المشتق المضاد وخصائصه. المشتق المضاد للوظيفة

لقد رأينا أن للمشتق استخدامات عديدة: المشتق هو سرعة الحركة (أو، بشكل أعم، سرعة أي عملية)؛ مشتق هو ميلمماس للرسم البياني للدالة؛ باستخدام المشتق، يمكنك فحص دالة للرتابة والنقاط القصوى؛ يساعد المشتق في حل مشكلات التحسين.

ولكن في الحياه الحقيقيهيجب أيضًا حل المشكلات العكسية: على سبيل المثال، إلى جانب مشكلة إيجاد السرعة وفقًا لقانون معروف للحركة، هناك أيضًا مشكلة استعادة قانون الحركة وفقًا لسرعة معروفة. دعونا نفكر في واحدة من هذه المشاكل.

مثال 1.يتحرك في خط مستقيم نقطة مادية، سرعة حركتها في الوقت t تعطى بالصيغة u = tg. العثور على قانون الحركة.

حل.دع s = s(t) هو قانون الحركة المطلوب. ومن المعروف أن s"(t) = u"(t). هذا يعني أنه لحل المشكلة عليك أن تختار وظيفة s = s(t)، الذي مشتقه يساوي tg. ليس من الصعب تخمين ذلك

دعونا نلاحظ على الفور أن المثال قد تم حله بشكل صحيح، ولكن بشكل غير كامل. لقد وجدنا أن المشكلة، في الواقع، لها عدد لا نهائي من الحلول: أي دالة من الشكل الثابت التعسفي يمكن أن يكون بمثابة قانون للحركة، منذ ذلك الحين

لجعل المهمة أكثر تحديدًا، كنا بحاجة إلى إصلاح الوضع الأولي: الإشارة إلى إحداثيات نقطة متحركة في وقت ما، على سبيل المثال، عند t=0. إذا، على سبيل المثال، s(0) = s 0، فمن المساواة نحصل على s(0) = 0 + C، أي S 0 = C. الآن يتم تعريف قانون الحركة بشكل فريد:
في الرياضيات، يتم تعيين العمليات المتبادلة أسماء مختلفة، توصل إلى رموز خاصة: على سبيل المثال، التربيع (× 2) والاستخراج الجذر التربيعيجيب (الخطيئة) و أركسين(أركسين س)، الخ. عملية العثور على المشتق فيما يتعلق وظيفة معينةويسمى التمايز، والعملية العكسية، أي. عملية إيجاد دالة من مشتق معين - التكامل.
يمكن تبرير مصطلح "مشتق" في حد ذاته "في المصطلحات اليومية": الوظيفة y - f(x) "تنتج إلى الوجود" ميزة جديدة y"= f"(x) تعمل الدالة y = f(x) بمثابة "الوالد"، لكن علماء الرياضيات، بطبيعة الحال، لا يطلقون عليها اسم "الوالد" أو "المنتج"، بل يقولون إنها كذلك بالنسبة إلى الدالة y"=f"(x)، أو الصورة الأساسية، أو باختصار، المشتق العكسي.

التعريف 1.تسمى الدالة y = F(x) بالمشتق العكسي للدالة y = f(x) في فترة زمنية معينة X إذا كانت المساواة F"(x)=f(x) صالحة لجميع x من X.

من الناحية العملية، عادة لا يتم تحديد الفاصل الزمني X، ولكنه ضمني (باعتباره المجال الطبيعي لتعريف الوظيفة).

وهنا بعض الأمثلة:

1) الدالة y = x 2 هي مشتقة عكسية للدالة y = 2x، حيث أن المساواة (x 2)" = 2x صحيحة لجميع x.
2) الدالة y - x 3 هي مشتقة عكسية للدالة y-3x 2، حيث أن المساواة (x 3)" = 3x 2 صحيحة لجميع x.
3) الدالة y-sinx هي مشتقة عكسية للدالة y = cosx، حيث أن المساواة (sinx)" = cosx لجميع x صحيحة.
4) الدالة هي مشتقة عكسية لدالة في الفاصل الزمني حيث أن المساواة صحيحة لجميع x > 0
بشكل عام، معرفة صيغ البحث عن المشتقات، ليس من الصعب تجميع جدول الصيغ للعثور على المشتقات العكسية.

نأمل أن تفهم كيفية تجميع هذا الجدول: مشتق الدالة المكتوبة في العمود الثاني يساوي الدالة المكتوبة في الصف المقابل من العمود الأول (تحقق من ذلك، لا تكن كسولًا، انها مفيدة للغاية). على سبيل المثال، بالنسبة للدالة y = x 5، المشتق العكسي، كما ستثبت، هو الدالة (انظر الصف الرابع من الجدول).

ملحوظات: 1. أدناه سنثبت النظرية القائلة بأنه إذا كانت y = F(x) مشتقة عكسية للدالة y = f(x)، فإن الدالة y = f(x) لها عدد لا نهائي من المشتقات العكسية وجميعها لها الشكل y = F(x ) + C. لذلك، سيكون من الأصح إضافة المصطلح C في كل مكان في العمود الثاني من الجدول، حيث يكون C رقمًا حقيقيًا عشوائيًا.
2. من أجل الإيجاز، في بعض الأحيان بدلاً من عبارة "الدالة y = F(x) هي مشتق عكسي للدالة y = f(x)"، يقولون F(x) هي مشتق عكسي للدالة f(x) ".

2. قواعد العثور على المشتقات العكسية

عند العثور على المشتقات العكسية، وكذلك عند البحث عن المشتقات، لا يتم استخدام الصيغ فقط (وهي مدرجة في الجدول ص 196)، ولكن أيضًا بعض القواعد. ترتبط ارتباطًا مباشرًا بالقواعد المقابلة لحساب المشتقات.

نحن نعلم أن مشتقة المجموع تساوي مجموع مشتقاته. تنشئ هذه القاعدة القاعدة المقابلة للعثور على المشتقات العكسية.

المادة 1.المشتقة العكسية للمجموع تساوي مجموع المشتقات العكسية.

نلفت انتباهكم إلى "خفة" هذه الصيغة إلى حد ما. في الواقع، ينبغي للمرء صياغة النظرية: إذا كانت الدالتان y = f(x) وy = g(x) لها مشتقات عكسية في الفترة X، على التوالي y-F(x) وy-G(x)، فإن مجموع الدوال y = f(x)+g(x) له مشتق عكسي في الفترة X، وهذا المشتق العكسي هو الدالة y = F(x)+G(x). ولكن عادة، عند صياغة القواعد (وليس النظريات)، فإنها تترك فقط الكلمات الدالة- وهذا يجعل تطبيق القاعدة عمليًا أكثر ملاءمة

مثال 2.أوجد المشتق العكسي للدالة y = 2x + cos x.

حل.المشتق العكسي لـ 2x هو x"؛ والمشتق العكسي لـ cox هو sin x. وهذا يعني أن المشتق العكسي للدالة y = 2x + cos x سيكون الدالة y = x 2 + sin x (وبشكل عام أي دالة من النموذج ص = س 1 + جاينكس + ج) .
نحن نعرف ذلك عامل ثابتيمكن إخراجها من علامة المشتقة. تنشئ هذه القاعدة القاعدة المقابلة للعثور على المشتقات العكسية.

القاعدة 2.يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة المشتق العكسي.

مثال 3.

حل.أ) المشتق العكسي لـ sin x هو -soz x؛ هذا يعني أنه بالنسبة للدالة y = 5 sin x، ستكون دالة المشتق العكسي هي الدالة y = -5 cos x.

ب) المشتق العكسي لـ cos x هو sin x؛ هذا يعني أن المشتق العكسي للدالة هو الدالة
ج) المشتق العكسي لـ x 3 هو المشتق العكسي لـ x، والمشتق العكسي للدالة y = 1 هو الدالة y = x. باستخدام القاعدتين الأولى والثانية لإيجاد المشتقات العكسية نجد أن المشتقة العكسية للدالة y = 12x 3 + 8x-1 هي الدالة
تعليق.كما هو معروف، مشتقة المنتج لا تساوي منتج المشتقات (قاعدة تفاضلية المنتج أكثر تعقيدا) ومشتقة حاصل القسمة لا تساوي حاصل قسمة المشتقات. لذلك، لا توجد قواعد لإيجاد المشتق العكسي للمنتج أو المشتق العكسي لحاصل دالتين. احرص!
دعونا نحصل على قاعدة أخرى لإيجاد المشتقات العكسية. نحن نعلم أن مشتق الدالة y = f(kx+m) يتم حسابه بواسطة الصيغة

تنشئ هذه القاعدة القاعدة المقابلة للعثور على المشتقات العكسية.
القاعدة 3.إذا كانت y = F(x) مشتقًا عكسيًا للدالة y = f(x)، فإن المشتق العكسي للدالة y=f(kx+m) هو الدالة

بالفعل،

هذا يعني أنه مشتق عكسي للدالة y = f(kx+m).
معنى القاعدة الثالثة هو كما يلي. إذا كنت تعلم أن المشتق العكسي للدالة y = f(x) هو الدالة y = F(x)، وتحتاج إلى العثور على المشتق العكسي للدالة y = f(kx+m)، فاتبع الخطوات التالية: نفس الوظيفة F، ولكن بدلاً من الوسيطة x، استبدل التعبير kx+m؛ بالإضافة إلى ذلك، لا تنس كتابة "عامل التصحيح" قبل علامة الوظيفة
مثال 4.ابحث عن المشتقات العكسية لوظائف معينة:

حل، أ) المشتق العكسي لـ sin x هو -soz x؛ هذا يعني أنه بالنسبة للدالة y = sin2x فإن المشتق العكسي هو الدالة
ب) المشتق العكسي لـ cos x هو sin x؛ هذا يعني أن المشتق العكسي للدالة هو الدالة

ج) المشتق العكسي لـ x 7 يعني أنه بالنسبة للدالة y = (4-5x) 7 فإن المشتق العكسي هو الدالة

3. تكامل غير محدد

لقد سبق أن أشرنا أعلاه إلى أن مشكلة إيجاد المشتق العكسي لدالة معينة y = f(x) لها أكثر من حل. دعونا نناقش هذه المسألة بمزيد من التفصيل.

دليل. 1. افترض أن y = F(x) هو المشتق العكسي للدالة y = f(x) في الفاصل الزمني X. وهذا يعني أنه بالنسبة لجميع x من X فإن المساواة x"(x) = f(x) موجودة. دعونا أوجد مشتقة أي دالة بالصيغة y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

إذن (F(x)+C) = f(x). هذا يعني أن y = F(x) + C هو مشتق عكسي للدالة y = f(x).
وهكذا، أثبتنا أنه إذا كانت الدالة y = f(x) لها مشتق عكسي y=F(x)، فإن الدالة (f = f(x) لها عدد لا نهائي من المشتقات العكسية، على سبيل المثال، أي دالة على الشكل y = F(x) +C هو مشتق عكسي.
2. دعونا الآن نثبت ذلك النوع المحددوظائف، يتم استنفاد مجموعة كاملة من المشتقات المضادة.

افترض أن y=F 1 (x) وy=F(x) هما مشتقان عكسيان للدالة Y = f(x) في الفاصل الزمني X. وهذا يعني أنه بالنسبة لجميع x من الفاصل الزمني X تكون العلاقات التالية: F^ ( س) = و (س)؛ F"(س) = و(س).

لنفكر في الدالة y = F 1 (x) -.F(x) ونجد مشتقتها: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) - و(س) = 0.
من المعروف أنه إذا كان مشتق الدالة في الفترة X يساوي الصفر، فإن الدالة تكون ثابتة في الفترة X (انظر النظرية 3 من الفقرة 35). وهذا يعني أن F 1 (x) - F (x) = C، أي. Fx) = F(x)+C.

لقد تم إثبات النظرية.

مثال 5.قانون تغير السرعة مع الزمن معطى: v = -5sin2t. أوجد قانون الحركة s = s(t)، إذا كان من المعروف أنه في الزمن t=0 كان إحداثي النقطة يساوي الرقم 1.5 (أي s(t) = 1.5).

حل.بما أن السرعة هي مشتقة من الإحداثيات كدالة للزمن، فعلينا أولًا إيجاد المشتقة العكسية للسرعة، أي. المشتق العكسي للدالة v = -5sin2t. إحدى هذه المشتقات العكسية هي الدالة، ومجموعة جميع المشتقات العكسية لها الشكل:

لايجاد معنى محددثابت C، دعونا نستخدم الشروط الأوليةوالتي بموجبها تكون s(0) = 1.5. باستبدال القيم t=0، S = 1.5 في الصيغة (1)، نحصل على:

باستبدال القيمة الموجودة لـ C في الصيغة (1)، نحصل على قانون الحركة الذي يهمنا:

التعريف 2.إذا كانت الدالة y = f(x) تحتوي على مشتق عكسي y = F(x) في الفاصل الزمني X، فإن مجموعة جميع المشتقات العكسية، أي. مجموعة الوظائف من النموذج y = F(x) + C تسمى التكامل غير المحدد للدالة y = f(x) ويشار إليها بواسطة:

(يقرأ: " تكامل غير محدد ef من x de x").
في الفقرة التالية سوف نكتشف ما هو معنى خفيالتسمية المشار إليها.
بناءً على جدول المشتقات العكسية المتوفرة في هذا القسم، سنقوم بتجميع جدول للتكاملات غير المحددة الرئيسية:

بناءً على القواعد الثلاث المذكورة أعلاه لإيجاد المشتقات العكسية، يمكننا صياغة قواعد التكامل المقابلة.

المادة 1.تكامل مجموع الوظائف يساوي المبلغتكاملات هذه الوظائف:

القاعدة 2.يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التكامل:

القاعدة 3.لو

مثال 6.أوجد التكاملات غير المحددة:

حلأ) باستخدام قاعدتي التكامل الأولى والثانية نحصل على:

الآن دعونا نستخدم صيغ التكامل الثالثة والرابعة:

ونتيجة لذلك نحصل على:

ب) باستخدام القاعدة الثالثة للتكامل والصيغة 8 نحصل على:

ج) ل الموقع الفوريبالنسبة لتكامل معين، ليس لدينا الصيغة المقابلة ولا القاعدة المقابلة. في مثل هذه الحالات، يتم تنفيذها مسبقًا تحولات الهويةالتعبير الوارد تحت علامة التكامل.

دعونا نستفيد الصيغة المثلثيةتخفيض الدرجة:

ثم نجد تباعا:

اي جي. جبر موردكوفيتش الصف العاشر

التخطيط المواضيعي للتقويم في الرياضيات، فيديوفي الرياضيات على الانترنت، الرياضيات في المدرسة

هدف:

تشكيل مفهوم المشتق المضاد.
التحضير لإدراك التكامل.
تكوين مهارات الحوسبة.
تنمية الشعور بالجمال (القدرة على رؤية الجمال في غير المألوف).

التحليل الرياضي هو مجموعة من فروع الرياضيات المخصصة لدراسة الدوال وتعميماتها باستخدام طرق حساب التفاضل والتكامل.

لقد قمنا حتى الآن بدراسة فرع من التحليل الرياضي يسمى حساب التفاضل والتكامل، وجوهره هو دراسة الدالة في "الصغيرة".

أولئك. دراسة وظيفة في أحياء صغيرة بما فيه الكفاية لكل نقطة تعريف. إحدى العمليات التمايز - إيجادالمشتق (التفاضلي) والتطبيق على دراسة الوظائف.

ولا يقل أهمية عن ذلك مشكلة عكسية. إذا كان سلوك الدالة في محيط كل نقطة من تعريفها معروفا، فكيف يمكن إعادة بناء الدالة ككل، أي؟ في كامل نطاق تعريفه. هذه المشكلة هي موضوع دراسة ما يسمى بحساب التفاضل والتكامل.

التكامل هو العمل العكسي للتمايز. أو استعادة الدالة f(x) من مشتق معين f`(x). كلمة لاتينية"Integro" تعني الترميم.

المثال رقم 1.

دع (س)`=3س 2.
لنجد f(x).

حل:

بناءً على قاعدة الاشتقاق، ليس من الصعب تخمين أن f(x) = x 3، لأن (x 3)` = 3x 2
ومع ذلك، يمكنك بسهولة ملاحظة أن f(x) ليس فريدًا.
كما f(x) يمكننا أن نأخذ
و(خ)= س 3 +1
و(خ)= س 3 +2
و(س)= × 3 -3، الخ.

لأن مشتقة كل منهما تساوي 3x2. (مشتق الثابت هو 0). كل هذه الوظائف تختلف عن بعضها البعض بمقدار ثابت. لهذا قرار مشتركيمكن كتابة المشكلة على الصورة f(x)= x 3 +C، حيث C هو أي عدد حقيقي ثابت.

يتم استدعاء أي من الوظائف التي تم العثور عليها f(x). بريموديومللدالة F`(x)= 3x 2

تعريف. تسمى الدالة F(x) بالمشتق العكسي للدالة f(x) في فترة زمنية معينة J إذا كانت لجميع x من هذه الفترة F`(x)= f(x). إذن الدالة F(x)=x 3 هي مشتقة عكسية لـ f(x)=3x 2 على (- ∞ ; ∞).
نظرًا لأن المساواة صحيحة لجميع x ~R: F`(x)=(x 3)`=3x 2

وكما لاحظنا بالفعل، هذه الوظيفةلقد مجموعة لا نهائيةالمشتقات المضادة (انظر المثال رقم 1).

المثال رقم 2. الدالة F(x)=x هي مشتقة عكسية لكل f(x)= 1/x على الفترة (0; +)، لأن بالنسبة لجميع x من هذه الفترة، تبقى المساواة.
F`(س)= (س 1/2)`=1/2س -1/2 =1/2س

المثال رقم 3. الدالة F(x)=tg3x هي مشتق عكسي لـ f(x)=3/cos3x على الفترة (-n/ 2; ف/ 2),
لأن F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

المثال رقم 4. الدالة F(x)=3sin4x+1/x-2 هي مشتق عكسي لـ f(x)=12cos4x-1/x 2 على الفاصل الزمني (0;∞)
لأن F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

محاضرة 2.

الموضوع: المشتقات المضادة. الخاصية الرئيسية لوظيفة المشتق العكسي.

عند دراسة المشتق العكسي، سنعتمد على العبارة التالية. علامة ثبات الدالة: إذا كان مشتق الدالة Ψ(x) في الفترة J يساوي 0، فإن الدالة Ψ(x) في هذه الفترة تكون ثابتة.

يمكن إثبات هذا البيان هندسيًا.

من المعروف أن Ψ`(x)=tgα, γde α هي زاوية ميل المماس للرسم البياني للدالة Ψ(x) عند النقطة ذات الإحداثي السيني x 0. إذا كانت Ψ`(υ)=0 عند أي نقطة في الفترة J، إذن tanα=0 δلأي مماس للرسم البياني للدالة Ψ(x). هذا يعني أن مماس الرسم البياني للدالة عند أي نقطة يكون موازيًا لمحور الإحداثي السيني. لذلك على الفاصل الزمني المحددالرسم البياني للدالة Ψ(x) يتزامن مع قطعة الخط المستقيم y=C.

لذا، تكون الدالة f(x)=c ثابتة على الفترة J إذا كانت f`(x)=0 على هذه الفترة.

في الواقع، بالنسبة لـ x 1 وx 2 من الفاصل الزمني J، باستخدام نظرية القيمة المتوسطة للدالة، يمكننا أن نكتب:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1)، لأن f`(c)=0، ثم f(x 2)= f(x 1)

النظرية: (الخاصية الرئيسية للدالة العكسية)

إذا كانت F(x) إحدى المشتقات العكسية للدالة f(x) في الفاصل الزمني J، فإن مجموعة جميع المشتقات العكسية لهذه الدالة لها الشكل: F(x)+C، حيث C هو أي رقم حقيقي.

دليل:

دع F`(x) = f (x)، ثم (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x)، لـ x Є J.
لنفترض أن هناك Φ(x) - مشتق عكسي آخر لـ f (x) على الفاصل الزمني J، أي. Φ`(س) = و (س)،
ثم (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0، لـ x Є J.
هذا يعني أن Φ(x) - F(x) ثابت على الفترة J.
لذلك، Φ(x) - F(x) = C.
من حيث Φ(x)= F(x)+C.
هذا يعني أنه إذا كانت F(x) مشتقة عكسية للدالة f (x) في الفاصل الزمني J، فإن مجموعة جميع المشتقات العكسية لهذه الدالة لها الشكل: F(x)+C، حيث C هو أي رقم حقيقي.
وبالتالي، فإن أي مشتقتين عكسيتين لدالة معينة تختلفان عن بعضهما البعض بمقدار ثابت.

مثال: أوجد مجموعة المشتقات العكسية للدالة f (x) = cos x. ارسم الرسوم البيانية للثلاثة الأولى.

حل: Sin x هو أحد المشتقات العكسية للدالة f (x) = cos x
F(x) = Sin x+C – مجموعة جميع المشتقات العكسية.

F 1 (x) = Sin x-1
ف 2 (س) = الخطيئة س
ف 3 (س) = الخطيئة س+1

التوضيح الهندسي:يمكن الحصول على الرسم البياني لأي مشتق عكسي F(x)+C من الرسم البياني للمشتق العكسي F(x) باستخدام النقل الموازي لـ r (0;c).

مثال: بالنسبة للدالة f (x) = 2x، أوجد المشتقة العكسية التي يمر رسمها البياني عبر t.M (1;4)

حل: F(x)=x 2 +C – مجموعة جميع المشتقات العكسية، F(1)=4 – حسب شروط المشكلة.
وبالتالي، 4 = 1 2 +C
ج = 3
و(س) = س 2 +3

تعريف المشتق المضاد.

المشتق العكسي للدالة f(x) على الفاصل الزمني (a; b) هو دالة F(x) بحيث تكون المساواة لأي x من الفاصل الزمني المحدد.

إذا أخذنا في الاعتبار حقيقة أن مشتقة الثابت C تساوي صفرًا، فإن المساواة صحيحة . وبالتالي، فإن الدالة f(x) لديها مجموعة من المشتقات العكسية F(x)+C، لثابت اعتباطي C، وتختلف هذه المشتقات العكسية عن بعضها البعض بقيمة ثابتة اعتباطية.

تعريف التكامل غير المحدد.

تسمى المجموعة الكاملة للمشتقات العكسية للدالة f(x) بالتكامل غير المحدد لهذه الوظيفة ويشار إليها .

يسمى التعبير تكامل، و (خ) - وظيفة التكامل. يمثل التكامل تفاضل الدالة f(x) .

تسمى عملية البحث عن دالة مجهولة بالنظر إلى تفاضلها غير مؤكدالتكامل، لأن نتيجة التكامل ليست دالة واحدة F(x)، بل مجموعة من مشتقاتها العكسية F(x)+C.

بناءً على خصائص المشتق، يمكن صياغته وإثباته خصائص التكامل غير المحدد(خصائص المشتق المضاد).

تم إعطاء التساويات المتوسطة للخاصيتين الأولى والثانية للتكامل غير المحدد للتوضيح.

ولإثبات الخاصيتين الثالثة والرابعة يكفي إيجاد مشتقات الطرف الأيمن من المتساويات:

وهذه المشتقات تساوي التكاملات، وهو برهان للخاصية الأولى. يتم استخدامه أيضًا في التحولات الأخيرة.

وبالتالي فإن مشكلة التكامل هي عكس مشكلة التفاضل، وهناك ارتباط وثيق جداً بين هذه المشاكل:

الخاصية الأولى تسمح للمرء بالتحقق من التكامل. للتحقق من صحة التكامل الذي تم إجراؤه، يكفي حساب مشتق النتيجة التي تم الحصول عليها. إذا تبين أن الدالة التي تم الحصول عليها نتيجة التمايز تساوي التكامل، فهذا يعني أن التكامل قد تم بشكل صحيح؛
الخاصية الثانية للتكامل غير المحدد تسمح للمرء بالعثور على المشتق العكسي له من تفاضل معروف للدالة. بناء على هذه الخاصية الحساب المباشرالتكاملات غير المحددة.

لنلقي نظرة على مثال.

مثال.

أوجد المشتقة العكسية للدالة التي قيمتها تساوي واحدًا عند x = 1.

حل.

نعرف من حساب التفاضل، ماذا (انظر فقط إلى جدول مشتقات الأساسيات وظائف أولية). هكذا، . بالعقار الثاني . وهذا يعني أن لدينا العديد من المشتقات المضادة. بالنسبة لـ x = 1 نحصل على القيمة . وفقًا للشرط، يجب أن تكون هذه القيمة مساوية لواحد، وبالتالي C = 1. المشتق العكسي المطلوب سوف يأخذ الشكل .

مثال.

أوجد التكامل غير المحدد والتحقق من النتيجة عن طريق التمايز.

حل.

وفقا لصيغة الجيب زاوية مزدوجةمن علم المثلثات ، لهذا

سابقا، وفقا لوظيفة معينة، تسترشد صيغ مختلفةوالقواعد وجدت مشتقتها. للمشتق استخدامات عديدة: فهو سرعة الحركة (أو، بشكل أعم، سرعة أي عملية)؛ المعامل الزاوي للظل للرسم البياني للوظيفة؛ باستخدام المشتق، يمكنك فحص دالة للرتابة والنقاط القصوى؛ فهو يساعد على حل مشاكل التحسين.

ولكن إلى جانب مشكلة إيجاد السرعة وفقًا لقانون معروف للحركة، هناك أيضًا مشكلة عكسية - مشكلة استعادة قانون الحركة وفقًا لسرعة معروفة. دعونا نفكر في واحدة من هذه المشاكل.

مثال 1.تتحرك نقطة مادية في خط مستقيم، وسرعتها عند الزمن t تعطى بالصيغة v=gt. العثور على قانون الحركة.
حل. دع s = s(t) هو قانون الحركة المطلوب. من المعروف أن s"(t) = v(t). وهذا يعني أنه لحل المشكلة، عليك تحديد دالة s = s(t)، مشتقها يساوي gt. ليس من الصعب تخمينها أن $s(t) = \frac(gt^ 2)(2)$.
$s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ كدوت 2t = GT$
الإجابة: $s(t) = \frac(gt^2)(2) $

دعونا نلاحظ على الفور أن المثال قد تم حله بشكل صحيح، ولكن بشكل غير كامل. لقد حصلنا على $s(t) = \frac(gt^2)(2) $. في الواقع، المشكلة لها عدد لا نهائي من الحلول: أي دالة على الشكل $s(t) = \frac(gt^2)(2) + C$، حيث C ثابت اعتباطي، يمكن أن تكون بمثابة قانون لـ الحركة، منذ $\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt $

لجعل المشكلة أكثر تحديدًا، كان علينا إصلاح الموقف الأولي: الإشارة إلى إحداثيات نقطة متحركة في وقت ما، على سبيل المثال عند t = 0. إذا، على سبيل المثال، s(0) = s 0، فمن المساواة s(t) = (gt 2)/2 + C نحصل على: s(0) = 0 + C، أي C = s 0. الآن تم تعريف قانون الحركة بشكل فريد: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

في الرياضيات، تُعطى العمليات العكسية المتبادلة أسماء مختلفة، ويتم اختراع رموز خاصة، على سبيل المثال: التربيع (x 2) والجذر التربيعي ($\sqrt(x)$) وجيب الجيب (sin x) وقوس الجيب (arcsin x) وما إلى ذلك. تسمى عملية العثور على مشتق دالة معينة التفاضل، والعملية العكسية، أي عملية إيجاد دالة من مشتق معين، هي اندماج.

يمكن تبرير مصطلح "مشتق" في حد ذاته "في المصطلحات اليومية": الوظيفة y = f(x) "تلد" وظيفة جديدة y" = f"(x). تعمل الدالة y = f(x) بمثابة "الوالد"، لكن علماء الرياضيات، بطبيعة الحال، لا يطلقون عليها اسم "الوالد" أو "المنتج"، بل يقولون إنها كذلك بالنسبة إلى الدالة y" = f"( x) أو الصورة الأساسية أو البدائية.

تعريف.تسمى الدالة y = F(x) بالمشتق العكسي للدالة y = f(x) على الفاصل الزمني X إذا كانت المساواة F"(x) = f(x) تنطبق على $x \in X$

من الناحية العملية، عادة لا يتم تحديد الفاصل الزمني X، ولكنه ضمني (باعتباره المجال الطبيعي لتعريف الوظيفة).

دعونا نعطي أمثلة.
1) الدالة y = x 2 هي مشتق عكسي للدالة y = 2x، لأنه لأي x تكون المساواة (x 2)" = 2x صحيحة
2) الدالة y = x 3 هي مشتق عكسي للدالة y = 3x 2، لأنه بالنسبة لأي x تكون المساواة (x 3)" = 3x 2 صحيحة
3) الدالة y = sin(x) هي مشتق عكسي للدالة y = cos(x)، لأنه لأي x المساواة (sin(x))" = cos(x) صحيحة

عند العثور على المشتقات العكسية، وكذلك المشتقات، لا يتم استخدام الصيغ فقط، ولكن أيضًا بعض القواعد. ترتبط ارتباطًا مباشرًا بالقواعد المقابلة لحساب المشتقات.

المادة 1.المشتقة العكسية للمجموع تساوي مجموع المشتقات العكسية.

نحن نعلم أنه يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة المشتقة. تنشئ هذه القاعدة القاعدة المقابلة للعثور على المشتقات العكسية.

القاعدة 2.إذا كان F(x) هو مشتق عكسي لـ f(x)، فإن kF(x) هو مشتق عكسي لـ kf(x).

النظرية 1.إذا كانت y = F(x) مشتقًا عكسيًا للدالة y = f(x)، فإن المشتق العكسي للدالة y = f(kx + m) هو الدالة $y=\frac(1)(k)F (ك س + م) $

النظرية 2.إذا كانت y = F(x) مشتقة عكسية للدالة y = f(x) في الفترة X، فإن الدالة y = f(x) لها عدد لا نهائي من المشتقات العكسية، وجميعها لها الشكل y = F(x) + ج.

طرق التكامل

طريقة الاستبدال المتغيرة (طريقة الاستبدال)

طريقة التكامل عن طريق الاستبدال تنطوي على إدخال جديد متغير التكامل(أي البدائل). في هذه الحالة، يتم تقليل التكامل المحدد إلى تكامل جديد، والذي يكون جدوليًا أو قابلاً للاختزال إليه. الطرق الشائعةلا يوجد اختيار للبدائل. يتم اكتساب القدرة على تحديد الاستبدال بشكل صحيح من خلال الممارسة.
فليكن من الضروري حساب التكامل $\textstyle \int F(x)dx $. لنجري الاستبدال $x= \varphi(t) $ حيث $\varphi(t) $ هي دالة لها مشتق مستمر.
ثم $dx = \varphi " (t) \cdot dt $ وبناء على خاصية الثبات لصيغة التكامل للتكامل غير المحدد نحصل على صيغة التكامل عن طريق التعويض:
$\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt $

تكامل تعبيرات النموذج $\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx $

إذا كانت m فردية، m > 0، فمن الأفضل إجراء الاستبدال sin x = t.
إذا كانت n فردية، n > 0، فمن الأفضل إجراء الاستبدال cos x = t.
إذا كان n وm متساويين، فمن الأفضل إجراء الاستبدال tg x = t.

تكامل اجزاء

التكامل بالأجزاء - تطبيق الصيغة التاليةللتكامل:
$\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $
أو:
$\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx $

جدول التكاملات غير المحددة (المشتقات العكسية) لبعض الدوال

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) × +C $$

إحدى عمليات التفاضل هي إيجاد المشتق (التفاضلي) وتطبيقه على دراسة الدوال.

المشكلة العكسية لا تقل أهمية. إذا كان سلوك الدالة في محيط كل نقطة من تعريفها معروفا، فكيف يمكن إعادة بناء الدالة ككل، أي؟ في كامل نطاق تعريفه. هذه المشكلة هي موضوع دراسة ما يسمى بحساب التفاضل والتكامل.

التكامل هو العمل العكسي للتمايز. أو استعادة الدالة f(x) من مشتق معين f`(x). الكلمة اللاتينية "integro" تعني الترميم.

المثال رقم 1.

دع (f(x))' = 3x 2. لنجد f(x).

حل:

بناءً على قاعدة التفاضل، ليس من الصعب تخمين أن f(x) = x 3، لأن

(x 3)' = 3x 2 ومع ذلك، يمكنك بسهولة ملاحظة أن f(x) لم يتم العثور عليه بشكل فريد. كما f(x)، يمكنك أن تأخذ f(x)= x 3 +1 f(x)= x 3 +2 f(x)= x 3 -3، إلخ.

لأن مشتقة كل منهما هي 3x2 (مشتق الثابت هو 0). كل هذه الوظائف تختلف عن بعضها البعض بمقدار ثابت. ولذلك، يمكن كتابة الحل العام للمسألة على الصورة f(x) = x 3 + C، حيث C هو أي عدد حقيقي ثابت.

يتم استدعاء أي من الوظائف التي تم العثور عليها f(x). مشتق مضادللدالة F`(x)= 3x 2

تعريف.

تسمى الدالة F(x) بالمشتق العكسي للدالة f(x) في فترة زمنية معينة J إذا كانت لجميع x من هذه الفترة F`(x)= f(x). إذن الدالة F(x)=x 3 هي مشتقة عكسية لـ f(x)=3x 2 على (- ∞ ; ∞). نظرًا لأن المساواة صحيحة لجميع x ~R: F`(x)=(x 3)`=3x 2

وكما لاحظنا سابقًا، تحتوي هذه الدالة على عدد لا نهائي من المشتقات العكسية.

المثال رقم 2.

الدالة مشتقة عكسية للجميع في الفترة (0; +∞)، لأن لجميع h من هذه الفترة، يتم تحقيق المساواة.

مهمة التكامل هي إيجاد جميع المشتقات العكسية لدالة معينة. عند حل هذه المشكلة دور مهميتم تشغيل العبارة التالية:

علامة على ثبات الوظيفة. إذا كانت F"(x) = 0 في فترة معينة I، فإن الدالة F تكون ثابتة في هذه الفترة.

دليل.

دعونا نصلح بعض x 0 من الفاصل الزمني I. ثم لأي رقم x من هذا الفاصل الزمني، بموجب صيغة لاغرانج، يمكننا الإشارة إلى الرقم c الموجود بين x و x 0 بحيث

F(x) - F(x 0) = F"(ج)(x-x 0).

حسب الشرط، F' (c) = 0، بما أن c ∈1، بالتالي،

و(س) - و(س 0) = 0.

لذلك، لجميع x من الفاصل الزمني I

أي أن الدالة F تخزن قيمة ثابتة.

يمكن كتابة جميع دوال الاشتقاق العكسي f باستخدام صيغة واحدة تسمى الشكل العام للمشتقات المضادة للوظيفة F. النظرية التالية صحيحة ( الخاصية الرئيسية للمشتقات المضادة):

نظرية. يمكن كتابة أي مشتق عكسي للدالة f في الفترة I بالصيغة

F(x) + C، (1) حيث F (x) هي إحدى المشتقات العكسية للدالة f (x) في الفترة I، وC ثابت اختياري.

دعونا نشرح هذه العبارة، والتي يتم فيها صياغة خاصيتين للمشتق العكسي بإيجاز:

أيًا كان الرقم الذي نضعه في التعبير (1) بدلاً من C، فإننا نحصل على المشتق العكسي لـ f في الفترة I؛
بغض النظر عن المشتق العكسي Ф لـ f في الفاصل الزمني I، فمن الممكن تحديد رقم C بحيث تكون المساواة لجميع x من الفاصل الزمني I

دليل.

حسب الشرط، تكون الدالة F مشتقة عكسية لـ f في الفاصل الزمني I. لذلك، F"(x)= f (x) لأي x∈1، وبالتالي (F(x) + C)" = F"(x) + C"= f(x)+0=f(x)، أي F(x) + C هو المشتق العكسي للدالة f.
اجعل Ф (x) أحد المشتقات العكسية للدالة f في نفس الفترة I، أي Ф "(x) = f (x) للجميع x∈I.

ثم (Ф(x) - F (x))" = Ф"(x)-F' (x) = f(x)-f(x)=0.

ومن هنا يتبع ج. قوة إشارة ثبات الدالة، أن الفرق Ф(kh) - F(x) هو دالة تأخذ قيمة ثابتة معينة C في الفترة I.

وبالتالي، بالنسبة لجميع x من الفاصل الزمني I، تكون المساواة Ф(x) - F(x)=С صحيحة، وهو ما يجب إثباته. يمكن إعطاء الخاصية الرئيسية للمشتق العكسي معنى هندسي: يتم الحصول على الرسوم البيانية لأي مشتقين عكسيين للدالة f من بعضهما البعض نقل موازيعلى طول محور أوي

أسئلة للملاحظات

الدالة F(x) هي مشتق عكسي للدالة f(x). أوجد F(1) إذا كانت f(x)=9x2 - 6x + 1 وF(-1) = 2.

أوجد جميع المشتقات العكسية للدالة

بالنسبة للدالة (x) = cos2 * sin2x، أوجد المشتق العكسي للدالة F(x) إذا كانت F(0) = 0.

بالنسبة للدالة، ابحث عن المشتقة العكسية التي يمر رسمها البياني عبر النقطة