تعريف الأعداد الأولية وخصائصها. الأعداد الطبيعية الأولية

العدد الأولي هو عدد طبيعي لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى الواحد.

الأرقام المتبقية تسمى أرقام مركبة.

الأعداد الطبيعية الأولية

ولكن ليست كل الأعداد الطبيعية هي أعداد أولية.

الأعداد الطبيعية الأولية هي فقط تلك التي تقبل القسمة على نفسها وعلى الواحد فقط.

أمثلة على الأعداد الأولية:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

الأعداد الصحيحة الأولية

ويترتب على ذلك أن الأعداد الطبيعية فقط هي الأعداد الأولية.

وهذا يعني أن الأعداد الأولية هي بالضرورة أعداد طبيعية.

لكن جميع الأعداد الطبيعية هي أيضًا أعداد صحيحة.

وبالتالي، فإن جميع الأعداد الأولية هي أعداد صحيحة.

أمثلة على الأعداد الأولية:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

وحتى الأعداد الأولية

يوجد عدد أولي زوجي واحد فقط - وهو الرقم اثنين.

جميع الأعداد الأولية الأخرى فردية.

لماذا لا يمكن للعدد الزوجي الأكبر من اثنين أن يكون عددا أوليا؟

ولكن لأن أي رقم زوجي أكبر من اثنين سيكون قابلاً للقسمة على نفسه، وليس على واحد وعلى اثنين، أي أن مثل هذا الرقم سيكون له دائمًا ثلاثة قواسم، وربما أكثر.

إجابة إيليا صحيحة، ولكنها ليست مفصلة للغاية. بالمناسبة، في القرن الثامن عشر، كان الرقم الواحد لا يزال يعتبر عددًا أوليًا. على سبيل المثال، علماء الرياضيات العظماء مثل أويلر وغولدباخ. غولدباخ هو مؤلف إحدى مشاكل الألفية السبعة - فرضية غولدباخ. تنص الصيغة الأصلية على أنه يمكن تمثيل كل رقم زوجي كمجموع رقمين أوليين. علاوة على ذلك، في البداية تم أخذ 1 في الاعتبار كرقم أولي، ونحن نرى هذا: 2 = 1+1. وهذا هو أصغر مثال يرضي الصيغة الأصلية للفرضية. تم تصحيحه لاحقًا، واكتسبت الصيغة شكلًا حديثًا: "كل رقم زوجي، بدءًا من الرقم 4، يمكن تمثيله كمجموع رقمين أوليين".

دعونا نتذكر التعريف. الرقم الأولي هو رقم طبيعي p له مقسومان طبيعيان مختلفان فقط: p نفسه و1. النتيجة الطبيعية من التعريف: العدد الأولي p له مقسوم أولي واحد فقط - p نفسه.

الآن لنفترض أن 1 هو عدد أولي. حسب التعريف، العدد الأولي له قاسم أولي واحد فقط - وهو نفسه. ثم يتبين أن أي عدد أولي أكبر من 1 يقبل القسمة على عدد أولي مختلف عنه (على 1). لكن عددين أوليين مختلفين لا يمكن قسمتهما على بعضهما البعض، لأن وإلا فهي ليست أعدادا أولية، بل أعدادا مركبة، وهذا يخالف التعريف. مع هذا النهج، اتضح أن هناك رقمًا أوليًا واحدًا فقط - الوحدة نفسها. لكن هذا أمر سخيف. وبالتالي فإن 1 ليس عددًا أوليًا.

1، وكذلك 0، يشكلان فئة أخرى من الأرقام - فئة العناصر المحايدة فيما يتعلق بالعمليات n-ary في بعض المجموعات الفرعية من المجال الجبري. علاوة على ذلك، فيما يتعلق بعملية الجمع، فإن 1 هو أيضًا عنصر توليد لحلقة الأعداد الصحيحة.

مع هذا الاعتبار، ليس من الصعب اكتشاف نظائرها من الأعداد الأولية في الهياكل الجبرية الأخرى. لنفترض أن لدينا مجموعة ضربية مكونة من قوى العدد 2، بدءًا من 1: 2، 4، 8، 16، ... إلخ. 2 يعمل كعنصر تكويني هنا. العدد الأولي في هذه المجموعة هو رقم أكبر من أصغر عنصر ولا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى أصغر عنصر. في مجموعتنا، 4 فقط لديهم مثل هذه الخصائص. لم تعد هناك أعداد أولية في مجموعتنا.

إذا كان 2 أيضًا رقمًا أوليًا في مجموعتنا، فراجع الفقرة الأولى - مرة أخرى سيتبين أن 2 فقط هو رقم أولي.

يعود تقسيم الأعداد الطبيعية إلى أعداد أولية وأعداد مركبة إلى عالم الرياضيات اليوناني القديم فيثاغورس. وإذا اتبعت فيثاغورس، فيمكن تقسيم مجموعة الأعداد الطبيعية إلى ثلاث فئات: (1) - مجموعة تتكون من رقم واحد - واحد؛ (2، 3، 5، 7، 11، 13،) - مجموعة من الأعداد الأولية؛ (4، 6، 8، 9، 10، 12، 14، 15، ) – مجموعة من الأرقام المركبة.

المجموعة الثانية تخفي العديد من الألغاز المختلفة. ولكن أولا، دعونا معرفة ما هو العدد الأولي. نفتح "القاموس الموسوعي الرياضي" (يو. في. بروخوروف، دار النشر "الموسوعة السوفيتية"، 1988) ونقرأ:

"الرقم الأولي هو عدد صحيح موجب أكبر من الواحد، وليس له قواسم غير نفسه وواحد: 2،3،5،7،11،13،

يعد مفهوم العدد الأولي أمرًا أساسيًا في دراسة قابلية قسمة الأعداد الطبيعية؛ أي أن النظرية الأساسية في الحساب تنص على أن كل عدد صحيح موجب باستثناء 1 يمكن تحليله بشكل فريد إلى حاصل ضرب الأعداد الأولية (لا يؤخذ ترتيب العوامل في الاعتبار). هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية (هذه الفرضية، التي تسمى نظرية إقليدس، كانت معروفة لدى علماء الرياضيات اليونانيين القدماء؛ ويمكن العثور على دليل عليها في الكتاب التاسع من كتاب عناصر إقليدس). أثبت P. Dirichlet (1837) أنه في التقدم الحسابي a + bx لـ x = 1. ,2,c مع الأعداد الصحيحة coprime a وb تحتوي أيضًا على عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.

العثور على الأعداد الأولية من 1 إلى x معروف منذ القرن الثالث. قبل الميلاد ه. طريقة الغربال عند إراتوستينس. يُظهر فحص تسلسل (*) الأعداد الأولية من 1 إلى x أنه مع زيادة x يصبح الأمر نادرًا في المتوسط. هناك شرائح طويلة بشكل تعسفي من سلسلة من الأعداد الطبيعية، من بينها لا يوجد رقم أولي واحد (النظرية 4). في الوقت نفسه، هناك مثل هذه الأعداد الأولية، والفرق بينها يساوي 2 (ما يسمى التوائم). لا يزال من غير المعروف (1987) ما إذا كانت مجموعة هذه التوائم محدودة أم لا نهائية. تُظهر جداول الأعداد الأولية ضمن أول 11 مليون عدد طبيعي وجود توائم كبيرة جدًا (على سبيل المثال، 10,006,427 و10,006,429).

يعد اكتشاف توزيع الأعداد الأولية في سلسلة الأعداد الطبيعية مشكلة صعبة للغاية في نظرية الأعداد. تمت صياغته كدراسة للسلوك المقارب لدالة تشير إلى عدد الأعداد الأولية التي لا تتجاوز الرقم الموجب x. من نظرية إقليدس يتضح أنه متى. قدم L. أويلر دالة زيتا في عام 1737.

كما أثبت ذلك عندما

حيث يتم الجمع على جميع الأعداد الطبيعية، ويتم أخذ حاصل الضرب على جميع الأعداد الأولية. وتلعب هذه الهوية وتعميماتها دورا أساسيا في نظرية توزيع الأعداد الأولية. وبناءً على ذلك أثبت L. Euler أن المتسلسلة وحاصل الضرب بالنسبة إلى p الأولي يتباعدان. علاوة على ذلك، أثبت L. Euler أن هناك "العديد" من الأعداد الأولية، لأن

وفي الوقت نفسه، تقريبا جميع الأعداد الطبيعية مركبة، منذ ذلك الحين.

ولأي (أي ما ينمو كوظيفة). من الناحية التاريخية، فإن النتيجة المهمة التالية التي تعمل على تحسين نظرية تشيبيشيف هي ما يسمى. القانون المقارب لتوزيع الأعداد الأولية (J. Hadamard، 1896، C. La Vallée Poussin، 1896)، الذي نص على أن حد النسبة يساوي 1. وفي وقت لاحق، تم توجيه جهود كبيرة من قبل علماء الرياضيات لتوضيح التقارب قانون توزيع الأعداد الأولية. تتم دراسة المسائل المتعلقة بتوزيع الأعداد الأولية باستخدام كل من الطرق الأولية وطرق التحليل الرياضي.

ومن المنطقي هنا تقديم دليل على بعض النظريات الواردة في المقالة.

Lemma 1. إذا كان gcd(a, b)=1، فهناك أعداد صحيحة x، y.

دليل. اجعل a وb عددين أوليين نسبيًا. خذ بعين الاعتبار المجموعة J لجميع الأعداد الطبيعية z، التي يمكن تمثيلها بالشكل، واختر العدد الأصغر d فيها.

دعونا نثبت أن أ يقبل القسمة على د. اقسم a على d مع الباقي: ودع. وبما أنه يحتوي على النموذج، لذلك،

نحن نرى ذلك.

وبما أننا افترضنا أن d هو أصغر رقم في J، فقد حصلنا على تناقض. هذا يعني أن أ يقبل القسمة على د.

دعونا نثبت بنفس الطريقة أن b قابل للقسمة على d. إذن د = 1. تم إثبات الليما.

النظرية 1. إذا كان العددان a وb من الأعداد الأولية وكان المنتج bx قابلاً للقسمة على a، فإن x قابل للقسمة على a.

دليل1. يجب أن نثبت أن الفأس يقبل القسمة على b و gcd(a,b)=1، إذن x يقبل القسمة على b.

بواسطة Lemma 1، يوجد x، y بحيث. ومن الواضح أنه يقبل القسمة على ب.

الدليل 2. ضع في اعتبارك المجموعة J لجميع الأعداد الطبيعية z بحيث يكون zc قابلاً للقسمة على b. دع d هو أصغر رقم في J. من السهل رؤية ذلك. على غرار إثبات Lemma 1، ثبت أن a قابل للقسمة على d و b قابل للقسمة على d

Lemma 2. إذا كانت الأرقام q,p1,p2,pn أولية وكان المنتج قابلاً للقسمة على q، فإن أحد الأرقام pi يساوي q.

دليل. أولًا، لاحظ أنه إذا كان العدد الأولي p يقبل القسمة على q، فإن p = q. يتبع هذا مباشرة عبارة lemma لـ n=1. بالنسبة لـ n=2، فإنه يتبع مباشرة من النظرية 1: إذا كان p1p2 قابلاً للقسمة على عدد أولي q، ثم p2 قابل للقسمة على q(i.e).

سوف نثبت ليما لـ n=3 على النحو التالي. دع p1 p2 p3 مقسومًا على q. إذا كانت p3 =q، فقد ثبت كل شيء. إذا، وفقًا للنظرية 1، فإن p1 p2 قابل للقسمة على q. وبالتالي، قمنا بتقليل الحالة n=3 إلى الحالة التي تم النظر فيها بالفعل n=2.

بنفس الطريقة، من n=3 يمكننا الانتقال إلى n=4، ثم إلى n=5، وبشكل عام، على افتراض أن عبارة n=k الخاصة بالمعادلة قد تم إثباتها، يمكننا بسهولة إثبات ذلك من أجل n=k+ 1. وهذا يقنعنا بأن الليما صحيحة لجميع n.

النظرية الأساسية للحساب. يمكن تحليل كل عدد طبيعي بطريقة فريدة.

دليل. لنفترض أن هناك تحليلين للرقم a إلى عوامل أولية:

بما أن الجانب الأيمن قابل للقسمة على q1، فإن الجانب الأيسر من المساواة يجب أن يكون قابلاً للقسمة على q1. وفقًا لـ Lemma 2، أحد الأرقام يساوي q1. دعونا نلغي طرفي المساواة بمقدار Q1.

دعونا ننفذ نفس المنطق لـ q2، ثم لـ q3، لـ qi. في النهاية، سيتم إلغاء جميع العوامل الموجودة على اليمين ويبقى 1. وبطبيعة الحال، لن يتبقى على اليسار سوى عامل واحد. ومن هذا نستنتج أن التوسعتين لا يمكن أن يختلفا إلا في ترتيب العوامل. لقد تم إثبات النظرية.

نظرية إقليدس. سلسلة الأعداد الأولية لا نهاية لها.

دليل. لنفترض أن سلسلة الأعداد الأولية محدودة، ونشير إلى العدد الأولي الأخير بالحرف N. فلنقم بتكوين الناتج

دعنا نضيف إليها 1. نحصل على:

هذا العدد، كونه عددًا صحيحًا، يجب أن يحتوي على عامل أولي واحد على الأقل، أي أنه يجب أن يكون قابلاً للقسمة على رقم أولي واحد على الأقل. لكن جميع الأعداد الأولية، على افتراض، لا تتجاوز N، والعدد M+1 لا يقبل القسمة بدون باقي على أي من الأعداد الأولية أقل من أو يساوي N - في كل مرة يكون الباقي 1. تم إثبات النظرية.

النظرية 4. يمكن أن تكون أقسام الأعداد المركبة بين الأعداد الأولية بأي طول. سنثبت الآن أن المتسلسلة تتكون من n أعداد مركبة متتالية.

تأتي هذه الأرقام مباشرة بعد بعضها البعض في المتسلسلة الطبيعية، حيث أن كل رقم تالٍ يزيد بمقدار 1 عن الرقم السابق. ويبقى أن نثبت أنها كلها مركبة.

الرقم الأول

حتى، حيث أن حديه يحتويان على عامل 2. وكل عدد زوجي أكبر من 2 فهو مركب.

أما الرقم الثاني فيتكون من حدين، كل منهما من مضاعفات الرقم 3. وهذا يعني أن هذا الرقم مركب.

وبنفس الطريقة، نثبت أن الرقم التالي هو من مضاعفات العدد 4، وما إلى ذلك. وبعبارة أخرى، يحتوي كل رقم في سلسلتنا على عامل مختلف عن الوحدة ونفسه؛ ولذلك فهو مركب. لقد تم إثبات النظرية.

وبعد دراسة إثباتات النظريات، نواصل النظر في المقال. ذكر نصها طريقة الغربلة التي استخدمها إراتوستينس كوسيلة للعثور على الأعداد الأولية. لنقرأ عن هذه الطريقة من نفس القاموس:

"إن غربال إراتوستينس هو طريقة طورها إراتوستينس والتي تسمح لك بغربلة الأعداد المركبة من السلسلة الطبيعية. جوهر غربال إراتوستينس هو كما يلي. تم شطب الوحدة. العدد الثاني أولي. يتم شطب جميع الأعداد الطبيعية التي تقبل القسمة على 2. الرقم 3 - أول رقم غير مشطوب سيكون أوليًا. بعد ذلك، يتم شطب جميع الأعداد الطبيعية التي تقبل القسمة على 3. الرقم 5 - وهو الرقم التالي غير المشطوب - سيكون أوليًا. من خلال الاستمرار في حسابات مماثلة، يمكنك العثور على شريحة طويلة بشكل تعسفي من سلسلة من الأعداد الأولية. تم تطوير غربال إراتوستينس كطريقة نظرية لدراسة نظرية الأعداد بواسطة ف. برون (1919).

فيما يلي أكبر عدد معروف حاليًا بأنه أولي:

يحتوي هذا الرقم على حوالي سبعمائة منزلة عشرية. الحسابات التي تم من خلالها إثبات أن هذا العدد أولي، تم إجراؤها على أجهزة الكمبيوتر الحديثة.

"إن دالة زيتا لريمان، -function، هي دالة تحليلية لمتغير معقد، حيث أن σ>1 يتم تحديدها بشكل مطلق وموحد بواسطة متسلسلة ديريشليت المتقاربة:

بالنسبة إلى σ>1، يكون التمثيل في شكل منتج أويلر صالحًا:

(2) حيث p يمر عبر جميع الأعداد الأولية.

تعد هوية السلسلة (1) والمنتج (2) إحدى الخصائص الرئيسية لدالة زيتا. فهي تتيح لنا الحصول على علاقات مختلفة تربط دالة زيتا بأهم الدوال النظرية للأعداد. لذلك، تلعب دالة زيتا دورًا كبيرًا في نظرية الأعداد.

تم تقديم دالة زيتا كدالة لمتغير حقيقي بواسطة L. Euler (1737، منشور 1744)، الذي أشار إلى موقعها في المنتج (2). ثم تم النظر في دالة زيتا بواسطة P. Dirichlet وبنجاح خاص بواسطة P. L. Chebyshev فيما يتعلق بدراسة قانون توزيع الأعداد الأولية. ومع ذلك، فقد تم اكتشاف الخصائص الأكثر عمقًا لدالة زيتا بعد عمل ب.ريمان، الذي اعتبر لأول مرة في عام 1859 دالة زيتا بمثابة دالة لمتغير معقد، كما قدم أيضًا اسم "دالة زيتا" ودالة زيتا. تعيين """.

لكن السؤال الذي يطرح نفسه: ما هو التطبيق العملي لكل هذا العمل على الأعداد الأولية؟ في الواقع، ليس هناك أي فائدة تقريبًا لها، ولكن هناك مجال واحد يتم فيه استخدام الأعداد الأولية وخصائصها حتى يومنا هذا. هذا هو التشفير. هنا يتم استخدام الأعداد الأولية في أنظمة التشفير دون نقل المفاتيح.

لسوء الحظ، هذا هو كل ما هو معروف عن الأعداد الأولية. لا يزال هناك الكثير من الألغاز المتبقية. على سبيل المثال، من غير المعروف ما إذا كانت مجموعة الأعداد الأولية التي يمكن تمثيلها كمربعين هي مجموعة لا نهائية.

“الأعداد الأولية الصعبة”.

قررت إجراء القليل من البحث للعثور على إجابات لبعض الأسئلة حول الأعداد الأولية. بادئ ذي بدء، قمت بتجميع برنامج ينتج جميع الأعداد الأولية المتتالية التي تقل عن 1,000,000,000. بالإضافة إلى ذلك، قمت بتجميع برنامج يحدد ما إذا كان الرقم المدخل أوليًا أم لا. لدراسة مسائل الأعداد الأولية، قمت بإنشاء رسم بياني يشير إلى اعتماد قيمة العدد الأولي على العدد الترتيبي. وكخطة بحثية أخرى، قررت استخدام المقال الذي كتبه I. S. Zeltser و B. A. Kordemsky "أسراب مثيرة للاهتمام من الأعداد الأولية أعداد." حدد المؤلفون مسارات البحث التالية:

1. 168 مكانًا في الألف الأولى من الأعداد الطبيعية تشغلها الأعداد الأولية. من بينها، 16 رقمًا متناوب - كل منها يساوي معكوسه: 11، 101، 131، 151، 181، 191، 313، 353، 373، 383، 727، 757، 787، 797، 919، 929.

لا يوجد سوى 1061 عددا أوليا مكونا من أربعة أرقام، ولا يوجد أي منها متناظر.

هناك العديد من الأعداد الأولية المتناوبة المكونة من خمسة أرقام. ومنها هذه الجمالات: 13331، 15551، 16661، 19991. ومما لا شك فيه أن هناك قطعان من هذا النوع: ،. ولكن كم عدد العينات الموجودة في كل قطيع؟

3+س+س+س+3 = 6+3س = 3(2+س)

9+س+س+س+9 = 18+3س =3(6+س)

يمكن أن نرى أن مجموع أرقام الأعداد يقبل القسمة على 3، وبالتالي فإن هذه الأرقام نفسها قابلة للقسمة أيضًا على 3.

أما الأعداد بالشكل فمنها الأعداد الأولية 72227، 75557، 76667، 78887، 79997.

2. في الألف الأولى من الأرقام هناك خمس "رباعيات" تتكون من أرقام أولية متتالية، تشكل الأرقام الأخيرة منها التسلسل 1، 3، 7، 9: (11، 13، 17، 19)، (101، 103، 107، 109)، (191، 193، 197، 199)، (211، 223، 227، 229)، (821، 823، 827، 829).

ما عدد هذه الرباعيات الموجودة بين الأعداد الأولية المكونة من أرقام n لـ n›3؟

باستخدام البرنامج الذي كتبته، تم العثور على رباعية غاب عنها المؤلفون: (479، 467، 463، 461) ورباعيات لـ n = 4، 5، 6. بالنسبة لـ n = 4، هناك 11 رباعية

3. مجموعة من تسعة أعداد أولية: 199، 409، 619، 829، 1039، 1249، 1459، 1669، 1879، جذابة ليس فقط لأنها تمثل تقدمًا حسابيًا بفارق 210، ولكن أيضًا لأنها يمكن أن تتناسب مع تسعة أعداد أولية. الخلايا بحيث يتكون مربع سحري ثابت يساوي الفرق بين رقمين أوليين: 3119 – 2:

الحد العاشر التالي من التقدم قيد النظر، 2089، هو أيضًا رقم أولي. إذا قمت بإزالة الرقم 199 من القطيع، ولكن قمت بتضمين 2089، فحتى في هذا التكوين، يمكن للقطيع أن يشكل مربعًا سحريًا - موضوعًا للبحث عنه.

وتجدر الإشارة إلى أن هناك مربعات سحرية أخرى تتكون من أعداد أولية:

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

المربع المقترح مثير للاهتمام لأنه

1. إنه مربع سحري 7x7.

2. تحتوي على مربع سحري مقاس 5×5؛

3. يحتوي المربع السحري 5x5 على مربع سحري 3x3؛

4. كل هذه المربعات لها رقم مركزي مشترك واحد - 3407؛

5. جميع الأرقام الـ 49 متضمنة في نهاية مربعة 7x7 بالرقم 7؛

6. جميع الأرقام الـ 49 الموجودة في مربع 7×7 هي أرقام أولية؛

7. يمكن تمثيل كل رقم من الأعداد الـ 49 الموجودة في مربع 7x7 على شكل 30n + 17.

لقد قمت بكتابة البرامج المستخدمة بلغة برمجة Dev-C++ وأقدم نصوصها في الملحق (انظر الملفات ذات الامتداد .srr). بالإضافة إلى كل ما سبق، كتبت برنامجًا يحلل الأعداد الطبيعية المتتالية إلى عوامل أولية (انظر المقسومات 1. сpp) وبرنامجًا يحلل الرقم المدخل فقط إلى عوامل أولية (انظر المقسومات 2. сpp). ونظرًا لأن هذه البرامج تشغل مساحة كبيرة جدًا في شكل مجمع، فسيتم تقديم نصوصها فقط. ومع ذلك، يمكن لأي شخص تجميعها إذا كان لديه البرنامج المناسب.

السير الذاتية للعلماء المشاركين في مشكلة الأعداد الأولية

إقليدس

(ج. 330 ق.م – ج. 272 ​​ق.م)

تم الحفاظ على القليل جدًا من المعلومات الموثوقة حول حياة أشهر عالم رياضيات في العصور القديمة. ويُعتقد أنه درس في أثينا، وهو ما يفسر إتقانه الرائع للهندسة، والذي طورته مدرسة أفلاطون. ومع ذلك، على ما يبدو، لم يكن على دراية بأعمال أرسطو. قام بالتدريس في الإسكندرية، حيث نال ثناءً كبيراً على نشاطه التدريسي في عهد بطليموس الأول سوتر. هناك أسطورة مفادها أن هذا الملك طالبه باكتشاف طريقة لتحقيق نجاح سريع في الرياضيات، فأجاب إقليدس بأنه لا توجد طرق ملكية في الهندسة (ومع ذلك، تُروى قصة مماثلة أيضًا عن منخيم، الذي يُزعم أنه سُئل عنه) نفس الشيء عند الإسكندر الأكبر). لقد حافظ التقليد على ذكرى إقليدس كشخص خير ومتواضع. إقليدس هو مؤلف أطروحات حول مواضيع مختلفة، ولكن اسمه يرتبط بشكل أساسي بإحدى الأطروحات التي تسمى العناصر. يتعلق الأمر بمجموعة أعمال لعلماء الرياضيات الذين عملوا قبله (أشهرهم أبقراط الكوس)، والتي وصل نتائجها إلى الكمال بفضل قدرته على التعميم والعمل الجاد.

يولر ليونارد

(بازل، سويسرا 1707 – سانت بطرسبرغ، 1783)

عالم رياضيات وميكانيكا وفيزياء. ولد في عائلة القس الفقير بول أويلر. تلقى تعليمه أولاً من والده، وفي 1720-1724 في جامعة بازل، حيث حضر محاضرات في الرياضيات ألقاها آي برنولي.

في نهاية عام 1726، تمت دعوة أويلر إلى أكاديمية سانت بطرسبرغ للعلوم وفي مايو 1727 وصل إلى سانت بطرسبرغ. في الأكاديمية المنظمة حديثًا، وجد أويلر ظروفًا مواتية للنشاط العلمي، مما سمح له بالبدء فورًا في دراسة الرياضيات والميكانيكا. خلال 14 عامًا من فترة سانت بطرسبرغ الأولى من حياته، أعد أويلر حوالي 80 عملاً للنشر ونشر أكثر من 50 عملاً. وفي سانت بطرسبرغ، درس اللغة الروسية.

شارك أويلر في العديد من مجالات أنشطة أكاديمية سانت بطرسبرغ للعلوم. ألقى محاضرات للطلاب في الجامعة الأكاديمية، وشارك في العديد من الاختبارات الفنية، وعمل على تجميع خرائط روسيا، وكتب "دليل الحساب" المتاح للجمهور (1738-1740). بناءً على تعليمات خاصة من الأكاديمية، أعد أويلر للنشر "العلوم البحرية" (1749)، وهو عمل أساسي حول نظرية بناء السفن والملاحة.

في عام 1741، قبل أويلر عرض الملك البروسي فريدريك الثاني للانتقال إلى برلين، حيث كان من المقرر أن تتم إعادة تنظيم أكاديمية العلوم. في أكاديمية برلين للعلوم، تولى أويلر منصب مدير فصل الرياضيات وعضوًا في مجلس الإدارة، وبعد وفاة رئيسها الأول ب. موبرتوي، لعدة سنوات (من 1759) قاد الأكاديمية فعليًا. على مدار 25 عامًا من حياته في برلين، قام بإعداد حوالي 300 عمل، بما في ذلك عدد من الدراسات الكبيرة.

أثناء إقامته في برلين، لم يتوقف أويلر عن العمل بشكل مكثف في أكاديمية سانت بطرسبرغ للعلوم، وحافظ على لقب عضوها الفخري. أجرى مراسلات علمية وتنظيمية واسعة النطاق، ولا سيما مراسلة مع M. Lomonosov، الذي يقدره بشدة. قام أويلر بتحرير قسم الرياضيات في الهيئة العلمية الأكاديمية الروسية، حيث نشر خلال هذا الوقت عددًا تقريبًا من المقالات كما هو الحال في "مذكرات" أكاديمية برلين للعلوم. شارك بنشاط في تدريب علماء الرياضيات الروس. تم إرسال الأكاديميين المستقبليين S. Kotelnikov و S. Rumovsky و M. Sofronov إلى برلين للدراسة تحت قيادته. قدم أويلر مساعدة كبيرة لأكاديمية سانت بطرسبرغ للعلوم، حيث قام بشراء المؤلفات العلمية والمعدات اللازمة لها، والتفاوض مع المرشحين لشغل مناصب في الأكاديمية، وما إلى ذلك.

17 (28) يوليو 1766 عاد أويلر وعائلته إلى سانت بطرسبرغ. وعلى الرغم من تقدمه في السن والعمى شبه الكامل الذي أصابه، إلا أنه عمل بشكل منتج حتى نهاية حياته. خلال 17 عامًا من إقامته الثانية في سانت بطرسبرغ، قام بإعداد حوالي 400 عمل، بما في ذلك العديد من الكتب الكبيرة. واصل أويلر المشاركة في العمل التنظيمي للأكاديمية. في عام 1776، كان أحد الخبراء في مشروع الجسر ذو القوس الواحد عبر نهر نيفا، الذي اقترحه إ. كوليبين، ومن اللجنة بأكملها، كان الوحيد الذي قدم دعمًا واسع النطاق للمشروع.

كانت مزايا أويلر كعالم رئيسي ومنظم للبحث العلمي محل تقدير كبير خلال حياته. وبالإضافة إلى أكاديميتي سانت بطرسبرغ وبرلين، كان عضواً في أكبر المؤسسات العلمية: أكاديمية باريس للعلوم، والجمعية الملكية في لندن وغيرها.

أحد الجوانب المميزة لعمل أويلر هو إنتاجيته الاستثنائية. خلال حياته وحدها، تم نشر حوالي 550 من كتبه ومقالاته (تحتوي قائمة أعمال أويلر على حوالي 850 عنوانًا). في عام 1909، بدأت جمعية العلوم الطبيعية السويسرية في نشر أعمال أويلر الكاملة، والتي اكتملت في عام 1975؛ يتكون من 72 مجلدا. تعد مراسلات أويلر العلمية الضخمة (حوالي 3000 رسالة) ذات أهمية كبيرة أيضًا، حيث لم يتم نشرها حتى الآن إلا جزئيًا.

كان نطاق أنشطة أويلر واسعًا بشكل غير عادي، حيث غطى جميع أقسام الرياضيات والميكانيكا المعاصرة، ونظرية المرونة، والفيزياء الرياضية، والبصريات، ونظرية الموسيقى، ونظرية الآلة، والمقذوفات، والعلوم البحرية، والتأمين، وما إلى ذلك. ويتعلق حوالي 3/5 من أعمال أويلر للرياضيات، والباقي 2/5 بشكل رئيسي لتطبيقاتها. قام العالم بتنظيم نتائجه والنتائج التي حصل عليها الآخرون في عدد من الدراسات الكلاسيكية، مكتوبة بوضوح مذهل ومزودة بأمثلة قيمة. هذه، على سبيل المثال، "الميكانيكا أو علم الحركة، معروضة تحليليًا" (1736)، "مقدمة للتحليل" (1748)، "حساب التفاضل والتكامل" (1755)، "نظرية حركة الجسم الصلبة" (1765)، "الحساب العالمي" (1768-1769)، والذي صدر حوالي 30 طبعة بست لغات، و"حساب التفاضل والتكامل التكاملي" (1768-1794)، وما إلى ذلك في القرن الثامن عشر. وجزئيًا في القرن التاسع عشر. أصبحت "الرسائل حول مسائل جسدية وفلسفية مختلفة، المكتوبة إلى أميرة ألمانية معينة" المتاحة للجمهور، شائعة للغاية. "(1768-1774)، والذي صدر في أكثر من 40 طبعة في 10 لغات. تم بعد ذلك تضمين معظم محتوى دراسات أويلر في الكتب المدرسية للمدارس العليا والثانوية جزئيًا. من المستحيل سرد جميع نظريات وأساليب وصيغ أويلر التي لا تزال قيد الاستخدام، والتي يظهر القليل منها فقط في الأدبيات تحت اسمه [على سبيل المثال، طريقة أويلر للخط المكسور، بدائل أويلر، ثابت أويلر، معادلات أويلر، صيغ أويلر، دالة أويلر، أعداد أويلر، صيغة أويلر - ماكلورين، صيغ أويلر-فورييه، خاصية أويلر، تكاملات أويلر، زوايا أويلر].

في الميكانيكا، حدد أويلر أولاً ديناميكيات النقطة باستخدام التحليل الرياضي: الحركة الحرة لنقطة ما تحت تأثير قوى مختلفة سواء في الفراغ أو في وسط به مقاومة؛ حركة نقطة على طول خط أو سطح معين؛ الحركة تحت تأثير القوى المركزية. في عام 1744، قام بصياغة المبدأ الميكانيكي للحركة الأقل بشكل صحيح لأول مرة وأظهر تطبيقاته الأولى. في "نظرية حركة الجسم الصلب"، طور أويلر حركيات وديناميكيات الجسم الصلب وأعطى معادلات دورانه حول نقطة ثابتة، ووضع الأساس لنظرية الجيروسكوبات. في نظريته عن السفينة، قدم أويلر مساهمات قيمة في نظرية الاستقرار. كانت اكتشافات أويلر مهمة في الميكانيكا السماوية (على سبيل المثال، في نظرية حركة القمر)، وميكانيكا الاستمرارية (المعادلات الأساسية لحركة السائل المثالي في شكل أويلر وفي ما يسمى بمتغيرات لاغرانج، وتذبذبات الغاز في الأنابيب ، إلخ.). في مجال البصريات، أعطى أويلر (1747) صيغة العدسة ثنائية التحدب واقترح طريقة لحساب معامل الانكسار للوسط. التزم أويلر بالنظرية الموجية للضوء. كان يعتقد أن الألوان المختلفة تتوافق مع أطوال موجية مختلفة من الضوء. اقترح أويلر طرقًا لإزالة الانحرافات اللونية للعدسات وقدم طرقًا لحساب المكونات البصرية للمجهر. كرّس أويلر سلسلة واسعة من الأعمال، بدأت في عام 1748، للفيزياء الرياضية: مسائل اهتزاز الوتر، واللوحة، والغشاء، وما إلى ذلك. وقد حفزت كل هذه الدراسات تطوير نظرية المعادلات التفاضلية، وطرق التحليل التقريبية، والتقنيات الخاصة. . الوظائف، والهندسة التفاضلية، وما إلى ذلك. تحتوي هذه الأعمال على العديد من اكتشافات أويلر الرياضية.

كان عمل أويلر الرئيسي كعالم رياضيات هو تطوير التحليل الرياضي. لقد وضع أسس العديد من التخصصات الرياضية، التي كانت في شكلها البدائي فقط أو كانت غائبة تمامًا في حساب التفاضل والتكامل للمتناهيات في الصغر من قبل آي. نيوتن، وجي. لايبنتز، والأخوة برنولي. وهكذا، كان أويلر أول من قدم دوال وسيطة معقدة وبحث في خصائص الدوال الأولية الأساسية للمتغير المعقد (الدوال الأسية واللوغاريتمية والمثلثية)؛ وعلى وجه الخصوص، اشتق صيغًا تربط الدوال المثلثية بالدوال الأسية. لقد وضع عمل أويلر في هذا الاتجاه الأساس لنظرية وظائف المتغير المعقد.

كان أويلر مبتكر حساب التفاضل والتكامل للتغيرات، الموضح في عمله "طريقة العثور على الخطوط المنحنية التي لها خصائص الحد الأقصى أو الأدنى. "(1744). كانت الطريقة التي اشتق بها أويلر في عام 1744 الشرط الضروري للحد الأقصى للدالة - معادلة أويلر - هي النموذج الأولي للطرق المباشرة لحساب التفاضل والتكامل للتغيرات في القرن العشرين. أنشأ أويلر نظرية المعادلات التفاضلية العادية كنظام مستقل ووضع الأسس لنظرية المعادلات التفاضلية الجزئية. وهو هنا مسؤول عن عدد كبير من الاكتشافات: الطريقة الكلاسيكية لحل المعادلات الخطية ذات المعاملات الثابتة، وطريقة تغيير الثوابت التعسفية، وتوضيح الخصائص الأساسية لمعادلة ريكاتي، ودمج المعادلات الخطية مع المعاملات المتغيرة باستخدام المتسلسلة اللانهائية، ومعايير الحلول الخاصة، مبدأ عامل التكامل، طرق تقريبية مختلفة وعدد من التقنيات لحل المعادلات التفاضلية الجزئية. جمع أويلر جزءًا كبيرًا من هذه النتائج في كتابه "حساب التفاضل والتكامل".

قام أويلر أيضًا بإثراء حساب التفاضل والتكامل بالمعنى الضيق للكلمة (على سبيل المثال، مبدأ تغيرات المتغيرات، ونظرية الدوال المتجانسة، ومفهوم التكامل المزدوج وحساب العديد من التكاملات الخاصة). في "حساب التفاضل والتكامل" أعرب أويلر ودعم بالأمثلة عن اعتقاده في استصواب استخدام المتسلسلات المتباعدة والطرق المقترحة للجمع المعمم للمتسلسلات، متوقعًا أفكار النظرية الصارمة الحديثة للمتسلسلات المتباعدة، التي تم إنشاؤها في مطلع القرن التاسع عشر و القرون العشرين. بالإضافة إلى ذلك، حصل أويلر على العديد من النتائج الملموسة في نظرية السلسلة. اكتشف ما يسمى. اقترحت صيغة مجموع أويلر-ماكلورين تحويل المتسلسلة الذي يحمل اسمه، وحددت مجموع عدد كبير من المتسلسلات، وأدخلت أنواعًا جديدة مهمة من المتسلسلات في الرياضيات (على سبيل المثال، المتسلسلة المثلثية). يتضمن هذا أيضًا بحث أويلر حول نظرية الكسور المستمرة والعمليات اللانهائية الأخرى.

أويلر هو مؤسس نظرية الوظائف الخاصة. كان أول من اعتبر جيب التمام وجيب التمام كوظائف، وليس كأجزاء في الدائرة. لقد حصل تقريبًا على جميع التوسعات الكلاسيكية للوظائف الأولية في سلاسل ومنتجات لا حصر لها. خلقت أعماله نظرية الدالة γ. درس خصائص التكاملات الإهليلجية، والدوال القطعية والأسطوانية، ووظيفة ζ، وبعض وظائف θ، واللوغاريتم التكاملي، وفئات مهمة من كثيرات الحدود الخاصة.

وفقا ل P. Chebyshev، وضع أويلر الأساس لجميع الأبحاث التي تشكل الجزء العام من نظرية الأعداد. وهكذا، أثبت أويلر عددًا من التصريحات التي أدلى بها ب. فيرما (على سبيل المثال، نظرية فيرما الصغيرة)، وطور أسس نظرية بقايا القدرة ونظرية الأشكال التربيعية، واكتشف (لكنه لم يثبت) قانون المعاملة بالمثل من الدرجة الثانية، ودرس عدداً من المشكلات في التحليل الديوفانتيني. في أعماله حول تقسيم الأعداد إلى مصطلحات وفي نظرية الأعداد الأولية، كان أويلر أول من استخدم أساليب التحليل، وبذلك أصبح مبتكر النظرية التحليلية للأعداد. على وجه الخصوص، قدم الدالة ζ وأثبت ما يسمى. هوية أويلر تربط الأعداد الأولية بجميع الأعداد الطبيعية.

حقق أويلر أيضًا إنجازات عظيمة في مجالات أخرى من الرياضيات. في الجبر كتب أعمالاً عن حل المعادلات ذات الدرجات الأعلى في الجذور وعلى المعادلات ذات المجهولين وكذلك ما يسمى. هوية أويلر الرباعية. قام أويلر بتطوير الهندسة التحليلية بشكل ملحوظ، وخاصة مبدأ الأسطح من الدرجة الثانية. في الهندسة التفاضلية، درس خصائص الخطوط الجيوديسية بالتفصيل، وكان أول من طبق المعادلات الطبيعية للمنحنيات، والأهم من ذلك أنه وضع أسس نظرية الأسطح. لقد قدم مفهوم الاتجاهات الرئيسية عند نقطة على السطح، وأثبت تعامدها، واشتق صيغة لانحناء أي قسم عادي، وبدأ دراسة الأسطح القابلة للتطور، وما إلى ذلك؛ في أحد الأعمال المنشورة بعد وفاته (1862)، توقع جزئيًا بحث K. Gauss حول الهندسة الداخلية للأسطح. تعامل أويلر أيضًا مع بعض المسائل المتعلقة بالطوبولوجيا وأثبت، على سبيل المثال، نظرية مهمة حول متعددات الوجوه المحدبة. غالبًا ما يوصف عالم الرياضيات أويلر بأنه "آلة حاسبة" رائعة. في الواقع، كان سيدًا غير مسبوق في الحسابات والتحويلات الرسمية، وفي أعماله، تلقت العديد من الصيغ الرياضية والرمزية نظرة حديثة (على سبيل المثال، كان يمتلك تدوين e و π). ومع ذلك، قدم أويلر أيضًا عددًا من الأفكار العميقة في العلوم، والتي تم إثباتها الآن بشكل صارم وتكون بمثابة مثال على عمق الاختراق في موضوع البحث.

وفقًا لـ P. Laplace، كان أويلر مدرسًا لعلماء الرياضيات في النصف الثاني من القرن الثامن عشر.

ديريشليت بيتر جوستاف

(دورين، ألمانيا الآن، 1805 - غوتنغن، المرجع نفسه، 1859)

درس في باريس وحافظ على علاقات ودية مع علماء الرياضيات البارزين، ولا سيما مع فورييه. وبعد حصوله على شهادته الأكاديمية، عمل أستاذاً في جامعات بريسلاو (1826 - 1828)، وبرلين (1828 - 1855) وغوتنغن، حيث أصبح رئيساً لقسم الرياضيات بعد وفاة العالم كارل فريدريش غاوس. أبرز مساهماته في العلوم تتعلق بنظرية الأعداد، وفي المقام الأول دراسة المتسلسلات. هذا سمح له بتطوير نظرية المتسلسلة التي اقترحها فورييه. أنشأ نسخته الخاصة من إثبات نظرية فيرما، واستخدم الدوال التحليلية لحل المسائل الحسابية، وقدم معايير التقارب للمتسلسلات. وفي مجال التحليل الرياضي، قام بتحسين تعريف ومفهوم الدالة، وفي مجال الميكانيكا النظرية، ركز على دراسة استقرار الأنظمة وعلى مفهوم نيوتن للإمكانات.

تشيبيشيف بافنوتي لفوفيتش

عالم رياضيات روسي، مؤسس مدرسة سانت بطرسبرغ العلمية، أكاديمي أكاديمية سانت بطرسبرغ للعلوم (1856). وضعت أعمال تشيبيشيف الأساس لتطوير العديد من فروع الرياضيات الجديدة.

تقع أعمال تشيبيشيف الأكثر عددًا في مجال التحليل الرياضي. على وجه الخصوص، تم تخصيص أطروحة حول الحق في إلقاء المحاضرات، حيث حقق تشيبيشيف في تكامل بعض التعبيرات غير العقلانية في الوظائف الجبرية واللوغاريتمات. كما خصص تشيبيشيف عددًا من الأعمال الأخرى لتكامل الوظائف الجبرية. في إحداها (1853) تم الحصول على نظرية معروفة حول شروط التكامل في الوظائف الأولية ذات الحدين التفاضلي. أحد مجالات البحث المهمة في التحليل الرياضي هو عمله على بناء نظرية عامة لمتعددات الحدود المتعامدة. كان سبب إنشائها هو الاستيفاء المكافئ باستخدام طريقة المربعات الصغرى. إن بحث تشيبيشيف حول مشكلة العزوم والصيغ التربيعية مجاور لنفس مجموعة الأفكار. بهدف تقليل العمليات الحسابية، اقترح تشيبيشيف (1873) النظر في صيغ التربيع ذات المعاملات المتساوية (التكامل التقريبي). ارتبطت الأبحاث حول صيغ التربيع ونظرية الاستيفاء ارتباطًا وثيقًا بالمهام التي تم طرحها على تشيبيشيف في قسم المدفعية باللجنة العلمية العسكرية.

في نظرية الاحتمالات، يُنسب إلى تشيبيشيف إدخال المتغيرات العشوائية بشكل منهجي في الاعتبار وإنشاء تقنية جديدة لإثبات نظريات الحد في نظرية الاحتمالات - ما يسمى. طريقة اللحظات (1845، 1846، 1867، 1887). لقد أثبت قانون الأعداد الكبيرة بشكل عام للغاية؛ علاوة على ذلك، فإن برهانه ملفت للنظر في بساطته وبساطته. لم يقم تشيبيشيف بإحضار دراسة شروط تقارب وظائف التوزيع لمجاميع المتغيرات العشوائية المستقلة إلى القانون الطبيعي لاستكمالها. ومع ذلك، من خلال بعض الإضافات إلى أساليب تشيبيشيف، تمكن أ. أ. ماركوف من القيام بذلك. بدون استنتاجات صارمة، أوضح تشيبيشيف أيضًا إمكانية توضيح نظرية الحد هذه في شكل توسعات مقاربة لوظيفة التوزيع لمجموع المصطلحات المستقلة في قوى n21/2، حيث n هو عدد المصطلحات. يشكل عمل تشيبيشيف حول نظرية الاحتمالات مرحلة مهمة في تطورها؛ بالإضافة إلى ذلك، كانوا الأساس الذي نمت عليه مدرسة نظرية الاحتمالات الروسية، والتي كانت تتألف في البداية من طلاب تشيبيشيف المباشرين.

ريمان جورج فريدريج بيرنهارد

(بريسيلينز، ساكسونيا السفلى، 1826 - سيلاسكا، بالقرب من إنترا، إيطاليا 66)

عالم الرياضيات الألماني. في عام 1846 دخل جامعة غوتنغن: استمع إلى محاضرات ك. غاوس، الذي طور العديد من أفكاره فيما بعد. في 1847-1849 حضر محاضرات في جامعة برلين. في عام 1849، عاد إلى غوتنغن، حيث أصبح قريبًا من معاون غاوس، الفيزيائي دبليو ويبر، الذي أثار فيه اهتمامًا عميقًا بمسائل العلوم الرياضية.

في عام 1851 دافع عن أطروحته للدكتوراه بعنوان "أساسيات النظرية العامة لوظائف متغير معقد واحد". منذ عام 1854، خاص، منذ عام 1857، أستاذ في جامعة غوتنغن.

كان لأعمال ريمان تأثير كبير على تطور الرياضيات في النصف الثاني من القرن التاسع عشر. وفي القرن العشرين. في أطروحته للدكتوراه، وضع ريمان الأساس للاتجاه الهندسي لنظرية الوظائف التحليلية؛ قدم ما يسمى بأسطح ريمان، والتي تعتبر مهمة في دراسة الدوال متعددة القيم، وطور نظرية التعيينات المطابقة وأعطى في هذا الصدد الأفكار الأساسية للطوبولوجيا، ودرس شروط وجود الدوال التحليلية داخل مجالات أنواع مختلفة (ما يسمى بمبدأ ديريشليت)، وما إلى ذلك. تم استخدام الأساليب التي طورها ريمان على نطاق واسع في أعماله الإضافية حول نظرية الدوال الجبرية والتكاملات، في النظرية التحليلية للمعادلات التفاضلية (على وجه الخصوص، المعادلات التي تحدد الدوال الهندسية الفائقة)، في نظرية الأعداد التحليلية (على سبيل المثال، أشار ريمان إلى العلاقة بين توزيع الأعداد الأولية وخصائص الدالة ζ، على وجه الخصوص، مع توزيع أصفارها في المنطقة المعقدة - ما يسمى بفرضية ريمان، والتي لم يتم إثبات صحتها بعد)، الخ.

في عدد من الأعمال، درس ريمان تحلل الوظائف إلى سلسلة مثلثية، وفيما يتعلق بهذا، حدد الشروط الضرورية والكافية للتكامل بالمعنى الريماني، وهو أمر مهم لنظرية مجموعات ووظائف المتغير الحقيقي. اقترح ريمان أيضًا طرقًا لتكامل المعادلات التفاضلية الجزئية (على سبيل المثال، استخدام ما يسمى بثوابت ريمان ودالة ريمان).

في محاضرته الشهيرة التي ألقاها عام 1854 بعنوان «حول الفرضيات التي تكمن وراء الهندسة» (1867)، أعطى ريمان فكرة عامة عن الفضاء الرياضي (على حد تعبيره «المشعبات»)، بما في ذلك الفضاءات الوظيفية والطوبولوجية. هنا اعتبر الهندسة بالمعنى الواسع هي دراسة المتشعبات المستمرة ذات الأبعاد n، أي مجموعات من أي كائنات متجانسة، وبتعميم نتائج غاوس على الهندسة الداخلية للسطح، أعطى المفهوم العام للعنصر الخطي ( تفاضل المسافة بين نقاط المتشعب)، وبالتالي تحديد ما يسمى بفراغات فينسلر. درس ريمان بمزيد من التفصيل ما يسمى بالمساحات الريمانية، وقام بتعميم مساحات الهندسة الإهليلجية الإقليدية ولوباتشيفسكي والريمانية، والتي تتميز بنوع خاص من العناصر الخطية، وطور عقيدة انحناءها. أثناء مناقشة تطبيق أفكاره على الفضاء المادي، أثار ريمان مسألة «أسباب الخصائص المترية» له، وكأنه يستبق ما حدث في النظرية النسبية العامة.

فتحت الأفكار والأساليب التي اقترحها ريمان مسارات جديدة في تطور الرياضيات ووجدت تطبيقًا في الميكانيكا والنظرية النسبية العامة. توفي العالم عام 1866 بسبب مرض السل.

• ترجمة

تمت دراسة خصائص الأعداد الأولية لأول مرة من قبل علماء الرياضيات في اليونان القديمة. كان علماء الرياضيات من مدرسة فيثاغورس (500 - 300 قبل الميلاد) مهتمين في المقام الأول بالخصائص الغامضة والعددية للأعداد الأولية. لقد كانوا أول من توصل إلى أفكار حول الأعداد المثالية والودية.

العدد المثالي له مجموع قواسمه يساوي نفسه. على سبيل المثال، القواسم الصحيحة للرقم 6 هي 1 و2 و3. 1 + 2 + 3 = 6. قواسم الرقم 28 هي 1 و2 و4 و7 و14. علاوة على ذلك، 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

تسمى الأرقام ودية إذا كان مجموع المقسومات الصحيحة لرقم ما يساوي رقمًا آخر، والعكس صحيح - على سبيل المثال، 220 و284. يمكننا القول أن الرقم المثالي صديق لنفسه.

بحلول زمن العناصر لإقليدس عام 300 قبل الميلاد. لقد تم بالفعل إثبات العديد من الحقائق المهمة حول الأعداد الأولية. في الكتاب التاسع من كتاب العناصر، أثبت إقليدس أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية. وهذا، بالمناسبة، هو أحد الأمثلة الأولى لاستخدام البرهان بالتناقض. كما أثبت أيضًا النظرية الأساسية في الحساب - حيث يمكن تمثيل كل عدد صحيح بشكل فريد كحاصل ضرب الأعداد الأولية.

وأظهر أيضًا أنه إذا كان الرقم 2n-1 أوليًا، فإن الرقم 2n-1 * (2n-1) سيكون مثاليًا. عالم رياضيات آخر، أويلر، كان قادرًا في عام 1747 على أن يُظهر أنه يمكن كتابة جميع الأعداد الزوجية المثالية بهذا الشكل. حتى يومنا هذا، من غير المعروف ما إذا كانت الأعداد المثالية الفردية موجودة أم لا.

وفي سنة 200 قبل الميلاد. ابتكر إراتوستينس اليوناني خوارزمية للعثور على الأعداد الأولية تسمى غربال إراتوستينس.

وبعد ذلك حدثت فجوة كبيرة في تاريخ دراسة الأعداد الأولية المرتبطة بالعصور الوسطى.

تم إجراء الاكتشافات التالية بالفعل في بداية القرن السابع عشر على يد عالم الرياضيات فيرما. أثبت تخمين ألبرت جيرار بأن أي عدد أولي على الصورة 4n+1 يمكن كتابته بشكل فريد كمجموع مربعين، كما صاغ نظرية مفادها أنه يمكن كتابة أي عدد كمجموع أربعة مربعات.

لقد طور طريقة جديدة لتحليل الأعداد الكبيرة، وأوضحها على الرقم 2027651281 = 44021 × 46061. كما أثبت نظرية فيرما الصغيرة: إذا كان p هو عدد أولي، فبالنسبة لأي عدد صحيح a سيكون صحيحًا أن p = a modulo ص.

تثبت هذه العبارة نصف ما كان يُعرف باسم "التخمين الصيني" ويعود تاريخه إلى 2000 عام: العدد الصحيح n يكون أوليًا إذا وفقط إذا كان 2 n -2 قابلاً للقسمة على n. وتبين أن الجزء الثاني من الفرضية غير صحيح - على سبيل المثال، 2,341 - 2 يقبل القسمة على 341، على الرغم من أن الرقم 341 مركب: 341 = 31 × 11.

كانت نظرية فيرما الصغيرة بمثابة الأساس للعديد من النتائج الأخرى في نظرية الأعداد وطرق اختبار ما إذا كانت الأعداد أولية - ولا يزال العديد منها مستخدمًا حتى اليوم.

كان فيرما يتراسل كثيرًا مع معاصريه، خاصة مع راهب اسمه مارين ميرسين. في إحدى رسائله، افترض أن الأعداد التي على الصورة 2 n +1 ستكون دائمًا أولية إذا كانت n قوة لاثنين. لقد اختبر هذا من أجل n = 1، 2، 4، 8 و16، وكان واثقًا من أنه في الحالة التي لا يكون فيها n قوة لاثنين، فإن الرقم ليس بالضرورة أوليًا. تسمى هذه الأرقام أرقام فيرما، وبعد 100 عام فقط أظهر أويلر أن الرقم التالي، 2 32 + 1 = 4294967297، يقبل القسمة على 641، وبالتالي ليس أوليًا.

كانت الأعداد ذات الشكل 2 ن - 1 أيضًا موضوعًا للبحث، لأنه من السهل إظهار أنه إذا كان ن مركبًا، فإن الرقم نفسه مركب أيضًا. تسمى هذه الأرقام أرقام ميرسين لأنه درسها على نطاق واسع.

ولكن ليست كل الأعداد ذات الصيغة 2 n - 1، حيث n أولية، هي أعداد أولية. على سبيل المثال، 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. تم اكتشاف ذلك لأول مرة عام 1536.

لسنوات عديدة، زودت أرقام من هذا النوع علماء الرياضيات بأكبر الأعداد الأولية المعروفة. وقد أثبت كاتالدي أن M 19 في عام 1588، وكان لمدة 200 عام أكبر عدد أولي معروف، حتى أثبت أويلر أن M 31 كان أوليًا أيضًا. استمر هذا السجل لمدة مائة عام آخر، ثم أظهر لوكاس أن M 127 أولي (وهذا بالفعل عدد مكون من 39 رقما)، وبعد ذلك استمر البحث مع ظهور أجهزة الكمبيوتر.

في عام 1952 تم إثبات أولية الأرقام M 521، M 607، M 1279، M 2203 و M 2281.

وبحلول عام 2005، تم العثور على 42 عدداً أوليًا لميرسين. أكبرها، م 25964951، ويتكون من 7816230 رقما.

كان لعمل أويلر تأثير كبير على نظرية الأعداد، بما في ذلك الأعداد الأولية. قام بتوسيع نظرية فيرما الصغيرة وقدم الدالة φ. قام بتحليل العدد الخامس من الفرمات 2 32 +1، ووجد 60 زوجًا من الأعداد الصديقة، وقام بصياغة (لكنه لم يتمكن من إثبات) قانون التبادلية التربيعية.

وكان أول من أدخل طرق التحليل الرياضي وطور نظرية الأعداد التحليلية. لقد أثبت أنه ليس فقط المتسلسلة التوافقية ∑ (1/n)، بل أيضًا متسلسلة من الشكل

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

النتيجة التي تم الحصول عليها من خلال مجموع مقلوب الأعداد الأولية تتباعد أيضًا. ينمو مجموع حدود n للسلسلة التوافقية تقريبًا مثل log(n)، وتتباعد السلسلة الثانية بشكل أبطأ مثل log[log(n)]. وهذا يعني، على سبيل المثال، أن مجموع مقلوبات جميع الأعداد الأولية التي تم العثور عليها حتى الآن سيعطي 4 فقط، على الرغم من أن السلسلة لا تزال متباعدة.

للوهلة الأولى، يبدو أن الأعداد الأولية يتم توزيعها بشكل عشوائي بين الأعداد الصحيحة. على سبيل المثال، من بين 100 رقم مباشرة قبل 10000000 هناك 9 أعداد أولية، ومن بين 100 رقم مباشرة بعد هذه القيمة يوجد 2 فقط. ولكن على الأجزاء الكبيرة، يتم توزيع الأعداد الأولية بالتساوي تمامًا. تعامل ليجيندر وجاوس مع قضايا توزيعهما. أخبر غاوس صديقًا ذات مرة أنه في أي 15 دقيقة مجانية يقوم دائمًا بحساب عدد الأعداد الأولية في الألف رقم التالية. وبحلول نهاية حياته، كان قد أحصى جميع الأعداد الأولية حتى 3 ملايين. حسب ليجيندر وجاوس بالتساوي أنه بالنسبة للكثافة الكبيرة n فإن الكثافة الأولية هي 1/log(n). قدر ليجيندر عدد الأعداد الأولية في النطاق من 1 إلى n كـ

π(ن) = ن/(سجل(ن) - 1.08366)

وغاوس يشبه التكامل اللوغاريتمي

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

مع فترة التكامل من 2 إلى ن.

يُعرف البيان الخاص بكثافة الأعداد الأولية 1/log(n) باسم نظرية التوزيع الأولي. لقد حاولوا إثبات ذلك طوال القرن التاسع عشر، وتم تحقيق التقدم على يد تشيبيشيف وريمان. لقد ربطوها بفرضية ريمان، وهي فرضية غير مثبتة بعد حول توزيع أصفار دالة زيتا لريمان. تم إثبات كثافة الأعداد الأولية في وقت واحد بواسطة هادامارد وفالي بوسان في عام 1896.

لا تزال هناك العديد من الأسئلة التي لم يتم حلها في نظرية الأعداد الأولية، وبعضها عمره مئات السنين:

• فرضية التوأم الأولية تدور حول عدد لا نهائي من أزواج الأعداد الأولية التي تختلف عن بعضها البعض بمقدار 2
• حدسية غولدباخ: أي عدد زوجي يبدأ بالرقم 4 يمكن تمثيله كمجموع عددين أوليين
• هل يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية على الصورة n 2 + 1؟
• هل من الممكن دائما إيجاد عدد أولي بين n 2 و (n + 1) 2؟ (حقيقة أن هناك دائمًا عدد أولي بين n و 2n أثبتها تشيبيشيف)
• هل عدد أعداد فيرما الأولية لا نهائي؟ هل هناك أي أعداد فيرما الأولية بعد 4؟
• هل هناك تقدم حسابي للأعداد الأولية المتتالية لأي طول معين؟ على سبيل المثال، للطول 4: 251، 257، 263، 269. الحد الأقصى للطول الذي تم العثور عليه هو 26.
• هل يوجد عدد لا نهائي من المجموعات المكونة من ثلاثة أعداد أولية متتالية في متوالية حسابية؟
• n 2 - n + 41 هو رقم أولي لـ 0 ≥ n ≥ 40. هل يوجد عدد لا نهائي من هذه الأعداد الأولية؟ نفس السؤال بالنسبة للصيغة n 2 - 79 n + 1601. هذه الأرقام أولية لـ 0 ≥ n ≥ 79.
• هل يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية على الشكل n#+1؟ (n# هو نتيجة ضرب جميع الأعداد الأولية الأصغر من n)
• هل يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية على الشكل n# -1؟
• هل يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية على الشكل n؟ + 1؟
• هل يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية على الشكل n؟ - 1؟
• إذا كانت p أولية، فهل 2 p -1 لا تحتوي دائمًا على مربعات أولية بين عواملها؟
• هل تحتوي تسلسل فيبوناتشي على عدد لا نهائي من الأعداد الأولية؟

أكبر الأعداد الأولية التوأم هي 2003663613 × 2 195000 ± 1. وتتكون من 58711 رقمًا وتم اكتشافها في عام 2007.

أكبر عدد أولي مضروب (من النوع n! ± 1) هو 147855! - 1. يتكون من 142891 رقم وتم العثور عليه عام 2002.

أكبر عدد أولي أولي (رقم على الشكل n# ± 1) هو 1098133# + 1.