نظرية. دع الوظيفة س=φ(ر)مستمر عند نقطة ما أ، والوظيفة ص = و (س)مستمر عند نقطة ما ب=φ(أ). ثم الوظيفة المعقدة ص=و[φ(ر)]=F(ر)مستمر عند نقطة ما أ.

يترك س=φ(ر)و ص = و (س)- أبسط الدوال الأولية، مع العديد من القيم (خ)المهام س=φ(ر)هو نطاق الوظيفة ص = و (س). كما نعلم، فإن الدوال الأولية تكون مستمرة عند كل نقطة من المجال المعطى. لذلك، وفقا للنظرية السابقة، وظيفة معقدة ص=و(φ(ر))أي أن تراكب وظيفتين أوليتين يكون مستمرًا. على سبيل المثال، تكون الدالة مستمرة عند أي نقطة س ≠ 0كدالة معقدة لوظيفتين أساسيتين س = ر -1و ص = الخطيئة س. وظيفة أيضا ذ = خطيئة سمستمر في أي نقطة في الفواصل الزمنية (2كπ،(2ك+1)π), ك ∈ ض (الخطيئة س> 0).

تعريف.دع الدالة y = f(x) يتم تعريفها عند النقطة x0 وبعض المناطق المجاورة لها. يتم استدعاء الدالة y = f(x). مستمر عند النقطة x0، لو:

1. موجود
2. هذه النهاية تساوي قيمة الدالة عند النقطة x0:

عند تعريف الحد، تم التأكيد على أنه لا يجوز تعريف f(x) عند النقطة x0، وإذا تم تعريفه عند هذه النقطة، فإن قيمة f(x0) لا تشارك بأي شكل من الأشكال في تحديد الحد. عند تحديد الاستمرارية، من الأساسي وجود f(x0)، ويجب أن تكون هذه القيمة مساوية لـ lim f(x).

تعريف.دع الدالة y = f(x) يتم تعريفها عند النقطة x0 وبعض المناطق المجاورة لها. تسمى الدالة f(x) مستمرة عند نقطة x0 إذا كان لكل ε>0 رقم موجب δ بحيث يكون لكل x في حي δ للنقطة x0 (أي |x-x0|
يؤخذ في الاعتبار هنا أن قيمة الحد يجب أن تكون مساوية لـ f(x0)، وبالتالي، بالمقارنة مع تعريف الحد، تتم إزالة شرط ثقب الحي δ 0
دعونا نعطي تعريفًا آخر (مكافئًا للتعريف السابق) من حيث الزيادات. دعنا نشير إلى Δx = x - x0؛ وسوف نسمي هذه القيمة زيادة الوسيطة. منذ x->x0، ثم Δx->0، أي Δx - b.m. كمية (متناهية الصغر). دعونا نشير إلى Δу = f(x)-f(x0)، وسوف نسمي هذه القيمة زيادة الدالة، حيث |Δу| يجب أن يكون (للصغير بدرجة كافية |Δkh|) أقل من رقم تعسفي ε>0، ثم Δу- هو أيضًا b.m. قيمة، لذلك

تعريف.دع الدالة y = f(x) يتم تعريفها عند النقطة x0 وبعض المناطق المجاورة لها. يتم استدعاء الدالة f(x). مستمر عند النقطة x0، إذا كانت الزيادة المتناهية الصغر في الوسيطة تتوافق مع زيادة متناهية الصغر في الوظيفة.

تعريف.الدالة f(x) غير متصلة عند النقطة x0، تسمى متقطعةعند هذه النقطة.

تعريف.تسمى الدالة f(x) مستمرة على المجموعة X إذا كانت مستمرة عند كل نقطة من هذه المجموعة.

نظرية استمرارية المجموع، حاصل الضرب، حاصل القسمة

نظرية المرور إلى النهاية تحت إشارة الدالة المستمرة

نظرية استمرارية تراكب الدوال المستمرة

دع الدالة f(x) يتم تعريفها على فترة زمنية وتكون رتيبة في هذه الفترة. ثم f(x) يمكن أن تحتوي فقط على نقاط انقطاع من النوع الأول في هذا المقطع.

نظرية القيمة المتوسطة.إذا كانت الدالة f(x) متصلة على مقطع وعند نقطتين a و b (a أقل من b) تأخذ قيمًا غير متساوية A = f(a) ≠ B = f(b)، ثم لأي رقم C تقع بين A وB، هناك نقطة c ∈ تكون عندها قيمة الدالة تساوي C: f(c) = C.

نظرية حدود دالة مستمرة على فترة.إذا كانت الدالة f(x) متصلة على فترة ما، فإنها تكون محصورة في هذه الفترة.

نظرية الوصول إلى القيم الدنيا والقصوى.إذا كانت الدالة f(x) متصلة على فترة ما، فإنها تصل إلى حديها الأدنى والأعلى في هذه الفترة.

نظرية استمرارية الدالة العكسية.دع الدالة y=f(x) تكون مستمرة ومتزايدة (تتناقصية) بشكل صارم على الفترة [a,b]. ثم توجد على المقطع دالة عكسية x = g(y)، كما أنها تزيد (تتناقص) بشكل رتيب ومستمر.

استمرارية الوظيفة. نقاط الانهيار.

الثور يمشي ويتمايل ويتنهد وهو يمشي:
- أوه، اللوحة تنفد، والآن سأسقط!

سنتناول في هذا الدرس مفهوم استمرارية الدالة وتصنيف نقاط الانقطاع ومشكلة عملية شائعة دراسات استمرارية الوظائف. من اسم الموضوع، يخمن الكثيرون بشكل حدسي ما سيتم مناقشته ويعتقدون أن المادة بسيطة للغاية. هذا صحيح. لكن المهام البسيطة هي التي تُعاقب في أغلب الأحيان بسبب الإهمال والنهج السطحي لحلها. لذلك أنصحك بدراسة المقالة بعناية فائقة والتعرف على كل التفاصيل الدقيقة والتقنيات.

ما الذي تحتاج إلى معرفته وتكون قادرًا على فعله؟ليس كثيرا. لكي تتعلم الدرس جيدًا، عليك أن تفهم ما هو عليه حد الوظيفة. بالنسبة للقراء ذوي المستوى المنخفض من الإعداد، يكفي فهم المقال حدود الوظيفة. أمثلة على الحلولوانظر إلى المعنى الهندسي للحد الموجود في الدليل الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الأولية. ومن المستحسن أيضًا أن تتعرف عليها التحولات الهندسية للرسوم البيانية، نظرًا لأن الممارسة في معظم الحالات تتضمن إنشاء رسم. التوقعات متفائلة للجميع، وحتى الغلاية الكاملة ستكون قادرة على التعامل مع المهمة بمفردها خلال الساعة أو الساعتين التاليتين!

استمرارية الوظيفة. نقاط التوقف وتصنيفها

مفهوم استمرارية الوظيفة

لنفكر في دالة متصلة على خط الأعداد بالكامل:

أو لنقولها بشكل أكثر إيجازًا، الدالة متصلة على (مجموعة الأعداد الحقيقية).

ما هو المعيار "الضيق الأفق" للاستمرارية؟ من الواضح أنه يمكن رسم الرسم البياني للدالة المستمرة دون رفع القلم الرصاص عن الورقة.

وفي هذه الحالة، يجب التمييز بوضوح بين مفهومين بسيطين: مجال الوظيفةو استمرارية الوظيفة. على العموم إنه ليس نفس الشيء. على سبيل المثال:

يتم تعريف هذه الدالة على خط الأعداد بأكمله، أي لـ الجميعمعنى "x" له معناه الخاص "y". على وجه الخصوص، إذا، ثم. لاحظ أن النقطة الأخرى موضوعة بعلامات ترقيم، لأنه من خلال تعريف الدالة، يجب أن تتوافق قيمة الوسيطة معها الشيء الوحيدقيمة الوظيفة. هكذا، اِختِصاصوظيفتنا : .

لكن هذه الوظيفة ليست مستمرة!ومن الواضح تمامًا أنها تعاني في هذه المرحلة فجوة. المصطلح أيضًا واضح ومرئي تمامًا، هنا يجب أن يتم تمزيق قلم الرصاص من الورقة على أي حال. بعد ذلك بقليل سننظر في تصنيف نقاط التوقف.

استمرارية الدالة عند نقطة وعلى فترة

في مسألة رياضية معينة، يمكننا التحدث عن استمرارية دالة عند نقطة ما، أو استمرارية دالة على فترة، أو نصف فاصل، أو استمرارية دالة على قطعة. إنه، لا يوجد "مجرد استمرارية"- يمكن أن تكون الوظيفة مستمرة في مكان ما. و"لبنة البناء" الأساسية لكل شيء آخر هي استمرارية الوظيفة عند هذه النقطة .

تعطي نظرية التحليل الرياضي تعريفا لاستمرارية الدالة عند نقطة باستخدام مجاورتي “دلتا” و”إبسيلون”، ولكن عمليا هناك تعريف مختلف في الاستخدام، والذي سنوليه اهتماما وثيقا.

أولا دعونا نتذكر حدود من جانب واحدالذي اقتحم حياتنا في الدرس الأول حول الرسوم البيانية الوظيفية. فكر في موقف يومي:

إذا اقتربنا من المحور إلى هذه النقطة غادر(السهم الأحمر)، فإن القيم المقابلة لـ "الألعاب" ستمتد على طول المحور إلى النقطة (السهم القرمزي). رياضيا، تم إصلاح هذه الحقيقة باستخدام الحد الأيسر:

انتبه إلى الإدخال (يقرأ "x يميل إلى ka على اليسار"). يرمز "المضاف" "ناقص صفر". ، وهذا يعني في الأساس أننا نقترب من الرقم من الجانب الأيسر.

وبالمثل، إذا اقتربت من النقطة "كا" على اليمين(السهم الأزرق)، فإن "الألعاب" ستصل إلى نفس القيمة، ولكن على طول السهم الأخضر، و الحد الأيمنسيتم تنسيقها على النحو التالي:

"المضاف" يرمز ، ويقول الإدخال: "x يميل إلى ka على اليمين."

إذا كانت النهايات من جهة واحدة منتهية ومتساوية(كما في حالتنا): فسنقول أن هناك حدًا عامًا. الأمر بسيط، الحد العام هو "المعتاد" لدينا حد الوظيفة، يساوي عددا منتهيا.

لاحظ أنه إذا لم يتم تعريف الدالة عند (أخرج النقطة السوداء في فرع الرسم البياني)، فستظل الحسابات المذكورة أعلاه صالحة. كما سبق أن أشرنا عدة مرات، ولا سيما في المقال على وظائف متناهية الصغر، التعبيرات تعني أن "x" قريبة بلا حدوديقترب من هذه النقطة، في حين لا يهم، سواء تم تعريف الوظيفة نفسها عند نقطة معينة أم لا. سيتم العثور على مثال جيد في الفقرة التالية، عندما يتم تحليل الوظيفة.

تعريف: تكون الدالة متصلة عند نقطة ما إذا كانت نهاية الدالة عند نقطة معينة تساوي قيمة الدالة عند تلك النقطة: .

وتفصيل التعريف في المصطلحات التالية:

1) يجب تعريف الدالة عند النقطة، أي أن القيمة يجب أن تكون موجودة.

2) يجب أن يكون هناك حد عام للوظيفة. وكما ذكر أعلاه، فإن هذا يعني وجود ومساواة الحدود من جانب واحد: .

3) نهاية الدالة عند نقطة معينة يجب أن تكون مساوية لقيمة الدالة عند هذه النقطة: .

إذا انتهكت مرة على الأقلمن الشروط الثلاثة تفقد الدالة خاصية الاستمرارية عند النقطة .

استمرارية الدالة خلال فترة زمنيةتمت صياغتها ببراعة وبساطة شديدة: تكون الدالة متصلة على الفترة إذا كانت متصلة عند كل نقطة من الفترة المعطاة.

على وجه الخصوص، العديد من الدوال تكون متصلة على فترة لا نهائية، أي على مجموعة الأعداد الحقيقية. هذه دالة خطية، متعددة الحدود، أسية، جيب التمام، جيب التمام، إلخ. وبشكل عام، أي وظيفة أوليةالمستمر عليها مجال التعريفعلى سبيل المثال، تكون الدالة اللوغاريتمية متصلة على الفترة. نأمل أن تكون لديك الآن فكرة جيدة عن الشكل الذي تبدو عليه الرسوم البيانية للوظائف الأساسية. يمكن الحصول على معلومات أكثر تفصيلاً حول استمراريتها من رجل طيب يُدعى Fichtenholtz.

مع استمرارية الدالة على قطعة وأنصاف الفترات، فإن كل شيء ليس صعبًا أيضًا، ولكن من الأنسب التحدث عن ذلك في الفصل حول العثور على الحد الأدنى والحد الأقصى لقيم دالة على مقطع ماولكن في الوقت الحالي دعونا لا نقلق بشأن ذلك.

تصنيف نقاط التوقف

إن الحياة الرائعة للوظائف غنية بجميع أنواع النقاط الخاصة، ونقاط الاستراحة ليست سوى صفحة واحدة من صفحات سيرتهم الذاتية.

ملحوظة : في حالة حدوث ذلك، سأتناول نقطة أولية: نقطة الانهيار هي دائمًا نقطة واحدة- لا يوجد "عدة نقاط استراحة متتالية"، أي أنه لا يوجد شيء اسمه "فاصل فاصل".

وتنقسم هذه النقاط بدورها إلى مجموعتين كبيرتين: تمزقات من النوع الأولو تمزقات من النوع الثاني. ولكل نوع من أنواع الفجوات سماته المميزة، والتي سنتطرق إليها الآن:

نقطة الانقطاع من النوع الأول

إذا تم انتهاك شرط الاستمرارية عند نقطة ما وحدود من جانب واحد محدود ، ثم يطلق عليه نقطة انقطاع من النوع الأول.

لنبدأ بالحالة الأكثر تفاؤلاً. وفقًا للفكرة الأصلية للدرس، أردت أن أقول النظرية "بشكل عام"، ولكن من أجل إظهار حقيقة المادة، استقريت على الخيار بأحرف محددة.

إنه لأمر محزن، مثل صورة للعروسين على خلفية الشعلة الأبدية، ولكن اللقطة التالية مقبولة بشكل عام. دعونا نصور الرسم البياني للوظيفة في الرسم:


هذه الدالة متصلة على خط الأعداد بأكمله، باستثناء النقطة. وفي الواقع، لا يمكن أن يساوي المقام صفرًا. ومع ذلك، وفقا لمعنى الحد، نستطيع قريبة بلا حدودالاقتراب من "الصفر" من اليسار ومن اليمين، أي أن الحدود أحادية الجانب موجودة، ومن الواضح أنها تتزامن:
(تم استيفاء الشرط رقم 2 الخاص بالاستمرارية).

لكن الدالة لم يتم تعريفها عند هذه النقطة، لذلك تم انتهاك الشرط رقم 1 من الاستمرارية، وتعاني الدالة من عدم الاستمرارية عند هذه النقطة.

استراحة من هذا النوع (مع الموجود الحد العام) وتسمى فجوة قابلة للإصلاح. لماذا قابلة للإزالة؟ لأن الوظيفة يمكن إعادة تعريفعند نقطة الانهيار:

هل يبدو الأمر غريبا؟ ربما. لكن مثل هذا التدوين الوظيفي لا يتعارض مع أي شيء! والآن أغلقت الفجوة وأصبح الجميع سعداء:


لنجري فحصًا رسميًا:

2) - هناك حد عام؛
3)

وبذلك تتحقق الشروط الثلاثة، وتكون الدالة متصلة عند نقطة حسب تعريف استمرارية الدالة عند نقطة.

ومع ذلك، يمكن لمكرهي المتان تعريف الوظيفة بطريقة سيئة، على سبيل المثال :


ومن المثير للاهتمام أن شرطي الاستمرارية الأولين قد تم استيفاءهما هنا:
1) - يتم تعريف الوظيفة عند نقطة معينة؛
2) - هناك حد عام.

لكن الحد الثالث لم يتم تجاوزه: أي حد الدالة عند النقطة غير متساويقيمة دالة معينة عند نقطة معينة.

وبالتالي، عند نقطة ما تعاني الوظيفة من انقطاع.

الحالة الثانية الأكثر حزنا تسمى تمزق من النوع الأول مع قفزة. والحزن يثيره حدود من جانب واحد محدودة ومختلفة. يظهر مثال في الرسم الثاني للدرس. عادة ما تحدث مثل هذه الفجوة في وظائف محددة جزئيا، والتي سبق ذكرها في المقال حول التحولات الرسم البياني.

خذ بعين الاعتبار الدالة متعددة التعريف وسنكمل رسمها. كيفية بناء الرسم البياني؟ بسيط جدا. على نصف فاصل نرسم جزءًا من القطع المكافئ (الأخضر)، على فاصل زمني - قطعة خط مستقيم (أحمر) وعلى نصف فاصل - خط مستقيم (أزرق).

علاوة على ذلك، وبسبب المتباينة يتم تحديد قيمة الدالة التربيعية (النقطة الخضراء)، وبسبب المتباينة يتم تحديد قيمة الدالة الخطية (النقطة الزرقاء):

في الحالة الأكثر صعوبة، يجب عليك اللجوء إلى البناء نقطة بنقطة لكل جزء من الرسم البياني (انظر الأول درس حول الرسوم البيانية للوظائف).

الآن سنكون مهتمين فقط بهذه النقطة. دعونا نفحصها من أجل الاستمرارية:

2) دعونا نحسب الحدود من جانب واحد.

على اليسار لدينا قطعة خط أحمر، وبالتالي فإن الحد من الجانب الأيسر هو:

على اليمين يوجد الخط المستقيم الأزرق، والحد الأيمن:

ونتيجة لذلك، تلقينا أعداد محدودة، و هم غير متساوي. منذ حدود من جانب واحد محدودة ومختلفة: ، فإن وظيفتنا تتحمل انقطاع من النوع الأول مع قفزة.

من المنطقي أنه لا يمكن إزالة هذه الفجوة - فالوظيفة في الواقع لا يمكن تعريفها بشكل أكبر و"لصقها معًا"، كما في المثال السابق.

نقاط الانقطاع من النوع الثاني

عادةً ما يتم تصنيف جميع حالات التمزق الأخرى بشكل ماكر ضمن هذه الفئة. لن أدرج كل شيء، لأنه في الممارسة العملية، ستواجه 99٪ من المشاكل فجوة لا نهاية لها- عندما يكون الشخص أعسر أو أيمن، وفي أغلب الأحيان، يكون كلا الحدين لا نهائيين.

وبالطبع، الصورة الأكثر وضوحًا هي القطع الزائد عند النقطة صفر. هنا كلا الحدين من جانب واحد لا نهائيان: لذلك تعاني الدالة من انقطاع من النوع الثاني عند النقطة .

أحاول ملء مقالاتي بمحتوى متنوع قدر الإمكان، لذلك دعونا نلقي نظرة على الرسم البياني للوظيفة التي لم تتم مواجهتها بعد:

وفقًا للمخطط القياسي:

1) لم يتم تعريف الدالة في هذه المرحلة لأن المقام يذهب إلى الصفر.

بالطبع، يمكننا أن نستنتج على الفور أن الدالة تعاني من انقطاع عند النقطة، ولكن سيكون من الجيد تصنيف طبيعة الانقطاع، والذي غالبًا ما يتطلبه الشرط. لهذا:

اسمحوا لي أن أذكركم أننا نعني بالتسجيل عدد سلبي لا متناه، وتحت الإدخال - عدد موجب متناهية الصغر.

الحدود من جانب واحد لا نهائية، مما يعني أن الدالة تعاني من انقطاع من النوع الثاني عند النقطة . المحور y هو الخط المقارب الرأسيللرسم البياني.

ليس من غير المألوف وجود كلا النهايتين من جانب واحد، ولكن أحدهما فقط لانهائي، على سبيل المثال:

هذا هو الرسم البياني للوظيفة.

نحن ندرس نقطة الاستمرارية:

1) لم يتم تعريف الوظيفة في هذه المرحلة.

2) دعونا نحسب الحدود من جانب واحد:

سنتحدث عن طريقة حساب هذه الحدود أحادية الجانب في المثالين الأخيرين من المحاضرة، على الرغم من أن العديد من القراء قد رأوا كل شيء وخمنوه بالفعل.

الحد الأيسر محدود ويساوي الصفر (نحن "لا نذهب إلى النقطة نفسها")، لكن الحد الأيمن لا نهائي ويقترب الفرع البرتقالي من الرسم البياني من مسافة لا نهائية الخط المقارب الرأسي، تعطى بالمعادلة (خط منقط أسود).

وبالتالي فإن الوظيفة تعاني انقطاع النوع الثانيعند نقطة .

أما بالنسبة للانقطاع من النوع الأول فيمكن تعريف الدالة عند نقطة الانقطاع نفسها. على سبيل المثال، لوظيفة متعددة التعريف لا تتردد في وضع نقطة سوداء غامقة عند أصل الإحداثيات. على اليمين فرع من القطع الزائد، والحد الأيمن لا نهائي. أعتقد أن الجميع تقريبًا لديه فكرة عما يبدو عليه هذا الرسم البياني.

ما كان الجميع يتطلع إليه:

كيفية فحص وظيفة للاستمرارية؟

يتم إجراء دراسة دالة الاستمرارية عند نقطة ما وفقًا لمخطط روتيني محدد بالفعل، والذي يتكون من التحقق من ثلاثة شروط للاستمرارية:

مثال 1

استكشاف الوظيفة

حل:

1) النقطة الوحيدة داخل النطاق هي حيث لم يتم تعريف الوظيفة.

2) دعونا نحسب الحدود من جانب واحد:

الحدود من جانب واحد محدودة ومتساوية.

وبالتالي، عند هذه النقطة تعاني الوظيفة من انقطاع قابل للإزالة.

كيف يبدو الرسم البياني لهذه الوظيفة؟

أود أن أبسط ، ويبدو أنه تم الحصول على قطع مكافئ عادي. لكنلم يتم تعريف الوظيفة الأصلية عند النقطة، لذلك مطلوب العبارة التالية:

لنقم بالرسم:

إجابة: تكون الدالة متصلة على خط الأعداد بأكمله باستثناء النقطة التي تعاني فيها من انقطاع قابل للإزالة.

يمكن تعريف الوظيفة بشكل أكبر بطريقة جيدة أو غير جيدة، ولكن وفقًا للشرط، فإن هذا غير مطلوب.

هل تقول أن هذا مثال بعيد المنال؟ مُطْلَقاً. لقد حدث هذا عشرات المرات في الممارسة العملية. تأتي جميع مهام الموقع تقريبًا من عمل واختبارات حقيقية مستقلة.

دعونا نتخلص من الوحدات المفضلة لدينا:

مثال 2

استكشاف الوظيفة من أجل الاستمرارية. تحديد طبيعة الانقطاعات الوظيفية إن وجدت. نفذ الرسم.

حل: لسبب ما، يشعر الطلاب بالخوف ولا يحبون الوظائف التي تحتوي على وحدة نمطية، على الرغم من عدم وجود شيء معقد فيها. لقد تطرقنا بالفعل إلى مثل هذه الأشياء قليلاً في الدرس. التحولات الهندسية للرسوم البيانية. وبما أن الوحدة غير سلبية، يتم توسيعها على النحو التالي: ، حيث "ألفا" هي بعض التعبيرات. في هذه الحالة، ويجب كتابة وظيفتنا بالقطعة:

ولكن يجب تقليل كسور كلا القطعتين بمقدار . التخفيض، كما في المثال السابق، لن يتم دون عواقب. لم يتم تعريف الدالة الأصلية عند هذه النقطة لأن المقام يصل إلى الصفر. لذلك، يجب على النظام بالإضافة إلى ذلك تحديد الشرط، وجعل عدم المساواة الأولى صارمة:

الآن عن تقنية اتخاذ القرار المفيدة جدًا: قبل الانتهاء من المهمة على المسودة، من المفيد إجراء رسم (بغض النظر عما إذا كانت الشروط مطلوبة أم لا). سيساعد ذلك، أولا، على رؤية نقاط الاستمرارية ونقاط الانقطاع على الفور، وثانيا، سوف يحميك بنسبة 100٪ من الأخطاء عند العثور على حدود من جانب واحد.

دعونا نفعل الرسم. وفقًا لحساباتنا، من الضروري رسم جزء من القطع المكافئ (اللون الأزرق) على يسار النقطة، وعلى اليمين - قطعة من القطع المكافئ (اللون الأحمر)، بينما لم يتم تعريف الوظيفة عند نقطة نفسها:

إذا كنت في شك، فخذ بعض قيم x وقم بتوصيلها بالوظيفة (تذكر أن الوحدة تدمر علامة الطرح المحتملة) وتحقق من الرسم البياني.

دعونا نفحص وظيفة الاستمرارية تحليليا:

1) الدالة غير محددة عند النقطة، لذلك يمكننا القول على الفور أنها غير متصلة عندها.

2) لنحدد طبيعة الانقطاع، وللقيام بذلك، نحسب الحدود من جانب واحد:

النهايات أحادية الجانب منتهية ومختلفة، مما يعني أن الدالة تعاني من انقطاع من النوع الأول مع القفز عند النقطة . لاحظ مرة أخرى أنه عند إيجاد الحدود، لا يهم ما إذا كانت الدالة عند نقطة التوقف محددة أم لا.

الآن كل ما تبقى هو نقل الرسم من المسودة (تم إجراؤه كما لو كان بمساعدة البحث ؛-)) وإكمال المهمة:

إجابة: تكون الدالة متصلة على خط الأعداد بأكمله باستثناء النقطة التي تعاني فيها من انقطاع من النوع الأول مع قفزة.

في بعض الأحيان يحتاجون إلى إشارة إضافية إلى قفزة التوقف. يتم حسابه ببساطة - من الحد الأيمن تحتاج إلى طرح الحد الأيسر: أي أنه عند نقطة الاستراحة قفزت وظيفتنا بمقدار وحدتين (كما تخبرنا علامة الطرح).

مثال 3

استكشاف الوظيفة من أجل الاستمرارية. تحديد طبيعة الانقطاعات الوظيفية إن وجدت. جعل الرسم.

هذا مثال يمكنك حله بنفسك، وهو نموذج للحل في نهاية الدرس.

دعنا ننتقل إلى الإصدار الأكثر شيوعًا وانتشارًا للمهمة، حيث تتكون الوظيفة من ثلاثة أجزاء:

مثال 4

فحص دالة للاستمرارية ورسم رسم بياني للوظيفة .

حل: من الواضح أن الأجزاء الثلاثة للدالة متصلة على الفواصل الزمنية المقابلة، لذلك يبقى التحقق من نقطتي "التقاطع" فقط بين القطع. أولاً، لنقم بعمل مسودة رسم، لقد علقت على تقنية البناء بتفاصيل كافية في الجزء الأول من المقالة. الشيء الوحيد هو أننا بحاجة إلى متابعة النقاط الفردية بعناية: بسبب عدم المساواة، تنتمي القيمة إلى الخط المستقيم (النقطة الخضراء)، وبسبب عدم المساواة، تنتمي القيمة إلى القطع المكافئ (النقطة الحمراء):


حسنًا، من حيث المبدأ، كل شيء واضح =) كل ما تبقى هو إضفاء الطابع الرسمي على القرار. لكل نقطة من نقطتي "الانضمام"، نتحقق بشكل قياسي من 3 شروط للاستمرارية:

أنا)نحن ندرس نقطة الاستمرارية

1)

النهايات أحادية الجانب منتهية ومختلفة، مما يعني أن الدالة تعاني من انقطاع من النوع الأول مع القفز عند النقطة .

دعونا نحسب قفزة التوقف كالفرق بين الحدين الأيمن والأيسر:
أي أن الرسم البياني قد ارتفع بمقدار وحدة واحدة.

ثانيا)نحن ندرس نقطة الاستمرارية

1) - يتم تعريف الوظيفة عند نقطة معينة.

2) البحث عن حدود من جانب واحد:

- النهايات من جهة واحدة منتهية ومتساوية، مما يعني أن هناك نهاية عامة.

3) - نهاية الدالة عند نقطة ما تساوي قيمة هذه الدالة عند نقطة معينة.

في المرحلة النهائية ننقل الرسم إلى النسخة النهائية وبعد ذلك نضع الوتر النهائي:

إجابة: تكون الدالة متصلة على خط الأعداد بأكمله، باستثناء النقطة التي تعاني فيها من انقطاع من النوع الأول مع قفزة.

مثال 5

فحص دالة للاستمرارية وإنشاء الرسم البياني الخاص بها .

هذا مثال للحل المستقل وحل قصير وعينة تقريبية للمشكلة في نهاية الدرس.

قد يتولد لديك انطباع بأن الدالة عند نقطة ما يجب أن تكون مستمرة، وعند نقطة أخرى يجب أن يكون هناك انقطاع. في الممارسة العملية، هذا ليس هو الحال دائما. حاول ألا تهمل الأمثلة المتبقية - سيكون هناك العديد من الميزات المثيرة للاهتمام والمهمة:

مثال 6

نظرا لوظيفة . التحقيق في وظيفة الاستمرارية عند النقاط. قم ببناء رسم بياني.

حل: ومرة ​​أخرى قم بتنفيذ الرسم على المسودة على الفور:

تكمن خصوصية هذا الرسم البياني في أن الدالة المتعددة التعريف تُعطى بواسطة معادلة محور الإحداثي السيني. هنا يتم رسم هذه المنطقة باللون الأخضر، ولكن في دفتر الملاحظات يتم تمييزها عادةً بالخط العريض باستخدام قلم رصاص بسيط. وبالطبع، لا ننسى كباشنا: القيمة تنتمي إلى فرع المماس (النقطة الحمراء)، والقيمة تنتمي إلى الخط المستقيم.

كل شيء واضح من الرسم - الوظيفة مستمرة على طول خط الأعداد بأكمله، ولا يبقى سوى إضفاء الطابع الرسمي على الحل، والذي يتم جلبه إلى الأتمتة الكاملة حرفيًا بعد 3-4 أمثلة مماثلة:

أنا)نحن ندرس نقطة الاستمرارية

1) - يتم تعريف الوظيفة عند نقطة معينة.

2) دعونا نحسب الحدود من جانب واحد:

مما يعني أن هناك حدًا عامًا.

فقط في حالة حدوث ذلك، دعني أذكرك بحقيقة تافهة: نهاية الثابت تساوي الثابت نفسه. في هذه الحالة، نهاية الصفر تساوي الصفر نفسه (الحد الأيسر).

3) - نهاية الدالة عند نقطة ما تساوي قيمة هذه الدالة عند نقطة معينة.

وبالتالي، تكون الدالة مستمرة عند نقطة ما حسب تعريف استمرارية الدالة عند نقطة ما.

ثانيا)نحن ندرس نقطة الاستمرارية

1) - يتم تعريف الوظيفة عند نقطة معينة.

2) البحث عن حدود من جانب واحد:

وهنا - نهاية الواحد تساوي الوحدة نفسها.

- هناك حد عام.

3) - نهاية الدالة عند نقطة ما تساوي قيمة هذه الدالة عند نقطة معينة.

وبالتالي، تكون الدالة مستمرة عند نقطة ما حسب تعريف استمرارية الدالة عند نقطة ما.

كالعادة، بعد البحث ننقل رسمنا إلى النسخة النهائية.

إجابة: الدالة مستمرة عند النقاط.

يرجى ملاحظة أنه في الحالة لم يطلب منا أي شيء عن فحص الدالة بأكملها للاستمرارية، وتعتبر صيغة رياضية جيدة لصياغتها دقيقة وواضحةالجواب على السؤال المطروح. بالمناسبة، إذا كانت الشروط لا تتطلب منك إنشاء رسم بياني، فلديك الحق الكامل في عدم بنائه (على الرغم من أن المعلم قد يجبرك على القيام بذلك لاحقًا).

"إعصار اللسان" الرياضي الصغير لحلها بنفسك:

مثال 7

نظرا لوظيفة . التحقيق في وظيفة الاستمرارية عند النقاط. تصنيف نقاط التوقف، إن وجدت. نفذ الرسم.

حاول "نطق" كل "الكلمات" بشكل صحيح =) وارسم الرسم البياني بشكل أكثر دقة ودقة، فلن يكون ذلك غير ضروري في كل مكان؛-)

كما تتذكر، أوصيت بإكمال الرسم على الفور كمسودة، ولكن من وقت لآخر تصادف أمثلة لا يمكنك فيها على الفور معرفة شكل الرسم البياني. لذلك، في عدد من الحالات، من المفيد أولاً العثور على حدود من جانب واحد وبعد ذلك فقط، بناءً على الدراسة، قم بتصوير الفروع. في المثالين الأخيرين، سنتعلم أيضًا تقنية حساب بعض النهايات أحادية الجانب:

مثال 8

فحص الدالة للاستمرارية وإنشاء الرسم البياني التخطيطي لها.

حل: النقاط السيئة واضحة: (يخفض مقام الأس إلى الصفر) و (يخفض مقام الكسر بأكمله إلى الصفر). ليس من الواضح كيف يبدو الرسم البياني لهذه الدالة، مما يعني أنه من الأفضل إجراء بعض الأبحاث أولاً.

تعريف
وظيفة و (خ)مُسَمًّى مستمر عند النقطة x 0 المجاورة لهذه النقطة، وإذا كان الحد x يميل إلى x 0 يساوي قيمة الدالة عند x 0 :
.

باستخدام تعريفات كوشي وهاين لنهاية الدالة، يمكننا أن نعطي تعريفات موسعة لاستمرارية الوظيفة عند نقطة ما .

يمكننا صياغة مفهوم الاستمرارية في من حيث الزيادات. وللقيام بذلك، قمنا بإدخال متغير جديد، وهو ما يسمى زيادة المتغير x عند النقطة. ثم تكون الدالة مستمرة عند النقطة if
.
دعونا نقدم وظيفة جديدة:
.
يسمونها زيادة الوظيفةعند نقطة .
.

ثم تكون الدالة مستمرة عند النقطة if
وظيفة و (خ)مُسَمًّى تعريف الاستمرارية على اليمين (يسار) 0 ، إذا تم تعريفه على بعض الأحياء اليمنى (الأيسرية) لهذه النقطة، وإذا كان الحد الأيمن (الأيسر) عند النقطة x 0 يساوي قيمة الدالة عند x 0 :
.

نظرية حدود دالة مستمرة
دع الدالة f (خ)مستمر عند النقطة x 0 . ثم هناك حي U (×0)، والتي تقتصر الوظيفة عليها.

نظرية الحفاظ على إشارة الدالة المستمرة
لتكن الدالة متصلة عند النقطة. وليكن لها قيمة موجبة (سلبية) عند هذه النقطة:
.
ثم هناك حي للنقطة التي تكون فيها الدالة قيمة موجبة (سلبية):
في .

الخصائص الحسابية للدوال المستمرة
دع الدوال تكون مستمرة عند هذه النقطة .
ثم الدوال، وتكون مستمرة عند هذه النقطة.
إذا كانت الدالة مستمرة عند النقطة .

خاصية الاستمرارية من اليسار إلى اليمين
تكون الدالة متصلة عند نقطة ما إذا وفقط إذا كانت متصلة على اليمين واليسار.

يتم تقديم إثباتات الخصائص في صفحة "خصائص الدوال المستمرة عند نقطة ما".

استمرارية وظيفة معقدة

نظرية الاستمرارية لوظيفة معقدة
لتكن الدالة متصلة عند النقطة. ولتكن الدالة متصلة عند النقطة.
إذن تكون الدالة المعقدة مستمرة عند النقطة.

حدود وظيفة معقدة

نظرية نهاية الدالة المستمرة للدالة
لتكن هناك نهاية للدالة عند ، وهي تساوي:
.
هنا النقطة ر 0 يمكن أن تكون محدودة أو بعيدة بلا حدود: .
ولتكن الدالة متصلة عند النقطة.
إذن هناك نهاية لدالة معقدة وهي تساوي:
.

نظرية نهاية دالة معقدة
دع الدالة لها حد وقم بتعيين حي مثقوب لنقطة ما على حي مثقوب لنقطة ما. ولتكن الدالة محددة على هذا الحي ولها حد لها.
وهنا النقاط النهائية أو البعيدة بلا حدود: . يمكن للأحياء والحدود المقابلة لها أن تكون ذات جانبين أو من جانب واحد.
إذن هناك نهاية لدالة معقدة وهي تساوي:
.

نقاط الاستراحة

تحديد نقطة الكسر
دع الدالة يتم تعريفها على بعض المناطق المثقوبة للنقطة. النقطة تسمى نقطة انقطاع الوظيفة، إذا تحقق أحد الشرطين:
1) غير محدد في ;
2) تم تعريفه عند، ولكنه ليس عند هذه النقطة.

تحديد نقطة الانقطاع من النوع الأول
النقطة تسمى نقطة انقطاع من النوع الأول، إذا كانت نقطة فاصل وهناك حدود محدودة من جانب واحد على اليسار واليمين:
.

تعريف القفزة الوظيفية
وظيفة القفز Δعند نقطة ما هو الفرق بين الحدين على اليمين واليسار
.

تحديد نقطة الكسر
النقطة تسمى نقطة انقطاع قابلة للإزالة، إذا كان هناك حد
,
لكن الدالة عند هذه النقطة إما غير محددة أو لا تساوي القيمة الحدية: .

وبالتالي، فإن نقطة الانقطاع القابل للإزالة هي نقطة الانقطاع من النوع الأول، والتي تكون عندها قفزة الدالة صفرًا.

تحديد نقطة الانقطاع من النوع الثاني
النقطة تسمى نقطة الانقطاع من النوع الثاني، إذا لم تكن نقطة انقطاع من النوع الأول. أي أنه إذا لم يكن هناك على الأقل نهاية من جانب واحد، أو على الأقل هناك نهاية من جانب واحد عند نقطة ما تساوي ما لا نهاية.

خصائص الدوال المستمرة على فترة

تعريف الدالة المستمرة على فترة
تسمى الدالة متصلة على فترة (at) إذا كانت متصلة عند جميع نقاط الفترة المفتوحة (at) وعند النقطتين a وb، على التوالي.

نظرية فايرستراس الأولى حول حدود دالة مستمرة على فترة
إذا كانت الدالة متصلة على فترة ما، فإنها تكون محصورة في هذه الفترة.

تحديد إمكانية تحقيق الحد الأقصى (الحد الأدنى)
تصل الدالة إلى الحد الأقصى (الحد الأدنى) في المجموعة إذا كان هناك وسيطة لها
للجميع.

تحديد إمكانية الوصول للوجه العلوي (السفلي).
تصل الدالة إلى حدها العلوي (الأدنى) في المجموعة إذا كانت هناك وسيطة لها
.

نظرية فايرستراس الثانية حول الحد الأقصى والأدنى للدالة المستمرة
تصل الدالة المستمرة على قطعة ما إلى حديها العلوي والسفلي عليها، أو، وهي نفسها، تصل إلى الحد الأقصى والأدنى لها على القطعة.

نظرية بولزانو-كوشي للقيمة المتوسطة
دع الدالة تكون مستمرة على القطعة. وليكن C رقمًا عشوائيًا يقع بين قيم الدالة في طرفي المقطع: و . ثم هناك نقطة لذلك
.

النتيجة الطبيعية 1
دع الدالة تكون مستمرة على القطعة. ودع قيم الدالة في نهايات المقطع لها علامات مختلفة: أو . ثم هناك نقطة تكون عندها قيمة الدالة تساوي صفرًا:
.

النتيجة الطبيعية 2
دع الدالة تكون مستمرة على القطعة. دعها تذهب.
في .

ثم تأخذ الدالة على الفاصل الزمني جميع القيم من هذه القيم فقط:

وظائف عكسية
تعريف الدالة العكسية
للجميع.
دع الوظيفة لها مجال التعريف X ومجموعة القيم Y. وليكن لها الخاصية: ثم بالنسبة لأي عنصر من المجموعة Y، يمكن ربط عنصر واحد فقط من المجموعة X به. تحدد هذه المراسلات وظيفة تسمىوظيفة عكسية
.

ل . تتم الإشارة إلى الدالة العكسية على النحو التالي:
;
ويترتب على ذلك من التعريف
للجميع.

للجميع ;
Lemma على الرتابة المتبادلة للوظائف المباشرة والعكسية

إذا كانت الدالة تزايدية (تناقصية) بشكل صارم، فهناك دالة عكسية تكون أيضًا تزايدية (تتناقصية) بشكل صارم.
الرسوم البيانية للوظائف المباشرة والعكسية متناظرة بالنسبة للخط المستقيم.

نظرية وجود واستمرارية دالة عكسية على فترة
لتكن الدالة مستمرة ومتزايدة (تناقصية) بشكل صارم على القطعة. ثم يتم تعريف الدالة العكسية والمستمرة على القطعة، والتي تزيد (تتناقص) بشكل صارم.

لوظيفة متزايدة. للتناقص - .

نظرية وجود واستمرارية دالة عكسية على فترة
دع الدالة تكون مستمرة ومتزايدة (تناقصية) بشكل صارم على فترة محدودة أو لا نهائية مفتوحة. ثم يتم تعريف الدالة العكسية ومستمرة على الفاصل الزمني، الذي يزيد (يتناقص) بشكل صارم.

لوظيفة متزايدة.
للتناقص : .

وبطريقة مماثلة، يمكننا صياغة نظرية وجود واستمرارية الدالة العكسية على نصف فترة.

خصائص واستمرارية الوظائف الأولية

الوظائف الأولية وعكساتها مستمرة في مجال تعريفها. نقدم أدناه صيغ النظريات المقابلة ونقدم روابط لإثباتاتها.

الدالة الأسية

الدالة الأسية و (خ) = الفأس، مع قاعدة أ > 0 هو الحد من التسلسل
,
حيث يكون التسلسل التعسفي للأرقام العقلانية يميل إلى x:
.

نظرية. خصائص الدالة الأسية
تتميز الدالة الأسية بالخصائص التالية:
(ص.0)محدد للجميع ؛
(ص.1)ل ≠ 1 له معاني كثيرة؛
(ص.2)يزيد بشكل صارم عند ، يتناقص بشكل صارم عند ، ثابت عند ؛
(ص.3) ;
(ص.3*) ;
(ص.4) ;
(ص.5) ;
(ص.6) ;
(ص.7) ;
(ص.8)مستمر للجميع؛
(ص9)في ؛
في .

اللوغاريتم

الدالة اللوغاريتمية، أو اللوغاريتم، ذ = سجل س، مع قاعدة أهو معكوس الدالة الأسية ذات الأساس a.

نظرية. خصائص اللوغاريتم
دالة لوغاريتمية ذات الأساس a، y = سجل x، له الخصائص التالية:
(ل.1)محددة ومستمرة، من أجل و، للقيم الإيجابية للوسيطة؛
(ل.2)له معاني كثيرة؛
(ل.3)يزيد بشكل صارم كما، ويقلل بشكل صارم كما؛
(ل.4)في ؛
في ؛
(ل.5) ;
(ل.6)في ؛
(ل.7)في ؛
(ل.8)في ؛
(ل.9)في .

الأس واللوغاريتم الطبيعي

وفي تعريفات الدالة الأسية واللوغاريتم يظهر ثابت يسمى قاعدة الأس أو قاعدة اللوغاريتم. في التحليل الرياضي، في الغالبية العظمى من الحالات، يتم الحصول على حسابات أبسط إذا تم استخدام الرقم e كأساس:
.
تسمى الدالة الأسية ذات الأساس e الأس:، واللوغاريتم ذو الأساس e يسمى اللوغاريتم الطبيعي: .

يتم عرض خصائص الأس واللوغاريتم الطبيعي على الصفحات
"الأس، e للقوة x"،
"اللوغاريتم الطبيعي، الدالة ln x"

وظيفة الطاقة

دالة القدرة مع الأس pهي الدالة f (خ) = س ص، والتي قيمتها عند النقطة x تساوي قيمة الدالة الأسية ذات الأساس x عند النقطة p.
بالإضافة إلى ذلك، ف (0) = 0 ع = 0ل ع > 0 .

سننظر هنا في خصائص دالة الطاقة y = x p للقيم غير السالبة للوسيطة. بالنسبة إلى العقلانيات، بالنسبة إلى m الغريب، يتم تعريف دالة الطاقة أيضًا بالنسبة إلى x السالبة. في هذه الحالة، يمكن الحصول على خصائصه باستخدام زوجي أو فردي.
هذه الحالات تمت مناقشتها بالتفصيل وموضحة في صفحة "وظيفة القدرة وخصائصها ورسومها البيانية".

نظرية. خصائص دالة القدرة (x ≥ 0)
دالة الطاقة، y = x p، مع الأس p لها الخصائص التالية:
(ج.1)محددة ومستمرة على المجموعة
في ،
في ".

الدوال المثلثية

نظرية استمرارية الدوال المثلثية
الدوال المثلثية: الجيب ( الخطيئة س) ، جيب التمام ( كوس س) ، الظل ( تيراغرام س) وظل التمام ( سي تي جي اكس

نظرية استمرارية الدوال المثلثية العكسية
الدوال المثلثية العكسية: أركسين ( أرسين x) ، قوس جيب التمام ( أركوس x) ، ظل قوسي ( أركانتان x) وقوس الظل ( arcctg x) ، مستمرة في مجالات تعريفها.

مراجع:
أوي. بيسوف. محاضرات في التحليل الرياضي. الجزء الأول. موسكو، 2004.
إل دي. كودريافتسيف. دورة التحليل الرياضي. المجلد الأول. موسكو، 2003.
سم. نيكولسكي. دورة التحليل الرياضي. المجلد الأول. موسكو، 1983.