مقارنة الأعداد العشرية. مقارنة الكسور العشرية المحدودة واللانهائية: القواعد والأمثلة والحلول

في هذا الدرس سوف نتعلم كيفية مقارنة الكسور مع بعضها البعض. هذه مهارة مفيدة جدًا وضرورية لحل فئة كاملة من المشكلات الأكثر تعقيدًا.

أولاً، دعني أذكرك بتعريف مساواة الكسور:

يقال أن الكسرين a /b وc /d متساويان إذا كان ad = bc.

1. 5/8 = 15/24، بما أن 5 24 = 8 15 = 120؛
2. 3/2 = 27/18، بما أن 3 18 = 2 27 = 54.

وفي جميع الحالات الأخرى، تكون الكسور غير متساوية، وتنطبق عليها إحدى العبارات التالية:

1. الكسر أ/ب أكبر من الكسر ج/د؛
2. الكسر a /b أصغر من الكسر c /d.

يقال أن الكسر a /b أكبر من الكسر c /d إذا كان a /b − c /d > 0.

يقال أن الكسر x /y أصغر من الكسر s /t إذا كان x /y − s /t< 0.

تعيين:

وبالتالي، فإن مقارنة الكسور تنتهي بطرحها. سؤال: كيف لا يتم الخلط بين الرموز "أكثر من" (>) و "أقل من" (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. يشير الجزء المتوهج من الغراب دائمًا نحو العدد الأكبر؛
2. يشير الأنف الحاد للغراب دائمًا إلى رقم أقل.

في كثير من الأحيان في المسائل التي تحتاج فيها إلى مقارنة الأرقام، يتم وضع علامة "∨" بينهما. هذا داو مع أنفه لأسفل، والذي يبدو أنه يشير إلى أنه لم يتم تحديد أكبر الأرقام بعد.

مهمة. مقارنة الأرقام:

بعد التعريف، طرح الكسور من بعضها البعض:

في كل مقارنة، كان مطلوبًا منا اختزال الكسور إلى قاسم مشترك. على وجه التحديد، استخدام طريقة التقاطع وإيجاد المضاعف المشترك الأصغر. لقد تعمدت عدم التركيز على هذه النقاط، ولكن إذا كان هناك شيء غير واضح، فقم بإلقاء نظرة على الدرس "جمع وطرح الكسور" - فهو سهل للغاية.

مقارنة الأعداد العشرية

في حالة الكسور العشرية، كل شيء أبسط من ذلك بكثير. ليست هناك حاجة لطرح أي شيء هنا - فقط قارن الأرقام. ومن الجيد أن تتذكر الجزء المهم من الرقم. بالنسبة لأولئك الذين نسوا، أقترح تكرار الدرس "ضرب وقسمة الكسور العشرية" - سيستغرق ذلك أيضًا بضع دقائق فقط.

تكون العلامة العشرية الموجبة X أكبر من العلامة العشرية الموجبة Y إذا كانت تحتوي على علامة عشرية مثل:

1. الرقم الموجود في هذا المكان في الكسر X أكبر من الرقم المقابل في الكسر Y؛
2. جميع الأرقام الأعلى من ذلك في الكسرين X وY هي نفسها.

1. 12.25 > 12.16. أول رقمين متماثلان (12 = 12)، والثالث أكبر (2 > 1)؛
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

بمعنى آخر، نمر عبر المنازل العشرية واحدة تلو الأخرى ونبحث عن الفرق. في هذه الحالة، الرقم الأكبر يتوافق مع جزء أكبر.

ومع ذلك، فإن هذا التعريف يحتاج إلى توضيح. على سبيل المثال، كيفية كتابة ومقارنة المنازل العشرية؟ تذكر: أي رقم مكتوب في الصورة العشرية يمكن أن يحتوي على أي عدد من الأصفار مضافة إلى اليسار. فيما يلي بعض الأمثلة الإضافية:

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
2. 2300.5 > 0.0025، لأن 0.0025 = 0000.0025 - تمت إضافة ثلاثة أصفار إلى اليسار. الآن يمكنك أن ترى أن الفرق يبدأ بالرقم الأول: 2 > 0.

بالطبع، في الأمثلة المعطاة بالأصفار، كان هناك مبالغة واضحة، لكن النقطة هي بالضبط ما يلي: املأ البتات المفقودة على اليسار، ثم قارن.

مهمة. مقارنة الكسور:

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

حسب التعريف لدينا:

1. 0.029 > 0.007. أول رقمين يتطابقان (00 = 00)، ثم يبدأ الفرق (2 > 0)؛
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0.00003 > 0.0000099. هنا تحتاج إلى حساب الأصفار بعناية. أول 5 أرقام في كلا الكسرين هي صفر، ولكن بعد ذلك في الكسر الأول هناك 3، وفي الثانية - 0. من الواضح، 3 > 0؛
4. 1700.1 > 0.99501. دعونا نعيد كتابة الكسر الثاني بالشكل 0000.99501، مع إضافة 3 أصفار إلى اليسار. الآن أصبح كل شيء واضحًا: 1 ​​> 0 - تم اكتشاف الفرق في الرقم الأول.

لسوء الحظ، فإن المخطط أعلاه لمقارنة الكسور العشرية ليس عالميًا. هذه الطريقة يمكن مقارنتها فقط أرقام إيجابية. في الحالة العامة، خوارزمية التشغيل هي كما يلي:

1. الكسر الموجب دائمًا أكبر من الكسر السالب؛
2. تتم مقارنة كسرين موجبين باستخدام الخوارزمية المذكورة أعلاه؛
3. تتم مقارنة كسرين سالبين بنفس الطريقة، ولكن في النهاية يتم عكس علامة المتباينة.

حسنا، ليس سيئا؟ الآن دعونا نلقي نظرة على أمثلة محددة - وسيصبح كل شيء واضحًا.

مهمة. مقارنة الكسور:

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. −0.192 > −0.39. الكسور سلبية، والرقم الثاني مختلف. 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0.15 > −11.3. الرقم الموجب دائمًا أكبر من الرقم السالب؛
4. 19.032 > 0.091. يكفي إعادة كتابة الكسر الثاني بالصيغة 00.091 لنرى أن الفرق يظهر بالفعل في الرقم الأول؛
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. الفرق في الفئة الأولى.

الغرض من الدرس:

• تهيئة الظروف لاشتقاق قاعدة لمقارنة الكسور العشرية والقدرة على تطبيقها؛
• كرر كتابة الكسور المشتركة في صورة أعداد عشرية، وتقريب الكسور العشرية؛
• تطوير التفكير المنطقي والقدرة على التعميم ومهارات البحث والكلام.

خلال الفصول الدراسية

يا رفاق، دعونا نتذكر ماذا فعلنا معكم في الدروس السابقة؟

إجابة:درس الكسور العشرية، وكتب الكسور العادية ككسور عشرية، والعكس صحيح، ككسور عشرية مقربة.

ماذا تريد ان تفعل اليوم؟

(يجيب الطلاب.)

لكنك ستكتشف في غضون دقائق قليلة ما سنفعله في الفصل. افتحوا دفاتركم واكتبوا التاريخ. سيذهب الطالب إلى السبورة ويعمل من الجزء الخلفي من السبورة. سأقدم لك المهام التي تكملها شفويا. اكتب إجاباتك في دفترك على سطر تفصله فاصلة منقوطة. أحد الطلاب على السبورة يكتب في عمود.

قرأت المهام المكتوبة مسبقًا على السبورة:

دعونا تحقق. من لديه إجابات أخرى؟ تذكر القواعد.

يملك: 1,075; 2,175; 3,275; 4,375; 5,475; 6,575; 7,675.

قم بإنشاء نمط واستمر في السلسلة الناتجة لرقمين آخرين. دعونا تحقق.

خذ النص وتحت كل رقم (يضع الشخص الذي يجيب على اللوحة حرفًا بجوار الرقم) ضع الحرف المقابل. اقرا الكلمة.

توضيح:

إذن ماذا سنفعل في الفصل؟

إجابة:مقارنة.

بالمقارنة! حسنًا، على سبيل المثال، سأبدأ الآن بمقارنة يدي، وكتابين مدرسيين، و3 مساطر. ماذا تريد المقارنة؟

إجابة:الكسور العشرية.

ما موضوع الدرس الذي سنكتبه؟

أكتب موضوع الدرس على السبورة، ويكتبه الطلاب في دفاترهم: "مقارنة الأعداد العشرية".

يمارس:مقارنة الأرقام (المكتوبة على السبورة)

18.625 و 5.784		15,200 و 15,200
3.0251 و 21.02		7.65 و 7.8
23.0521 و 0.0521		0.089 و 0.0081

أولاً نفتح الجانب الأيسر. أجزاء كاملة مختلفة. نستخلص استنتاجًا حول مقارنة الكسور العشرية بأجزاء صحيحة مختلفة. افتح الجانب الأيمن. الأجزاء الكاملة هي أعداد متساوية. كيفية المقارنة؟

يعرض:كتابة الكسور العشرية على شكل كسور ومقارنتها.

اكتب مقارنة بين الكسور العادية. إذا قمت بتحويل كل كسر عشري إلى كسر عادي وقارنت بين كسرين، فسوف يستغرق الأمر الكثير من الوقت. ربما يمكننا التوصل إلى قاعدة المقارنة؟ (يقترح الطلاب.) لقد كتبت قاعدة مقارنة الكسور العشرية، التي يقترحها المؤلف. فلنقارن.

هناك قاعدتان مطبوعتان على قطعة من الورق:

1. إذا كانت أجزاء الكسور العشرية مختلفة، فإن الكسر الذي يحتوي على الجزء الكامل الأكبر يكون أكبر.
2. إذا كانت الأجزاء الكاملة للكسور العشرية متماثلة، فإن الكسر الذي تكون أول منازله العشرية غير المتطابقة أكبر يكون أكبر.

لقد توصلنا أنا وأنت إلى اكتشاف. وهذا الاكتشاف هو قاعدة مقارنة الكسور العشرية. وتزامنت مع القاعدة التي اقترحها مؤلف الكتاب المدرسي.

لقد لاحظت أن القواعد تقول أي الكسرين أكبر. هل يمكن أن تخبرني أي من الكسرين العشريين أصغر؟

أكمل في دفتر رقم 785(1، 2) صفحة 172. المهمة مكتوبة على السبورة. يعلق الطلاب ويقوم المعلم بإشارات.

يمارس:يقارن

3.4208 و3.4028

إذن ماذا تعلمنا أن نفعل اليوم؟ دعونا نتحقق من أنفسنا. العمل على قطع من الورق باستخدام ورق الكربون.

يقارن الطلاب الكسور العشرية باستخدام >،<, =. Когда ученики выполнят задание, то листок сверху оставляют себе, а листок снизу сдают учителю.

عمل مستقل.

(راجع - الإجابات في الجزء الخلفي من اللوحة.)

يقارن

148.05 و 14.805

6.44806 و6.44863

35.601 و 35.6010

أول من يفعل ذلك يتلقى المهمة (ينفذ من الجزء الخلفي من اللوحة) رقم 786(1، 2):

ابحث عن النمط واكتب الرقم التالي في التسلسل. في أي تسلسل يتم ترتيب الأعداد تصاعديًا، وفي أي تسلسل يتم ترتيبها تنازليًا؟

إجابة:

1. 0.1; 0.02؛ 0.003؛ 0.0004; 0.00005; (0.000006) - متناقص
2. 0.1 ؛ 0.11؛ 0.111؛ 0.1111؛ 0.11111؛ (0.111111) - الزيادات.

بعد أن يرسل آخر طالب العمل، قم بالتحقق منه.

يقارن الطلاب إجاباتهم.

أولئك الذين فعلوا كل شيء بشكل صحيح سيمنحون أنفسهم علامة "5"، وأولئك الذين ارتكبوا 1-2 أخطاء - "4"، 3 أخطاء - "3". تعرف على الأخطاء التي ارتكبت في المقارنات، وعلى أي قاعدة.

اكتب واجبك المنزلي: رقم 813، رقم 814 (البند 4، ص 171). تعليق. إذا كان لديك وقت، أكمل الرقم 786(1، 3)، رقم 793(أ).

ملخص الدرس.

1. ماذا تعلمتم يا رفاق أن تفعلوا في الفصل؟
2. هل اعجبتك ام لا؟
3. ما هي الصعوبات؟

خذ الأوراق واملأها مع الإشارة إلى درجة استيعابك للمادة:

• أتقنه بالكامل، وأستطيع أن أؤديه؛
• لقد أتقنته تمامًا، لكني أجد صعوبة في استخدامه؛
• يتقن جزئيا؛
• لم يتعلم.

شكرا لك على الدرس.

الكسر هو جزء واحد أو أكثر من أجزاء متساوية من كل واحد. تتم كتابة الكسر باستخدام عددين طبيعيين يفصل بينهما خط. على سبيل المثال، 1/2، 14/4، ¾، 5/9، إلخ.

الرقم المكتوب فوق السطر يسمى بسط الكسر، والرقم المكتوب أسفل السطر يسمى مقام الكسر.

للأعداد الكسرية التي مقامها 10، 100، 1000، إلخ. اتفقنا على كتابة العدد بدون مقام. للقيام بذلك، اكتب أولا الجزء الصحيح من الرقم، ضع فاصلة واكتب الجزء الكسري من هذا الرقم، أي بسط الجزء الكسري.

على سبيل المثال، بدلا من 6 * (7 / 10) يكتبون 6.7.

يُطلق على هذا الترميز عادة اسم الكسر العشري.

كيفية المقارنة بين عددين عشريين

دعونا نتعرف على كيفية مقارنة كسرين عشريين. للقيام بذلك، دعونا أولا نتحقق من حقيقة مساعدة واحدة.

على سبيل المثال، طول قطعة معينة هو 7 سم أو 70 ملم. أيضًا 7 سم = 7/10 دسم أو بالتدوين العشري 0.7 دسم.

ومن ناحية أخرى، 1 مم = 1/100 dm، ثم 70 مم = 70/100 dm أو بالتدوين العشري 0.70 dm.

وبذلك نحصل على 0.7 = 0.70.

ومن هذا نستنتج أنه إذا أضفنا أو حذفنا صفرًا في نهاية الكسر العشري، فإننا نحصل على كسر يساوي الكسر المعطى. بمعنى آخر، لن تتغير قيمة الكسر.

الكسور ذات المقامات المتشابهة

لنفترض أننا بحاجة إلى مقارنة كسرين عشريين 4.345 و4.36.

تحتاج أولاً إلى مساواة عدد المنازل العشرية عن طريق إضافة أو التخلص من الأصفار الموجودة على اليمين. ستكون النتائج 4.345 و 4.360.

أنت الآن بحاجة إلى كتابتها على هيئة كسور غير حقيقية:

• 4,345 = 4345 / 1000 ;
• 4,360 = 4360 / 1000 .

الكسور الناتجة لها نفس القواسم. وفقًا لقاعدة مقارنة الكسور، نعلم أنه في هذه الحالة يكون الكسر ذو البسط الأكبر أكبر. وهذا يعني أن الكسر 4.36 أكبر من الكسر 4.345.

وبالتالي، من أجل مقارنة كسرين عشريين، يجب عليك أولاً مساواة عدد المنازل العشرية فيهما عن طريق إضافة أصفار إلى أحدهما على اليمين، ثم التخلص من الفاصلة، ومقارنة الأعداد الطبيعية الناتجة.

يمكن تمثيل الكسور العشرية كنقاط على خط الأعداد. ولذلك، في بعض الأحيان في حالة وجود رقم أكبر من آخر، يقولون إن هذا الرقم يقع على يمين الآخر، أو إذا كان أقل، فهو على اليسار.

إذا كان عددان عشريان متساويان، فسيتم تمثيلهما بنفس النقطة على خط الأعداد.

القطعة AB تساوي 6 سم، أي 60 ملم. بما أن 1 سم = دسم، إذن 6 سم = دسم. وهذا يعني أن AB يساوي 0.6 dm. بما أن 1 مم = dm، فإن 60 مم = dm. وهذا يعني AB = 0.60 ديسيمتر.
وبالتالي، AB = 0.6 dm = 0.60 dm. وهذا يعني أن الكسرين العشريين 0.6 و0.60 يعبران عن طول القطعة نفسها بالديسيمترات. هذه الكسور متساوية مع بعضها البعض: 0.6 = 0.60.

إذا أضفت صفرًا أو تجاهلت الصفر في نهاية الكسر العشري، فستحصل على جزء، يساوي هذا.
على سبيل المثال،

0,87 = 0,870 = 0,8700; 141 = 141,0 = 141,00 = 141,000;
26,000 = 26,00 = 26,0 = 26; 60,00 = 60,0 = 60;
0,900 = 0,90 = 0,9.

دعونا نقارن بين كسرين عشريين 5.345 و5.36. دعونا نساوي عدد المنازل العشرية بإضافة صفر إلى يمين الرقم 5.36. نحصل على الكسرين 5.345 و5.360.

لنكتبها على شكل كسور غير حقيقية:

هذه الكسور لها نفس القواسم. وهذا يعني أن البسط الأكبر هو الأكبر.
منذ 5345< 5360, то وهو ما يعني 5.345< 5,360, то есть 5,345 < 5,36.
لمقارنة كسرين عشريين، يجب عليك أولاً مساواة عدد المنازل العشرية عن طريق إضافة أصفار إلى أحدهما على اليمين، ثم التخلص من الفاصلة، ومقارنة الناتج الأعداد الصحيحة.

يمكن تمثيل الكسور العشرية على شعاع إحداثي بنفس طريقة تمثيل الكسور العادية.
على سبيل المثال، لتصوير الكسر العشري 0.4 على شعاع إحداثي، فإننا نمثله أولاً ككسر عادي: 0.4 = ثم نضع جانبًا أربعة أعشار قطعة الوحدة من بداية الشعاع. نحصل على النقطة A(0,4) (الشكل 141).

يتم تمثيل الكسور العشرية المتساوية على الشعاع الإحداثي بنفس النقطة.

على سبيل المثال، يتم تمثيل الكسرين 0.6 و0.60 بنقطة واحدة B (انظر الشكل 141).

يقع الكسر العشري الأصغر شعاع الإحداثياتعن يسار الأكبر، والأكبر عن يمين الأصغر.

على سبيل المثال، 0.4< 0,6 < 0,8, поэтому точка A(0,4) лежит левее точки B(0,6), а точка С(0,8) лежит правее точки B(0,6) (см. рис. 141).

هل يتغير العدد العشري إذا أضيف صفر إلى النهاية؟
A6 الأصفار؟
صياغة قاعدة المقارنة عدد عشريالكسور

1172. اكتب الكسر العشري:

أ) بأربع منازل عشرية، تساوي 0.87؛
ب) بخمس منازل عشرية، تساوي 0.541؛
ج) بثلاثة أرقام بعد مشغولة، تساوي 35؛
د) بمنزلتين عشريتين يساوي 8.40000.

1173. عن طريق إضافة الأصفار إلى اليمين، قم بمساواة عدد المنازل العشرية في الكسور العشرية: 1.8؛ 13.54 و 0.789.

1174. اكتب الكسور الأقصر: 2.5000؛ 3.02000; 20,010.

85.09 و 67.99؛ 55.7 و55.7000؛ 0.5 و 0.724؛ 0.908 و 0.918؛ 7.6431 و7.6429؛ 0.0025 و 0.00247.

1176. رتب الأرقام ترتيبًا تصاعديًا:

3,456; 3,465; 8,149; 8,079; 0,453.

0,0082; 0,037; 0,0044; 0,08; 0,0091

ترتيب تنازليا.

أ) 1.41< х < 4,75; г) 2,99 < х < 3;
ب) 0.1< х < 0,2; д) 7 < х < 7,01;
ج) 2.7< х < 2,8; е) 0,12 < х < 0,13.

1184. قارن القيم:

أ) 98.52 م و 65.39 م؛ ه) 0.605 طن و691.3 كجم؛
ب) 149.63 كجم و150.08 كجم؛ و) 4.572 كم و4671.3 م؛
ج) 3.55 درجة مئوية و3.61 درجة مئوية؛ ز) 3.835 هكتار و383.7 أ؛
د) 6.781 ساعة و6.718 ساعة؛ ح) 7.521 لتر و 7538 سم3.

هل من الممكن مقارنة 3.5 كجم و 8.12 م؟ أعط بعض الأمثلة على الكميات التي لا يمكن مقارنتها.

1185. احسب شفويا:

1186. استعادة سلسلة الحسابات

1187. هل من الممكن تحديد عدد الأرقام بعد العلامة العشرية الموجودة في الكسر العشري إذا كان اسمه ينتهي بكلمة:

أ) أجزاء من المئات؛ ب) عشرة آلاف؛ ج) أعشار. د) المليون؟

محتوى الدرس ملاحظات الدرسدعم إطار عرض الدرس وأساليب تسريع التقنيات التفاعلية يمارس المهام والتمارين ورش عمل الاختبار الذاتي، والتدريبات، والحالات، والمهام، والواجبات المنزلية، وأسئلة المناقشة، والأسئلة البلاغية من الطلاب الرسوم التوضيحية الصوت ومقاطع الفيديو والوسائط المتعددةصور فوتوغرافية، صور، رسومات، جداول، رسوم بيانية، فكاهة، نوادر، نكت، كاريكاتير، أمثال، أقوال، كلمات متقاطعة، اقتباسات الإضافات الملخصاتالمقالات والحيل لأسرّة الأطفال الفضوليين والكتب المدرسية الأساسية والإضافية للمصطلحات الأخرى تحسين الكتب المدرسية والدروستصحيح الأخطاء في الكتاب المدرسيتحديث جزء من الكتاب المدرسي، وعناصر الابتكار في الدرس، واستبدال المعرفة القديمة بأخرى جديدة فقط للمعلمين دروس مثاليةخطة التقويم للسنة؛ توصيات منهجية؛ دروس متكاملة

في هذا المقال سننظر في الموضوع " مقارنة الأعداد العشرية" أولاً، دعونا نناقش المبدأ العام لمقارنة الكسور العشرية. بعد ذلك، سنكتشف أي الكسور العشرية متساوية وأيها غير متساوية. بعد ذلك، سوف نتعلم كيفية تحديد الكسر العشري الأكبر وأيه الأصغر. للقيام بذلك، سوف ندرس قواعد مقارنة الكسور المحدودة، الدورية اللانهائية والكسور غير الدورية اللانهائية. سنزود النظرية بأكملها بأمثلة مع حلول مفصلة. في الختام، دعونا نلقي نظرة على مقارنة الكسور العشرية مع الأعداد الطبيعية والكسور العادية والأعداد الكسرية.

لنفترض على الفور أننا سنتحدث هنا فقط عن مقارنة الكسور العشرية الموجبة (انظر الأرقام الموجبة والسالبة). تتم مناقشة الحالات المتبقية في المقالات مقارنة الأعداد العقلانية و مقارنة الأعداد الحقيقية.

التنقل في الصفحة.

المبدأ العام لمقارنة الكسور العشرية

بناءً على مبدأ المقارنة هذا، يتم اشتقاق قواعد مقارنة الكسور العشرية، مما يجعل من الممكن الاستغناء عن تحويل الكسور العشرية المقارنة إلى كسور عادية. وسنناقش هذه القواعد، بالإضافة إلى أمثلة لتطبيقها، في الفقرات التالية.

يتم استخدام مبدأ مماثل لمقارنة الكسور العشرية المحدودة أو الكسور العشرية الدورية اللانهائية مع الأعداد الطبيعية والكسور العادية والأرقام المختلطة: يتم استبدال الأرقام المقارنة بالكسور العادية المقابلة لها، وبعد ذلك تتم مقارنة الكسور العادية.

بخصوص مقارنات الأعداد العشرية غير الدورية اللانهائية، فعادةً ما يتعلق الأمر بمقارنة الكسور العشرية المحدودة. للقيام بذلك، ضع في اعتبارك عدد علامات الكسور العشرية غير الدورية اللانهائية التي تمت مقارنتها والتي تتيح لك الحصول على نتيجة المقارنة.

الأعداد العشرية المتساوية وغير المتساوية

أولا نقدم تعريفات الكسور العشرية المتساوية وغير المتساوية.

تعريف.

يتم استدعاء الكسرين العشريين النهائيين متساوي، إذا كانت الكسور العادية المقابلة لها متساوية، وإلا تسمى هذه الكسور العشرية غير متكافئ.

بناءً على هذا التعريف، من السهل تبرير العبارة التالية: إذا قمت بإضافة أو تجاهل عدة أرقام 0 في نهاية كسر عشري معين، فستحصل على كسر عشري مساوٍ له. على سبيل المثال، 0.3=0.30=0.300=…، و140.000=140.00=140.0=140.

في الواقع، فإن إضافة صفر أو حذفه في نهاية الكسر العشري على اليمين يتوافق مع ضرب أو قسمة البسط والمقام على 10 للكسر العادي المقابل. ونحن نعرف الخاصية الأساسية للكسر، والتي تنص على أن ضرب بسط الكسر ومقامه أو قسمتهما على نفس العدد الطبيعي يعطي كسرًا مساويًا للكسر الأصلي. وهذا يثبت أن إضافة أو حذف الأصفار إلى اليمين في الجزء الكسري من العلامة العشرية يعطي كسرًا مساويًا للكسر الأصلي.

على سبيل المثال، الكسر العشري 0.5 يتوافق مع الكسر المشترك 5/10، بعد إضافة صفر إلى اليمين، الكسر العشري 0.50 يتوافق مع الكسر المشترك 50/100، و. وبالتالي، 0.5 = 0.50. على العكس من ذلك، إذا قمنا في الكسر العشري 0.50 بتجاهل 0 على اليمين، فإننا نحصل على الكسر 0.5، لذلك من الكسر العادي 50/100 نأتي إلى الكسر 5/10، ولكن . لذلك، 0.50 = 0.5.

دعنا ننتقل إلى تحديد الكسور العشرية الدورية المتساوية وغير المتساوية اللانهائية.

تعريف.

اثنين من الكسور الدورية لا حصر لها متساوي، إذا كانت الكسور العادية المتناظرة متساوية؛ إذا كانت الكسور العادية المقابلة لها غير متساوية، فإن الكسور الدورية المقارنة متساوية أيضًا غير متساوي.

نستنتج من هذا التعريف ثلاثة استنتاجات:

• إذا كانت رموز الكسور العشرية الدورية متطابقة تمامًا، فإن هذه الكسور العشرية الدورية اللانهائية تكون متساوية. على سبيل المثال، الكسور العشرية الدورية 0.34(2987) و0.34(2987) متساوية.
• إذا بدأت فترات الكسور الدورية العشرية المقارنة من نفس الموضع، فإن الكسر الأول له فترة 0، والثاني له فترة 9، وقيمة الرقم الذي يسبق الفترة 0 أكبر من قيمة الرقم بمقدار واحد الفترة السابقة 9، فإن هذه الكسور العشرية الدورية اللانهائية متساوية. على سبيل المثال، الكسور الدورية 8,3(0) و8,2(9) متساوية، والكسور 141,(0) و140,(9) متساوية أيضًا.
• أي كسرين دوريين آخرين غير متساويين. فيما يلي أمثلة على الكسور العشرية الدورية غير المتساوية اللانهائية: 9,0(4) و7 و(21) و0 و(12) و0 و(121) و10 و(0) و9,8(9).

يبقى للتعامل معها الكسور العشرية غير الدورية المتساوية وغير المتساوية. وكما هو معروف، لا يمكن تحويل هذه الكسور العشرية إلى كسور عادية (مثل هذه الكسور العشرية تمثل أرقامًا غير نسبية)، وبالتالي لا يمكن اختزال مقارنة الكسور العشرية غير الدورية اللانهائية إلى مقارنة الكسور العادية.

تعريف.

عددان عشريان غير دوريين لا نهائيين متساوي، إذا كانت سجلاتهم متطابقة تمامًا.

ولكن هناك فارق بسيط: من المستحيل رؤية السجل "النهائي" للكسور العشرية غير الدورية التي لا نهاية لها، لذلك من المستحيل التأكد من المصادفة الكاملة لسجلاتها. كيف تكون؟

عند مقارنة الكسور العشرية غير الدورية اللانهائية، يتم الأخذ في الاعتبار فقط عدد محدود من علامات الكسور التي تتم مقارنتها، مما يسمح للمرء باستخلاص الاستنتاجات اللازمة. وبالتالي، يتم تقليل مقارنة الكسور العشرية غير الدورية اللانهائية إلى مقارنة الكسور العشرية المحدودة.

من خلال هذا النهج، يمكننا التحدث عن مساواة الكسور العشرية غير الدورية اللانهائية حتى الرقم المعني فقط. دعونا نعطي أمثلة. الأعداد العشرية غير الدورية اللانهائية 5.45839... و5.45839... تساوي أقرب مائة ألف، حيث أن الأعداد العشرية المحدودة 5.45839 و5.45839 متساوية؛ الكسور العشرية غير الدورية 19.54... و 19.54810375... تساوي أقرب جزء من مائة، لأنها تساوي الكسرين 19.54 و 19.54.

مع هذا النهج، يتم تحديد عدم المساواة في الكسور العشرية غير الدورية اللانهائية بشكل مؤكد تمامًا. على سبيل المثال، الكسور العشرية غير الدورية اللانهائية 5.6789... و5.67732... غير متساوية، لأن الاختلافات في رموزها واضحة (الكسران العشريان المحدودان 5.6789 و5.6773 غير متساويين). الأعداد العشرية اللانهائية 6.49354... و 7.53789... ليست متساوية أيضًا.

قواعد مقارنة الكسور العشرية والأمثلة والحلول

بعد إثبات حقيقة أن كسرين عشريين غير متساويين، غالبًا ما تحتاج إلى معرفة أي من هذه الكسور أكبر وأيهما أقل من الآخر. سننظر الآن إلى قواعد مقارنة الكسور العشرية، مما يسمح لنا بالإجابة على السؤال المطروح.

في كثير من الحالات، يكفي مقارنة أجزاء كاملة من الكسور العشرية التي يتم مقارنتها. ما يلي صحيح قواعد مقارنة الأعداد العشرية: الأكبر هو الكسر العشري الذي كل جزء منه أكبر، والأصغر هو الكسر العشري الذي كل جزءه أصغر.

تنطبق هذه القاعدة على الكسور العشرية المحدودة وغير المحدودة. دعونا نلقي نظرة على حلول الأمثلة.

مثال.

قارن بين الأعداد العشرية 9.43 و 7.983023….

حل.

ومن الواضح أن هذه الأعداد العشرية ليست متساوية. الجزء الصحيح من الكسر العشري النهائي 9.43 يساوي 9، والجزء الصحيح من الكسر غير الدوري اللانهائي 7.983023... يساوي 7. منذ 9>7 (انظر مقارنة الأعداد الطبيعية)، ثم 9.43>7.983023.

إجابة:

9,43>7,983023 .

مثال.

أي كسر عشري 49.43(14) و1045.45029... أصغر؟

حل.

الجزء الصحيح من الكسر الدوري 49.43(14) أقل من الجزء الصحيح من الكسر العشري غير الدوري اللانهائي 1045.45029...، وبالتالي 49.43(14)<1 045,45029… .

إجابة:

49,43(14) .

إذا كانت الأجزاء الكاملة للكسور العشرية التي تتم مقارنتها متساوية، فلمعرفة أي منها أكبر وأيها أصغر، عليك مقارنة الأجزاء الكسرية. تتم مقارنة الأجزاء الكسرية من الكسور العشرية شيئًا فشيئًا- من فئة الأعشار إلى الأدنى منها.

أولاً، دعونا نلقي نظرة على مثال لمقارنة كسرين عشريين محدودين.

مثال.

قارن بين الكسور العشرية النهائية 0.87 و0.8521.

حل.

الأجزاء الصحيحة من هذه الكسور العشرية متساوية (0=0)، لذلك ننتقل إلى مقارنة الأجزاء الكسرية. قيم خانة العشرات متساوية (8=8)، وقيمة خانة الأجزاء من المئة للكسر أكبر بمقدار 0.87 من قيمة خانة الأجزاء من المئة للكسر 0.8521 (7>5). لذلك، 0.87>0.8521.

إجابة:

0,87>0,8521 .

في بعض الأحيان، لمقارنة الكسور العشرية اللاحقة بأعداد مختلفة من المنازل العشرية، يجب إلحاق الكسور ذات المنازل العشرية الأقل بعدد من الأصفار إلى اليمين. من السهل جدًا مساواة عدد المنازل العشرية قبل البدء في مقارنة الكسور العشرية النهائية عن طريق إضافة عدد معين من الأصفار إلى يمين أحدها.

مثال.

قارن بين الأعداد العشرية النهائية 18.00405 و18.0040532.

حل.

من الواضح أن هذه الكسور غير متساوية، لأن رموزها مختلفة، ولكنها في نفس الوقت لها أجزاء صحيحة متساوية (18 = 18).

قبل المقارنة الثنائية للأجزاء الكسرية لهذه الكسور، نقوم بمساواة عدد المنازل العشرية. للقيام بذلك، نضيف رقمين 0 في نهاية الكسر 18.00405، ونحصل على كسر عشري مساوٍ 18.0040500.

قيم الخانات العشرية للكسرين 18.0040500 و 18.0040532 تساوي ما يصل إلى جزء من مائة ألف، وقيمة الخانة المليون للكسر 18.0040500 أقل من قيمة الخانة المقابلة للكسر 18.0040532 (0)<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .

إجابة:

18,00405<18,0040532 .

عند مقارنة كسر عشري محدود بكسر لا نهائي، يتم استبدال الكسر المحدود بكسر دوري لا نهائي مساو له فترة 0، وبعد ذلك يتم إجراء المقارنة بالرقم.

مثال.

قارن العلامة العشرية المنتهية 5.27 مع العلامة العشرية غير الدورية اللانهائية 5.270013... .

حل.

الأجزاء الكاملة لهذه الكسور العشرية متساوية. قيم أرقام أعشار ومئات من هذه الكسور متساوية، ومن أجل إجراء مزيد من المقارنة، نستبدل الكسر العشري المحدود بكسر دوري لا نهائي مساوٍ له الفترة 0 من الشكل 5.270000.... وحتى الخانة العشرية الخامسة تكون قيم الخانات العشرية 5.270000... و5.270013... متساوية، وعند الخانة العشرية الخامسة لدينا 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .

إجابة:

5,27<5,270013… .

يتم أيضًا إجراء مقارنة بين الكسور العشرية اللانهائية في مكانهاوينتهي بمجرد اختلاف قيم بعض الأرقام.

مثال.

قارن بين الأعداد العشرية اللانهائية 6.23(18) و6.25181815….

حل.

جميع أجزاء هذه الكسور متساوية، كما أن قيم المنازل العشرية متساوية أيضًا. وقيمة الجزء من المائة من الكسر الدوري 6.23(18) أقل من الرقم من المائة من الكسر العشري غير الدوري اللانهائي 6.25181815... وبالتالي 6.23(18)<6,25181815… .

إجابة:

6,23(18)<6,25181815… .

مثال.

أي من الأعداد العشرية الدورية اللانهائية 3,(73) و3,(737) أكبر؟

حل.

ومن الواضح أن 3(73)=3.73737373... و3(737)=3.737737737... . عند العلامة العشرية الرابعة تنتهي المقارنة بالبت، حيث لدينا 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .

إجابة:

3,(737) .

مقارنة الأعداد العشرية بالأعداد الطبيعية والكسور والأعداد الكسرية.

يمكن الحصول على نتيجة مقارنة الكسر العشري بعدد طبيعي من خلال مقارنة الجزء الصحيح من كسر معين بعدد طبيعي معين. في هذه الحالة، يجب أولاً استبدال الكسور الدورية ذات الفترات 0 أو 9 بكسور عشرية محدودة مساوية لها.

ما يلي صحيح قاعدة المقارنة بين الكسور العشرية والأعداد الطبيعية: إذا كان الجزء الكامل من الكسر العشري أقل من عدد طبيعي معين، فإن الكسر الكامل أصغر من هذا العدد الطبيعي؛ إذا كان الجزء الصحيح من الكسر أكبر من أو يساوي عددًا طبيعيًا معينًا، فإن الكسر أكبر من العدد الطبيعي المحدد.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة لتطبيق قاعدة المقارنة هذه.

مثال.

قارن بين العدد الطبيعي 7 والكسر العشري 8.8329....

حل.

بما أن عددًا طبيعيًا معينًا أقل من الجزء الصحيح لكسر عشري معين، فإن هذا الرقم أقل من كسر عشري معين.

إجابة:

7<8,8329… .

مثال.

قارن بين العدد الطبيعي 7 والكسر العشري 7.1.