كثيرات الحدود وتفسيرها النموذجي القياسي. تقليل كثيرات الحدود إلى النموذج القياسي

بعد دراسة أحاديات الحد، ننتقل إلى متعددات الحدود. ستخبرك هذه المقالة بجميع المعلومات الضرورية المطلوبة لتنفيذ الإجراءات عليها. سنحدد كثيرة الحدود مع التعريفات المصاحبة لمصطلح كثير الحدود، أي حرة ومماثلة، وننظر في كثيرة الحدود بالشكل القياسي، ونقدم درجة ونتعلم كيفية العثور عليها، ونعمل مع معاملاتها.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

كثيرات الحدود ومصطلحاتها - تعريفات وأمثلة

كان تعريف كثير الحدود ضروريًا مرة أخرى 7 الطبقة بعد دراسة monomials. دعونا نلقي نظرة على تعريفها الكامل.

التعريف 1

متعدد الحدوديعتبر مجموع أحاديات الحد، ووحيد الحد نفسه حالة خاصةمتعدد الحدود.

ويترتب على التعريف أن أمثلة كثيرات الحدود يمكن أن تكون مختلفة: 5 , 0 , − 1 , س, 5 أ ب 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z وهكذا. من التعريف لدينا ذلك 1+س، أ 2 + ب 2 والتعبير x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x كثيرات الحدود.

دعونا نلقي نظرة على بعض التعاريف أكثر.

التعريف 2

أعضاء كثير الحدودتسمى أحاديات الحد المكونة لها.

فكر في مثال حيث لدينا كثيرة الحدود 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3، وتتكون من 4 حدود: 3 x 4, − 2 x y, 3 و - ص 3. يمكن اعتبار مثل هذا الحد متعدد الحدود، والذي يتكون من مصطلح واحد.

التعريف 3

كثيرات الحدود التي تحتوي على 2، 3 ثلاثية لها الاسم المقابل - ذات الحدينو ثلاثي الحدود.

ويترتب على ذلك تعبير عن النموذج س+ص– هي ذات الحدين، والتعبير 2 x 3 q − q x x x + 7 b هو ثلاثي الحدود.

بواسطة المنهج المدرسيتم التعامل مع ذات الحدين الخطية على الشكل a · x + b، حيث a وb عبارة عن بعض الأرقام، وx متغير. لنفكر في أمثلة ذات الحدين الخطيين بالشكل: x + 1, x · 7, 2 − 4 مع أمثلة على ثلاثيات الحدود المربعة x 2 + 3 · x − 5 و 2 5 · x 2 - 3 x + 11.

للتحويل والحل، من الضروري العثور عليه وإحضاره مصطلحات مماثلة. على سبيل المثال، كثيرة الحدود بالشكل 1 + 5 x − 3 + y + 2 x لها مصطلحات مشابهة 1 و - 3، 5 x و 2 x. وهي مقسمة إلى مجموعة خاصة تسمى الأعضاء المتشابهين في كثيرات الحدود.

التعريف 4

شروط مماثلة من كثير الحدودهي مصطلحات مماثلة وجدت في كثير الحدود.

في المثال أعلاه، لدينا أن 1 و- 3 و5 x و2 x هي مصطلحات متشابهة لمتعددة الحدود أو مصطلحات مشابهة. لتبسيط التعبير، ابحث عن الحدود المتشابهة واختصرها.

كثير الحدود من النموذج القياسي

جميع أحاديات الحد ومتعددات الحدود لها أسماء محددة خاصة بها.

التعريف 5

كثير الحدود من النموذج القياسيهي كثيرة حدود يكون فيها كل حد مدرج فيها أحادي الحد بالشكل القياسي ولا يحتوي على مصطلحات مماثلة.

يتضح من التعريف أنه من الممكن تقليل كثيرات الحدود بالشكل القياسي، على سبيل المثال، 3 x 2 − x y + 1 و __الصيغة__، والإدخال في النموذج القياسي. التعبيرات 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z و 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z ليست كثيرات حدود ذات شكل قياسي، لأن أولها له مصطلحات مماثلة في شكل 3 · × 2 و - × 2، والثاني يحتوي على أحادي الحد من الشكل x · y 3 · x · z 2، والذي يختلف عن متعدد الحدود القياسي.

إذا تطلبت الظروف ذلك، في بعض الأحيان يتم تقليل كثير الحدود إلى شكل قياسي. يعتبر مفهوم الحد الحر لكثيرة الحدود أيضًا متعدد الحدود بالشكل القياسي.

التعريف 6

مصطلح مجاني لكثير الحدودهي كثيرة الحدود ذات الشكل القياسي والتي لا تحتوي على جزء حرفي.

بمعنى آخر، عندما تحتوي كثيرة الحدود في الصورة القياسية على رقم، فإنها تسمى عضوًا حرًا. إذن الرقم 5 هو الحد الحر لكثيرة الحدود x 2 z + 5، وكثير الحدود 7 a + 4 a b + b 3 ليس له حد حر.

درجة كثير الحدود - كيفية العثور عليه؟

يعتمد تعريف درجة كثير الحدود نفسه على تعريف الشكل القياسي لكثير الحدود وعلى درجات أحاديات الحد التي تشكل مكوناته.

التعريف 7

درجة كثير الحدود من الشكل القياسيويسمى أكبر الدرجات المتضمنة في تدوينه.

لنلقي نظرة على مثال. درجة كثير الحدود 5 × 3 - 4 تساوي 3، لأن أحاديات الحد المتضمنة في تكوينها لها درجات 3 و0، وأكبرها هو 3، على التوالي. تعريف الدرجة من كثيرة الحدود 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x يساوي أكبر الأرقام، أي 2 + 3 = 5، 4 + 1 = 5 و1، مما يعني 5 .

من الضروري معرفة كيفية العثور على الدرجة نفسها.

التعريف 8

درجة متعددة الحدود أي رقم هي درجة كثير الحدود المقابلة في النموذج القياسي.

عندما لا تتم كتابة كثيرة الحدود في الصورة القياسية، ولكنك تحتاج إلى العثور على درجتها، فأنت بحاجة إلى تقليلها إلى الصورة القياسية، ثم العثور على الدرجة المطلوبة.

مثال 1

أوجد درجة كثيرة الحدود 3 أ 12 − 2 أ ب ج ج أ ج ب + ص 2 ض 2 − 2 أ 12 − أ 12.

حل

أولاً، دعونا نعرض كثيرة الحدود في الصورة القياسية. نحصل على تعبير من النموذج:

3 أ 12 − 2 أ ب ج ج أ ج ب + ص 2 ض 2 − 2 أ 12 − أ 12 = = (3 أ 12 − 2 أ 12 − أ 12) − 2 · (أ · أ) · (ب · ب) · (ج · ج) + ص 2 · ض 2 = = − 2 · أ 2 · ب 2 · ج 2 + ص 2 · ض 2

عند الحصول على كثيرة الحدود بالشكل القياسي، نجد أن اثنين منها يبرزان بوضوح - 2 · أ 2 · ب 2 · ج 2 و ص 2 · ض 2 . للعثور على الدرجات، نعد ونجد أن 2 + 2 + 2 = 6 و 2 + 2 = 4. ويمكن ملاحظة أن أكبرها هو 6. يترتب على التعريف أن 6 هي درجة كثيرة الحدود − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 ، وبالتالي القيمة الأصلية.

إجابة: 6 .

معاملات مصطلحات كثيرة الحدود

التعريف 9

عندما تكون جميع حدود كثيرة الحدود أحادية الحد بالشكل القياسي، ففي هذه الحالة يكون لها الاسم معاملات مصطلحات كثيرة الحدود.وبعبارة أخرى، يمكن أن يطلق عليها معاملات كثيرة الحدود.

عند النظر في المثال، من الواضح أن كثيرة الحدود بالشكل 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 تحتوي على 4 كثيرات الحدود: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x و 7 مع معاملاتها المقابلة 2, − 0، 5، 3 و 7. هذا يعني أن 2، − 0، 5، 3 و 7 تعتبر معاملات حدود لمتعددة حدود معينة بالشكل 2 x − 0، 5 x y + 3 x + 7. عند التحويل، من المهم الانتباه إلى المعاملات الموجودة أمام المتغيرات.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

درس حول موضوع: "مفهوم وتعريف كثير الحدود. الشكل القياسي لكثيرة الحدود"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم. تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الوسائل التعليمية والمحاكيات في متجر Integral الإلكتروني للصف السابع
كتاب مدرسي إلكتروني يعتمد على الكتاب المدرسي لـ Yu.N. ماكاريتشيفا
كتاب إلكتروني يعتمد على الكتاب المدرسي للشيخ أ. أليموفا

يا رفاق، لقد درستم بالفعل أحاديات الحد في الموضوع: الشكل القياسي لأحادية الحد. تعريفات. أمثلة. دعونا نراجع التعريفات الأساسية.

أحادية الحد- تعبير يتكون من منتج الأرقام والمتغيرات. يمكن رفع المتغيرات إلى القوى الطبيعية. لا يحتوي وحيد الحد على أي عمليات أخرى غير الضرب.

الشكل القياسي لمونوميال- هذا النوع عندما يأتي المعامل (العامل العددي) أولاً، يليه درجات المتغيرات المختلفة.

أحادية الحد مماثلة- إما أن تكون أحادية الحد متطابقة، أو تختلف عن بعضها البعض بمعامل.

مفهوم كثير الحدود

كثير الحدود، مثل أحادي الحد، هو اسم معمم التعبيرات الرياضية نوع معين. لقد واجهنا مثل هذه التعميمات من قبل. على سبيل المثال، "المجموع"، "المنتج"، "الأسي". عندما نسمع "فرق الأعداد"، لا تخطر على بالنا فكرة الضرب أو القسمة. كما أن كثير الحدود هو تعبير عن نوع محدد بدقة.

تعريف كثير الحدود

متعدد الحدودهو مجموع أحاديات الحد.

تسمى وحيدات الحد التي تشكل كثيرات الحدود أعضاء كثير الحدود. إذا كان هناك حدان، فإننا نتعامل مع ذات الحدين، وإذا كان هناك ثلاثة، فإننا نتعامل مع ثلاثي الحدود. إذا كان هناك المزيد من الحدود، فهي كثيرة الحدود.

أمثلة على كثيرات الحدود.

1) 2аb + 4сd (ذات الحدين)؛

2) 4ab + 3cd + 4x (ثلاثي الحدود)؛

3) 4أ 2 ب 4 + 4 ج 8 د 9 + 2xу 3 ;

3ج 7 د 8 - 2 ب 6 ج 2 د + 7 س ص - 5 س س 2.

دعونا ننظر بعناية في أحدث التعبير. بحكم التعريف، كثير الحدود هو مجموع أحاديات الحد، ولكن في المثال الأخيرنحن لا نجمع فقط، بل نطرح أيضًا أحاديات الحد.
للتوضيح، دعونا نلقي نظرة على مثال صغير.

دعونا نكتب التعبير أ + ب - ج(دعونا نتفق على ذلك أ ≥ 0، ب ≥ 0 و ج ≥0) وأجب عن السؤال: هل هذا المجموع أم الفرق؟ من الصعب القول.
في الواقع، إذا قمنا بإعادة كتابة التعبير كما أ + ب + (-ج)، نحصل على مجموع حدين موجبين وواحد سالب.
إذا نظرت إلى مثالنا، فإننا نتعامل على وجه التحديد مع مجموع أحاديات الحد مع المعاملات: 3، - 2، 7، -5. في الرياضيات هناك مصطلح " مجموع جبري". وهكذا، في تعريف كثير الحدود نعني "مجموع جبري".

لكن تدوين النموذج 3a: b + 7c ليس متعدد الحدود لأن 3a: b ليس أحادي الحد.
إن تدوين النموذج 3b + 2a * (c 2 + d) ليس متعدد الحدود أيضًا، نظرًا لأن 2a * (c 2 + d) ليس أحادي الحد. إذا قمت بفتح الأقواس، فسيكون التعبير الناتج متعدد الحدود.
3ب + 2أ * (ج2 + د) = 3ب + 2أك 2 + 2أد.

درجة متعددة الحدوديكون أعلى درجةأعضائها.
كثيرة الحدود أ 3 ب 2 + أ 4 لها الدرجة الخامسة، لأن درجة أحادية الحد أ 3 ب 2 هي 2 + 3 = 5، ودرجة أحادية الحد أ 4 هي 4.

النموذج القياسي لكثير الحدود

كثيرة الحدود التي لا تحتوي على مصطلحات متشابهة ومكتوبة بترتيب تنازلي لقوى شروط كثيرة الحدود هي كثيرة الحدود ذات الشكل القياسي.

يتم إحضار كثير الحدود إلى نموذج قياسي لإزالة الكتابة المرهقة غير الضرورية وتبسيط الإجراءات الإضافية بها.

في الواقع، لماذا، على سبيل المثال، كتابة التعبير الطويل 2ب 2 + 3 ب 2 + 4 ب 2 + 2 أ 2 + أ 2 + 4 + 4، عندما يمكن كتابته أقصر من 9 ب 2 + 3 أ 2 + 8.

لجلب كثيرة الحدود إلى الصورة القياسية، تحتاج إلى:
1. جلب جميع أعضائها إلى نموذج موحد،
2. أضف مصطلحات متشابهة (متطابقة أو ذات معاملات رقمية مختلفة). هذا الإجراءكثيرا ما يطلق عليه جلب مماثلة.

مثال.
اختصر كثيرة الحدود aba + 2y 2 x 4 x + y 2 x 3 x 2 + 4 + 10a 2 b + 10 إلى الصورة القياسية.

حل.

أ 2 ب + 2 × 5 ص 2 + س 5 ص 2 + 10 أ 2 ب + 14= 11 أ 2 ب + 3 × 5 ص 2 + 14.

دعونا نحدد قوى وحيدات الحد المتضمنة في التعبير ونرتبها ترتيبًا تنازليًا.
11a 2 b لها الدرجة الثالثة، 3 x 5 y 2 لها الدرجة السابعة، 14 لها الدرجة صفر.
هذا يعني أننا سنضع في المقام الأول 3 × 5 ذ 2 (الدرجة السابعة)، وفي الثانية - 12 أ 2 ب (الدرجة الثالثة) وفي الثالثة - 14 ( درجة الصفر).
ونتيجة لذلك، حصلنا على كثيرة الحدود بالشكل القياسي 3x 5 y 2 + 11a 2 b + 14.

أمثلة على الحل الذاتي

تقليل كثيرات الحدود إلى النموذج القياسي.

1) 4ب 3 أأ - 5س 2 ص + 6أك - 2ب 3 أ 2 - 56 + أس + س 2 ص + 50 * (2 أ 2 ب 3 - 4س 2 ص + 7أك - 6)؛

2) 6أ 5 ب + 3س 2 ص + 45 + س 2 ص + أب - 40 * (6أ 5 ب + 4س ص + أب + 5)؛

3) 4ax 2 + 5bc - 6a - 24bc + xx 4 x (5ax 6 - 19bc - 6a)؛

4) 7abc2 + 5abc + 7ab2 - 6bab + 2cabc (14abc2 + ab2).

في هذا الدرس، سوف نتذكر التعريفات الأساسية لهذا الموضوع وننظر في بعض المسائل النموذجية، وهي جلب كثيرة الحدود إلى صيغة قياسية وحساب القيمة العددية لـ القيم المعطاةالمتغيرات. سوف نقوم بحل العديد من الأمثلة التي سيتم فيها استخدام الاختزال إلى الصورة القياسية لحلها أنواع مختلفةمهام.

موضوع:كثيرات الحدود. عمليات حسابيةعلى أحاديات الحد

درس:تقليل كثير الحدود إلى النموذج القياسي. المهام النموذجية

دعونا نتذكر التعريف الأساسي: كثير الحدود هو مجموع أحاديات الحد. كل وحيدة حد تكون جزءًا من كثيرة الحدود كمصطلح تسمى عضوًا فيها. على سبيل المثال:

ذات الحدين.

متعدد الحدود؛

ذات الحدين.

نظرًا لأن كثيرة الحدود تتكون من أحادية الحد، فإن الإجراء الأول مع كثيرة الحدود يتبع من هنا - تحتاج إلى إحضار جميع أحاديات الحد إلى نموذج قياسي. دعونا نذكرك أنه لهذا تحتاج إلى مضاعفة جميع العوامل العددية - احصل عليها معامل عددي، وتتضاعف درجات المقابلة- الحصول على جزء الرسالة. بالإضافة إلى ذلك، دعونا ننتبه إلى النظرية المتعلقة بحاصل ضرب القوى: عند ضرب القوى، تتجمع أسسها.

دعونا نفكر عملية مهمة- جلب كثير الحدود إلى الشكل القياسي. مثال:

تعليق: لإحضار كثير الحدود إلى نموذج قياسي، تحتاج إلى إحضار جميع أحاديات الحد المضمنة في تكوينها إلى نموذج قياسي، وبعد ذلك، إذا كانت هناك أحاديات حد مماثلة - وهذه أحادية الحد لها نفس الجزء من الحرف - قم بتنفيذ الإجراءات معهم .

لذلك، نظرنا إلى المشكلة النموذجية الأولى - تحويل كثيرة الحدود إلى صيغة قياسية.

المهمة النموذجية التالية هي الحساب معنى محددكثير الحدود لالمعطى القيم العدديةالمتغيرات المتضمنة فيه. لنواصل النظر إلى المثال السابق ونضبط قيم المتغيرات:

التعليق: أذكر أن وحدة في أي درجة طبيعيةيساوي واحدًا، وصفرًا لأي قوة طبيعية يساوي الصفربالإضافة إلى ذلك، تذكر أنه عند ضرب أي رقم في الصفر، نحصل على صفر.

دعونا نلقي نظرة على عدد من الأمثلة على العمليات النموذجية لجلب كثيرة الحدود إلى شكل قياسي وحساب قيمتها:

مثال 1 - إحضار إلى النموذج القياسي:

تعليق: الخطوة الأولى هي إحضار أحاديات الحد إلى الشكل القياسي، وتحتاج إلى إحضار الأول والثاني والسادس؛ الإجراء الثاني - نأتي بمصطلحات مماثلة، أي أننا نقوم بتنفيذ المهام المحددة عليها عمليات حسابية: نضيف الأول مع الخامس، والثاني مع الثالث، ويتم إعادة كتابة الباقي دون تغييرات، لأنه ليس لديهم مثل هذا.

مثال 2 - حساب قيمة كثيرة الحدود من المثال 1 مع مراعاة قيم المتغيرات:

تعليق: عند الحساب، يجب أن تتذكر أن الوحدة لأي قوة طبيعية هي واحد، وإذا كان من الصعب حساب قوى العدد اثنين، فيمكنك استخدام جدول القوى.

مثال 3 - بدلاً من النجمة، ضع وحيدة الحد بحيث لا تحتوي النتيجة على متغير:

تعليق: بغض النظر عن المهمة، فإن الإجراء الأول هو نفسه دائمًا - قم بإحضار كثير الحدود إلى نموذج قياسي. في مثالنا، يأتي هذا الإجراء ليجلب مصطلحات مماثلة. بعد ذلك، يجب عليك قراءة الشرط بعناية مرة أخرى والتفكير في كيفية التخلص من أحادية الحد. من الواضح أنك تحتاج إلى إضافة نفس الحد إليه، ولكن مع علامة المعاكس- . بعد ذلك، نستبدل العلامة النجمية بهذه الوحدة ونتأكد من صحة الحل.

- كثيرات الحدود. في هذه المقالة سوف نقوم بتوضيح جميع الخطوات الأولية و معلومات ضروريةحول كثيرات الحدود. وتشمل هذه، أولاً، تعريف كثيرة الحدود مع التعريفات المصاحبة لمصطلحات كثيرة الحدود، على وجه الخصوص، المصطلح الحر والمصطلحات المشابهة. ثانيا، سوف نتناول كثيرات الحدود ذات الصيغة القياسية، وسنقدم التعريف المقابل ونعطي أمثلة عليها. وأخيرا، سوف نقدم تعريف درجة كثيرة الحدود، ونتعرف على كيفية العثور عليها، ونتحدث عن معاملات حدود كثيرة الحدود.

التنقل في الصفحة.

كثيرات الحدود ومصطلحاتها - تعريفات وأمثلة

في الصف السابع، تتم دراسة كثيرات الحدود مباشرة بعد أحاديات الحد، وهذا أمر مفهوم، لأنه تعريف متعدد الحدوديتم إعطاء من خلال monomials. دعونا نعطي هذا التعريف لشرح ما هو كثير الحدود.

تعريف.

متعدد الحدودهو مجموع أحاديات الحد. تعتبر أحادية الحد حالة خاصة من كثيرات الحدود.

يتيح لك التعريف المكتوب تقديم العديد من الأمثلة على كثيرات الحدود كما تريد. أي من أحاديات الحد 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0.6 x (−2) y 12, إلخ. هو كثير الحدود. أيضًا، بحكم التعريف، 1+x، a 2 +b 2 وهي كثيرة الحدود.

لتسهيل وصف كثيرات الحدود، تم تقديم تعريف لمصطلح متعدد الحدود.

تعريف.

مصطلحات متعددة الحدودهي الوحدات المكونة لكثيرة الحدود.

على سبيل المثال, كثير الحدود 3 x 4 −2 x y+3−y 3 يتكون من أربعة حدود: 3 x 4 , −2 x y , 3 و −y 3 . يعتبر أحادي الحد متعدد الحدود يتكون من مصطلح واحد.

تعريف.

كثيرات الحدود التي تتكون من حدين وثلاثة حدود لها أسماء خاصة - ذات الحدينو ثلاثي الحدودعلى التوالى.

إذًا x+y هي ذات الحدين، و2 x 3 q−q x x x+7 b هي ثلاثية الحدود.

في المدرسة، يتعين علينا في أغلب الأحيان العمل معهم ذات الحدين الخطية a x+b ، حيث a و b عبارة عن بعض الأرقام، و x متغير، وكذلك c ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية a·x 2 +b·x+c، حيث a وb وc هي بعض الأرقام، وx متغير. فيما يلي أمثلة على ثنائيات الحدود الخطية: x+1، x 7,2−4، وإليك أمثلة على ثلاثيات الحدود المربعة: x 2 +3 x−5 و .

كثيرات الحدود في تدوينها يمكن أن يكون لها مصطلحات مماثلة. على سبيل المثال، في كثير الحدود 1+5 x−3+y+2 x المصطلحات المتشابهة هي 1 و−3، بالإضافة إلى 5 x و2 x. لديهم اسم خاص بهم - مصطلحات مشابهة لكثيرة الحدود.

تعريف.

شروط مماثلة من كثير الحدودتسمى المصطلحات المتشابهة في كثير الحدود.

في المثال السابق، 1 و−3، وكذلك الزوج 5 x و2 x، هي مصطلحات متشابهة في كثيرة الحدود. في كثيرات الحدود التي لها حدود متشابهة، يمكنك تبسيط الحدود المتشابهة لتبسيط شكلها.

كثير الحدود من النموذج القياسي

بالنسبة لمتعددات الحدود، وكذلك بالنسبة لمونوميال، هناك ما يسمى طريقة العرض القياسية. دعونا نعبر عن التعريف المقابل.

قائم على هذا التعريف، يمكننا إعطاء أمثلة على كثيرات الحدود ذات الشكل القياسي. لذا فإن كثيرات الحدود 3 x 2 −x y+1 و مكتوبة في النموذج القياسي. والتعبيرات 5+3 x 2 −x 2 +2 x z و x+x y 3 x z 2 +3 z ليست متعددة الحدود بالشكل القياسي، لأن أولها يحتوي على مصطلحات مماثلة 3 x 2 و −x 2 ، وفي الثاني – أحادي الحد x·y 3 ·x·z 2 , ويختلف شكله عن الشكل القياسي.

لاحظ أنه، إذا لزم الأمر، يمكنك دائمًا تقليل كثيرة الحدود إلى الصورة القياسية.

هناك مفهوم آخر متعلق بمتعددات الحدود ذات الشكل القياسي وهو مفهوم الحد الحر لكثيرة الحدود.

تعريف.

مصطلح مجاني لكثير الحدودهو عضو في كثيرة الحدود ذات الشكل القياسي بدون جزء من الحرف.

بمعنى آخر، إذا كانت كثيرة الحدود ذات الشكل القياسي تحتوي على رقم، فإنها تسمى عضوًا حرًا. على سبيل المثال، 5 هو الحد الحر لكثيرة الحدود x 2 z+5، لكن كثير الحدود 7 a+4 a b+b 3 لا يحتوي على حد حر.

درجة كثير الحدود - كيفية العثور عليه؟

مهم آخر التعريف المصاحبهو تحديد درجة كثير الحدود. أولاً، نحدد درجة كثيرة الحدود من الصورة القياسية، ويعتمد هذا التعريف على درجات أحاديات الحد التي تكون في تركيبها.

تعريف.

درجة كثير الحدود من الشكل القياسيهي أكبر قوى أحاديات الحد المتضمنة في تدوينها.

دعونا نعطي أمثلة. درجة كثير الحدود 5 × 3 −4 تساوي 3، نظرًا لأن أحاديات الحد 5 × 3 و −4 المتضمنة فيه لها درجات 3 و 0 على التوالي، فإن أكبر هذه الأرقام هو 3، وهي درجة كثير الحدود حسب التعريف. ودرجة كثيرة الحدود 4 × 2 ص 3 −5 × 4 ص+6 سيساوي أكبر الأعداد 2+3=5، 4+1=5 و1، أي 5.

الآن دعونا نتعرف على كيفية العثور على درجة كثيرة الحدود نوع تعسفي.

تعريف.

درجة كثير الحدود من الشكل التعسفياستدعاء درجة كثير الحدود المقابلة من النموذج القياسي.

لذلك، إذا لم يتم كتابة كثير الحدود في شكل قياسي، وتحتاج إلى العثور على درجته، فأنت بحاجة إلى تقليل كثير الحدود الأصلي إلى الشكل القياسي، والعثور على درجة كثير الحدود الناتج - سيكون هو المطلوب. دعونا نلقي نظرة على الحل المثال.

مثال.

أوجد درجة كثيرة الحدود 3 أ 12 −2 أ ب ج أ ج ب+ص 2 ض 2 −2 أ 12 −أ 12.

حل.

تحتاج أولاً إلى تمثيل كثير الحدود بالشكل القياسي:
3 أ 12 −2 أ ب ج أ ج ب+y 2 ض 2 −2 أ 12 −a 12 = =(3 أ 12 −2 أ 12 −أ 12)− 2·(أ·أ)·(ب·ب)·(ج·ج)+ص 2 ·ض 2 = =−2 أ 2 ب 2 ج 2 +ص 2 ض 2.

يتضمن كثير الحدود الناتج بالشكل القياسي اثنين من أحاديات الحد −2·a 2 ·b 2 ·c 2 و y 2 ·z 2 . دعونا نجد قوتهم: 2+2+2=6 و 2+2=4. من الواضح أن أكبر هذه القوى هو 6، والتي بحكم تعريفها هي قوة كثيرة الحدود بالشكل القياسي −2 أ 2 ب 2 ج 2 +ص 2 ض 2، وبالتالي درجة كثيرة الحدود الأصلية., 3 x و 7 من كثيرة الحدود 2 x−0.5 x y+3 x+7 .

فهرس.

• الجبر:كتاب مدرسي للصف السابع تعليم عام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ حررت بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة 17. - م: التربية، 2008. - 240 ص. : سوف. -ردمك 978-5-09-019315-3.
• موردكوفيتش أ.ج.الجبر. الصف السابع. الساعة 2 بعد الظهر الجزء الأول الكتاب المدرسي للطلاب المؤسسات التعليمية/ أ.ج.موردكوفيتش. - الطبعة 17، إضافة. - م: منيموسين، 2013. - 175 ص: مريض. ردمك 978-5-346-02432-3.
• الجبرو بدأ التحليل الرياضي. الصف العاشر: كتاب مدرسي. للتعليم العام المؤسسات: الأساسية والملف الشخصي. المستويات / [يو. M. Kolyagin، M. V. Tkacheva، N. E. Fedorova، M. I. Shabunin]؛ حررت بواسطة أ.ب. زيزتشينكو. - الطبعة الثالثة. - م: التربية، 2010.- 368 ص. : سوف. -ردمك 978-5-09-022771-1.
• غوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج.الرياضيات (دليل للملتحقين بالمدارس الفنية): بروك. بدل.- م. أعلى المدرسة، 1984.-351 ص، مريض.

متعدد الحدود هو مجموع أحاديات الحد. إذا كانت جميع حدود كثيرة الحدود مكتوبة في الصورة القياسية (انظر الفقرة 51) وتم اختصار الحدود المشابهة، فستحصل على كثيرة الحدود بالشكل القياسي.

يمكن تحويل أي تعبير صحيح إلى متعدد الحدود بالشكل القياسي - وهذا هو الغرض من تحويلات (تبسيط) التعبيرات الصحيحة.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة التي يجب فيها اختزال التعبير بأكمله إلى الصورة القياسية لكثيرة الحدود.

حل. أولاً، دعونا نجعل حدود كثيرة الحدود في الصورة القياسية. نحصل بعد جلب مصطلحات متشابهة نحصل على كثيرة الحدود بالشكل القياسي

حل. إذا كانت هناك علامة زائد أمام الأقواس، فيمكن حذف الأقواس، مع الحفاظ على علامات جميع المصطلحات الموجودة بين الأقواس. باستخدام هذه القاعدة لفتح الأقواس نحصل على:

حل. إذا كانت الأقواس مسبوقة بعلامة الطرح، فيمكن حذف الأقواس عن طريق تغيير إشارات جميع الحدود الموجودة بين القوسين. باستخدام هذه القاعدة لإخفاء الأقواس نحصل على:

حل. إن حاصل ضرب أحادية الحد ومتعددة الحدود، وفقًا لقانون التوزيع، يساوي مجموع منتجات أحادية الحد وكل عضو في كثيرة الحدود. نحن نحصل

حل. لدينا

حل. لدينا

يبقى إعطاء مصطلحات مماثلة (تم وضع خط تحتها). نحن نحصل:

53. صيغ الضرب المختصرة.

في بعض الحالات، يتم تنفيذ تعبير كامل إلى الشكل القياسي لكثيرة الحدود باستخدام المتطابقات:

تسمى هذه الهويات صيغ الضرب المختصرة،

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة التي تحتاج فيها إلى تحويل تعبير معين إلى الشكل القياسي myogochlea.

مثال 1. .

حل. وباستخدام الصيغة (1) نحصل على:

مثال 2. .

حل.

مثال 3. .

حل. وباستخدام الصيغة (3) نحصل على:

مثال 4.

حل. وباستخدام الصيغة (4) نحصل على:

54. تحليل كثيرات الحدود.

في بعض الأحيان يمكنك تحويل كثيرة الحدود إلى منتج لعدة عوامل - كثيرات الحدود أو الحدود الفرعية. هذا تحول الهويةيسمى تحليل كثير الحدود. في هذه الحالة، يقال إن كثيرة الحدود قابلة للقسمة على كل من هذه العوامل.

دعونا نلقي نظرة على بعض الطرق لتحليل كثيرات الحدود،

1) إخراج العامل المشترك من القوسين. هذا التحول هو نتيجة مباشرة لقانون التوزيع (للتوضيح، تحتاج فقط إلى إعادة كتابة هذا القانون "من اليمين إلى اليسار"):

مثال 1: تحليل كثيرة الحدود

حل. .

عادة، عند إخراج العامل المشترك من الأقواس، يتم إخراج كل متغير متضمن في جميع حدود كثيرة الحدود بأقل أس له في كثيرة الحدود هذه. إذا كانت جميع معاملات كثيرة الحدود أعدادًا صحيحة، فسيتم أخذ أكبر معاملاتها على أنها معامل العامل المشترك القاسم المشتركجميع معاملات كثير الحدود.

2) استخدام صيغ الضرب المختصرة. الصيغ (1) - (7) من الفقرة 53، التي تتم قراءتها من اليمين إلى اليسار، تكون في كثير من الحالات مفيدة في تحليل كثيرات الحدود.

مثال 2: العامل .

حل. لدينا. وبتطبيق الصيغة (1) (فرق المربعات) نحصل على . عن طريق التقديم

الآن الصيغتين (4) و (5) (مجموع المكعبات، الفرق بين المكعبات)، نحصل على:

مثال 3. .

حل. أولاً، دعونا نخرجها من الأقواس المضاعف المشترك. وللقيام بذلك، سنجد القاسم المشترك الأكبر للمعاملات 4، 16، 16 وأصغر الأسس التي يتم بها تضمين المتغيرين a وb في المكونات نظرا متعدد الحدودوحيدات الحد. نحن نحصل:

3) طريقة التجميع. لأنه يقوم على حقيقة أنه تبادلي و القوانين النقابيةتسمح لك الإضافات بتجميع مصطلحات كثيرة الحدود طرق مختلفة. في بعض الأحيان يكون من الممكن التجميع بطريقة أنه بعد إزالة العوامل المشتركة من الأقواس، تبقى نفس كثيرة الحدود بين قوسين في كل مجموعة، والتي بدورها، كعامل مشترك، يمكن إخراجها من الأقواس. دعونا نلقي نظرة على أمثلة التخصيم كثير الحدود.

مثال 4. .

حل. دعونا نفعل التجميع على النحو التالي:

في المجموعة الأولى، لنخرج العامل المشترك من الأقواس إلى المجموعة الثانية - العامل المشترك 5. لقد حصلنا الآن على كثير الحدود كعامل مشترك خارج الأقواس: وهكذا نحصل على:

مثال 5.

حل. .

مثال 6.

حل. هنا، لن يؤدي أي تجميع إلى ظهور نفس كثير الحدود في جميع المجموعات. في مثل هذه الحالات، يكون من المفيد أحيانًا تمثيل عضو في كثيرة الحدود كمجموع، ثم حاول استخدام طريقة التجميع مرة أخرى. في مثالنا، من المستحسن تمثيله كمجموع

مثال 7.

حل. جمع وطرح أحادي الحد نحصل عليه

55. كثيرات الحدود في متغير واحد.

كثير الحدود، حيث a، b عبارة عن أرقام متغيرة، يسمى متعدد الحدود من الدرجة الأولى؛ كثيرة الحدود حيث a، b، c عبارة عن أرقام متغيرة، تسمى كثيرة الحدود من الدرجة الثانية أو ثلاثية الحدود مربعة؛ كثيرة الحدود حيث a، b، c، d أرقام، ويسمى المتغير متعدد الحدود من الدرجة الثالثة.

بشكل عام، إذا كان o متغيرًا، فهو متعدد الحدود

تسمى درجة lsmogochnolenol (نسبة إلى x) ؛ ، م-شروط كثير الحدود، المعاملات، الحد الرئيسي لكثير الحدود، أ هو معامل الحد الرئيسي، الحد الحر لكثير الحدود. عادة، تتم كتابة كثير الحدود بقوى تنازلية للمتغير، أي أن قوى المتغير تتناقص تدريجيًا، على وجه الخصوص، يكون الحد الرئيسي في المركز الأول، والحد الحر في المركز الأخير. درجة كثير الحدود هي درجة الحد الأعلى.

على سبيل المثال، كثيرة الحدود من الدرجة الخامسة، حيث يكون الحد الرئيسي، 1، هو الحد الحر لكثيرة الحدود.

جذر كثير الحدود هو القيمة التي تختفي عندها كثيرة الحدود. على سبيل المثال، الرقم 2 هو جذر كثيرة الحدود منذ ذلك الحين