دالة القدرة وخصائصها ورسومها البيانية مادة توضيحية درس-محاضرة مفهوم الوظيفة. خصائص الوظيفة

الجامعة الوطنية للبحوث

قسم الجيولوجيا التطبيقية

ملخص عن الرياضيات العليا

حول الموضوع: "الوظائف الأولية الأساسية،

خصائصها ورسومها البيانية"

مكتمل:

التحقق:

مدرس

تعريف. الدالة المعطاة بالصيغة y=a x (حيث a>0, a≠1) تسمى دالة أسية ذات الأساس a.

دعونا صياغة الخصائص الرئيسية للوظيفة الأسية:

1. مجال التعريف هو المجموعة (R) لجميع الأعداد الحقيقية.

2. المدى - المجموعة (R+) لجميع الأعداد الحقيقية الموجبة.

3. بالنسبة لـ > 1، تزداد الدالة على طول خط الأعداد بأكمله؛ عند 0<а<1 функция убывает.

4. هي دالة ذات شكل عام.

، على الفاصل الزمني xO [-3;3]
، على الفاصل الزمني xO [-3;3]

دالة من الشكل y(x)=x n، حيث n هو الرقم ОR، تسمى دالة القدرة. يمكن أن يتخذ الرقم n قيمًا مختلفة: عدد صحيح وكسري، وزوجي وفردي. اعتمادا على هذا، سيكون لوظيفة الطاقة شكل مختلف. دعونا نفكر في حالات خاصة تمثل دوال قدرة وتعكس الخصائص الأساسية لهذا النوع من المنحنيات بالترتيب التالي: دالة القدرة y=x² (دالة ذات أس زوجي - قطع مكافئ)، دالة القدرة y=x³ (دالة ذات أس فردي - القطع المكافئ المكعب) والدالة y=√x (x أس ½) (الدالة ذات الأس الكسري)، والدالة ذات الأس الصحيح السالب (القطع الزائد).

وظيفة الطاقة ص=س²

1. D(x)=R – يتم تعريف الدالة على المحور العددي بأكمله؛

2. E(y)= ويزداد على الفترة

وظيفة الطاقة ص=س³

1. الرسم البياني للدالة y=x³ يسمى القطع المكافئ المكعب. دالة الطاقة y=x³ لها الخصائص التالية:

2. D(x)=R – يتم تعريف الدالة على المحور العددي بأكمله؛

3. E(y)=(-∞;∞) – تأخذ الدالة جميع القيم في مجال تعريفها؛

4. عندما x=0 y=0 – تمر الدالة عبر أصل الإحداثيات O(0;0).

5. تزيد الوظيفة على نطاق التعريف بأكمله.

6. الدالة فردية (متناظرة حول الأصل).

، على الفاصل الزمني xO [-3;3]

اعتمادًا على العامل العددي الموجود أمام x³، يمكن أن تكون الدالة شديدة الانحدار/مسطحة ومتزايدة/متناقصة.

دالة القدرة ذات الأس الصحيح السالب:

إذا كان الأس n فرديًا، فإن الرسم البياني لدالة القدرة هذه يسمى القطع الزائد. دالة القدرة ذات الأس السالب الصحيح لها الخصائص التالية:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) لأي n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞)، إذا كان n رقمًا فرديًا؛ E(y)=(0;∞)، إذا كان n رقمًا زوجيًا؛

3. تتناقص الدالة على نطاق التعريف بأكمله إذا كان n رقمًا فرديًا؛ تزيد الدالة على الفاصل الزمني (-∞;0) وتتناقص على الفاصل الزمني (0;∞) إذا كان n رقمًا زوجيًا.

4. تكون الدالة فردية (متناظرة حول الأصل) إذا كان n رقمًا فرديًا؛ الدالة زوجية إذا كان n رقمًا زوجيًا.

5. تمر الدالة عبر النقطتين (1;1) و (-1;-1) إذا كان n عددا فرديا ومن خلال النقطتين (1;1) و (-1;1) إذا كان n عددا زوجيا.

، على الفاصل الزمني xO [-3;3]

دالة القدرة مع الأس الكسرى

تحتوي دالة القدرة ذات الأس الكسري (الصورة) على رسم بياني للدالة الموضحة في الشكل. دالة القدرة ذات الأس الكسري لها الخصائص التالية: (صورة)

1. D(x) ОR، إذا كان n رقمًا فرديًا وD(x)=
، على الفاصل الزمني xO
، على الفاصل الزمني xO [-3;3]

الدالة اللوغاريتمية y = log a x لها الخصائص التالية:

1. مجال التعريف D(x)O (0; + ∞).

2. نطاق القيم E(y) О (- ∞; + ∞)

3. الدالة ليست زوجية ولا فردية (بشكل عام).

4. تزيد الدالة على الفاصل الزمني (0; + ∞) لـ a > 1، وتتناقص على (0; + ∞) لـ 0< а < 1.

يمكن الحصول على الرسم البياني للدالة y = log a x من الرسم البياني للدالة y = a x باستخدام تحويل التماثل حول الخط المستقيم y = x. يوضح الشكل 9 رسمًا بيانيًا للدالة اللوغاريتمية لـ a > 1، والشكل 10 لـ 0< a < 1.

; على الفاصل الزمني xO
; على الفاصل الزمني xO

الدوال y = sin x، y = cos x، y = tan x، y = ctg x تسمى الدوال المثلثية.

الدوال y = sin x، y = tan x، y = ctg x فردية، والدالة y = cos x زوجية.

الدالة ص = الخطيئة(س).

1. مجال التعريف D(x) ОR.

2. نطاق القيم E(y) О [ - 1; 1].

3. الوظيفة دورية. الفترة الرئيسية هي 2π.

4. الوظيفة غريبة.

5. تزداد الدالة على فترات [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] ويتناقص على فترات [π/2 + 2πn؛ 3π/2 + 2πn]، n О Z.

يظهر الرسم البياني للدالة y = sin (x) في الشكل 11.

يوفر بيانات مرجعية عن الدالة الأسية - الخصائص الأساسية والرسوم البيانية والصيغ. يتم تناول المواضيع التالية: مجال التعريف، مجموعة القيم، الرتابة، الدالة العكسية، المشتقة، التكامل، توسيع سلسلة القوى والتمثيل بالأعداد المركبة.

تعريف

الدالة الأسيةهو تعميم لمنتج أرقام n يساوي:
ذ (ن) = أ ن = أ·أ·آ···أ,
لمجموعة الأعداد الحقيقية x :
ذ (خ) = س.
هنا a هو عدد حقيقي ثابت، وهو ما يسمى أساس الدالة الأسية.
تسمى أيضًا الدالة الأسية ذات الأساس a الأس للقاعدة أ.

ويتم التعميم على النحو التالي.
للطبيعي x = 1, 2, 3,... ، الدالة الأسية هي منتج عوامل x:
.
علاوة على ذلك، فإن لها خصائص (1.5-8) ()، والتي تتبع قواعد ضرب الأرقام. بالنسبة للقيم الصفرية والسلبية للأعداد الصحيحة، يتم تحديد الدالة الأسية باستخدام الصيغ (1.9-10). بالنسبة للقيم الكسرية x = m/n الأعداد النسبية، يتم تحديدها بالصيغة (1.11). في الواقع، يتم تعريف الدالة الأسية على أنها نهاية التسلسل:
,
حيث يكون التسلسل التعسفي للأرقام العقلانية متقاربًا إلى x: .
وبهذا التعريف يتم تعريف الدالة الأسية للجميع، وتحقق الخصائص (1.5-8)، كما هو الحال في x الطبيعية.

توجد صياغة رياضية دقيقة لتعريف الدالة الأسية وإثبات خصائصها في صفحة "تعريف وإثبات خصائص الدالة الأسية".

خصائص الدالة الأسية

الدالة الأسية y = a x لها الخصائص التالية في مجموعة الأعداد الحقيقية ():
(1.1) محددة ومستمرة، من أجل، للجميع؛
(1.2) ل ≠ 1 له معاني كثيرة؛
(1.3) يزيد بشكل صارم في ، يتناقص بشكل صارم في ،
ثابت عند ؛
(1.4) في ؛
في ؛
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

صيغ مفيدة أخرى.
.
صيغة للتحويل إلى دالة أسية ذات أساس أسي مختلف:

عندما b = e، نحصل على تعبير الدالة الأسية من خلال الأسي:

القيم الخاصة

, , , , .

يوضح الشكل الرسوم البيانية للدالة الأسية
ذ (خ) = س
لأربع قيم قواعد الدرجة: أ = 2 ، أ = 8 ، أ = 1/2 و = 1/8 . ويمكن ملاحظة أن ل> 1 تزيد الدالة الأسية بشكل رتيب. كلما كانت قاعدة الدرجة أ أكبر، كان النمو أقوى. في 0 < a < 1 تنخفض الدالة الأسية بشكل رتيب. كلما كان الأس أصغر، كان الانخفاض أقوى.

تنازلي تصاعدي

الدالة الأسية لـ هي رتيبة تمامًا، وبالتالي لا تحتوي على نقاط متطرفة. يتم عرض خصائصه الرئيسية في الجدول.

	ص = أ س، أ> 1	ص = الفأس، 0 < a < 1
اِختِصاص	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
مدى من القيم	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
روتيني	يزيد رتابة	يتناقص رتابة
أصفار، ص = 0	لا	لا
نقاط التقاطع مع المحور الإحداثي x = 0	ص = 1	ص = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

وظيفة عكسية

معكوس الدالة الأسية ذات الأساس a هو لوغاريتم الأساس a.

اذا ثم
.
اذا ثم
.

تمايز الدالة الأسية

للتمييز بين دالة أسية، يجب تقليل قاعدتها إلى الرقم e، وتطبيق جدول المشتقات وقاعدة التمييز بين دالة معقدة.

للقيام بذلك تحتاج إلى استخدام خاصية اللوغاريتمات
والصيغة من جدول المشتقات:
.

دع الوظيفة الأسية تعطى:
.
نأتي به إلى القاعدة ه:

دعونا نطبق قاعدة التمايز بين الوظائف المعقدة. للقيام بذلك، أدخل المتغير

ثم

من جدول المشتقات لدينا (استبدل المتغير x بـ z):
.
بما أنه ثابت، فإن مشتقة z بالنسبة إلى x تساوي
.
وفقًا لقاعدة التمايز لوظيفة معقدة:
.

مشتق من الدالة الأسية

.
مشتق من الترتيب ن:
.
اشتقاق الصيغ > > >

مثال على اشتقاق الدالة الأسية

أوجد مشتقة الدالة
ص = 3 5 س

حل

لنعبر عن أساس الدالة الأسية من خلال الرقم e.
3 = ه لن 3
ثم
.
أدخل متغيرا
.
ثم

من جدول المشتقات نجد:
.
بسبب ال 5 لتر 3ثابت، فإن مشتقة z بالنسبة إلى x تساوي:
.
وفقًا لقاعدة اشتقاق دالة معقدة، لدينا:
.

إجابة

أساسي

التعبيرات باستخدام الأعداد المركبة

خذ بعين الاعتبار دالة الأعداد المركبة ض:
F (ض) = أ ض
حيث ض = س + iy؛ أنا 2 = - 1 .
دعونا نعبر عن الثابت المعقد a بدلالة المعامل r والوسيطة φ:
أ = ص ه ط φ
ثم


.
لم يتم تعريف الوسيطة φ بشكل فريد. على العموم
φ = φ 0 + 2 ن,
حيث n هو عدد صحيح. لذلك فإن الدالة f (ض)هو أيضا غير واضح. غالبا ما تؤخذ أهميتها الرئيسية في الاعتبار
.

توسيع السلسلة

.

مراجع:
في. برونشتاين، ك.أ. سيمنديايف، دليل الرياضيات للمهندسين وطلاب الجامعات، "لان"، 2009.

دالة القدرة وخصائصها ورسومها البيانية مادة توضيحية درس-محاضرة مفهوم الوظيفة. خصائص الوظيفة. دالة القدرة وخصائصها ورسمها البياني. الصف العاشر جميع الحقوق محفوظة. حقوق الطبع والنشر مع حقوق الطبع والنشر مع

تقدم الدرس: التكرار. وظيفة. خصائص الوظائف. تعلم مواد جديدة. 1. تعريف دالة القدرة. تعريف دالة القدرة. 2. خصائص ورسوم بيانية لدوال القوة خصائص ورسوم بيانية لدوال القوة. توحيد المواد المدروسة. العد اللفظي. العد اللفظي. ملخص الدرس. الواجب المنزلي.الواجب المنزلي.

مجال التعريف ومجال قيم الدالة جميع قيم المتغير المستقل تشكل مجال تعريف الدالة x y=f(x) f مجال تعريف الدالة مجال قيم الدالة الكل القيم التي يأخذها المتغير التابع من مجال قيم الدالة Function. خصائص الوظيفة

الرسم البياني للدالة دع الوظيفة تعطى حيث xY y x.75 3 0.6 4 0.5 الرسم البياني للدالة هو مجموعة من جميع نقاط المستوى الإحداثي، والتي تساوي حروفها قيم الوسيطة، والإحداثيات تساوي القيم المقابلة للدالة. وظيفة. خصائص الوظيفة

Y x مجال التعريف ومدى قيم الدالة 4 y=f(x) مجال تعريف الدالة: مجال قيم الدالة: الدالة. خصائص الوظيفة

الدالة الزوجية y x y=f(x) الرسم البياني للدالة الزوجية يكون متماثلًا بالنسبة لمحور المضخم التشغيلي، ويتم استدعاء الدالة y=f(x) حتى لو كان f(-x) = f(x) لـ أي x من مجال تعريف الدالة Function. خصائص الوظيفة

دالة فردية y x y=f(x) الرسم البياني للدالة الفردية متماثل بالنسبة إلى الأصل O(0;0) تسمى الوظيفة y=f(x) غريبة إذا كانت f(-x) = -f(x) لأي x من تعريفات وظيفة المنطقة وظيفة. خصائص الوظيفة

تعريف دالة القدرة تسمى الدالة التي يكون فيها p عددا حقيقيا محددا دالة القدرة. p y=x p P=x y 0 تقدم الدرس

دالة القدرة x y 1. مجال التعريف ونطاق قيم دوال القدرة بالشكل، حيث n عدد طبيعي، كلها أرقام حقيقية. 2. هذه الوظائف غريبة. الرسم البياني الخاص بهم متماثل بالنسبة للأصل. خصائص ورسوم بيانية لوظائف الطاقة

دوال القوة ذات أس موجب عقلاني مجال التعريف هو جميع الأرقام الموجبة والرقم 0. نطاق قيم الدوال ذات هذا الأس هو أيضًا جميع الأرقام الموجبة والرقم 0. هذه الوظائف ليست زوجية ولا فردية . y x الخصائص والرسوم البيانية لوظائف الطاقة

دالة القدرة ذات الأس السالب العقلاني. مجال التعريف ونطاق قيم هذه الوظائف كلها أرقام موجبة. الوظائف ليست زوجية ولا فردية. تتناقص هذه الوظائف في جميع أنحاء مجال تعريفها بالكامل. y x الخصائص والرسوم البيانية لوظائف القوة تقدم الدرس