الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.
جمع واستخدام المعلومات الشخصية
تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.
قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.
فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.
ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:
- عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.
كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:
- تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
- من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
- قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
- إذا شاركت في سحب على جوائز أو مسابقة أو عروض ترويجية مماثلة، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.
الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة
نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.
الاستثناءات:
- إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من السلطات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
- في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.
حماية المعلومات الشخصية
نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.
احترام خصوصيتك على مستوى الشركة
للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.
دعونا ننظر في بعض أنواع المعادلات اللوغاريتمية، التي لا تتم مناقشتها في كثير من الأحيان في دروس الرياضيات في المدرسة، ولكنها تستخدم على نطاق واسع في إعداد المهام التنافسية، بما في ذلك امتحان الدولة الموحدة.
1. حل المعادلات بطريقة اللوغاريتم
عند حل المعادلات التي تحتوي على متغير في كل من الأساس والأس، يتم استخدام طريقة اللوغاريتم. إذا كان الأس يحتوي في نفس الوقت على لوغاريتم، فيجب لوغاريتم طرفي المعادلة إلى أساس هذا اللوغاريتم.
مثال 1.
حل المعادلة: x log 2 x+2 = 8.
حل.
لنأخذ لوغاريتم الجانبين الأيسر والأيمن للمعادلة إلى الأساس 2. نحصل على ذلك
سجل 2 (س سجل 2 × + 2) = سجل 2 8،
(سجل 2 × + 2) سجل 2 × = 3.
دعونا سجل 2 س = ر.
ثم (ر + 2)ر = 3.
ر 2 + 2ر – 3 = 0.
د = 16. ر 1 = 1؛ ر 2 = -3.
إذن سجل 2 × = 1 و × 1 = 2 أو سجل 2 × = -3 و × 2 = 1/8
الجواب: 1/8؛ 2.
2. المعادلات اللوغاريتمية المتجانسة.
مثال 2.
حل سجل المعادلة 2 3 (x 2 – 3x + 4) – 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 – 3x + 4) – 2log 2 3 (x + 5) = 0
حل.
مجال المعادلة
(س 2 - 3س + 4 > 0،
(س + 5 > 0. → س > -5.
سجل 3 (س + 5) = 0 عند س = -4. من خلال التحقق نحدد أن قيمة x هذه ليست كذلك 
هو جذر المعادلة الأصلية. لذلك يمكننا قسمة طرفي المعادلة على log 2 3 (x + 5).
نحصل على log 2 3 (x 2 – 3x + 4) / log 2 3 (x + 5) – 3 log 3 (x 2 – 3x + 4) / log 3 (x + 5) + 2 = 0.
دع log 3 (x 2 – 3x + 4) / log 3 (x + 5) = t. ثم ر 2 - 3 ر + 2 = 0. جذور هذه المعادلة هي 1؛ 2. وبالعودة إلى المتغير الأصلي، نحصل على مجموعة من المعادلتين
لكن مع الأخذ في الاعتبار وجود اللوغاريتم، نحتاج إلى النظر فقط في القيم (0؛ 9). وهذا يعني أن التعبير الموجود على الجانب الأيسر يأخذ القيمة الأكبر 2 عند x = 1. الآن فكر في الدالة y = 2 x-1 + 2 1-x إذا أخذنا t = 2 x -1، فسوف يأخذ الشكل y = t + 1/t، حيث t > 0. في مثل هذه الظروف، يكون له نقطة حرجة واحدة t. = 1. هذه هي النقطة الدنيا Y vin = 2. ويتم الوصول إليها عند x = 1.
من الواضح الآن أن الرسوم البيانية للوظائف قيد النظر يمكن أن تتقاطع مرة واحدة فقط عند النقطة (1؛ 2). اتضح أن x = 1 هو الجذر الوحيد للمعادلة التي يتم حلها.
الجواب: س = 1.
مثال 5. حل سجل المعادلة 2 2 x + (x – 1) log 2 x = 6 – 2x
حل.
دعونا نحل هذه المعادلة لـ log 2 x. دعونا سجل 2 س = ر. ثم ر 2 + (س – 1) ر – 6 + 2س = 0.
د = (س – 1) 2 – 4(2س – 6) = (س – 5) 2. ر 1 = -2؛ ر 2 = 3 - س.
نحصل على سجل المعادلة 2 x = -2 أو log 2 x = 3 - x.
جذر المعادلة الأولى هو x 1 = 1/4. 
سنجد جذر سجل المعادلة 2 x = 3 – x بالاختيار. هذا هو الرقم 2. هذا الجذر فريد من نوعه، حيث أن الدالة y = log 2 x تتزايد في جميع أنحاء مجال التعريف بأكمله، والدالة y = 3 – x آخذة في التناقص.
من السهل التحقق من أن كلا الرقمين هما جذور المعادلة
الجواب: 1/4؛ 2.
موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.
سنتعلم اليوم كيفية حل أبسط المعادلات اللوغاريتمية، حيث لا يلزم إجراء تحويلات أولية أو اختيار الجذور. ولكن إذا تعلمت حل هذه المعادلات، فسيكون الأمر أسهل بكثير.
أبسط معادلة لوغاريتمية هي معادلة على شكل سجل a f (x) = b، حيث a، b أرقام (a > 0، a ≠ 1)، f (x) هي دالة معينة.
السمة المميزة لجميع المعادلات اللوغاريتمية هي وجود المتغير x تحت علامة اللوغاريتم. إذا كانت هذه هي المعادلة المعطاة في البداية في المشكلة، فإنها تسمى الأبسط. يتم اختزال أي معادلات لوغاريتمية أخرى إلى أبسطها عن طريق تحويلات خاصة (انظر "الخصائص الأساسية للوغاريتمات"). ومع ذلك، يجب أن تؤخذ العديد من التفاصيل الدقيقة في الاعتبار: قد تنشأ جذور إضافية، لذلك سيتم النظر في المعادلات اللوغاريتمية المعقدة بشكل منفصل.
كيفية حل مثل هذه المعادلات؟ يكفي استبدال الرقم الموجود على يمين علامة المساواة بلوغاريتم في نفس الأساس الموجود على اليسار. ثم يمكنك التخلص من علامة اللوغاريتم. نحن نحصل:
سجل أ و (س) = ب ⇒ سجل أ و (س) = سجل أ أ ب ⇒ و (س) = أ ب
لقد حصلنا على المعادلة المعتادة. جذورها هي جذور المعادلة الأصلية.
اخراج الدرجات
في كثير من الأحيان، يتم حل المعادلات اللوغاريتمية، التي تبدو ظاهريًا معقدة وخطيرة، في سطرين فقط دون استخدام صيغ معقدة. سننظر اليوم في مثل هذه المشكلات، حيث كل ما هو مطلوب منك هو تقليل الصيغة بعناية إلى النموذج القانوني وعدم الخلط عند البحث عن مجال تعريف اللوغاريتمات.
اليوم، كما خمنت على الأرجح من العنوان، سنحل المعادلات اللوغاريتمية باستخدام صيغ للانتقال إلى النموذج القانوني. "الحيلة" الرئيسية لدرس الفيديو هذا هي العمل بالدرجات، أو بالأحرى، استنتاج الدرجة من الأساس والحجة. دعونا ننظر إلى القاعدة:
وبالمثل، يمكنك استخلاص الدرجة من القاعدة:
كما نرى، إذا أزلنا الدرجة من سعة اللوغاريتم، كان لدينا ببساطة عامل إضافي في المقدمة، فعندما أزلنا الدرجة من القاعدة، لا نحصل على مجرد عامل، بل عاملًا مقلوبًا. هذا يحتاج إلى أن نتذكر.
وأخيرا، الشيء الأكثر إثارة للاهتمام. ويمكن دمج هذه الصيغ فنحصل على:
وبطبيعة الحال، عند إجراء هذه التحولات، هناك بعض المزالق المرتبطة بالتوسيع المحتمل لنطاق التعريف أو، على العكس من ذلك، تضييق نطاق التعريف. أحكم لنفسك:
سجل 3 × 2 = 2 ∙ سجل 3 ×
إذا كان x في الحالة الأولى يمكن أن يكون أي رقم غير 0، أي المتطلب x ≠ 0، ففي الحالة الثانية نكون راضين عن x فقط، والتي ليست فقط غير متساوية، ولكنها أكبر تمامًا من 0، لأن مجال تعريف اللوغاريتم هو أن الحجة تكون أكبر من 0. لذلك، سأذكرك بصيغة رائعة من دورة الجبر للصف الثامن إلى التاسع:
أي أننا يجب أن نكتب صيغتنا على النحو التالي:
سجل 3 × 2 = 2 ∙ سجل 3 |س |
عندها لن يحدث أي تضييق لنطاق التعريف.
ومع ذلك، في الفيديو التعليمي اليوم لن تكون هناك مربعات. إذا نظرت إلى مهامنا، فلن ترى سوى الجذور. لذلك، لن نطبق هذه القاعدة، ولكن لا يزال عليك أن تضعها في الاعتبار بحيث في اللحظة المناسبة، عندما ترى دالة تربيعية في وسيطة أو قاعدة لوغاريتم، ستتذكر هذه القاعدة وتنفذ كل ما يلي التحولات بشكل صحيح.
إذن المعادلة الأولى هي:
لحل هذه المشكلة، أقترح أن ننظر بعناية في كل من المصطلحات الموجودة في الصيغة.
دعونا نعيد كتابة الحد الأول كقوة ذات أس عقلاني:
نحن ننظر إلى الحد الثاني: سجل 3 (1 - س). ليست هناك حاجة لفعل أي شيء هنا، كل شيء قد تحول هنا بالفعل.
أخيرًا، 0، 5. كما قلت في الدروس السابقة، عند حل المعادلات والصيغ اللوغاريتمية، أوصي بشدة بالانتقال من الكسور العشرية إلى الكسور العادية. هيا بنا نقوم بذلك:
0,5 = 5/10 = 1/2
دعونا نعيد كتابة صيغتنا الأصلية مع الأخذ بعين الاعتبار المصطلحات الناتجة:
سجل 3 (1 − س ) = 1
الآن دعنا ننتقل إلى النموذج القانوني:
سجل 3 (1 − x ) = سجل 3 3
نتخلص من علامة اللوغاريتم عن طريق مساواة الوسيطات:
1 - س = 3
-س = 2
س = −2
هذا كل شيء، لقد حللنا المعادلة. ومع ذلك، دعونا نواصل اللعب بأمان ونبحث عن مجال التعريف. للقيام بذلك، دعونا نعود إلى الصيغة الأصلية ونرى:
1 - س > 0
-س > −1
س< 1
جذرنا x = −2 يفي بهذا المطلب، لذلك x = −2 هو حل للمعادلة الأصلية. الآن حصلنا على تبرير صارم وواضح. هذا كل شيء، تم حل المشكلة.
لننتقل إلى المهمة الثانية:
دعونا ننظر إلى كل مصطلح على حدة.
لنكتب أول واحد:
لقد حولنا الفصل الأول. نحن نعمل مع الفصل الثاني:
وأخيراً الحد الأخير الذي يقع على يمين علامة التساوي:
نستبدل التعبيرات الناتجة بدلاً من المصطلحات في الصيغة الناتجة:
سجل 3 × = 1
دعنا ننتقل إلى النموذج القانوني:
سجل 3 س = سجل 3 3
نتخلص من علامة اللوغاريتم، ومساواة الحجج، ونحصل على:
س = 3
مرة أخرى، لكي نكون على الجانب الآمن، دعونا نعود إلى المعادلة الأصلية ونلقي نظرة. في الصيغة الأصلية، المتغير x موجود فقط في الوسيطة، لذلك،
س> 0
في اللوغاريتم الثاني، x يقع تحت الجذر، ولكن مرة أخرى في الوسيطة، يجب أن يكون الجذر أكبر من 0، أي أن التعبير الجذري يجب أن يكون أكبر من 0. نحن ننظر إلى جذرنا x = 3. من الواضح أنه يفي بهذا المطلب. وبالتالي فإن x = 3 هو حل للمعادلة اللوغاريتمية الأصلية. هذا كل شيء، تم حل المشكلة.
هناك نقطتان رئيسيتان في الفيديو التعليمي اليوم:
1) لا تخف من تحويل اللوغاريتمات، وعلى وجه الخصوص، لا تخف من إزالة القوى من علامة اللوغاريتم، مع تذكر صيغتنا الأساسية: عند إزالة القوة من الوسيطة، يتم إخراجها ببساطة دون تغييرات كمضاعف، وعند إزالة قوة من القاعدة، يتم عكس هذه القوة.
2) النقطة الثانية تتعلق بالشكل القانوني نفسه. لقد قمنا بالانتقال إلى الشكل القانوني في نهاية تحويل صيغة المعادلة اللوغاريتمية. دعني أذكرك بالصيغة التالية:
أ = سجل ب ب أ
وبالطبع أقصد بتعبير "أي رقم ب" تلك الأرقام التي تلبي المتطلبات المفروضة على قاعدة اللوغاريتم، أي.
1 ≠ ب > 0
لمثل هذا ب، وبما أننا نعرف الأساس بالفعل، فسيتم استيفاء هذا المطلب تلقائيًا. ولكن لمثل هذا ب - أي الذي يلبي هذا المطلب - يمكن إجراء هذا الانتقال، وسوف نحصل على شكل قانوني يمكننا من خلاله التخلص من علامة اللوغاريتم.
توسيع مجال التعريف والجذور الإضافية
في عملية تحويل المعادلات اللوغاريتمية، قد يحدث توسع ضمني في مجال التعريف. في كثير من الأحيان لا يلاحظ الطلاب ذلك، مما يؤدي إلى ارتكاب أخطاء وإجابات غير صحيحة.
لنبدأ بأبسط التصاميم. أبسط معادلة لوغاريتمية هي كما يلي:
سجل و(س) = ب
لاحظ أن x موجود في وسيطة واحدة فقط لوغاريتم واحد. كيف نحل مثل هذه المعادلات؟ نحن نستخدم النموذج الكنسي. للقيام بذلك، تخيل الرقم ب = سجل أ أ ب، وسيتم إعادة كتابة معادلتنا على النحو التالي:
سجل أ و (س) = سجل أ أ ب
هذا الإدخال يسمى النموذج القانوني. ولهذا يجب عليك تقليل أي معادلة لوغاريتمية ستواجهها ليس فقط في درس اليوم، ولكن أيضًا في أي عمل مستقل واختباري.
إن كيفية الوصول إلى الشكل القانوني والتقنيات التي يجب استخدامها هي مسألة ممارسة. الشيء الرئيسي الذي يجب فهمه هو أنه بمجرد تلقي مثل هذا السجل، يمكنك اعتبار أن المشكلة قد تم حلها. لأن الخطوة التالية هي الكتابة:
و (خ) = أ ب
بمعنى آخر، نتخلص من علامة اللوغاريتم ونساوي الحجج ببساطة.
لماذا كل هذا الكلام؟ والحقيقة هي أن النموذج الكنسي لا ينطبق فقط على أبسط المشاكل، ولكن أيضا على أي مشاكل أخرى. على وجه الخصوص، تلك التي سنقررها اليوم. دعونا نلقي نظرة.
المهمة الأولى:
ما هي المشكلة في هذه المعادلة؟ الحقيقة هي أن الدالة موجودة في لوغاريتمين في وقت واحد. يمكن تبسيط المشكلة إلى أبسطها عن طريق طرح لوغاريتم واحد من الآخر. ولكن تنشأ مشاكل في منطقة التعريف: قد تظهر جذور إضافية. لذلك دعونا نحرك أحد اللوغاريتمات إلى اليمين:
هذا الإدخال يشبه إلى حد كبير النموذج الأساسي. ولكن هناك فارق بسيط آخر: في الشكل القانوني، يجب أن تكون الحجج هي نفسها. وعلى اليسار لدينا اللوغاريتم في الأساس 3، وعلى اليمين في الأساس 1/3. وهو يعلم أن هذه القواعد تحتاج إلى رفعها إلى نفس العدد. على سبيل المثال، دعونا نتذكر ما هي القوى السلبية:
وبعد ذلك سنستخدم الأس "−1" خارج السجل كمضاعف:
يرجى ملاحظة: الدرجة التي كانت عند القاعدة تنقلب وتتحول إلى كسر. لقد حصلنا على تدوين قانوني تقريبًا من خلال التخلص من القواعد المختلفة، ولكن في المقابل حصلنا على العامل "-1" على اليمين. دعونا نحلل هذا العامل في الوسيطة بتحويله إلى قوة:
بالطبع، بعد أن تلقينا النموذج الكنسي، فإننا نعبر بجرأة علامة اللوغاريتم ونساوي الحجج. في الوقت نفسه، اسمحوا لي أن أذكرك أنه عند رفعه إلى القوة "−1"، يتم قلب الكسر ببساطة - يتم الحصول على نسبة.
دعونا نستخدم خاصية التناسب الأساسية ونضربها بالعرض:
(س − 4) (2س − 1) = (س − 5) (3س − 4)
2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20
2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20
س 2 − 10س + 16 = 0
أمامنا المعادلة التربيعية أعلاه، لذلك قمنا بحلها باستخدام صيغ فييتا:
(س − 8)(س − 2) = 0
س 1 = 8؛ × 2 = 2
هذا كل شئ. هل تعتقد أن المعادلة قد تم حلها؟ لا! لمثل هذا الحل سوف نحصل على 0 نقطة، لأن المعادلة الأصلية تحتوي على لوغاريتمين مع المتغير x. ولذلك، فمن الضروري أن تأخذ في الاعتبار مجال التعريف.
وهذا هو المكان الذي تبدأ فيه المتعة. معظم الطلاب في حيرة من أمرهم: ما هو مجال تعريف اللوغاريتم؟ بالطبع، جميع الوسيطات (لدينا اثنتين) يجب أن تكون أكبر من الصفر:
(س − 4)/(3س − 4) > 0
(س − 5)/(2س − 1) > 0
يجب حل كل من هذه المتباينات، ووضع علامة عليها على خط مستقيم، وتقاطعها، وعندها فقط معرفة الجذور التي تقع عند التقاطع.
سأكون صادقًا: هذه التقنية لها الحق في الوجود، وهي موثوقة، وستحصل على الإجابة الصحيحة، ولكن هناك الكثير من الخطوات غير الضرورية فيها. لذلك دعونا نراجع الحل مرة أخرى ونرى: أين نحتاج بالضبط إلى تطبيق النطاق؟ بمعنى آخر، عليك أن تفهم بوضوح متى تظهر الجذور الإضافية بالضبط.
- في البداية كان لدينا لوغاريتمين. ثم قمنا بنقل إحداها إلى اليمين، لكن ذلك لم يؤثر على منطقة التعريف.
- ثم نقوم بإزالة القوة من القاعدة، ولكن لا يزال هناك لوغاريتمين، وفي كل منهما يوجد متغير x.
- أخيرًا، نقوم بشطب علامات اللوغاريتم ونحصل على المعادلة المنطقية الكسرية الكلاسيكية.
وفي الخطوة الأخيرة يتم توسيع نطاق التعريف! وبمجرد انتقالنا إلى معادلة كسرية عقلانية، والتخلص من العلامات اللوغاريتمية، تغيرت متطلبات المتغير x بشكل كبير!
وبالتالي، لا يمكن اعتبار مجال التعريف في بداية الحل، ولكن فقط في الخطوة المذكورة - قبل مساواة الحجج مباشرة.
وهنا تكمن فرصة التحسين. من ناحية، مطلوب منا أن تكون كلتا الوسيطتين أكبر من الصفر. ومن ناحية أخرى، فإننا نساوي هذه الحجج أيضًا. لذلك، إذا كان واحد منهم على الأقل إيجابيا، فإن الثاني سيكون إيجابيا أيضا!
لذا فقد تبين أن اشتراط تحقيق متباينتين في وقت واحد هو أمر مبالغ فيه. يكفي النظر في واحد فقط من هذه الكسور. أيها؟ الذي هو أبسط. على سبيل المثال، دعونا ننظر إلى الكسر الأيمن:
(س − 5)/(2س − 1) > 0
هذه متباينة كسرية نموذجية، ونحلها باستخدام الطريقة الفاصلة:
كيفية وضع العلامات؟ لنأخذ رقمًا من الواضح أنه أكبر من جميع جذورنا. على سبيل المثال، 1 مليار ونعوض بكسرها. نحصل على رقم موجب، أي. على يمين الجذر x = 5 ستكون هناك علامة زائد.
ثم تتناوب العلامات، لأنه لا توجد جذور للتعدد في أي مكان. نحن مهتمون بالفترات التي تكون فيها الدالة موجبة. لذلك، x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).
الآن دعونا نتذكر الإجابات: x = 8 و x = 2. بالمعنى الدقيق للكلمة، هذه ليست إجابات بعد، ولكنها فقط مرشحة للإجابة. أي واحد ينتمي إلى المجموعة المحددة؟ بالطبع x = 8. لكن x = 2 لا تناسبنا من حيث مجال تعريفها.
في المجمل، ستكون إجابة المعادلة اللوغاريتمية الأولى هي x = 8. الآن لدينا حل كفء وقوي، مع الأخذ في الاعتبار مجال التعريف.
لننتقل إلى المعادلة الثانية:
سجل 5 (س − 9) = سجل 0.5 4 − سجل 5 (س − 5) + 3
اسمحوا لي أن أذكرك أنه إذا كان هناك كسر عشري في المعادلة، فعليك التخلص منه. بمعنى آخر، دعونا نعيد كتابة 0.5 في صورة كسر عادي. نلاحظ على الفور أن اللوغاريتم الذي يحتوي على هذا الأساس يمكن حسابه بسهولة:
هذه لحظة مهمة جدا! عندما يكون لدينا درجات في كل من القاعدة والوسيطة، يمكننا استخلاص مؤشرات هذه الدرجات باستخدام الصيغة:
دعنا نعود إلى المعادلة اللوغاريتمية الأصلية ونعيد كتابتها:
سجل 5 (س − 9) = 1 - سجل 5 (س − 5)
لقد حصلنا على تصميم قريب جدًا من الشكل الأساسي. ومع ذلك، نحن في حيرة من أمرنا بشأن المصطلحات وعلامة الطرح الموجودة على يمين علامة المساواة. لنمثل واحدًا على هيئة لوغاريتم للأساس 5:
سجل 5 (س − 9) = سجل 5 5 1 − سجل 5 (س − 5)
اطرح اللوغاريتمات الموجودة على اليمين (في هذه الحالة يتم تقسيم حججها):
سجل 5 (س − 9) = سجل 5 5/(س − 5)
رائع. لذلك حصلنا على الشكل القانوني! نقوم بشطب علامات السجل ومساواة الحجج:
(س − 9)/1 = 5/(س − 5)
هذه نسبة يمكن حلها بسهولة عن طريق الضرب بالعرض:
(س − 9)(x − 5) = 5 1
س 2 − 9س − 5س + 45 = 5
س 2 − 14س + 40 = 0
من الواضح أن لدينا معادلة تربيعية مخفضة. يمكن حلها بسهولة باستخدام صيغ فييتا:
(س − 10)(س − 4) = 0
× 1 = 10
× 2 = 4
لقد حصلنا على جذرين. لكن هذه ليست إجابات نهائية، بل مجرد إجابات مرشحة، لأن المعادلة اللوغاريتمية تتطلب أيضًا التحقق من مجال التعريف.
أذكرك: ليست هناك حاجة للبحث متى كلمن الحجج ستكون أكبر من الصفر. يكفي أن نشترط أن تكون الوسيطة الواحدة — إما x − 9 أو 5/(x − 5) — أكبر من الصفر. النظر في الحجة الأولى:
س − 9 > 0
س > 9
من الواضح أن x = 10 فقط يفي بهذا الشرط. تم حل المشكلة برمتها.
مرة أخرى، الأفكار الرئيسية لدرس اليوم:
- بمجرد ظهور المتغير x في عدة لوغاريتمات، تتوقف المعادلة عن أن تكون أولية، وسيتعين حساب مجال تعريفها. بخلاف ذلك، يمكنك بسهولة كتابة جذور إضافية في الإجابة.
- يمكن تبسيط العمل مع المجال نفسه بشكل كبير إذا لم نكتب عدم المساواة على الفور، ولكن بالضبط في الوقت الحالي عندما نتخلص من علامات السجل. بعد كل شيء، عندما تتساوى الحجج مع بعضها البعض، يكفي أن نشترط أن تكون واحدة منها فقط أكبر من الصفر.
بالطبع، نحن أنفسنا نختار الحجة التي سنستخدمها لتكوين المتباينة، لذا فمن المنطقي أن نختار أبسطها. على سبيل المثال، في المعادلة الثانية اخترنا الوسيطة (x − 9)، وهي دالة خطية، بدلاً من الوسيطة الثانية الكسرية. أوافق على أن حل المتراجحة x − 9 > 0 أسهل بكثير من 5/(x − 5) > 0. على الرغم من أن النتيجة واحدة.
تعمل هذه الملاحظة على تبسيط البحث عن ODZ إلى حد كبير، ولكن كن حذرًا: يمكنك استخدام متباينة واحدة بدلاً من متباينتين فقط إذا كانت الوسيطات دقيقة متساوون مع بعضهم البعض!
وبطبيعة الحال، سوف يتساءل شخص ما الآن: ما الذي يحدث بشكل مختلف؟ نعم احيانا. على سبيل المثال، في الخطوة نفسها، عندما نضرب وسيطتين تحتويان على متغير، يكون هناك خطر ظهور جذور غير ضرورية.
احكم بنفسك: أولاً يشترط أن تكون كل وسيطة أكبر من الصفر، ولكن بعد الضرب يكفي أن يكون حاصل ضربها أكبر من الصفر. ونتيجة لذلك، يتم تفويت الحالة التي يكون فيها كل من هذه الكسور سالبة.
لذلك، إذا كنت قد بدأت للتو في فهم المعادلات اللوغاريتمية المعقدة، فلا تضاعف تحت أي ظرف من الظروف اللوغاريتمات التي تحتوي على المتغير x - وهذا سيؤدي في كثير من الأحيان إلى ظهور جذور غير ضرورية. من الأفضل اتخاذ خطوة إضافية، ونقل مصطلح واحد إلى الجانب الآخر وإنشاء نموذج أساسي.
حسنًا، ماذا تفعل إذا لم تتمكن من فعل ذلك دون مضاعفة هذه اللوغاريتمات، سنناقشها في درس الفيديو التالي :)
مرة أخرى عن القوى في المعادلة
سنتناول اليوم موضوعًا زلقًا بعض الشيء يتعلق بالمعادلات اللوغاريتمية، أو بشكل أدق، إزالة القوى من حجج وأسس اللوغاريتمات.
أود حتى أن أقول إننا سنتحدث عن إزالة القوى الزوجية، لأنه مع القوى الزوجية تنشأ معظم الصعوبات عند حل المعادلات اللوغاريتمية الحقيقية.
لنبدأ بالشكل القانوني. لنفترض أن لدينا معادلة بالصيغة log a f (x) = b. في هذه الحالة، نعيد كتابة الرقم b باستخدام الصيغة b = log a a b . اتضح ما يلي:
سجل أ و (س) = سجل أ أ ب
ثم نقوم بمساواة الحجج:
و (خ) = أ ب
تسمى الصيغة قبل الأخيرة بالشكل القانوني. ولهذا يحاولون اختزال أي معادلة لوغاريتمية، مهما بدت معقدة ومخيفة للوهلة الأولى.
لذلك دعونا نحاول ذلك. لنبدأ بالمهمة الأولى:
ملاحظة أولية: كما قلت سابقًا، من الأفضل تحويل جميع الكسور العشرية في المعادلة اللوغاريتمية إلى كسور عادية:
0,5 = 5/10 = 1/2
دعونا نعيد كتابة المعادلة مع أخذ هذه الحقيقة في الاعتبار. لاحظ أن كلا من 1/1000 و100 هما من قوى العدد عشرة، ثم دعونا نحذف القوى أينما كانت: من الحجج وحتى من قاعدة اللوغاريتمات:
وهنا لدى العديد من الطلاب سؤال: "من أين أتت الوحدة الموجودة على اليمين؟" في الواقع، لماذا لا نكتب ببساطة (x − 1)؟ بالطبع سنكتب الآن (x − 1)، لكن مع مراعاة مجال التعريف يمنحنا الحق في مثل هذا التدوين. ففي النهاية، هناك لوغاريتم آخر يحتوي بالفعل على (x − 1)، ويجب أن يكون هذا التعبير أكبر من الصفر.
لكن عندما نزيل المربع من قاعدة اللوغاريتم، يجب أن نترك الوحدة تمامًا عند القاعدة. اسمحوا لي أن أشرح لماذا.
والحقيقة هي أنه من وجهة نظر رياضية، فإن الحصول على درجة هو بمثابة أخذ الجذر. على وجه الخصوص، عندما نقوم بتربيع التعبير (x − 1) 2، فإننا نأخذ الجذر الثاني. لكن الجذر التربيعي ليس أكثر من مجرد معامل. بالضبط وحدةلأنه حتى لو كان التعبير x - 1 سالبًا، فعند التربيع، سيظل "الطرح" محترقًا. المزيد من استخراج الجذر سيعطينا رقمًا موجبًا - دون أي سلبيات.
بشكل عام، لتجنب ارتكاب الأخطاء الهجومية، تذكر مرة واحدة وإلى الأبد:
جذر القوة الزوجية لأي دالة مرفوعة إلى نفس القوة لا يساوي الدالة نفسها، بل يساوي معاملها:
لنعد إلى معادلتنا اللوغاريتمية. في معرض حديثه عن الوحدة، قلت أنه يمكننا إزالتها دون ألم. هذا صحيح. الآن سأشرح السبب. بالمعنى الدقيق للكلمة، كان علينا أن ننظر في خيارين:
- x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = س - 1
- س - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1
وسيتعين معالجة كل خيار من هذه الخيارات. لكن هناك مشكلة واحدة: الصيغة الأصلية تحتوي بالفعل على الدالة (x − 1) بدون أي معامل. وباتباع مجال تعريف اللوغاريتمات، لدينا الحق في كتابة ذلك x − 1 > 0 على الفور.
يجب تلبية هذا المطلب بغض النظر عن أي وحدات أو تحويلات أخرى نقوم بها في عملية الحل. لذلك، لا معنى للنظر في الخيار الثاني - فلن ينشأ أبدا. حتى لو حصلنا على بعض الأرقام عند حل هذا الفرع من المتباينة، فلن يتم تضمينها في الإجابة النهائية.
نحن الآن على بعد خطوة واحدة من الشكل القانوني للمعادلة اللوغاريتمية. لنمثل الوحدة على النحو التالي:
1 = السجل س − 1 (س − 1) 1
بالإضافة إلى ذلك، نقوم بإدخال العامل −4، الموجود على اليمين، في الوسيطة:
سجل x − 1 10 −4 = سجل x − 1 (x − 1)
أمامنا الشكل القانوني للمعادلة اللوغاريتمية. نتخلص من علامة اللوغاريتم:
10 −4 = س − 1
ولكن بما أن الأساس كان دالة (وليس عددًا أوليًا)، فإننا نطلب بالإضافة إلى ذلك أن تكون هذه الدالة أكبر من الصفر ولا تساوي واحدًا. النظام الناتج سيكون:
بما أن الشرط x − 1 > 0 قد تم استيفاؤه تلقائيًا (في النهاية x − 1 = 10 −4)، يمكن حذف إحدى المتباينات من نظامنا. يمكن أيضًا شطب الشرط الثاني، لأن x − 1 = 0.0001< 1. Итого получаем:
س = 1 + 0.0001 = 1.0001
هذا هو الجذر الوحيد الذي يلبي تلقائيًا جميع متطلبات مجال تعريف اللوغاريتم (ومع ذلك، تم إلغاء جميع المتطلبات كما هو واضح في ظروف مشكلتنا).
إذن المعادلة الثانية هي:
3 سجل 3 × س = 2 سجل 9 × × 2
كيف تختلف هذه المعادلة جوهريا عن المعادلة السابقة؟ فقط لأن أسس اللوغاريتمات - 3x و 9x - ليست قوى طبيعية لبعضها البعض. ولذلك، فإن الانتقال الذي استخدمناه في الحل السابق غير ممكن.
دعونا على الأقل نتخلص من الدرجات العلمية. وفي حالتنا الدرجة الوحيدة هي في الحجة الثانية:
3 سجل 3 x x = 2 ∙ 2 سجل 9 x |x |
ومع ذلك، يمكن إزالة علامة المعامل، لأن المتغير x موجود أيضًا في القاعدة، أي. س > 0 ⇒ |س| = س. دعونا نعيد كتابة المعادلة اللوغاريتمية:
3 سجل 3 × س = 4 سجل 9 × ×
لقد حصلنا على اللوغاريتمات التي تكون فيها الحجج هي نفسها، ولكن الأساسات مختلفة. ما العمل التالي؟ هناك العديد من الخيارات هنا، لكننا سننظر في اثنين منها فقط، وهما الأكثر منطقية، والأهم من ذلك، أنها تقنيات سريعة ومفهومة لمعظم الطلاب.
لقد نظرنا بالفعل في الخيار الأول: في أي موقف غير واضح، قم بتحويل اللوغاريتمات ذات الأساس المتغير إلى قاعدة ثابتة. على سبيل المثال، إلى الشيطان. صيغة الانتقال بسيطة:
بالطبع، يجب أن يكون دور المتغير c عددًا طبيعيًا: 1 ≠ c > 0. دع في حالتنا c = 2. الآن أمامنا معادلة عقلانية كسرية عادية. نقوم بجمع كل العناصر الموجودة على اليسار:
من الواضح أنه من الأفضل إزالة العامل log 2 x، لأنه موجود في الكسرين الأول والثاني.
سجل 2 × = 0؛
3 سجل 2 9س = 4 سجل 2 3س
نقوم بتقسيم كل سجل إلى فترتين:
سجل 2 9x = سجل 2 9 + سجل 2 x = 2 سجل 2 3 + سجل 2 x;
سجل 2 3س = سجل 2 3 + سجل 2 س
دعونا نعيد كتابة طرفي المساواة مع الأخذ بعين الاعتبار هذه الحقائق:
3 (2 سجل 2 3 + سجل 2 x ) = 4 (سجل 2 3 + سجل 2 x )
6 سجل 2 3 + 3 سجل 2 س = 4 سجل 2 3 + 4 سجل 2 س
2 سجل 2 3 = سجل 2 س
الآن كل ما تبقى هو إدخال اثنين تحت علامة اللوغاريتم (سوف يتحول إلى قوة: 3 2 = 9):
سجل 2 9 = سجل 2 س
أمامنا الشكل القانوني الكلاسيكي، نتخلص من علامة اللوغاريتم ونحصل على:
وكما هو متوقع، تبين أن هذا الجذر أكبر من الصفر. يبقى للتحقق من مجال التعريف. دعونا ننظر إلى الأسباب:
لكن الجذر x = 9 يفي بهذه المتطلبات. ولذلك، فهو القرار النهائي.
الاستنتاج من هذا الحل بسيط: لا تخف من الحسابات الطويلة! لقد اخترنا في البداية قاعدة جديدة بشكل عشوائي - وهذا أدى إلى تعقيد العملية بشكل كبير.
ولكن بعد ذلك يطرح السؤال: ما هو الأساس؟ أفضل؟ سأتحدث عن هذا في الطريقة الثانية.
لنعد إلى معادلتنا الأصلية:
3 سجل 3x x = 2 سجل 9x x 2
3 سجل 3x x = 2 ∙ 2 سجل 9x |x |
س > 0 ⇒ |س| = س
3 سجل 3 × س = 4 سجل 9 × ×
الآن دعونا نفكر قليلاً: ما هو الرقم أو الوظيفة التي ستكون الأساس الأمثل؟ من الواضح أن الخيار الأفضل هو c = x - ما هو موجود بالفعل في الوسائط. في هذه الحالة، الصيغة log a b = log c b /log c a سوف تأخذ الشكل:
وبعبارة أخرى، يتم عكس التعبير ببساطة. في هذه الحالة، تتغير الحجة والأساس.
هذه الصيغة مفيدة جدًا وتستخدم كثيرًا في حل المعادلات اللوغاريتمية المعقدة. ومع ذلك، هناك مأزق خطير للغاية عند استخدام هذه الصيغة. إذا قمنا باستبدال المتغير x بدلاً من الأساس، فسيتم فرض قيود عليه لم يتم ملاحظتها من قبل:
لم يكن هناك مثل هذا القيد في المعادلة الأصلية. لذلك، يجب أن نتحقق بشكل منفصل من الحالة عندما تكون x = 1. نعوض بهذه القيمة في المعادلة:
3 سجل 3 1 = 4 سجل 9 1
نحصل على المساواة العددية الصحيحة. وبالتالي فإن x = 1 هو جذر. لقد وجدنا نفس الجذر تمامًا في الطريقة السابقة في بداية الحل.
لكن الآن بعد أن نظرنا في هذه الحالة بشكل منفصل، فإننا نفترض بأمان أن x ≠ 1. ثم ستتم إعادة كتابة المعادلة اللوغاريتمية بالشكل التالي:
3 سجل × 9x = 4 سجل × 3x
نقوم بتوسيع كلا اللوغاريتمين باستخدام نفس الصيغة كما في السابق. لاحظ أن السجل x x = 1:
3 (سجل x 9 + سجل x x ) = 4 (سجل x 3 + سجل x x )
3 لوغاريتم × 9 + 3 = 4 لوغاريتم × 3 + 4
3 سجل × 3 2 − 4 سجل × 3 = 4 − 3
2 سجل × 3 = 1
لذلك وصلنا إلى الشكل القانوني:
السجل × 9 = السجل × × 1
س = 9
لقد حصلنا على الجذر الثاني. إنه يفي بالمتطلبات x ≠ 1. لذلك، x = 9 مع x = 1 هي الإجابة النهائية.
كما ترون، انخفض حجم العمليات الحسابية قليلاً. لكن عند حل معادلة لوغاريتمية حقيقية، سيكون عدد الخطوات أقل بكثير أيضًا لأنه ليس مطلوبًا منك وصف كل خطوة بمثل هذه التفاصيل.
القاعدة الأساسية لدرس اليوم هي ما يلي: إذا كانت المشكلة تحتوي على درجة زوجية، والتي يتم استخراج جذر نفس الدرجة منها، فسيكون الناتج عبارة عن معامل. ومع ذلك، يمكن إزالة هذه الوحدة إذا انتبهت إلى مجال تعريف اللوغاريتمات.
لكن كن حذرًا: بعد هذا الدرس، يعتقد معظم الطلاب أنهم يفهمون كل شيء. ولكن عند حل المشكلات الحقيقية، لا يمكنهم إعادة إنتاج السلسلة المنطقية بأكملها. ونتيجة لذلك، تكتسب المعادلة جذورًا غير ضرورية، ويتبين أن الإجابة غير صحيحة.
أمثلة:
\(\log_(2)(x) = 32\)
\(\log_3x=\log_39\)
\(\log_3((x^2-3))=\log_3((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2((x+1))+10=11 \lg((x+1))\)
كيفية حل المعادلات اللوغاريتمية:
عند حل معادلة لوغاريتمية، يجب أن تسعى جاهدة لتحويلها إلى النموذج \(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\)، ثم قم بالانتقال إلى \(f(x) )=ز(س) \).
\(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).
مثال:\(\log_2(x-2)=3\)
|
حل: |
أودز: |
مهم جدا!لا يمكن إجراء هذا الانتقال إلا إذا:
لقد كتبت للمعادلة الأصلية، وفي النهاية سوف تتحقق مما إذا كانت تلك التي تم العثور عليها مدرجة في DL. إذا لم يتم ذلك، فقد تظهر جذور إضافية، وهو ما يعني قرارا خاطئا.
الرقم (أو التعبير) الموجود على اليسار واليمين هو نفسه؛
اللوغاريتمات الموجودة على اليسار واليمين "نقية"، أي أنه لا ينبغي أن يكون هناك عمليات ضرب أو قسمة وما إلى ذلك. - اللوغاريتمات الفردية فقط على جانبي علامة المساواة.
على سبيل المثال:
لاحظ أنه يمكن حل المعادلتين 3 و4 بسهولة من خلال تطبيق خصائص اللوغاريتمات الضرورية.
مثال . حل المعادلة \(2\log_8x=\log_82.5+\log_810\)
حل :
|
لنكتب ODZ: \(x>0\). |
||
|
\(2\log_8x=\log_82.5+\log_810\) ODZ: \(x>0\) |
على اليسار أمام اللوغاريتم يوجد المعامل، وعلى اليمين هو مجموع اللوغاريتمات. هذا يزعجنا. لننقل الاثنين إلى الأس \(x\) وفقًا للخاصية: \(n \log_b(a)=\log_b(a^n)\). دعونا نمثل مجموع اللوغاريتمات كوغاريتم واحد وفقًا للخاصية: \(\log_ab+\log_ac=\log_a(bc)\) |
|
|
\(\log_8(x^2)=\log_825\) |
قمنا بتبسيط المعادلة إلى الصيغة \(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\) وكتبنا ODZ، مما يعني أنه يمكننا الانتقال إلى الصيغة \(f(x) =ز(س)\ ). |
|
|
حدث . نحن نحلها ونحصل على الجذور. |
||
|
\(x_1=5\) \(x_2=-5\) |
نتحقق مما إذا كانت الجذور مناسبة لـ ODZ. للقيام بذلك، في \(x>0\) بدلاً من \(x\) نستبدل \(5\) و\(-5\). يمكن إجراء هذه العملية عن طريق الفم. |
|
|
\(5>0\), \(-5>0\) |
المتباينة الأولى صحيحة، والثانية ليست كذلك. هذا يعني أن \(5\) هو جذر المعادلة، لكن \(-5\) ليس كذلك. نكتب الجواب. |
إجابة : \(5\)
مثال : حل المعادلة \(\log^2_2(x)-3 \log_2(x)+2=0\)
حل :
|
لنكتب ODZ: \(x>0\). |
||
|
\(\log^2_2(x)-3 \log_2(x)+2=0\) ODZ: \(x>0\) |
معادلة نموذجية تم حلها باستخدام . استبدل \(\log_2x\) بـ \(t\). |
|
|
\(ر=\log_2x\) |
||
|
لقد حصلنا على المعتاد. نحن نبحث عن جذوره. |
||
|
\(t_1=2\) \(t_2=1\) |
إجراء استبدال عكسي |
|
|
\(\log_2(x)=2\) \(\log_2(x)=1\) |
نحول الأطراف اليمنى، ونمثلها باللوغاريتمات: \(2=2 \cdot 1=2 \log_22=\log_24\) و \(1=\log_22\) |
|
|
\(\log_2(x)=\log_24\) \(\log_2(x)=\log_22 \) |
الآن معادلاتنا هي \(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\)، ويمكننا الانتقال إلى \(f(x)=g(x)\). |
|
|
\(x_1=4\) \(x_2=2\) |
نتحقق من مراسلات جذور ODZ. للقيام بذلك، استبدل \(4\) و\(2\) في المتراجحة \(x>0\) بدلاً من \(x\). |
|
|
\(4>0\) \(2>0\) |
كلا عدم المساواة صحيح. هذا يعني أن كلا من \(4\) و\(2\) هما جذور المعادلة. |
إجابة : \(4\); \(2\).
الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.
جمع واستخدام المعلومات الشخصية
تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.
قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.
فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.
ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:
- عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.
كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:
- تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
- من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
- قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
- إذا شاركت في سحب على جوائز أو مسابقة أو عروض ترويجية مماثلة، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.
الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة
نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.
الاستثناءات:
- إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من السلطات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
- في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.
حماية المعلومات الشخصية
نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.
احترام خصوصيتك على مستوى الشركة
للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.