تسمى النقطة x 0 النقطة القصوى للدالة f(x) إذا تم استيفاء عدم المساواة ()(0 xfxf) في بعض المناطق المجاورة للنقطة x 0
تسمى النقطة x 1 الحد الأدنى للدالة f(x) ، إذا كان في بعض أحياء النقطة x 1 عدم المساواة ()(1 xfxf) تسمى قيم الدالة عند النقطتين x 0 و x 1 الحد الأقصى والأدنى للدالة، على التوالي، يسمى الحد الأقصى والأدنى للدالة.
في فترة زمنية واحدة، يمكن أن يكون للدالة عدة نقاط قصوى، وقد يكون الحد الأدنى عند نقطة ما أكبر من الحد الأقصى عند نقطة أخرى. الحد الأقصى أو الأدنى للدالة في فترة زمنية معينة ليس، بشكل عام، أكبر وأصغر قيمة للدالة. إذا كانت الدالة القابلة للتفاضل f(xf(x)) عند نقطة ما xx 00 لها حد أقصى، ففي بعض المناطق المجاورة لهذه النقطة تظل نظرية فيرما صحيحة ومشتقة الدالة عند هذه النقطة تساوي صفر: 0)(0 xf
ومع ذلك، قد يكون للدالة حد أقصى عند نقطة لا يمكن اشتقاقها فيها. على سبيل المثال، الدالة xy لها حد أدنى عند النقطة 0 x ولكنها غير قابلة للاشتقاق عند هذه النقطة.
لكي يكون للدالة y=f(x) حد أقصى عند النقطة x 0، من الضروري أن تكون مشتقتها عند هذه النقطة مساوية للصفر أو غير موجودة.
تسمى النقاط التي يتم عندها استيفاء الشرط الأقصى الضروري بالحرجة أو الثابتة. ت. المجلد. ، إذا كان هناك حد متطرف في أي نقطة، فهذه النقطة حرجة. لكن النقطة الحرجة ليست بالضرورة النقطة القصوى.
دعونا نطبق الشرط الأقصى الضروري: xxy 2)(2 002 xprixy 0 0 y x - النقطة الحرجة
دعونا نطبق الشرط الأقصى الضروري: 23 3)1(xxy 003 2 xprixy 1 0 y x - النقطة الحرجة
إذا تغير مشتق الدالة القابلة للتفاضل y=f(x) عند المرور عبر النقطة x 0 من زائد إلى ناقص، فإن x 0 هي النقطة القصوى، وإذا كانت من ناقص إلى زائد، فإن x 0 هي الحد الأدنى نقطة.
دع المشتقة تتغير من الموجب إلى الناقص، أي على فترة معينة 0؛ xa 0)(xf وعلى فترة معينة bx; 0 0)(xf ثم ستزيد الدالة y=f(x) بمقدار 0; xa
وسوف تنخفض بمقدار بكس. 0 حسب تعريف الدالة المتزايدة 00 ;)()(xaxallforxfxf بالنسبة للدالة المتناقصة bxxallforxfxf;)()(00 0 x هي النقطة القصوى. وقد تم إثباتها بالمثل بالنسبة إلى الحد الأدنى.
1 أوجد مشتقة الدالة)(xfy 2 أوجد النقاط الحرجة للدالة التي يكون فيها المشتق صفراً أو غير موجود.
3 تحقق من إشارة المشتقة الموجودة على يسار ويمين كل نقطة حرجة. 4 أوجد الحد الأقصى للدالة.
دعونا نطبق مخطط دراسة الدالة إلى أقصى الحدود: 1 أوجد مشتقة الدالة: 233)1(3)1())1((xxxxxx)14()1()31()1(22 xxxxx)
3 نفحص إشارة المشتقة إلى اليسار واليمين لكل نقطة حرجة: x 4 1 1 y y لا يوجد حد أقصى عند النقطة x=1 x=1.
إذا كانت المشتقة الأولى للدالة القابلة للتفاضل y=f(x) عند النقطة x 0 تساوي صفر، والمشتقة الثانية عند هذه النقطة موجبة، فإن x 0 هي النقطة الصغرى، وإذا كانت المشتقة الثانية سالبة، ثم x 0 هي النقطة القصوى.
دع 0)(0 xf لذلك 0)(0 xf وفي بعض المناطق المجاورة للنقطة x 00، أي 0)()(xfxf
functionba; سيزيد على)(xf يحتوي على النقطة x 00. لكن Ho 0)(0 xf على الفاصل الزمني 0; xa 0)(xf وعلى الفاصل الزمني bx; 0 0)(xf
وبالتالي، عند المرور بالنقطة x 00، تتغير إشارة الدالة من ناقص إلى زائد، وبالتالي فإن هذه النقطة هي النقطة الدنيا.)(xf تم إثبات حالة الحد الأقصى للدالة بطريقة مماثلة.
مخطط دراسة الدالة عند الحد الأقصى في هذه الحالة مشابه للمخطط السابق، لكن يجب استبدال النقطة الثالثة بما يلي: 3. ابحث عن المشتقة الثانية وحدد إشارتها عند كل نقطة حرجة.
ويترتب على الشرط الكافي الثاني أنه إذا كانت المشتقة الثانية للدالة عند نقطة حرجة لا تساوي الصفر، فإن هذه النقطة هي نقطة قصوى. العبارة العكسية غير صحيحة: إذا كان المشتق الثاني للدالة عند نقطة حرجة يساوي الصفر، فيمكن أن تكون هذه النقطة أيضًا نقطة متطرفة. في هذه الحالة، لدراسة الدالة من الضروري استخدام الشرط الكافي الأول للطرف الأقصى.
يعد هذا قسمًا مثيرًا للاهتمام في الرياضيات ويواجهه جميع الخريجين والطلاب على الإطلاق. ومع ذلك، ليس الجميع يحب ماتان. لا يستطيع البعض فهم حتى الأشياء الأساسية مثل دراسة الوظائف القياسية على ما يبدو. تهدف هذه المقالة إلى تصحيح مثل هذا الخطأ. هل تريد معرفة المزيد عن تحليل الوظائف؟ هل ترغب في معرفة ما هي النقاط القصوى وكيفية العثور عليها؟ إذن هذه المقالة لك.
دراسة الرسم البياني للدالة
أولاً، من المفيد أن تفهم سبب حاجتك إلى تحليل الرسم البياني على الإطلاق. هناك وظائف بسيطة ليس من الصعب رسمها. ومن الأمثلة الصارخة على هذه الوظيفة هو القطع المكافئ. لن يكون من الصعب رسم رسم بياني. كل ما هو مطلوب هو، باستخدام تحويل بسيط، العثور على الأرقام التي تأخذ فيها الدالة القيمة 0. ومن حيث المبدأ، هذا هو كل ما تحتاج إلى معرفته من أجل رسم رسم بياني للقطع المكافئ.
ولكن ماذا لو كانت الدالة التي نحتاج إلى رسمها بيانيًا أكثر تعقيدًا؟ وبما أن خصائص الوظائف المعقدة ليست واضحة تماما، فمن الضروري إجراء تحليل كامل. فقط بعد ذلك يمكن تصوير الوظيفة بيانياً. كيف نفعل ذلك؟ يمكنك العثور على الإجابة على هذا السؤال في هذه المقالة.
خطة تحليل الوظيفة
أول شيء يتعين علينا القيام به هو إجراء دراسة سطحية للدالة، والتي نجد خلالها مجال التعريف. لذلك، دعونا نبدأ بالترتيب. مجال التعريف هو مجموعة القيم التي يتم من خلالها تعريف الوظيفة. ببساطة، هذه هي الأرقام التي يمكن استخدامها في دالة بدلاً من x. لتحديد النطاق، ما عليك سوى إلقاء نظرة على السجل. على سبيل المثال، من الواضح أن الدالة y (x) = x 3 + x 2 - x + 43 لها مجال تعريف وهو مجموعة الأعداد الحقيقية. حسنًا، مع دالة مثل (x 2 - 2x)/x، كل شيء مختلف قليلًا. بما أن الرقم الموجود في المقام لا يجب أن يساوي 0، فإن مجال تعريف هذه الدالة سيكون جميع الأعداد الحقيقية غير الصفر.
بعد ذلك، تحتاج إلى العثور على ما يسمى بأصفار الدالة. هذه هي قيم الوسيطات التي تأخذ فيها الوظيفة بأكملها القيمة صفرًا. للقيام بذلك، من الضروري مساواة الدالة بالصفر، والنظر فيها بالتفصيل وإجراء بعض التحولات. لنأخذ الدالة y(x) = (x 2 - 2x)/x، المألوفة لنا بالفعل. نعلم من المقرر الدراسي أن الكسر يساوي 0 عندما يكون البسط يساوي صفرًا. لذلك، نتخلص من المقام ونبدأ في التعامل مع البسط، ونساويه بالصفر. نحصل على x 2 - 2x = 0 ونضع x بين قوسين. وبالتالي x (x - 2) = 0. ونتيجة لذلك، نجد أن الدالة لدينا تساوي الصفر عندما تساوي x 0 أو 2.
عند دراسة الرسم البياني للدالة، يواجه العديد من الأشخاص مشاكل في شكل نقاط متطرفة. وهذا غريب. بعد كل شيء، التطرف هو موضوع بسيط إلى حد ما. لا تصدقني؟ وانظر بنفسك من خلال قراءة هذا الجزء من المقال الذي سنتحدث فيه عن الحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط.
أولاً، من المفيد أن نفهم ما هو الحد الأقصى. الحد الأقصى هو القيمة الحدية التي تصل إليها الدالة على الرسم البياني. اتضح أن هناك قيمتين متطرفتين - الحد الأقصى والحد الأدنى. من أجل الوضوح، يمكنك إلقاء نظرة على الصورة أعلاه. في المنطقة المدروسة، النقطة -1 هي الحد الأقصى للدالة y (x) = x 5 - 5x، وبالتالي فإن النقطة 1 هي الحد الأدنى.
أيضا، لا تخلط بين المفاهيم. النقاط القصوى للدالة هي تلك الوسائط التي تكتسب عندها دالة معينة قيمًا متطرفة. وفي المقابل، فإن الحد الأقصى هو قيمة الحد الأدنى والحد الأقصى للدالة. على سبيل المثال، النظر في الشكل أعلاه مرة أخرى. -1 و1 هما النقطتان الأقصىتان للدالة، و4 و-4 هما النقطتان الأقصىتان بحد ذاتها.
العثور على النقاط القصوى
ولكن كيف لا يزال بإمكانك العثور على النقاط القصوى للدالة؟ كل شيء بسيط للغاية. أول ما علينا فعله هو إيجاد مشتقة المعادلة. لنفترض أننا تلقينا المهمة: "ابحث عن النقاط القصوى للدالة y (x)، x هي الوسيطة، من أجل الوضوح، لنأخذ الدالة y (x) = x 3 + 2x 2 + x + 54. دعونا نفرق و. احصل على المعادلة التالية: 3x 2 + 4x + 1. ونتيجة لذلك، أصبح لدينا معادلة تربيعية قياسية. كل ما علينا فعله بعد ذلك هو معادلتها بالصفر وإيجاد الجذور، نظرًا لأن المميز أكبر من الصفر (D = 16 - 12 = 4)، يتم تحديد هذه المعادلة بواسطة جذرين ونحصل عليهما بقيمتين: 1/3 و-1 من هو؟ ما هي النقطة القصوى وما هي النقطة الدنيا؟ للقيام بذلك، عليك أن تأخذ النقطة المجاورة وتكتشف قيمتها، وتأخذ الرقم -2، الموجود على اليسار على طول خط الإحداثيات من -. 1. عوض بهذه القيمة في معادلتنا y(-2) = 12 - 8 + 1 = 5. ونتيجة لذلك، نحصل على رقم موجب. وهذا يعني أن الدالة تزيد في الفترة من 1/3 إلى -1. وهذا بدوره يعني أنه على الفترات من ناقص اللانهاية إلى 1/3 ومن -1 إلى زائد اللانهاية، تنخفض الدالة. وبالتالي، يمكننا أن نستنتج أن الرقم 1/3 هو الحد الأدنى لنقطة الدالة في الفترة المدروسة، و-1 هو الحد الأقصى للنقطة.
ومن الجدير بالذكر أيضًا أن اختبار الدولة الموحدة لا يتطلب العثور على النقاط القصوى فحسب، بل يتطلب أيضًا إجراء نوع من العمليات معهم (الإضافة والضرب وما إلى ذلك). ولهذا السبب يجدر إيلاء اهتمام خاص لظروف المشكلة. بعد كل شيء، بسبب عدم الانتباه، يمكنك أن تفقد النقاط.
تعريف. يتم استدعاء النقاط القصوى والدنيا للدالة النقاط القصوى.
نظرية. (شرط ضروري لوجود الحد الأقصى) إذا كانت الوظيفةF(س) قابل للاشتقاق عند النقطة x = x 1 والنقطة س 1 هي نقطة قصوى، فإن مشتقة الدالة تختفي عند هذه النقطة.
دليل. لنفترض أن الدالة f(x) لها قيمة عظمى عند النقطة x = x 1.
ومن ثم، بالنسبة للقيمة الموجبة الصغيرة بدرجة كافية x>0 تكون المتباينة التالية صحيحة:
أ-بريوري:
أولئك. إذا ×0، لكن×<0, тоf(x 1)0, а еслих0, нох>0، ثمf(x 1)0.
وهذا ممكن فقط إذا كانت x0f(x 1) = 0.
في الحالة التي يكون فيها للدالة f(x) حد أدنى عند النقطة x 2، يتم إثبات النظرية بطريقة مماثلة.
لقد تم إثبات النظرية.
عاقبة. البيان العكسي غير صحيح. إذا كانت مشتقة الدالة عند نقطة معينة تساوي صفرًا، فهذا لا يعني أن الدالة لها حد أقصى عند هذه النقطة. ومثال بليغ على ذلك هو الدالة y = x 3، التي يكون مشتقها عند النقطة x = 0 يساوي الصفر، ولكن في هذه المرحلة يكون للدالة انعطاف فقط، وليس الحد الأقصى أو الأدنى.
تعريف. نقاط حرجةالدوال هي النقاط التي لا يوجد عندها مشتق الدالة أو يساوي الصفر.
النظرية التي تمت مناقشتها أعلاه تعطينا الشروط اللازمة لوجود الحد الأقصى، ولكن هذا لا يكفي.
مثال:و(س) =س مثال:و(خ) = 
ذ ذ
عند النقطة x = 0 يكون للدالة حد أدنى، ولكن عند النقطة x = 0 ليس للدالة أي منهما
ليس له مشتق. الحد الأقصى، لا الحد الأدنى، لا الإنتاج
بشكل عام، الدالة f(x) قد يكون لها حد أقصى عند النقاط التي لا يوجد فيها المشتق أو يساوي الصفر.
نظرية. (الشروط الكافية لوجود الحد الأقصى)
دع الوظيفةF(س) مستمر في الفترة (أ, ب)، والتي تحتوي على النقطة الحرجة x 1 ، وهو قابل للتمييز في جميع نقاط هذا الفاصل الزمني (ربما باستثناء النقطة x نفسها 1 ).
إذا، عند المرور عبر النقطة x 1 مشتق من اليسار إلى اليمين للدالةF (س) يغير الإشارة من "+" إلى "-"، ثم عند النقطة x = x 1 وظيفةF(س) لها قيمة عظمى، وإذا كانت علامة التغييرات المشتقة من "-" إلى "+"، فإن الدالة لها قيمة صغرى.
دليل.
يترك 
وفقا لنظرية لاغرانج: F(س)
–
F(س 1
)
=
F
(
)(س
–
س 1
),
حيث< ثم: 1) إذا س< x 1 ,
то و(خ) –و(× 1)<0
илиf(x) 2) إذا كانت x > x 1، إذن>x 1 f()<0;f()(x–x 1)<0, следовательно و(خ) –و(× 1)<0
илиf(x) بما أن الإجابات متطابقة، يمكننا القول أن f(x) والدليل على نظرية النقطة الدنيا مشابه. لقد تم إثبات النظرية. بناءً على ما سبق، يمكنك تطوير إجراء موحد للعثور على أكبر وأصغر قيم دالة على مقطع ما: أوجد النقاط الحرجة للوظيفة. أوجد قيم الدالة عند النقاط الحرجة. ابحث عن قيم الوظيفة في نهايات المقطع. حدد القيم الأكبر والأصغر من بين القيم التي تم الحصول عليها. دراسة دالة للاستخدام الأقصى مشتقات الأوامر العليا. دع عند النقطة x = x 1 f(x 1) = 0 و f(x 1) موجودة ومستمرة في بعض جوار النقطة x 1. نظرية.
لوF
(س 1
) = 0، ثم الدالةF(س) عند النقطة x = x 1
لديه الحد الأقصى إذاF
(س 1
)<0
и минимум, если
F
(س 1
)>0.
دليل.
دع f(x 1) = 0 و f(x 1)<0.
Т.к. функцияf(x)
непрерывна, тоf(x 1)
будет отрицательной и в некоторой малой
окрестности точки х 1 . لأن و(س) = (و(خ))< 0, тоf(x)
убывает на отрезке, содержащем точку
х 1 , ноf(x 1)=0,
т.е.f(x)
>0 في س في حالة الدالة الدنيا، يتم إثبات النظرية بطريقة مماثلة. إذا كانت f(x) = 0، فإن طبيعة النقطة الحرجة غير معروفة. هناك حاجة إلى مزيد من البحث لتحديد ذلك. التحدب وتقعر المنحنى. نقاط الانقلاب. تعريف.
المنحنى محدب أعلىعلى الفترة (أ،ب) إذا كانت جميع نقاطها تقع تحت أي مماس لها في هذه الفترة. ويسمى المنحنى المحدب للأعلى محدب، ويسمى المنحنى المتجه للأسفل بشكل محدب مقعر. ويبين الشكل توضيحا للتعريف أعلاه. النظرية 1.
إذا كان في جميع نقاط الفاصل الزمني (أ,
ب) المشتق الثاني للدالةF(س) سالبة، ثم المنحنىذ
=
F(س) محدب للأعلى (محدب). دليل.
دع x 0 (a,b). دعونا نرسم مماسا للمنحنى عند هذه النقطة. معادلة المنحنى: y=f(x); معادلة الظل: ويجب إثبات ذلك. بواسطة نظرية لاغرانج لـ f(x) –f(x 0): ,x 0 وفقا لنظرية لاغرانج ل دع x > x 0 ثمx 0 دع س وثبت بالمثل أنه إذا كانت f(x) > 0 على الفترة (a,b)، فإن المنحنى y=f(x) يكون مقعرًا على الفترة (a,b). لقد تم إثبات النظرية. تعريف.
تسمى النقطة التي تفصل الجزء المحدب من المنحنى عن الجزء المقعر نقطة الأنحراف. من الواضح أنه عند نقطة الانعطاف، يتقاطع المماس مع المنحنى. النظرية 2.
دع المنحنى يتم تعريفه بالمعادلةذ =
F(س). إذا كان المشتق الثانيF
(أ) = 0 أوF
(أ) غير موجود حتى عند المرور بالنقطة x = aF
(س) علامة التغييرات، فإن نقطة المنحنى ذات الإحداثي السيني x = a هي نقطة انعطاف. دليل.
1) دع f(x)< 0 при х س دع f(x) > 0 عندما يكون x لقد تم إثبات النظرية. الخطوط المقاربة. عند دراسة الوظائف، غالبًا ما يحدث أنه عندما يتحرك الإحداثي x لنقطة على منحنى إلى ما لا نهاية، فإن المنحنى يقترب إلى أجل غير مسمى من خط مستقيم معين. تعريف.
يسمى الخط المستقيم الخط المقاربمنحنى إذا كانت المسافة من النقطة المتغيرة للمنحنى إلى هذا الخط المستقيم تميل إلى الصفر عندما تتحرك النقطة إلى ما لا نهاية. تجدر الإشارة إلى أنه ليس كل منحنى له خط مقارب. يمكن أن تكون الخطوط المقاربة مستقيمة أو مائلة. تعد دراسة الوظائف لوجود الخطوط المقاربة ذات أهمية كبيرة وتتيح لك تحديد طبيعة الوظيفة وسلوك الرسم البياني المنحني بدقة أكبر. بشكل عام، يمكن للمنحنى الذي يقترب إلى ما لا نهاية من خط التقارب أن يتقاطع معه، وليس عند نقطة واحدة، كما هو موضح في الرسم البياني للدالة أدناه دعونا نفكر بمزيد من التفصيل في طرق العثور على الخطوط المقاربة للمنحنيات. الخطوط المقاربة الرأسية. من تعريف الخط المقارب يترتب على ذلك أنه إذا على سبيل المثال، بالنسبة للوظيفة الخطوط المقاربة المائلة. لنفترض أن المنحنى y=f(x) له خط مقارب مائل y=kx+b. النظر في الشكل التالي. يُظهر الرسم البياني للدالة y = x^3 – 3*x^2. دعونا نفكر في فترة ما تحتوي على النقطة x = 0، على سبيل المثال من -1 إلى 1. وتسمى هذه الفترة أيضًا بجوار النقطة x = 0. كما يمكن رؤيته في الرسم البياني، في هذا الحي الدالة y = x ^3 – 3*x^2 تأخذ القيمة الأكبر على وجه التحديد عند النقطة x = 0. في هذه الحالة، تسمى النقطة x = 0 النقطة القصوى للدالة. وقياسا على ذلك، تسمى النقطة x = 2 النقطة الدنيا للدالة y = x^3 – 3*x^2. لأن هناك حيًا لهذه النقطة ستكون القيمة فيه عند هذه النقطة ضئيلة بين جميع القيم الأخرى من هذا الحي. نقطة أقصىتسمى الدالة f(x) بالنقطة x0، بشرط أن يكون هناك حي للنقطة x0 بحيث أنه بالنسبة لجميع x التي لا تساوي x0 من هذا الحي، فإن عدم المساواة f(x) يحمل< f(x0). نقطة الحد الأدنىتسمى الدالة f(x) بالنقطة x0، بشرط أن يكون هناك حي للنقطة x0 بحيث بالنسبة لجميع x التي لا تساوي x0 من هذا الحي، فإن عدم المساواة f(x) > f(x0) يظل قائمًا. عند نقطتي الحد الأقصى والأصغر للدوال، تكون قيمة مشتقة الدالة صفرًا. لكن هذا ليس شرطا كافيا لوجود الدالة عند نقطة عظمى أو صغرى. على سبيل المثال، الدالة y = x^3 عند النقطة x = 0 لها مشتق يساوي الصفر. لكن النقطة x = 0 ليست النقطة الدنيا أو القصوى للدالة. كما تعلم، فإن الدالة y = x^3 تزداد على طول المحور العددي بأكمله. وبالتالي، فإن الحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط سيكون دائمًا من بين جذور المعادلة f'(x) = 0. ولكن لن تكون جميع جذور هذه المعادلة نقاطًا عظمى أو صغرى. تسمى النقاط التي تكون فيها قيمة مشتق الدالة صفرًا بالنقاط الثابتة. قد تكون هناك أيضًا نقاط الحد الأقصى أو الحد الأدنى عند النقاط التي لا يوجد فيها مشتق الدالة على الإطلاق. على سبيل المثال، ص = |س| عند النقطة x = 0 له حد أدنى، لكن المشتق غير موجود عند هذه النقطة. ستكون هذه النقطة هي النقطة الحرجة للوظيفة. النقاط الحرجة للدالة هي النقاط التي تساوي فيها المشتقة صفرًا، أو أن المشتقة غير موجودة عند هذه النقطة، أي أن الدالة عند هذه النقطة غير قابلة للتفاضل. من أجل العثور على الحد الأقصى أو الأدنى للدالة، يجب استيفاء شرط كاف. دع f(x) تكون دالة قابلة للتفاضل في الفترة (a;b). النقطة x0 تنتمي إلى هذا الفاصل الزمني و f'(x0) = 0. ثم: 1. إذا تغيرت الدالة f(x) ومشتقاتها عند المرور عبر نقطة ثابتة x0 من "زائد" إلى "ناقص"، فإن النقطة x0 هي النقطة القصوى للدالة. 2. إذا تغيرت الدالة f(x) ومشتقاتها عند المرور عبر نقطة ثابتة x0 من "ناقص" إلى "زائد"، فإن النقطة x0 هي النقطة الدنيا للدالة.
في
، لذلك، 
.
الذي - التي
.
. خط التقارب المائل هو y = x.
أو 
أو 
، فإن الخط المستقيم x = a هو الخط المقارب للمنحنى y = f (x).
الخط المستقيم x = 5 هو خط مقارب رأسي.
الحد الأقصى والحد الأدنى من الوظيفة
النقاط الثابتة والحرجة