تحديد المضاعف المشترك الأصغر. كيفية العثور على المضاعف المشترك الأصغر، nok لعددين أو أكثر

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCD) والقاسم المشترك الأكبر (GCD) للأعداد الطبيعية.

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) لنكتب العوامل المتضمنة في مفكوك الرقم الأول ونضيف إليها العامل المفقود 5 من مفكوك الرقم الثاني. نحصل على: 2*2*3*5*5=300. لقد وجدنا شهادة عدم الممانعة، أي. هذا المبلغ = 300. ولا تنس البعد واكتب الإجابة:
الجواب: أمي تعطي 300 روبل.

تعريف GCD:القاسم المشترك الأكبر (GCD)الأعداد الطبيعية أو الخامساستدعاء أكبر عدد طبيعي ج، الذي أ، و بمقسمة بلا باقي. أولئك. جهو أصغر عدد طبيعي له و أو بهي مضاعفات.

مذكرة:هناك طريقتان لتحديد الأعداد الطبيعية

• الأرقام المستخدمة في: سرد (ترقيم) الكائنات (الأول، الثاني، الثالث، ...)؛ - في المدارس عادة ما يكون الأمر هكذا.
• تحديد عدد العناصر (لا يوجد بوكيمون - صفر، بوكيمون واحد، اثنان بوكيمون، ...).

الأعداد السالبة وغير الصحيحة (العقلانية، الحقيقية، ...) ليست أعدادًا طبيعية. بعض المؤلفين يدرجون الصفر في مجموعة الأعداد الطبيعية، والبعض الآخر لا يفعل ذلك. يُشار عادةً إلى مجموعة الأعداد الطبيعية بالرمز ن

مذكرة:مقسوم على عدد طبيعي أقم بتسمية الرقم ب،الذي أمقسمة بلا باقي. مضاعفات العدد الطبيعي باتصل برقم طبيعي أ، وهو قابل للقسمة على بدون أن يترك أثرا. إذا كان الرقم ب- عدد المقسوم عليه أ، الذي - التي أمتعددة من العدد ب. مثال: 2 هو مقسوم على 4، و 4 هو من مضاعفات العدد اثنين. 3 هو المقسوم على 12، و12 هو من مضاعفات 3.
مذكرة:تسمى الأعداد الطبيعية أولية إذا كانت قابلة للقسمة دون باقي على نفسها وعلى 1 فقط. الأعداد الأولية المشتركة هي تلك التي لها قاسم مشترك واحد فقط يساوي 1.

تعريف كيفية العثور على GCD في الحالة العامة:للعثور على GCD (القاسم المشترك الأكبر)هناك حاجة إلى العديد من الأعداد الطبيعية:
1) تقسيمها إلى عوامل أولية. (يمكن أن يكون جدول الأعداد الأولية مفيدًا جدًا لهذا الغرض.)
2) أكتب العوامل الداخلة في مفكوك أحدها .
3) شطب تلك التي لم تدخل في توسيع الأعداد المتبقية.
4) اضرب العوامل التي تم الحصول عليها في الخطوة 3).

المشكلة 2 على (NOK):في العام الجديد، اشترى كوليا بوزاتوف 48 هامستر و 36 وعاء قهوة في المدينة. تم تكليف Fekla Dormidontova، باعتبارها الفتاة الأكثر صدقًا في الفصل، بمهمة تقسيم هذه الخاصية إلى أكبر عدد ممكن من مجموعات الهدايا للمعلمين. كم عدد المجموعات التي حصلت عليها؟ ما هو محتوى المجموعات؟

مثال 2.1. حل مشكلة العثور على GCD. العثور على GCD عن طريق التحديد.
حل:يجب أن يكون كل رقم من الأرقام 48 و 36 قابلاً للقسمة على عدد الهدايا.
1) اكتب المقسومات 48: 48، 24، 16، 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) اكتب قواسم 36: 36، 18، 12 ، 9، 6، 3، 2، 1 اختر القاسم المشترك الأكبر. واو لا لا! وجدنا أن عدد المجموعات هو 12 قطعة.
3) اقسم 48 على 12 لتحصل على 4، اقسم 36 على 12 لتحصل على 3. لا تنس البعد واكتب الإجابة:
الإجابة: سوف تحصل على 12 مجموعة مكونة من 4 هامستر و3 أواني قهوة في كل مجموعة.

معايير القسمة على الأعداد الطبيعية.

يتم استدعاء الأعداد التي تقبل القسمة على 2 بدون باقيحتى .

يتم استدعاء الأرقام التي لا تقبل القسمة على 2غريب .

اختبار قابلية القسمة على 2

إذا كان العدد الطبيعي ينتهي برقم زوجي فإن هذا العدد يقبل القسمة على 2 بدون باقي، وإذا كان العدد ينتهي برقم فردي فإن هذا العدد لا يقبل القسمة على 2 بالتساوي.

على سبيل المثال، الأرقام 60 , 30 8 , 8 4 تقبل القسمة على 2 بدون الباقي، والأرقام هي 51 , 8 5 , 16 7 لا تقبل القسمة على 2 بدون باقي.

اختبار قابلية القسمة على 3

إذا كان مجموع أرقام العدد يقبل القسمة على 3، فإن الرقم يقبل القسمة على 3؛ إذا كان مجموع أرقام العدد لا يقبل القسمة على 3، فإن العدد لا يقبل القسمة على 3.

على سبيل المثال، لنكتشف ما إذا كان الرقم 2772825 قابلاً للقسمة على 3. للقيام بذلك، دعونا نحسب مجموع أرقام هذا الرقم: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - يقبل القسمة على 3. وهذا يعني أن الرقم 2772825 يقبل القسمة على 3.

اختبار قابلية القسمة على 5

إذا كانت تسجيلة عدد طبيعي تنتهي بالرقم 0 أو 5 فإن هذا الرقم يقبل القسمة على 5 بدون باقي. وإذا كانت تسجيلة العدد تنتهي برقم آخر فإن الرقم لا يقبل القسمة على 5 بدون باقي.

على سبيل المثال، الأرقام 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 تقبل القسمة على 5 بدون الباقي، والأرقام هي 17 , 37 8 , 9 1 لا تشارك.

اختبار قابلية القسمة على 9

إذا كان مجموع أرقام العدد يقبل القسمة على 9، فإن الرقم يقبل القسمة على 9؛ إذا كان مجموع أرقام العدد لا يقبل القسمة على 9، فإن العدد لا يقبل القسمة على 9.

على سبيل المثال، دعونا نكتشف ما إذا كان الرقم 5402070 يقبل القسمة على 9. للقيام بذلك، دعونا نحسب مجموع أرقام هذا الرقم: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - غير قابل للقسمة على 9 وهذا يعني أن الرقم 5402070 لا يقبل القسمة على 9.

اختبار قابلية القسمة على 10

إذا كان العدد الطبيعي ينتهي بالرقم 0، فإن هذا الرقم يقبل القسمة على 10 بدون باقي. وإذا كان العدد الطبيعي ينتهي برقم آخر، فهو غير قابل للقسمة على 10.

على سبيل المثال، الأرقام 40 , 17 0 , 1409 0 تقبل القسمة على 10 بدون الباقي، والأرقام 17 , 9 3 , 1430 7 - لا تشارك.

قاعدة إيجاد القاسم المشترك الأكبر (GCD).

للعثور على القاسم المشترك الأكبر لعدة أعداد طبيعية، عليك:

2) من العوامل المدرجة في توسيع أحد هذه الأرقام، شطب تلك التي لم يتم تضمينها في توسيع الأرقام الأخرى؛

3) أوجد حاصل ضرب العوامل المتبقية.

مثال. دعونا نجد GCD (48؛36). دعونا نستخدم القاعدة.

1. دعونا نحلل الرقمين 48 و 36 إلى عوامل أولية.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. من العوامل التي يشملها مفك العدد 48 نحذف ما لم يدخل في مفك العدد 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

العوامل المتبقية هي 2 و 2 و 3.

3. اضرب العوامل المتبقية واحصل على 12. هذا الرقم هو القاسم المشترك الأكبر للرقمين 48 و36.

جي سي دي (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.

قاعدة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM).

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لعدة أعداد طبيعية، عليك:

1) تحليلها إلى عوامل أولية؛

2) اكتب العوامل المتضمنة في توسيع أحد الأرقام؛

3) أضف إليها العوامل المفقودة من مفكوكات الأعداد المتبقية؛

4) أوجد حاصل ضرب العوامل الناتجة.

مثال.دعونا نجد LOC (75؛60). دعونا نستخدم القاعدة.

1. دعونا نحلل الرقمين 75 و 60 إلى عوامل أولية.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. دعونا نكتب العوامل التي يتضمنها مفكوك العدد 75: 3، 5، 5.

م م(75;60) = 3 · 5 · 5 · …

3. أضف إليها العوامل الناقصة من مفكوك العدد 60، أي: 2، 2.

م م(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. أوجد حاصل ضرب العوامل الناتجة

م م(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

المادة المقدمة أدناه هي استمرار منطقي للنظرية من المقالة التي تحمل عنوان LCM - المضاعف الأقل شيوعًا، التعريف، الأمثلة، العلاقة بين LCM وGCD. هنا سوف نتحدث عن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM)، وسنولي اهتمامًا خاصًا لحل الأمثلة. أولاً، سنوضح كيفية حساب المضاعف المشترك الأصغر لرقمين باستخدام GCD لهذه الأرقام. بعد ذلك، سننظر في إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد إلى عوامل أولية. بعد ذلك، سوف نركز على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر، وننتبه أيضًا إلى حساب المضاعف المشترك الأصغر للأعداد السالبة.

التنقل في الصفحة.

حساب المضاعف المشترك الأصغر (LCM) عبر GCD

إحدى الطرق للعثور على المضاعف المشترك الأصغر تعتمد على العلاقة بين LCM وGCD. يتيح لنا الاتصال الحالي بين LCM وGCD حساب المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين موجبين من خلال القاسم المشترك الأكبر المعروف. الصيغة المقابلة هي LCM(أ، ب)=أ ب:GCD(أ، ب) . دعونا نلقي نظرة على أمثلة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام الصيغة المعطاة.

مثال.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لعددين 126 و70.

حل.

في هذا المثال أ=126 , ب=70 . دعونا نستخدم العلاقة بين LCM وGCD، المعبر عنها بالصيغة LCM(أ، ب)=أ ب:GCD(أ، ب). أي أنه علينا أولاً إيجاد القاسم المشترك الأكبر للرقمين 70 و126، وبعد ذلك يمكننا حساب المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام باستخدام الصيغة المكتوبة.

دعونا نوجد GCD(126, 70) باستخدام الخوارزمية الإقليدية: 126=70·1+56، 70=56·1+14، 56=14·4، وبالتالي GCD(126, 70)=14.

الآن نجد المضاعف المشترك الأصغر المطلوب: جي سي دي(126, 70)=126·70:جي سي دي(126, 70)= 126·70:14=630.

إجابة:

م م(126, 70)=630 .

مثال.

ما هو LCM (68، 34) يساوي؟

حل.

لأن 68 يقبل القسمة على 34، ثم GCD(68, 34)=34. الآن نحسب المضاعف المشترك الأصغر: جي سي دي(68, 34)=68·34:جي سي دي(68, 34)= 68·34:34=68.

إجابة:

م م(68, 34)=68 .

لاحظ أن المثال السابق يناسب القاعدة التالية لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الصحيحة الموجبة a وb: إذا كان الرقم a يقبل القسمة على b، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام هو a.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد إلى عوامل أولية

هناك طريقة أخرى للعثور على المضاعف المشترك الأصغر وهي تعتمد على تحليل الأعداد إلى عوامل أولية. إذا قمت بتكوين منتج من جميع العوامل الأولية لأرقام معينة، ثم استبعدت من هذا المنتج جميع العوامل الأولية المشتركة الموجودة في تحليلات الأرقام المحددة، فسيكون المنتج الناتج مساويًا للمضاعف المشترك الأصغر للأرقام المحددة .

القاعدة المعلنة لإيجاد LCM تنبع من المساواة LCM(أ، ب)=أ ب:GCD(أ، ب). في الواقع، فإن حاصل ضرب العددين a وb يساوي حاصل ضرب جميع العوامل المشاركة في مفكوك العددين a وb. بدوره، GCD(a, b) يساوي حاصل ضرب جميع العوامل الأولية الموجودة في وقت واحد في توسيعات الأعداد a وb (كما هو موضح في القسم الخاص بإيجاد GCD باستخدام توسيع الأرقام إلى عوامل أولية).

دعونا نعطي مثالا. دعنا نعرف أن 75=3·5·5 و210=2·3·5·7. لنؤلف الناتج من جميع عوامل هذه التوسعات: 2·3·3·5·5·5·7 . الآن من هذا المنتج نستبعد جميع العوامل الموجودة في كل من مفكوك العدد 75 ومفكوك العدد 210 (هذه العوامل هي 3 و5)، فيأخذ الناتج الشكل 2·3·5·5·7 . قيمة هذا المنتج تساوي المضاعف المشترك الأصغر للعددين 75 و210، أي NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

مثال.

قم بتحليل الرقمين 441 و 700 إلى عوامل أولية وأوجد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد.

حل.

دعونا نحلل الرقمين 441 و 700 إلى عوامل أولية:

نحصل على 441=3·3·7·7 و700=2·2·5·5·7.

لنقم الآن بإنشاء منتج من جميع العوامل المشاركة في توسيع هذه الأرقام: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. دعونا نستبعد من هذا المنتج جميع العوامل الموجودة في نفس الوقت في كلا التوسعتين (يوجد عامل واحد فقط - وهذا هو الرقم 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. هكذا، م م(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

إجابة:

NOC(441, 700)= 44100 .

يمكن صياغة قاعدة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام تحليل الأعداد إلى عوامل أولية بشكل مختلف قليلاً. إذا تمت إضافة العوامل المفقودة من مفك الرقم ب إلى العوامل من مفك الرقم أ، فإن قيمة المنتج الناتج ستكون مساوية للمضاعف المشترك الأصغر للرقمين أ و ب.

على سبيل المثال، لنأخذ نفس الرقمين 75 و210، وتحللهما إلى عوامل أولية كما يلي: 75=3·5·5 و210=2·3·5·7. إلى العوامل 3 و 5 و 5 من مفكوك الرقم 75 نضيف العوامل المفقودة 2 و 7 من مفكوك الرقم 210، نحصل على المنتج 2·3·5·5·7، وقيمته هي يساوي LCM(75، 210).

مثال.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 84 و648.

حل.

نحصل أولاً على تحليل الأرقام 84 و648 إلى عوامل أولية. تبدو مثل 84=2·2·3·7 و648=2·2·2·3·3·3·3. إلى العوامل 2 و 2 و 3 و 7 من مفكوك الرقم 84 نضيف العوامل المفقودة 2 و 3 و 3 و 3 من مفكوك الرقم 648، نحصل على المنتج 2 2 2 3 3 3 3 7، وهو ما يساوي 4536 . وبالتالي، فإن المضاعف المشترك الأصغر المطلوب للعددين 84 و648 هو 4536.

إجابة:

LCM(84, 648)=4,536 .

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر

يمكن العثور على المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر من خلال إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعددين بشكل تسلسلي. دعونا نتذكر النظرية المقابلة، والتي توفر طريقة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر.

نظرية.

دع الأعداد الصحيحة الموجبة a 1 , a 2 , …, a k يتم العثور على المضاعف المشترك الأصغر m k لهذه الأرقام عن طريق الحساب التسلسلي m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , م ك = LCM(م ك−1 , أ ك) .

لنفكر في تطبيق هذه النظرية باستخدام مثال إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لأربعة أرقام.

مثال.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لأربعة أرقام 140، 9، 54، 250.

حل.

في هذا المثال، 1 = 140، 2 = 9، 3 = 54، 4 = 250.

أولا نجد م 2 = LOC(أ 1، أ 2) = LOC(140، 9). للقيام بذلك، باستخدام الخوارزمية الإقليدية، نحدد GCD(140, 9)، لدينا 140=9·15+5، 9=5·1+4، 5=4·1+1، 4=1·4، وبالتالي، GCD(140, 9)=1 ، من أين جي سي دي(140, 9)=140 9:جي سي دي(140, 9)= 140·9:1=1,260. أي أن م2=1260.

الآن نجد م 3 = LOC (م 2 , أ 3) = LOC (1 260, 54). لنحسبها من خلال GCD(1 260, 54)، والتي نحددها أيضًا باستخدام الخوارزمية الإقليدية: 1 260=54·23+18, 54=18·3. ثم gcd(1,260, 54)=18، ومنها gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. أي أن م 3 = 3 780.

كل ما تبقى هو العثور عليه م 4 = LOC(م 3، أ 4) = LOC(3780، 250). للقيام بذلك، نجد GCD(3,780, 250) باستخدام الخوارزمية الإقليدية: 3,780=250·15+30، 250=30·8+10، 30=10·3. لذلك، GCM(3,780, 250)=10، حيث GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. أي أن م 4 = 94,500.

إذن المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأربعة الأصلية هو 94500.

إجابة:

م م(140، 9، 54، 250)=94,500.

في كثير من الحالات، يكون من المناسب إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر باستخدام التحليلات الأولية للأرقام المعطاة. وفي هذه الحالة عليك الالتزام بالقاعدة التالية. المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام يساوي حاصل الضرب الذي يتكون على النحو التالي: العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الثاني تضاف إلى جميع العوامل من مفكوك الرقم الأول، العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الأول ويضاف الرقم الثالث إلى العوامل الناتجة، وهكذا.

دعونا نلقي نظرة على مثال لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام التحليل الأولي.

مثال.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الخمسة 84، 6، 48، 7، 143.

حل.

أولاً، نحصل على تحليل هذه الأرقام إلى عوامل أولية: 84=2·2·3·7، 6=2·3، 48=2·2·2·2·3، 7 (7 هو عدد أولي، وهو يتطابق مع تحللها إلى عوامل أولية) و143=11·13.

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام، إلى عوامل الرقم الأول 84 (وهي 2 و2 و3 و7)، تحتاج إلى إضافة العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الثاني 6. لا يحتوي تحليل الرقم 6 على عوامل مفقودة، حيث أن كلا من 2 و 3 موجودان بالفعل في تحليل الرقم الأول 84. بعد ذلك، إلى العوامل 2 و 2 و 3 و 7 نضيف العوامل المفقودة 2 و 2 من مفكوك الرقم الثالث 48، نحصل على مجموعة العوامل 2 و 2 و 2 و 2 و 3 و 7. لن تكون هناك حاجة لإضافة مضاعفات إلى هذه المجموعة في الخطوة التالية، نظرًا لأن الرقم 7 موجود بالفعل فيها. أخيرًا، إلى العوامل 2 و2 و2 و2 و3 و7 نضيف العوامل المفقودة 11 و13 من مفكوك العدد 143. نحصل على المنتج 2·2·2·2·3·7·11·13، وهو ما يساوي 48,048.

دعونا نلقي نظرة على ثلاث طرق للعثور على المضاعف المشترك الأصغر.

البحث عن طريق التحليل

الطريقة الأولى هي إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد المعطاة إلى عوامل أولية.

لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام: 99 و30 و28. للقيام بذلك، دعونا نحلل كل رقم من هذه الأرقام إلى عوامل أولية:

ولكي يكون العدد المطلوب قابلاً للقسمة على 99 و30 و28، فمن الضروري والكافي أن يشمل جميع العوامل الأولية لهذه المقسومات. للقيام بذلك، علينا أن نأخذ جميع العوامل الأولية لهذه الأعداد إلى أكبر قوة ممكنة ونضربها معًا:

2 2 3 2 5 7 11 = 13,860

وبالتالي، م م (99، 30، 28) = 13,860 ولا يوجد رقم آخر أقل من 13,860 يقبل القسمة على 99، 30، أو 28.

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لأرقام معينة، عليك تحليلها إلى عواملها الأولية، ثم أخذ كل عامل أولي بأكبر أس يظهر فيه، وضرب تلك العوامل معًا.

نظرًا لأن الأعداد الأولية نسبيًا لا تحتوي على عوامل أولية مشتركة، فإن المضاعف المشترك الأصغر لها يساوي حاصل ضرب هذه الأعداد. على سبيل المثال، ثلاثة أرقام: 20 و49 و33 هي أعداد أولية نسبيًا. لهذا

م م م (20، 49، 33) = 20 49 33 = 32,340.

يجب أن يتم الأمر نفسه عند إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأولية المختلفة. على سبيل المثال، المضاعف المشترك الأصغر (3، 7، 11) = 3 7 11 = 231.

البحث عن طريق الاختيار

الطريقة الثانية هي إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق الاختيار.

مثال 1. عندما يتم قسمة أكبر عدد من الأرقام المعطاة على رقم آخر، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام يساوي أكبرها. على سبيل المثال، إذا أعطيت أربعة أرقام: 60، 30، 10 و 6. كل واحد منهم يقبل القسمة على 60، وبالتالي:

م م م (60، 30، 10، 6) = 60

وفي حالات أخرى، للعثور على المضاعف المشترك الأصغر، يتم استخدام الإجراء التالي:

1. تحديد أكبر عدد من الأرقام المعطاة.
2. بعد ذلك، نجد الأعداد التي هي مضاعفات الرقم الأكبر عن طريق ضربها في الأعداد الطبيعية بترتيب تصاعدي والتحقق مما إذا كان المنتج الناتج قابلاً للقسمة على الأرقام المعطاة المتبقية.

مثال 2. بالنظر إلى ثلاثة أرقام 24 و 3 و 18. نحدد أكبرها - وهذا هو الرقم 24. بعد ذلك، نجد الأرقام التي هي مضاعفات 24، والتحقق مما إذا كان كل منها قابل للقسمة على 18 و 3:

24 · 1 = 24 - يقبل القسمة على 3، لكن غير قابل للقسمة على 18.

24 · 2 = 48 - يقبل القسمة على 3، لكن غير قابل للقسمة على 18.

24 · 3 = 72 - يقبل القسمة على 3 و18.

وبالتالي، المضاعف المشترك الأصغر (24، 3، 18) = 72.

البحث عن طريق إيجاد LCM بشكل تسلسلي

الطريقة الثالثة هي إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بشكل تسلسلي.

المضاعف المشترك الأصغر لعددين محددين يساوي حاصل ضرب هذه الأرقام مقسومًا على القاسم المشترك الأكبر لهما.

مثال 1. أوجد المضاعف المشترك الأصغر لعددين معلومين: 12 و8. حدد القاسم المشترك الأكبر لهما: GCD (12، 8) = 4. اضرب هذه الأرقام:

نقسم المنتج على gcd الخاص بهم:

وبالتالي، م م م (12، 8) = 24.

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر، استخدم الإجراء التالي:

1. أولًا، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لأي اثنين من هذه الأرقام.
2. بعد ذلك، تم العثور على المضاعف المشترك الأصغر للمضاعف المشترك الأصغر والرقم المعطى الثالث.
3. ثم، المضاعف المشترك الأصغر الناتج عن المضاعف المشترك الأصغر والرقم الرابع، وما إلى ذلك.
4. وبالتالي، يستمر البحث عن LCM طالما أن هناك أرقامًا.

مثال 2. دعونا نوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام الثلاثة المعطاة: 12، 8 و9. لقد وجدنا بالفعل المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 12 و8 في المثال السابق (هذا هو الرقم 24). يبقى العثور على المضاعف المشترك الأصغر للرقم 24 والرقم الثالث المحدد - 9. حدد القاسم المشترك الأكبر لهما: GCD (24, 9) = 3. اضرب المضاعف المشترك الأصغر في الرقم 9:

نقسم المنتج على gcd الخاص بهم:

وبالتالي، م م م (12، 8، 9) = 72.

دعونا نفكر في حل المشكلة التالية. خطوة الصبي 75 سم، وخطوة الفتاة 60 سم، ومن الضروري إيجاد أصغر مسافة يقطع فيها كل منهما عددًا صحيحًا من الخطوات.

حل.يجب أن يكون المسار بأكمله الذي سيمر به الرجال قابلاً للقسمة على 60 و70، حيث يجب على كل منهم أن يتخذ عددًا صحيحًا من الخطوات. بمعنى آخر، يجب أن تكون الإجابة من مضاعفات العددين 75 و60.

أولًا، سوف نكتب جميع مضاعفات العدد 75. فنحصل على:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

الآن دعونا نكتب الأعداد التي ستكون من مضاعفات العدد 60. ونحصل على:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

الآن نجد الأرقام الموجودة في كلا الصفين.

• المضاعفات الشائعة للأرقام ستكون 300، 600، إلخ.

أصغرها هو الرقم 300. وفي هذه الحالة، سيتم تسميتها بالمضاعف المشترك الأصغر للرقمين 75 و 60.

بالعودة إلى حالة المشكلة، فإن أصغر مسافة سيقطع فيها الرجال عددًا صحيحًا من الخطوات ستكون 300 سم، وسيقطع الصبي هذا المسار في 4 خطوات، وستحتاج الفتاة إلى اتخاذ 5 خطوات.

تحديد المضاعف المشترك الأصغر

• المضاعف المشترك الأصغر لعددين طبيعيين a وb هو أصغر عدد طبيعي يكون مضاعفًا لكل من a وb.

من أجل العثور على المضاعف المشترك الأصغر لعددين، ليس من الضروري كتابة جميع مضاعفات هذه الأرقام على التوالي.

يمكنك استخدام الطريقة التالية.

كيفية العثور على المضاعف المشترك الأصغر

تحتاج أولاً إلى تحليل هذه الأرقام إلى عوامل أولية.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

الآن دعونا نكتب جميع العوامل الموجودة في مفكوك الرقم الأول (2،2،3،5) ونضيف إليها جميع العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الثاني (5).

ونتيجة لذلك، نحصل على سلسلة من الأعداد الأولية: 2،2،3،5،5. سيكون منتج هذه الأرقام هو العامل المشترك الأصغر لهذه الأرقام. 2*2*3*5*5 = 300.

المخطط العام لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر

• 1. قسمة الأعداد إلى عوامل أولية.
• 2. اكتب العوامل الأولية التي تشكل جزءًا من أحدها.
• 3. أضف إلى هذه العوامل كل ما هو في توسعة العوامل الأخرى، ولكن ليس في العامل المحدد.
• 4. أوجد حاصل ضرب جميع العوامل المكتوبة.

هذه الطريقة عالمية. ويمكن استخدامه للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لأي عدد من الأعداد الطبيعية.