ويفضل أن يكون هندسيًا - يحتوي على زر بعلامة الجذر: "√". عادة، لاستخراج الجذر، يكفي كتابة الرقم نفسه، ثم الضغط على الزر: "√".
تحتوي معظم الهواتف المحمولة الحديثة على تطبيق آلة حاسبة مع وظيفة استخراج الجذر. يشبه إجراء العثور على جذر الرقم باستخدام حاسبة الهاتف ما ورد أعلاه.
مثال.
البحث من 2.
قم بتشغيل الآلة الحاسبة (إذا كانت متوقفة عن التشغيل) واضغط على الأزرار التي تحتوي على صورة اثنين والجذر (“2” “√”) على التوالي. كقاعدة عامة، لا تحتاج إلى الضغط على المفتاح "=". ونتيجة لذلك، نحصل على رقم مثل 1.4142 (يعتمد عدد الأرقام و"الاستدارة" على عمق البت وإعدادات الآلة الحاسبة).
ملحوظة: عند محاولة العثور على الجذر، عادةً ما تعطي الآلة الحاسبة خطأً.
إذا كان لديك إمكانية الوصول إلى جهاز كمبيوتر، فإن العثور على جذر الرقم أمر بسيط للغاية.
1. يمكنك استخدام تطبيق الحاسبة، المتوفر على أي جهاز كمبيوتر تقريبًا. بالنسبة لنظام التشغيل Windows XP، يمكن تشغيل هذا البرنامج على النحو التالي:
"ابدأ" - "كافة البرامج" - "البرامج الملحقة" - "الآلة الحاسبة".
من الأفضل ضبط العرض على "عادي". بالمناسبة، على عكس الآلة الحاسبة الحقيقية، يتم وضع علامة "sqrt" على زر استخراج الجذر وليس "√".
إذا لم تتمكن من الوصول إلى الآلة الحاسبة باستخدام الطريقة المشار إليها، فيمكنك تشغيل الآلة الحاسبة القياسية "يدويًا":
"ابدأ" - "تشغيل" - "احسب".
2. للعثور على جذر رقم، يمكنك أيضًا استخدام بعض البرامج المثبتة على جهاز الكمبيوتر الخاص بك. بالإضافة إلى ذلك، يحتوي البرنامج على آلة حاسبة مدمجة خاصة به.
على سبيل المثال، بالنسبة لتطبيق MS Excel، يمكنك تنفيذ تسلسل الإجراءات التالي:
إطلاق مايكروسوفت إكسل.
نكتب في أي خلية الرقم الذي نحتاج إلى استخراج الجذر منه.
حرك مؤشر الخلية إلى موقع مختلف
اضغط على زر اختيار الوظيفة (fx)
حدد وظيفة "الجذر".
نحدد خلية برقم كوسيطة للوظيفة
انقر فوق "موافق" أو "أدخل"
ميزة هذه الطريقة هي أنه يكفي الآن إدخال أي قيمة في الخلية برقم، كما هو الحال في الدالة.
ملحوظة.
هناك عدة طرق أخرى أكثر غرابة للعثور على جذر الرقم. على سبيل المثال، في "الزاوية"، باستخدام مسطرة الشريحة أو جداول Bradis. ومع ذلك، لم تتم مناقشة هذه الأساليب في هذه المقالة بسبب تعقيدها وعدم جدواها العملية.
فيديو حول الموضوع
مصادر:
- كيفية العثور على جذر الرقم
في بعض الأحيان تنشأ مواقف عندما يتعين عليك إجراء نوع من الحسابات الرياضية، بما في ذلك استخراج الجذور التربيعية والجذور الأكبر لعدد. الجذر النوني للرقم هو الرقم الذي قوته النونية هي الرقم أ.
تعليمات
للعثور على الجذر "n" لـ , قم بما يلي.
على جهاز الكمبيوتر الخاص بك، انقر فوق "ابدأ" - "كافة البرامج" - "البرامج الملحقة". ثم انتقل إلى القسم الفرعي "الخدمة" وحدد "الآلة الحاسبة". يمكنك القيام بذلك يدويًا: انقر فوق ابدأ، واكتب "calk" في مربع التشغيل، ثم اضغط على Enter. سوف تفتح. لاستخراج الجذر التربيعي لرقم، أدخله في الآلة الحاسبة واضغط على الزر المسمى "sqrt". ستقوم الآلة الحاسبة باستخراج جذر الدرجة الثانية، المسمى بالجذر التربيعي، من الرقم الذي تم إدخاله.
من أجل استخراج الجذر الذي درجته أعلى من الثانية، تحتاج إلى استخدام نوع آخر من الآلات الحاسبة. للقيام بذلك، في واجهة الآلة الحاسبة، انقر فوق الزر "عرض" وحدد السطر "الهندسة" أو "العلمي" من القائمة. يحتوي هذا النوع من الآلات الحاسبة على الوظيفة اللازمة لحساب الجذر النوني.
لاستخراج جذر الدرجة الثالثة ()، على الآلة الحاسبة “الهندسية”، أدخل الرقم المطلوب واضغط على الزر “3√”. للحصول على جذر تكون درجته أعلى من 3، أدخل الرقم المطلوب، واضغط على الزر الذي يحمل أيقونة "y√x" ثم أدخل الرقم - الأس. بعد ذلك، اضغط على علامة المساواة (الزر "=") وستحصل على الجذر المطلوب.
إذا كانت الآلة الحاسبة الخاصة بك لا تحتوي على الدالة "y√x"، فقم بما يلي.
لاستخراج الجذر التكعيبي، أدخل التعبير الجذري، ثم ضع علامة اختيار في مربع الاختيار الموجود بجوار النقش "Inv". بهذا الإجراء، سوف تقوم بعكس وظائف أزرار الآلة الحاسبة، أي أنه من خلال النقر على زر المكعب، سوف تقوم باستخراج الجذر التكعيبي. على الزر الذي لك
كيفية استخراج الجذر من الرقم. في هذه المقالة سوف نتعلم كيفية إيجاد الجذر التربيعي للأعداد المكونة من أربعة وخمسة أرقام.
لنأخذ الجذر التربيعي لعام 1936 كمثال.
لذلك، 
.
الرقم الأخير في الرقم 1936 هو الرقم 6. مربع الرقم 4 والرقم 6 ينتهي عند 6. لذلك، يمكن أن يكون 1936 هو مربع الرقم 44 أو الرقم 46. ويبقى التحقق باستخدام الضرب.
وسائل،
لنأخذ الجذر التربيعي لـ 15129.
لذلك، 
.
الرقم الأخير في الرقم 15129 هو الرقم 9. مربع الرقم 3 والرقم 7 ينتهي عند 9. وبالتالي، 15129 يمكن أن يكون مربع الرقم 123 أو الرقم 127. دعونا نتحقق من استخدام الضرب.
وسائل، 
كيفية استخراج الجذر – فيديو
والآن أقترح عليك مشاهدة فيديو آنا دينيسوفا - "كيفية استخراج الجذر "، مؤلف الموقع" فيزياء بسيطة"، حيث تشرح كيفية العثور على الجذور التربيعية والتكعيبية بدون آلة حاسبة.
يناقش الفيديو عدة طرق لاستخراج الجذور:
1. أسهل طريقة لاستخراج الجذر التربيعي.
2. عن طريق الاختيار باستخدام مربع المبلغ.
3. الطريقة البابلية.
4. طريقة استخراج الجذر التربيعي للعمود.
5. طريقة سريعة لاستخراج الجذر التكعيبي.
6. طريقة استخراج الجذر التكعيبي في عمود.
الحقيقة 1.
\(\bullet\) لنأخذ عددًا غير سالب \(a\) (أي \(a\geqslant 0\) ). ثم (الحسابية) الجذر التربيعيمن الرقم \(a\) يسمى هذا الرقم غير السالب \(b\) ، عند التربيع نحصل على الرقم \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(نفس )\quad a=b^2\]ويترتب على ذلك من التعريف \(a\geqslant 0، b\geqslant 0\). هذه القيود شرط مهم لوجود الجذر التربيعي ويجب تذكرها!
تذكر أن أي رقم عند تربيعه يعطي نتيجة غير سلبية. أي \(100^2=10000\geqslant 0\) و \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) ما الذي يساوي \(\sqrt(25)\)؟ نحن نعلم أن \(5^2=25\) و \((-5)^2=25\) . نظرًا لأنه يجب علينا العثور على رقم غير سالب بحكم التعريف، فإن \(-5\) غير مناسب، لذلك \(\sqrt(25)=5\) (بما أن \(25=5^2\) ).
يُطلق على إيجاد قيمة \(\sqrt a\) أخذ الجذر التربيعي للرقم \(a\) ، ويسمى الرقم \(a\) بالتعبير الجذري.
\(\bullet\) استنادًا إلى التعريف والتعبير \(\sqrt(-25)\)، \(\sqrt(-4)\)، وما إلى ذلك. لا معنى له.
الحقيقة 2.
لإجراء حسابات سريعة، سيكون من المفيد تعلم جدول مربعات الأعداد الطبيعية من \(1\) إلى \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]
الحقيقة 3.
ما هي العمليات التي يمكنك القيام بها مع الجذور التربيعية؟
\(\رصاصة\) مجموع الجذور التربيعية أو الفرق بينها لا يساوي الجذر التربيعي للمجموع أو الفرق \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]وبالتالي، إذا كنت بحاجة إلى حساب، على سبيل المثال، \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) ، فيجب عليك في البداية العثور على قيم \(\sqrt(25)\) و \(\ sqrt(49)\ ) ثم قم بطيها. لذلك، \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] إذا تعذر العثور على القيم \(\sqrt a\) أو \(\sqrt b\) عند إضافة \(\sqrt a+\sqrt b\)، فلن يتم تحويل هذا التعبير بشكل أكبر ويبقى كما هو. على سبيل المثال، في المجموع \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) يمكننا أن نجد \(\sqrt(49)\) هو \(7\) ، لكن \(\sqrt 2\) لا يمكن تحويله إلى بأي شكل من الأشكال، لهذا السبب \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). لسوء الحظ، لا يمكن تبسيط هذا التعبير أكثر\(\bullet\) حاصل ضرب/حاصل الجذور التربيعية يساوي الجذر التربيعي لحاصل الضرب/حاصل القسمة، أي \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (بشرط أن يكون كلا طرفي المساواة منطقيين)
مثال: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\);
\(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\);
\(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) باستخدام هذه الخصائص، من السهل إيجاد الجذور التربيعية للأعداد الكبيرة عن طريق تحليلها إلى عواملها.
لنلقي نظرة على مثال. لنجد \(\sqrt(44100)\) . منذ \(44100:100=441\) ، ثم \(44100=100\cdot 441\) . وفقاً لمعيار قابلية القسمة، فإن الرقم \(441\) يقبل القسمة على \(9\) (حيث أن مجموع أرقامه هو 9 وهو يقبل القسمة على 9)، وبالتالي \(441:9=49\)، أي \(441=9\ cdot 49\) .
وهكذا حصلنا على: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]دعونا ننظر إلى مثال آخر: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\دفرك(56)3\]
\(\bullet\) لنوضح كيفية إدخال الأرقام تحت علامة الجذر التربيعي باستخدام مثال التعبير \(5\sqrt2\) (تدوين قصير للتعبير \(5\cdot \sqrt2\)). منذ \(5=\sqrt(25)\) إذن \
لاحظ أيضًا أنه على سبيل المثال،
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .
لماذا هذا؟ دعونا نشرح باستخدام المثال 1). كما تعلم، لا يمكننا بطريقة أو بأخرى تحويل الرقم \(\sqrt2\). لنتخيل أن \(\sqrt2\) هو رقم \(a\) . وبناء على ذلك، فإن التعبير \(\sqrt2+3\sqrt2\) ليس أكثر من \(a+3a\) (رقم واحد \(a\) بالإضافة إلى ثلاثة أرقام أخرى من نفس \(a\)). ونحن نعلم أن هذا يساوي أربعة أرقام من هذا القبيل \(a\) ، أي \(4\sqrt2\) .
الحقيقة 4.
\(\bullet\) غالبًا ما يقولون "لا يمكنك استخراج الجذر" عندما لا تتمكن من التخلص من علامة \(\sqrt () \ \) للجذر (الجذر) عند إيجاد قيمة الرقم . على سبيل المثال، يمكنك أخذ جذر الرقم \(16\) لأن \(16=4^2\) ، وبالتالي \(\sqrt(16)=4\) . لكن من المستحيل استخراج جذر الرقم \(3\)، أي العثور على \(\sqrt3\)، لأنه لا يوجد رقم مربع سيعطي \(3\) .
هذه الأرقام (أو التعبيرات التي تحتوي على هذه الأرقام) غير منطقية. على سبيل المثال، الأرقام \(\sqrt3، \ 1+\sqrt2، \ \sqrt(15)\)وما إلى ذلك وهلم جرا. غير عقلانية.
ومن غير المنطقي أيضًا الأرقام \(\pi\) (الرقم "pi"، يساوي تقريبًا \(3.14\))، \(e\) (يُسمى هذا الرقم رقم أويلر، وهو يساوي تقريبًا \(2.7) \)) إلخ.
\(\bullet\) يرجى ملاحظة أن أي رقم سيكون إما نسبيًا أو غير نسبي. وتشكل جميع الأعداد النسبية وغير المنطقية معًا مجموعة تسمى مجموعة من الأعداد الحقيقيةيُشار إلى هذه المجموعة بالحرف \(\mathbb(R)\) .
وهذا يعني أن جميع الأرقام التي نعرفها حاليًا تسمى أرقامًا حقيقية.
الحقيقة 5.
\(\bullet\) معامل الرقم الحقيقي \(a\) هو عدد غير سالب \(|a|\) يساوي المسافة من النقطة \(a\) إلى \(0\) على النقطة خط حقيقي. على سبيل المثال، \(|3|\) و \(|-3|\) تساوي 3، نظرًا لأن المسافات من النقطتين \(3\) و \(-3\) إلى \(0\) هي نفسه ويساوي \(3 \) .
\(\bullet\) إذا كان \(a\) رقمًا غير سالب، فإن \(|a|=a\) .
مثال: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) إذا كان \(a\) رقمًا سالبًا، فإن \(|a|=-a\) .
مثال: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
يقولون أنه بالنسبة للأرقام السالبة، فإن المعامل "يأكل" الطرح، في حين أن الأرقام الموجبة، وكذلك الرقم \(0\)، تبقى دون تغيير بواسطة المعامل.
لكنتنطبق هذه القاعدة على الأرقام فقط. إذا كان يوجد تحت علامة المعامل الخاص بك مجهول \(x\) (أو بعض المجهول الآخر)، على سبيل المثال، \(|x|\) ، والذي لا نعرف عنه ما إذا كان موجبًا أم صفرًا أم سالبًا، فتخلص منه من المعامل لا نستطيع. في هذه الحالة، يبقى هذا التعبير كما هو: \(|x|\) . \(\bullet\) تحتوي الصيغ التالية على: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\كبير((\sqrt(a))^2=a)))، \text(متوفر ) a\geqslant 0\]في كثير من الأحيان يتم ارتكاب الخطأ التالي: يقولون أن \(\sqrt(a^2)\) و \(\sqrt a)^2\) هما نفس الشيء. يكون هذا صحيحًا فقط إذا كان \(a\) رقمًا موجبًا أو صفرًا. ولكن إذا كان \(a\) رقمًا سالبًا، فهذا غير صحيح. ويكفي النظر في هذا المثال. لنأخذ بدلاً من \(a\) الرقم \(-1\) . إذن \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) ، لكن التعبير \(\sqrt (-1))^2\) غير موجود على الإطلاق (بعد كل شيء، من المستحيل استخدام علامة الجذر لوضع أرقام سالبة!).
لذلك نلفت انتباهكم إلى أن \(\sqrt(a^2)\) لا يساوي \(\sqrt a)^2\) !مثال 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\)، لأن \(-\sqrt2<0\)
;
\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) منذ \(\sqrt(a^2)=|a|\) ، ثم \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (يشير التعبير \(2n\) إلى رقم زوجي)
أي أنه عند أخذ جذر عدد يكون بدرجة ما، تنخفض هذه الدرجة إلى النصف.
مثال:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (لاحظ أنه إذا لم يتم توفير الوحدة، فسيتبين أن جذر الرقم يساوي \(-25\ ) ؛ ولكننا نتذكر أنه بحكم تعريف الجذر، لا يمكن أن يحدث هذا: عند استخراج الجذر، يجب أن نحصل دائمًا على رقم موجب أو صفر)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (نظرًا لأن أي رقم بقوة زوجية ليس سالبًا)
الحقيقة 6.
كيفية المقارنة بين جذرين تربيعيين؟
\(\bullet\) بالنسبة للجذور التربيعية، يكون الأمر صحيحًا: إذا كان \(\sqrt a<\sqrt b\)
, то \(a
1) قارن \(\sqrt(50)\) و \(6\sqrt2\) . أولاً، دعونا نحول التعبير الثاني إلى \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). وهكذا، منذ \(50<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
2) بين ما الأعداد الصحيحة يقع \(\sqrt(50)\)؟
بما أن \(\sqrt(49)=7\) و \(\sqrt(64)=8\) و \(49)<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
3) دعونا نقارن \(\sqrt 2-1\) و \(0.5\) . لنفترض أن \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(محاذاة) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((أضف واحدًا إلى كلا الجانبين))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((تربيع كلا الجانبين))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(محاذاة)\]نرى أننا حصلنا على متباينة غير صحيحة. لذلك، كان افتراضنا غير صحيح و\(\sqrt 2-1<0,5\)
.
لاحظ أن إضافة عدد معين إلى طرفي المتراجحة لا يؤثر على إشارتها. ضرب/قسمة طرفي المتراجحة على رقم موجب لا يؤثر أيضًا على إشارتها، لكن الضرب/القسمة على رقم سالب يعكس إشارة المتراجحة!
لا يمكنك تربيع طرفي المعادلة/عدم المساواة إلا إذا كان كلا الطرفين غير سالب. على سبيل المثال، في المتباينة من المثال السابق يمكنك تربيع الطرفين، في المتباينة \(-3<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\bullet\) يجب أن نتذكر ذلك \[\begin(محاذاة) &\sqrt 2\Approx 1.4\\ &\sqrt 3\Approx 1.7 \end(محاذاة)\]معرفة المعنى التقريبي لهذه الأرقام سيساعدك عند المقارنة بين الأرقام! \(\bullet\) من أجل استخراج الجذر (إذا كان من الممكن استخلاصه) من عدد كبير غير موجود في جدول المربعات، يجب عليك أولاً تحديد "المئات" التي يقع بينها، ثم - بين أي " عشرات"، ثم حدد الرقم الأخير من هذا الرقم. دعونا نظهر كيف يعمل هذا مع مثال.
لنأخذ \(\sqrt(28224)\) . نحن نعلم أن \(100^2=10\,000\)، \(200^2=40\,000\)، وما إلى ذلك. لاحظ أن \(28224\) يقع بين \(10\,000\) و \(40\,000\) . لذلك، \(\sqrt(28224)\) يقع بين \(100\) و \(200\) .
الآن دعونا نحدد بين أي "عشرات" يقع رقمنا (أي، على سبيل المثال، بين \(120\) و\(130\)). ومن جدول المربعات أيضًا نعلم أن \(11^2=121\) ، \(12^2=144\) وما إلى ذلك، ثم \(110^2=12100\) ، \(120^2=14400 \) ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \) ) . لذلك نرى أن \(28224\) يقع بين \(160^2\) و \(170^2\) . ولذلك فإن الرقم \(\sqrt(28224)\) يقع بين \(160\) و \(170\) .
دعونا نحاول تحديد الرقم الأخير. دعونا نتذكر ما هي الأعداد المكونة من رقم واحد، عند تربيعها، تعطي \(4\) في النهاية؟ وهما \(2^2\) و \(8^2\) . لذلك، \(\sqrt(28224)\) سينتهي إما بالرقم 2 أو 8. دعونا نتحقق من ذلك. لنجد \(162^2\) و \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
ولذلك، \(\sqrt(28224)=168\) . هاهو!
من أجل حل امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات بشكل مناسب، تحتاج أولاً إلى دراسة المواد النظرية، والتي تعرفك على العديد من النظريات والصيغ والخوارزميات وما إلى ذلك. للوهلة الأولى، قد يبدو أن هذا بسيط للغاية. ومع ذلك، فإن العثور على مصدر يتم فيه تقديم نظرية امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات بطريقة سهلة ومفهومة للطلاب الذين لديهم أي مستوى من التدريب هو في الواقع مهمة صعبة إلى حد ما. لا يمكن دائمًا الاحتفاظ بالكتب المدرسية في متناول اليد. وقد يكون العثور على الصيغ الأساسية لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات أمرًا صعبًا حتى على الإنترنت.
لماذا من المهم جدًا دراسة النظرية في الرياضيات ليس فقط لأولئك الذين يتقدمون لامتحان الدولة الموحدة؟
- لأنه يوسع آفاقك. تعد دراسة المواد النظرية في الرياضيات مفيدة لأي شخص يرغب في الحصول على إجابات لمجموعة واسعة من الأسئلة المتعلقة بمعرفة العالم من حوله. كل شيء في الطبيعة منظم وله منطق واضح. وهذا بالضبط ما ينعكس في العلم، الذي من خلاله يمكن فهم العالم.
- لأنه ينمي الذكاء. من خلال دراسة المواد المرجعية لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات، وكذلك حل المهام المختلفة، يتعلم الشخص التفكير والتفكير المنطقي، وصياغة الأفكار بكفاءة ووضوح. ينمي لديه القدرة على التحليل والتعميم واستخلاص النتائج.
نحن ندعوك إلى إجراء تقييم شخصي لجميع مزايا نهجنا في تنظيم وعرض المواد التعليمية.
في مقدمة طبعته الأولى "في مملكة الإبداع" (1908) كتب E. I. Ignatiev: "... المبادرة الفكرية والذكاء السريع و"البراعة" لا يمكن "التنقيب فيها" أو "وضعها" في رأس أي شخص. لا يمكن الاعتماد على النتائج إلا عندما يتم التقديم إلى مجال المعرفة الرياضية بطريقة سهلة وممتعة، باستخدام أشياء وأمثلة من المواقف العادية والحياة اليومية، تم اختيارها بذكاء وترفيه مناسبين.
في مقدمة طبعة عام 1911 بعنوان "دور الذاكرة في الرياضيات"، كتب إي.آي. يكتب Ignatiev "... في الرياضيات، ليس من الضروري تذكر الصيغ، ولكن عملية التفكير."
لاستخراج الجذر التربيعي، توجد جداول مربعة للأعداد المكونة من رقمين؛ يمكنك تحليل العدد إلى عوامل أولية واستخراج الجذر التربيعي للناتج. في بعض الأحيان لا يكون جدول المربعات كافيًا؛ إذ إن استخراج الجذر عن طريق التحليل هو مهمة تستغرق وقتًا طويلاً، ولا تؤدي دائمًا إلى النتيجة المرجوة. حاول أخذ الجذر التربيعي لـ 209764؟ تحليل العوامل الأولية يعطي الناتج 2*2*52441. عن طريق التجربة والخطأ، التحديد - بالطبع، يمكن القيام بذلك إذا كنت متأكدًا من أن هذا عدد صحيح. الطريقة التي أريد أن أقترحها تسمح لك بأخذ الجذر التربيعي في أي حال.
ذات مرة في المعهد (معهد بيرم الحكومي التربوي) تعرفنا على هذه الطريقة التي أريد الآن التحدث عنها. لم أتساءل أبدًا عما إذا كان لهذه الطريقة دليل، لذا كان علي الآن أن أستنتج بعض الأدلة بنفسي.
أساس هذه الطريقة هو تكوين الرقم =.
=&، أي & 2=596334.
1. قسّم الرقم (5963364) إلى أزواج من اليمين إلى اليسار (5`96`33`64)
2. استخرج الجذر التربيعي للمجموعة الأولى على اليسار ( - رقم 2). هذه هي الطريقة التي نحصل بها على الرقم الأول من &.
3. أوجد مربع الرقم الأول (2 2 =4).
4. أوجد الفرق بين المجموعة الأولى ومربع الرقم الأول (5-4=1).
5. ننزل الرقمين التاليين (نحصل على الرقم 196).
6. ضاعف الرقم الأول الذي وجدناه واكتبه على اليسار خلف السطر (2*2=4).
7. الآن نحن بحاجة إلى العثور على الرقم الثاني من الرقم &: ضعف الرقم الأول الذي وجدناه يصبح رقم العشرات من الرقم، والذي عند ضربه بعدد الوحدات، تحتاج إلى الحصول على رقم أقل من 196 (هذا هو العدد 4، 44*4=176). 4 هو الرقم الثاني من &.
8. أوجد الفرق (196-176=20).
9. نقوم بهدم المجموعة التالية (نحصل على الرقم 2033).
10. ضاعف العدد 24، نحصل على 48.
يوجد 11.48 عشرات في العدد، عند ضربه في عدد الآحاد، يجب أن نحصل على رقم أقل من 2033 (484*4=1936). رقم الآحاد الذي وجدناه (4) هو الرقم الثالث من الرقم &.
ولقد قدمت الأدلة في الحالات التالية:
1. استخراج الجذر التربيعي لعدد مكون من ثلاثة أرقام؛
2. استخراج الجذر التربيعي لعدد مكون من أربعة أرقام.
الطرق التقريبية لاستخراج الجذور التربيعية (بدون استخدام الآلة الحاسبة).
1. استخدم البابليون القدماء الطريقة التالية لإيجاد القيمة التقريبية للجذر التربيعي لرقمهم x. لقد مثلوا الرقم x كمجموع a 2 + b، حيث a 2 هو المربع الدقيق للعدد الطبيعي a (a 2 ?x) الأقرب إلى الرقم x، واستخدموا الصيغة 
. (1)
وباستخدام الصيغة (1) نستخرج الجذر التربيعي من الرقم 28 مثلا:
نتيجة استخراج جذر 28 باستخدام MK هي 5.2915026.
كما ترون، فإن الطريقة البابلية تعطي تقديرًا تقريبيًا جيدًا للقيمة الدقيقة للجذر.
2. طور إسحاق نيوتن طريقة لأخذ الجذور التربيعية يعود تاريخها إلى مالك الحزين السكندري (حوالي 100 م). وهذه الطريقة (المعروفة بطريقة نيوتن) هي كما يلي.
يترك أ 1- التقريب الأول لرقم (ك 1 يمكنك أخذ قيم الجذر التربيعي لعدد طبيعي - مربع دقيق لا يتجاوز العاشر) .
التالي، تقريب أكثر دقة 2أعداد
وجدت بواسطة الصيغة 
.
في كثير من الأحيان، عند حل المشكلات، نواجه أعدادا كبيرة نحتاج إلى استخراجها الجذر التربيعي. يقرر العديد من الطلاب أن هذا خطأ ويبدأون في إعادة حل المثال بأكمله. لا ينبغي عليك القيام بذلك تحت أي ظرف من الظروف! هناك سببان لهذا:
- تظهر جذور الأعداد الكبيرة في المسائل. خاصة في النصوص؛
- هناك خوارزمية يتم من خلالها حساب هذه الجذور شفهيًا تقريبًا.
سننظر في هذه الخوارزمية اليوم. ربما تبدو بعض الأشياء غير مفهومة بالنسبة لك. ولكن إذا انتبهت لهذا الدرس، فسوف تحصل على سلاح قوي ضدك الجذور التربيعية.
لذلك، الخوارزمية:
- حدد الجذر المطلوب أعلاه وأدناه بالأرقام التي هي من مضاعفات 10. وبالتالي، فإننا سوف نقلل نطاق البحث إلى 10 أرقام؛
- من هذه الأرقام العشرة، استبعد تلك التي لا يمكن أن تكون جذورًا بالتأكيد. نتيجة لذلك، ستبقى أرقام 1-2؛
- قم بتربيع هذه الأرقام 1-2. ومن يساوي مربعه العدد الأصلي سيكون هو الجذر.
قبل وضع هذه الخوارزمية موضع التنفيذ، دعونا نلقي نظرة على كل خطوة على حدة.
الحد من الجذر
أولًا، علينا معرفة أي الأعداد يقع جذرنا. من المرغوب فيه للغاية أن تكون الأرقام مضاعفات العشرة:
10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.
نحصل على سلسلة من الأرقام:
100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.
ماذا تقول لنا هذه الارقام؟ الأمر بسيط: نحصل على الحدود. خذ على سبيل المثال الرقم 1296. وهو يقع بين 900 و1600. ولذلك، لا يمكن أن يكون جذره أقل من 30 وأكبر من 40:
[تعليق على الصورة]
الأمر نفسه ينطبق على أي رقم آخر يمكنك إيجاد الجذر التربيعي منه. على سبيل المثال 3364:
[تعليق على الصورة]وبالتالي، بدلا من رقم غير مفهوم، نحصل على نطاق محدد للغاية يقع فيه الجذر الأصلي. لتضييق منطقة البحث بشكل أكبر، انتقل إلى الخطوة الثانية.
القضاء على الأرقام غير الضرورية بشكل واضح
إذن، لدينا 10 أرقام - مرشحة للجذر. لقد حصلنا عليها بسرعة كبيرة، دون التفكير المعقد والضرب في العمود. حان الوقت للتغيير حان الوقت للتغير حان الوقت للانتقال.
صدق أو لا تصدق، سنقوم الآن بتقليل عدد المرشحين إلى اثنين - مرة أخرى دون أي حسابات معقدة! ويكفي معرفة القاعدة الخاصة. ها هو:
الرقم الأخير من المربع يعتمد فقط على الرقم الأخير الرقم الأصلي.
بمعنى آخر، ما عليك سوى إلقاء نظرة على الرقم الأخير من المربع وسنفهم على الفور أين ينتهي الرقم الأصلي.
لا يوجد سوى 10 أرقام يمكن أن تأتي في المركز الأخير. دعونا نحاول معرفة ما تتحول إليه عند التربيع. ألق نظرة على الجدول:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
| 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
يعد هذا الجدول خطوة أخرى نحو حساب الجذر. كما ترون، تبين أن الأرقام الموجودة في السطر الثاني متناظرة بالنسبة إلى الرقم خمسة. على سبيل المثال:
2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.
كما ترون، الرقم الأخير هو نفسه في كلتا الحالتين. وهذا يعني أنه، على سبيل المثال، يجب أن ينتهي جذر 3364 بالرقم 2 أو 8. ومن ناحية أخرى، نتذكر القيد من الفقرة السابقة. نحن نحصل:
[تعليق على الصورة] تشير المربعات الحمراء إلى أننا لا نعرف هذا الرقم بعد. لكن الجذر يقع في النطاق من 50 إلى 60، حيث لا يوجد سوى رقمين ينتهيان بالرقم 2 و8:
[تعليق على الصورة]هذا كل شئ! من بين كل الجذور الممكنة، لم نترك سوى خيارين! وهذا في أصعب الحالات، لأن الرقم الأخير يمكن أن يكون 5 أو 0. وبعد ذلك سيكون هناك مرشح واحد فقط للجذور!
الحسابات النهائية
لذلك، لدينا رقمين مرشحين متبقيين. كيف تعرف أي واحد هو الجذر؟ الجواب واضح: قم بتربيع كلا الرقمين. الرقم الذي يعطينا الرقم الأصلي سيكون هو الجذر.
على سبيل المثال، بالنسبة للرقم 3364، وجدنا رقمين مرشحين: 52 و58. فلنقم بتربيعهما:
52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704؛
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.
هذا كل شئ! اتضح أن الجذر هو 58! في الوقت نفسه، لتبسيط الحسابات، استخدمت صيغة مربعات المجموع والفرق. وبفضل هذا، لم أضطر حتى إلى مضاعفة الأرقام في عمود! هذا مستوى آخر من تحسين العمليات الحسابية، ولكنه بالطبع اختياري تمامًا :)
أمثلة لحساب الجذور
النظرية بالطبع جيدة. لكن دعونا نتحقق من ذلك عمليًا.
[تعليق على الصورة]
أولاً، دعونا نكتشف بين الأرقام التي يقع فيها الرقم 576:
400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2
الآن دعونا نلقي نظرة على الرقم الأخير. وهي تساوي 6. متى يحدث هذا؟ فقط إذا كان الجذر ينتهي بـ 4 أو 6. نحصل على رقمين:
كل ما تبقى هو تربيع كل رقم ومقارنته بالرقم الأصلي:
24 2 = (20 + 4) 2 = 576
عظيم! تبين أن المربع الأول يساوي الرقم الأصلي. إذن هذا هو الجذر.
مهمة. احسب الجذر التربيعي:
[تعليق على الصورة]
900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;
دعونا ننظر إلى الرقم الأخير:
1369 → 9;
33; 37.
قم بتربيعها:
33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.
وإليكم الجواب: 37.
مهمة. احسب الجذر التربيعي:
[تعليق على الصورة]
نحن نحدد العدد:
2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;
دعونا ننظر إلى الرقم الأخير:
2704 → 4;
52; 58.
قم بتربيعها:
52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704؛
لقد تلقينا الإجابة: 52. لن تكون هناك حاجة إلى تربيع الرقم الثاني.
مهمة. احسب الجذر التربيعي:
[تعليق على الصورة]
نحن نحدد العدد:
3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;
دعونا ننظر إلى الرقم الأخير:
4225 → 5;
65.
كما ترون، بعد الخطوة الثانية لم يتبق سوى خيار واحد: 65. هذا هو الجذر المطلوب. ولكن دعونا لا نزال نقوم بتربيعها والتحقق من:
65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225؛
كل شيء صحيح. نكتب الجواب.
خاتمة
للأسف، ليس أفضل. دعونا ننظر إلى الأسباب. هناك اثنان منهم:
- في أي اختبار عادي في الرياضيات، سواء كان الامتحان الحكومي أو الامتحان الموحد، يُحظر استخدام الآلات الحاسبة. وإذا أحضرت آلة حاسبة إلى الفصل، فمن الممكن أن يتم طردك من الامتحان بسهولة.
- لا تكن مثل الأمريكان الأغبياء. وهي ليست مثل الجذور، فلا يمكنها جمع عددين أوليين. وعندما يرون الكسور، يصبحون بشكل عام في حالة هستيرية.