في يوليو 2020، أطلقت ناسا رحلة استكشافية إلى المريخ. ستقوم المركبة الفضائية بتسليم المريخ وسيلة إلكترونية تحمل أسماء جميع المشاركين المسجلين في البعثة.
إذا حل هذا المنشور مشكلتك أو أعجبك للتو، شارك الرابط الخاص به مع أصدقائك على الشبكات الاجتماعية.
يجب نسخ أحد خيارات التعليمات البرمجية هذه ولصقها في التعليمات البرمجية الخاصة بصفحة الويب الخاصة بك، ويفضل أن يكون ذلك بين العلامات و/أو بعد العلامة مباشرة. وفقًا للخيار الأول، يتم تحميل MathJax بشكل أسرع ويبطئ الصفحة بشكل أقل. لكن الخيار الثاني يقوم تلقائيًا بمراقبة وتحميل أحدث إصدارات MathJax. إذا قمت بإدراج الرمز الأول، فسوف تحتاج إلى تحديثه بشكل دوري. إذا قمت بإدخال الكود الثاني، فسيتم تحميل الصفحات بشكل أبطأ، لكنك لن تحتاج إلى مراقبة تحديثات MathJax باستمرار.
أسهل طريقة للاتصال بـ MathJax هي في Blogger أو WordPress: في لوحة تحكم الموقع، أضف أداة مصممة لإدراج كود JavaScript لجهة خارجية، وانسخ الإصدار الأول أو الثاني من كود التنزيل الموضح أعلاه، ثم ضع الأداة في مكان أقرب إلى بداية القالب (بالمناسبة، هذا ليس ضروريًا على الإطلاق، حيث يتم تحميل البرنامج النصي MathJax بشكل غير متزامن). هذا كل شئ. تعرف الآن على بناء الجملة الترميزي لـ MathML، وLaTeX، وASCIIMathML، وستكون جاهزًا لإدراج الصيغ الرياضية في صفحات الويب الخاصة بموقعك.
ليلة رأس سنة أخرى.. طقس بارد وندف ثلج على زجاج النافذة.. كل هذا دفعني للكتابة مرة أخرى عن... الفركتلات، وما يعرفه ولفرام ألفا عنها. هناك مقال مثير للاهتمام حول هذا الموضوع، والذي يحتوي على أمثلة للهياكل الكسورية ثنائية الأبعاد. سننظر هنا إلى أمثلة أكثر تعقيدًا للفركتلات ثلاثية الأبعاد.
يمكن تمثيل (وصف) الفراكتل بصريًا كشكل هندسي أو جسم (بمعنى أن كلاهما عبارة عن مجموعة، في هذه الحالة، مجموعة من النقاط)، وتفاصيلها لها نفس شكل الشكل الأصلي نفسه. أي أن هذا هيكل مشابه ذاتيًا، حيث نفحص تفاصيله عند تكبيرها سنرى نفس الشكل بدون تكبير. بينما في حالة الشكل الهندسي العادي (وليس الفراكتل)، فعند التكبير سنرى تفاصيل لها شكل أبسط من الشكل الأصلي نفسه. على سبيل المثال، عند التكبير العالي بدرجة كافية، يبدو جزء من الشكل الناقص وكأنه قطعة خط مستقيم. هذا لا يحدث مع الفركتلات: مع أي زيادة فيها، سنرى مرة أخرى نفس الشكل المعقد، والذي سيتكرر مرارًا وتكرارًا مع كل زيادة.
كتب بينوا ماندلبرو، مؤسس علم الفركتلات، في مقالته الفركتلات والفن باسم العلم: “الفركتلات هي أشكال هندسية معقدة في تفاصيلها كما في شكلها العام، أي إذا كانت جزءًا من الفركتل سيتم تكبيره إلى حجم الكل، وسيظهر ككل، إما تمامًا، أو ربما مع تشوه طفيف.
يمكن دائمًا تعريف الخط المستقيم في الفضاء بأنه خط تقاطع مستويين غير متوازيين. إذا كانت معادلة أحد المستويين هي معادلة المستوي الثاني، فإن معادلة الخط تعطى في الصورة
هنا 
غير خطية 
. تسمى هذه المعادلات معادلات عامةمباشرة في الفضاء.
المعادلات الكنسية للخط
أي متجه غير صفري يقع على خط معين أو موازي له يسمى متجه الاتجاه لهذا الخط.
إذا كانت النقطة معروفة 
الخط المستقيم ومتجه اتجاهه 
، فإن المعادلات القانونية للخط لها الشكل:
.
(9)
المعادلات البارامترية للخط
دع المعادلات الأساسية للخط تعطى
.
ومن هنا نحصل على المعادلات البارامترية للخط:
(10)
هذه المعادلات مفيدة لإيجاد نقطة تقاطع الخط والمستوى.
معادلة الخط الذي يمر بنقطتين 
و 
لديه النموذج:
.
الزاوية بين الخطوط المستقيمة
الزاوية بين الخطوط المستقيمة
و 
تساوي الزاوية بين متجهات اتجاهها. ولذلك يمكن حسابها باستخدام الصيغة (4):
حالة الخطوط المتوازية:
.
شرط أن تكون الطائرات متعامدة:
مسافة النقطة من الخط
ص 
لنفترض أن هذه النقطة معطاة 
ومستقيم
.
من المعادلات القانونية للخط المستقيم نعرف النقطة 
، ينتمي إلى الخط، ومتجه اتجاهه 
. ثم مسافة النقطة 
من خط مستقيم يساوي ارتفاع متوازي الأضلاع المبني على المتجهات 
و 
. لذلك،
.
شرط تقاطع الخطوط
خطان غير متوازيين
,
تتقاطع إذا وفقط إذا
.
الموقع النسبي للخط المستقيم والطائرة.
دع الخط المستقيم يعطى 
والطائرة. ركن 
بينهما يمكن العثور عليها من خلال الصيغة
.
المسألة 73. اكتب المعادلات القانونية للخط
(11)
حل. من أجل كتابة المعادلات الأساسية للخط (9)، من الضروري معرفة أي نقطة تنتمي إلى الخط ومتجه اتجاه الخط.
دعونا نجد المتجه 
، بالتوازي مع هذا الخط. لأنه يجب أن يكون متعامدا مع المتجهات العادية لهذه المستويات، أي.
,
، الذي - التي
.
ومن المعادلات العامة للخط المستقيم لدينا ذلك 
,
. ثم
.
منذ هذه النقطة 
أي نقطة على الخط، فإن إحداثياتها يجب أن تحقق معادلات الخط ويمكن تحديد إحداها، على سبيل المثال، 
نجد الإحداثيتين الأخريين من النظام (11):
من هنا، 
.
وبالتالي، فإن المعادلات القانونية للخط المطلوب لها الشكل:
أو 
.
المشكلة 74.
و 
.
حل.من المعادلات القانونية للخط الأول، يتم معرفة إحداثيات النقطة 
تنتمي إلى الخط، وإحداثيات متجه الاتجاه 
. ومن المعادلات الأساسية للخط الثاني، تُعرف أيضًا إحداثيات النقطة 
وإحداثيات متجه الاتجاه 
.
المسافة بين الخطوط المتوازية تساوي مسافة النقطة 
من الخط المستقيم الثاني . يتم حساب هذه المسافة بواسطة الصيغة
.
دعونا نجد إحداثيات المتجه 
.
دعونا نحسب المنتج المتجه 
:
.
المشكلة 75. ابحث عن نقطة 
نقطة متناظرة 
مستقيم نسبيا
.
حل. دعونا نكتب معادلة المستوى العمودي على مستقيم معين ويمر بنقطة 
. كما ناقلاتها العادية 
يمكنك أن تأخذ المتجه الموجه للخط المستقيم. ثم 
. لذلك،
دعونا نجد نقطة 
نقطة تقاطع هذا الخط مع المستوى P. للقيام بذلك، نكتب المعادلات البارامترية للخط باستخدام المعادلات (10)، نحصل عليها
لذلك، 
.
يترك 
نقطة متناظرة إلى نقطة 
نسبة إلى هذا الخط. ثم أشر 
نقطة المنتصف 
. للعثور على إحداثيات نقطة 
نستخدم الصيغ لإحداثيات منتصف القطعة:
,
,
.
لذا، 
.
المسألة 76. اكتب معادلة المستوى الذي يمر عبر خط 
و
أ) من خلال نقطة 
;
ب) عمودي على الطائرة.
حل.دعونا نكتب المعادلات العامة لهذا الخط. للقيام بذلك، ضع في اعتبارك معادلتين:
وهذا يعني أن المستوى المطلوب ينتمي إلى مجموعة مستويات ذات مولدات ويمكن كتابة معادلتها على الصورة (8):
أ) دعونا نجد 
و 
من شرط أن الطائرة تمر عبر هذه النقطة 
ولذلك فإن إحداثياته يجب أن تحقق معادلة المستوى. دعونا نعوض بإحداثيات النقطة 
في معادلة مجموعة من الطائرات:
وجدت قيمة 
لنعوض بها في المعادلة (12). نحصل على معادلة المستوى المطلوب:
ب) دعونا نجد 
و 
بشرط أن يكون المستوى المطلوب عموديا على المستوى . المتجه الطبيعي لمستوى معين 
، المتجه الطبيعي للمستوى المطلوب (انظر معادلة مجموعة من المستويات (12).
يكون المتجهان متعامدين إذا وفقط إذا كان حاصل ضربهما القياسي صفرًا. لذلك،
دعونا نستبدل القيمة التي تم العثور عليها 
في معادلة مجموعة من المستويات (12). نحصل على معادلة المستوى المطلوب:
مشاكل لحلها بشكل مستقل
المشكلة 77. إحضار معادلة الخطوط إلى الشكل القانوني:
1)
2)
المسألة 78. اكتب المعادلات البارامترية للخط 
، لو:
1)
,
;
2)
,
.
المشكلة 79. اكتب معادلة المستوى الذي يمر بالنقطة 
عمودي على خط مستقيم 
المسألة 80. اكتب معادلات الخط الذي يمر بنقطة 
عمودي على الطائرة.
المشكلة 81. أوجد الزاوية بين السطور:
1)
و 
;
2)
و 
المشكلة 82. إثبات التوازي بين الخطوط:
و 
.
المسألة 83. إثبات عمودي الخطوط:
و 
المشكلة 84. احسب مسافة النقطة 
من الخط المستقيم:
1)
;
2)
.
المشكلة 85. احسب المسافة بين الخطوط المتوازية:
و 
.
المشكلة 86. في معادلات الخط 
تحديد المعلمة 
بحيث يتقاطع هذا الخط مع الخط ونجد نقطة تقاطعهما.
المشكلة 87. أظهر أنه مستقيم 
موازية للطائرة 
، والخط المستقيم 
يكمن في هذه الطائرة.
المشكلة 88. العثور على نقطة 
نقطة متناظرة 
نسبة إلى الطائرة 
، لو:
1)
,
;
2)
,
;.
المسألة 89. اكتب معادلة الخط العمودي الذي سقط من نقطة ما 
مباشرة 
.
مشكلة 90. العثور على نقطة 
نقطة متناظرة 
مستقيم نسبيا 
.
أوه-أوه-أوه-أوه... حسنًا، الأمر صعب، كما لو كان يقرأ جملة لنفسه =) لكن الاسترخاء سيساعد لاحقًا، خاصة وأنني اشتريت اليوم الملحقات المناسبة. لذلك، دعونا ننتقل إلى القسم الأول، وآمل أنه بنهاية المقال سأحافظ على مزاج مبهج.
الموضع النسبي لخطين مستقيمينهذا هو الحال عندما يغني الجمهور في جوقة. يمكن لخطين مستقيمين أن:
1) المباراة؛
2) تكون متوازية : ;
3) أو تتقاطع في نقطة واحدة : .
مساعدة للدمى : من فضلك تذكر علامة التقاطع الرياضية، سوف تظهر في كثير من الأحيان. الترميز يعني أن الخط يتقاطع مع الخط عند النقطة .
كيفية تحديد الموضع النسبي لخطين؟لنبدأ بالحالة الأولى:
يتطابق الخطان إذا وفقط إذا كانت معاملاتهما المتناظرة متناسبة، أي أن هناك رقم "لامدا" بحيث تكون التساويات متناسبة
لنفكر في الخطوط المستقيمة وننشئ ثلاث معادلات من المعاملات المقابلة: . ويترتب على كل معادلة أن هذه الخطوط متطابقة.
وبالفعل، إذا كانت جميع معاملات المعادلة 
اضرب بـ -1 (علامات التغيير)، وجميع معاملات المعادلة 
وبقطع 2 تحصل على نفس المعادلة: .
الحالة الثانية عندما يكون المستقيمان متوازيين:
يكون الخطان متوازيين إذا وفقط إذا كانت معاملات متغيراتهما متناسبة: 
، لكن .
على سبيل المثال، النظر في خطين مستقيمين. نتحقق من تناسب المعاملات المقابلة للمتغيرات: 
ومع ذلك، فمن الواضح تماما أن.
والحالة الثالثة عندما تتقاطع الخطوط:
يتقاطع خطان إذا وفقط إذا كانت معاملاتهما للمتغيرات غير متناسبة، أي أنه لا توجد قيمة "لامدا" تحملها المساواة 
لذلك، بالنسبة للخطوط المستقيمة، سنقوم بإنشاء نظام: 
من المعادلة الأولى ينتج ذلك، ومن المعادلة الثانية: مما يعني أن النظام غير متناسق (لا توجد حلول). وبالتالي فإن معاملات المتغيرات ليست متناسبة.
الخلاصة: الخطوط متقاطعة
في المسائل العملية، يمكنك استخدام مخطط الحل الذي تمت مناقشته للتو. بالمناسبة، إنه يذكرنا جدًا بخوارزمية فحص المتجهات بحثًا عن العلاقة الخطية المتداخلة، والتي ناقشناها في الدرس مفهوم الاعتماد الخطي (غير) للمتجهات. أساس المتجهات. ولكن هناك عبوة أكثر تحضرا:
مثال 1
معرفة الموقع النسبي للخطوط: 
الحل يعتمد على دراسة توجيه متجهات الخطوط المستقيمة:
أ) من المعادلات نجد متجهات الاتجاه للخطوط: 
.
مما يعني أن المتجهات ليست على خط مستقيم وأن الخطوط متقاطعة.
فقط في حالة، سأضع حجرًا عليه علامات عند مفترق الطرق:
يقفز الباقون فوق الحجر ويتبعون مباشرة إلى كاششي الخالد =)
ب) أوجد متجهات الاتجاه للخطوط: 
الخطوط لها نفس متجه الاتجاه، مما يعني أنها إما متوازية أو متطابقة. ليست هناك حاجة لحساب المحدد هنا.
ومن الواضح أن معاملات المجهولين متناسبة، و.
دعونا نعرف ما إذا كانت المساواة صحيحة: 
هكذا،
ج) أوجد متجهات الاتجاه للخطوط: 
لنحسب المحدد المكون من إحداثيات هذه المتجهات: 
وبالتالي فإن متجهات الاتجاه تكون على خط واحد. الخطوط إما متوازية أو متطابقة.
من السهل رؤية معامل التناسب "لامدا" مباشرة من نسبة متجهات الاتجاه الخطية المتداخلة. ومع ذلك، يمكن العثور عليه أيضًا من خلال معاملات المعادلات نفسها: 
.
الآن دعونا معرفة ما إذا كانت المساواة صحيحة. كلا الحدين المجانيين صفر، لذلك:
القيمة الناتجة تلبي هذه المعادلة (أي رقم بشكل عام يرضيها).
وهكذا تتطابق الخطوط.
إجابة :
ستتعلم قريبًا جدًا (أو حتى تعلمت بالفعل) حل المشكلة التي تمت مناقشتها لفظيًا حرفيًا في غضون ثوانٍ. وفي هذا الصدد، لا أرى أي فائدة من تقديم أي شيء لحل مستقل؛ فمن الأفضل وضع لبنة أخرى مهمة في الأساس الهندسي:
كيفية بناء خط موازي لخط معين؟لجهل هذه المهمة البسيطة، يعاقب السارق العندليب بشدة.
مثال 2
يتم إعطاء الخط المستقيم بالمعادلة. اكتب معادلة المستقيم الموازي الذي يمر بالنقطة.
الحل: نشير إلى السطر المجهول بالحرف . ماذا تقول الحالة عنها؟ يمر الخط المستقيم عبر هذه النقطة. وإذا كانت الخطوط متوازية، فمن الواضح أن متجه الاتجاه للخط المستقيم "tse" مناسب أيضًا لبناء الخط المستقيم "de".
نخرج متجه الاتجاه من المعادلة:
إجابة :
يبدو المثال الهندسي بسيطًا: 
يتكون الاختبار التحليلي من الخطوات التالية:
1) نتحقق من أن الخطوط لها نفس متجه الاتجاه (إذا لم يتم تبسيط معادلة الخط بشكل صحيح، فإن المتجهات ستكون على خط واحد).
2) التحقق مما إذا كانت النقطة تحقق المعادلة الناتجة.
في معظم الحالات، يمكن إجراء الاختبارات التحليلية بسهولة عن طريق الفم. انظروا إلى المعادلتين، والعديد منكم سيحدد بسرعة توازي الخطين دون أي رسم.
أمثلة على الحلول المستقلة اليوم ستكون إبداعية. لأنه لا يزال يتعين عليك التنافس مع بابا ياجا، وهي، كما تعلمون، من محبي جميع أنواع الألغاز.
مثال 3
اكتب معادلة المستقيم الذي يمر بنقطة موازية للخط إذا
هناك طريقة عقلانية وغير عقلانية لحلها. أقصر طريق هو في نهاية الدرس.
لقد عملنا قليلاً مع الخطوط المتوازية وسنعود إليها لاحقاً. إن حالة الخطوط المتطابقة ليست ذات أهمية كبيرة، لذلك دعونا نفكر في مشكلة مألوفة لك جدًا من المنهج الدراسي:
كيفية العثور على نقطة تقاطع خطين؟إذا كان مستقيما 
تتقاطع عند نقطة فإن إحداثياتها تكون حلاً لنظام المعادلات الخطية 
كيفية العثور على نقطة تقاطع الخطوط؟ حل النظام.
هذا هو المعنى الهندسي لنظام من معادلتين خطيتين مع مجهولين - وهما خطان متقاطعان (في أغلب الأحيان) على المستوى.
مثال 4
العثور على نقطة تقاطع الخطوط
الحل: هناك طريقتان للحل - رسومية وتحليلية.
الطريقة الرسومية هي ببساطة رسم الخطوط المعطاة ومعرفة نقطة التقاطع مباشرة من الرسم: 
وهنا وجهة نظرنا: . للتحقق من ذلك، يجب عليك استبدال إحداثياته في كل معادلة على الخط؛ بمعنى آخر، إحداثيات النقطة هي حل للنظام. في الأساس، نظرنا إلى طريقة رسومية لحل نظام من المعادلات الخطية بمعادلتين، ومجهولان.
الطريقة الرسومية بالطبع ليست سيئة، لكن هناك عيوب ملحوظة. لا، النقطة ليست أن طلاب الصف السابع يقررون بهذه الطريقة، النقطة المهمة هي أن إنشاء رسم صحيح ودقيق سيستغرق وقتًا. بالإضافة إلى ذلك، ليس من السهل إنشاء بعض الخطوط المستقيمة، وقد تكون نقطة التقاطع نفسها موجودة في مكان ما في المملكة الثلاثين خارج ورقة دفتر الملاحظات.
لذلك، من الأفضل البحث عن نقطة التقاطع باستخدام الطريقة التحليلية. دعونا نحل النظام: 
لحل النظام تم استخدام طريقة جمع المعادلات حداً تلو الآخر. لتطوير المهارات ذات الصلة، قم بزيارة الدرس كيفية حل نظام من المعادلات؟
إجابة :
التحقق تافه - إحداثيات نقطة التقاطع يجب أن تلبي كل معادلة النظام.
مثال 5
أوجد نقطة تقاطع الخطين إذا كانا متقاطعين.
هذا مثال لك لحله بنفسك. من الملائم تقسيم المهمة إلى عدة مراحل. يشير تحليل الحالة إلى أنه من الضروري:
1) أكتب معادلة الخط المستقيم .
2) أكتب معادلة الخط المستقيم .
3) معرفة الموقع النسبي للخطوط.
4) إذا تقاطع المستقيمان فأوجد نقطة التقاطع.
يعد تطوير خوارزمية الإجراء نموذجيًا للعديد من المشكلات الهندسية، وسأركز بشكل متكرر على هذا الأمر.
الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس:
ولم يتم ارتداء حتى زوج من الأحذية قبل أن نصل إلى القسم الثاني من الدرس:
خطوط متعامدة. المسافة من نقطة إلى خط.الزاوية بين الخطوط المستقيمة
لنبدأ بمهمة نموذجية ومهمة جدًا. في الجزء الأول، تعلمنا كيفية بناء خط مستقيم موازٍ لهذا الخط، والآن سيتحول الكوخ الموجود على أرجل الدجاج إلى 90 درجة:
كيفية بناء خط عمودي على واحد معين؟مثال 6
يتم إعطاء الخط المستقيم بالمعادلة. اكتب معادلة عمودية على الخط الذي يمر بالنقطة.
الحل: بالشرط معروف أن . سيكون من الجيد العثور على المتجه الموجه للخط. بما أن الخطوط متعامدة، فالخدعة بسيطة:
من المعادلة نقوم "بإزالة" المتجه العادي: والذي سيكون المتجه الموجه للخط المستقيم.
لنقم بتكوين معادلة الخط المستقيم باستخدام نقطة ومتجه اتجاه:
إجابة : 
دعونا نوسع الرسم الهندسي:
هممممم... سماء برتقالية، بحر برتقالي، جمل برتقالي.
التحقق التحليلي من الحل:
1) نخرج متجهات الاتجاه من المعادلات 
وباستخدام المنتج القياسي للمتجهات نتوصل إلى استنتاج مفاده أن الخطوط المتعامدة بالفعل: .
بالمناسبة، يمكنك استخدام المتجهات العادية، بل إنه أسهل.
2) التحقق مما إذا كانت النقطة تحقق المعادلة الناتجة 
.
ومرة أخرى، من السهل إجراء الاختبار شفويا.
مثال 7
أوجد نقطة تقاطع المستقيمين المتعامدين إذا كانت المعادلة معروفة 
والفترة.
هذا مثال لك لحله بنفسك. هناك العديد من الإجراءات في المشكلة، لذلك من الملائم صياغة الحل نقطة تلو الأخرى.
رحلتنا المثيرة مستمرة:
المسافة من نقطة إلى خطأمامنا شريط مستقيم من النهر ومهمتنا هي الوصول إليه بأقصر طريق. لا توجد عقبات، والطريق الأمثل هو التحرك على طول الخط العمودي. أي أن المسافة من نقطة إلى خط مستقيم هي طول القطعة المتعامدة.
يُشار إلى المسافة في الهندسة تقليديًا بالحرف اليوناني "rho"، على سبيل المثال: - المسافة من النقطة "em" إلى الخط المستقيم "de".
المسافة من نقطة إلى خط 
يتم التعبير عنها بواسطة الصيغة 
مثال 8
أوجد المسافة من نقطة إلى خط 
الحل: كل ما عليك فعله هو استبدال الأرقام بعناية في الصيغة وإجراء الحسابات:
إجابة : 
لنقم بالرسم: 
المسافة التي تم العثور عليها من النقطة إلى الخط هي بالضبط طول القطعة الحمراء. إذا قمت برسم رسم على ورق مربعات بمقياس وحدة واحدة. = 1 سم (خليتان)، فيمكن قياس المسافة بمسطرة عادية.
لنفكر في مهمة أخرى بناءً على نفس الرسم:
وتتمثل المهمة في العثور على إحداثيات نقطة متناظرة مع النقطة بالنسبة للخط المستقيم 
. أقترح تنفيذ الخطوات بنفسك، ولكنني سأحدد خوارزمية الحل ذات النتائج المتوسطة:
1) ابحث عن مستقيم عمودي على الخط.
2) أوجد نقطة تقاطع الخطين: 
.
تتم مناقشة كلا الإجراءين بالتفصيل في هذا الدرس.
3) النقطة هي منتصف القطعة . نحن نعرف إحداثيات الوسط وأحد الأطراف. وباستخدام صيغ إحداثيات منتصف القطعة نجد أن .
وستكون فكرة جيدة أن نتأكد من أن المسافة أيضًا تساوي 2.2 وحدة.
قد تنشأ صعوبات في العمليات الحسابية هنا، ولكن الآلة الحاسبة الدقيقة هي مساعدة كبيرة في البرج، مما يسمح لك بحساب الكسور العادية. لقد نصحتك مرات عديدة وسوف أوصيك مرة أخرى.
كيفية العثور على المسافة بين خطين متوازيين؟مثال 9
أوجد المسافة بين خطين متوازيين
وهذا مثال آخر عليك أن تقرره بنفسك. سأعطيك تلميحًا بسيطًا: هناك طرق عديدة لحل هذه المشكلة. استخلاص المعلومات في نهاية الدرس، ولكن من الأفضل أن تحاول التخمين بنفسك، أعتقد أن براعتك كانت متطورة بشكل جيد.
الزاوية بين خطين مستقيمينكل زاوية هي عضادة: 
في الهندسة، تعتبر الزاوية بين خطين مستقيمين هي الزاوية الأصغر، والتي يتبع منها تلقائيًا أنها لا يمكن أن تكون منفرجة. في الشكل، الزاوية المشار إليها بالقوس الأحمر لا تعتبر الزاوية بين الخطوط المتقاطعة. وجاره "الأخضر" أو موجهة بشكل معاكسزاوية "التوت".
إذا كانت الخطوط متعامدة، فيمكن اعتبار أي من الزوايا الأربع هي الزاوية بينهما.
كيف تختلف الزوايا؟ توجيه. أولاً، الاتجاه الذي يتم فيه "تمرير" الزاوية مهم بشكل أساسي. ثانياً، يتم كتابة الزاوية ذات الاتجاه السالب بعلامة الطرح، على سبيل المثال if .
لماذا قلت لك هذا؟ يبدو أنه يمكننا التعامل مع المفهوم المعتاد للزاوية. والحقيقة هي أن الصيغ التي سنجد بها الزوايا يمكن أن تؤدي بسهولة إلى نتيجة سلبية، وهذا لا ينبغي أن يفاجئك. الزاوية التي تحمل علامة الطرح ليست أسوأ، ولها معنى هندسي محدد للغاية. في الرسم، بالنسبة للزاوية السلبية، تأكد من الإشارة إلى اتجاهها بسهم (في اتجاه عقارب الساعة).
كيفية العثور على الزاوية بين خطين مستقيمين؟ هناك صيغتان للعمل:
مثال 10
أوجد الزاوية بين الخطوط
الحل والطريقة الأولى
لنفكر في خطين مستقيمين تحددهما المعادلات بشكل عام: 
إذا كانت الخطوط ليست متعامدة، ثم الموجهةيمكن حساب الزاوية بينهما باستخدام الصيغة: 
دعونا نولي اهتمامًا وثيقًا للمقام - هذا هو بالضبط المنتج القياسي لمتجهات الاتجاه للخطوط:
إذا كان مقام الصيغة يصبح صفرًا، وستكون المتجهات متعامدة والخطوط متعامدة. ولهذا السبب تم التحفظ على عدم تعامد الخطوط في الصياغة.
بناءً على ما سبق، من المناسب صياغة الحل في خطوتين:
1) لنحسب المنتج العددي لمتجهات الاتجاه للخطوط:
مما يعني أن الخطوط ليست متعامدة.
2) أوجد الزاوية بين الخطوط المستقيمة باستخدام الصيغة:
باستخدام الدالة العكسية، من السهل العثور على الزاوية نفسها. في هذه الحالة، نستخدم غرابة ظل القطب الشمالي (انظر الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الأولية): 
إجابة : 
نشير في الإجابة إلى القيمة الدقيقة، بالإضافة إلى القيمة التقريبية (ويفضل أن تكون بالدرجات والراديان)، والتي يتم حسابها باستخدام الآلة الحاسبة.
حسنا، ناقص، ناقص، ليس مشكلة كبيرة. هنا رسم توضيحي هندسي: 
ليس من المستغرب أن تكون الزاوية ذات اتجاه سلبي، لأنه في بيان المشكلة، الرقم الأول هو خط مستقيم وبدأ "فك" الزاوية به على وجه التحديد.
إذا كنت تريد حقًا الحصول على زاوية موجبة، فأنت بحاجة إلى تبديل الخطوط، أي أخذ المعاملات من المعادلة الثانية 
، وخذ المعاملات من المعادلة الأولى. باختصار، عليك أن تبدأ مباشرة 
.