كيف يتم تحديد التقدم. مفهوم التقدم الحسابي

درس وعرض حول موضوع: "التسلسلات الرقمية. التقدم الحسابي"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم! تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الوسائل التعليمية في المتجر الإلكتروني "Integral" للكتب المدرسية للصف التاسع
ماكاريتشيفا يو.ن. أليموفا ش.أ. موردكوفيتش أ.ج. مورافينا ج.ك.

إذن ما هو التقدم الحسابي؟

التسلسل العددي الذي يكون فيه كل حد، بدءًا من الثاني، يساوي مجموع الرقم السابق وبعض الأرقام الثابتة يسمى التقدم الحسابي.

التقدم الحسابي هو تقدم رقمي محدد بشكل متكرر.

لنكتب النموذج المتكرر: $a_(1)=a$; $a_(n)=a_(n-1)+d$، الرقم d – فرق التقدم. a و d هما أرقام معينة.

مثال. 1,4,7,10,13,16... تقدم حسابي مع $a=1, d=3$.

مثال. 3,0,-3,-6,-9... تقدم حسابي مع $a=3, d=-3$.

مثال. 5,5,5,5,5... تقدم حسابي مع $a=5, d=0$.

يحتوي التقدم الحسابي على خصائص الرتابة: إذا كان فرق التقدم أكبر من الصفر، فإن التسلسل يتزايد، إذا كان فرق التقدم أقل من الصفر، فإن التسلسل يتناقص.

إذا كان التقدم الحسابي يحتوي على عدد محدود من العناصر، فإن التقدم يسمى تقدم حسابي محدود.

إذا تم إعطاء تسلسل $a_(n)$، وهو تقدم حسابي، فمن المعتاد الإشارة إلى: $a_(1)، a_(2)، …، a_(n)، …$.

صيغة الحد n من التقدم الحسابي

يمكن أيضًا تحديد التقدم الحسابي في شكل تحليلي. دعونا نرى كيفية القيام بذلك:
$a_(1)=a_(1)$.
$a_(2)=a_(1)+د$.
$a_(3)=a_(2)+d=a_(1)+d+d=a_(1)+2d$.
$a_(4)=a_(3)+d=a_(1)+3d$.
$a_(5)=a_(4)+d=a_(1)+4d$.
نلاحظ بسهولة النمط: $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$.
صيغتنا تسمى صيغة الحد النوني للمتتابعة الحسابية.

دعنا نعود إلى الأمثلة التي لدينا ونكتب صيغتنا لكل مثال.

مثال. 1،4،7،10،13،16... المتتابعة الحسابية، فيها أ=1، د=3. $a_(n)=1+(n-1)3=3n-2$.

مثال. 3,0,-3,-6,-9... المتتابعة الحسابية حيث a=3, d=-3. $a_(n)=3+(n-1)(-3)=-3n+6$.

مثال. بالنظر إلى التقدم الحسابي: $a_(1)، a_(2)، …، a_(n)، …$.
أ) من المعروف أن $a_(1)=5$، $d=3$. ابحث عن $a_(23)$.
ب) من المعروف أن $a_(1)=4$، $d=5$، $a_(n)=109$. ابحث عن ن.
ج) من المعروف أن $d=-1$، $a_(22)=15$. ابحث عن $a_(1)$.
د) من المعروف أن $a_(1)=-3$، $a_(10)=24$. ابحث عن د.
حل.
أ) $a_(23)=a_(1)+22d=5+66=71$.
ب) $a_(n)=a_(1)+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$.
$5n=110=>n=22$.
ج) $a_(22)=a_(1)+21d=a_(1)-21=15=> a_()1=36$.
د) $a_(10)=a_(1)+9d=-3+9d=24=>d=3$.

مثال. عند قسمة الحد التاسع من المتتابعة الحسابية على الحد الثاني يبقى الناتج 7، وعند قسمة الحد التاسع على الخامس يكون الناتج 2 والباقي 5. أوجد الحد الثلاثين من المتتابعة.
حل.
دعونا نكتب بالتسلسل الصيغ 2،5 و 9 شروط تقدمنا.
$a_(2)=a_(1)+د$.
$a_(5)=a_(1)+4d$.
$a_(9)=a_(1)+8d$.
ونعلم أيضًا من الشرط:
$a_(9)=7a_(2)$.
$a_(9)=2a_(5)+5$.
أو:
$a_(1)+8d=7(a_(1)+d)$.
$a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5$.
لنقم بإنشاء نظام المعادلات:
$\begin(cases)a_(1)+8d=7(a_(1)+d)\\a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5\end(cases)$.
$\begin(cases)d=6a_(1)\\d=a_(1)+5\end(cases)$.
وبعد حل النظام نحصل على: $d=6, a_(1)=1$.
لنجد $a_(30)$.
$a_(30)=a_(1)+29د=175$.

مجموع التقدم الحسابي المحدود

دعونا نحصل على تقدم حسابي محدود. السؤال الذي يطرح نفسه: هل من الممكن حساب مجموع جميع أعضائها؟
دعونا نحاول فهم هذه القضية.
دعونا نعطي تقدمًا حسابيًا محدودًا: $a_(1),a_(2),…a_(n-1),a_(n)$.
دعونا نقدم رمز مجموع مصطلحاته: $S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
دعونا نلقي نظرة على مثال محدد لما يساويه المبلغ.

دعونا نحصل على التقدم الحسابي 1،2،3،4،5...100.
دعونا بعد ذلك نعرض مجموع أعضائها على النحو التالي:
$S_(n)=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
لكن صيغة مماثلة تنطبق على أي تقدم حسابي:
$a_(3)+a_(n-2)=a_(2)+a_(n-1)=a_(1)+a_(n)$.
لنكتب صيغتنا في الحالة العامة: $a_(k)+a_(n-k+1)=a_(1)+a_(n)$، حيث $k<1$.
دعونا نشتق صيغة لحساب مجموع حدود التقدم الحسابي، ونكتب الصيغة مرتين بترتيبات مختلفة:
$S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
$S_(n)=a_(n)+a_(n-1)+⋯+a_(2)+a_(1)$.
دعونا نضيف هذه الصيغ معا:
$2S_(n)=(a_(1)+a_(n))+(a_(2)+a_(n-1))+⋯+(a_(n-1)+a_(2))+(a_ (ن)+أ_(1))$.
هناك عدد n من الحدود على الجانب الأيمن من المساواة، ونحن نعلم أن كل واحد منها يساوي $a_(1)+a_(n)$.
ثم:
$S_(n)=\frac(n(a_(1)+a_(n)))(2)$.
يمكن أيضًا إعادة كتابة صيغتنا بالشكل التالي: بما أن $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$،
ثم $S_(n)=\frac(2a_(1)+d(n-1))(2)*n$.
في أغلب الأحيان يكون استخدام هذه الصيغة أكثر ملاءمة، لذا من الجيد أن تتذكرها!

مثال. يتم إعطاء تقدم حسابي محدود.
يجد:
أ) $s_(22)، إذا كانت a_(1)=7، d=2$.
ب) د، إذا كان $a_(1)=9$، $s_(8)=144$.
حل.
أ) لنستخدم صيغة المجموع الثاني $S_(22)=\frac(2a_(1)+d(22-1))(2)*22=\frac(14+2(22-1))(2) *22 = 616 دولارًا.
ب) في هذا المثال، سنستخدم الصيغة الأولى: $S_(8)=\frac(8(a_(1)+a_(1)))(2)=4a_(1)+4a_(8)$.
144 دولارًا=36+4أ_(8)$.
$a_(8)=27$.
$a_(8)=a_(1)+7d=9+7d$.
$d=2\frac(4)(7)$.

مثال. أوجد مجموع جميع الأعداد الفردية المكونة من رقمين.
حل.
شروط تقدمنا ​​هي: $a_(1)=11$، $a_(2)=13$، …، $a_(n)=99$.
لنجد رقم الفصل الأخير من التقدم:
$a_(n)=a_(1)+د(n-1)$.
99 دولارًا = 11 + 2 (ن -1) دولارًا.
$ن=45$.
الآن لنجد المجموع: $S_(45)=\frac(45(11+99))(2)=2475$.

مثال. ذهب الرجال في نزهة على الأقدام. ومن المعروف أنهم ساروا في الساعة الأولى مسافة 500 متر، وبعد ذلك بدأوا في المشي مسافة أقل بمقدار 25 متراً عما كانوا عليه في الساعة الأولى. كم ساعة سيستغرقون لقطع مسافة 2975 مترًا؟
حل.
يمكن تمثيل المسار الذي تم قطعه في كل ساعة على أنه تقدم حسابي:
$a_(1)=500$، $a_(2)=475$، $a_(3)=450...$.
الفرق في التقدم الحسابي هو $d=-25$.
المسافة المقطوعة بـ 2975 مترًا هي مجموع شروط التقدم الحسابي.
$S_(n)=2975$، حيث n هي الساعات التي تقضيها الرحلة.
ثم:
$S_(n)=\frac(1000-25(n-1))(2)$, $n=2975$.
1000 دولار -25 (ن -1) ن = 5950 دولارًا.
اقسم كلا الجانبين على 25.
40 دولارًا أمريكيًا-(ن-1)ن=238 دولارًا أمريكيًا.
$ن^2-41ن+238=0$.
$n_(1)=7$, $n_(2)=34$.
من الواضح أنه من المنطقي أكثر اختيار $n=7$.
إجابة. كان الرجال على الطريق لمدة 7 ساعات.

خاصية مميزة للتقدم الحسابي

يا رفاق، نظرًا للتقدم الحسابي، فلنفكر في ثلاثة حدود متتالية عشوائية للتقدم: $a_(n-1)$، $a_(n)$، $a_(n+1)$.
نحن نعرف ذلك:
$a_(n-1)=a_(n)-d$.
$a_(n+1)=a_(n)+d$.
دعونا نجمع تعبيراتنا معًا:
$a_(n-1)+a_(n+1)=2a_(n)$.
$a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.

إذا كان التقدم محدودًا، فإن هذه المساواة تنطبق على جميع الحدود باستثناء الأول والأخير.
إذا لم يكن شكل التسلسل معروفًا مسبقًا، لكن من المعروف أن: $a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.
ثم يمكننا أن نقول بأمان أن هذا تقدم حسابي.

التسلسل الرقمي هو تقدم حسابي عندما يكون كل عضو في هذا التقدم مساوياً للمتوسط ​​الحسابي لعضوين متجاورين في تقدمنا ​​(لا تنس أنه بالنسبة للتقدم المحدود، لا يتم استيفاء هذا الشرط للعضو الأول والأخير في التقدم) .

مثال. ابحث عن x بحيث $3x+2$; $x-1$; $4x+3$ – ثلاثة فترات متتالية من التقدم الحسابي.
حل. دعونا نستخدم الصيغة لدينا:
$x-1=\frac(3x+2+4x+3)(2)$.
$2x-2=7x+5$.
$-5x=7$.
$x=-1\frac(2)(5)=-1.4$.
دعونا نتحقق من أن تعبيراتنا ستأخذ الشكل: -2,2; -2.4؛ -2.6.
من الواضح أن هذه شروط التقدم الحسابي و $d=-0.2$.

مشاكل لحلها بشكل مستقل

1. أوجد الحد الحادي والعشرون من المتتابعة الحسابية 38،30،22...
2. أوجد الحد الخامس عشر من المتتابعة الحسابية 10،21،32...
3. من المعروف أن $a_(1)=7$, $d=8$. ابحث عن $a_(31)$.
4. من المعروف أن $a_(1)=8$, $d=-2$, $a_(n)=-54$. ابحث عن ن.
5. أوجد مجموع أول سبعة عشر حدًا من المتتابعة الحسابية 3;12;21….
6. ابحث عن x بحيث $2x-1$; $3x+1$; $5x-7$ – ثلاثة فترات متتالية من التقدم الحسابي.

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

التقدم الحسابي عبارة عن سلسلة من الأرقام يكون فيها كل رقم أكبر (أو أقل) من الرقم السابق بنفس المقدار.

غالبًا ما يبدو هذا الموضوع معقدًا وغير مفهوم. مؤشرات الحروف، الحد التاسع للتقدم، الفرق في التقدم - كل هذا مربك إلى حد ما، نعم... دعونا نكتشف معنى التقدم الحسابي وكل شيء سوف يتحسن على الفور.)

مفهوم التقدم الحسابي.

التقدم الحسابي هو مفهوم بسيط وواضح للغاية. هل لديك أي شكوك؟ عبثا.) انظر لنفسك.

سأكتب سلسلة غير مكتملة من الأرقام:

1, 2, 3, 4, 5, ...

هل يمكنك تمديد هذه السلسلة؟ ما الأرقام التي ستأتي بعد الخمسة؟ الجميع... أه... باختصار، الجميع سوف يدرك أن الأرقام 6، 7، 8، 9، إلخ ستأتي بعد ذلك.

دعونا تعقيد المهمة. أقدم لك سلسلة غير مكتملة من الأرقام:

2, 5, 8, 11, 14, ...

ستكون قادرًا على التقاط النمط وتوسيع السلسلة والاسم السابعرقم الصف؟

إذا أدركت أن هذا الرقم هو 20، فتهانينا! لم تشعر فقط النقاط الرئيسية للتقدم الحسابي،ولكن أيضًا استخدموها بنجاح في العمل! إذا لم تكن قد اكتشفت ذلك، واصل القراءة.

والآن دعونا نترجم النقاط الرئيسية من الأحاسيس إلى الرياضيات.)

النقطة الرئيسية الأولى.

التقدم الحسابي يتعامل مع سلسلة من الأرقام.هذا محير في البداية. لقد اعتدنا على حل المعادلات ورسم الرسوم البيانية وكل ذلك... ولكن هنا نمد المتسلسلة ونوجد رقم المتسلسلة...

لا بأس. إن الأمر مجرد أن التقدم هو أول التعرف على فرع جديد من الرياضيات. يُطلق على القسم اسم "السلسلة" ويعمل بشكل خاص مع سلسلة من الأرقام والتعبيرات. اعتد عليه.)

النقطة الرئيسية الثانية.

في المتوالية الحسابية، أي رقم يختلف عن الرقم السابق بنفس المبلغ.

في المثال الأول، هذا الفرق هو واحد. ومهما كان الرقم الذي تأخذه، فهو يزيد بمقدار واحد عن الرقم السابق. في الثانية - ثلاثة. أي رقم يزيد بثلاثة عن الرقم السابق. في الواقع، هذه اللحظة هي التي تمنحنا الفرصة لفهم النمط وحساب الأرقام اللاحقة.

النقطة الرئيسية الثالثة.

هذه اللحظة ليست ملفتة للنظر، نعم... لكنها مهمة جدًا جدًا. هنا هو: كل رقم التقدم في مكانه.هناك الرقم الأول، وهناك السابع، وهناك الخامس والأربعون، الخ. إذا قمت بخلطها بشكل عشوائي، فسوف يختفي النمط. سوف يختفي التقدم الحسابي أيضًا. ما تبقى هو مجرد سلسلة من الأرقام.

هذا هو بيت القصيد.

وبطبيعة الحال، تظهر مصطلحات وتسميات جديدة في موضوع جديد. أنت بحاجة إلى معرفتهم. وإلا فلن تفهم المهمة. على سبيل المثال، سيكون عليك أن تقرر شيئًا مثل:

اكتب الحدود الستة الأولى من المتتابعة الحسابية (a n)، إذا كانت a 2 = 5، d = -2.5.

ملهمة؟) الحروف وبعض الفهارس... وبالمناسبة، المهمة لا يمكن أن تكون أسهل. تحتاج فقط إلى فهم معنى المصطلحات والتسميات. الآن سوف نتقن هذا الأمر ونعود إلى المهمة.

المصطلحات والتسميات.

المتوالية العدديةهي سلسلة من الأرقام يختلف كل رقم فيها عن الرقم الذي يسبقه بنفس المبلغ.

تسمى هذه الكمية . دعونا ننظر إلى هذا المفهوم بمزيد من التفصيل.

فرق التقدم الحسابي.

فرق التقدم الحسابيهو المبلغ الذي أي رقم التقدم أكثرالسابق.

نقطة واحدة مهمة. يرجى الانتباه إلى الكلمة "أكثر".رياضياً، هذا يعني أن كل رقم تقدم هو بإضافةفرق التقدم الحسابي إلى الرقم السابق.

لحساب، دعنا نقول ثانيةأرقام السلسلة التي تحتاج إليها أولاًرقم يضيفهذا الاختلاف بالذات في التقدم الحسابي. للحساب الخامس- الاختلاف ضروري يضيفل الرابع،حسنًا ، إلخ.

فرق التقدم الحسابيربما إيجابي،عندها سيتبين أن كل رقم في السلسلة حقيقي أكثر من السابق.ويسمى هذا التقدم في ازدياد.على سبيل المثال:

8; 13; 18; 23; 28; .....

هنا يتم الحصول على كل رقم بإضافةالرقم الموجب، +5 إلى الرقم السابق.

قد يكون الفرق سلبي،ثم سيكون كل رقم في السلسلة أقل من السابق.هذا التقدم يسمى (لن تصدقه!) متناقص.

على سبيل المثال:

8; 3; -2; -7; -12; .....

هنا يتم الحصول على كل رقم أيضًا بإضافةإلى الرقم السابق، ولكن بالفعل رقم سالب، -5.

بالمناسبة، عند العمل مع التقدم، من المفيد للغاية تحديد طبيعته على الفور - سواء كان يتزايد أو يتناقص. يساعد هذا كثيرًا في التنقل بين القرار واكتشاف أخطائك وتصحيحها قبل فوات الأوان.

فرق التقدم الحسابييشار إليها عادة بالحرف د.

كيف تجد د؟ بسيط جدا. من الضروري الطرح من أي رقم في السلسلة سابقرقم. طرح او خصم. بالمناسبة، نتيجة الطرح تسمى "الفرق".)

دعونا نحدد، على سبيل المثال، دلزيادة التقدم الحسابي:

2, 5, 8, 11, 14, ...

نأخذ أي عدد نريده في المتسلسلة، مثلا 11. ونطرح منه الرقم السابقأولئك. 8:

هذا هو الجواب الصحيح. في هذه المتوالية الحسابية، الفرق هو ثلاثة.

تستطيع أخذها أي رقم التقدم،لأن لتقدم معين د-دائما نفس الشيء.على الأقل في مكان ما في بداية الصف، على الأقل في المنتصف، على الأقل في أي مكان. لا يمكنك أخذ الرقم الأول فقط. ببساطة لأن الرقم الأول لا سابقة.)

بالمناسبة، مع العلم بذلك د = 3إن العثور على الرقم السابع من هذا التقدم أمر بسيط للغاية. أضف 3 إلى الرقم الخامس - نحصل على السادس، سيكون 17. أضف ثلاثة إلى الرقم السادس، نحصل على الرقم السابع - عشرين.

دعونا نحدد دللتقدم الحسابي التنازلي:

8; 3; -2; -7; -12; .....

أذكرك أنه بغض النظر عن العلامات، يجب تحديدها دمطلوب من اي رقم يسلب السابق.اختر أي رقم تقدم، على سبيل المثال -7. رقمه السابق هو -2. ثم:

د = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

يمكن أن يكون الفرق في التقدم الحسابي أي رقم: عدد صحيح، أو كسري، أو غير منطقي، أو أي رقم.

مصطلحات وتسميات أخرى.

كل رقم في السلسلة يسمى عضو في التقدم الحسابي.

كل عضو في التقدم لديه رقم خاص به.الأرقام مرتبة بدقة، دون أي حيل. الأول، الثاني، الثالث، الرابع، الخ. على سبيل المثال، في التسلسل 2، 5، 8، 11، 14، ... اثنان هو الحد الأول، وخمسة هو الحد الثاني، وأحد عشر هو الرابع، حسنًا، أنت تفهم...) يرجى الفهم بوضوح - الأرقام نفسهايمكن أن يكون أي شيء على الإطلاق، كليًا، كسريًا، سلبيًا، أيًا كان، ولكن ترقيم الأرقام- بدقة في النظام!

كيفية كتابة التقدم بشكل عام؟ لا مشكلة! كل رقم في السلسلة مكتوب على شكل حرف. للدلالة على التقدم الحسابي، عادة ما يتم استخدام الرسالة أ. تتم الإشارة إلى رقم العضو بواسطة فهرس في أسفل اليمين. نكتب مصطلحات مفصولة بفواصل (أو فواصل منقوطة)، مثل هذا:

أ 1، أ 2، أ 3، أ 4، أ 5، .....

أ 1- وهذا هو الرقم الأول، أ 3- الثالث، الخ. لا شيء يتوهم. يمكن كتابة هذه السلسلة بإيجاز على النحو التالي: (ن).

التقدم يحدث محدود ولانهائي.

ذروةالتقدم له عدد محدود من الأعضاء. خمسة، ثمانية وثلاثون، أيا كان. لكنه عدد محدود.

لانهائيالتقدم - لديه عدد لا حصر له من الأعضاء، كما قد تتخيل.)

يمكنك كتابة التقدم النهائي من خلال سلسلة مثل هذه، جميع المصطلحات ونقطة في النهاية:

أ1، أ2، أ3، أ4، أ5.

أو هكذا إذا كان الأعضاء كثيرين:

أ1، أ2، ...14، أ15.

في الإدخال القصير، سيتعين عليك أيضًا الإشارة إلى عدد الأعضاء. على سبيل المثال (لعشرين عضواً) هكذا:

(أ ن)، ن = 20

يمكن التعرف على التقدم اللانهائي من خلال علامة الحذف الموجودة في نهاية الصف، كما في الأمثلة الموجودة في هذا الدرس.

الآن يمكنك حل المهام. المهام بسيطة، وهي مخصصة فقط لفهم معنى التقدم الحسابي.

أمثلة على المهام على التقدم الحسابي.

دعونا نلقي نظرة على المهمة المذكورة أعلاه بالتفصيل:

1. اكتب الحدود الستة الأولى من المتتابعة الحسابية (a n)، إذا كانت a 2 = 5، d = -2.5.

نترجم المهمة إلى لغة مفهومة. يتم إعطاء تقدم حسابي لانهائي. والرقم الثاني من هذا التقدم معروف: أ 2 = 5.وفرق التقدم معروف: د = -2.5.علينا إيجاد الحدود الأول والثالث والرابع والخامس والسادس من هذا التقدم.

وللتوضيح سأكتب سلسلة حسب ظروف المشكلة. الحدود الستة الأولى، حيث الحد الثاني هو خمسة:

أ 1، 5، أ 3، أ 4، أ 5، أ 6، ....

أ 3 = 2 + د

استبدال في التعبير أ 2 = 5و د = -2.5. لا تنسى الطرح!

أ 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

وتبين أن الحد الثالث أقل من الثاني. كل شيء منطقي. إذا كان العدد أكبر من الرقم السابق سلبيالقيمة، مما يعني أن الرقم نفسه سيكون أقل من الرقم السابق. التقدم آخذ في التناقص. حسنًا، لنأخذ ذلك بعين الاعتبار.) نعد الحد الرابع من المتسلسلة:

أ 4 = أ 3 + د

أ 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5 = أ 4 + د

5=0+(-2,5)= - 2,5

6 = 5 + د

6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

إذن تم حساب الحدود من الثالث إلى السادس. والنتيجة هي السلسلة التالية:

أ 1، 5، 2.5، 0، -2.5، -5، ....

يبقى العثور على الفصل الأول أ 1على قول الثاني المشهور. هذه خطوة في الاتجاه الآخر، إلى اليسار.) إذن، فرق التقدم الحسابي دلا ينبغي أن تضاف إلى 2، أ يبعد:

أ 1 = 2 - د

أ 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

هذا كل شيء. إجابة الواجب:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

وبشكل عابر، أود أن أشير إلى أننا حللنا هذه المهمة متكررطريق. هذه الكلمة الرهيبة تعني فقط البحث عن عضو في التقدم حسب الرقم (المجاور) السابق.سننظر في طرق أخرى للعمل مع التقدم أدناه.

يمكن استخلاص استنتاج مهم من هذه المهمة البسيطة.

يتذكر:

إذا عرفنا حدًا واحدًا على الأقل وفرق المتتابعة الحسابية، فيمكننا إيجاد أي حد من هذه المتتابعة.

هل تذكر؟ يتيح لك هذا الاستنتاج البسيط حل معظم مشكلات الدورة المدرسية حول هذا الموضوع. جميع المهام تدور حول ثلاثة معايير رئيسية: عضو التقدم الحسابي، فرق التقدم، عدد أعضاء التقدم.الجميع.

بالطبع، لم يتم إلغاء جميع الجبر السابق.) ترتبط المتباينات والمعادلات وأشياء أخرى بالتقدم. لكن وفقا للتقدم نفسه- كل شيء يدور حول ثلاث عوامل.

على سبيل المثال، دعونا نلقي نظرة على بعض المهام الشائعة حول هذا الموضوع.

2. اكتب المتتابعة الحسابية المحدودة في صورة متسلسلة إذا كان n=5، وd = 0.4، وa 1 = 3.6.

كل شيء بسيط هنا. لقد تم بالفعل إعطاء كل شيء. عليك أن تتذكر كيفية حساب أعضاء التقدم الحسابي، وعدّهم، وكتابتهم. يُنصح بعدم تفويت الكلمات الموجودة في شروط المهمة: "نهائي" و " ن = 5". حتى لا تحسب حتى يصبح وجهك أزرقًا تمامًا.) لا يوجد سوى 5 (خمسة) أعضاء في هذا التقدم:

أ 2 = أ 1 + د = 3.6 + 0.4 = 4

أ 3 = أ 2 + د = 4 + 0.4 = 4.4

أ 4 = أ 3 + د = 4.4 + 0.4 = 4.8

5 = أ 4 + د = 4.8 + 0.4 = 5.2

يبقى أن أكتب الجواب:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

مهمة أخرى:

3. تحديد ما إذا كان الرقم 7 سيكون عضوا في المتوالية الحسابية (أ ن)، إذا أ 1 = 4.1؛ د = 1.2.

همم... من يدري؟ كيفية تحديد شيء ما؟

كيف كيف... اكتب التقدم في شكل سلسلة وانظر ما إذا كان سيكون هناك سبعة أم لا! نحن نعد:

أ 2 = أ 1 + د = 4.1 + 1.2 = 5.3

أ 3 = أ 2 + د = 5.3 + 1.2 = 6.5

أ 4 = أ 3 + د = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

الآن أصبح من الواضح أننا في السابعة من عمرنا فقط تسللوا عبربين 6.5 و7.7! سبعة لم يندرج في سلسلة أرقامنا، وبالتالي، سبعة لن يكون عضوًا في التقدم المحدد.

الجواب: لا.

وهنا مشكلة مبنية على نسخة حقيقية من GIA:

4. تمت كتابة عدة حدود متتالية للتقدم الحسابي:

...; 15؛ العاشر؛ 9؛ 6؛ ...

إليكم سلسلة مكتوبة بلا نهاية ولا بداية. لا أرقام الأعضاء، لا فرق د. لا بأس. لحل المشكلة، يكفي أن نفهم معنى التقدم الحسابي. دعونا ننظر ونرى ما هو ممكن لمعرفةمن هذه السلسلة؟ ما هي المعلمات الثلاثة الرئيسية؟

أرقام الأعضاء؟ لا يوجد رقم واحد هنا.

ولكن هناك ثلاثة أرقام و- انتبه! - كلمة "ثابت"في حالة. وهذا يعني أن الأرقام مرتبة بدقة، دون ثغرات. هل هناك اثنان في هذا الصف؟ المجاورةأرقام معروفة؟ نعم لدي! هذه هي 9 و 6. لذلك، يمكننا حساب الفرق في التقدم الحسابي! اطرح من ستة سابقالرقم، أي تسع:

لم يتبق سوى تفاهات. ما هو الرقم الذي سيكون الرقم السابق لـ X؟ خمسة عشر. وهذا يعني أنه يمكن العثور على X بسهولة عن طريق الجمع البسيط. أضف فرق التقدم الحسابي إلى 15:

هذا كل شئ. إجابة: س = 12

نحن نحل المشاكل التالية بأنفسنا. ملاحظة: هذه المشاكل لا تعتمد على الصيغ. فقط لفهم معنى التقدم الحسابي.) نحن فقط نكتب سلسلة من الأرقام والحروف وننظر إليها ونكتشفها.

5. أوجد الحد الموجب الأول للتقدم الحسابي إذا كان 5 = -3؛ د = 1.1.

6. من المعروف أن العدد 5.5 هو عضو في المتتابعة الحسابية (أ ن) حيث أن 1 = 1.6؛ د = 1.3. حدد العدد n لهذا المصطلح.

7. من المعروف أنه في المتتابعة الحسابية أ 2 = 4؛ أ 5 = 15.1. العثور على 3.

8. تمت كتابة عدة حدود متتالية للتقدم الحسابي:

...; 15.6؛ العاشر؛ 3.4؛ ...

ابحث عن مدة التقدم المشار إليها بالحرف x.

9. بدأ القطار بالتحرك من المحطة، وزادت سرعته بشكل منتظم بمقدار 30 مترًا في الدقيقة. كم ستكون سرعة القطار بعد خمس دقائق؟ اكتب إجابتك بالكيلومتر/الساعة.

10. من المعروف أنه في المتتابعة الحسابية أ 2 = 5؛ أ 6 = -5. العثور على 1.

الإجابات (في حالة من الفوضى): 7.7؛ 7.5؛ 9.5؛ 9؛ 0.3؛ 4.

كل شيء على ما يرام؟ مدهش! يمكنك إتقان التقدم الحسابي على مستوى أعلى في الدروس التالية.

ألم ينجح كل شيء؟ لا مشكلة. في القسم الخاص 555، يتم حل كل هذه المشكلات قطعة قطعة.) وبالطبع، يتم وصف تقنية عملية بسيطة تسلط الضوء على الفور على حل هذه المهام بوضوح، بوضوح، في لمحة!

بالمناسبة، يوجد في لغز القطار مشكلتان غالبًا ما يتعثر الناس في حلهما. الأول يتعلق فقط بالتقدم، والثاني عام لأي مشاكل في الرياضيات، والفيزياء أيضًا. هذه هي ترجمة الأبعاد من واحد إلى آخر. ويبين كيف ينبغي حل هذه المشاكل.

في هذا الدرس نظرنا إلى المعنى الأولي للتقدم الحسابي ومعلماته الرئيسية. وهذا يكفي لحل جميع المشاكل تقريبًا حول هذا الموضوع. يضيف دإلى الأرقام، اكتب سلسلة، سيتم حل كل شيء.

يعمل حل الإصبع بشكل جيد مع الأجزاء القصيرة جدًا من الصف، كما هو موضح في الأمثلة في هذا البرنامج التعليمي. إذا كانت السلسلة أطول، تصبح الحسابات أكثر تعقيدا. على سبيل المثال، إذا كان في المشكلة 9 في السؤال نستبدل "خمس دقائق"على "خمسة وثلاثون دقيقة"سوف تصبح المشكلة أسوأ بكثير.)

وهناك أيضًا مهام بسيطة في جوهرها ولكنها سخيفة من حيث الحسابات، على سبيل المثال:

يتم إعطاء التقدم الحسابي (ن). أوجد 121 إذا كان 1 = 3 و d = 1/6.

إذن ماذا، هل سنضيف 1/6 عدة مرات؟! هل تستطيع أن تقتل نفسك!؟

يمكنك ذلك.) إذا كنت لا تعرف صيغة بسيطة يمكنك من خلالها حل مثل هذه المهام في دقيقة واحدة. هذه الصيغة ستكون في الدرس القادم ويتم حل هذه المشكلة هناك. في دقيقة.)

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

على سبيل المثال، التسلسل \(2\); \(5\); \(8\); \(أحد عشر\)؛ \(14\)... هي متوالية حسابية، لأن كل عنصر لاحق يختلف عن العنصر السابق بثلاثة (يمكن الحصول على العنصر السابق بإضافة ثلاثة):

في هذا التقدم، يكون الفرق \(d\) موجبًا (يساوي \(3\)) وبالتالي فإن كل حد تالٍ أكبر من الحد السابق. تسمى مثل هذه التقدمات في ازدياد.

ومع ذلك، يمكن أن يكون \(d\) أيضًا رقمًا سالبًا. على سبيل المثال، في التقدم الحسابي \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... فرق التقدم \(d\) يساوي سالب ستة.

وفي هذه الحالة، سيكون كل عنصر تالٍ أصغر من العنصر السابق. وتسمى هذه التقدمات متناقص.

تدوين التقدم الحسابي

تتم الإشارة إلى التقدم بحرف لاتيني صغير.

يتم استدعاء الأرقام التي تشكل تقدمًا أعضاء(أو العناصر).

يتم الإشارة إليها بنفس الحرف كمتتالية حسابية، ولكن بمؤشر رقمي يساوي رقم العنصر بالترتيب.

على سبيل المثال، يتكون التقدم الحسابي \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) من العناصر \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) وهكذا.

بمعنى آخر، بالنسبة للتقدم \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

حل مسائل التقدم الحسابي

من حيث المبدأ، فإن المعلومات المقدمة أعلاه كافية بالفعل لحل أي مشكلة تقدم حسابي تقريبًا (بما في ذلك تلك المقدمة في OGE).

مثال (أوجي). يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط \(b_1=7; d=4\). ابحث عن \(b_5\).
حل:

إجابة: \(b_5=23\)

مثال (أوجي). معطاة الحدود الثلاثة الأولى للمتتابعة الحسابية: \(62; 49; 36…\) أوجد قيمة الحد السالب الأول من هذه المتوالية..
حل:

	لقد حصلنا على العناصر الأولى من المتتابعة ونعلم أنها متوالية حسابية. أي أن كل عنصر يختلف عن جاره بنفس العدد. دعنا نكتشف أي منها عن طريق طرح العنصر السابق من العنصر التالي: \(d=49-62=-13\).
	الآن يمكننا استعادة تقدمنا ​​إلى العنصر (السلبي الأول) الذي نحتاجه.
	مستعد. يمكنك كتابة إجابة.

إجابة: \(-3\)

مثال (أوجي). بمعرفة عدة عناصر متتالية للتقدم الحسابي: \(...5; x; 10; 12.5...\) أوجد قيمة العنصر المحدد بالحرف \(x\).
حل:

	للعثور على \(x\)، نحتاج إلى معرفة مدى اختلاف العنصر التالي عن العنصر السابق، بمعنى آخر، اختلاف التقدم. لنجدها من عنصرين متجاورين معروفين: \(d=12.5-10=2.5\).
	والآن يمكننا بسهولة العثور على ما نبحث عنه: \(x=5+2.5=7.5\).
	مستعد. يمكنك كتابة إجابة.

إجابة: \(7,5\).

مثال (أوجي). يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط التالية: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) أوجد مجموع الحدود الستة الأولى من هذا التقدم.
حل:

	علينا إيجاد مجموع الحدود الستة الأولى للتقدم. ولكننا لا نعرف معانيها، ولم يُعطَ لنا سوى العنصر الأول. لذلك نقوم أولاً بحساب القيم واحدة تلو الأخرى باستخدام ما هو معطى لنا: \(ن=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(ن=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(ن=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) وبعد حساب العناصر الستة التي نحتاجها، نجد مجموعها.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	تم العثور على المبلغ المطلوب.

إجابة: \(S_6=9\).

مثال (أوجي). في التقدم الحسابي \(a_(12)=23\); \(أ_(16)=51\). أوجد الفرق في هذا التقدم.
حل:

إجابة: \(د=7\).

صيغ مهمة للتقدم الحسابي

كما ترون، يمكن حل العديد من المسائل المتعلقة بالتقدم الحسابي ببساطة عن طريق فهم الشيء الرئيسي - وهو أن التقدم الحسابي عبارة عن سلسلة من الأرقام، ويتم الحصول على كل عنصر لاحق في هذه السلسلة عن طريق إضافة نفس الرقم إلى العنصر السابق (الرقم اختلاف التقدم).

ومع ذلك، في بعض الأحيان تكون هناك مواقف يكون فيها اتخاذ القرار "المباشر" غير مريح للغاية. على سبيل المثال، تخيل أننا في المثال الأول لا نحتاج إلى العثور على العنصر الخامس \(b_5\)، ولكن العنصر الثلاثمائة والسادس والثمانين \(b_(386)\). هل يجب أن نضيف أربع \(385\) مرات؟ أو تخيل أنك تحتاج في المثال قبل الأخير إلى إيجاد مجموع العناصر الثلاثة والسبعين الأولى. سوف تتعب من العد..

لذلك، في مثل هذه الحالات، لا يقومون بحل الأمور "مباشرة"، بل يستخدمون صيغًا خاصة مشتقة من التقدم الحسابي. وأهمها هي صيغة الحد n من التقدم وصيغة مجموع \(n\) الحدود الأولى.

صيغة الحد \(n\)الثالث: \(a_n=a_1+(n-1)d\)، حيث \(a_1\) هو الحد الأول من التقدم؛
\(n\) – عدد العنصر المطلوب;
\(a_n\) – مدة التقدم بالرقم \(n\).

تسمح لنا هذه الصيغة بالعثور بسرعة على العنصر الثلاثمائة أو العنصر المليون، بمعرفة العنصر الأول فقط والفرق في التقدم.

مثال. يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط: \(b_1=-159\); \(د=8.2\). ابحث عن \(b_(246)\).
حل:

إجابة: \(ب_(246)=1850\).

صيغة مجموع الحدود n الأولى: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\)، حيث

\(a_n\) – الحد الأخير الملخص؛

مثال (أوجي). يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط \(a_n=3.4n-0.6\). أوجد مجموع الحدود \(25\) الأولى لهذا التقدم.
حل:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		لحساب مجموع أول خمسة وعشرين حدًا، علينا معرفة قيمة الحدين الأول والخامس والعشرين. يتم إعطاء تقدمنا ​​من خلال صيغة الحد n اعتمادًا على رقمه (لمزيد من التفاصيل، انظر). لنحسب العنصر الأول عن طريق استبدال \(n\) بواحد.
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		والآن دعونا نوجد الحد الخامس والعشرين بالتعويض بخمسة وعشرين بدلاً من \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		حسنًا، يمكننا الآن حساب المبلغ المطلوب بسهولة.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		الجواب جاهز.

إجابة: \(س_(25)=1090\).

بالنسبة لمجموع \(n\) الحدود الأولى، يمكنك الحصول على صيغة أخرى: تحتاج فقط إلى \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) بدلاً من \(a_n\) استبدل الصيغة \(a_n=a_1+(n-1)d\). نحن نحصل:

صيغة مجموع حدود n الأولى: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)، حيث

\(S_n\) – المبلغ المطلوب لعناصر \(n\) الأولى؛
\(a_1\) – الحد الأول المجمع؛
\(د\) - فرق التقدم؛
\(n\) – عدد العناصر في المجموع.

مثال. أوجد مجموع الحدود \(33\)-ex الأولى للتقدم الحسابي: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
حل:

إجابة: \(S_(33)=-231\).

مشاكل التقدم الحسابي الأكثر تعقيدًا

الآن لديك كل المعلومات التي تحتاجها لحل أي مسألة تقدم حسابي تقريبًا. دعونا ننهي الموضوع من خلال النظر في المسائل التي لا تحتاج فيها إلى تطبيق الصيغ فحسب، بل تحتاج أيضًا إلى التفكير قليلاً (قد يكون هذا مفيدًا في الرياضيات ☺)

مثال (أوجي). أوجد مجموع كل الحدود السلبية للتقدم: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
حل:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		المهمة مشابهة جدًا للمهمة السابقة. نبدأ في حل نفس الشيء: أولاً نجد \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		الآن أود استبدال \(d\) في صيغة المجموع... وهنا يظهر فارق بسيط - نحن لا نعرف \(n\). بعبارة أخرى، لا نعرف عدد الحدود التي يجب إضافتها. كيفية معرفة ذلك؟ دعونا نفكر. سوف نتوقف عن إضافة العناصر عندما نصل إلى العنصر الإيجابي الأول. أي أنك بحاجة إلى معرفة عدد هذا العنصر. كيف؟ دعونا نكتب الصيغة لحساب أي عنصر من عناصر التقدم الحسابي: \(a_n=a_1+(n-1)d\) في حالتنا.
\(a_n=a_1+(n-1)د\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		نحتاج أن يصبح \(a_n\) أكبر من الصفر. دعونا نكتشف ماذا سيحدث \(n\) هذا.
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)		نقسم طرفي المتراجحة على \(0.3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		ننقل ناقص واحد، دون أن ننسى تغيير العلامات
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		دعونا نحسب...
\(ن>65,333…\)		...ويتضح أن العنصر الموجب الأول سيكون له الرقم \(66\). وبناء على ذلك، فإن آخر سالب له \(n=65\). فقط في حالة، دعونا التحقق من هذا.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		لذلك نحن بحاجة إلى إضافة العناصر \(65\) الأولى.
\(س_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		الجواب جاهز.

إجابة: \(S_(65)=-630.5\).

مثال (أوجي). يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). أوجد المجموع من \(26\)العنصر \(42\) شاملاً.
حل:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	في هذه المشكلة، تحتاج أيضًا إلى إيجاد مجموع العناصر، ولكن ليس بدءًا من العنصر الأول، بل من \(26\)الرقم. لمثل هذه الحالة ليس لدينا صيغة. كيف تقرر؟ من السهل - للحصول على المجموع من \(26\)الرقم \(42\)، يجب عليك أولاً العثور على المجموع من \(1\)الرقم إلى \(42\)ثم طرحه منه المجموع من الأول إلى (25) (انظر الصورة).
	بالنسبة لتقدمنا ​​\(a_1=-33\)، والفرق \(d=4\) (بعد كل شيء، نضيف الأربعة إلى العنصر السابق للعثور على العنصر التالي). بمعرفة ذلك نجد مجموع عناصر \(42\)-y الأولى.
\(س_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	الآن مجموع العناصر \(25\) الأولى.
\(س_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	وأخيرًا، نحسب الإجابة.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

إجابة: \(س=1683\).

بالنسبة للتقدم الحسابي، هناك العديد من الصيغ الأخرى التي لم نأخذها في الاعتبار في هذه المقالة بسبب فائدتها العملية المنخفضة. ومع ذلك، يمكنك العثور عليها بسهولة.

يشير مفهوم التسلسل الرقمي إلى أن كل رقم طبيعي يتوافق مع قيمة حقيقية معينة. يمكن أن تكون هذه السلسلة من الأرقام تعسفية أو لها خصائص معينة - تقدم. وفي الحالة الأخيرة، يمكن حساب كل عنصر (عضو) لاحق في التسلسل باستخدام العنصر السابق.

التقدم الحسابي هو سلسلة من القيم العددية التي يختلف فيها الأعضاء المجاورون عن بعضهم البعض بنفس الرقم (جميع عناصر السلسلة، بدءًا من الثاني، لها خاصية مماثلة). هذا الرقم - الفرق بين الحدين السابق واللاحق - ثابت ويسمى فرق التقدم.

فرق التقدم: التعريف

خذ بعين الاعتبار تسلسلًا يتكون من قيم j A = a(1)، a(2)، a(3)، a(4) ... a(j)، j ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية N. عملية حسابية التقدم، حسب تعريفه، هو تسلسل، فيه a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – أ(ي-1) = د. القيمة d هي الفرق المطلوب لهذا التقدم.

د = أ(ي) – أ(ي-1).

تسليط الضوء:

• تقدم متزايد، وفي هذه الحالة d > 0. مثال: 4، 8، 12، 16، 20، ...
• انخفاض التقدم، ثم د< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

تطور الفرق وعناصره التعسفية

إذا كان هناك حدين تعسفيين للتقدم معروفين (i-th، k-th)، فيمكن تحديد الفرق في تسلسل معين بناءً على العلاقة:

أ(i) = أ(ك) + (i – ك)*د، وهو ما يعني د = (أ(i) – أ(ك))/(ط-ك).

اختلاف التقدم ومدته الأولى

سيساعد هذا التعبير في تحديد قيمة غير معروفة فقط في الحالات التي يكون فيها رقم عنصر التسلسل معروفًا.

فرق التقدم ومجموعه

مجموع التقدم هو مجموع شروطه. لحساب القيمة الإجمالية لعناصر j الأولى، استخدم الصيغة المناسبة:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j، ولكن منذ ذلك الحين أ(ي) = أ(1) + د(ي – 1)، ثم S(ي) = ((أ(1) + أ(1) + د(ي – 1))/2)*j=(( 2أ(1) + د(- 1))/2)*ي.

قبل أن نبدأ في اتخاذ القرار مشاكل التقدم الحسابيلنفكر في ماهية التسلسل الرقمي، نظرًا لأن التقدم الحسابي هو حالة خاصة من التسلسل الرقمي.

التسلسل الرقمي عبارة عن مجموعة أرقام، لكل عنصر منها رقم تسلسلي خاص به. تسمى عناصر هذه المجموعة أعضاء التسلسل. تتم الإشارة إلى الرقم التسلسلي لعنصر التسلسل بواسطة فهرس:

العنصر الأول من التسلسل؛

العنصر الخامس من المتوالية؛

- العنصر "ن" من التسلسل، أي. عنصر "الوقوف في قائمة الانتظار" بالرقم n.

هناك علاقة بين قيمة عنصر التسلسل ورقمه التسلسلي. لذلك، يمكننا اعتبار التسلسل بمثابة دالة وسيطتها هي الرقم الترتيبي لعنصر التسلسل. وبعبارة أخرى، يمكننا أن نقول ذلك التسلسل هو وظيفة الحجة الطبيعية:

يمكن ضبط التسلسل بثلاث طرق:

1 . يمكن تحديد التسلسل باستخدام الجدول.في هذه الحالة، نقوم ببساطة بتعيين قيمة كل عضو في التسلسل.

على سبيل المثال، قرر شخص ما أن يتولى إدارة الوقت الشخصي، وبادئ ذي بدء، احسب مقدار الوقت الذي يقضيه على فكونتاكتي خلال الأسبوع. ومن خلال تسجيل الوقت في الجدول، سيحصل على تسلسل يتكون من سبعة عناصر:

يشير السطر الأول من الجدول إلى عدد أيام الأسبوع، والثاني - الوقت بالدقائق. نرى أنه في يوم الاثنين قضى شخص ما 125 دقيقة على فكونتاكتي، أي يوم الخميس - 248 دقيقة، أي يوم الجمعة 15 دقيقة فقط.

2 . يمكن تحديد التسلسل باستخدام صيغة الحد n.

في هذه الحالة، يتم التعبير عن اعتماد قيمة عنصر التسلسل على رقمه مباشرة في شكل صيغة.

على سبيل المثال، إذا، ثم

للعثور على قيمة عنصر تسلسل برقم معين، نعوض برقم العنصر في صيغة الحد n.

نحن نفعل الشيء نفسه إذا أردنا إيجاد قيمة دالة إذا كانت قيمة الوسيطة معروفة. نعوض بقيمة الوسيطة في معادلة الدالة:

إذا، على سبيل المثال، ، الذي - التي

اسمحوا لي أن أشير مرة أخرى إلى أنه في التسلسل، على عكس الدالة العددية العشوائية، يمكن أن تكون الوسيطة عددًا طبيعيًا فقط.

3 . يمكن تحديد التسلسل باستخدام صيغة تعبر عن اعتماد قيمة رقم عضو التسلسل n على قيم الأعضاء السابقة. وفي هذه الحالة لا يكفي أن نعرف فقط رقم عضو التسلسل لنجد قيمته. نحن بحاجة إلى تحديد العضو الأول أو الأعضاء القليلة الأولى في التسلسل.

على سبيل المثال، النظر في التسلسل ,

يمكننا العثور على قيم أعضاء التسلسل في تسلسل، ابتداءً من الثالث:

وهذا يعني أنه في كل مرة، لإيجاد قيمة الحد النوني من المتتابعة، نعود إلى الحدين السابقين. تسمى هذه الطريقة لتحديد التسلسل متكرر، من الكلمة اللاتينية متكرر- عد.

الآن يمكننا تحديد التقدم الحسابي. التقدم الحسابي هو حالة خاصة بسيطة لتسلسل رقمي.

المتوالية العددية هي تسلسل عددي كل عضو فيه ابتداء من الثاني يساوي الذي قبله مضافا إلى نفس الرقم.

الرقم يسمى اختلاف التقدم الحسابي. يمكن أن يكون فرق التقدم الحسابي موجبًا أو سالبًا أو يساوي الصفر.

إذا كان العنوان = "d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} في ازدياد.

على سبيل المثال، 2؛ 5؛ 8؛ أحد عشر؛...

إذا كان كل حد من المتوالية الحسابية أقل من الذي قبله، ويكون المتوالية كذلك متناقص.

على سبيل المثال، 2؛ -1؛ -4؛ -7;...

إذا كانت جميع شروط التقدم تساوي نفس العدد، والتقدم هو ثابت.

على سبيل المثال، 2;2;2;2;...

الخاصية الرئيسية للتقدم الحسابي:

دعونا نلقي نظرة على الرسم.

نحن نرى ذلك

، وفي نفس الوقت

وبجمع هاتين المتساويتين نحصل على:

.

دعونا نقسم طرفي المساواة على 2:

إذن كل عضو في المتوالية الحسابية ابتداء من الثاني يساوي الوسط الحسابي للمتجاورتين:

علاوة على ذلك، منذ ذلك الحين

، وفي نفس الوقت

، الذي - التي

، وبالتالي

كل حد من المتتابعة الحسابية، يبدأ بالعنوان = "k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

صيغة المصطلح الخامس.

نرى أن شروط المتوالية الحسابية تحقق العلاقات التالية:

وأخيرا

حصلنا صيغة الحد n.

مهم!يمكن التعبير عن أي عضو في التقدم الحسابي من خلال و. بمعرفة الحد الأول وفرق المتتابعة الحسابية، يمكنك العثور على أي حد من حدوده.

مجموع حدود n للتقدم الحسابي.

في متوالية حسابية اعتباطية، يكون مجموع الحدود المتساوية البعد عن الحدود المتطرفة متساويًا مع بعضها البعض:

النظر في التقدم الحسابي مع شروط n. دع مجموع شروط هذا التقدم يساوي .

دعونا نرتب شروط التقدم أولاً بترتيب تصاعدي للأرقام، ثم بترتيب تنازلي:

دعونا نضيف في أزواج:

المجموع في كل قوس هو عدد الأزواج هو n.

نحن نحصل:

لذا، يمكن إيجاد مجموع الحدود n للتقدم الحسابي باستخدام الصيغ:

دعونا نفكر حل مسائل التقدم الحسابي.

1 . يتم إعطاء التسلسل بواسطة صيغة الحد n: . أثبت أن هذه المتتابعة هي متوالية حسابية.

دعونا نثبت أن الفرق بين حدين متجاورين في المتتابعة يساوي نفس العدد.

لقد وجدنا أن الفرق بين عضوين متجاورين في التسلسل لا يعتمد على عددهما وهو ثابت. لذلك، بحكم التعريف، هذه التسلسل هو تقدم حسابي.

2 . نظرا للتقدم الحسابي -31؛ -27؛...

أ) ابحث عن 31 مصطلحًا للتقدم.

ب) تحديد ما إذا كان الرقم 41 متضمنًا في هذا التقدم.

أ)نحن نرى ذلك ؛

دعونا نكتب صيغة الحد النوني لتقدمنا.

على العموم

في حالتنا هذه ، لهذا