المتباينات اللوغاريتمية وحلها. حل المتباينات اللوغاريتمية

المنطق الذي تم تنفيذه بسيط، ولكنه يبسط بشكل كبير حل عدم المساواة اللوغاريتمية.

مثال 4.

سجل س (× 2 -3)<0

حل:

مثال 5.

سجل 2 × (2x 2 -4x +6) ≥ سجل 2 × (x 2 +x )

حل:

إجابة. (0؛ 0.5) ش.

مثال 6.

لحل هذه المتراجحة نكتب بدلاً من المقام (x-1-1)(x-1)، وبدلاً من البسط نكتب حاصل الضرب (x-1)(x-3-9 + x).

إجابة : (3;6)

مثال 7.

مثال 8.

2.3. استبدال غير قياسي.

مثال 1.

مثال 2.

مثال 3.

مثال 4.

مثال 5.

مثال 6.

مثال 7.

سجل 4 (3 × -1) سجل 0.25

لنجري الاستبدال y=3 x -1; عندها سوف يأخذ هذا التفاوت الشكل

سجل 4 سجل 0.25
.

لأن سجل 0.25 = -سجل 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , ثم نعيد كتابة المتباينة الأخيرة بالشكل 2log 4 y -log 4 2 y ≥.

دعونا نجعل الاستبدال t =log 4 y ونحصل على المتراجحة t 2 -2t +≥0، وحلها هو الفترات - .

وبالتالي، لإيجاد قيم y لدينا مجموعة من متباينتين بسيطتين
الحل لهذه المجموعة هو الفترات 0<у≤2 и 8≤у<+.

وبالتالي، فإن المتباينة الأصلية تعادل مجموعة المتباينتين الأسيتين،
وهذا هو، المجاميع

حل المتباينة الأولى من هذه المجموعة هو المجال 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. وبذلك تكون المتراجحة الأصلية محققة لجميع قيم x من الفترات 0<х≤1 и 2≤х<+.

مثال 8.

حل:

عدم المساواة يساوي النظام

سيكون حل المتباينة الثانية التي تحدد ODZ هو مجموعة تلك س,

لأي منهم س > 0.

لحل المتباينة الأولى نقوم بالتعويض

ثم نحصل على عدم المساواة

أو

تم العثور على مجموعة الحلول للمتباينة الأخيرة بواسطة الطريقة

الفواصل الزمنية: -1< ر < 2. Откуда, возвращаясь к переменной س، نحن نحصل

أو

الكثير من هؤلاء س، والتي تلبي عدم المساواة الأخيرة

ينتمي إلى ODZ ( س> 0)، وبالتالي، هو الحل للنظام،

ومن ثم عدم المساواة الأصلية.

إجابة:

2.4. المهام مع الفخاخ.

مثال 1.

.

حل.إن ODZ للمتباينة كلها x تحقق الشرط 0 . لذلك، كل x هي من الفاصل الزمني 0

مثال 2.

سجل 2 (2 x +1-x 2)>سجل 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ؟ الحقيقة هي أن الرقم الثاني أكبر من

خاتمة

لم يكن من السهل العثور على طرق محددة لحل مشكلات C3 من خلال وفرة كبيرة من المصادر التعليمية المختلفة. في سياق العمل المنجز، تمكنت من دراسة الطرق غير القياسية لحل عدم المساواة اللوغاريتمية المعقدة. وهي: التحولات المتكافئة والطريقة المعممة للفترات وطريقة الترشيد , استبدال غير قياسي , المهام مع الفخاخ على ODZ. هذه الأساليب غير مدرجة في المناهج المدرسية.

باستخدام طرق مختلفة، قمت بحل 27 متباينة مقترحة في امتحان الدولة الموحدة في الجزء C، وهي C3. شكلت هذه المتباينات مع الحلول بالطرق أساس مجموعة "المتباينات اللوغاريتمية مع الحلول C3"، والتي أصبحت نتاج مشروع لنشاطي. تم تأكيد الفرضية التي طرحتها في بداية المشروع: يمكن حل مشكلات C3 بشكل فعال إذا كنت تعرف هذه الطرق.

بالإضافة إلى ذلك، اكتشفت حقائق مثيرة للاهتمام حول اللوغاريتمات. كان من المثير للاهتمام بالنسبة لي أن أفعل هذا. ستكون منتجات مشروعي مفيدة لكل من الطلاب والمعلمين.

الاستنتاجات:

وبهذا يكون قد تم تحقيق هدف المشروع وتم حل المشكلة. وحصلت على الخبرة الأكثر اكتمالا وتنوعا لأنشطة المشروع في جميع مراحل العمل. أثناء العمل في المشروع، كان تأثيري التنموي الرئيسي هو على الكفاءة العقلية، والأنشطة المتعلقة بالعمليات العقلية المنطقية، وتنمية الكفاءة الإبداعية، والمبادرة الشخصية، والمسؤولية، والمثابرة، والنشاط.

ضمان النجاح عند إنشاء مشروع بحثي اكتسبت: خبرة مدرسية كبيرة، والقدرة على الحصول على المعلومات من مصادر مختلفة، والتحقق من موثوقيتها، وترتيبها حسب الأهمية.

بالإضافة إلى المعرفة المباشرة بالموضوع في الرياضيات، قمت بتوسيع مهاراتي العملية في مجال علوم الكمبيوتر، واكتسبت معرفة وخبرة جديدة في مجال علم النفس، وأقامت اتصالات مع زملاء الدراسة، وتعلمت التعاون مع البالغين. خلال أنشطة المشروع، تم تطوير المهارات التعليمية العامة التنظيمية والفكرية والتواصلية.

الأدب

1. Koryanov A. G.، Prokofiev A. A. أنظمة عدم المساواة بمتغير واحد (المهام القياسية C3).

2. Malkova A. G. التحضير لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات.

3. Samarova S. S. حل عدم المساواة اللوغاريتمية.

4. الرياضيات. مجموعة من الأعمال التدريبية حرره أ.ل. سيمينوف وإيف. ياشينكو. -م: MTsNMO، 2009. - 72 ص.-

هل تعتقد أنه لا يزال هناك وقت قبل امتحان الدولة الموحدة وسيكون لديك الوقت للتحضير؟ ربما هذا هو الحال. ولكن على أي حال، كلما بدأ الطالب في التحضير مبكرًا، كلما نجح في اجتياز الامتحانات. قررنا اليوم أن نخصص مقالًا للمتباينات اللوغاريتمية. هذه إحدى المهام، مما يعني فرصة للحصول على رصيد إضافي.

هل تعرف بالفعل ما هو اللوغاريتم؟ ونحن نأمل ذلك حقا. ولكن حتى لو لم يكن لديك إجابة على هذا السؤال، فهذه ليست مشكلة. إن فهم ماهية اللوغاريتم أمر بسيط للغاية.

لماذا 4؟ تحتاج إلى رفع الرقم 3 إلى هذه القوة للحصول على 81. بمجرد أن تفهم المبدأ، يمكنك المتابعة إلى حسابات أكثر تعقيدًا.

لقد مررتم بعدم المساواة قبل بضع سنوات. ومنذ ذلك الحين، واجهتهم باستمرار في الرياضيات. إذا كان لديك مشاكل في حل عدم المساواة، راجع القسم المناسب.
والآن بعد أن تعرفنا على المفاهيم بشكل فردي، دعنا ننتقل إلى النظر فيها بشكل عام.

أبسط المتباينة اللوغاريتمية.

أبسط المتباينات اللوغاريتمية لا تقتصر على هذا المثال؛ هناك ثلاث متباينات أخرى، فقط بعلامات مختلفة. لماذا هذا ضروري؟ لفهم أفضل لكيفية حل عدم المساواة مع اللوغاريتمات. الآن دعونا نعطي مثالًا أكثر قابلية للتطبيق، والذي لا يزال بسيطًا جدًا، سنترك المتباينات اللوغاريتمية المعقدة لوقت لاحق.

كيفية حل هذا؟ كل شيء يبدأ بـ ODZ. من المفيد معرفة المزيد عنها إذا كنت تريد دائمًا حل أي متباينة بسهولة.

ما هو ODZ؟ ODZ لعدم المساواة اللوغاريتمية

يشير الاختصار إلى نطاق القيم المقبولة. غالبًا ما تظهر هذه الصيغة في مهام امتحان الدولة الموحدة. سيكون ODZ مفيدًا لك ليس فقط في حالة عدم المساواة اللوغاريتمية.

انظر مرة أخرى إلى المثال أعلاه. سننظر في ODZ بناءً عليه، حتى تفهم المبدأ، ولا يثير حل عدم المساواة اللوغاريتمية أي أسئلة. ويترتب على تعريف اللوغاريتم أن 2x+4 يجب أن يكون أكبر من الصفر. في حالتنا هذا يعني ما يلي.

وهذا الرقم، بحكم التعريف، يجب أن يكون موجبًا. حل عدم المساواة المذكورة أعلاه. ويمكن أن يتم ذلك شفهيًا؛ ومن الواضح هنا أن X لا يمكن أن يكون أقل من 2. وسيكون حل عدم المساواة هو تعريف نطاق القيم المقبولة.
الآن دعنا ننتقل إلى حل أبسط المتباينة اللوغاريتمية.

نتخلص من اللوغاريتمات نفسها من طرفي المتراجحة. ماذا بقي لنا نتيجة لذلك؟ عدم المساواة البسيطة.

ليس من الصعب حلها. يجب أن يكون X أكبر من -0.5. الآن نقوم بدمج القيمتين اللتين تم الحصول عليهما في النظام. هكذا،

سيكون هذا هو نطاق القيم المقبولة للمتباينة اللوغاريتمية قيد النظر.

لماذا نحتاج ODZ على الإطلاق؟ هذه فرصة للتخلص من الإجابات غير الصحيحة والمستحيلة. إذا لم تكن الإجابة ضمن نطاق القيم المقبولة، فإن الإجابة ببساطة لا معنى لها. يجب أن نتذكر هذا لفترة طويلة، لأنه في امتحان الدولة الموحدة غالبا ما تكون هناك حاجة للبحث عن ODZ، ولا يتعلق الأمر فقط بعدم المساواة اللوغاريتمية.

خوارزمية لحل عدم المساواة اللوغاريتمية

الحل يتكون من عدة مراحل أولاً، عليك العثور على نطاق القيم المقبولة. سيكون هناك معنيان في ODZ، ناقشنا هذا أعلاه. بعد ذلك، عليك حل المتراجحة نفسها. طرق الحل هي كما يلي:

• طريقة استبدال المضاعف؛
• تقسيم؛
• طريقة الترشيد.

اعتمادًا على الموقف، يجدر استخدام إحدى الطرق المذكورة أعلاه. دعنا ننتقل مباشرة إلى الحل. دعونا نكشف عن الطريقة الأكثر شيوعًا والمناسبة لحل مهام امتحان الدولة الموحدة في جميع الحالات تقريبًا. بعد ذلك سننظر في طريقة التحلل. يمكن أن يكون مفيدًا إذا واجهت عدم مساواة صعبة بشكل خاص. لذلك، خوارزمية لحل عدم المساواة اللوغاريتمية.

أمثلة على الحلول :

ليس من قبيل الصدفة أننا أخذنا هذا التفاوت بالضبط! انتبه إلى القاعدة. تذكر: إذا كانت أكبر من واحد، تظل الإشارة كما هي عند إيجاد نطاق القيم المقبولة؛ وإلا فستحتاج إلى تغيير علامة المتباينة.

ونتيجة لذلك نحصل على عدم المساواة:

والآن نختصر الطرف الأيسر إلى صورة المعادلة التي تساوي صفرًا. بدلاً من علامة "أقل من" نضع "يساوي" ونحل المعادلة. وبالتالي، سوف نجد ODZ. نأمل ألا تواجه مشاكل في حل هذه المعادلة البسيطة. الإجابات هي -4 و -2. هذا ليس كل شئ. تحتاج إلى عرض هذه النقاط على الرسم البياني، ووضع "+" و"-". ما الذي يجب القيام به لهذا؟ استبدل الأرقام من الفواصل الزمنية في التعبير. عندما تكون القيم موجبة، نضع "+" هناك.

إجابة: لا يمكن أن يكون x أكبر من -4 وأقل من -2.

لقد وجدنا نطاق القيم المقبولة للجانب الأيسر فقط؛ والآن نحتاج إلى إيجاد نطاق القيم المقبولة للجانب الأيمن. هذا أسهل بكثير. الجواب: -2. نحن نتقاطع مع كلا المنطقتين الناتجتين.

والآن فقط بدأنا في معالجة عدم المساواة في حد ذاته.

دعونا نبسطها قدر الإمكان لتسهيل حلها.

نستخدم مرة أخرى طريقة الفاصل الزمني في الحل. دعونا نتخطى الحسابات؛ كل شيء واضح بالفعل من المثال السابق. إجابة.

لكن هذه الطريقة مناسبة إذا كانت المتباينة اللوغاريتمية لها نفس الأساس.

يتطلب حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات ذات الأساسات المختلفة اختزالًا مبدئيًا لنفس الأساس. بعد ذلك، استخدم الطريقة الموضحة أعلاه. ولكن هناك حالة أكثر تعقيدا. دعونا نفكر في أحد أكثر أنواع المتباينات اللوغاريتمية تعقيدًا.

المتباينات اللوغاريتمية ذات الأساس المتغير

كيفية حل عدم المساواة مع هذه الخصائص؟ نعم، ويمكن العثور على هؤلاء الأشخاص في امتحان الدولة الموحدة. إن حل أوجه عدم المساواة بالطريقة التالية سيكون له أيضًا تأثير مفيد على عمليتك التعليمية. دعونا ننظر في هذه القضية بالتفصيل. دعونا نتجاهل النظرية وننتقل مباشرة إلى الممارسة. لحل عدم المساواة اللوغاريتمية، يكفي التعرف على المثال مرة واحدة.

لحل المتباينة اللوغاريتمية بالشكل الموضح، من الضروري اختزال الجانب الأيمن إلى لوغاريتم له نفس الأساس. يشبه المبدأ التحولات المكافئة. ونتيجة لذلك، ستبدو المتباينة بهذا الشكل.

في الواقع، كل ما تبقى هو إنشاء نظام من المتباينات بدون لوغاريتمات. باستخدام طريقة الترشيد، ننتقل إلى نظام مكافئ من عدم المساواة. سوف تفهم القاعدة نفسها عندما تقوم باستبدال القيم المناسبة وتتبع تغييراتها. سيكون للنظام عدم المساواة التالية.

عند استخدام طريقة الترشيد عند حل المتباينات، عليك أن تتذكر ما يلي: يجب طرح واحد من القاعدة، x، حسب تعريف اللوغاريتم، يتم طرحه من طرفي المتراجحة (اليمين من اليسار)، ويتم ضرب تعبيرين ووضعها تحت العلامة الأصلية بالنسبة إلى الصفر.

يتم تنفيذ الحل الإضافي باستخدام طريقة الفاصل الزمني، كل شيء بسيط هنا. من المهم بالنسبة لك أن تفهم الاختلافات في طرق الحل، ثم سيبدأ كل شيء في العمل بسهولة.

هناك العديد من الفروق الدقيقة في عدم المساواة اللوغاريتمية. أبسطها من السهل حلها. كيف يمكنك حل كل واحد منهم دون مشاكل؟ لقد تلقيت بالفعل جميع الإجابات في هذه المقالة. الآن لديك ممارسة طويلة أمامك. تدرب باستمرار على حل مجموعة متنوعة من المشكلات في الامتحان وستتمكن من الحصول على أعلى الدرجات. حظا سعيدا لك في مهمتك الصعبة!

تسمى المتباينة لوغاريتمية إذا كانت تحتوي على دالة لوغاريتمية.

لا تختلف طرق حل المتباينات اللوغاريتمية عن شيئين.

أولاً، عند الانتقال من المتباينة اللوغاريتمية إلى متباينة الدوال اللوغاريتمية، ينبغي للمرء أن اتبع إشارة عدم المساواة الناتجة. يطيع القاعدة التالية.

إذا كان أساس الدالة اللوغاريتمية أكبر من $1$، فعند الانتقال من المتباينة اللوغاريتمية إلى متباينة الدوال اللوغاريتمية يتم الاحتفاظ بعلامة المتراجحة، أما إذا كانت أقل من $1$، فإنها تتغير إلى العكس .

ثانيًا، حل أي متباينة هو الفاصل الزمني، وبالتالي، في نهاية حل متباينة الدوال اللوغاريتمية، من الضروري إنشاء نظام من متباينتين: عدم المساواة الأولى في هذا النظام ستكون عدم مساواة الدوال اللوغاريتمية، والثاني هو الفاصل الزمني لمجال تعريف الدوال اللوغاريتمية المتضمنة في المتباينة اللوغاريتمية.

يمارس.

دعونا نحل عدم المساواة:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

قاعدة اللوغاريتم هي $2>1$، وبالتالي فإن الإشارة لا تتغير. وباستخدام تعريف اللوغاريتم نحصل على:

$x+3 \geq 2^(3),$

$س \في)