قم بإجراء بحث حول الوظيفة وقم ببناء رسم بياني عبر الإنترنت. كيفية دراسة وظيفة وبناء الرسم البياني الخاص بها؟ إيجاد الخطوط المقاربة الأفقية والمائلة

واحد من أهم المهام حساب التفاضلهو التطور أمثلة شائعةدراسات السلوك الوظيفي.

إذا كانت الدالة y=f(x) متصلة على الفترة، ومشتقتها موجبة أو تساوي 0 على الفترة (a,b)، فإن y=f(x) تزداد بمقدار (f"(x)0) إذا كانت الدالة y=f (x) متصلة على القطعة، ومشتقتها سالبة أو تساوي 0 على الفترة (a,b)، فإن y=f(x) تتناقص بمقدار (f"(x)0. )

تسمى الفترات التي لا تقل أو تزيد فيها الوظيفة بفترات رتابة الوظيفة. يمكن أن تتغير رتابة الدالة فقط عند تلك النقاط من مجال تعريفها حيث تتغير إشارة المشتق الأول. تسمى النقاط التي يختفي عندها المشتق الأول للدالة أو يكون بها انقطاع حرجة.

النظرية 1 (1 شرط كافوجود الحد الأقصى).

دع الدالة y=f(x) يتم تعريفها عند النقطة x 0 وليكن هناك حي δ>0 بحيث تكون الوظيفة مستمرة على الفاصل الزمني وقابلة للتفاضل على الفاصل الزمني (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) ومشتقاته المحفوظة علامة دائمةفي كل من هذه الفترات. ثم إذا كانت علامات المشتقة مختلفة عند x 0 -δ,x 0) و (x 0 , x 0 +δ)، فإن x 0 هي نقطة متطرفة، وإذا تزامنتا، فإن x 0 ليست نقطة متطرفة . علاوة على ذلك، إذا، عند المرور عبر النقطة x0، تشير التغييرات المشتقة من الموجب إلى الناقص (على يسار x 0 f"(x)>0، فإن x 0 هي النقطة القصوى؛ إذا كانت التغييرات المشتقة تشير من ناقص إلى زائد (على يمين x 0 تم تنفيذه f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

تسمى النقاط القصوى والدنيا بالنقاط القصوى للدالة، وتسمى النقاط القصوى والدنيا للدالة بالقيم القصوى.

النظرية 2 (علامة ضرورية على الحد الأقصى المحلي).

إذا كانت الدالة y=f(x) لها حد أقصى عند الوضع الحالي x=x 0، فإما f'(x 0)=0 أو f'(x 0) غير موجود.
عند النقاط القصوى للدالة القابلة للتفاضل، يكون ظل الرسم البياني موازيًا لمحور الثور.

خوارزمية لدراسة دالة للطرف الأقصى:

1) أوجد مشتقة الدالة.
2) البحث عن النقاط الحرجة، أي. النقاط التي تكون فيها الدالة مستمرة ويكون المشتق صفراً أو غير موجود.
3) خذ بعين الاعتبار محيط كل نقطة، وافحص إشارة المشتقة على يسار ويمين هذه النقطة.
4) تحديد إحداثيات النقاط القصوى لهذه القيمة نقاط حرجةاستبدال في هذه الوظيفة. باستخدام الظروف الكافية للطرف، استخلاص الاستنتاجات المناسبة.

مثال 18. افحص الدالة y=x 3 -9x 2 +24x لمعرفة الحد الأقصى

حل.
1) ص"=3س 2 -18س+24=3(س-2)(س-4).
2) بمساواة المشتقة بالصفر نجد x 1 = 2، x 2 = 4. في في هذه الحالةيتم تعريف المشتق في كل مكان. وهذا يعني أنه باستثناء النقطتين الموجودتين، لا توجد نقاط حرجة أخرى.
3) تتغير إشارة المشتقة y"=3(x-2)(x-4) تبعاً للفاصل الزمني كما هو موضح في الشكل 1. عند المرور بالنقطة x=2، تتغير إشارة المشتقة من زائد إلى ناقص، وعند المرور بالنقطة x=4 - من ناقص إلى زائد.
4) عند النقطة x=2، يكون للدالة حد أقصى لـ y max =20، وعند النقطة x=4 - حد أدنى لـ y min =16.

النظرية 3. (الشرط الكافي الثاني لوجود الحد الأقصى).

دع f"(x 0) وعند النقطة x 0 يوجد f""(x 0). ثم إذا f""(x 0)>0، فإن x 0 هي النقطة الدنيا، وإذا كانت f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

في مقطع ما، يمكن أن تصل الدالة y=f(x) إلى القيمة الأصغر (y الأقل) أو القيمة الأكبر (y الأعلى) إما عند النقاط الحرجة للدالة الموجودة في الفاصل الزمني (a;b)، أو عند نهايات المقطع.

خوارزمية للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة المستمرة y=f(x) على المقطع:

1) ابحث عن f"(x).
2) ابحث عن النقاط التي لا يوجد عندها f"(x)=0 أو f"(x)، واختر منها تلك التي تقع داخل المقطع.
3) احسب قيمة الدالة y=f(x) عند النقاط التي تم الحصول عليها في الخطوة 2)، وكذلك في نهايات المقطع وحدد الأكبر والأصغر منها: فهي على التوالي الأكبر (y) الأكبر) والأصغر (ص الأقل) قيم الدالة على الفاصل الزمني.

مثال 19. أوجد أكبر قيمة للدالة المستمرة y=x 3 -3x 2 -45+225 على القطعة.

1) لدينا y"=3x 2 -6x-45 على القطعة
2) المشتق y" موجود لجميع x. دعونا نجد النقاط التي عندها y"=0; نحن نحصل:
3س2 -6س-45=0
س 2 -2س-15=0
س 1 =-3؛ × 2 = 5
3) احسب قيمة الدالة عند النقاط x=0 y=225، x=5 y=50، x=6 y=63
يحتوي المقطع فقط على النقطة x=5. أكبر القيم الموجودة للدالة هي 225، وأصغرها هو الرقم 50. لذا، y max = 225، y min = 50.

دراسة دالة على التحدب

يوضح الشكل الرسوم البيانية لوظيفتين. الأول محدب للأعلى والثاني محدب للأسفل.

تكون الدالة y=f(x) متصلة على المقطع وقابلة للتفاضل في الفاصل الزمني (a;b)، وتسمى محدبة لأعلى (لأسفل) على هذا المقطع إذا كان الرسم البياني الخاص بها، بالنسبة إلى axb، لا يقع أعلى (وليس أقل) من المماس المرسوم عند أي نقطة M 0 (x 0 ;f(x 0))، حيث axb.

النظرية 4. دع الدالة y=f(x) لها مشتق ثانٍ عند أي نقطة داخلية x من المقطع وتكون مستمرة في نهايات هذا المقطع. ثم إذا كانت المتباينة f""(x)0 ثابتة على الفترة (a;b)، فإن الدالة تكون محدبة للأسفل على الفترة؛ إذا كانت المتراجحة f""(x)0 ثابتة على الفترة (a;b)، فإن الدالة تكون محدبة لأعلى على .

النظرية 5. إذا كانت الدالة y=f(x) لها مشتق ثانٍ في الفترة (a;b) وإذا تغيرت الإشارة عند المرور عبر النقطة x 0، فإن M(x 0 ;f(x 0)) هي نقطة انعطاف.

قواعد العثور على نقاط انعطاف:

1) ابحث عن النقاط التي لا يوجد فيها f""(x) أو تختفي.
2) افحص الإشارة f""(x) الموجودة على يسار ويمين كل نقطة موجودة في الخطوة الأولى.
3) بناءً على النظرية 4، استنتج.

مثال 20. أوجد النقاط القصوى ونقاط انعطاف الرسم البياني للدالة y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

لدينا f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. من الواضح أن f"(x)=0 عندما يكون x 1 =0، x 2 =1. عند المرور بالنقطة x=0، تتغير إشارة المشتقة من ناقص إلى زائد، ولكن عند المرور بالنقطة x=1 لا تتغير الإشارة. هذا يعني أن x=0 هي النقطة الدنيا (y min =12)، ولا يوجد حد أقصى عند النقطة x=1. التالي نجد . يختفي المشتق الثاني عند النقاط x 1 = 1، x 2 = 1/3. تتغير علامات المشتق الثاني كما يلي: على الشعاع (-∞;) لدينا f""(x)>0، على الفترة (;1) لدينا f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. لذلك، x= هي نقطة انعطاف الرسم البياني للدالة (الانتقال من التحدب إلى الأسفل إلى التحدب إلى الأعلى) وx=1 هي أيضًا نقطة انعطاف (الانتقال من التحدب إلى الأعلى إلى التحدب إلى الأسفل). إذا كانت x=، فإن y=; إذا، ثم س = 1، ص = 13.

خوارزمية لإيجاد الخط المقارب للرسم البياني

I. إذا كانت y=f(x) كـ x → a، فإن x=a هو خط مقارب رأسي.
ثانيا. إذا كانت y=f(x) بالشكل x → ∞ أو x → -∞، فإن y=A هو خط مقارب أفقي.
ثالثا. للعثور على الخط المقارب المائل، نستخدم الخوارزمية التالية:
1) احسب . إذا كانت النهاية موجودة وتساوي b، فإن y=b هو خط مقارب أفقي؛ إذا، فانتقل إلى الخطوة الثانية.
2) احسب . إذا لم تكن هذه النهاية موجودة، فلا يوجد خط تقارب؛ إذا كان موجودًا ويساوي k، فانتقل إلى الخطوة الثالثة.
3) احسب . إذا لم تكن هذه النهاية موجودة، فلا يوجد خط تقارب؛ إذا كان موجوداً ويساوي b فانتقل إلى الخطوة الرابعة.
4) اكتب معادلة الخط المقارب المائل y=kx+b.

مثال 21: ابحث عن الخط المقارب لدالة

1)
2)
3)
4) معادلة الخط المقارب المائل لها الشكل

مخطط لدراسة وظيفة وبناء الرسم البياني لها

I. ابحث عن مجال تعريف الوظيفة.
ثانيا. أوجد نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع محاور الإحداثيات.
ثالثا. ابحث عن الخطوط المقاربة.
رابعا. العثور على النقاط القصوى المحتملة.
خامسا: البحث عن النقاط الحرجة.
السادس. باستخدام الشكل المساعد، اكتشف إشارة المشتقتين الأولى والثانية. تحديد مجالات الدالة المتزايدة والمتناقصة، والعثور على اتجاه التحدب في الرسم البياني، ونقاط النقاط القصوى ونقاط الانعطاف.
سابعا. قم بإنشاء رسم بياني، مع مراعاة البحث الذي تم إجراؤه في الفقرات 1-6.

مثال رقم 22: أنشئ رسمًا بيانيًا للدالة وفقًا للمخطط أعلاه

حل.
I. مجال الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية باستثناء x=1.
ثانيا. بما أن المعادلة x 2 +1=0 ليس لها جذور حقيقية، فإن الرسم البياني للدالة لا يحتوي على نقاط تقاطع مع محور Ox، ولكنه يتقاطع مع محور Oy عند النقطة (0;-1).
ثالثا. دعونا نوضح مسألة وجود الخطوط المقاربة. دعونا ندرس سلوك الوظيفة بالقرب من نقطة الانقطاع x=1. بما أن y → ∞ مثل x → -∞، y → +∞ مثل x → 1+، فإن الخط المستقيم x=1 هو الخط المقارب الرأسي للرسم البياني للدالة.
إذا كانت x → +∞(x → -∞)، ثم y → +∞(y → -∞)؛ ولذلك، فإن الرسم البياني لا يحتوي على خط تقارب أفقي. أبعد من وجود الحدود

بحل المعادلة x 2 -2x-1=0 نحصل على نقطتين محتملتين:
س 1 =1-√2 و س 2 =1+√2

V. للعثور على النقاط الحرجة، نحسب المشتقة الثانية:

بما أن f""(x) لا تختفي، فلا توجد نقاط حرجة.
السادس. دعونا نتفحص إشارة المشتقتين الأولى والثانية. النقاط القصوى المحتملة التي يجب أخذها في الاعتبار: x 1 =1-√2 وx 2 =1+√2، قسّم مجال وجود الدالة إلى فترات (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) و (1+√2;+∞).

في كل من هذه الفترات، يحتفظ المشتق بعلامته: في الأول - زائد، في الثانية - ناقص، في الثالث - زائد. سيتم كتابة تسلسل علامات المشتق الأول على النحو التالي: +،-،+.
نجد أن الدالة تزيد عند (-∞;1-√2)، وتنقص عند (1-√2;1+√2)، وتزيد مرة أخرى عند (1+√2;+∞). النقاط القصوى: الحد الأقصى عند x=1-√2، وf(1-√2)=2-2√2 والحد الأدنى عند x=1+√2، وf(1+√2)=2+2√2. عند (-∞;1) يكون الرسم البياني محدبًا لأعلى، وعند (1;+∞) يكون محدبًا لأسفل.
سابعا لنقم بعمل جدول بالقيم التي تم الحصول عليها

VIII بناءً على البيانات التي تم الحصول عليها، قمنا ببناء رسم بياني للدالة

إذا كانت المهمة تتطلب دراسة كاملةالدالة f (x) = x 2 4 x 2 - 1 مع بناء الرسم البياني الخاص بها، ثم سننظر في هذا المبدأ بالتفصيل.

لحل مشكلة من هذا النوع، يجب عليك استخدام الخصائص والرسوم البيانية الرئيسية وظائف أولية. تتضمن خوارزمية البحث الخطوات التالية:

Yandex.RTB RA-A-339285-1

العثور على مجال التعريف

وبما أن البحث يتم في مجال تعريف الوظيفة، فمن الضروري البدء بهذه الخطوة.

مثال 1

خلف هذا المثاليتضمن العثور على أصفار المقام لاستبعادها من ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

ونتيجة لذلك، يمكنك الحصول على الجذور واللوغاريتمات وما إلى ذلك. ثم يمكن البحث في ODZ عن جذر درجة زوجية من النوع g (x) 4 بواسطة عدم المساواة g (x) ≥ 0، لسجل اللوغاريتم a g (x) بواسطة عدم المساواة g (x) > 0.

دراسة حدود ODZ وإيجاد الخطوط المقاربة الرأسية

توجد خطوط مقاربة رأسية عند حدود الدالة، عندما تكون الحدود أحادية الجانب عند هذه النقاط لا نهائية.

مثال 2

على سبيل المثال، اعتبر أن النقاط الحدودية تساوي x = ± 1 2.

ثم من الضروري دراسة الدالة للعثور على النهاية من جانب واحد. ثم نحصل على ما يلي: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = الحد x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ الحد x → 1 2 - 0 f (x) = الحد x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = الحد x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

يوضح هذا أن الحدود أحادية الجانب لا نهائية، مما يعني أن الخطوط المستقيمة x = ± 1 2 هي الخطوط المقاربة الرأسية للرسم البياني.

دراسة الدالة وهل هي زوجية أم فردية

عندما يتم استيفاء الشرط y (- x) = y (x)، تعتبر الدالة زوجية. يشير هذا إلى أن الرسم البياني يقع بشكل متماثل بالنسبة لـ Oy. عندما يتم استيفاء الشرط y (- x) = - y (x)، تعتبر الدالة فردية. وهذا يعني أن التماثل يتعلق بأصل الإحداثيات. إذا لم يتم تحقيق متباينة واحدة على الأقل، فسنحصل على دالة ذات صورة عامة.

تشير المساواة y (- x) = y (x) إلى أن الدالة زوجية. عند البناء، من الضروري أن نأخذ في الاعتبار أنه سيكون هناك تناظر فيما يتعلق بـ Oy.

لحل المتراجحة، يتم استخدام فترات التزايد والتناقص مع الشروط f " (x) ≥ 0 و f " (x) ≥ 0، على التوالي.

التعريف 1

نقاط ثابتة- هذه هي النقاط التي تحول المشتقة إلى الصفر.

نقاط حرجة- هذه نقاط داخلية من مجال التعريف حيث مشتقة الدالة تساوي صفراً أو غير موجودة.

وعند اتخاذ القرار يجب مراعاة الملاحظات التالية:

• بالنسبة للفواصل الزمنية الحالية لزيادة وتناقص عدم المساواة بالشكل f " (x) > 0، لا يتم تضمين النقاط الحرجة في الحل؛
• يجب تضمين النقاط التي يتم تعريف الدالة عندها بدون مشتق محدود في فترات الزيادة والتناقص (على سبيل المثال، y = x 3، حيث النقطة x = 0 تجعل الدالة محددة، ويكون للمشتق قيمة اللانهاية عند هذا النقطة، y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 متضمنة في الفترة المتزايدة);
• لتجنب النزاعات، فمن المستحسن استخدام الأدب الرياضيوهو ما أوصت به وزارة التربية والتعليم.

إدراج النقاط الحرجة في فترات التزايد والتناقص إذا كانت تلبي مجال تعريف الدالة.

التعريف 2

ل تحديد فترات الزيادة والنقصان من وظيفة، فمن الضروري العثور عليها:

• المشتق؛
• نقاط حرجة؛
• تقسيم مجال التعريف إلى فترات باستخدام النقاط الحرجة؛
• حدد إشارة المشتقة في كل فترة حيث + زيادة و - نقصان.

مثال 3

أوجد المشتقة في مجال التعريف f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

حل

لحل تحتاج:

• يجد نقاط ثابتة، هذا المثال لديه x = 0؛
• أوجد أصفار المقام، يأخذ المثال القيمة صفر عند x = ± 1 2.

نضع نقاطًا على خط الأعداد لتحديد المشتقة في كل فترة. للقيام بذلك، يكفي أن تأخذ أي نقطة من الفاصل الزمني وإجراء عملية حسابية. في نتيجة ايجابيةنرسم على الرسم البياني علامة +، مما يعني أن الدالة تتزايد، و- تعني أنها تتناقص.

على سبيل المثال، f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0، مما يعني أن الفترة الأولى على اليسار بها علامة +. فكر في خط الأعداد.

إجابة:

• تزيد الدالة على الفاصل الزمني - ∞؛ - 1 2 و (- 1 2 ; 0 ] ;
• هناك انخفاض في الفاصل الزمني [ 0 ; 1 2) و 1 2 ; + ∞ .

في الرسم التخطيطي، باستخدام + و-، يتم توضيح إيجابية وسلبية الوظيفة، وتشير الأسهم إلى النقصان والزيادة.

النقاط القصوى للدالة هي النقاط التي يتم فيها تعريف الدالة والتي من خلالها يتم تسجيل التغييرات المشتقة.

مثال 4

إذا أخذنا مثالاً حيث x = 0، فإن قيمة الدالة فيه تساوي f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. عندما تتغير إشارة المشتق من + إلى - ويمر بالنقطة x = 0، فإن النقطة ذات الإحداثيات (0؛ 0) تعتبر النقطة القصوى. عندما تتغير الإشارة من - إلى +، نحصل على نقطة الحد الأدنى.

يتم تحديد التحدب والتقعر من خلال حل المتباينات بالشكل f "" (x) ≥ 0 و f "" (x) ≥ 0. والأقل استخدامًا هو اسم التحدب للأسفل بدلًا من التقعر، والتحدب للأعلى بدلًا من التحدب.

التعريف 3

ل تحديد فترات التقعر والتحدبضروري:

• أوجد المشتقة الثانية؛
• أوجد أصفار الدالة المشتقة الثانية؛
• تقسيم منطقة التعريف إلى فترات مع النقاط التي تظهر؛
• تحديد علامة الفاصل الزمني.

مثال 5

أوجد المشتقة الثانية من مجال التعريف.

حل

و "" (x) = - 2 × (4 × 2 - 1) 2 " = = (- 2 ×) " (4 × 2 - 1) 2 - - 2 × 4 × 2 - 1 2 " (4 × 2) - 1) 4 = 24 × 2 + 2 (4 × 2 - 1) 3

نجد أصفار البسط والمقام، حيث في مثالنا لدينا أن أصفار المقام x = ± 1 2

أنت الآن بحاجة إلى رسم النقاط على خط الأعداد وتحديد إشارة المشتقة الثانية من كل فترة. لقد حصلنا على ذلك

إجابة:

• الدالة محدبة من الفاصل - 1 2 ; 12 ؛
• الدالة مقعرة من الفترات - ∞ ; - 1 2 و 1 2؛ + ∞ .

التعريف 4

نقطة الأنحراف– هذه نقطة من النموذج x 0 ; و (× 0) . عندما يكون لها مماس للرسم البياني للدالة، فعندما تمر عبر x 0 تتغير إشارة الدالة إلى الاتجاه المعاكس.

بمعنى آخر، هذه نقطة يمر من خلالها المشتق الثاني وتغير الإشارة، وعند النقاط نفسها تساوي صفرًا أو غير موجودة. تعتبر جميع النقاط هي مجال الوظيفة.

في المثال، كان من الواضح أنه لا توجد نقاط انعطاف، حيث أن المشتقة الثانية تتغير أثناء مرورها بالنقاط x = ± 1 2. وهم، بدورهم، لا يدخلون في نطاق التعريف.

إيجاد الخطوط المقاربة الأفقية والمائلة

عند تحديد دالة عند اللانهاية، عليك البحث عن الخطوط المقاربة الأفقية والمائلة.

التعريف 5

الخطوط المقاربة المائلةتم تصويرها باستخدام خطوط مستقيمة، تعطى بواسطة المعادلة y = k x + b، حيث k = lim x → ∞ f (x) x و b = lim x → ∞ f (x) - k x.

بالنسبة لـ k = 0 و b لا تساوي ما لا نهاية، نجد أن الخط المقارب المائل يصبح أفقي.

بمعنى آخر، تعتبر الخطوط المقاربة خطوطًا يقترب منها الرسم البياني للدالة عند اللانهاية. وهذا يسهل البناء السريع للرسم البياني للدالة.

إذا لم تكن هناك خطوط مقاربة، ولكن تم تعريف الدالة عند كلا اللانهاية، فمن الضروري حساب حد الدالة عند هذه اللانهاية لفهم كيفية تصرف الرسم البياني للدالة.

مثال 6

دعونا نعتبر كمثال على ذلك

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 4 1 ⇒ ص = 4 1

هو الخط المقارب الأفقي. بعد فحص الوظيفة، يمكنك البدء في إنشائها.

حساب قيمة الدالة عند النقاط المتوسطة

لجعل الرسم البياني أكثر دقة، يوصى بالعثور على عدة قيم دالة عند نقاط متوسطة.

مثال 7

من المثال الذي تناولناه، من الضروري إيجاد قيم الدالة عند النقاط x = - 2، x = - 1، x = - 3 4، x = - 1 4. وبما أن الدالة زوجية، فإننا نحصل على أن القيم تتوافق مع القيم عند هذه النقاط، أي نحصل على x = 2، x = 1، x = 3 4، x = 1 4.

لنكتب ونحل:

و (- 2) = و (2) = 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 و (- 1) - و (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 و - 3 4 = و 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 و - 1 4 = و 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

لتحديد الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة، ونقاط الانعطاف، والنقاط المتوسطة، من الضروري إنشاء الخطوط المقاربة. للتعيين المناسب، يتم تسجيل فترات الزيادة والنقصان والتحدب والتقعر. دعونا ننظر إلى الصورة أدناه.

من الضروري رسم خطوط بيانية من خلال النقاط المحددة، مما سيسمح لك بالاقتراب من الخطوط المقاربة باتباع الأسهم.

وبهذا ينتهي الاستكشاف الكامل للوظيفة. هناك حالات لبناء بعض الوظائف الأولية التي تستخدم فيها التحويلات الهندسية.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter