المعادلات ذات المتغيرات المنفصلة. معادلات قابلة للفصل

في كثير من الأحيان مجرد ذكر المعادلات التفاضلية يعطي الطلاب شعورا غير سارة. لماذا يحدث هذا؟ في أغلب الأحيان، لأنه عند دراسة أساسيات المادة، تنشأ فجوة معرفية، مما يجعل الدراسة الإضافية للناشرين مجرد تعذيب. ليس من الواضح ما يجب القيام به، كيف تقرر، من أين تبدأ؟

ومع ذلك، سنحاول أن نوضح لك أن أجهزة النشر ليست صعبة كما تبدو.

المفاهيم الأساسية لنظرية المعادلات التفاضلية

من المدرسة نعرف أبسط المعادلات التي نحتاج فيها إلى إيجاد المجهول x. في الحقيقة المعادلات التفاضليةيختلف قليلاً عنهم - بدلاً من المتغير X تحتاج إلى العثور على وظيفة فيها ص (خ) ، والتي سوف تحول المعادلة إلى هوية.

المعادلات التفاضلية لها أهمية عملية كبيرة. هذه ليست رياضيات مجردة لا علاقة لها بالعالم من حولنا. يتم وصف العديد من العمليات الطبيعية الحقيقية باستخدام المعادلات التفاضلية. على سبيل المثال، اهتزازات الوتر، وحركة المذبذب التوافقي، باستخدام المعادلات التفاضلية في مسائل الميكانيكا، تجد سرعة الجسم وتسارعه. أيضًا دووتستخدم على نطاق واسع في علم الأحياء والكيمياء والاقتصاد والعديد من العلوم الأخرى.

المعادلة التفاضلية (دو) هي معادلة تحتوي على مشتقات الدالة y(x)، والدالة نفسها، ومتغيرات مستقلة ومعلمات أخرى في مجموعات مختلفة.

هناك أنواع عديدة من المعادلات التفاضلية: المعادلات التفاضلية العادية، والمعادلات التفاضلية الخطية وغير الخطية، والمتجانسة وغير المتجانسة، والمعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى والعليا، والمعادلات التفاضلية الجزئية، وما إلى ذلك.

حل المعادلة التفاضلية هو دالة تحولها إلى هوية. هناك حلول عامة وخاصة لجهاز التحكم عن بعد.

الحل العام للمعادلة التفاضلية هو مجموعة عامة من الحلول التي تحول المعادلة إلى هوية. الحل الجزئي للمعادلة التفاضلية هو الحل الذي يحقق الشروط الإضافية المحددة في البداية.

يتم تحديد ترتيب المعادلة التفاضلية حسب أعلى ترتيب لمشتقاتها.

المعادلات التفاضلية العادية

المعادلات التفاضلية العاديةهي معادلات تحتوي على متغير مستقل واحد.

لنفكر في أبسط معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الأولى. يبدو مثل:

يمكن حل هذه المعادلة ببساطة عن طريق تكامل طرفها الأيمن.

أمثلة على هذه المعادلات:

معادلات قابلة للفصل

بشكل عام، يبدو هذا النوع من المعادلات كما يلي:

هنا مثال:

عند حل هذه المعادلة، تحتاج إلى فصل المتغيرات، وإحضارها إلى النموذج:

بعد ذلك يبقى دمج الجزأين والحصول على الحل.

المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى

تبدو هذه المعادلات كما يلي:

هنا p(x) وq(x) هي بعض وظائف المتغير المستقل، وy=y(x) هي الوظيفة المطلوبة. فيما يلي مثال على هذه المعادلة:

عند حل مثل هذه المعادلة، غالبًا ما يستخدمون طريقة تغيير ثابت تعسفي أو تمثيل الوظيفة المطلوبة كمنتج لوظيفتين أخريين y(x)=u(x)v(x).

لحل مثل هذه المعادلات، يلزم إعداد معين وسيكون من الصعب جدًا أخذها "بنظرة سريعة".

مثال على حل معادلة تفاضلية بمتغيرات قابلة للفصل

لذلك نظرنا إلى أبسط أنواع أجهزة التحكم عن بعد. الآن دعونا نلقي نظرة على حل واحد منهم. لتكن هذه معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل.

أولاً، دعونا نعيد كتابة المشتقة بصيغة مألوفة أكثر:

ثم نقسم المتغيرات، أي أننا نجمع كل "I" في جزء واحد من المعادلة، وفي الجزء الآخر - "X":

الآن يبقى دمج كلا الجزأين:

نتكامل ونحصل على حل عام لهذه المعادلة:

بالطبع، حل المعادلات التفاضلية هو نوع من الفن. يجب أن تكون قادرًا على فهم نوع المعادلة، وأن تتعلم أيضًا معرفة التحويلات التي يجب إجراؤها بها من أجل أن تؤدي إلى شكل أو آخر، ناهيك عن القدرة على التفريق والتكامل. وللنجاح في حل DE، تحتاج إلى ممارسة (كما هو الحال في كل شيء). وإذا لم يكن لديك الوقت حاليًا لفهم كيفية حل المعادلات التفاضلية، أو أن مشكلة كوشي عالقة مثل العظمة في حلقك، أو لا تعرف كيفية إعداد العرض التقديمي بشكل صحيح، فاتصل بمؤلفينا. في وقت قصير، سنقدم لك حلاً جاهزًا ومفصلاً، يمكنك فهم تفاصيله في أي وقت يناسبك. في هذه الأثناء نقترح مشاهدة فيديو حول موضوع "كيفية حل المعادلات التفاضلية":

تم النظر في طريقة لحل المعادلات التفاضلية التي يمكن اختزالها إلى معادلات ذات متغيرات قابلة للفصل. يتم إعطاء مثال على حل مفصل للمعادلة التفاضلية التي يتم اختزالها إلى معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل.

محتوى

صياغة المشكلة

النظر في المعادلة التفاضلية
(أنا) ,
حيث f دالة، a، b، c ثوابت، b ≠ 0 .
يتم تقليل هذه المعادلة إلى معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل.

طريقة الحل

لنقم بالاستبدال:
ش = الفأس + بواسطة + ج
حيث y هي دالة للمتغير x. لذلك u هي أيضًا دالة للمتغير x.
التفريق بالنسبة إلى x
ش' = (الفأس + بواسطة + ج) ′ = أ + بواسطة ′
دعونا نستبدل (أنا)
u′ = a + by′ = a +b f(ax + by + c) =أ + ب و (ش)
أو:
(ثانيا)
دعونا نفصل بين المتغيرات. اضرب في dx واقسم على a + b f (ش). إذا أ + ب و (ش) ≠ 0، الذي - التي

بالتكامل نحصل على التكامل العام للمعادلة الأصلية (أنا)في التربيعات:
(ثالثًا) .

في الختام، النظر في هذه القضية
(رابعا)أ + ب و (ش) = 0.
لنفترض أن هذه المعادلة لها جذور n u = r i , a + b f (ري) = 0، أنا = 1، 2، ... ن. بما أن الدالة u = r i ثابتة، فإن مشتقتها بالنسبة إلى x تساوي صفرًا. لذلك u = r i هو حل للمعادلة (ثانيا).
ومع ذلك، مكافئ. (ثانيا)لا يتطابق مع المعادلة الأصلية (أنا)وربما لا تكون جميع الحلول u = r i المعبر عنها بدلالة المتغيرين x وy تلبي المعادلة الأصلية (أنا).

وبالتالي فإن حل المعادلة الأصلية هو التكامل العام (ثالثًا)وبعض جذور المعادلة (رابعا).

مثال على حل معادلة تفاضلية يتم اختزالها إلى معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل

حل المعادلة
(1)

لنقم بالاستبدال:
ش = س - ص
نحن نفرق فيما يتعلق بـ x ونجري التحويلات:
;

اضرب في dx واقسم على u 2 .

إذا كنت ≠ 0، فنحصل على:

دعونا ندمج:

نطبق الصيغة من جدول التكاملات:

احسب التكامل

ثم
;
، أو

القرار المشترك:
.

الآن فكر في الحالة u = 0 أو ش = س - ص = 0 ، أو
ص = س.
منذ ذ' = (س)′ = 1، فإن y = x هو حل للمعادلة الأصلية (1) .

;
.

مراجع:
ن.م. غونتر، آر.أو. كوزمين، مجموعة مسائل في الرياضيات العليا، لان، 2003.

تتم كتابة المعادلة التفاضلية ذات المتغيرات المنفصلة على النحو التالي: (1). في هذه المعادلة، يعتمد أحد الحدود على x فقط، والآخر يعتمد على y فقط. بدمج هذه المعادلة حدًا تلو الآخر نحصل على:
هو تكاملها العام.

مثال: أوجد التكامل العام للمعادلة:
.

الحل: هذه المعادلة هي معادلة تفاضلية منفصلة. لهذا
أو
دعونا نشير
. ثم
- التكامل العام للمعادلة التفاضلية.

المعادلة القابلة للفصل لها الشكل (2). يمكن بسهولة اختزال المعادلة (2) إلى المعادلة (1) عن طريق قسمتها حدًا على حد
. نحن نحصل:

– التكامل العام .

مثال:حل المعادلة .

الحل: تحويل الطرف الأيسر من المعادلة: . اقسم طرفي المعادلة على


الحل هو التعبير:
أولئك.

المعادلات التفاضلية المتجانسة. معادلات برنولي. المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى.

تسمى معادلة النموذج متجانس، لو
و
– وظائف متجانسة من نفس الترتيب (الأبعاد). وظيفة
تسمى دالة متجانسة من الدرجة الأولى (القياس) إذا تم ضرب كل من وسيطاتها بعامل عشوائي يتم ضرب الدالة بأكملها ، أي.
=
.

يمكن اختزال المعادلة المتجانسة إلى النموذج
. باستخدام الاستبدال
(
) يتم تقليل المعادلة المتجانسة إلى معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل فيما يتعلق بالدالة الجديدة .

تسمى المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى خطي، إذا كان من الممكن كتابتها في النموذج
.

طريقة برنولي

حل المعادلة
يتم البحث عنه كمنتج لوظيفتين أخريين، أي. باستخدام الاستبدال
(
).

مثال:دمج المعادلة
.

نعتقد
. ثم أي. . أولا نحل المعادلة
=0:


.

الآن نحل المعادلة
أولئك.


. إذن الحل العام لهذه المعادلة هو
أولئك.

معادلة ج. برنولي

معادلة من الشكل أين
مُسَمًّى معادلة برنولي. تم حل هذه المعادلة باستخدام طريقة برنولي.

المعادلات التفاضلية المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة

المعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية هي معادلة من الشكل (1) ، أين و دائم.

سنبحث عن الحلول الجزئية للمعادلة (1) في الصورة
، أين ل– عدد معين . التفريق بين هذه الوظيفة مرتين واستبدال التعبيرات بـ
في المعادلة (1) نحصل على ذلك، أو
(2) (
).

تسمى المعادلة 2 المعادلة المميزة للمعادلة التفاضلية.

عند حل المعادلة المميزة (2)، هناك ثلاث حالات ممكنة.

حالة 1.الجذور و المعادلات (2) حقيقية ومختلفة:

و

.

الحالة 2.الجذور و المعادلات (2) حقيقية ومتساوية:
. في هذه الحالة، الحلول الجزئية للمعادلة (1) هي الدوال
و
. ولذلك، فإن الحل العام للمعادلة (1) له الشكل
.

الحالة 3.الجذور و المعادلات (2) معقدة:
,
. في هذه الحالة، الحلول الجزئية للمعادلة (1) هي الدوال
و
. ولذلك، فإن الحل العام للمعادلة (1) له الشكل

مثال.حل المعادلة
.

حل:لنقم بإنشاء معادلة مميزة:
. ثم
. الحل العام لهذه المعادلة
.

الحد الأقصى لدالة من عدة متغيرات. الحد الأقصى المشروط.

الحد الأقصى لدالة من عدة متغيرات

تعريف.النقطة م (خ يا ، ذ يا ) يسمىالحد الأقصى (الحد الأدنى) نقطة المهامض= F(س، y)، إذا كان هناك حي للنقطة M بحيث يكون عدم المساواة لجميع النقاط (x، y) من هذا الحي
(
)

في التين. 1 نقطة أ
- هناك نقطة دنيا، ونقطة في
- النقطة القصوى.

ضروريالحالة القصوى هي نظير متعدد الأبعاد لنظرية فيرما.

نظرية.دع هذه النقطة
- هي النقطة القصوى للدالة القابلة للتفاضلض= F(س، ذ). ثم المشتقات الجزئية
و
الخامسعند هذه النقطة يساوي الصفر.

النقاط التي تتحقق عندها الشروط اللازمة للحد الأقصى للوظيفة ض= F(س، ذ)،أولئك. المشتقات الجزئية ض" س و ض" ذ تساوي الصفر تسمى شديد الأهميةأو ثابت.

إن مساواة المشتقات الجزئية بالصفر تعبر فقط عن شرط ضروري، ولكنه غير كاف لأقصى دالة ذات عدة متغيرات.

في التين. ما يسمى نقطة السرج M (x يا ، ذ يا ). المشتقات الجزئية
و
تساوي الصفر، ولكن من الواضح أنه لا يوجد حد أقصى عند هذه النقطة م (خ يا ، ذ يا ) لا.

نقاط السرج هذه هي نظائرها ثنائية الأبعاد لنقاط انعطاف وظائف متغير واحد. التحدي هو فصلهم عن النقاط المتطرفة. وبعبارة أخرى، عليك أن تعرف كافٍالحالة القصوى.

النظرية (شرط كافي لأقصى دالة لمتغيرين).دع الوظيفةض= F(س، ذ):أ) محددة في بعض أحياء النقطة الحرجة (x يا ، ذ يا )، حيث
=0 و
=0 ;

ب) لديه مشتقات جزئية مستمرة من الدرجة الثانية في هذه المرحلة
;

;
ثم إذا كان ∆=AC-B 2 >0, ثم عند النقطة (x يا ، ذ يا ) وظيفةض= F(س، y) لديه أقصى، وإذاأ<0 - الحد الأقصى إذاأ>0 - الحد الأدنى. في حالة ∆=AC-B 2 <0, функция ض= F(س، ذ) ليس له حد أقصى. إذا ∆=AC-B 2 =0، فإن مسألة وجود الحد الأقصى تظل مفتوحة.

دراسة دالة لمتغيرين عند الحد الأقصىيوصى بتنفيذ ما يلي رسم بياني:

أوجد المشتقات الجزئية للدالة ض" س و ض" ذ .

حل نظام المعادلات ض" س =0, ض" ذ =0 والعثور على النقاط الحرجة للوظيفة.

ابحث عن المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية، واحسب قيمها عند كل نقطة حرجة، وباستخدام شرط كافٍ، استنتج وجود الحدود القصوى.

أوجد القيم القصوى (القيم القصوى) للدالة.

مثال.أوجد الحد الأقصى للدالة

حل. 1. إيجاد المشتقات الجزئية

2. نجد النقاط الحرجة للدالة من نظام المعادلات:

لها أربعة حلول (1؛ 1)، (1؛ -1)، (-1؛ 1)، (-1؛ -1).

3. أوجد المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية:

;
;
، نحسب قيمها عند كل نقطة حرجة ونتحقق من استيفاء الشرط الأقصى الكافي فيها.

على سبيل المثال، عند النقطة (1؛ 1) أ= ض"(1; 1)= -1; ب = 0؛ ج = -1. لأن ∆ =ايه سي-بي 2 = (-1) 2 -0=1 >0 و A=-1<0, فإن النقطة (1؛ 1) هي النقطة القصوى.

وبالمثل، نثبت أن (-1؛ -1) هي النقطة الدنيا، وعند النقطتين (1؛ -1) و (-1؛ 1)، حيث ∆ =ايه سي-بي 2 <0, - экстремума нет. Эти точки являются седловыми.

4. أوجد الحدود القصوى للدالة z max = z(l; 1) = 2, z min = z(-l; -1) = -2,

الحد الأقصى المشروط. طريقة لاغرانج المضاعف.

دعونا نفكر في مشكلة خاصة بوظائف عدة متغيرات، عندما لا يتم البحث عن حدها الأقصى على نطاق التعريف بأكمله، ولكن على مجموعة تفي بشرط معين.

دعونا نفكر في الدالة z = F(س, ذ), الحجج Xو فيالتي تستوفي الشرط ز(س، ص)= مع،مُسَمًّى معادلة الاتصال.

تعريف.نقطة
تسمى نقطةالحد الأقصى المشروط (الحد الأدنى) ، إذا كان هناك حي لهذه النقطة بحيث تكون جميع النقاط (x,y) من هذا الحي مستوفية للشرطز (س, ذ) = C، فإن عدم المساواة قائم

(
).

في التين. تظهر النقطة القصوى المشروطة
. من الواضح أنها ليست النقطة القصوى غير المشروطة للدالة z = F(س, ذ) (في الشكل هذه نقطة
).

إن أبسط طريقة للعثور على الحد الأقصى المشروط لدالة ذات متغيرين هي تقليل المشكلة إلى إيجاد الحد الأقصى لدالة متغير واحد. لنفترض معادلة الاتصال ز (س, ذ) = معتمكنت من حل فيما يتعلق بأحد المتغيرات، على سبيل المثال، للتعبير فيخلال العاشر:
. باستبدال التعبير الناتج في دالة ذات متغيرين، نحصل على z = F(س, ذ) =
, أولئك. وظيفة متغير واحد. سيكون أقصى حد له هو الحد الأقصى المشروط للوظيفة ض = F(س, ذ).

مثال. X 2 + ذ 2 بشرط 3س +2ص = 11.

حل. من المعادلة 3x + 2y = 11 نعبر عن المتغير y من خلال المتغير x ونعوض بالناتج
لوظيفة ض. نحن نحصل ض= س 2 +2
أو ض =
. هذه الوظيفة لها حد أدنى فريد عند = 3. قيمة الوظيفة المقابلة
وبالتالي، (3؛ 1) هي نقطة الحد الأقصى (الحد الأدنى) المشروطة.

في المثال المذكور، معادلة الاقتران ز(س، ص) = جتبين أنها خطية، لذلك تم حلها بسهولة فيما يتعلق بأحد المتغيرات. ومع ذلك، في الحالات الأكثر تعقيدا، لا يمكن القيام بذلك.

للعثور على الحد الأقصى الشرطي في الحالة العامة، نستخدم طريقة لاغرانج المضاعف.

النظر في وظيفة من ثلاثة متغيرات

تسمى هذه الوظيفة وظيفة لاغرانج,أ - مضاعف لاغرانج.النظرية التالية صحيحة.

نظرية.إذا كانت النقطة
هي النقطة القصوى الشرطية للدالةض = F(س, ذ) بشرطز (س, ذ) = C، ثم هناك قيمة هذه النقطة
هي النقطة القصوى للوظيفةل{ س, ذ, ).

وهكذا، للعثور على الحد الأقصى الشرطي للدالة ض = F(س، ص)بشرط ز(س, ذ) = جبحاجة إلى إيجاد حل للنظام

في التين. يظهر المعنى الهندسي لشروط لاغرانج. خط ز(س، ص)= C منقط، خط المستوى ز(س, ذ) = س وظائف ض = F(س, ذ) صلب.

من الشكل. يتبع ذلك عند النقطة القصوى الشرطية خط مستوى الوظيفةض = F(س, ذ) يلمس الخطز(س, ذ) = س.

مثال.أوجد النقاط القصوى والصغرى للدالة z = X 2 + ذ 2 بشرط 3س +2ص = 11 باستخدام طريقة لاغرانج المضاعف.

حل. تجميع وظيفة لاغرانج ل= س 2 + 2 يو 2 +

وبمساواة مشتقاتها الجزئية بالصفر، نحصل على نظام من المعادلات

حلها الوحيد (x=3, y=1, =-2). وبالتالي، فإن النقطة القصوى الشرطية يمكن أن تكون النقطة (3؛1) فقط. من السهل التحقق من أن الوظيفة في هذه المرحلة ض= F(س, ذ) لديه الحد الأدنى المشروط.

إنجليزي:تعمل ويكيبيديا على جعل الموقع أكثر أمانًا. أنت تستخدم متصفح ويب قديمًا ولن يتمكن من الاتصال بويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بمسؤول تكنولوجيا المعلومات لديك.

中文: لقد تخلصنا من هذه المشكلة. لقد تخلصنا من تكنولوجيا المعلومات.

الأسبانية:ويكيبيديا هي الموقع الأكثر أمانًا. يتم استخدام متصفح الويب القديم الذي لن يكون قادرًا على الاتصال بـ Wikipedia في المستقبل. قم بتشغيل جهازك أو اتصل بمسؤول المعلومات الخاص به. مزيد من المعلومات تحتوي على تحديث أطول وأكثر تقنية باللغة الإنجليزية.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

الفرنسية:تعمل ويكيبيديا على تعزيز أمان موقعها. أنت تستخدم بالفعل متصفح ويب قديمًا، والذي لا يمكنك الاتصال بويكيبيديا عندما يحدث ذلك. يرجى الرجوع إلى جهازك أو الاتصال بمسؤول المعلومات الخاص بك في هذا الوقت. المعلومات الإضافية بالإضافة إلى التقنيات واللغة الإنجليزية متاحة بسهولة.

日本語: ???????????????????????????????????????????????????????????????؟

ألمانية:ويكيبيديا erhöht die Sicherheit der Webseite. لا يمكنك استخدام متصفح ويب آخر، والذي لا يحتاج إلى المزيد من الوصول إلى ويكيبيديا. يمكنك تحديث الجهاز أو توفيره لمسؤول تكنولوجيا المعلومات. Ausführlicher (وتفصيل فني) Hinweise find Du unten باللغة الإنجليزية Sprache.

ايطالي:ويكيبيديا توفر موقعًا أكثر أمانًا. ابق على استخدام متصفح ويب لن تتمكن من التواصل مع ويكيبيديا في المستقبل. من أجل ذلك، قم بترقية جهازك أو الاتصال بمسؤول المعلومات الخاص بك. يمكن توفير المزيد من التفاصيل والتقنيات باللغة الإنجليزية.

المجرية: Biztonságosabb ليز ويكيبيديا. من الجيد أن نخبرك أنه ليس من الممكن أن يكون لديك أي مشاكل أو مشاكل. لقد تم حل مشكلة الحداثة بشكل متكرر. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (أنغولول).

سفينسكا:ويكيبيديا gör sidan mer säker. ستساعدك على نشر المزيد من صفحات الويب التجارية لتتمكن من استخدام ويكيبيديا وإطاراتها. قم بالتحديث من خلاله أو من خلال الاتصال بمسؤول تكنولوجيا المعلومات. هذه الفنلندية الطويلة والتقنية الأكثر تقدمًا في اللغة الإنجليزية الطويلة.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

نحن نقوم بإزالة الدعم لإصدارات بروتوكول TLS غير الآمنة، وتحديدًا TLSv1.0 وTLSv1.1، والتي يعتمد عليها برنامج المتصفح الخاص بك للاتصال بمواقعنا. يحدث هذا عادةً بسبب المتصفحات القديمة أو الهواتف الذكية القديمة التي تعمل بنظام Android. أو قد يكون السبب تدخلاً من برنامج "Web Security" الخاص بالشركة أو الشخصية، مما يؤدي في الواقع إلى خفض مستوى أمان الاتصال.

يجب عليك ترقية متصفح الويب الخاص بك أو إصلاح هذه المشكلة للوصول إلى مواقعنا. ستبقى هذه الرسالة حتى 1 يناير 2020. وبعد ذلك التاريخ، لن يتمكن متصفحك من إنشاء اتصال بخوادمنا.

التعريف 7.تسمى معادلة النموذج معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل.

يمكن اختزال هذه المعادلة إلى الشكل عن طريق قسمة جميع شروط المعادلة على المنتج.

على سبيل المثال، حل المعادلة

حل. المشتقة متساوية، وهو ما يعني

وبفصل المتغيرات نحصل على:

.

الآن دعونا ندمج:

حل المعادلة التفاضلية

حل. هذه معادلة من الدرجة الأولى ذات متغيرات قابلة للفصل. للفصل بين متغيرات هذه المعادلة بالشكل وتقسيمه مصطلحًا حسب المصطلح في المنتج. ونتيجة لذلك نحصل أو

بدمج طرفي المعادلة الأخيرة نحصل على الحل العام

أركسين ص = أركسين س + C

دعونا الآن نجد حلاً معينًا يلبي الشروط الأولية. وبتعويض الشروط الأولية في الحل العام نحصل على

; حيث ج = 0

وبالتالي، فإن الحل المعين له الصيغة arc sin y=arc sin x، لكن جيب الأقواس المتساوية يساوي بعضها البعض

الخطيئة (اركسين ص) = الخطيئة (اركسين س).

ومنه، حسب تعريف arcsine، يترتب على ذلك y = x.

المعادلات التفاضلية المتجانسة

التعريف 8.تسمى المعادلة التفاضلية من الصورة التي يمكن اختزالها إلى الصورة متجانس.

لتكامل مثل هذه المعادلات، يتم إجراء تغيير المتغيرات، على افتراض . وينتج عن هذا الاستبدال معادلة تفاضلية لـ x وt يتم فيها فصل المتغيرات، وبعد ذلك يمكن دمج المعادلة. للحصول على الإجابة النهائية، يجب استبدال المتغير t بـ .

على سبيل المثال،حل المعادلة

حل. لنعيد كتابة المعادلة هكذا:

نحن نحصل:

بعد الإلغاء بـ x2 لدينا:

استبدل t بـ:

راجع الأسئلة

1 ما هي المعادلة التي تسمى التفاضلية؟

2 تسمية أنواع المعادلات التفاضلية.

3 شرح الخوارزميات لحل جميع المعادلات المذكورة.

مثال 3

حل:نعيد كتابة المشتق بالشكل الذي نحتاجه:

نقيم هل من الممكن فصل المتغيرات؟ يستطيع. ننقل الحد الثاني إلى الجانب الأيمن مع تغيير الإشارة:

وننقل المضاعفات وفق قاعدة التناسب:

تم فصل المتغيرات، دعونا ندمج كلا الجزأين:

يجب أن أحذرك، يوم القيامة يقترب. إذا لم تدرس جيداً التكاملات غير المحددة، لقد قمت بحل بعض الأمثلة، فلا يوجد مكان تذهب إليه - سيتعين عليك إتقانها الآن.

من السهل العثور على تكامل الجانب الأيسر، حيث نتعامل مع تكامل ظل التمام باستخدام التقنية القياسية التي تناولناها في الدرس دمج الدوال المثلثيةالعام الماضي:

على الجانب الأيمن لدينا لوغاريتم، وفقًا لتوصيتي الفنية الأولى، في هذه الحالة يجب أيضًا كتابة الثابت تحت اللوغاريتم.

الآن نحاول تبسيط التكامل العام. نظرًا لأن لدينا اللوغاريتمات فقط، فمن الممكن (والضروري) التخلص منها. نحن "نحزم" اللوغاريتمات قدر الإمكان. يتم التغليف باستخدام ثلاث خصائص:

يرجى نسخ هذه الصيغ الثلاثة في كتاب التدريب الخاص بك، فهي تستخدم في كثير من الأحيان عند حل الانتشارات.

سأصف الحل بتفصيل كبير:

اكتملت التعبئة، قم بإزالة اللوغاريتمات:

هل من الممكن التعبير عن "لعبة"؟ يستطيع. من الضروري تربيع كلا الجزأين. لكنك لست بحاجة إلى القيام بذلك.

النصيحة الفنية الثالثة:إذا كان الحصول على حل عام لا بد من رفعه إلى قوة أو تجذره، إذن في معظم الحالاتفعليك الامتناع عن هذه التصرفات وترك الإجابة على شكل تكامل عام. الحقيقة هي أن الحل العام سيبدو طنانًا ورهيبًا - ذو جذور وعلامات كبيرة.

ولذلك، نكتب الجواب في صورة تكامل عام. من الممارسات الجيدة تقديم التكامل العام بالشكل، أي على الجانب الأيمن، إذا أمكن، اترك ثابتًا فقط. ليس من الضروري القيام بذلك، ولكن من المفيد دائمًا إرضاء الأستاذ ;-)

إجابة:التكامل العام:

ملحوظة: يمكن كتابة التكامل العام لأي معادلة بأكثر من طريقة. وبالتالي، إذا كانت نتيجتك لا تتطابق مع إجابة معروفة مسبقًا، فهذا لا يعني أنك حللت المعادلة بشكل غير صحيح.

من السهل أيضًا التحقق من التكامل العام، والشيء الرئيسي هو أن تكون قادرًا على العثور عليه مشتقات دالة محددة ضمنيا. دعونا نفرق الجواب:

نضرب كلا المصطلحين في:

ونقسم على:

تم الحصول على المعادلة التفاضلية الأصلية بشكل صحيح، مما يعني أنه تم العثور على التكامل العام بشكل صحيح.

مثال 4

أوجد حلاً معينًا للمعادلة التفاضلية التي تحقق الشرط الأولي. إجراء فحص.

هذا مثال لك لحله بنفسك. دعني أذكرك أن مشكلة كوشي تتكون من مرحلتين:
1) إيجاد حل عام.
2) إيجاد حل معين.

يتم إجراء الفحص أيضًا على مرحلتين (انظر أيضًا المثال 2)، ستحتاج إلى:
1) تأكد من أن الحل المحدد الذي تم العثور عليه يلبي بالفعل الشرط الأولي.
2) تأكد من أن الحل المعين يفي بشكل عام بالمعادلة التفاضلية.

الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

مثال 5

إيجاد حل معين للمعادلة التفاضلية ، استيفاء الشرط الأولي. إجراء فحص.

حل:أولا، دعونا نجد حلا عاما، هذه المعادلة تحتوي بالفعل على تفاضلات جاهزة، وبالتالي تم تبسيط الحل. نقوم بفصل المتغيرات:

دعونا ندمج المعادلة:

التكامل الذي على اليسار جدولي، والتكامل الذي على اليمين مأخوذ طريقة إدراج دالة تحت العلامة التفاضلية:

تم الحصول على التكامل العام، فهل من الممكن التعبير عن الحل العام بنجاح؟ يستطيع. نعلق اللوغاريتمات:

(أتمنى أن يفهم الجميع هذا التحول، مثل هذه الأشياء يجب أن تكون معروفة بالفعل)

إذن الحل العام هو:

دعونا نجد حلاً معينًا يتوافق مع الشرط الأولي المحدد. في الحل العام، بدلاً من "X" نستبدل بالصفر، وبدلاً من "Y" نستبدل لوغاريتم اثنين:

تصميم أكثر دراية:

نعوض بالقيمة التي وجدناها للثابت في الحل العام.

إجابة:الحل الخاص:

التحقق: أولاً، دعونا نتحقق من استيفاء الشرط الأولي:
- كل شيء بخير.

الآن دعونا نتحقق مما إذا كان الحل المعين الذي تم العثور عليه يفي بالمعادلة التفاضلية على الإطلاق. إيجاد المشتقة:

لننظر إلى المعادلة الأصلية: - يتم تقديمه في الفروق. هناك طريقتان للتحقق. من الممكن التعبير عن التفاضل من المشتق الموجود:

دعونا نعوض بالحل المعين الموجود والتفاضل الناتج في المعادلة الأصلية :

نستخدم الهوية اللوغاريتمية الأساسية:

يتم الحصول على المساواة الصحيحة، مما يعني أنه تم العثور على الحل المعين بشكل صحيح.

الطريقة الثانية للتحقق معكوسة وأكثر دراية: من المعادلة دعونا نعبر عن المشتقة، للقيام بذلك نقسم جميع القطع على:

وفي DE المحول نستبدل الحل الجزئي الذي تم الحصول عليه والمشتق الموجود. ونتيجة للتبسيط، ينبغي أيضا الحصول على المساواة الصحيحة.

مثال 6

حل المعادلة التفاضلية. تقديم الإجابة في شكل تكامل عام.

هذا مثال يمكنك حله بنفسك، الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

ما هي الصعوبات التي تكمن في حل المعادلات التفاضلية ذات المتغيرات القابلة للفصل؟

1) ليس من الواضح دائمًا (خاصة بالنسبة لإبريق الشاي) أنه يمكن فصل المتغيرات. لنأخذ مثالاً شرطيًا: . هنا عليك إخراج العوامل من الأقواس: وفصل الجذور: . من الواضح ما يجب فعله بعد ذلك.

2) صعوبات التكامل نفسه. غالبًا ما لا تكون التكاملات هي الأبسط، وإذا كانت هناك عيوب في مهارات العثور عليها تكامل غير محدد، فسيكون الأمر صعبًا مع وجود العديد من الناشرين. بالإضافة إلى ذلك، فإن المنطق "بما أن المعادلة التفاضلية بسيطة، فلتكن التكاملات أكثر تعقيدًا" يحظى بشعبية كبيرة بين جامعي المجموعات وأدلة التدريب.

3) التحولات مع ثابت. كما لاحظ الجميع، يمكنك فعل أي شيء تقريبًا باستخدام ثابت في المعادلات التفاضلية. وهذه التحولات ليست مفهومة دائمًا للمبتدئين. دعونا نلقي نظرة على مثال شرطي آخر: . يُنصح بضرب جميع المصطلحات في 2: . الثابت الناتج هو أيضًا نوع من الثابت، والذي يمكن الإشارة إليه بواسطة: . نعم، وبما أن هناك لوغاريتم على الجانب الأيمن، فمن المستحسن إعادة كتابة الثابت على شكل ثابت آخر: .

المشكلة هي أنهم غالبًا لا يهتمون بالفهارس ويستخدمون نفس الحرف. ونتيجة لذلك فإن سجل الحل يأخذ الشكل التالي:

ماذا بحق الجحيم هو هذا؟ هناك أيضا أخطاء. رسميا، نعم. ولكن بشكل غير رسمي - لا يوجد خطأ، فمن المفهوم أنه عند تحويل ثابت، لا يزال يتم الحصول على ثابت آخر.

أو في هذا المثال، لنفترض أنه أثناء حل المعادلة، تم الحصول على تكامل عام. تبدو هذه الإجابة قبيحة، لذا ينصح بتغيير علامات جميع العوامل: . رسميًا، بحسب التسجيل، هناك خطأ مرة أخرى، كان يجب تدوينه. لكن من المفهوم بشكل غير رسمي أنه لا يزال ثابتًا آخر (علاوة على ذلك، يمكن أن يأخذ أي قيمة)، لذا فإن تغيير إشارة الثابت ليس له أي معنى ويمكنك استخدام نفس الحرف.

سأحاول تجنب اتباع نهج مهمل، وسأظل أقوم بتعيين مؤشرات مختلفة للثوابت عند تحويلها.

مثال 7

حل المعادلة التفاضلية. إجراء فحص.

حل:تسمح هذه المعادلة بفصل المتغيرات. نقوم بفصل المتغيرات:

دعونا ندمج:

ليس من الضروري تعريف الثابت هنا على أنه لوغاريتم، لأنه لن يأتي أي شيء مفيد من هذا.

إجابة:التكامل العام:

التحقق من: التمييز بين الإجابة (وظيفة ضمنية):

نتخلص من الكسور عن طريق ضرب كلا الحدين في:

تم الحصول على المعادلة التفاضلية الأصلية، مما يعني أنه تم العثور على التكامل العام بشكل صحيح.

مثال 8

ابحث عن حل معين لـ DE.
,

هذا مثال لك لحله بنفسك. التعليق الوحيد هو أنك تحصل هنا على تكامل عام، وبشكل أكثر دقة، تحتاج إلى البحث ليس عن حل معين، ولكن تكامل جزئي. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

كما ذكرنا سابقًا، في الانتشارات ذات المتغيرات القابلة للفصل، لا تظهر غالبًا أبسط التكاملات. وإليك بعض الأمثلة الأخرى التي يمكنك حلها بنفسك. أنصح الجميع بحل الأمثلة رقم 9-10، بغض النظر عن مستوى إعدادهم، فهذا سيسمح لهم بتحديث مهاراتهم في إيجاد التكاملات أو سد الثغرات في المعرفة.

مثال 9

حل المعادلة التفاضلية

مثال 10

حل المعادلة التفاضلية

وتذكر أن هناك أكثر من طريقة لكتابة تكامل عام، وقد يختلف مظهر إجاباتك عن مظهر إجاباتي. حل مختصر وإجابات في نهاية الدرس.

ترقية سعيدة!

الحلول والأجوبة:

مثال 4:حل: دعونا نجد حلا عاما. نقوم بفصل المتغيرات:


دعونا ندمج:



تم الحصول على التكامل العام ونحاول تبسيطه. دعونا نجمع اللوغاريتمات ونتخلص منها:

نعبر عن الدالة بشكل صريح باستخدام .
القرار المشترك:

دعونا نجد حلاً معينًا يلبي الشرط الأولي .
الطريقة الأولى، بدلاً من "X" نستبدل بـ 1، بدلاً من "Y" نستبدل "e":
.
الطريقة الثانية:

عوّض بالقيمة التي وجدتها للثابت إلى حل عام.
إجابة: الحل الخاص:

التحقق: نتحقق مما إذا كان الشرط الأولي قد تم استيفاءه بالفعل:
، نعم، الحالة الأولية منتهي.
نتحقق مما إذا كان الحل المعين يرضي المعادلة التفاضلية. أولا نجد المشتقة:

دعونا نعوض بالحل المحدد الناتج والمشتق الموجود في المعادلة الأصلية :

يتم الحصول على المساواة الصحيحة، مما يعني أنه تم العثور على الحل بشكل صحيح.

مثال 6:حل: تسمح هذه المعادلة بفصل المتغيرات. نحن نفصل المتغيرات وندمج:




إجابة: التكامل العام:

ملحوظة: هنا يمكنك الحصول على حل عام:

لكن وفقًا لنصيحتي الفنية الثالثة، ليس من المستحسن القيام بذلك لأنه يبدو كإجابة سيئة جدًا.

مثال 8:حل: يسمح جهاز التحكم عن بعد هذا بفصل المتغيرات. نقوم بفصل المتغيرات:



دعونا ندمج:


التكامل العام:
دعونا نجد حلاً معينًا (تكامل جزئي) يتوافق مع الشرط الأولي المحدد . استبدال في الحل العام و :

إجابة: التكامل الجزئي:
من حيث المبدأ، يمكن تمشيط الإجابة وتحصل على شيء أكثر إحكاما. .