دعونا نرى كيفية فحص دالة باستخدام الرسم البياني. اتضح أنه من خلال النظر إلى الرسم البياني، يمكننا معرفة كل ما يهمنا، وهي:

• مجال الوظيفة
• نطاق الوظيفة
• وظيفة الأصفار
• فترات الزيادة والنقصان
• الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط
• أعظم و أصغر قيمةوظائف على قطعة.

دعونا نوضح المصطلحات:

الإحداثي السينيهو الإحداثي الأفقي للنقطة.
تنسيق- الإحداثيات العمودية.
محور الإحداثي السيني- المحور الأفقي، ويسمى في أغلب الأحيان بالمحور.
المحور ص - محور رأسي، أو المحور.

دعوى- متغير مستقل تعتمد عليه قيم الدالة. يشار في أغلب الأحيان.
بمعنى آخر، نختار ونستبدل الوظائف في الصيغة ونحصل على .

اِختِصاصوظائف - مجموعة قيم الوسيطات (وهذه فقط) التي توجد بها الوظيفة.
تمت الإشارة إليه بواسطة: أو .

في الشكل الذي لدينا، مجال تعريف الدالة هو القطعة. في هذا الجزء يتم رسم الرسم البياني للوظيفة. هنا فقط هذه الوظيفةموجود.

نطاق الوظيفةهي مجموعة القيم التي يأخذها المتغير. في الشكل الخاص بنا، هذا مقطع - من القيمة الأدنى إلى القيمة الأعلى.

وظيفة الأصفار- النقاط التي تكون فيها قيمة الدالة صفراً. في الشكل لدينا هذه هي النقاط و .

قيم الوظيفة إيجابيةأين . في الشكل لدينا هذه هي الفواصل الزمنية و .
قيم الوظيفة سلبيةأين . بالنسبة لنا، هذا هو الفاصل الزمني (أو الفاصل الزمني) من إلى .

المفاهيم الرئيسية - وظيفة متزايدة ومتناقصةعلى مجموعة ما. كمجموعة، يمكنك أخذ قطعة، أو فاصل زمني، أو اتحاد فترات، أو خط الأعداد بأكمله.

وظيفة يزيد

بمعنى آخر، كلما زاد، زاد، أي أن الرسم البياني يتجه إلى اليمين وإلى الأعلى.

وظيفة يتناقصعلى المجموعة ، إذا كان هناك أي و ، ينتمون إلى الكثير, وعدم المساواة يعني عدم المساواة .

لوظيفة تناقصية قيمة أعلىيتوافق مع القيمة الأصغر. الرسم البياني يذهب إلى اليمين وإلى الأسفل.

في الشكل الذي لدينا، تزيد الدالة على الفترة وتتناقص على الفترات و.

دعونا نحدد ما هو عليه الحد الأقصى والحد الأدنى من نقاط الوظيفة.

النقطة القصوى- وهي نقطة داخلية من مجال التعريف، بحيث تكون قيمة الدالة فيها أكبر منها في جميع النقاط القريبة منها بدرجة كافية.
بمعنى آخر، النقطة القصوى هي النقطة التي تكون عندها قيمة الدالة أكثرمنه في الدول المجاورة. هذا "تل" محلي على الرسم البياني.

في الشكل لدينا هناك نقطة قصوى.

النقطة الدنيا- نقطة داخلية من مجال التعريف بحيث تكون قيمة الدالة فيها أقل منها في جميع النقاط القريبة منها بدرجة كافية.
أي أن النقطة الدنيا تكون بحيث تكون قيمة الدالة فيها أقل من قيمة جيرانها. هذه "ثغرة" محلية على الرسم البياني.

في الشكل لدينا هناك نقطة الحد الأدنى.

النقطة هي الحدود. انها ليست نقطة داخليةمجال التعريف وبالتالي لا يتناسب مع تعريف النقطة القصوى. بعد كل شيء، ليس لديها جيران على اليسار. وبنفس الطريقة، لا يمكن أن يكون هناك نقطة دنيا على الرسم البياني لدينا.

يتم استدعاء الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط معًا النقاط القصوى للوظيفة. في حالتنا هذا هو و .

ماذا تفعل إذا كنت بحاجة إلى العثور على، على سبيل المثال، وظيفة الحد الأدنىعلى الجزء؟ في في هذه الحالةإجابة: . لأن وظيفة الحد الأدنىهي قيمته عند النقطة الدنيا.

وبالمثل، فإن الحد الأقصى لوظيفتنا هو . يتم الوصول إليه عند النقطة.

يمكننا القول أن الحدود القصوى للدالة تساوي و .

في بعض الأحيان تتطلب المشاكل العثور عليها أكبر وأصغر قيم للدالةعلى شريحة معينة. أنها لا تتزامن بالضرورة مع التطرف.

في حالتنا هذه أصغر قيمة دالةعلى المقطع يساوي ويتزامن مع الحد الأدنى من الوظيفة. لكن قيمته العظمى في هذا الجزء تساوي . يتم الوصول إليه في الطرف الأيسر من الجزء.

على أية حال، يتم تحقيق القيم الأكبر والأصغر للدالة المستمرة على قطعة ما إما عند أقصى النقاط أو عند نهايات القطعة.

كيفية العثور على أكبر وأصغر قيم دالة على قطعة؟

لهذا نحن نتبع خوارزمية معروفة:

1 . نجد وظائف ODZ.

2 . إيجاد مشتقة الدالة

3 . معادلة المشتقة بالصفر

4 . نجد الفترات التي يحتفظ خلالها المشتق بإشارته، ومنها نحدد فترات الزيادة والنقصان للدالة:

إذا كان مشتق الدالة في الفترة I هو 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} يزيد خلال هذه الفترة.

إذا كنت مشتقًا للدالة في الفترة، فستكون الدالة يتناقص خلال هذه الفترة.

5 . نجد الحد الأقصى والحد الأدنى من نقاط الوظيفة.

في عند النقطة القصوى للدالة، تشير تغييرات المشتقة من "+" إلى "-".

في النقطة الدنيا للوظيفةعلامة التغييرات المشتقة من "-" إلى "+".

6 . نجد قيمة الدالة في نهايات القطعة،

• ثم نقارن قيمة الدالة في نهايات المقطع وعند النقاط القصوى و اختر أكبرها إذا كنت تريد العثور عليها أعلى قيمةالمهام
• أو قارن قيمة الدالة في نهايات المقطع وفي الحد الأدنى من النقاط و اختر أصغرها إذا كنت تريد العثور على أصغر قيمة للدالة

ومع ذلك، اعتمادًا على كيفية تصرف الوظيفة على المقطع، يمكن تقليل هذه الخوارزمية بشكل كبير.

النظر في الوظيفة . يبدو الرسم البياني لهذه الوظيفة كما يلي:

دعونا نلقي نظرة على عدة أمثلة لحل المشكلات من فتح البنكالمهام ل

1 . المهمة ب15 (رقم 26695)

على الجزء.

1. الوظيفة محددة للجميع القيم الحقيقية X

من الواضح أن هذه المعادلة ليس لها حلول، والمشتقة موجبة لجميع قيم x. وبالتالي، تزيد الدالة وتأخذ القيمة الأكبر عند الطرف الأيمن من الفترة، أي عند x=0.

الجواب: 5.

2 . المهمة ب15 (رقم 26702)

أوجد أكبر قيمة للدالة على الجزء.

1. وظائف ODZ عنوان = "x(pi)/2+(pi)k، k(in)(bbZ)">!}

المشتق يساوي الصفر عند ، ومع ذلك، عند هذه النقاط لا يتغير الإشارة:

لذلك، العنوان = "3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} يزيد ويأخذ القيمة الأكبر في الطرف الأيمن من الفاصل الزمني، عند .

لتوضيح سبب عدم تغير إشارة المشتقة، نقوم بتحويل التعبير الخاص بالمشتقة كما يلي:

Title="y^(رئيسي)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

الجواب: 5.

3. المهمة ب15 (رقم 26708)

أوجد أصغر قيمة للدالة في القطعة.

1. وظائف ODZ: العنوان = "x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

لنضع جذور هذه المعادلة على الدائرة المثلثية.

يحتوي الفاصل الزمني على رقمين: و

دعونا نضع لافتات. للقيام بذلك، نحدد إشارة المشتقة عند النقطة x=0: . عند المرور عبر النقاط و، علامة التغييرات المشتقة.

دعونا نصور التغير في علامات مشتق الدالة على خط الإحداثيات:

من الواضح أن النقطة هي نقطة الحد الأدنى (التي تشير عندها التغييرات المشتقة من "-" إلى "+")، وللعثور على أصغر قيمة للدالة على المقطع، تحتاج إلى مقارنة قيم الدالة عند الحد الأدنى للنقطة وفي الطرف الأيسر من المقطع، .

أكبر وأصغر قيمة للدالة

القيمة الكبرى للدالة هي الأكبر، والقيمة الأصغر هي الأصغر بين جميع قيمها.

يمكن أن تحتوي الدالة على قيمة واحدة أكبر وقيمة أصغر واحدة فقط، أو قد لا تحتوي على أي قيمة على الإطلاق. العثور على أكبر وأصغر القيم وظائف مستمرةيعتمد على الخصائص التالية لهذه الوظائف:

1) إذا كانت الدالة y=f(x) في فترة معينة (محدودة أو لا نهائية) متصلة ولها حد أقصى واحد فقط وإذا كانت هذه قيمة قصوى (أدنى) فستكون أكبر (أصغر) قيمة للدالة في هذه الفترة.

2) إذا كانت الدالة f(x) متصلة على مقطع معين، فمن الضروري أن يكون لها القيم الأكبر والأصغر على هذا المقطع. يتم الوصول إلى هذه القيم إما عند النقاط القصوى الموجودة داخل المقطع أو عند حدود هذا المقطع.

للعثور على أكبر وأصغر القيم في المقطع، يوصى باستخدام المخطط التالي:

1. أوجد المشتقة.

2. ابحث عن النقاط الحرجة للدالة التي تكون عندها =0 أو غير موجودة.

3. أوجد قيم الدالة عند النقاط الحرجة وفي نهايات القطعة وحدد منها أكبر f max وأصغر f max.

عندما تقرر المشاكل التطبيقية، وخاصة التحسين، مهملديك مهام العثور على أكبر وأصغر القيم (الحد الأقصى العالمي والحد الأدنى العالمي) للدالة في الفاصل الزمني X. لحل مثل هذه المشكلات، ينبغي للمرء، بناءً على الشرط، تحديد متغير مستقل والتعبير عن القيمة قيد الدراسة من خلال هذا المتغير. ثم ابحث عن القيمة الأكبر أو الأصغر المطلوبة للدالة الناتجة. في هذه الحالة، يتم تحديد الفاصل الزمني لتغير المتغير المستقل، والذي يمكن أن يكون محدودًا أو لا نهائيًا، أيضًا من خلال شروط المشكلة.

مثال.خزان على شكل قمة مفتوحة متوازي مستطيلمع قاع مربع، تحتاج إلى القصدير من الداخل. ما هي أبعاد الخزان إذا كانت سعته 108 لتر؟ الماء بحيث تكون تكلفة تعليبه ضئيلة؟

حل.ستكون تكلفة طلاء الخزان بالقصدير ضئيلة إذا كانت مساحة سطحه ضئيلة بالنسبة لسعة معينة. دعونا نشير بواسطة dm إلى جانب القاعدة، b dm إلى ارتفاع الخزان. إذن مساحة سطحه S تساوي

و

تحدد العلاقة الناتجة العلاقة بين مساحة سطح الخزان S (الوظيفة) وجانب القاعدة (الوسيطة). دعونا نتفحص الدالة S لمعرفة الحد الأقصى. لنجد المشتقة الأولى ونساويها بالصفر ونحل المعادلة الناتجة:

وبالتالي أ = 6. (أ) > 0 لـ أ > 6، (أ)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

مثال. العثور على أكبر وأصغر قيم للدالة على الفاصل الزمني.

حل: وظيفة محددةمستمرة على خط الأعداد بأكمله. مشتق من وظيفة

مشتق ل و ل. لنحسب قيم الدالة في هذه النقاط:

.

قيم الدالة في نهايات الفترة المحددة متساوية. ولذلك، فإن أكبر قيمة للدالة تساوي at، وأصغر قيمة للدالة تساوي at.

أسئلة الاختبار الذاتي

1. قم بصياغة قاعدة L'Hopital للكشف عن أوجه عدم اليقين في النموذج. قائمة أنواع مختلفةحالات عدم اليقين التي يمكن استخدام قاعدة L'Hopital فيها.

2. صياغة علامات الزيادة والنقصان الدالة.

3. تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى للوظيفة.

4. صياغة الشرط الضروري لوجود الحد الأقصى.

5. ما هي قيم الوسيطة (أي النقاط) التي تسمى حرجة؟ كيف تجد هذه النقاط؟

6. ما هي العلامات الكافية لوجود أقصى الدالة؟ الخطوط العريضة لخطة لدراسة الدالة في أقصى الحدود باستخدام المشتقة الأولى.

7. الخطوط العريضة لمخطط لدراسة وظيفة في أقصى الحدود باستخدام المشتق الثاني.

8. تعريف التحدب وتقعر المنحنى.

9. ما يسمى نقطة انعطاف الرسم البياني للدالة؟ أشر إلى طريقة العثور على هذه النقاط.

10. صياغة العلامات الضرورية والكافية للتحدب وتقعر المنحنى على مقطع معين.

11. تحديد الخط المقارب للمنحنى. كيفية العثور على الرأسي والأفقي و الخطوط المقاربة المائلةالرسومات الوظيفية؟

12. الخطوط العريضة المخطط العامالبحث عن وظيفة ورسم الرسم البياني لها.

13. قم بصياغة قاعدة للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة في فترة زمنية معينة.

تتضمن الخوارزمية القياسية لحل مثل هذه المشكلات، بعد العثور على أصفار الدالة، تحديد علامات المشتق على الفواصل الزمنية. ثم يتم حساب القيم عند النقاط القصوى (أو الدنيا) الموجودة وعند حدود الفاصل الزمني، اعتمادًا على السؤال الموجود في الحالة.

أنصحك أن تفعل الأشياء بشكل مختلف قليلاً. لماذا؟ لقد كتبت عن هذا.

أقترح حل مثل هذه المشاكل على النحو التالي:

1. أوجد المشتقة.
2. أوجد أصفار المشتقة.
3. تحديد أي منهم ينتمي الفاصل الزمني المحدد.
4. نحسب قيم الدالة عند حدود الفاصل ونقاط الخطوة 3.
5. نستنتج (الإجابة على السؤال المطروح).

أثناء حل الأمثلة المقدمة، لم يتم النظر في الحل بالتفصيل المعادلات التربيعية، يجب أن تكون قادرًا على القيام بذلك. وينبغي أن يعرفوا أيضا.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة:

77422. أوجد أكبر قيمة للدالة y=x 3 –3x+4 على المقطع [–2;0].

لنجد أصفار المشتقة:

تنتمي النقطة x = –1 إلى الفاصل الزمني المحدد في الشرط.

نحسب قيم الدالة عند النقاط -2 و -1 و0:

أكبر قيمة للدالة هي 6.

الجواب: 6

77425. أوجد أصغر قيمة للدالة y = x 3 – 3x 2 + 2 على القطعة.

لنجد مشتقة الدالة المعطاة:

لنجد أصفار المشتقة:

الفاصل الزمني المحدد في الشرط يحتوي على النقطة x = 2.

نحسب قيم الدالة عند النقاط 1 و 2 و 4:

أصغر قيمة للدالة هي -2.

الجواب: -2

77426. أوجد أكبر قيمة للدالة y = x 3 – 6x 2 على القطعة [–3;3].

لنجد مشتقة الدالة المعطاة:

لنجد أصفار المشتقة:

النقطة x = 0 تنتمي إلى الفاصل الزمني المحدد في الشرط.

نحسب قيم الدالة عند النقاط –3 و0 و3:

أصغر قيمة للدالة هي 0.

الجواب: 0

77429. أوجد أصغر قيمة للدالة y = x 3 – 2x 2 + x +3 على القطعة.

لنجد مشتقة الدالة المعطاة:

3س 2 - 4س + 1 = 0

نحصل على الجذور: × 1 = 1 × 1 = 1/3.

الفاصل الزمني المحدد في الشرط يحتوي فقط على x = 1.

لنجد قيم الوظيفة عند النقطتين 1 و 4:

لقد وجدنا أن أصغر قيمة للدالة هي 3.

الجواب: 3

77430. أوجد أكبر قيمة للدالة y = x 3 + 2x 2 + x + 3 في القطعة [- 4; -1].

لنجد مشتقة الدالة المعطاة:

دعونا نجد أصفار المشتقة ونحل المعادلة التربيعية:

3س 2 + 4س + 1 = 0

دعونا نحصل على الجذور:

ينتمي الجذر x = –1 إلى الفاصل الزمني المحدد في الشرط.

نجد قيم الدالة عند النقاط –4، –1، –1/3، و1:

لقد وجدنا أن أكبر قيمة للدالة هي 3.

الجواب: 3

77433. أوجد أصغر قيمة للدالة y = x 3 – x 2 – 40x +3 على القطعة.

لنجد مشتقة الدالة المعطاة:

دعونا نجد أصفار المشتقة ونحل المعادلة التربيعية:

3س2 – 2س – 40 = 0

دعونا نحصل على الجذور:

الفاصل الزمني المحدد في الشرط يحتوي على الجذر x = 4.

ابحث عن قيم الوظيفة عند النقطتين 0 و 4:

لقد وجدنا أن أصغر قيمة للدالة هي -109.

الجواب: -109

دعونا نفكر في طريقة لتحديد أكبر وأصغر قيم للوظائف بدون مشتق. يمكن استخدام هذا النهج إذا كان لديك مشاكل كبيرة. المبدأ بسيط - نحن نستبدل جميع القيم الصحيحة من الفاصل الزمني في الدالة (الحقيقة هي أن الإجابة في جميع هذه النماذج الأولية هي عدد صحيح).

77437. أوجد أصغر قيمة للدالة y=7+12x–x 3 على القطعة [–2;2].

استبدال النقاط من -2 إلى 2: عرض الحل

77434. أوجد أكبر قيمة للدالة y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 في القطعة [–2;0].

هذا كل شئ. كل التوفيق لك!

مع خالص التقدير، الكسندر كروتيتسكيخ.

ملاحظة: سأكون ممتنًا لو أخبرتني عن الموقع على الشبكات الاجتماعية.

ما هو الحد الأقصى للدالة وما هو الشرط الضروري لوجود الحد الأقصى؟

الحد الأقصى للدالة هو الحد الأقصى والأصغر للدالة.

المتطلبات المسبقةالحد الأقصى والأدنى (الأقصى) للدالة هما كما يلي: إذا كانت الدالة f(x) لها حد أقصى عند النقطة x = a، عند هذه النقطة يكون المشتق إما صفرًا أو لا نهائيًا أو غير موجود.

وهذا الشرط ضروري ولكنه غير كاف. المشتق عند النقطة x = a يمكن أن يصل إلى الصفر أو اللانهاية أو لا يوجد بدون أن يكون للدالة حد أقصى عند هذه النقطة.

ما هو الشرط الكافي لأقصى الدالة (الحد الأقصى أو الأدنى)؟

الشرط الأول:

إذا كان المشتق f?(x) على مقربة كافية من النقطة x = a موجبًا على يسار a وسالبًا على يمين a، فعند النقطة x = a تكون الدالة f(x) أقصى

إذا كان المشتق f?(x) على مقربة كافية من النقطة x = a سالبًا على يسار a وموجبًا على يمين a، فعند النقطة x = a تكون الدالة f(x) الحد الأدنىبشرط أن تكون الدالة f(x) هنا مستمرة.

بدلا من ذلك، يمكنك استخدام الخيار الثاني شرط كافأقصى الدالة:

دع عند النقطة x = a المشتق الأول f?(x) يختفي؛ إذا كانت المشتقة الثانية f??(a) سالبة، فإن الدالة f(x) لها قيمة عظمى عند النقطة x = a، وإذا كانت موجبة، فإن لها قيمة صغرى.

ما هي النقطة الحرجة للدالة وكيفية العثور عليها؟

هذه هي قيمة وسيطة الدالة التي يكون للدالة عندها حد أقصى (أي الحد الأقصى أو الحد الأدنى). للعثور عليه تحتاج العثور على المشتقةالدالة f?(x) وتساويها بالصفر، حل المعادلة f?(x) = 0. جذور هذه المعادلة، وكذلك تلك النقاط التي لا يوجد عندها مشتق هذه الوظيفة، هي نقاط حرجة، أي قيم الوسيطة التي يمكن أن يكون هناك حد متطرف. يمكن التعرف عليهم بسهولة من خلال النظر رسم بياني مشتق: نحن مهتمون بقيم الوسيطة التي يتقاطع عندها الرسم البياني للدالة مع محور الإحداثي المحوري (محور الثور) وتلك التي يعاني فيها الرسم البياني من انقطاعات.

على سبيل المثال، دعونا نجد أقصى القطع المكافئ.

الدالة ص(س) = 3x2 + 2x - 50.

مشتقة الدالة: y?(x) = 6x + 2

حل المعادلة: ص؟(س) = 0

6س + 2 = 0، 6س = -2، س = -2/6 = -1/3

في هذه الحالة، النقطة الحرجة هي x0=-1/3. مع قيمة الوسيطة هذه تمتلك الوظيفة أقصى. له يجد، استبدل الرقم الموجود في تعبير الدالة بدلاً من "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

كيفية تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة، أي. أكبر وأصغر قيمها؟

إذا تغيرت إشارة المشتقة عند المرور بالنقطة الحرجة x0 من "زائد" إلى "ناقص" فإن x0 تكون النقطة القصوى; إذا تغيرت إشارة المشتقة من ناقص إلى زائد، فإن x0 تكون نقطة الحد الأدنى; إذا لم تتغير الإشارة، فعند النقطة x0 لا يوجد حد أقصى ولا حد أدنى.

على سبيل المثال يعتبر:

دعونا أعتبر قيمة تعسفيةحجة على يسار نقطة حرجة: س = -1

عند x = -1، قيمة المشتق ستكون y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (أي الإشارة "ناقص").

الآن نأخذ قيمة عشوائية للوسيطة الموجودة على يمين النقطة الحرجة: x = 1

عند x = 1، ستكون قيمة المشتقة y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (أي الإشارة "زائد").

كما ترون، تغيرت إشارة المشتقة من ناقص إلى زائد عند المرور بالنقطة الحرجة. هذا يعني أنه عند القيمة الحرجة x0 لدينا نقطة دنيا.

أكبر وأصغر قيمة للدالة على الفاصل الزمني(على مقطع ما) تم العثور عليها باستخدام نفس الإجراء، مع الأخذ في الاعتبار فقط حقيقة أنه ربما لن تقع جميع النقاط الحرجة ضمن الفاصل الزمني المحدد. يجب استبعاد تلك النقاط الحرجة التي تقع خارج الفاصل الزمني من الاعتبار. إذا كانت هناك نقطة حرجة واحدة فقط داخل الفترة، فسيكون لها إما قيمة عظمى أو صغرى. في هذه الحالة، لتحديد القيم الأكبر والأصغر للدالة، نأخذ في الاعتبار أيضًا قيم الدالة في نهايات الفترة.

على سبيل المثال، دعونا نجد القيم الأكبر والأصغر للدالة

ص(س) = 3الخطيئة(س) - 0.5س

على فترات:

إذن مشتقة الدالة هي

ص?(س) = 3cos(x) - 0.5

نحل المعادلة 3cos(x) - 0.5 = 0

كوس (س) = 0.5/3 = 0.16667

س = ± أركوس (0.16667) + 2πك.

نجد النقاط الحرجة على الفاصل الزمني [-9؛ 9]:

x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (غير متضمن في الفاصل الزمني)

س = -أركوس(0.16667) - 2π*1 = -7.687

س = أركوس (0.16667) - 2π*1 = -4.88

س = -أركوس(0.16667) + 2π*0 = -1.403

س = أركوس (0.16667) + 2π*0 = 1.403

س = -أركوس (0.16667) + 2π*1 = 4.88

س = قوس (0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (غير متضمنة في الفاصل الزمني)

نجد قيم الدالة في القيم الحرجةدعوى:

ص(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

ص(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

ص(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

ص(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

ص(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

ص(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

يمكن ملاحظة ذلك في الفاصل الزمني [-9؛ 9] الدالة لها أكبر قيمة عند x = -4.88:

س = -4.88، ص = 5.398،

والأصغر - عند x = 4.88:

س = 4.88، ص = -5.398.

على الفاصل الزمني [-6؛ -3] لدينا نقطة حرجة واحدة فقط: x = -4.88. قيمة الدالة عند x = -4.88 تساوي y = 5.398.

أوجد قيمة الدالة في نهايات الفترة:

ص(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

ص(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

على الفاصل الزمني [-6؛ -3] لدينا القيمة الأكبر للدالة

ص = 5.398 عند س = -4.88

أصغر قيمة -

ص = 1.077 عند س = -3

كيفية العثور على نقاط انعطاف الرسم البياني للدالة وتحديد الجوانب المحدبة والمقعرة؟

للعثور على جميع نقاط انعطاف الخط y = f(x)، تحتاج إلى العثور على المشتق الثاني، ومساواته بالصفر (حل المعادلة) واختبار جميع قيم x التي يكون المشتق الثاني فيها صفرًا، لانهائي أو غير موجود. إذا تم تغيير المشتق الثاني عند المرور عبر إحدى هذه القيم، فإن الرسم البياني للدالة يكون له انعطاف عند هذه النقطة. إذا لم يتغير فلا يوجد انحناء.

جذور المعادلة و؟ (x) = 0، بالإضافة إلى نقاط الانقطاع المحتملة للدالة والمشتق الثاني، تقسم مجال تعريف الدالة إلى عدد من الفواصل الزمنية. يتم تحديد التحدب في كل فترة من فتراتها بواسطة إشارة المشتقة الثانية. إذا كانت المشتقة الثانية عند نقطة ما على الفترة قيد الدراسة موجبة، فإن المستقيم y = f(x) مقعر لأعلى، وإذا كان سالبًا، فهو لأسفل.

كيفية العثور على الحدود القصوى لدالة من متغيرين؟

للعثور على الحدود القصوى للدالة f(x,y)، القابلة للتفاضل في مجال مواصفاتها، تحتاج إلى:

1) العثور على النقاط الحرجة، ولهذا - حل نظام المعادلات

fx؟ (س، ص) = 0، فو؟ (س، ص) = 0

2) لكل نقطة حرجة P0(a;b) تحقق مما إذا كانت إشارة الفرق تظل دون تغيير

لجميع النقاط (x;y) قريبة بدرجة كافية من P0. إذا ظل الفرق موجبًا، فعند النقطة P0 لدينا حد أدنى، وإذا كان سالبًا، فلدينا حد أقصى. إذا لم يحتفظ الفرق بإشارته، فلا يوجد حد أقصى عند النقطة P0.

يتم تحديد الحدود القصوى للوظيفة بالمثل أكثرالحجج.