أمثلة على المتباينات العقلانية الكسرية مع الحلول عدم المساواة العقلانية الكسرية

سنستمر في البحث عن طرق لحل المتباينات التي تتضمن متغيرًا واحدًا. لقد قمنا بالفعل بدراسة المتباينات الخطية والتربيعية، وهي حالات خاصة للمتباينات العقلانية. سنوضح في هذا المقال ما هو نوع المتباينات التي تعتبر نسبية، وسنخبرك ما هي الأنواع التي تنقسم إليها (عدد صحيح وكسري). بعد ذلك، سنوضح كيفية حلها بشكل صحيح، وتوفير الخوارزميات اللازمة وتحليل مشاكل محددة.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

مفهوم المساواة العقلانية

عندما يدرسون موضوع حل عدم المساواة في المدرسة، فإنهم يأخذون على الفور عدم المساواة العقلانية. يكتسبون ويصقلون المهارات في العمل مع هذا النوع من التعبير. دعونا صياغة تعريف هذا المفهوم:

التعريف 1

المتباينة العقلانية هي عدم المساواة ذات المتغيرات التي تحتوي على تعبيرات عقلانية في كلا الجزأين.

لاحظ أن التعريف لا يؤثر بأي شكل من الأشكال على مسألة عدد المتغيرات، مما يعني أنه يمكن أن يكون هناك العديد منها حسب الرغبة. ولذلك، فإن عدم المساواة العقلانية مع 1، 2، 3 أو أكثر من المتغيرات ممكنة. في أغلب الأحيان يتعين عليك التعامل مع التعبيرات التي تحتوي على متغير واحد فقط، وفي كثير من الأحيان اثنين، وعادة لا يتم أخذ عدم المساواة مع عدد كبير من المتغيرات في الاعتبار على الإطلاق في الدورة المدرسية.

وهكذا، يمكننا التعرف على عدم المساواة العقلانية من خلال النظر في كتابتها. وينبغي أن يكون لها تعبيرات عقلانية على الجانبين الأيمن والأيسر. وهنا بعض الأمثلة:

x > 4 x 3 + 2 y ≥ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2

لكن هنا متباينة بالشكل 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

تنقسم جميع عدم المساواة العقلانية إلى عدد صحيح وكسري.

التعريف 2

تتكون المساواة العقلانية الكاملة من تعبيرات عقلانية كاملة (في كلا الجزأين).

التعريف 3

المساواة العقلانية الكسريةهي المساواة التي تحتوي على تعبير كسري في أحد جزأها أو كليهما.

على سبيل المثال، المتباينات بالشكل 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 و 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 هي عقلاني كسور و 0, 5 × ≥ 3 (2 − 5 ص)و 1: س + 3 > 0- جميع.

قمنا بتحليل ماهية عدم المساواة العقلانية وحددنا أنواعها الرئيسية. يمكننا الانتقال إلى مراجعة طرق حلها.

لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد حلول لعدم المساواة العقلانية بأكملها ص (خ)< s (x) ، والذي يتضمن متغيرًا واحدًا فقط x. حيث ص (خ)و الصورة (خ)تمثل أي أرقام أو تعبيرات صحيحة عقلانية، وقد تختلف علامة المتباينة. لحل هذه المشكلة، نحن بحاجة إلى تحويلها والحصول على المساواة المتساوية.

لنبدأ بتحريك التعبير من الجانب الأيمن إلى اليسار. نحصل على ما يلي:

من النموذج ص (س) - ق (خ)< 0 (≤ , > , ≥)

نحن نعرف ذلك ص (س) - ق (خ)ستكون قيمة عددية، ويمكن تحويل أي تعبير عددي إلى كثير الحدود. دعونا نتحول ص (س) - ق (خ)في ح(س). سيكون هذا التعبير متعدد الحدود متساويًا تمامًا. بالنظر إلى أن r (x) − s (x) و h (x) لهما نفس نطاق القيم المسموح بها لـ x، فيمكننا الانتقال إلى المتباينات h (x)< 0 (≤ , >، ≥) ، والذي سيكون معادلاً للأصل.

غالبًا ما يكون مثل هذا التحويل البسيط كافيًا لحل المتراجحة، نظرًا لأن النتيجة قد تكون متباينة خطية أو تربيعية يسهل حساب قيمتها. دعونا نحلل مثل هذه المشاكل.

مثال 1

حالة:حل عدم المساواة العقلانية كاملة س (س + 3) + 2 س ≥ (س + 1) 2 + 1.

حل

لنبدأ بتحريك التعبير من الجانب الأيمن إلى اليسار بالإشارة المعاكسة.

س (س + 3) + 2 س − (س + 1) 2 − 1 ≥ 0

الآن بعد أن أكملنا جميع العمليات على كثيرات الحدود على اليسار، يمكننا الانتقال إلى المتباينة الخطية 3 س − 2 ≥ 0، أي ما يعادل ما ورد في الشرط. من السهل حلها:

3 × ≥ 2 × ≥ 2 3

إجابة:س ≥ 2 3 .

مثال 2

حالة:العثور على الحل لعدم المساواة (x 2 + 1) 2 − 3 x 2 > (x 2 − x) (x 2 + x).

حل

ننقل التعبير من الجانب الأيسر إلى اليمين ونجري المزيد من التحويلات باستخدام صيغ الضرب المختصرة.

(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0

ونتيجة لتحويلاتنا، حصلنا على عدم المساواة التي ستكون صحيحة لأي قيم x، وبالتالي فإن حل عدم المساواة الأصلية يمكن أن يكون أي عدد حقيقي.

إجابة:أي رقم حقا.

مثال 3

حالة:حل عدم المساواة س + 6 + 2 س 3 − 2 س (س 2 + س − 5) > 0.

حل

لن ننقل أي شيء من الجانب الأيمن، حيث يوجد 0 هناك. لنبدأ على الفور بتحويل الجانب الأيسر إلى كثيرة الحدود:

x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .

لقد استنتجنا متباينة تربيعية تعادل المتباينة الأصلية، والتي يمكن حلها بسهولة باستخدام عدة طرق. دعونا نستخدم الطريقة الرسومية.

لنبدأ بحساب جذور ثلاثية الحدود المربعة − 2 × 2 + 11 × + 6:

د = 11 2 - 4 (- 2) 6 = 169 × 1 = - 11 + 169 2 - 2، × 2 = - 11 - 169 2 - 2 × 1 = - 0، 5، × 2 = 6

الآن على الرسم البياني نحتفل بجميع الأصفار الضرورية. وبما أن المعامل الرئيسي أقل من الصفر، فإن فروع القطع المكافئ على الرسم البياني سوف تشير إلى الأسفل.

سنحتاج إلى منطقة القطع المكافئ الواقعة فوق المحور السيني، حيث أن لدينا علامة > في المتراجحة. الفاصل الزمني المطلوب هو (− 0 , 5 , 6) وبالتالي فإن هذا النطاق من القيم سيكون الحل الذي نحتاجه.

إجابة: (− 0 , 5 , 6) .

هناك أيضًا حالات أكثر تعقيدًا عندما يتم الحصول على كثير الحدود من الدرجة الثالثة أو أعلى على اليسار. لحل هذه المتباينة، يوصى باستخدام طريقة الفاصل الزمني. أولاً نحسب جميع جذور كثيرة الحدود ح (خ)، والذي يتم في أغلب الأحيان عن طريق تحليل كثير الحدود.

مثال 4

حالة:احسب (× 2 + 2) · (× + 4)< 14 − 9 · x .

حل

لنبدأ، كما هو الحال دائمًا، بنقل التعبير إلى الجانب الأيسر، وبعد ذلك سنحتاج إلى فك الأقواس وإحضار مصطلحات مماثلة.

(x 2 + 2) · (x + 4) − 14 + 9 · x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

ونتيجة للتحولات، حصلنا على مساواة تعادل الأصل، الذي يوجد على يساره متعدد الحدود من الدرجة الثالثة. دعونا نستخدم طريقة الفاصل لحلها.

أولا نحسب جذور كثيرة الحدود، والتي نحتاج إلى حل المعادلة التكعيبية لها س 3 + 4 × 2 + 11 س − 6 = 0. هل لها جذور عقلانية؟ ولا يمكن أن يكونا إلا من مقسومات الحد الحر، أي: بين الأرقام ± 1، ± 2، ± 3، ± 6. لنعوض بها واحدًا تلو الآخر في المعادلة الأصلية ونكتشف أن الأرقام 1 و2 و3 ستكون جذورها.

لذلك كثير الحدود س 3 + 4 × 2 + 11 س − 6يمكن وصفه بأنه منتج (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)، وعدم المساواة س 3 + 4 × 2 + 11 س − 6< 0 يمكن تمثيلها على أنها (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)< 0 . وفي حالة وجود متباينة من هذا النوع، سيكون من الأسهل علينا تحديد الإشارات على الفترات.

بعد ذلك، نقوم بتنفيذ الخطوات المتبقية من طريقة الفاصل: رسم خط الأعداد والنقاط عليه بالإحداثيات 1، 2، 3. يقسمون الخط المستقيم إلى 4 فترات يحتاجون فيها إلى تحديد العلامات. دعونا نظلل الفترات بعلامة سالب، لأن المتباينة الأصلية تحمل الإشارة < .

كل ما علينا فعله هو كتابة الإجابة الجاهزة: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) ​​​​.

إجابة: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

في بعض الحالات، ننطلق من عدم المساواة r (x) − s (x)< 0 (≤ , >، ≥) إلى ح (س)< 0 (≤ , >، ≥) ، حيث ح (خ)- كثيرة الحدود بدرجة أعلى من 2، غير مناسبة. يمتد هذا إلى الحالات التي يكون فيها التعبير عن r(x) − s(x) كمنتج من ذوات الحدين الخطية وثلاثية الحدود التربيعية أسهل من تحليل h(x) إلى عوامل فردية. دعونا نلقي نظرة على هذه المشكلة.

مثال 5

حالة:العثور على الحل لعدم المساواة (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).

حل

ينطبق هذا عدم المساواة على الأعداد الصحيحة. إذا قمنا بنقل التعبير من الجانب الأيمن إلى اليسار، وفتحنا الأقواس وقمنا بتصغير المصطلحات، فسنحصل على x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .

حل هذه المتباينة ليس بالأمر السهل، حيث يتعين عليك البحث عن جذور كثيرة الحدود من الدرجة الرابعة. ليس له جذر نسبي واحد (على سبيل المثال، 1، −1، 19 أو − 19 ليست مناسبة)، ومن الصعب البحث عن جذور أخرى. هذا يعني أننا لا نستطيع استخدام هذه الطريقة.

ولكن هناك حلول أخرى. إذا نقلنا المقادير من الجانب الأيمن للمتباينة الأصلية إلى اليسار، فيمكننا وضع العامل المشترك بين قوسين س 2 − 2 س − 1:

(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .

لقد حصلنا على متباينة تعادل المتباينة الأصلية، وحلها سيعطينا الإجابة المطلوبة. لنجد أصفار التعبير الموجود على الجانب الأيسر، والذي نحل المعادلات التربيعية من أجله س 2 − 2 س − 1 = 0و س 2 − 2 س − 19 = 0. جذورها هي 1 ± 2، 1 ± 2 5. ننتقل إلى المساواة x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0، والتي يمكن حلها بطريقة الفترات:

وفقًا للشكل، ستكون الإجابة - ∞, 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5, 1 + 2 ∪ 1 + 2 5, + ∞.

إجابة: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

دعونا نضيف أنه في بعض الأحيان لا يكون من الممكن العثور على جميع جذور كثيرة الحدود ح (خ)لذلك، لا يمكننا تمثيلها كمنتج من ذوات الحدين الخطية وثلاثية الحدود التربيعية. ثم قم بحل المتباينة بالشكل h (x)< 0 (≤ , >، ≥) لا نستطيع ذلك، مما يعني أنه من المستحيل أيضًا حل المتباينة العقلانية الأصلية.

لنفترض أننا بحاجة إلى حل عدم المساواة الكسرية للشكل r (x)< s (x) (≤ , >، ≥) ، حيث r (x) و الصورة (خ)هي تعبيرات عقلانية، x هو متغير. سيكون أحد التعبيرات المشار إليها على الأقل كسريًا. ستكون خوارزمية الحل في هذه الحالة كما يلي:

1. نحدد نطاق القيم المسموح بها للمتغير x.
2. ننقل التعبير من الجانب الأيمن للمتباينة إلى اليسار، والتعبير الناتج ص (س) - ق (خ)تمثيله ككسر. علاوة على ذلك، أين ع (خ)و ف(خ)ستكون عبارة عن تعبيرات أعداد صحيحة هي منتجات ذات الحدين الخطيين، وثلاثيات الحدود التربيعية غير القابلة للتحليل، بالإضافة إلى القوى ذات الأس الطبيعي.
3. بعد ذلك، نحل المتباينة الناتجة باستخدام طريقة الفترات.
4. الخطوة الأخيرة هي استبعاد النقاط التي تم الحصول عليها أثناء الحل من نطاق القيم المقبولة للمتغير x الذي حددناه في البداية.

هذه هي الخوارزمية لحل عدم المساواة الكسرية. معظمها واضح؛ ولا يلزم تقديم تفسيرات ثانوية إلا للفقرة 2. قمنا بنقل التعبير من الجانب الأيمن إلى اليسار وحصلنا على r (x) − s (x)< 0 (≤ , >، ≥)، ومن ثم كيفية إحضارها إلى النموذج p (x) q (x)< 0 (≤ , > , ≥) ?

أولاً، دعونا نحدد ما إذا كان من الممكن إجراء هذا التحويل دائمًا. من الناحية النظرية، يوجد مثل هذا الاحتمال دائمًا، حيث يمكن تحويل أي تعبير عقلاني إلى جزء عقلاني. لدينا هنا كسر به كثيرات الحدود في البسط والمقام. دعونا نتذكر النظرية الأساسية للجبر ونظرية بيزوت ونحدد أن أي كثيرة حدود من الدرجة n تحتوي على متغير واحد يمكن تحويلها إلى منتج ذوات الحدين الخطية. ومن ثم، من الناحية النظرية، يمكننا دائمًا تحويل التعبير بهذه الطريقة.

من الناحية العملية، غالبًا ما يكون تحليل كثيرات الحدود أمرًا صعبًا للغاية، خاصة إذا كانت الدرجة أعلى من 4. إذا لم نتمكن من إجراء التوسع، فلن نتمكن من حل هذا عدم المساواة، لكن مثل هذه المشكلات لا تتم دراستها عادة في الدورات المدرسية.

بعد ذلك، علينا أن نقرر ما إذا كانت المتباينة الناتجة p (x) q (x)< 0 (≤ , >، ≥) مكافئ بالنسبة إلى r (x) − s (x)< 0 (≤ , >، ≥) وإلى الأصل. هناك احتمال أن يصبح الأمر غير متكافئ.

وسيتم ضمان معادلة عدم المساواة عندما يكون نطاق القيم المقبولة ع(س)ف(خ)سوف يتطابق مع نطاق التعبير ص (س) - ق (خ). ثم لا يلزم اتباع النقطة الأخيرة من تعليمات حل المتباينات العقلانية الكسرية.

لكن نطاق القيم ل ع(س)ف(خ)قد تكون أوسع من ص (س) - ق (خ)على سبيل المثال، عن طريق تقليل الكسور. على سبيل المثال، يمكن الانتقال من x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3 إلى x · x - 1 x + 3 . أو يمكن أن يحدث هذا عند جلب مصطلحات مماثلة، على سبيل المثال، هنا:

س + 5 س - 2 2 س - س + 5 س - 2 2 س + 1 س + 3 إلى 1 س + 3

وفي مثل هذه الحالات، تمت إضافة الخطوة الأخيرة من الخوارزمية. من خلال تنفيذها، سوف تتخلص من القيم المتغيرة الدخيلة التي تنشأ بسبب توسيع نطاق القيم المقبولة. لنأخذ بعض الأمثلة لتوضيح ما نتحدث عنه.

مثال 6

حالة:أوجد حلول المساواة العقلانية x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 .

حل

نحن نتصرف وفقًا للخوارزمية الموضحة أعلاه. أولا نحدد نطاق القيم المقبولة. في هذه الحالة، يتم تحديدها بواسطة نظام المتباينات x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0 ، حلها سيكون المجموعة (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) .

س س + 1 س - 3 + 4 (س - 3) 2 + 3 س (س - 3) 2 (س + 1) ≥ 0

بعد ذلك، نحتاج إلى تحويله بحيث يكون مناسبًا لتطبيق طريقة الفاصل الزمني. أولًا، نقوم بتبسيط الكسور الجبرية إلى المقام المشترك الأصغر (س − 3) 2 (س + 1):

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 س + 4 (س - 3) 2 (س + 1)

نقوم بطي التعبير في البسط باستخدام صيغة مربع المجموع:

س 2 + 4 س + 4 س - 3 2 س + 1 = س + 2 2 س - 3 2 س + 1

نطاق القيم المقبولة للتعبير الناتج هو (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ​​​​∪ (3 , + ∞) . ونرى أنه يشبه ما تم تعريفه للمساواة الأصلية. نستنتج أن المتراجحة x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 تعادل المتراجحة الأصلية، مما يعني أننا لسنا بحاجة إلى الخطوة الأخيرة من الخوارزمية.

نستخدم طريقة الفاصل:

نرى الحل ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ​​​​∪ (3 , + ∞) والذي سيكون حل المتراجحة الأصلية x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · س ( س - 3 ) 2 · ( س + 1 ) .

إجابة: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

مثال 7

حالة:احسب الحل x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 .

حل

نحدد نطاق القيم المقبولة. في حالة هذه المتباينة، ستكون مساوية لجميع الأعداد الحقيقية باستثناء − 2، − 1، 0 و 1 .

ننقل التعبيرات من الجانب الأيمن إلى اليسار:

س + 3 س - 1 - 3 س س + 2 + 2 س - 1 - 1 س + 1 - 2 س + 2 س 2 - 1 > 0

س + 3 س - 1 - 3 س س + 2 = س + 3 - س - 3 س س + 2 = 0 س س + 2 = 0 س + 2 = 0

ومع مراعاة النتيجة نكتب:

س + 3 س - 1 - 3 س س + 2 + 2 س - 1 - 1 س + 1 - 2 س + 2 س 2 - 1 = = 0 + 2 س - 1 - 1 س + 1 - 2 س + 2 س 2 - 1 = = 2 س - 1 - 1 س + 1 - 2 س + 2 س 2 - 1 = = 2 س - 1 - 1 س + 1 - 2 س + 2 (س + 1) س - 1 = = - س - 1 (س + 1) س - 1 = - س + 1 (س + 1) س - 1 = - 1 س - 1

بالنسبة للتعبير - 1 × - 1، فإن نطاق القيم الصالحة هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية باستثناء واحد. نرى أن نطاق القيم قد اتسع: − 2 , − 1 و 0 . هذا يعني أننا بحاجة إلى تنفيذ الخطوة الأخيرة من الخوارزمية.

وبما أننا وصلنا إلى المتراجحة - 1 x - 1 > 0، فيمكننا كتابة ما يعادلها 1 x - 1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

نستبعد النقاط التي لم يتم تضمينها في نطاق القيم المقبولة للمساواة الأصلية. علينا أن نستبعد من (− ∞ , 1) الأعداد − 2 , − 1 و 0 . وبالتالي فإن حل المتراجحة المنطقية x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 سيكون القيم (− ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

إجابة: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

وفي الختام، نعطي مثالا آخر لمسألة تعتمد الإجابة النهائية فيها على نطاق القيم المقبولة.

مثال 8

حالة:أوجد حل المتراجحة 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0.

حل

يتم تحديد نطاق القيم المسموح بها للمتباينة المحددة في الشرط بواسطة النظام x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 س - 1 ≠ 0.

هذا النظام ليس لديه حلول، لأن

س 3 + 1 × 2 - س + 1 - س 2 - 1 س - 1 = = (س + 1) × 2 - س + 1 × 2 - س + 1 - (س - 1) س + 1 س - 1 = = س + 1 - (س + 1) = 0

هذا يعني أن المساواة الأصلية 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 ليس لها حل، لأنه لا توجد قيم للمتغير الذي يمكن أن تصنعه حاسة.

إجابة:لا توجد حلول.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

طريقة الفاصل– طريقة بسيطة لحل عدم المساواة العقلانية الكسرية. هذا هو اسم المتباينات التي تحتوي على تعبيرات كسرية (أو كسرية) تعتمد على متغير.

1. خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، عدم المساواة التالية

تتيح لك طريقة الفاصل الزمني حلها في بضع دقائق.

على الجانب الأيسر من هذه المتباينة توجد دالة كسرية. عقلاني لأنه لا يحتوي على جذور أو جيب أو لوغاريتمات - بل يحتوي فقط على تعبيرات عقلانية. على اليمين صفر.

تعتمد طريقة الفاصل الزمني على الخاصية التالية للدالة الكسرية.

يمكن للدالة الكسرية تغيير الإشارة فقط عند النقاط التي تساوي فيها الصفر أو لا تكون موجودة.

دعونا نتذكر كيف يتم تحليل ثلاثية الحدود التربيعية، أي تعبير عن الصيغة.

أين و هي جذور المعادلة التربيعية.

نرسم محورًا ونضع النقاط التي يصبح عندها البسط والمقام صفرًا.

أصفار المقام هي نقاط مثقوبة، لأنه في هذه النقاط لم يتم تعريف الدالة على الجانب الأيسر من عدم المساواة (لا يمكنك القسمة على صفر). أصفار البسط و- مظللة، لأن المتراجحة ليست صارمة. عندما تتحقق المتباينة، لأن كلا طرفيها يساوي صفرًا.

هذه النقاط تقسم المحور إلى فترات.

دعونا نحدد إشارة الدالة الكسرية على الجانب الأيسر من المتباينة في كل فترة من هذه الفترات. نتذكر أن الدالة الكسرية لا يمكنها تغيير الإشارة إلا عند النقاط التي تكون عندها صفرًا أو غير موجودة. وهذا يعني أنه في كل فترة من الفترات بين النقاط التي يذهب فيها البسط أو المقام إلى الصفر، ستكون إشارة التعبير على الجانب الأيسر من المتراجحة ثابتة - إما "زائد" أو "ناقص".

ومن ثم، لتحديد إشارة الدالة في كل فترة من هذه الفترة، فإننا نأخذ أي نقطة تنتمي إلى هذه الفترة. الشخص المناسب لنا.
. لنأخذ على سبيل المثال علامة التعبير الموجود على الجانب الأيسر من المتراجحة. كل من "الأقواس" هو سلبي. الجانب الأيسر لديه علامة.

الفاصل التالي : . دعونا نتحقق من العلامة عند . نجد أن الجانب الأيسر قد غير إشارته إلى .

دعونا أعتبر. عندما يكون التعبير موجبًا - فهو موجب خلال الفترة بأكملها من إلى.

عندما يكون الجانب الأيسر من عدم المساواة سلبيا.

وأخيرًا، class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

لقد وجدنا في أي فترات يكون التعبير إيجابيًا. كل ما تبقى هو كتابة الجواب:

إجابة: .

يرجى ملاحظة: العلامات تتناوب بين الفواصل الزمنية. حدث هذا بسبب عند المرور عبر كل نقطة، تغيرت إشارة أحد العوامل الخطية بالضبط، بينما أبقى الباقي دون تغيير.

نرى أن طريقة الفاصل بسيطة للغاية. لحل المتراجحة الكسرية باستخدام طريقة الفواصل، نختصرها إلى الصورة:

أو class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}، او او .

(على الجانب الأيسر دالة كسرية، وعلى الجانب الأيمن صفر).

ثم نحدد على خط الأعداد النقاط التي يصبح عندها البسط أو المقام صفرًا.
تقسم هذه النقاط خط الأعداد بأكمله إلى فترات، حيث تحتفظ كل منها الدالة الكسرية بعلامتها.
كل ما تبقى هو معرفة علامته في كل فترة.
ونفعل ذلك عن طريق التحقق من إشارة التعبير عند أي نقطة تنتمي إلى فترة معينة. وبعد ذلك نكتب الجواب. هذا كل شئ.

لكن السؤال الذي يطرح نفسه: هل تتناوب العلامات دائمًا؟ لا، ليس دائما! يجب الحذر وعدم وضع اللافتات بشكل آلي وبدون تفكير.

2. دعونا نفكر في عدم مساواة أخرى.

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ يسار(س-3 \يمين))>0"> !}

ضع النقاط على المحور مرة أخرى. يتم ثقب النقاط لأنها أصفار للمقام. تم قطع هذه النقطة أيضًا، نظرًا لأن عدم المساواة صارم.

عندما يكون البسط موجبًا، يكون كلا العاملين في المقام سالبين. يمكن التحقق من ذلك بسهولة عن طريق أخذ أي رقم من فترة زمنية معينة، على سبيل المثال، . الجانب الأيسر لديه علامة:

عندما يكون البسط موجبًا؛ العامل الأول في المقام إيجابي، والعامل الثاني سلبي. الجانب الأيسر لديه علامة:

الوضع هو نفسه! البسط موجب، والعامل الأول في المقام موجب، والثاني سالب. الجانب الأيسر لديه علامة:

وأخيرًا، مع class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

إجابة: .

لماذا تم تعطيل تناوب العلامات؟ لأنه عند المرور بنقطة يكون المضاعف "مسؤولا" عنها لم يتغير التوقيع. وبالتالي، فإن الجانب الأيسر من المتباينة بأكمله لم يتغير.

خاتمة: إذا كان المضاعف الخطي قوة زوجية (على سبيل المثال، مربع)، فعند المرور عبر نقطة لا تتغير علامة التعبير على الجانب الأيسر. وفي حالة الدرجة الفردية تتغير الإشارة بالطبع.

3. دعونا ننظر في حالة أكثر تعقيدا. وهو يختلف عن السابق في أن عدم المساواة ليس صارمًا:

الجانب الأيسر هو نفسه كما في المشكلة السابقة. ستكون صورة العلامات هي نفسها:

ربما سيكون الجواب هو نفسه؟ لا! تمت إضافة حل. يحدث هذا لأن الطرفين الأيسر والأيمن من المتراجحة يساويان صفرًا، وبالتالي فإن هذه النقطة هي الحل.

إجابة: .

يحدث هذا الموقف غالبًا في مشاكل امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات. هذا هو المكان الذي يقع فيه المتقدمون في الفخ ويفقدون النقاط. احرص!

4. ماذا تفعل إذا تعذر تحليل البسط أو المقام إلى عوامل خطية؟ النظر في هذا عدم المساواة:

لا يمكن تحليل ثلاثية الحدود المربعة إلى عوامل: المميز سالب، ولا توجد جذور. ولكن هذا جيد! وهذا يعني أن إشارة الإعراب للكل واحدة، وبالتحديد موجبة. يمكنك قراءة المزيد عن هذا في المقالة حول خصائص الدوال التربيعية.

والآن يمكننا قسمة طرفي المتباينة على قيمة موجبة للجميع. دعونا نصل إلى عدم المساواة المكافئة:

والتي يمكن حلها بسهولة باستخدام طريقة الفاصل.

يرجى ملاحظة أننا قسمنا طرفي المتراجحة على قيمة كنا نعلم يقينًا أنها موجبة. بالطبع، بشكل عام، لا ينبغي عليك ضرب أو قسمة المتباينة في متغير مجهول الإشارة.

5 . دعونا نفكر في متباينة أخرى، تبدو بسيطة للغاية:

أريد فقط أن أضربها بـ . لكننا أذكياء بالفعل، ولن نفعل هذا. بعد كل شيء، يمكن أن تكون إيجابية وسلبية. ونعلم أنه إذا ضرب طرفا المتباينة في قيمة سالبة، فإن إشارة المتباينة تتغير.

سنفعل ذلك بشكل مختلف - سنجمع كل شيء في جزء واحد ونصل به إلى قاسم مشترك. سيبقى الجانب الأيمن صفرًا:

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

وبعد ذلك - تقدم بطلب طريقة الفاصل.

• تطوير القدرة على حل عدم المساواة العقلانية باستخدام طريقة الفترات ذات الجذور المتعددة، ومساعدة الطلاب على تطوير الحاجة والرغبة في تعميم المواد المدروسة؛
• تطوير القدرة على مقارنة الحلول وتحديد الإجابات الصحيحة. تنمية الفضول والتفكير المنطقي والاهتمام المعرفي بالموضوع
• تنمية الدقة عند صياغة الحلول، والقدرة على التغلب على الصعوبات عند حل عدم المساواة.

المواد والمعدات: السبورة التفاعلية، والبطاقات، ومجموعة الاختبارات.

تقدم الدرس

I. اللحظة التنظيمية

ثانيا. تحديث المعرفة

مسح الصف الأمامي على الأسئلة التالية:

في أي قيم للمتغير يكون الكسر منطقيًا (الشكل 1)؟

كرر الخوارزمية لحل المتباينات بالشكل (x - x 1)(x - x 2)…(x - x n) > 0 أو (x - x 1)(x - x 2)...(x - x n)< 0, где x 1 , x 2 , … x n не равные друг другу числа.

يتم عرض خوارزمية حل عدم المساواة باستخدام طريقة الفاصل الزمني على السبورة التفاعلية:

ثالثا. تعلم مواد جديدة. حل المتباينات الكسرية ذات الجذور المتعددة باستخدام طريقة الفترات.

عادةً ما يرتبط حل المتباينات ذات القيم الحرجة المتعددة للمتغير بأكبر الصعوبات. إذا كان من الممكن في السابق وضع العلامات على فترات زمنية ببساطة عن طريق تبديلها، الآن، عند المرور عبر قيمة حرجة، قد لا تتغير علامة التعبير بأكمله. سوف نتعرف على ما يسمى بطريقة "البتلة"، والتي ستساعد في التغلب على الصعوبات المرتبطة بترتيب إشارات الدالة على فترات.

خذ بعين الاعتبار مثال: (x+3) 2 > 0/

يحتوي الجانب الأيسر على نقطة حرجة واحدة x = - 3. فلنضع علامة عليها على خط الأعداد. هذه النقطة لها تعدد 2، لذلك يمكننا أن نعتبر أن لدينا نقطتين حرجتين مدمجتين، يوجد بينهما أيضًا فاصل زمني مع البداية والنهاية عند نفس النقطة -3. وسنضع علامة على هذه الفواصل الزمنية بـ "البتلات"، كما في الشكل 3. وبالتالي، لدينا ثلاث فترات: فترتان رقميتان (-∞؛ -3)؛ (-3؛ +∞) و"البتلة" بينهما. كل ما تبقى هو وضع العلامات. للقيام بذلك، نحسب الإشارة الموجودة على الفترة التي تحتوي على صفر، ونرتب الإشارات على الباقي، ونقوم ببساطة بالتناوب بينها. تظهر نتيجة وضع العلامات في الشكل 4

أرز. 3	أرز. 4

الإجابة: x € (-∞; -3) U (-3; +∞)

دعونا الآن نفكر في عدم مساواة أكثر تعقيدًا (الشكل 5):

دعنا نقدم الوظيفة (الشكل 6):

دعونا نحتفل بالنقاط الحرجة على خط الأعداد، مع الأخذ في الاعتبار تعددها - لكل شريحة إضافية بقيمة حرجة معينة نرسم "بتلة" إضافية. لذلك، في الشكل 7، ستظهر "بتلة" واحدة عند النقطة x=3، حيث أن (x-3)?=(x-3)(x-3).

بما أن (x - 6) 3 = (x - 6) (x - 6) (x - 6)، فإن النقطة x = 6 بها "بتلتان". ويؤخذ المضاعف الأول في الاعتبار بالنقطة 6 على المحور، ويؤخذ في الاعتبار المضاعفان الإضافيان بإضافة "بتلتين". بعد ذلك، نحدد الإشارة على إحدى الفترات ونرتب العلامات على البقية، بالتناوب بين السلبيات والإيجابيات.

جميع المساحات المميزة بعلامة "+" والنقاط الداكنة توفر الإجابة.

X € [-4;-1) U (3) U (6;+∞).

رابعا. توحيد المواد الجديدة

1. دعونا نحل عدم المساواة:

دعونا نعامل الجانب الأيسر من عدم المساواة:

أولا، نرسم النقاط الحرجة للمقام على المحور الإحداثي، فنحصل على (الشكل 10)

بإضافة نقاط البسط نحصل على (الشكل 11)

والآن نحدد العلامات على فترات وفي "البتلات" (الشكل 12)

أرز. 12

الإجابة: x € (-1; 0) U (0; 1) U (2)

2. اختيار الفترات العددية التي تكون حلولاً للمتباينات باستخدام طريقة الفواصل مع مراعاة تعدد جذور كثيرة الحدود (شكل 13).

خامسا: ملخص الدرس

أثناء المحادثة مع الفصل، نستخلص النتائج:

1) أصبح من الممكن وضع العلامات على فترات بمجرد التناوب بينها.

3) مع هذا الحل، لا يتم فقدان الجذور المفردة أبدًا.

في هذا الدرس، سنواصل حل المتباينات الكسرية باستخدام طريقة الفترات للمتباينات الأكثر تعقيدًا. دعونا نفكر في حل المتباينات التربيعية الخطية الكسرية والمسائل ذات الصلة.

الآن دعونا نعود إلى عدم المساواة

دعونا نلقي نظرة على بعض المهام ذات الصلة.

أوجد أصغر حل للمتباينة.

أوجد عدد الحلول الطبيعية للمتباينة

أوجد طول الفترات التي تكون مجموعة حلول المتراجحة.

2. بوابة العلوم الطبيعية ().

3. المجمع التعليمي والمنهجي الإلكتروني لإعداد الصفوف 10-11 لامتحانات القبول في علوم الكمبيوتر والرياضيات واللغة الروسية ().

5. مركز التعليم “تكنولوجيا التدريس” ().

6. قسم College.ru الخاص بالرياضيات ().

1. موردكوفيتش أ.ج. وغيرها الجبر الصف التاسع: كتاب المشكلات لطلاب مؤسسات التعليم العام / A. G. Mordkovich، T. N. Mishustina، إلخ - الطبعة الرابعة. - م: منيموسين، 2002.-143 ص: مريض. رقم 28(ب،ج)؛ 29(ب،ج)؛ 35(أ،ب)؛ 37(ب،ج)؛ 38(أ).