الهوية المثلثية الأساسية. عرض لدرس الجبر (الصف التاسع) حول موضوع: عرض لدرس: "المتطابقات المثلثية الأساسية

هذا هو الدرس الأخير والأهم لحل المسائل B11. نحن نعرف بالفعل كيفية تحويل الزوايا من قياس الراديان إلى قياس الدرجة (راجع الدرس "الراديان وقياس الزاوية بالدرجة")، ونعرف أيضًا كيفية تحديد إشارة الدالة المثلثية، مع التركيز على الأرباع الإحداثية ( انظر الدرس "علامات الدوال المثلثية").

الشيء الوحيد المتبقي هو حساب قيمة الدالة نفسها - الرقم نفسه المكتوب في الإجابة. هذا هو المكان الذي تأتي فيه الهوية المثلثية الأساسية للإنقاذ.

الهوية المثلثية الأساسية. لأي زاوية α العبارة التالية صحيحة:

جا 2 α + جتا 2 α = 1.

تربط هذه الصيغة جيب التمام وجيب التمام لزاوية واحدة. الآن، بمعرفة جيب التمام، يمكننا بسهولة العثور على جيب التمام - والعكس صحيح. يكفي أن تأخذ الجذر التربيعي:

لاحظ علامة "±" أمام الجذور. الحقيقة هي أنه من الهوية المثلثية الأساسية ليس من الواضح ما هو الجيب وجيب التمام الأصليان: موجب أم سالب. بعد كل شيء، التربيع هو دالة زوجية "تحرق" جميع السلبيات (إن وجدت).

ولهذا السبب في جميع المسائل B11، الموجودة في امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات، هناك بالضرورة شروط إضافية تساعد على التخلص من عدم اليقين بالعلامات. عادةً ما يكون هذا مؤشرًا على الربع الإحداثي الذي يمكن من خلاله تحديد الإشارة.

من المحتمل أن يسأل القارئ اليقظ: "ماذا عن الظل وظل التمام؟" من المستحيل حساب هذه الوظائف مباشرة من الصيغ المذكورة أعلاه. ومع ذلك، هناك نتائج مهمة من الهوية المثلثية الأساسية، والتي تحتوي بالفعل على مماسات وظل التمام. يسمى:

نتيجة طبيعية مهمة: لأي زاوية α، يمكن إعادة كتابة الهوية المثلثية الأساسية على النحو التالي:

يمكن اشتقاق هذه المعادلات بسهولة من الهوية الرئيسية - يكفي تقسيم كلا الطرفين على cos 2 α (للحصول على الظل) أو على sin 2 α (للحصول على ظل التمام).

دعونا نلقي نظرة على كل هذا بأمثلة محددة. فيما يلي مسائل B11 الحقيقية، المأخوذة من الإصدارات التجريبية لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات 2012.

نحن نعرف جيب التمام، لكننا لا نعرف جيب التمام. الهوية المثلثية الرئيسية (في شكلها "النقي") تربط فقط هذه الوظائف، لذلك سنعمل معها. لدينا:

خطيئة 2 α + جتا 2 α = 1 ⇒ خطيئة 2 α + 99/100 = 1 ⇒ خطيئة 2 α = 1/100 ⇒ خطيئة α = ±1/10 = ±0.1.

لحل المشكلة، يبقى العثور على علامة الجيب. بما أن الزاوية α ∈ (π /2; π )، فيتم قياسها بالدرجة كما يلي: α ∈ (90°; 180°).

وبالتالي، فإن الزاوية α تقع في الربع الإحداثي II - جميع جيوبها موجبة. لذلك الخطيئة α = 0.1.

إذن، نحن نعرف جيب التمام، لكن علينا إيجاد جيب التمام. كلتا الوظيفتين موجودتان في الهوية المثلثية الأساسية. دعونا نستبدل:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0.5.

يبقى التعامل مع العلامة الموجودة أمام الكسر. ماذا تختار: زائد أم ناقص؟ حسب الحالة، تنتمي الزاوية α إلى المجال (π 3π /2). دعونا نحول الزوايا من قياسات الراديان إلى درجات - نحصل على: α ∈ (180°; 270°).

من الواضح أن هذا هو الربع الإحداثي الثالث، حيث تكون جميع جيب التمام سالبة. لذلك cos α = −0.5.

مهمة. أوجد tan α إذا كان ما يلي معروفًا:

يرتبط الظل وجيب التمام بالمعادلة التالية من الهوية المثلثية الأساسية:

نحصل على: tan α = ±3. يتم تحديد علامة الظل بواسطة الزاوية α. ومن المعروف أن α ∈ (3π /2; 2π ). دعونا نحول الزوايا من قياسات الراديان إلى درجات - نحصل على α ∈ (270°; 360°).

من الواضح أن هذا هو الربع الإحداثي الرابع، حيث تكون جميع الظلال سالبة. لذلك تان α = −3.

مهمة. أوجد cos α إذا كان ما يلي معروفًا:

مرة أخرى، الجيب معروف وجيب التمام غير معروف. دعونا نكتب الهوية المثلثية الرئيسية:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0.64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0.36 ⇒ cos α = ±0.6.

يتم تحديد العلامة بالزاوية. لدينا: α ∈ (3π /2; 2π ). دعونا نحول الزوايا من الدرجات إلى الراديان: α ∈ (270°; 360°) هو الربع الإحداثي الرابع، وجيب التمام هناك موجب. ولذلك، جتا α = 0.6.

مهمة. أوجد sin α إذا كان ما يلي معروفًا:

دعونا نكتب صيغة تتبع الهوية المثلثية الأساسية وتربط بشكل مباشر الجيب وظل التمام:

من هنا نحصل على أن الخطيئة 2 α = 1/25، أي. الخطيئة α = ±1/5 = ±0.2. ومن المعروف أن الزاوية α ∈ (0; π /2). في قياس الدرجة، يتم كتابتها على النحو التالي: α ∈ (0°; 90°) - أقوم بتنسيق الربع.

إذن، الزاوية تقع في الربع الإحداثي I - جميع الدوال المثلثية هناك موجبة، لذا فإن sin α = 0.2.

الدوال المثلثية- يتم إعادة توجيه طلب "الخطيئة" هنا؛ انظر أيضا معاني أخرى. تتم إعادة توجيه الطلب "sec" هنا؛ انظر أيضا معاني أخرى. تتم إعادة توجيه طلب "Sine" هنا؛ انظر أيضًا معاني أخرى... ويكيبيديا

تان

أرز. 1 الرسوم البيانية للدوال المثلثية: جيب التمام، وجيب التمام، والظل، والقاطع، وقاطع التمام، وظل التمام الدوال المثلثية هي نوع من الوظائف الأولية. عادة ما تشمل هذه الجيب (sin x)، وجيب التمام (cos x)، والظل (tg x)، وظل التمام (ctg x)، ... ... ويكيبيديا

جيب التمام- أرز. 1 الرسوم البيانية للدوال المثلثية: جيب التمام، وجيب التمام، والظل، والقاطع، وقاطع التمام، وظل التمام الدوال المثلثية هي نوع من الوظائف الأولية. عادة ما تشمل هذه الجيب (sin x)، وجيب التمام (cos x)، والظل (tg x)، وظل التمام (ctg x)، ... ... ويكيبيديا

ظل التمام- أرز. 1 الرسوم البيانية للدوال المثلثية: جيب التمام، وجيب التمام، والظل، والقاطع، وقاطع التمام، وظل التمام الدوال المثلثية هي نوع من الوظائف الأولية. عادة ما تشمل هذه الجيب (sin x)، وجيب التمام (cos x)، والظل (tg x)، وظل التمام (ctg x)، ... ... ويكيبيديا

قاطع- أرز. 1 الرسوم البيانية للدوال المثلثية: جيب التمام، وجيب التمام، والظل، والقاطع، وقاطع التمام، وظل التمام الدوال المثلثية هي نوع من الوظائف الأولية. عادة ما تشمل هذه الجيب (sin x)، وجيب التمام (cos x)، والظل (tg x)، وظل التمام (ctg x)، ... ... ويكيبيديا

تاريخ علم المثلثات- القياسات الجيوديسية (القرن السابع عشر) ... ويكيبيديا

ظل صيغة نصف الزاوية- في علم المثلثات، تربط صيغة ظل نصف الزاوية ظل نصف زاوية بالدوال المثلثية للزاوية الكاملة: الاختلافات في هذه الصيغة هي كما يلي... ويكيبيديا

علم المثلثات- (من الكلمة اليونانية τρίγονο (مثلث) واليونانية μετρειν (قياس)، أي قياس المثلثات) فرع من الرياضيات يدرس فيه الدوال المثلثية وتطبيقاتها في الهندسة. ظهر هذا المصطلح لأول مرة عام 1595 باسم... ... ويكيبيديا

حل المثلثات- (lat. solutio triangulorum) مصطلح تاريخي يعني حل المشكلة المثلثية الرئيسية: باستخدام البيانات المعروفة حول المثلث (الأضلاع والزوايا وما إلى ذلك) ابحث عن خصائصه المتبقية. يمكن أن يقع المثلث على ... ... ويكيبيديا

كتب

مجموعة من الجداول. الجبر وبدايات التحليل. الصف 10. 17 جدول + المنهجية، . تتم طباعة الطاولات على ورق مقوى مطبوع سميك بقياس 680 × 980 ملم. تتضمن المجموعة كتيبًا يتضمن إرشادات التدريس للمعلمين. ألبوم تعليمي مكون من 17 ورقة... اشترِ مقابل 3944 روبية
جداول التكاملات والصيغ الرياضية الأخرى، دوايت ج.ب.. تحتوي الطبعة العاشرة من الكتاب المرجعي الشهير على جداول مفصلة للغاية للتكاملات غير المحددة والمحددة، بالإضافة إلى عدد كبير من الصيغ الرياضية الأخرى: توسعات المتسلسلة، ...

في هذه المقالة سوف نلقي نظرة شاملة. الهويات المثلثية الأساسية هي المعادلات التي تنشئ اتصالاً بين الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية واحدة، وتسمح للمرء بالعثور على أي من هذه الدوال المثلثية من خلال أخرى معروفة.

دعونا ندرج على الفور الهويات المثلثية الرئيسية التي سنقوم بتحليلها في هذه المقالة. دعونا نكتبها في جدول، وفيما يلي سنقدم نتائج هذه الصيغ ونقدم التوضيحات اللازمة.

التنقل في الصفحة.

العلاقة بين جيب التمام وجيب التمام لزاوية واحدة

في بعض الأحيان، لا يتحدثون عن الهويات المثلثية الرئيسية المدرجة في الجدول أعلاه، ولكن عن واحد منهم الهوية المثلثية الأساسيةعطوف . تفسير هذه الحقيقة بسيط للغاية: يتم الحصول على التساويات من الهوية المثلثية الرئيسية بعد قسمة كلا جزأها على و، على التوالي، والمساواة و اتبع من تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام. سنتحدث عن هذا بمزيد من التفصيل في الفقرات التالية.

وهذا يعني أن المساواة ذات أهمية خاصة، والتي أعطيت اسم الهوية المثلثية الرئيسية.

قبل إثبات الهوية المثلثية الرئيسية، نعطي صياغتها: مجموع مربعات الجيب وجيب التمام لزاوية واحدة يساوي واحدًا تمامًا. الآن دعونا نثبت ذلك.

يتم استخدام الهوية المثلثية الأساسية في كثير من الأحيان عندما تحويل التعبيرات المثلثية. يسمح باستبدال مجموع مربعات الجيب وجيب التمام لزاوية واحدة بواحدة. في كثير من الأحيان، يتم استخدام الهوية المثلثية الأساسية بترتيب عكسي: يتم استبدال الوحدة بمجموع مربعات الجيب وجيب التمام لأي زاوية.

الظل وظل التمام من خلال الجيب وجيب التمام

الهويات التي تربط الظل وظل التمام مع جيب وجيب التمام لزاوية رؤية واحدة و اتبع مباشرة من تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام. في الواقع، بحكم التعريف، الجيب هو الإحداثي y، وجيب التمام هو الإحداثي السيني لـ x، والظل هو نسبة الإحداثي إلى الإحداثي الإحداثي، أي، ، وظل التمام هو نسبة الإحداثي الإحداثي إلى الإحداثي، أي، .

بفضل هذا الوضوح للهويات و غالبًا ما يتم تعريف الظل وظل التمام ليس من خلال نسبة الإحداثي الإحداثي والإحداثي، ولكن من خلال نسبة الجيب وجيب التمام. إذن ظل الزاوية هو نسبة جيب التمام إلى جيب تمام هذه الزاوية، وظل التمام هو نسبة جيب التمام إلى جيب التمام.

وفي ختام هذه الفقرة تجدر الإشارة إلى أن الهويات و تحدث لجميع الزوايا التي تكون فيها الدوال المثلثية المضمنة فيها منطقية. إذن الصيغة صالحة لأي غير (وإلا سيكون المقام صفرًا، ولم نحدد القسمة على صفر)، والصيغة - للجميع، يختلف عن، حيث يوجد z أي.

العلاقة بين الظل وظل التمام

الهوية المثلثية الأكثر وضوحًا من الاثنين السابقتين هي الهوية التي تربط المماس وظل التمام لزاوية واحدة من النموذج . ومن الواضح أنه ينطبق على أي زوايا أخرى غير ، وإلا لم يتم تعريف الظل أو ظل التمام.

إثبات الصيغة بسيط جدا. بالتعريف ومن أين . كان من الممكن تنفيذ الإثبات بشكل مختلف قليلاً. منذ ، الذي - التي .

لذا، فإن الظل وظل التمام للزاوية نفسها التي يكونان عندها منطقيين هما .

لاستخدام معاينات العرض التقديمي، قم بإنشاء حساب Google وقم بتسجيل الدخول إليه: https://accounts.google.com

التسميات التوضيحية للشرائح:

لتكن اللغة الإنجليزية عزيزة على البعض، الكيمياء مهمة للبعض، بدون الرياضيات لنا جميعًا لكن لا هنا ولا هناك، بالنسبة لنا المعادلات مثل القصائد والجيوب تدعم أرواحنا بالنسبة لنا، جيب التمام مثل الأغاني، وصيغ علم المثلثات تداعب آذاننا!

موضوع الدرس: "الهويات المثلثية الأساسية. حل المشاكل." تعرف: تكون قادراً على: هدف الدرس:

أنا أعرف! أنا استطيع! سوف أقرر! أنا

ماذا تسمى دائرة الوحدة؟ س ص α ر

ما هي اتجاهات دوران وحدة نصف القطر المعروفة؟ س ص α ر

ما هي الوحدات التي يتم قياس زاوية دوران وحدة نصف القطر؟ س ص α ر

ما هي زاوية راديان واحد؟ ما هو عدد الدرجات التقريبية التي تحتوي عليها الزاوية التي مقدارها 1 راديان؟ س ص α ر

صياغة قواعد التحويل من قياس درجة الزاوية إلى قياس الراديان والعكس.

صياغة قواعد التحويل من قياس درجة الزاوية إلى قياس الراديان والعكس. 30 0 π 45 0 π 2 2 π

ما هي الدوال المثلثية التي تعرفها؟

ما هي الدوال المثلثية التي تعرفها؟ ما الذي يحدد معنى الدوال المثلثية؟

أي ربع زاوية تكون الزاوية α إذا: α =15° α =190° α =100°

أي ربع زاوية تكون الزاوية α إذا: α =-20° α =-110° α =289°

العمل في مجموعات قواعد العمل في مجموعة: تناقش المجموعة وتقرر معًا، وتطرح الأفكار أو تدحضها. يجب على كل عضو في المجموعة أن يعمل بأفضل ما يستطيع. أثناء العمل، تعامل مع زملائك باحترام: اقبل فكرة ما أو ارفضها، وافعل ذلك بأدب. تذكر أن لكل شخص الحق في ارتكاب الأخطاء. تذكر أن نجاح المجموعة يعتمد على مدى نجاح كل فرد في إظهار نقاط قوته.

مجموعة عمل

0° 30° 45° 60° 90° sin cos tg ctg 0 1 1 0 0 1 - - 1 0 جدول قيم الدوال المثلثية

1 A 2 B 3 C 4 D 5 E 6 H 7 إلى K 8 L 9 من خلال و M 10 من خلال و N 1 - cos 2 α 1-sin 2 α sin 2 α معايير التقييم: 10 مهام - الدرجة "5". 8-9 مهام - النتيجة "4". 5-7 مهام - النتيجة "3". 1-4 مهام - النتيجة "2". إنشاء مراسلات بين الجانبين الأيسر والأيمن للهوية.

1 M 2 L 3 N 4 E 5 B 6 C 7 إلى A 8 K 9 من خلال و H 10 من خلال و D 1 - cos 2 α 1-sin 2 α sin 2 α معايير التقييم: 10 مهام - الدرجة "5". 8-9 مهام - النتيجة "4". 5-7 مهام - النتيجة "3". 1-4 مهام - النتيجة "2". إنشاء مراسلات بين الجانبين الأيسر والأيمن للهوية.

الهوية المثلثية الأساسية "الوحدة المثلثية"

الهوية المثلثية الأساسية "الوحدة المثلثية" مربع جيب التمام سعيد للغاية. ساحة الأخ سين قادمة لرؤيته! وعندما يجتمعون تتفاجأ الدائرة: ستخرج عائلة كاملة، أي وحدة!

1. 3 sin 2 α + 3 cos 2 α 2. (1 – cos α)(1 + cos α) عند α =90° 3. 1- sin 2 40 0 4. 5. tg α∙ ctg α 6. ( ctg 2 α + 1)(1 – sin 2 α) 7. tg α∙ ctg α -1 8. cos 2 α + ctg 2 α + sin 2 α و s t P إلى 1 cos 2 40° 3 ctg 2 α 0 1 2 3 4 5 6 7 8 احصل على اسم عالم الرياضيات الذي ظهر مصطلح "علم المثلثات" لأول مرة في كتابه. 1 2 3 4 5 6 7 8 بي تي آي سي ك يو إس 2-2 كوس(-60 0)

بيتيسكوس

الباطني الخوارزمي

بهاسكارا ناصر الدين الطوسي

ليونارد أويلر

بمعلومية قيمة الدالة المثلثية، أوجد قيمة دالة أخرى الربع المعطى: أوجد: الحل: I sinα= 0.6 II cosα= sinα III tgα= ctgα IV cosα= tgα

بمعلومية قيمة الدالة المثلثية، أوجد قيمة دالة أخرى الربع المعطى: أوجد: الحل: I sinα= 0.6

بمعلومية قيمة الدالة المثلثية، أوجد قيمة دالة أخرى الربع المعطى: أوجد: الحل: II cosα= sinα = =

بمعلومية قيمة الدالة المثلثية، أوجد قيمة دالة أخرى الربع المعطى: أوجد: الحل: III tgα= ctgα ctgα = = =

بمعلومية قيمة الدالة المثلثية، أوجد قيمة دالة أخرى الربع المعطى: أوجد: الحل: IV cosα = tgα tgα = = = = = =

تطبيقات علم المثلثات في حياة الإنسان.

رسالة الواجب البيتي: "حساب المثلثات في حياة الإنسان" رقم 304 ص 111

y=sinx شكرا على الدرس!

1 sin 240° 8 cos 290° 2 tg 98° 9 tg(-120°) 3 sin 70° 10 sin 4 ctg 200° 11 cos 5 cos 113° 12 cos 6 sin (- 140°) 13 sin 7 cos (- 300 °) 14 tg حدد إشارة التعبير - - - - - - + + + + + + +

حول الموضوع: التطورات المنهجية والعروض والملاحظات

يقدم العرض حلولاً للمشكلات الرئيسية لمقرر الرياضيات المدرسية حول إيجاد جميع أنواع المسافات والزوايا في الفضاء باستخدام الخوارزمية، مما يسمح باستخدامها في دراسة...

عرض تقديمي للدرس: "الزاوية بين المستويات. حل المشكلة باستخدام طرق مختلفة"

يمكن استخدام هذا العرض للتوضيح في دروس المراجعة، للتحضير لامتحان الدولة الموحدة عند حل المسائل من النوع C-2....