أكبر وأصغر قيمة للدالة

القيمة الكبرى للدالة هي الأكبر، والقيمة الأصغر هي الأصغر بين جميع قيمها.

يمكن أن تحتوي الدالة على قيمة واحدة أكبر وقيمة أصغر واحدة فقط، أو قد لا تحتوي على أي قيمة على الإطلاق. يعتمد العثور على القيم الأكبر والأصغر للدوال المستمرة على الخصائص التالية لهذه الدوال:

1) إذا كانت الدالة y=f(x) في فترة معينة (محدودة أو لا نهائية) متصلة ولها حد أقصى واحد فقط وإذا كانت هذه قيمة قصوى (أدنى) فستكون أكبر (أصغر) قيمة للدالة في هذه الفترة.

2) إذا كانت الدالة f(x) متصلة على مقطع معين، فمن الضروري أن يكون لها القيم الأكبر والأصغر على هذا المقطع. يتم الوصول إلى هذه القيم إما عند النقاط القصوى الموجودة داخل المقطع أو عند حدود هذا المقطع.

للعثور على أكبر وأصغر القيم في المقطع، يوصى باستخدام المخطط التالي:

1. أوجد المشتقة.

2. ابحث عن النقاط الحرجة للدالة التي تكون =0 أو غير موجودة.

3. أوجد قيم الدالة عند النقاط الحرجة وفي نهايات المقطع وحدد منها الأكبر f max والأصغر f max.

عندما تقرر المشاكل التطبيقية، وخاصة التحسين، مهملديك مهام العثور على أكبر وأصغر القيم (الحد الأقصى العالمي والحد الأدنى العالمي) للدالة في الفاصل الزمني X. لحل مثل هذه المشكلات، ينبغي للمرء، بناءً على الشرط، تحديد متغير مستقل والتعبير عن القيمة قيد الدراسة من خلال هذا المتغير. ثم ابحث عن القيمة الأكبر أو الأصغر المطلوبة للدالة الناتجة. في هذه الحالة، يتم تحديد الفاصل الزمني لتغير المتغير المستقل، والذي يمكن أن يكون محدودًا أو لا نهائيًا، أيضًا من خلال شروط المشكلة.

مثال.خزان على شكل قمة مفتوحة متوازي مستطيلمع قاع مربع، تحتاج إلى القصدير من الداخل. ما هي أبعاد الخزان إذا كانت سعته 108 لتر؟ الماء بحيث تكون تكلفة تعليبه ضئيلة؟

حل.ستكون تكلفة طلاء الخزان بالقصدير ضئيلة إذا كانت مساحة سطحه ضئيلة بالنسبة لسعة معينة. دعونا نشير بواسطة dm إلى جانب القاعدة، b dm إلى ارتفاع الخزان. إذن مساحة سطحه S تساوي

و

تحدد العلاقة الناتجة العلاقة بين مساحة سطح الخزان S (الوظيفة) وجانب القاعدة (الوسيطة). دعونا نتفحص الدالة S لمعرفة الحد الأقصى. لنجد المشتقة الأولى ونساويها بالصفر ونحل المعادلة الناتجة:

وبالتالي أ = 6. (أ) > 0 لـ أ > 6، (أ)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

مثال. العثور على أكبر وأصغر قيم للدالة على الفاصل الزمني.

حل: وظيفة محددةمستمرة على خط الأعداد بأكمله. مشتق من وظيفة

مشتق ل و ل. لنحسب قيم الدالة في هذه النقاط:

.

قيم الدالة في نهايات الفترة المحددة متساوية. ولذلك، فإن أكبر قيمة للدالة تساوي at، وأصغر قيمة للدالة تساوي at.

أسئلة الاختبار الذاتي

1. قم بصياغة قاعدة L'Hopital للكشف عن أوجه عدم اليقين في النموذج. قائمة أنواع مختلفةحالات عدم اليقين التي يمكن استخدام قاعدة L'Hopital فيها.

2. صياغة علامات الزيادة والنقصان الدالة.

3. تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى للوظيفة.

4. صياغة شرط ضروريوجود الحد الأقصى.

5. ما هي قيم الوسيطة (أي النقاط) التي تسمى حرجة؟ كيف تجد هذه النقاط؟

6. ما هي العلامات الكافية لوجود أقصى الدالة؟ الخطوط العريضة لخطة لدراسة الدالة في أقصى الحدود باستخدام المشتقة الأولى.

7. الخطوط العريضة لمخطط لدراسة وظيفة في أقصى الحدود باستخدام المشتق الثاني.

8. تعريف التحدب وتقعر المنحنى.

9. ما يسمى نقطة انعطاف الرسم البياني للدالة؟ أشر إلى طريقة العثور على هذه النقاط.

10. صياغة العلامات الضرورية والكافية للتحدب وتقعر المنحنى خلف هذا الجزء.

11. تحديد الخط المقارب للمنحنى. كيفية العثور على الرأسي والأفقي و الخطوط المقاربة المائلةالرسومات الوظيفية؟

12. الخطوط العريضة المخطط العامالبحث عن وظيفة ورسم الرسم البياني لها.

13. قم بصياغة قاعدة للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة في مقطع معين.

ولحلها سوف تحتاج إلى الحد الأدنى من المعرفة بالموضوع. وينتهي التالي السنة الأكاديمية، الجميع يريد الذهاب في إجازة، ولتقريب هذه اللحظة، سأصل على الفور إلى النقطة:

لنبدأ بالمنطقة. المنطقة المشار إليها في الشرط هي محدود مغلق مجموعة من النقاط على متن الطائرة على سبيل المثال، مجموعة النقاط التي يحدها مثلث، بما في ذلك المثلث الكامل (إذا من الحدود"وخز" نقطة واحدة على الأقل، فلن يتم إغلاق المنطقة بعد الآن). ومن الناحية العملية، هناك أيضًا مساحات مستطيلة ودائرية وأكبر قليلاً. الأشكال المعقدة. وتجدر الإشارة إلى أنه من الناحية النظرية التحليل الرياضييتم إعطاء تعريفات صارمة القيود والعزلة والحدود وما إلى ذلك.، لكنني أعتقد أن الجميع يدركون هذه المفاهيم على مستوى بديهي، والآن ليست هناك حاجة إلى أي شيء أكثر من ذلك.

يُشار إلى المنطقة المسطحة بشكل قياسي بالحرف، وعادةً ما يتم تحديدها تحليليًا من خلال عدة معادلات (ليست بالضرورة خطية); في كثير من الأحيان عدم المساواة. الإسهاب النموذجي: "منطقة مغلقة، يحدها خطوط ».

جزء لا يتجزأالمهمة المعنية هي بناء منطقة في الرسم. كيف افعلها؟ تحتاج إلى رسم جميع الخطوط المدرجة (في في هذه الحالة 3 مستقيم) وتحليل ما حدث. عادة ما تكون المنطقة التي تم البحث فيها مظللة بشكل خفيف، ويتم تحديد حدودها بخط سميك:


يمكن أيضًا ضبط نفس المنطقة المتباينات الخطية: ، والتي غالبًا ما تتم كتابتها لسبب ما كقائمة معدودة بدلاً من نظام.
وبما أن الحدود تنتمي إلى المنطقة، فإن جميع المتباينات، بالطبع، التراخي.

والآن جوهر المهمة. تخيل أن المحور يخرج نحوك مباشرة من نقطة الأصل. النظر في وظيفة ذلك مستمر في كلنقطة المنطقة. الرسم البياني لهذه الوظيفة يمثل بعض سطحوالسعادة الصغيرة هي أنه لحل مشكلة اليوم لا نحتاج إلى معرفة شكل هذا السطح. يمكن أن يكون أعلى أو أقل أو يتقاطع مع المستوى - كل هذا لا يهم. والمهم ما يلي: بحسب نظريات ويرستراس, مستمرالخامس مغلقة محدودةالمنطقة التي تصل فيها الدالة إلى قيمتها القصوى (الاعلى")والأقل (الأخفض")القيم التي يجب العثور عليها. يتم تحقيق هذه القيم أوالخامس نقاط ثابتة, تابعة للمنطقةد , أوفي النقاط التي تقع على حدود هذه المنطقة. وهذا يؤدي إلى خوارزمية حل بسيطة وشفافة:

مثال 1

في محدودة منطقة مغلقة

حل: أولا وقبل كل شيء، تحتاج إلى تصوير المنطقة في الرسم. لسوء الحظ، من الصعب علي تقنيًا أن أصنع نموذجًا تفاعليًا للمشكلة، ولذلك سأقدم على الفور الرسم التوضيحي النهائي، الذي يوضح جميع النقاط “المشبوهة” التي تم العثور عليها أثناء البحث. وعادة ما يتم إدراجها واحدة تلو الأخرى عند اكتشافها:

وبناء على الديباجة فإنه من المناسب تقسيم القرار إلى نقطتين:

ط) العثور على نقاط ثابتة. هذا إجراء قياسي قمنا به بشكل متكرر في الفصل. حول الحدود القصوى للعديد من المتغيرات:

وجدت نقطة ثابتة ينتميالمناطق: (ضع علامة على الرسم)، مما يعني أننا يجب أن نحسب قيمة الدالة عند نقطة معينة:

- كما في المقال أكبر وأصغر قيم الدالة على القطعة, نتائج مهمةوسوف أبرز بخط عريض بخط سميك. من الملائم تتبعها في دفتر ملاحظات بقلم رصاص.

انتبه إلى سعادتنا الثانية - فلا فائدة من التحقق منها حالة كافية للأقصى. لماذا؟ حتى لو وصلت الدالة عند نقطة ما، على سبيل المثال، إلى الحد الأدنى المحلي، فهذا لا يعني أن القيمة الناتجة ستكون الحد الأدنىفي جميع أنحاء المنطقة (انظر بداية الدرس حول التطرف غير المشروط) .

ماذا تفعل إذا كانت النقطة الثابتة لا تنتمي إلى المنطقة؟ لا شيء تقريبا! تجدر الإشارة إلى ذلك والانتقال إلى النقطة التالية.

II) نستكشف حدود المنطقة.

بما أن الحدود تتكون من جوانب مثلث، فمن المناسب تقسيم الدراسة إلى 3 أقسام فرعية. لكن من الأفضل عدم القيام بذلك بأي حال من الأحوال. من وجهة نظري، من الأفضل أن نفكر أولاً في القطع المتوازية محاور الإحداثيات، وقبل كل شيء، أولئك الذين يكذبون على المحاور أنفسهم. لفهم التسلسل الكامل ومنطق الإجراءات، حاول دراسة النهاية "في نفس واحد":

1) دعونا نتعامل مع الجانب السفلي من المثلث. للقيام بذلك، استبدل مباشرة في الدالة:

بدلا من ذلك، يمكنك القيام بذلك على النحو التالي:

هندسيا هذا يعني ذلك خطة تنسيق (والتي تعطى أيضا في المعادلة)"ينحت" من الأسطحقطع مكافئ "مكاني"، يقع الجزء العلوي منه موضع شك على الفور. هيا نكتشف أين تقع:

- "سقطت" القيمة الناتجة في المنطقة، وقد يحدث ذلك عند هذه النقطة (محدد على الرسم)تصل الدالة إلى الحد الأقصى أو أدنى قيمةفي المنطقة بأكملها. بطريقة أو بأخرى، دعونا نجري الحسابات:

"المرشحون" الآخرون هم بالطبع نهايات المقطع. لنحسب قيم الدالة عند النقاط (محدد على الرسم):

هنا، بالمناسبة، يمكنك إجراء فحص شفهي صغير باستخدام نسخة "مبسطة":

2) للبحث الجانب الأيمننستبدل المثلث في الدالة و"نرتب الأمور":

هنا سنقوم على الفور بإجراء فحص تقريبي، "رنين" نهاية المقطع التي تمت معالجتها بالفعل:
، عظيم.

الوضع الهندسي مرتبط النقطة السابقة:

- القيمة الناتجة أيضًا "دخلت في مجال اهتماماتنا"، مما يعني أننا بحاجة إلى حساب ما تساويه الدالة عند النقطة الظاهرة:

دعونا نتفحص الطرف الثاني من المقطع:

باستخدام الوظيفة ، فلنجري فحصًا للتحكم:

3) ربما يستطيع الجميع تخمين كيفية استكشاف الجانب المتبقي. نستبدلها في الوظيفة ونقوم بالتبسيط:

نهايات المقطع لقد تم بحثها بالفعل، ولكن في المسودة ما زلنا نتحقق مما إذا كنا قد وجدنا الوظيفة بشكل صحيح :
- تزامنت مع نتيجة الفقرة الفرعية الأولى؛
– تزامنت مع نتيجة الفقرة الفرعية الثانية.

يبقى معرفة ما إذا كان هناك أي شيء مثير للاهتمام داخل المقطع:

- هنالك! باستبدال الخط المستقيم في المعادلة، نحصل على إحداثية "الأهمية" هذه:

نحدد نقطة على الرسم ونجد القيمة المقابلة للوظيفة:

دعونا نتحقق من الحسابات باستخدام إصدار "الميزانية". :
، طلب.

والخطوة النهائية: نحن ننظر بعناية في جميع الأرقام "الجريئة"، وأوصي بأن يقوم المبتدئين بإعداد قائمة واحدة:

والتي نختار منها القيم الأكبر والأصغر. إجابةدعنا نكتب بأسلوب مشكلة البحث أكبر وأصغر قيم دالة على قطعة ما:

فقط في حالة، سأعلق مرة أخرى معنى هندسينتيجة:
- هنا الأكثر نقطة عاليةالأسطح في المنطقة؛
- هنا الأكثر نقطة منخفضةالأسطح في المنطقة.

في المهمة التي تم تحليلها، حددنا 7 نقاط “مشبوهة”، لكن عددها يختلف من مهمة إلى أخرى. بالنسبة لمنطقة مثلثة، يتكون الحد الأدنى من "مجموعة البحث" من ثلاث نقاط. يحدث هذا عندما تحدد الوظيفة، على سبيل المثال طائرة– من الواضح تمامًا أنه لا توجد نقاط ثابتة، ولا يمكن للدالة أن تصل إلى قيمها القصوى/الأصغر إلا عند رؤوس المثلث. ولكن لا يوجد سوى مثال واحد أو مثالين مشابهين - وعادة ما يتعين عليك التعامل مع بعضها سطح من الدرجة الثانية.

إذا حاولت حل مثل هذه المهام قليلاً، فإن المثلثات يمكن أن تجعل رأسك يدور، ولهذا السبب أعددت لك أمثلة غير عاديةحتى تصبح مربعة :))

مثال 2

العثور على أكبر وأصغر قيم للدالة في منطقة مغلقة تحدها الخطوط

مثال 3

ابحث عن أكبر وأصغر قيم للدالة في منطقة مغلقة محدودة.

انتباه خاصانتبه إلى الترتيب العقلاني وتقنية دراسة حدود المنطقة، وكذلك إلى سلسلة الفحوصات الوسيطة، والتي ستتجنب تمامًا الأخطاء الحسابية. بشكل عام، يمكنك حلها بالطريقة التي تريدها، ولكن في بعض المشكلات، على سبيل المثال، في المثال 2، هناك فرصة كبيرة لجعل حياتك أكثر صعوبة. عينة تقريبيةالانتهاء من الواجبات في نهاية الدرس.

دعونا ننظم خوارزمية الحل، وإلا مع اجتهادي كعنكبوت، فقد ضاعت بطريقة ما في سلسلة التعليقات الطويلة للمثال الأول:

– في الخطوة الأولى نقوم ببناء منطقة، ومن المستحسن تظليلها وإبراز الحدود بخط غامق. أثناء الحل، ستظهر النقاط التي تحتاج إلى وضع علامة على الرسم.

- البحث عن النقاط الثابتة وحساب قيم الدالة فقط في تلك منهمالتي تنتمي إلى المنطقة. نسلط الضوء على القيم الناتجة في النص (على سبيل المثال، ضع دائرة حولها بقلم رصاص). إذا كانت النقطة الثابتة لا تنتمي إلى المنطقة، فإننا نحتفل بهذه الحقيقة برمز أو لفظيا. لو نقاط ثابتةلا إطلاقاً، ثم نستخلص استنتاجاً مكتوباً بأنهم غائبون. وفي كل الأحوال لا يمكن تخطي هذه النقطة!

– نحن نستكشف حدود المنطقة. أولاً، من المفيد فهم الخطوط المستقيمة المتوازية مع محاور الإحداثيات (إذا كان هناك أي على الإطلاق). نسلط الضوء أيضًا على قيم الوظائف المحسوبة عند النقاط "المشبوهة". لقد قيل الكثير أعلاه عن تقنية الحل وسيتم قول شيء آخر أدناه - اقرأ، أعد القراءة، تعمق فيها!

– من الأرقام المختارة حدد القيم الأكبر والأصغر وأعطي الإجابة. في بعض الأحيان يحدث أن تصل الدالة إلى هذه القيم في عدة نقاط في وقت واحد - في هذه الحالة، يجب أن تنعكس كل هذه النقاط في الإجابة. دعونا، على سبيل المثال، واتضح أن هذه هي القيمة الأصغر. ثم نكتب ذلك

الأمثلة النهائية مخصصة للآخرين أفكار مفيدةوالتي ستكون مفيدة في الممارسة العملية:

مثال 4

ابحث عن أكبر وأصغر قيم للدالة في منطقة مغلقة .

لقد احتفظت بصيغة المؤلف، التي تُعطى فيها المنطقة في شكل متباينة مزدوجة. يمكن كتابة هذا الشرط بواسطة نظام مكافئ أو بشكل أكثر تقليدية لهذه المشكلة:

أذكرك بذلك غير خطيةلقد واجهنا عدم مساواة في ، وإذا كنت لا تفهم المعنى الهندسي للترميز، فيرجى عدم التأخير وتوضيح الموقف الآن؛-)

حلكما هو الحال دائمًا، يبدأ ببناء منطقة تمثل نوعًا من "النعل":

حسنًا، في بعض الأحيان يتعين عليك مضغ ليس فقط جرانيت العلم...

ط) البحث عن نقاط ثابتة:

النظام حلم احمق :)

هناك نقطة ثابتة تابعة للمنطقة، أي تقع على حدودها.

وهكذا، لا بأس... لقد سار الدرس على ما يرام - هذا هو معنى شرب الشاي المناسب =)

II) نستكشف حدود المنطقة. وبدون مزيد من اللغط، لنبدأ بالمحور السيني:

1) إذاً

لنجد أين يقع رأس القطع المكافئ:
– نقدر مثل هذه اللحظات – لقد وصلت إلى النقطة التي أصبح كل شيء فيها واضحًا بالفعل. لكننا ما زلنا لا ننسى التحقق:

لنحسب قيم الوظيفة في نهايات المقطع:

2) ج قاعدعونا نتعرف على "القيعان" "في جلسة واحدة" - نستبدلها في الوظيفة دون أي مجمعات، وسنكون مهتمين فقط بالمقطع:

يتحكم:

وهذا يجلب بالفعل بعض الإثارة للقيادة الرتيبة على طول المسار المخرش. دعونا نجد النقاط الحرجة:

دعونا نقرر معادلة من الدرجة الثانية، هل تتذكر أي شيء آخر عن هذا؟ ...ومع ذلك، تذكر بالطبع، وإلا فلن تقرأ هذه السطور =) إذا كانت الحسابات في المثالين السابقين في الكسور العشرية(وهو بالمناسبة نادر)، فالأشياء المعتادة تنتظرنا هنا الكسور المشتركة. نجد جذور "X" ونستخدم المعادلة لتحديد إحداثيات "اللعبة" المقابلة لنقاط "المرشح":


لنحسب قيم الوظيفة عند النقاط الموجودة:

تحقق من الوظيفة بنفسك.

الآن ندرس بعناية الجوائز التي تم الفوز بها ونكتبها إجابة:

هؤلاء "مرشحون"، هؤلاء "مرشحون"!

لحلها بنفسك:

مثال 5

العثور على أصغر و أعلى قيمةالمهام في منطقة مغلقة

يُقرأ الإدخال الذي يحتوي على أقواس متعرجة على النحو التالي: "مجموعة من النقاط من هذا القبيل".

في بعض الأحيان في أمثلة مماثلةيستخدم طريقة لاغرانج المضاعفولكن من غير المرجح أن تكون هناك حاجة حقيقية لاستخدامه. لذلك، على سبيل المثال، إذا تم إعطاء دالة لها نفس المساحة "de"، فبعد التعويض فيها - مع المشتقة دون أي صعوبات؛ علاوة على ذلك، يتم رسم كل شيء في "سطر واحد" (مع العلامات) دون الحاجة إلى النظر في نصفي الدائرة العلوية والسفلية بشكل منفصل. ولكن، بالطبع، هناك المزيد الحالات المعقدةحيث بدون وظيفة لاغرانج (حيث، على سبيل المثال، هي نفس معادلة الدائرة)إنه أمر صعب - تمامًا كما يصعب العيش دون راحة جيدة!

أتمنى لكم وقتًا ممتعًا جميعًا ونراكم قريبًا في الموسم المقبل!

الحلول والأجوبة:

مثال 2: حل: لنرسم المنطقة في الرسم:

إن عملية البحث عن أصغر وأكبر قيم دالة على مقطع ما تذكرنا برحلة رائعة حول جسم ما (رسم بياني للدالة) في طائرة هليكوبتر، وإطلاق النار في نقاط معينة من مدفع بعيد المدى واختيار غاية نقاط خاصة من هذه النقاط للتحكم في اللقطات. يتم اختيار النقاط بطريقة معينة ووفقا ل قواعد معينة. بأي قواعد؟ سنتحدث عن هذا أكثر.

إذا كانت الوظيفة ذ = F(س) مستمرة على الفترة [ أ, ب]، ثم يصل إلى هذا الجزء الأقل و أعلى القيم . يمكن أن يحدث هذا إما في النقاط القصوىأو في نهاية المقطع. لذلك، للعثور على الأقل و أكبر قيم الوظيفة ، مستمر على الفاصل الزمني [ أ, ب] ، تحتاج إلى حساب قيمه في الكل نقاط حرجةوفي نهايات القطعة، ثم اختر منها الأصغر والأكبر.

لنفترض، على سبيل المثال، أنك تريد تحديد أكبر قيمة للدالة F(س) على الجزء [ أ, ب] . للقيام بذلك، تحتاج إلى العثور على جميع النقاط الحرجة ملقاة على [ أ, ب] .

نقطة حرجة تسمى النقطة التي وظيفة محددة، وهي المشتقإما يساوي الصفر أو غير موجود. ثم يجب حساب قيم الوظيفة عند النقاط الحرجة. وأخيرًا، يجب مقارنة قيم الدالة عند النقاط الحرجة وفي نهايات القطعة ( F(أ) و F(ب)). أكبر هذه الأرقام سيكون أكبر قيمة للدالة في المقطع [أ, ب] .

مشاكل في العثور على أصغر قيم الدالة .

نبحث عن أصغر وأكبر قيم الدالة معًا

مثال 1. ابحث عن أصغر وأكبر قيم للدالة على الجزء [-1, 2] .

حل. أوجد مشتقة هذه الدالة. دعونا نساوي المشتقة بالصفر () ونحصل على نقطتين حرجتين: و . للعثور على أصغر وأكبر قيم دالة على مقطع معين، يكفي حساب قيمها عند نهايات المقطع وعند النقطة، حيث أن النقطة لا تنتمي إلى المقطع [-1، 2]. قيم الوظائف هذه هي: , . إنه يتبع هذا أصغر قيمة دالة(المشار إليها باللون الأحمر على الرسم البياني أدناه)، والتي تساوي -7، يتم تحقيقها في الطرف الأيمن من المقطع - عند النقطة ، و أعظم(باللون الأحمر أيضًا على الرسم البياني)، يساوي 9، - عند النقطة الحرجة.

إذا كانت الدالة متصلة في فترة زمنية معينة وهذه الفترة ليست قطعة (ولكنها، على سبيل المثال، فترة؛ الفرق بين الفترة والقطعة: لا يتم تضمين النقاط الحدودية للفاصل في الفترة، ولكن يتم تضمين نقاط حدود المقطع في المقطع)، فمن بين قيم الدالة قد لا تكون الأصغر والأكبر. على سبيل المثال، الدالة الموضحة في الشكل أدناه متصلة على ]-∞، +∞[ وليس لها القيمة الأكبر.

ومع ذلك، بالنسبة لأي فترة زمنية (مغلقة أو مفتوحة أو لا نهائية)، تكون الخاصية التالية للدوال المستمرة صحيحة.

مثال 4. ابحث عن أصغر وأكبر قيم للدالة على الجزء [-1, 3] .

حل. نجد مشتق هذه الدالة كمشتق حاصل القسمة:

.

نحن نساوي المشتقة بالصفر، مما يعطينا نقطة حرجة واحدة: . إنه ينتمي إلى الجزء [-1، 3] . للعثور على أصغر وأكبر قيم دالة على مقطع معين، نجد قيمها في نهايات المقطع وعند النقطة الحرجة التي تم العثور عليها:

دعونا نقارن هذه القيم. الاستنتاج: يساوي -5/13 عند النقطة و أعلى قيمةيساوي 1 عند النقطة .

نواصل البحث عن القيم الأصغر والأكبر للدالة معًا

هناك مدرسون، فيما يتعلق بموضوع إيجاد أصغر وأكبر قيم للدالة، لا يعطوا الطلاب أمثلة لحلها تكون أكثر تعقيدًا من تلك التي تمت مناقشتها للتو، أي تلك التي تكون فيها الدالة كثيرة الحدود أو دالة الكسر الذي بسطه ومقامه كثيرات الحدود. لكننا لن نقتصر على مثل هذه الأمثلة، لأنه من بين المعلمين هناك من يحب إجبار الطلاب على التفكير بالكامل (جدول المشتقات). ولذلك، سيتم استخدام الدالة اللوغاريتمية والدالة المثلثية.

مثال 6. ابحث عن أصغر وأكبر قيم للدالة على الجزء .

حل. نجد مشتقة هذه الوظيفة كما مشتق من المنتج :

نحن نساوي المشتقة بالصفر، وهو ما يعطي نقطة حرجة واحدة: . إنه ينتمي إلى هذا الجزء. للعثور على أصغر وأكبر قيم دالة على مقطع معين، نجد قيمها في نهايات المقطع وعند النقطة الحرجة التي تم العثور عليها:

نتيجة جميع الإجراءات: تصل الدالة إلى الحد الأدنى من قيمتها، يساوي 0، عند النقطة وعند النقطة و أعلى قيمة، متساوي ه²، عند هذه النقطة.

مثال 7. ابحث عن أصغر وأكبر قيم للدالة على الجزء .

حل. أوجد مشتقة هذه الدالة:

نحن نساوي المشتقة بالصفر:

النقطة الحرجة الوحيدة تنتمي إلى هذا القطاع. للعثور على أصغر وأكبر قيم دالة على مقطع معين، نجد قيمها في نهايات المقطع وعند النقطة الحرجة التي تم العثور عليها:

خاتمة: تصل الدالة إلى الحد الأدنى من قيمتها، يساوي ، عند النقطة و أعلى قيمة, على قدم المساواة , عند هذه النقطة .

في المسائل المتطرفة المطبقة، عادةً ما يكون العثور على القيم الأصغر (القصوى) للدالة بمثابة إيجاد الحد الأدنى (الحد الأقصى). ولكن ليس الحد الأدنى أو الحد الأقصى في حد ذاته هو الذي له أهمية عملية أكبر، ولكن قيم الحجة التي يتم تحقيقها من خلالها. عند حل المشكلات التطبيقية، ينشأ صعوبة إضافية- تجميع الوظائف التي تصف الظاهرة أو العملية قيد النظر.

مثال 8.خزان بسعة 4، له شكل متوازي السطوح قاعدة مربعةومفتوحة من الأعلى، تحتاج إلى القصدير. ما هي أبعاد الخزان حتى يلزم تغطيته؟ أقل مبلغمادة؟

حل. يترك س- الجانب الأساسي، ح- ارتفاع الخزان، س- مساحة سطحه بدون غطاء، الخامس- حجمه. يتم التعبير عن مساحة سطح الخزان بالصيغة، أي. هي دالة لمتغيرين. للتعبير سكدالة لمتغير واحد، نستخدم حقيقة أنه من أين . استبدال التعبير الموجود حفي الصيغة ل س:

دعونا نفحص هذه الوظيفة إلى أقصى الحدود. يتم تعريفه وتمييزه في كل مكان في ]0 و +∞[ و

.

نحن نساوي المشتقة بالصفر () ونجد النقطة الحرجة. بالإضافة إلى ذلك، عند ، لا يوجد المشتق، لكن هذه القيمة لا يتم تضمينها في مجال التعريف وبالتالي لا يمكن أن تكون نقطة متطرفة. لذلك، هذه هي النقطة الحرجة الوحيدة. دعونا نتحقق من وجود الحد الأقصى باستخدام علامة الكافية الثانية. دعونا نجد المشتق الثاني. عندما يكون المشتق الثاني أكبر من الصفر (). وهذا يعني أنه عندما تصل الدالة إلى الحد الأدنى . منذ هذا الحد الأدنى هو الحد الأقصى الوحيد لهذه الدالة، وهو أصغر قيمة لها. لذلك يجب أن يكون طول ضلع قاعدة الخزان 2 م، وارتفاعه .

مثال 9.من النقطة أتقع على خط السكة الحديد، إلى هذه النقطة مع، وتقع على مسافة منه ل، يجب نقل البضائع. تكلفة نقل وحدة وزن لكل وحدة مسافة بالسكك الحديدية تساوي وعبر الطريق السريع تساوي . إلى أي نقطة مخطوط سكة حديديةيجب بناء طريق سريع لنقل البضائع منها أالخامس معكان الأكثر اقتصادا (القسم أ.بمن المفترض أن تكون السكك الحديدية مستقيمة)؟

تتضمن الخوارزمية القياسية لحل مثل هذه المشكلات، بعد العثور على أصفار الدالة، تحديد علامات المشتق على الفواصل الزمنية. ثم يتم حساب القيم عند النقاط القصوى (أو الدنيا) الموجودة وعند حدود الفاصل الزمني، اعتمادًا على السؤال الموجود في الحالة.

أنصحك أن تفعل الأشياء بشكل مختلف قليلاً. لماذا؟ لقد كتبت عن هذا.

أقترح حل مثل هذه المشاكل بالطريقة الآتية:

1. أوجد المشتقة.
2. أوجد أصفار المشتقة.
3. تحديد أي منهم ينتمي هذه الفترة الفاصلة.
4. نحسب قيم الدالة عند حدود الفاصل ونقاط الخطوة 3.
5. نستنتج (الإجابة على السؤال المطروح).

أثناء حل الأمثلة المقدمة، لم يتم النظر في الحل بالتفصيل المعادلات التربيعية، يجب أن تكون قادرًا على القيام بذلك. وينبغي أن يعرفوا أيضا.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة:

77422. أوجد أكبر قيمة للدالة y=x 3 –3x+4 على المقطع [–2;0].

لنجد أصفار المشتقة:

تنتمي النقطة x = –1 إلى الفاصل الزمني المحدد في الشرط.

نحسب قيم الدالة عند النقاط -2 و -1 و0:

أكبر قيمة للدالة هي 6.

الجواب: 6

77425. أوجد أصغر قيمة للدالة y = x 3 – 3x 2 + 2 على القطعة.

لنجد مشتقة الدالة المعطاة:

لنجد أصفار المشتقة:

الفاصل الزمني المحدد في الشرط يحتوي على النقطة x = 2.

نحسب قيم الدالة عند النقاط 1 و 2 و 4:

أصغر قيمة للدالة هي -2.

الجواب: -2

77426. أوجد أكبر قيمة للدالة y = x 3 – 6x 2 على القطعة [–3;3].

لنجد مشتقة الدالة المعطاة:

لنجد أصفار المشتقة:

النقطة x = 0 تنتمي إلى الفاصل الزمني المحدد في الشرط.

نحسب قيم الدالة عند النقاط –3 و0 و3:

أصغر قيمة للدالة هي 0.

الجواب: 0

77429. أوجد أصغر قيمة للدالة y = x 3 – 2x 2 + x +3 على القطعة.

لنجد مشتقة الدالة المعطاة:

3س 2 – 4س + 1 = 0

نحصل على الجذور: × 1 = 1 × 1 = 1/3.

الفاصل الزمني المحدد في الشرط يحتوي فقط على x = 1.

لنجد قيم الوظيفة عند النقطتين 1 و 4:

لقد وجدنا أن أصغر قيمة للدالة هي 3.

الجواب: 3

77430. أوجد أكبر قيمة للدالة y = x 3 + 2x 2 + x + 3 في القطعة [- 4; -1].

لنجد مشتقة الدالة المعطاة:

دعونا نجد أصفار المشتقة ونحل المعادلة التربيعية:

3س 2 + 4س + 1 = 0

دعونا نحصل على الجذور:

يحتوي الفاصل الزمني المحدد في الشرط على الجذر x = –1.

نجد قيم الدالة عند النقاط –4، –1، –1/3، و1:

لقد وجدنا أن أكبر قيمة للدالة هي 3.

الجواب: 3

77433. أوجد أصغر قيمة للدالة y = x 3 – x 2 – 40x +3 على القطعة.

لنجد مشتقة الدالة المعطاة:

دعونا نجد أصفار المشتقة ونحل المعادلة التربيعية:

3س2 – 2س – 40 = 0

دعونا نحصل على الجذور:

الفاصل الزمني المحدد في الشرط يحتوي على الجذر x = 4.

ابحث عن قيم الوظيفة عند النقطتين 0 و 4:

لقد وجدنا أن أصغر قيمة للدالة هي -109.

الجواب: -109

لنفكر في طريقة لتحديد القيم الأكبر والأصغر للوظائف بدون مشتق. يمكن استخدام هذا النهج إذا كان لديك مشاكل كبيرة. المبدأ بسيط - نحن نستبدل جميع القيم الصحيحة من الفاصل الزمني في الدالة (الحقيقة هي أن الإجابة في جميع هذه النماذج الأولية هي عدد صحيح).

77437. أوجد أصغر قيمة للدالة y=7+12x–x 3 على القطعة [–2;2].

استبدال النقاط من -2 إلى 2: عرض الحل

77434. أوجد أكبر قيمة للدالة y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 في القطعة [–2;0].

هذا كل شئ. كل التوفيق لك!

مع خالص التقدير، الكسندر كروتيتسكيخ.

ملاحظة: سأكون ممتنًا لو أخبرتني عن الموقع على الشبكات الاجتماعية.

في كثير من الأحيان في الفيزياء والرياضيات يكون مطلوبا العثور على أصغر قيمة للدالة. سنخبرك الآن بكيفية القيام بذلك.

كيفية العثور على أصغر قيمة للدالة: التعليمات

1. لحساب أصغر قيمة وظيفة مستمرةفي جزء معين، عليك اتباع هذه الخوارزمية:
2. العثور على مشتق من وظيفة.
3. أوجد على قطعة معينة النقاط التي يساوي عندها المشتق صفرًا، وكذلك جميع النقاط الحرجة. ثم اكتشف قيم الدالة عند هذه النقاط، أي حل المعادلة حيث x يساوي صفرًا. تعرف على القيمة الأصغر.
4. حدد القيمة التي تحملها الدالة نقاط النهاية. حدد أصغر قيمة للدالة عند هذه النقاط.
5. قارن البيانات التي تم الحصول عليها بأقل قيمة. أصغر الأرقام الناتجة ستكون أصغر قيمة للدالة.

لاحظ أنه إذا لم يكن هناك وظيفة على قطعة أصغر النقاطوهذا يعني أنه في شريحة معينة يزيد أو ينقص. ولذلك، ينبغي حساب أصغر قيمة على الأجزاء المحدودة من الدالة.

وفي جميع الحالات الأخرى، يتم حساب قيمة الدالة وفقًا لخوارزمية معينة. في كل نقطة من الخوارزمية سوف تحتاج إلى حل مشكلة بسيطة معادلة خط مستقيممع جذر واحد. حل المعادلة باستخدام الصورة لتجنب الأخطاء.

كيفية العثور على أصغر قيمة للدالة في مقطع نصف مفتوح؟ في فترة نصف مفتوحة أو مفتوحة للدالة، يجب العثور على أصغر قيمة على النحو التالي. عند نقاط نهاية قيمة الدالة، احسب الحد من جانب واحد للدالة. بمعنى آخر، حل معادلة تكون فيها نقاط الميل معطاة بالقيمتين a+0 وb+0، حيث a وb هما الاسمان نقاط حرجة.

الآن أنت تعرف كيفية العثور على أصغر قيمة للدالة. الشيء الرئيسي هو إجراء جميع الحسابات بشكل صحيح ودقيق وبدون أخطاء.