي 3 بالدرجات الصحيحة.

وبالتالي، فهي لوغاريتمات ذات أسس مختلفة لا يمكن اختزالها إلى بعضها البعض بمجرد إضافة القوى. الطريقة الوحيدةالحل لمثل هذه المشاكل هو التخلص من أحد هذه اللوغاريتمات. في هذه الحالة، نظرًا لأننا ما زلنا نفكر في مسائل بسيطة إلى حد ما، فقد تم حساب اللوغاريتم الموجود على اليمين ببساطة، وحصلنا على أبسط معادلة - بالضبط تلك التي تحدثنا عنها في بداية درس اليوم.

دعونا نمثل الرقم 2، الموجود على اليمين، بالشكل log 2 2 2 = log 2 4. ثم نتخلص من علامة اللوغاريتم، وبعد ذلك يتبقى لدينا ببساطة معادلة تربيعية:

سجل 2 (5س 2 + 9س + 2) = سجل 2 4

5س 2 + 9س + 2 = 4

5س 2 + 9س − 2 = 0

أمامنا معادلة تربيعية عادية، لكنها غير مخفضة لأن معامل x 2 يختلف عن الوحدة. لذلك سنحلها باستخدام التمييز:

د = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

× 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

س 2 = (−9 − 11)/10 = −2

هذا كل شئ! لقد وجدنا كلا الجذرين، وهو ما يعني أننا حصلنا على حل للمعادلة اللوغاريتمية الأصلية. في الواقع، في المشكلة الأصلية، الدالة ذات المتغير x موجودة في وسيطة واحدة فقط. وبالتالي، لا يلزم إجراء فحوصات إضافية على مجال التعريف - فكلا الجذرين اللذين وجدناهما يلبيان بالتأكيد جميع القيود المحتملة.

قد تكون هذه نهاية درس الفيديو اليوم، ولكن في الختام أود أن أقول مرة أخرى: تأكد من تحويل جميع الكسور العشرية إلى كسور عادية عند حل المعادلات اللوغاريتمية. في معظم الحالات، هذا يبسط حلها إلى حد كبير.

نادرًا، نادرًا جدًا، تواجه مشكلات يؤدي فيها التخلص من الكسور العشرية إلى تعقيد العمليات الحسابية. ومع ذلك، في مثل هذه المعادلات، كقاعدة عامة، يكون من الواضح في البداية أنه ليست هناك حاجة للتخلص من الكسور العشرية.

في معظم الحالات الأخرى (خاصة إذا كنت قد بدأت للتو في التدرب على حل المعادلات اللوغاريتمية)، فلا تتردد في التخلص من الكسور العشرية وتحويلها إلى عادية. لأن الممارسة تظهر أنه بهذه الطريقة سوف تقوم بتبسيط الحل والحسابات اللاحقة بشكل كبير.

الدقيقة والحيل من الحل

واليوم ننتقل إلى المزيد المهام المعقدةوسوف نحل معادلة لوغاريتمية، أساسها ليس رقمًا، بل دالة.

وحتى لو كانت هذه الدالة خطية، فسيتعين عليك إضافتها تغييرات طفيفة، والذي يتلخص معناه في متطلبات إضافية، فرضه على مجال تعريف اللوغاريتم.

المهام المعقدة

سيكون هذا البرنامج التعليمي طويلاً جدًا. سنقوم فيه بتحليل معادلتين لوغاريتميتين خطيرتين إلى حد ما، عند حلهما يخطئ العديد من الطلاب. أثناء ممارستي كمدرس رياضيات، كنت أواجه باستمرار نوعين من الأخطاء:

1. ظهور جذور إضافية بسبب توسع مجال تعريف اللوغاريتمات. لتجنب مثل هذه الأخطاء الهجومية، ما عليك سوى مراقبة كل تحويل بعناية؛
2. فقدان الجذور بسبب نسيان الطالب النظر في بعض الحالات "الدقيقة" - هذه هي المواقف التي سنركز عليها اليوم.

هذا الدرس السابق، مخصص للمعادلات اللوغاريتمية. سيكون طويلا، وسوف نقوم بتحليل المعادلات اللوغاريتمية المعقدة. خذ راحتك، وأعد لنفسك بعض الشاي، ودعنا نبدأ.

تبدو المعادلة الأولى قياسية تمامًا:

سجل x + 1 (x − 0.5) = سجل x − 0.5 (x + 1)

دعونا نلاحظ على الفور أن كلا اللوغاريتمين عبارة عن نسخ مقلوبة من بعضها البعض. دعونا نتذكر الصيغة الرائعة:

سجل أ ب = 1/سجل ب أ

ومع ذلك، تحتوي هذه الصيغة على عدد من القيود التي تنشأ إذا كانت هناك وظائف للمتغير x بدلاً من الأرقام a وb:

ب> 0

1 ≠ أ > 0

تنطبق هذه المتطلبات على قاعدة اللوغاريتم. من ناحية أخرى، في الكسر، يجب أن يكون لدينا 1 ≠ a > 0، نظرًا لأن المتغير a ليس فقط في وسيطة اللوغاريتم (وبالتالي a > 0)، ولكن اللوغاريتم نفسه موجود في مقام الكسر . لكن log b 1 = 0، والمقام يجب أن يكون غير صفر، لذا a ≠ 1.

لذلك، تبقى القيود المفروضة على المتغير. ولكن ماذا يحدث للمتغير ب؟ من ناحية، تشير القاعدة إلى b > 0، ومن ناحية أخرى، المتغير b ≠ 1، لأن قاعدة اللوغاريتم يجب أن تكون مختلفة عن 1. في المجمل، من الجانب الأيمن من الصيغة يتبع ذلك 1 ≠ ب> 0.

لكن هنا تكمن المشكلة: الشرط الثاني (ب ≠ 1) مفقود من المتباينة الأولى، التي تتعامل مع اللوغاريتم الأيسر. وبعبارة أخرى، عند إجراء هذا التحول يجب علينا تحقق بشكل منفصل، أن الحجة ب تختلف عن واحدة!

لذلك دعونا التحقق من ذلك. دعونا نطبق الصيغة لدينا:

[تعليق على الصورة]

1 ≠ س − 0.5 > 0; 1 ≠ س + 1 > 0

لقد حصلنا بالفعل على ذلك من المعادلة اللوغاريتمية الأصلية، ويترتب على ذلك أن كلا من a وb يجب أن يكونا أكبر من 0 ولا يساوي 1. وهذا يعني أنه يمكننا بسهولة عكس المعادلة اللوغاريتمية:

أقترح إدخال متغير جديد:

سجل س + 1 (س - 0.5) = ر

في هذه الحالة، سيتم إعادة كتابة البناء لدينا على النحو التالي:

(ر 2 − 1)/ر = 0

لاحظ أنه في البسط لدينا فرق المربعات. نكشف عن الفرق بين المربعات باستخدام صيغة الضرب المختصرة:

(ر − 1)(ر + 1)/ر = 0

الكسر يساوي صفرًا عندما يكون بسطه صفرًا ومقامه غير صفر. لكن البسط يحتوي على منتج، لذلك نساوي كل عامل بالصفر:

ر 1 = 1؛

ر 2 = −1;

ر ≠ 0.

كما نرى فإن كلا قيمتي المتغير t تناسبنا. ومع ذلك، فإن الحل لا ينتهي عند هذا الحد، لأننا لا نحتاج إلى إيجاد t، بل قيمة x. نعود إلى اللوغاريتم ونحصل على:

سجل س + 1 (س − 0.5) = 1؛

سجل س + 1 (س − 0.5) = −1.

دعونا نضع كل من هذه المعادلات في شكل قانوني:

سجل x + 1 (x − 0.5) = سجل x + 1 (x + 1) 1

سجل x + 1 (x − 0.5) = سجل x + 1 (x + 1) −1

نتخلص من علامة اللوغاريتم في الحالة الأولى ونساوي الوسيطات:

س − 0.5 = س + 1;

س - س = 1 + 0.5؛

مثل هذه المعادلة ليس لها جذور، وبالتالي فإن المعادلة اللوغاريتمية الأولى ليس لها جذور أيضًا. ولكن مع المعادلة الثانية، كل شيء أكثر إثارة للاهتمام:

(س - 0.5)/1 = 1/(س + 1)

وبحل النسبة نحصل على:

(س − 0.5)(س + 1) = 1

اسمحوا لي أن أذكرك أنه عند حل المعادلات اللوغاريتمية، يكون من الملائم أكثر استخدام جميع الكسور العشرية ككسور عادية، لذلك دعونا نعيد كتابة معادلتنا على النحو التالي:

(س − 1/2)(س + 1) = 1;

س 2 + س − 1/2س − 1/2 − 1 = 0;

س 2 + 1/2س - 3/2 = 0.

أمامنا المعادلة التربيعية أدناه، ويمكن حلها بسهولة باستخدام صيغ فييتا:

(س + 3/2) (س − 1) = 0؛

× 1 = −1.5؛

× 2 = 1.

لقد حصلنا على جذرين، وهما مرشحان لحل المعادلة اللوغاريتمية الأصلية. من أجل فهم الجذور التي ستدخل في الإجابة، دعنا نعود إلى المشكلة الأصلية. الآن سوف نتحقق من كل جذورنا لمعرفة ما إذا كانت تتناسب مع مجال التعريف:

1.5 ≠ س > 0.5؛ 0 ≠ س > −1.

هذه المتطلبات هي بمثابة عدم مساواة مزدوجة:

1 ≠ س > 0.5

من هنا نرى على الفور أن الجذر x = −1.5 لا يناسبنا، ولكن x = 1 يناسبنا جيدًا. لذلك س = 1 - قرار نهائيمعادلة لوغاريتمية.

لننتقل إلى المهمة الثانية:

سجل × 25 + سجل 125 × 5 = سجل 25 × 625

للوهلة الأولى قد يبدو أن كل اللوغاريتمات أسباب مختلفةوالحجج المختلفة. ماذا تفعل مع مثل هذه الهياكل؟ أولًا، لاحظ أن الأرقام 25 و5 و625 هي من قوى العدد 5:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

الآن دعونا نستخدم خاصية رائعةاللوغاريتم النقطة المهمة هي أنه يمكنك استخراج الصلاحيات من الحجة في شكل عوامل:

سجل أ ب ن = ن ∙ سجل أ ب

يخضع هذا التحويل أيضًا لقيود في حالة استبدال b بوظيفة. لكن بالنسبة لنا، b هو مجرد رقم، ولا يوجد أي رقم قيود إضافيةلا تنشأ. دعونا نعيد كتابة معادلتنا:

2 ∙ سجل × 5 + سجل 125 × 5 = 4 ∙ سجل 25 × 5

لقد حصلنا على معادلة تحتوي على ثلاثة حدود تحتوي على علامة السجل. علاوة على ذلك، فإن حجج اللوغاريتمات الثلاثة متساوية.

لقد حان الوقت لعكس اللوغاريتمات لإحضارها إلى نفس الأساس - 5. وبما أن المتغير b ثابت، فلن تحدث أي تغييرات في مجال التعريف. نحن فقط نعيد الكتابة:

[تعليق على الصورة]

وكما هو متوقع، ظهرت نفس اللوغاريتمات في المقام. أقترح استبدال المتغير:

سجل 5 س = ر

في هذه الحالة، سيتم إعادة كتابة معادلتنا على النحو التالي:

لنكتب البسط ونفتح الأقواس:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = 2t 2 + 10t + 12 + ر 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

دعونا نعود إلى الكسر لدينا. يجب أن يكون البسط صفرًا:

[تعليق على الصورة]

والمقام يختلف عن الصفر:

ر ≠ 0؛ ر ≠ −3 ؛ ر ≠ −2

يتم استيفاء المتطلبات الأخيرة تلقائيًا، نظرًا لأنها جميعها "مرتبطة" بأعداد صحيحة، وجميع الإجابات غير عقلانية.

لذا، معادلة عقلانية كسريةتم حلها وتم العثور على قيم المتغير t . دعنا نعود إلى حل المعادلة اللوغاريتمية ونتذكر ما هو t:

[تعليق على الصورة]

نأتي بهذه المعادلة إلى الشكل القانوني، ونحصل على رقم به درجة غير عقلانية. لا تدع هذا يربكك - فحتى هذه الحجج يمكن مساواةها:

[تعليق على الصورة]

لقد حصلنا على جذرين. بتعبير أدق، إجابتان للمرشحين - دعونا نتحقق من امتثالهما لمجال التعريف. وبما أن أساس اللوغاريتم هو المتغير x فإننا نطلب ما يلي:

1 ≠ س > 0;

وبنفس النجاح نؤكد أن x ≠ 1/125، وإلا فإن قاعدة اللوغاريتم الثاني ستتحول إلى الوحدة. وأخيرًا، x ≠ 1/25 للوغاريتم الثالث.

في المجمل، تلقينا أربعة قيود:

1 ≠ س > 0; س ≠ 1/125؛ س ≠ 1/25

والسؤال الآن هو: هل جذورنا تلبي هذه المتطلبات؟ بالطبع يرضون! لأن 5 إلى أي قوة ستكون أكبر من الصفر، ويتم تلبية المتطلبات x > 0 تلقائيًا.

من ناحية أخرى، 1 = 5 0، 1/25 = 5 −2، 1/125 = 5 −3، مما يعني أن هذه القيود الخاصة بجذورنا (والتي، دعني أذكرك، لها عدد غير نسبي) راضون أيضًا، وكلا الإجابتين عبارة عن حل للمشكلة.

لذلك، لدينا الجواب النهائي. النقاط الرئيسيةهناك اثنان في هذه المشكلة:

1. كن حذرًا عند قلب اللوغاريتم عند تبديل الوسيطة والقاعدة. تفرض مثل هذه التحولات قيودًا غير ضرورية على نطاق التعريف.
2. لا تخف من تحويل اللوغاريتمات: لا يمكنك قلبها فحسب، بل يمكنك أيضًا فتحها باستخدام صيغة المجموع وتغييرها بشكل عام باستخدام أي صيغ درستها عند حلها التعبيرات اللوغاريتمية. ومع ذلك، تذكر دائمًا: بعض التحولات توسع نطاق التعريف، وبعضها يضيقه.

في هذا الدرس سوف نراجع الحقائق النظرية الأساسية حول اللوغاريتمات ونفكر في حل أبسط المعادلات اللوغاريتمية.

لنتذكر التعريف المركزي - تعريف اللوغاريتم. الأمر يتعلق بالقرار المعادلة الأسية. هذه المعادلةله جذر واحد، ويسمى لوغاريتم b للأساس a:

تعريف:

لوغاريتم b للأساس a هو الأس الذي يجب رفع الأساس a إليه للحصول على b.

دعونا نذكركم الهوية اللوغاريتمية الأساسية.

التعبير (التعبير 1) هو جذر المعادلة (التعبير 2). استبدل القيمة x من التعبير 1 بدلاً من x في التعبير 2 واحصل على الهوية اللوغاريتمية الرئيسية:

لذلك نرى أن كل قيمة مرتبطة بقيمة. نشير إلى b بواسطة x()، وc بواسطة y، وبالتالي نحصل على دالة لوغاريتمية:

على سبيل المثال:

دعونا نتذكر الخصائص الأساسية للدالة اللوغاريتمية.

دعونا ننتبه مرة أخرى هنا، لأنه تحت اللوغاريتم يمكن أن يكون هناك تعبير إيجابي تمامًا، كأساس للوغاريتم.

أرز. 1. رسم بياني لدالة لوغاريتمية ذات أسس مختلفة

يظهر الرسم البياني للوظيفة باللون الأسود. أرز. 1. إذا زادت الوسيطة من صفر إلى ما لا نهاية، فإن الدالة تزداد من ناقص إلى زائد ما لا نهاية.

يظهر الرسم البياني للوظيفة باللون الأحمر. أرز. 1.

خصائص هذه الوظيفة:

اِختِصاص: ؛

مدى من القيم: ؛

الوظيفة رتيبة في جميع أنحاء مجال التعريف الخاص بها. عندما يزيد بشكل رتيب (بشكل صارم) ، قيمة أعلىتتوافق الوسيطة مع القيمة الأكبر للدالة. عندما تنخفض بشكل رتيب (بشكل صارم)، تتوافق القيمة الأكبر للوسيطة مع قيمة أصغر للدالة.

خصائص الدالة اللوغاريتمية هي المفتاح لحل مجموعة متنوعة من المعادلات اللوغاريتمية.

لنفكر في أبسط معادلة لوغاريتمية، كقاعدة عامة، يتم تقليل جميع المعادلات اللوغاريتمية الأخرى إلى هذا النموذج.

بما أن أسس اللوغاريتمات واللوغاريتمات نفسها متساوية، فإن الدوال الموجودة تحت اللوغاريتم متساوية أيضًا، لكن يجب ألا نفوت مجال التعريف. يمكن أن يظهر رقم موجب فقط تحت اللوغاريتم، لدينا:

لقد اكتشفنا أن الدالتين f وg متساويتان، لذا يكفي اختيار أي متباينة واحدة لتتوافق مع ODZ.

وبذلك يصبح لدينا نظام مختلط فيه معادلة ومتباينة:

كقاعدة عامة، ليس من الضروري حل المتراجحة، بل يكفي حل المعادلة واستبدال الجذور الموجودة في المتراجحة، وبالتالي إجراء التحقق.

دعونا نصوغ طريقة لحل أبسط المعادلات اللوغاريتمية:

مساواة أسس اللوغاريتمات.

مساواة الدوال اللوغاريتمية؛

إجراء فحص.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة محددة.

مثال 1 - حل المعادلة:

أسس اللوغاريتمات متساوية في البداية، ولدينا الحق في مساواة التعبيرات اللوغاريتمية الفرعية، ولا تنسَ ODZ، فنحن نختار اللوغاريتم الأول لتكوين عدم المساواة:

مثال 2 - حل المعادلة:

وتختلف هذه المعادلة عن السابقة في أن أساسات اللوغاريتمات أقل من واحد، لكن هذا لا يؤثر على الحل بأي شكل من الأشكال:

لنجد الجذر ونعوض به في المتباينة:

لقد حصلنا على متباينة غير صحيحة، مما يعني أن الجذر الذي تم العثور عليه لا يفي بـ ODZ.

مثال 3 - حل المعادلة:

أسس اللوغاريتمات متساوية في البداية، ولدينا الحق في مساواة التعبيرات اللوغاريتمية الفرعية، ولا تنسَ ODZ، فنحن نختار اللوغاريتم الثاني لتكوين عدم المساواة:

لنجد الجذر ونعوض به في المتباينة:

من الواضح أن الجذر الأول فقط هو الذي يفي بـ ODZ.

مقدمة

تم اختراع اللوغاريتمات لتسريع العمليات الحسابية وتبسيطها. فكرة اللوغاريتم، أي فكرة التعبير عن الأعداد كقوى لها نفس الأساس، تعود إلى ميخائيل شتيفل. لكن في زمن ستيفل، لم تكن الرياضيات متطورة إلى هذا الحد ولم تتطور فكرة اللوغاريتم. تم اختراع اللوغاريتمات لاحقًا في وقت واحد وبشكل مستقل عن بعضها البعض من قبل العالم الاسكتلندي جون نابير (1550-1617) والسويسري جوبست بورغي (1552-1632)، وكان نابير أول من نشر هذا العمل في عام 1614. بعنوان "وصف جدول اللوغاريتمات المذهل"، تم تقديم نظرية اللوغاريتمات لنابيير بشكل كافٍ كليا، طريقة حساب اللوغاريتمات هي أبسط طريقة، وبالتالي فإن مزايا نابير في اختراع اللوغاريتمات أكبر من مزايا بورغي. عمل بورجي على الطاولات في نفس الوقت الذي عمل فيه نابير، ولكن لفترة طويلةأبقتها سرية ولم تنشرها إلا في عام 1620. أتقن نابير فكرة اللوغاريتم حوالي عام 1594. على الرغم من نشر الجداول بعد 20 عامًا. في البداية أطلق على اللوغاريتمات الخاصة به اسم "الأرقام الاصطناعية"، وعندها فقط اقترح تسمية هذه "الأرقام الاصطناعية" في كلمة واحدة "لوغاريتم"، والتي تُترجم من اليونانية وتعني "الأرقام المترابطة"، مأخوذة من أحدهما من تقدم حسابي، والآخر من متوالية حسابية. تقدم هندسي تم اختياره خصيصا له. نُشرت الجداول الأولى باللغة الروسية عام 1703. بمشاركة معلم رائع من القرن الثامن عشر. إل إف ماجنيتسكي. في تطوير نظرية اللوغاريتمات أهمية عظيمةكان لديه أعمال الأكاديمي سانت بطرسبرغ ليونارد أويلر. كان أول من اعتبر اللوغاريتمات معكوسًا للرفع إلى قوة، وقدم مصطلحات "قاعدة اللوغاريتم" و"الجزء العشري". قام بريجز بتجميع جداول اللوغاريتمات ذات الأساس 10. الجداول العشرية أكثر ملاءمة للاستخدام العملي، ونظريتهم هي أبسط من لوغاريتمات نابير. لهذا اللوغاريتمات العشريةتسمى أحيانًا المراكب. تم تقديم مصطلح "التوصيف" بواسطة بريجز.

في تلك الأوقات البعيدة، عندما بدأ الحكماء لأول مرة في التفكير في المساواة التي تحتوي على كميات غير معروفة، ربما لم تكن هناك عملات معدنية أو محافظ. ولكن كانت هناك أكوام، بالإضافة إلى الأواني والسلال، التي كانت مثالية لدور مخابئ التخزين التي يمكن أن تحتوي على عدد غير معروف من العناصر. في القدماء المشاكل الرياضيةبلاد ما بين النهرين، الهند، الصين، اليونان، كميات غير معروفة تعبر عن عدد الطاووس في الحديقة، وعدد الثيران في القطيع، ومجمل الأشياء التي تؤخذ في الاعتبار عند تقسيم الممتلكات. الكتبة والموظفون والمبتدئون مدربون جيدًا على علم الحسابات المعرفة السريةتعامل الكهنة بنجاح كبير مع مثل هذه المهام.

وتشير المصادر التي وصلت إلينا إلى أن العلماء القدماء امتلكوا بعضها التقنيات العامةحل المسائل ذات الكميات غير المعروفة. ومع ذلك، لا تحتوي أي ورقة بردية أو لوح من الطين على وصف لهذه التقنيات. لم يزود المؤلفون حساباتهم الرقمية إلا في بعض الأحيان بتعليقات هزيلة مثل: "انظر!"، "افعل هذا!"، "لقد وجدت الخيار الصحيح". وبهذا المعنى، فإن الاستثناء هو "الحساب" لعالم الرياضيات اليوناني ديوفانتوس السكندري (القرن الثالث) - وهو عبارة عن مجموعة من المسائل لتكوين المعادلات مع عرض منهجي لحلولها.

ومع ذلك، فإن الدليل الأول لحل المشكلات الذي أصبح معروفا على نطاق واسع كان عمل عالم بغداد في القرن التاسع. محمد بن موسى الخوارزمي. وتحولت كلمة "الجبر" من الاسم العربي لهذه الرسالة - "كتاب الجابر والمقابلة" ("كتاب الترميم والمعارضة") - مع مرور الوقت إلى الكلمة المعروفة "الجبر"، و"الجبر". كان عمل الخوارزمي نفسه بمثابة نقطة البداية في تطور علم حل المعادلات.

المعادلات اللوغاريتميةوعدم المساواة

1. المعادلات اللوغاريتمية

تسمى المعادلة التي تحتوي على مجهول تحت علامة اللوغاريتم أو عند قاعدتها معادلة لوغاريتمية.

أبسط معادلة لوغاريتمية هي معادلة النموذج

سجل أ س = ب . (1)

البيان 1. إذا أ > 0, أ≠ 1، المعادلة (1) لأي حقيقي بلقد القرار الوحيد س = أ ب .

مثال 1. حل المعادلات:

أ) السجل 2 س= 3، ب) سجل 3 س= -1، ج)

حل. باستخدام العبارة 1 نحصل على أ) س= 2 3 أو س= 8؛ ب) س= 3 -1 أو س= 1 / 3 ; ج)

أو س = 1.

دعونا نقدم الخصائص الأساسية للوغاريتم.

ص1. الهوية اللوغاريتمية الأساسية:

أين أ > 0, أ≠ 1 و ب > 0.

ص2. لوغاريتم منتج العوامل الإيجابية يساوي المبلغلوغاريتمات هذه العوامل:

سجل أ ن 1 · ن 2 = السجل أ ن 1 + سجل أ ن 2 (أ > 0, أ ≠ 1, ن 1 > 0, ن 2 > 0).

تعليق. لو ن 1 · ن 2 > 0، ثم تأخذ الخاصية P2 الشكل

سجل أ ن 1 · ن 2 = السجل أ |ن 1 | + سجل أ |ن 2 | (أ > 0, أ ≠ 1, ن 1 · ن 2 > 0).

ص3. لوغاريتم حاصل قسمة رقمين موجبين يساوي الفرق بين لوغاريتمات المقسوم والمقسوم عليه

(أ > 0, أ ≠ 1, ن 1 > 0, ن 2 > 0).

تعليق. لو

، (وهو ما يعادل ن 1 ن 2 > 0) ثم تأخذ الخاصية P3 النموذج (أ > 0, أ ≠ 1, ن 1 ن 2 > 0).

ص4. لوغاريتم الدرجة رقم موجب، عدد إيجابي يساوي المنتجالأس لكل لوغاريتم هذا الرقم:

سجل أ ن ك = كسجل أ ن (أ > 0, أ ≠ 1, ن > 0).

تعليق. لو ك - رقم زوجي (ك = 2س)، الذي - التي

سجل أ ن 2س = 2سسجل أ |ن | (أ > 0, أ ≠ 1, ن ≠ 0).

ص5. صيغة للانتقال إلى قاعدة أخرى:

(أ > 0, أ ≠ 1, ب > 0, ب ≠ 1, ن > 0),

على وجه الخصوص إذا ن = ب، نحن نحصل

(أ > 0, أ ≠ 1, ب > 0, ب ≠ 1). (2)

باستخدام الخاصيتين P4 وP5، من السهل الحصول على الخصائص التالية

(أ > 0, أ ≠ 1, ب > 0, ج ≠ 0), (3) (أ > 0, أ ≠ 1, ب > 0, ج ≠ 0), (4) (أ > 0, أ ≠ 1, ب > 0, ج ≠ 0), (5)

وإذا كان في (5) ج- رقم زوجي ( ج = 2ن)، يحدث

(ب > 0, أ ≠ 0, |أ | ≠ 1). (6)

دعونا ندرج الخصائص الرئيسية للدالة اللوغاريتمية F (س) = سجل أ س :

1. مجال تعريف الدالة اللوغاريتمية هو مجموعة الأرقام الموجبة.

2. نطاق قيم الدالة اللوغاريتمية هو مجموعة الأعداد الحقيقية.

3. متى أ> 1 دالة لوغاريتمية تتزايد بشكل صارم (0< س 1 < س 2log أ س 1 < logأ س 2) و0< أ < 1, - строго убывает (0 < س 1 < س 2log أ س 1 > سجل أ س 2).

4. سجل أ 1 = 0 وسجل أ أ = 1 (أ > 0, أ ≠ 1).

5. إذا أ> 1، فإن الدالة اللوغاريتمية تكون سالبة عندما س(0؛1) وإيجابية عند س(1;+∞)، وإذا كان 0< أ < 1, то логарифмическая функция положительна при س (0;1) وسالب عند س (1;+∞).

6. إذا أ> 1، فإن الدالة اللوغاريتمية تكون محدبة لأعلى، و if أ(0؛1) - محدب للأسفل.

تُستخدم العبارات التالية (انظر، على سبيل المثال) عند حل المعادلات اللوغاريتمية.

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما تقوم بتقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوانك بريد إلكترونيإلخ.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تم جمعها من قبلنا معلومات شخصيةيسمح لنا بالاتصال بك وإبلاغك بذلك عروض فريدة من نوعهاوالترقيات وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية لأغراض داخلية مثل التدقيق وتحليل البيانات و دراسات مختلفةمن أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر، وفقا للقانون، الإجراء القضائي، الخامس محاكمةو/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات الواردة من وكالات الحكومةعلى أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.