تعريف دائرة الأعداد على المستوى الإحداثي. الموضوع: عناصر نظرية الدوال المثلثية

لاستخدام معاينات العرض التقديمي، قم بإنشاء حساب Google وقم بتسجيل الدخول إليه: https://accounts.google.com

التسميات التوضيحية للشرائح:

دائرة الأرقام في المستوى الإحداثي

دعونا نكرر: دائرة الوحدة هي دائرة أرقام نصف قطرها 1. R=1 C=2 π + - y x

إذا كانت النقطة M من دائرة الأرقام تتوافق مع الرقم t، فإنها تتوافق أيضًا مع رقم من النموذج t+2 π k، حيث k هو أي عدد صحيح (k ϵ Z). M(t) = M(t+2 π k)، حيث k ϵ Z

التخطيطات الأساسية التخطيط الأول 0 π y x التخطيط الثاني y x

x y 1 أ(1, 0) ب (0, 1) ج (- 1, 0) د (0, -1) 0 x>0 y>0 x 0 x 0 y

لنجد إحداثيات النقطة M المقابلة للنقطة. 1) 2) x y M P 45° O A

إحداثيات النقاط الرئيسية للتخطيط الأول 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 D y x

M P x y O A لنجد إحداثيات النقطة M المقابلة للنقطة. 1) 2) 30 درجة

M P لنجد إحداثيات النقطة M المقابلة للنقطة. 1) 2) 30° x y O A B

باستخدام خاصية التناظر، نجد إحداثيات النقاط التي هي مضاعفات y x

إحداثيات النقاط الرئيسية للتخطيط الثاني x y x y y x

مثال: أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الأعداد. الحل: ص ص س

مثال: ابحث عن النقاط ذات الإحداثيات على دائرة الأعداد الحل: y x ​​​​x y x y

تدريبات: أوجد إحداثيات النقاط على دائرة الأعداد: أ) ، ب) . أوجد النقاط ذات الإحداثي الإحداثي على دائرة الأعداد.

إحداثيات النقاط الرئيسية 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 إحداثيات النقاط الرئيسية للتخطيط الأول x y x y إحداثيات النقاط الرئيسية نقاط التخطيط الثاني

حول الموضوع: التطورات المنهجية والعروض والملاحظات

مادة تعليمية عن الجبر وبدايات التحليل في الصف العاشر (مستوى الملف الشخصي) "دائرة الأرقام على المستوى الإحداثي"

الخيار 1.1. أوجد النقطة على دائرة الأعداد: أ) -2∏/3ب) 72. أي ربع من دائرة الأعداد يشير إلى 16.3. أوجد...

دائرة الأرقامهي دائرة الوحدة التي تتوافق نقاطها مع أرقام حقيقية معينة.

دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها 1.

منظر عام لدائرة الأعداد.

1) يؤخذ نصف القطر كوحدة قياس.

2) يقسم القطران الأفقي والرأسي دائرة الأعداد إلى أربعة أرباع (انظر الشكل). ويطلق عليهم على التوالي الربع الأول والثاني والثالث والرابع.

3) يُشار إلى القطر الأفقي بالرمز AC، وتكون النقطة A أقصى اليمين.
يُشار إلى القطر العمودي بـ BD، حيث تكون النقطة B هي أعلى نقطة.
على التوالى:

الربع الأول هو القوس AB

الربع الثاني – قوس قبل الميلاد

الربع الثالث - قرص مضغوط القوس

الربع الرابع - قوس DA

4) نقطة بداية دائرة الأعداد هي النقطة أ.

يمكن إجراء العد على طول دائرة الأرقام إما في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة.
يسمى العد من النقطة A عكس اتجاه عقارب الساعة اتجاه إيجابي.
يسمى العد من النقطة A في اتجاه عقارب الساعة الاتجاه السلبي.

دائرة الأعداد على المستوى الإحداثي

يتوافق مركز نصف قطر دائرة الأرقام مع الأصل (رقم 0).

القطر الأفقي يتوافق مع المحور س، عمودي – محاور ذ.

نقطة البداية A لدائرة الأعداد تقع على المحور سولها إحداثيات (1؛ 0).

قيمسوذفي أرباع دائرة الأرقام:

القيم الأساسية لدائرة الأرقام:

أسماء ومواقع النقاط الرئيسية على دائرة الأعداد:

كيف تتذكر أسماء دوائر الأرقام

هناك العديد من الأنماط البسيطة التي ستساعدك على تذكر الأسماء الأساسية لدائرة الأرقام بسهولة.

قبل أن نبدأ، دعونا نذكرك: يتم العد في الاتجاه الإيجابي، أي من النقطة A (2π) عكس اتجاه عقارب الساعة.

1) لنبدأ بالنقاط القصوى على محاور الإحداثيات.

نقطة البداية هي 2π (أقصى اليمين على المحور X، يساوي 1).

كما تعلم، 2π هو محيط الدائرة. هذا يعني أن نصف الدائرة هو 1π أو π. محور Xيقسم الدائرة إلى النصف بالضبط. وبناء على ذلك، أقصى نقطة على اليسار على المحور Xيساوي -1 يسمى π.

أعلى نقطة على المحور في، يساوي 1، يقسم نصف الدائرة العلوي إلى نصفين. هذا يعني أنه إذا كان نصف الدائرة هو π، فإن نصف نصف الدائرة هو π/2.

وفي الوقت نفسه، π/2 هو أيضًا ربع الدائرة. لنعد ثلاثة أرباع من الأول إلى الثالث - وسنصل إلى أدنى نقطة على المحور في، يساوي -1. أما إذا كان يشتمل على ثلاثة أرباع، فإن اسمه 3ط/2.

2) الآن دعنا ننتقل إلى النقاط المتبقية. يرجى ملاحظة: جميع النقاط المتقابلة لها نفس البسط - وهذه نقاط متقابلة بالنسبة للمحور في، سواء بالنسبة إلى مركز المحاور، أو بالنسبة إلى المحور X. سيساعدنا هذا في معرفة قيم نقاطهم دون حشو.

ما عليك سوى أن تتذكر معنى نقاط الربع الأول: π/6، π/4 وπ/3. وبعد ذلك سوف "نرى" بعض الأنماط:

- نسبة إلى المحور yعند نقاط الربع الثاني، مقابل نقاط الربع الأول، تكون الأرقام في البسط أقل بمقدار 1 من حجم المقامات. على سبيل المثال، خذ النقطة π/6. النقطة المقابلة لها بالنسبة للمحور فيلديه أيضًا 6 في المقام و5 في البسط (1 أقل). أي أن اسم هذه النقطة هو: 5π/6. النقطة المقابلة لـ π/4 لها أيضًا 4 في المقام و3 في البسط (1 أقل من 4) - أي أنها نقطة 3π/4.
النقطة المقابلة لـ π/3 لها أيضًا 3 في المقام، و1 أقل في البسط: 2π/3.

- نسبة إلى مركز محاور الإحداثياتكل شيء على العكس من ذلك: الأرقام الموجودة في بسط النقاط المتقابلة (في الربع الثالث) أكبر بمقدار 1 من قيمة المقامات. لنأخذ النقطة π/6 مرة أخرى. النقطة المقابلة لها بالنسبة للمركز لديها أيضًا 6 في المقام، وفي البسط يكون الرقم أكبر بمقدار 1 - أي 7π/6.

النقطة المقابلة للنقطة π/4 لها أيضًا 4 في المقام، وفي البسط يكون الرقم 1 إضافي: 5π/4.
النقطة المقابلة للنقطة π/3 لها أيضًا 3 في المقام، وفي البسط يكون الرقم 1 إضافي: 4π/3.

- نسبة إلى المحور X(الربع الرابع)الأمر أكثر تعقيدًا. هنا تحتاج إلى إضافة رقم أقل بمقدار 1 إلى قيمة المقام - سيكون هذا المجموع مساوياً للجزء الرقمي من بسط النقطة المقابلة. لنبدأ مرة أخرى مع π/6. لنضيف إلى قيمة المقام التي تساوي 6 رقمًا أقل من هذا الرقم بمقدار 1 - أي 5. نحصل على: 6 + 5 = 11. وهذا يعني أنه مقابل للمحور Xسيكون للنقطة 6 في المقام و11 في البسط - أي 11π/6.

النقطة π/4. نضيف إلى قيمة المقام رقما أقل 1: 4 + 3 = 7. وهذا يعني أنه مقابل للمحور Xتحتوي النقطة على 4 في المقام و7 في البسط - أي 7π/4.
النقطة π/3. المقام هو 3. نضيف إلى 3 رقمًا أصغر بمقدار واحد - أي 2. نحصل على 5. هذا يعني أن النقطة المقابلة لها بها 5 في البسط - وهذه هي النقطة 5π/3.

3) نمط آخر لنقاط منتصف الأرباع. من الواضح أن مقامهم هو 4. دعونا ننتبه إلى البسطين. بسط منتصف الربع الأول هو 1π (لكن ليس من المعتاد كتابة 1). بسط منتصف الربع الثاني هو 3π. بسط منتصف الربع الثالث هو 5π. بسط منتصف الربع الرابع هو 7π. اتضح أن بسط الأرباع الوسطى تحتوي على الأعداد الأربعة الفردية الأولى بترتيب تصاعدي:
(1)ط، 3ط، 5ط، 7ط.
وهذا أيضًا بسيط جدًا. نظرًا لأن نقاط المنتصف لجميع الأرباع تحتوي على 4 في المقام، فإننا نعرف بالفعل أسمائها الكاملة: π/4، 3π/4، 5π/4، 7π/4.

مميزات دائرة الأعداد. المقارنة مع خط الأعداد.

كما تعلمون، على خط الأعداد، كل نقطة تقابل رقمًا واحدًا. على سبيل المثال، إذا كانت النقطة A على الخط تساوي 3، فلا يمكن أن تساوي أي رقم آخر.

الأمر مختلف على دائرة الأعداد لأنها دائرة. على سبيل المثال، من أجل الانتقال من النقطة A من الدائرة إلى النقطة M، يمكنك القيام بذلك كما لو كنت على خط مستقيم (تمرير قوس فقط)، أو يمكنك الالتفاف حول دائرة كاملة، ثم الوصول إلى النقطة M. خاتمة:

دع النقطة M تساوي عددا ما. كما نعلم، محيط الدائرة هو 2π. هذا يعني أنه يمكننا كتابة نقطة على الدائرة t بطريقتين: t أو t + 2π. هذه قيم متكافئة.
أي أن t = t + 2π. الفرق الوحيد هو أنك في الحالة الأولى وصلت إلى النقطة M فورًا دون عمل دائرة، وفي الحالة الثانية قمت بعمل دائرة، ولكن انتهى بك الأمر عند نفس النقطة M. يمكنك عمل مئتين أو ثلاث أو مائتين من هذا القبيل دوائر. إذا قمنا بالإشارة إلى عدد الدوائر بالحرف ك، ثم نحصل على تعبير جديد:
ر = ر + 2π ك.

ومن هنا الصيغة:

معادلة الدائرة العددية
(المعادلة الثانية موجودة في قسم "جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام"):

س 2 + ص 2 = 1

دائرة الأرقامهي دائرة الوحدة التي تتوافق نقاطها مع أرقام حقيقية معينة.

دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها 1.

منظر عام لدائرة الأعداد.

1) يؤخذ نصف القطر كوحدة قياس.

2) يقسم القطران الأفقي والرأسي دائرة الأعداد إلى أربعة أرباع. ويطلق عليهم على التوالي الربع الأول والثاني والثالث والرابع.

3) يُشار إلى القطر الأفقي بالرمز AC، حيث يكون A هو الحد الأقصى يميننقطة.
يُشار إلى القطر العمودي بـ BD، حيث تكون النقطة B هي أعلى نقطة.
على التوالى:

الربع الأول هو القوس AB

الربع الثاني - قوس قبل الميلاد

الربع الثالث - قرص مضغوط

الربع الرابع - قوس DA

4) نقطة بداية دائرة الأعداد هي النقطة أ.

يمكن إجراء العد على طول دائرة الأرقام إما في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة.

العد من النقطة أ ضدفي اتجاه عقارب الساعة يسمى اتجاه إيجابي.

العد من النقطة أ بواسطةدعا في اتجاه عقارب الساعة الاتجاه السلبي.

دائرة الأعداد على المستوى الإحداثي

يتوافق مركز نصف قطر دائرة الأرقام مع الأصل (رقم 0).

القطر الأفقي يتوافق مع المحور س، محور رأسي ذ.

نقطة البداية دائرة رقمنقطة الإنطلاق على المحورسولها إحداثيات (1؛ 0).

أسماء ومواقع النقاط الرئيسية على دائرة الأعداد:

كيف تتذكر أسماء دوائر الأرقام

هناك العديد من الأنماط البسيطة التي ستساعدك على تذكر الأسماء الأساسية لدائرة الأرقام بسهولة.

قبل أن نبدأ، دعونا نذكرك: يتم العد في الاتجاه الإيجابي، أي من النقطة A (2π) عكس اتجاه عقارب الساعة.

1) لنبدأ بالنقاط القصوى على محاور الإحداثيات.

نقطة البداية هي 2π (أقصى اليمين على المحور X، يساوي 1).

كما تعلم، 2π هو محيط الدائرة. هذا يعني أن نصف الدائرة هو 1π أو π. محور Xيقسم الدائرة إلى النصف بالضبط. وبناء على ذلك، أقصى نقطة على اليسار على المحور Xيساوي -1 يسمى π.

أعلى نقطة على المحور في، يساوي 1، يقسم نصف الدائرة العلوي إلى نصفين. هذا يعني أنه إذا كان نصف الدائرة هو π، فإن نصف نصف الدائرة هو π/2.

وفي الوقت نفسه، π/2 هو أيضًا ربع الدائرة. لنعد ثلاثة أرباع من الأول إلى الثالث - وسنصل إلى أدنى نقطة على المحور في، يساوي -1. أما إذا كان يشتمل على ثلاثة أرباع، فإن اسمه 3ط/2.

2) الآن دعنا ننتقل إلى النقاط المتبقية. يرجى ملاحظة: جميع النقاط المتقابلة لها نفس المقام - وهذه نقاط متقابلة بالنسبة للمحور في، سواء بالنسبة إلى مركز المحاور، أو بالنسبة إلى المحور X. سيساعدنا هذا في معرفة قيم نقاطهم دون حشو.

ما عليك سوى أن تتذكر معنى نقاط الربع الأول: π/6، π/4 وπ/3. وبعد ذلك سوف "نرى" بعض الأنماط:

- نسبة إلى المحور في عند نقاط الربع الثاني، مقابل نقاط الربع الأول، تكون الأرقام في البسط أقل بمقدار 1 من حجم المقامات. على سبيل المثال، خذ النقطة π/6. النقطة المقابلة لها بالنسبة للمحور فيلديه أيضًا 6 في المقام و5 في البسط (1 أقل). أي أن اسم هذه النقطة هو: 5π/6. النقطة المقابلة لـ π/4 لها أيضًا 4 في المقام، و3 في البسط (1 أقل من 4) - أي أنها نقطة 3π/4.
النقطة المقابلة لـ π/3 لها أيضًا 3 في المقام، و1 أقل في البسط: 2π/3.

- نسبة إلى مركز محاور الإحداثياتكل شيء على العكس من ذلك: الأرقام الموجودة في بسط النقاط المتقابلة (في الربع الثالث) أكبر بمقدار 1 من قيمة المقامات. لنأخذ النقطة π/6 مرة أخرى. النقطة المقابلة لها بالنسبة للمركز لديها أيضًا 6 في المقام، وفي البسط يكون الرقم 1 آخر - أي 7π/6.
النقطة المقابلة للنقطة π/4 لها أيضًا 4 في المقام، وفي البسط يكون الرقم 1 إضافي: 5π/4.
النقطة المقابلة للنقطة π/3 لها أيضًا 3 في المقام، وفي البسط يكون الرقم 1 إضافي: 4π/3.

- نسبة إلى المحور X(الربع الرابع)الأمر أكثر تعقيدًا. هنا تحتاج إلى إضافة رقم أقل بمقدار 1 إلى قيمة المقام - سيكون هذا المجموع مساوياً للجزء الرقمي من بسط النقطة المقابلة. لنبدأ مرة أخرى مع π/6. لنضيف إلى قيمة المقام التي تساوي 6 رقمًا أقل من هذا الرقم بمقدار 1 - أي 5. نحصل على: 6 + 5 = 11. وهذا يعني أنه مقابل للمحور Xسيكون للنقطة 6 في المقام و11 في البسط - أي 11π/6.

النقطة π/4. نضيف إلى قيمة المقام رقما أقل 1: 4 + 3 = 7. وهذا يعني أنه مقابل للمحور Xتحتوي النقطة على 4 في المقام و7 في البسط - أي 7π/4.
النقطة π/3. المقام هو 3. نضيف إلى 3 رقمًا أصغر بمقدار واحد - أي 2. نحصل على 5. هذا يعني أن النقطة المقابلة لها بها 5 في البسط - وهذه هي النقطة 5π/3.

3) نمط آخر لنقاط منتصف الأرباع. من الواضح أن مقامهم هو 4. دعونا ننتبه إلى البسطين. بسط منتصف الربع الأول هو 1π (لكن ليس من المعتاد كتابة 1). بسط منتصف الربع الثاني هو 3π. بسط منتصف الربع الثالث هو 5π. بسط منتصف الربع الرابع هو 7π. اتضح أن بسط الأرباع الوسطى تحتوي على الأعداد الأربعة الفردية الأولى بترتيب تصاعدي:
(1)ط، 3ط، 5ط، 7ط.
وهذا أيضًا بسيط جدًا. نظرًا لأن نقاط المنتصف لجميع الأرباع تحتوي على 4 في المقام، فإننا نعرف بالفعل أسمائها الكاملة: π/4، 3π/4، 5π/4، 7π/4.

مميزات دائرة الأعداد. المقارنة مع خط الأعداد.

كما تعلمون، على خط الأعداد، كل نقطة تقابل رقمًا واحدًا. على سبيل المثال، إذا كانت النقطة A على الخط تساوي 3، فلا يمكن أن تساوي أي رقم آخر.

الأمر مختلف على دائرة الأعداد لأنها دائرة. على سبيل المثال، من أجل الانتقال من النقطة A من الدائرة إلى النقطة M، يمكنك القيام بذلك كما لو كنت على خط مستقيم (تمرير قوس فقط)، أو يمكنك الالتفاف حول دائرة كاملة، ثم الوصول إلى النقطة M. خاتمة:

دع النقطة M تساوي عددا ما. كما نعلم، محيط الدائرة هو 2π. هذا يعني أنه يمكننا كتابة نقطة على الدائرة t بطريقتين: t أو t + 2π. هذه قيم متكافئة.
أي أن t = t + 2π. الفرق الوحيد هو أنك في الحالة الأولى وصلت إلى النقطة M فورًا دون عمل دائرة، وفي الحالة الثانية قمت بعمل دائرة، ولكن انتهى بك الأمر عند نفس النقطة M. يمكنك عمل مئتين أو ثلاث أو مائتين من هذا القبيل دوائر. إذا قمنا بالإشارة إلى عدد الدوائر بالحرف ن، ثم نحصل على تعبير جديد:
ر = ر + 2π ن.

ومن هنا الصيغة:

إذا قمت بوضع دائرة رقم الوحدة على المستوى الإحداثي، فيمكنك العثور على إحداثيات نقاطها. يتم وضع دائرة الأرقام بحيث يتطابق مركزها مع أصل المستوى، أي النقطة O (0; 0).

عادةً ما يتم تحديد النقاط المقابلة لأصل الدائرة على دائرة رقم الوحدة

• الأرباع - 0 أو 2π، π/2، π، (2π)/3،
• الأرباع الوسطى - π/4، (3π)/4، (5π)/4، (7π)/4،
• ثلثي الأرباع - π/6، π/3، (2π)/3، (5π)/6، (7π)/6، (4π)/3، (5π)/3، (11π)/6.

على المستوى الإحداثي، مع موقع دائرة الوحدة أعلاه، يمكنك العثور على الإحداثيات المقابلة لهذه النقاط من الدائرة.

من السهل جدًا العثور على إحداثيات نهايات الأرباع. عند النقطة 0 من الدائرة، يكون الإحداثي x هو 1، والإحداثي y هو 0. يمكننا الإشارة إليه على أنه A (0) = A (1؛ 0).

ستكون نهاية الربع الأول على المحور الصادي الموجب. ولذلك، ب (π/2) = ب (0؛ 1).

نهاية الربع الثاني تكون على شبه المحور السالب: C (π) = C (-1; 0).

نهاية الربع الثالث: د ((2π)/3) = د (0؛ -1).

ولكن كيف يمكن العثور على إحداثيات منتصف الأرباع؟ للقيام بذلك، قم ببناء مثلث قائم الزاوية. الوتر هو القطعة الممتدة من مركز الدائرة (أو نقطة الأصل) إلى منتصف ربع الدائرة. هذا هو نصف قطر الدائرة. بما أن الدائرة وحدة، فإن الوتر يساوي 1. بعد ذلك، ارسم خطًا عموديًا من نقطة على الدائرة إلى أي محور. فليكن نحو المحور x. والنتيجة هي مثلث قائم الزاوية، أطوال أضلاعه هي إحداثيات x و y للنقطة الموجودة على الدائرة.

ربع دائرة 90 درجة. ونصف الربع هو 45 درجة. وبما أن الوتر مرسوم إلى منتصف الربع، فإن الزاوية بين الوتر والساق الممتدة من نقطة الأصل هي 45 درجة. لكن مجموع زوايا أي مثلث هو 180 درجة. وبالتالي، تظل الزاوية بين الوتر والساق الأخرى أيضًا 45 درجة. وينتج عن هذا مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين.

من نظرية فيثاغورس نحصل على المعادلة x 2 + y 2 = 1 2. بما أن x = y و1 2 = 1، يتم تبسيط المعادلة إلى x 2 + x 2 = 1. وبحلها نحصل على x = √½ = 1/√2 = √2/2.

وبالتالي، فإن إحداثيات النقطة M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

في إحداثيات نقاط منتصف الأرباع الأخرى، ستتغير العلامات فقط، وستبقى وحدات القيم كما هي، حيث لن يتم قلب المثلث القائم إلا. نحن نحصل:
م 2 ((3π)/4) = م 2 (-√2/2; √2/2)
م 3 ((5π)/4) = م 3 (-√2/2؛ -√2/2)
م 4 ((7π)/4) = م 4 (√2/2; -√2/2)

عند تحديد إحداثيات الأجزاء الثالثة من أرباع الدائرة، يتم أيضًا إنشاء مثلث قائم الزاوية. إذا أخذنا النقطة π/6 ورسمنا عمودًا على المحور السيني، فإن الزاوية بين الوتر والساق الواقعة على المحور السيني ستكون 30 درجة. من المعروف أن الساق التي تقع مقابل زاوية 30 درجة تساوي نصف الوتر. هذا يعني أننا وجدنا الإحداثي y، وهو يساوي ½.

بمعرفة طول الوتر وأحد الساقين، باستخدام نظرية فيثاغورس نجد الساق الأخرى:
× 2 + (½) 2 = 1 2
س 2 = 1 - ¼ = ¾
س = √3/2

وهكذا T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

بالنسبة لنقطة الثلث الثاني من الربع الأول (π/3)، فمن الأفضل رسم عمودي على المحور y. ثم ستكون الزاوية عند الأصل أيضًا 30 درجة. هنا سيكون إحداثي x مساويًا لـ ½ وy، على التوالي، √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

بالنسبة لنقاط أخرى من الأرباع الثالثة، ستتغير علامات وترتيب قيم الإحداثيات. جميع النقاط الأقرب إلى المحور x سيكون لها قيمة إحداثية للمعامل x تساوي √3/2. تلك النقاط الأقرب إلى المحور y سيكون لها قيمة معامل y تساوي √3/2.
تي 3 ((2π)/3) = تي 3 (-½; √3/2)
تي 4 ((5π)/6) = تي 4 (-√3/2; ½)
تي 5 ((7π)/6) = تي 5 (-√3/2؛ -½)
تي 6 ((4π)/3) = تي 6 (-½; -√3/2)
تي 7 ((5π)/3) = تي 7 (½؛ -√3/2)
تي 8 ((11π)/6) = تي 8 (√3/2; -½)

الدرس 9. دائرة الأعداد. جيب وجيب التمام. الظل وظل التمام.

دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها 1.

دائرة الأرقامهي دائرة الوحدة التي تتوافق نقاطها مع أرقام حقيقية معينة.

منظر عام لدائرة الأعداد.

1) يؤخذ نصف القطر كوحدة قياس.
2) يقسم القطران الأفقي والرأسي دائرة الأعداد إلى أربعة أرباع. ويطلق عليهم على التوالي الربع الأول والثاني والثالث والرابع.
3) يُشار إلى القطر الأفقي بالرمز AC، وتكون النقطة A أقصى اليمين. يُشار إلى القطر العمودي بـ BD، حيث تكون النقطة B هي أعلى نقطة.

على التوالى:
الربع الأول هو القوس AB
الربع الثاني - قوس قبل الميلاد
الربع الثالث - قرص مضغوط
الربع الرابع - قوس DA
4) نقطة بداية دائرة الأعداد هي النقطة أ.

يمكن إجراء العد على طول دائرة الأرقام إما في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة. العد من النقطة أ ضدفي اتجاه عقارب الساعة يسمى اتجاه إيجابي. العد من النقطة أ بواسطةدعا في اتجاه عقارب الساعة الاتجاه السلبي.

دائرة الأعداد على المستوى الإحداثي

يتوافق مركز نصف قطر دائرة الأرقام مع الأصل (رقم 0). القطر الأفقي يتوافق مع المحور س ، محور رأسي ذ . نقطة البداية A لدائرة الأعداد تقع على المحور س ولها إحداثيات (1؛ 0).

قيم سو ذفي أرباع دائرة الأرقام:

قيمة أي نقطة على دائرة الأعداد :

أي نقطة على دائرة الأعداد ذات إحداثيات (س؛ ص) لا يمكن أن يكون أقل من -1، ولكن لا يمكن أن يكون أكبر من 1:  ; 

القيم الأساسية لدائرة الأرقام:

أسماء ومواقع النقاط الرئيسية على دائرة الأعداد:

كيف تتذكر أسماء دوائر الأرقام

هناك العديد من الأنماط البسيطة التي ستساعدك على تذكر الأسماء الأساسية لدائرة الأرقام بسهولة. قبل أن نبدأ، دعونا نذكركم: العد التنازلي في الإتجاه الموجب، أي من النقطة أ (2 ص) عكس عقارب الساعه.

1) لنبدأ بالنقاط القصوى على محاور الإحداثيات. نقطة البداية هي 2 ص(أقصى اليمين على المحور X، يساوي 1). كما تعلمون 2 صهو المحيط. إذن نصف الدائرة يساوي 1 صأو ص. محور Xيقسم الدائرة إلى النصف بالضبط. وبناء على ذلك، تسمى النقطة الموجودة في أقصى اليسار على المحور السيني، والتي تساوي -1 ص. أعلى نقطة على المحور y، تساوي 1، تشطر نصف الدائرة العلوي. وهذا يعني أنه إذا كان هناك نصف دائرة ص، ثم نصف نصف الدائرة ص/2. معًا ص/2 هو أيضًا ربع الدائرة. لنعد ثلاثة أرباع من الأول إلى الثالث - وسنصل إلى أدنى نقطة على المحور في، يساوي -1. أما إذا كان يشمل ثلاثة أرباع، فاسمه 3 ص/2.

2) الآن دعنا ننتقل إلى النقاط المتبقية. يرجى ملاحظة: جميع النقاط المتقابلة لها نفس البسط - وهذه نقاط متقابلة بالنسبة للمحور في ، سواء بالنسبة إلى مركز المحاور، أو بالنسبة إلى المحور X . سيساعدنا هذا في معرفة قيم نقاطهم دون حشو. ما عليك سوى أن تتذكر معنى نقاط الربع الأول: ص/6, ص/4 و ص/3. وبعد ذلك سوف "نرى" بعض الأنماط:

تعريف. إذا كانت النقطة M من دائرة الأرقام تتوافق مع الرقم t، فإن حدود النقطة M تسمى جيب التمام للرقم t ويتم الإشارة إليها كوس ر، ويسمى إحداثي النقطة M جيب الرقم t ويشار إليه سينت.
إذا كان M(t) = M(x;y)، فإن x = التكلفة، y = sint.

تعريف. تسمى نسبة جيب الرقم t إلى جيب التمام لنفس الرقم بظل الرقم t. تسمى نسبة جيب التمام لعدد t إلى جيب نفس الرقم بظل التمام للرقم t.

جدول علامات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لأرباع دائرة الأعداد: