يعرف كل تلميذ أن الوتر هو دائمًا المربع يساوي المبلغالساقين، كل واحدة منها مربعة. هذا البيان يسمى نظرية فيثاغورس. وهي من أشهر النظريات في علم المثلثات والرياضيات بشكل عام. دعونا نلقي نظرة فاحصة على ذلك.

مفهوم المثلث الأيمن

قبل الانتقال إلى نظرية فيثاغورس، التي يكون فيها مربع الوتر يساوي مجموع الأضلاع المربعة، يجب أن نفكر في مفهوم وخصائص المثلث القائم الزاوية الذي تصلح له النظرية.

مثلث - شخصية مسطحةوجود ثلاث زوايا وثلاثة جوانب. المثلث القائم، كما يوحي اسمه، له زاوية قائمة واحدة، أي أن هذه الزاوية تساوي 90 درجة.

من الخصائص العامةمن المعروف بالنسبة لجميع المثلثات أن مجموع الزوايا الثلاث لهذا الشكل هو 180 درجة، مما يعني أنه بالنسبة للمثلث القائم، فإن مجموع الزاويتين غير القائمتين هو 180 درجة - 90 درجة = 90 درجة. الحقيقة الأخيرةيعني أن أي زاوية في مثلث قائم، وهو غير مباشر، سيكون دائمًا أقل من 90 درجة.

الجانب الذي يكمن ضد زاوية مستقيمة، ويسمى عادة الوتر. الضلعان الآخران هما أرجل المثلث، يمكن أن يكونا متساويين، أو يمكن أن يكونا مختلفين. نعلم من علم المثلثات أنه كلما زادت الزاوية التي يقع عليها أحد أضلاع المثلث، زاد طول هذا الضلع. هذا يعني أنه في المثلث القائم، فإن الوتر (الذي يقع مقابل الزاوية 90 درجة) سيكون دائمًا أكبر من أي من الأرجل (يقع مقابل الزوايا)< 90 o).

التدوين الرياضي لنظرية فيثاغورس

تنص هذه النظرية على أن مربع الوتر يساوي مجموع الأضلاع التي تم تربيع كل منها مسبقًا. لكتابة هذه الصيغة رياضيًا، فكر في مثلث قائم الزاوية تكون أضلاعه a وb وc هي الضلعين والوتر، على التوالي. في هذه الحالة، يمكن تمثيل النظرية، التي تصاغ على أن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الأضلاع، بالصيغة التالية: c 2 = a 2 + b 2. ومن هنا يمكن الحصول على صيغ أخرى مهمة للتدريب: أ = √(ج 2 - ب 2)، ب = √(ج 2 - أ 2) و ج = √(أ 2 + ب 2).

لاحظ أنه في حالة مستطيلة مثلث متساوي الاضلاعأي أن a = b، الصيغة: مربع الوتر يساوي مجموع الأضلاع، كل منها مربع، مكتوب رياضيا على النحو التالي: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2، مما يعني ضمنا المساواة: ج = أ√2.

مرجع تاريخي

إن نظرية فيثاغورس، التي تنص على أن مربع الوتر يساوي مجموع الأرجل، كل منها مربعة، كانت معروفة قبل فترة طويلة من اهتمام الفيلسوف اليوناني الشهير بها. العديد من البرديات مصر القديمة، وكذلك الألواح الطينية للبابليين تؤكد أن هذه الشعوب استخدمت الخاصية الملحوظة لأضلاع المثلث القائم الزاوية. على سبيل المثال، واحدة من الأولى الأهرامات المصرية، هرم خفرع الذي يعود تاريخ بنائه إلى القرن 26 قبل الميلاد (قبل 2000 سنة من حياة فيثاغورس)، تم بناؤه على أساس معرفة نسبة العرض إلى الارتفاع في مثلث قائم الزاوية 3x4x5.

لماذا إذن تحمل النظرية الآن الاسم اليوناني؟ الجواب بسيط: فيثاغورس هو أول من أثبت هذه النظرية رياضيًا. في البقاء على قيد الحياة البابلية والمصرية مصادر مكتوبةإنه يتحدث فقط عن استخدامه، لكنه لا يقدم أي دليل رياضي.

ويعتقد أن فيثاغورس أثبت النظرية المعنية باستخدام الخصائص مثلثات متشابهة، والذي حصل عليه عن طريق رسم الارتفاع في مثلث قائم الزاوية من زاوية 90 درجة إلى الوتر.

مثال على استخدام نظرية فيثاغورس

دعونا نفكر مهمة بسيطة: لا بد من تحديد طول السلم المائل L، إذا علم أن ارتفاعه H = 3 أمتار، والمسافة من الجدار الذي يرتكز عليه السلم إلى قدمه هي P = 2.5 متر.

في في هذه الحالة H وP هما الساقين، وL هو الوتر. بما أن طول الوتر يساوي مجموع مربعي الساقين، نحصل على: L 2 = H 2 + P 2، من حيث L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2.5 2) ) = 3.905 متر أو 3 م و 90.5 سم.

الشيء الوحيد الذي يمكنك أن تكون متأكدًا منه بنسبة مائة بالمائة هو أنه عندما تُسأل عن السبب يساوي مربعالوتر، أي شخص بالغ سوف يجيب بجرأة: "مجموع مربعات الساقين". وهذه النظرية راسخة في أذهان الجميع. المثقفولكن كل ما عليك فعله هو أن تطلب من شخص ما إثبات ذلك، وقد تنشأ صعوبات. لذلك دعونا نتذكر ونفكر طرق مختلفةإثبات نظرية فيثاغورس.

سيرة ذاتية مختصرة

إن نظرية فيثاغورس مألوفة للجميع تقريبا، ولكن لسبب ما، فإن سيرة الشخص الذي جلبها إلى العالم لا تحظى بشعبية كبيرة. يمكن إصلاح هذا. لذلك، قبل استكشاف الطرق المختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس، عليك أن تتعرف بشكل مختصر على شخصيته.

فيثاغورس - فيلسوف وعالم رياضيات ومفكر أصلاً من اليوم يصعب التمييز بين سيرته الذاتية والأساطير التي تطورت تخليداً لذكرى هذا الرجل العظيم. ولكن على النحو التالي من أعمال أتباعه، ولد فيثاغورس ساموس في جزيرة ساموس. كان والده قاطع حجر عادي، لكن والدته جاءت من عائلة نبيلة.

انطلاقا من الأسطورة، تنبأت ولادة فيثاغورس من قبل امرأة تدعى بيثيا، تكريما لها الصبي. وفقا لتوقعاتها، كان من المفترض أن يجلب الصبي المولود الكثير من الفوائد والخير للإنسانية. هذا بالضبط ما فعله.

ولادة النظرية

انتقل فيثاغورس في شبابه إلى مصر ليلتقي هناك بالحكماء المصريين المشهورين. وبعد لقائه بهم سُمح له بالدراسة، حيث تعلم كل الإنجازات العظيمة للفلسفة المصرية والرياضيات والطب.

ربما كان في مصر أن فيثاغورس استوحى من عظمة وجمال الأهرامات وأنشأ هرمه الخاص. النظرية الكبرى. وهذا قد يصدم القراء، ولكن المؤرخون الحديثونوهم يعتقدون أن فيثاغورس لم يثبت نظريته. لكنه لم ينقل معرفته إلا إلى أتباعه، الذين أكملوا فيما بعد جميع الحسابات الرياضية اللازمة.

مهما كان الأمر، اليوم لا توجد طريقة واحدة فقط لإثبات هذه النظرية، ولكن هناك عدة طرق في وقت واحد. اليوم لا يمكننا إلا أن نخمن كيف نفذ اليونانيون القدماء حساباتهم بالضبط، لذلك سننظر هنا إلى طرق مختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس.

نظرية فيثاغورس

قبل البدء بأي حسابات، عليك أن تعرف النظرية التي تريد إثباتها. تقول نظرية فيثاغورس على النحو التالي: "في المثلث الذي تكون إحدى زواياه 90 درجة، فإن مجموع مربعي الأضلاع يساوي مربع الوتر".

هناك 15 طريقة مختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس. وهذا عدد كبير إلى حد ما، لذلك سوف ننتبه إلى أكثرها شعبية.

الطريقة الأولى

أولاً، دعونا نحدد ما تم إعطاؤه لنا. سيتم تطبيق هذه البيانات أيضًا على الطرق الأخرى لإثبات نظرية فيثاغورس، لذلك يجدر بنا أن نتذكر على الفور جميع الرموز المتاحة.

لنفترض أن لدينا مثلثًا قائمًا بأضلاعه a وb ووترًا يساوي c. تعتمد طريقة الإثبات الأولى على حقيقة أنك تحتاج إلى رسم مربع من مثلث قائم الزاوية.

للقيام بذلك، تحتاج إلى إضافة قطعة تساوي الساق ب إلى الساق التي يبلغ طولها أ، والعكس صحيح. هذا ينبغي أن يجعل اثنين جوانب متساويةمربع. كل ما تبقى هو رسم خطين متوازيين، والمربع جاهز.

داخل الشكل الناتج تحتاج إلى رسم مربع آخر ذو جانب يساوي الوترالمثلث الأصلي. للقيام بذلك، من القمم ас و св تحتاج إلى رسم اثنين بالتوازي مع الجزءيساوي وهكذا نحصل على ثلاثة أضلاع للمربع، أحدها هو وتر المثلث القائم الأصلي. كل ما تبقى هو رسم الجزء الرابع.

وبناء على الشكل الناتج يمكننا أن نستنتج أن مساحة المربع الخارجي هي (أ + ب) 2. إذا نظرت داخل الشكل، يمكنك أن ترى أنه بالإضافة إلى المربع الداخلي، هناك أربعة مثلثات قائمة الزاوية. مساحة كل منها 0.5av.

وبالتالي فإن المساحة تساوي: 4 * 0.5ab + c 2 = 2av + c 2

وبالتالي (أ + ب) 2 = 2أ + ج 2

وبالتالي، ج 2 = أ 2 + ب 2

تم إثبات النظرية.

الطريقة الثانية: المثلثات المتشابهة

تم اشتقاق هذه الصيغة لإثبات نظرية فيثاغورس بناءً على بيان من قسم الهندسة حول المثلثات المتشابهة. تنص على أن ساق المثلث القائم الزاوية هي المتوسط ​​​​المتناسب مع الوتر وجزء الوتر المنبثق من قمة الزاوية 90 درجة.

تظل البيانات الأولية كما هي، لذا فلنبدأ بالإثبات على الفور. لنرسم قطعة CD عمودية على الضلع AB. بناء على العبارة السابقة فإن أضلاع المثلثين متساوية:

AC=√AB*AD، SV=√AB*DV.

للإجابة على سؤال كيفية إثبات نظرية فيثاغورس، يجب إكمال الإثبات بتربيع المتباينتين.

AC 2 = AB * AD و CB 2 = AB * DV

والآن علينا جمع المتباينات الناتجة.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV)، حيث AD + DV = AB

لقد أتضح أن:

أس 2 + سي بي 2 = أ ب* أ ب

وبالتالي:

أس 2 + سي بي 2 = أ ب 2

يتطلب إثبات نظرية فيثاغورس والأساليب المختلفة لحلها اتباع نهج متعدد الاستخدامات لهذه المشكلة. ومع ذلك، هذا الخيار هو واحد من أبسط.

طريقة حسابية أخرى

إن أوصاف الطرق المختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس قد لا تعني شيئًا حتى تبدأ في ممارستها بنفسك. لا تتضمن العديد من التقنيات الحسابات الرياضية فحسب، بل تتضمن أيضًا إنشاء أشكال جديدة من المثلث الأصلي.

في هذه الحالة، من الضروري إكمال مثلث قائم آخر VSD من الجانب BC. وهكذا، يوجد الآن مثلثان لهما ساق مشتركة قبل الميلاد.

مع العلم أن المنطقة أرقام مماثلةتكون النسبة مثل المربعات ذات أبعادها الخطية المتشابهة، ثم:

S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(من 2 - إلى 2) = أ 2 *(S avd -S vsd)

من 2 - إلى 2 = أ 2

ج 2 = أ 2 + ب 2

نظرًا لأنه من بين الطرق المختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس للصف الثامن، فإن هذا الخيار غير مناسب تقريبًا، يمكنك استخدام الطريقة التالية.

أسهل طريقة لإثبات نظرية فيثاغورس. التعليقات

وفقًا للمؤرخين، تم استخدام هذه الطريقة لأول مرة لإثبات النظرية مرة أخرى اليونان القديمة. إنها الأبسط، لأنها لا تتطلب أي حسابات على الإطلاق. إذا قمت برسم الصورة بشكل صحيح، فإن الدليل على أن أ 2 + ب 2 = ج 2 سيكون مرئيا بوضوح.

الشروط ل هذه الطريقةسيكون مختلفًا قليلاً عن السابق. لإثبات النظرية، لنفترض أن المستطيل المثلث ABC- متساوي الساقين.

نأخذ الوتر AC كجانب للمربع ونرسم جوانبه الثلاثة. بالإضافة إلى ذلك، من الضروري رسم خطين قطريين في المربع الناتج. بحيث تحصل بداخله على أربعة مثلثات متساوية الساقين.

تحتاج أيضًا إلى رسم مربع على الساقين AB وCB ورسم خط مستقيم قطري واحد في كل منهما. نرسم الخط الأول من الرأس A، والثاني من الرأس C.

أنت الآن بحاجة إلى إلقاء نظرة فاحصة على الرسم الناتج. بما أن هناك أربعة مثلثات مساوية للمثلث الأصلي على الوتر AC، وعلى الجوانب يوجد اثنان، فهذا يدل على صحة هذه النظرية.

بالمناسبة، وبفضل هذه الطريقة لإثبات نظرية فيثاغورس، فإن العبارة الشهيرة: "سراويل فيثاغورس متساوية في كل الاتجاهات."

دليل جي غارفيلد

جيمس جارفيلد هو الرئيس العشرين للولايات المتحدة الأمريكية. بالإضافة إلى ترك بصمته على التاريخ كحاكم للولايات المتحدة، كان أيضًا موهوبًا في التعلم الذاتي.

في بداية حياته المهنية كان مدرسًا منتظمًا في مدرسة عامةولكن سرعان ما أصبح مديرًا لواحدة من أعلى المستويات المؤسسات التعليمية. سمحت له الرغبة في تطوير الذات بالتقدم نظرية جديدةإثبات نظرية فيثاغورس. النظرية ومثال لحلها هي كما يلي.

تحتاج أولاً إلى رسم مثلثين قائمين على قطعة من الورق بحيث تكون ساق أحدهما استمرارًا للثانية. يجب أن تكون رؤوس هذه المثلثات متصلة لتشكل في النهاية شبه منحرف.

كما تعلم فإن مساحة شبه المنحرف تساوي حاصل ضرب نصف مجموع قواعده وارتفاعه.

ص=أ+ب/2 * (أ+ب)

إذا اعتبرنا شبه المنحرف الناتج شكلاً يتكون من ثلاثة مثلثات، فيمكن إيجاد مساحته على النحو التالي:

S=av/2 *2 + s2 /2

والآن علينا مساواة التعبيرين الأصليين

2أب/2 + ج/2=(أ+ب) 2 /2

ج 2 = أ 2 + ب 2

يمكن كتابة أكثر من مجلد عن نظرية فيثاغورس وطرق إثباتها. مساعدة تعليمية. ولكن هل هناك أي فائدة عندما لا يمكن تطبيق هذه المعرفة عملياً؟

التطبيق العملي لنظرية فيثاغورس

لسوء الحظ، في الحديث البرامج المدرسيةتهدف هذه النظرية إلى استخدامها فقط في مشاكل هندسية. سيترك الخريجون المدرسة قريبًا دون أن يعرفوا كيف يمكنهم تطبيق معارفهم ومهاراتهم في الممارسة العملية.

في الواقع، استخدم نظرية فيثاغورس في الحياة اليوميةيمكن للجميع. وليس فقط في النشاط المهنيولكن أيضًا في الأعمال المنزلية العادية. دعونا نفكر في عدة حالات قد تكون فيها نظرية فيثاغورس وطرق إثباتها ضرورية للغاية.

العلاقة بين النظرية وعلم الفلك

يبدو كيف يمكن ربط النجوم والمثلثات على الورق. في الواقع، علم الفلك هو مجال علمي، والذي يستخدم على نطاق واسع نظرية فيثاغورس.

على سبيل المثال، النظر في الحركة شعاع ضوءفي الفضاء. ومن المعلوم أن الضوء يتحرك في الاتجاهين من نفس السرعة. دعنا نسمي المسار AB الذي يتحرك عبره شعاع الضوء ل. ولنحسب نصف الوقت الذي يستغرقه الضوء للانتقال من النقطة أ إلى النقطة ب ر. وسرعة الشعاع - ج. لقد أتضح أن: ج*ر=ل

إذا نظرت إلى نفس الشعاع من مستوى آخر، على سبيل المثال، من سفينة فضاء تتحرك بسرعة v، فعند مراقبة الأجسام بهذه الطريقة، ستتغير سرعتها. في هذه الحالة، حتى العناصر الثابتة ستبدأ في التحرك بسرعة v في الاتجاه المعاكس.

لنفترض أن الخطوط الملاحية المنتظمة تبحر إلى اليمين. ثم ستبدأ النقطتان A و B، اللتان يندفع بينهما الشعاع، في التحرك إلى اليسار. علاوة على ذلك، عندما يتحرك الشعاع من النقطة أ إلى النقطة ب، يكون لدى النقطة أ الوقت للتحرك، وبالتالي، سيصل الضوء بالفعل إلى نقطة جديدة C. للعثور على نصف المسافة التي تحركت بها النقطة A، تحتاج إلى ضرب سرعة البطانة في نصف زمن سفر الشعاع (t").

ولمعرفة المدى الذي يمكن أن يقطعه شعاع الضوء خلال هذا الوقت، عليك تحديد نصف المسار بحرف جديد s والحصول على التعبير التالي:

إذا تخيلنا أن نقطتي الضوء C وB، وكذلك بطانة الفضاء، هي القمم مثلث متساوي الساقين، فإن القطعة من النقطة A إلى الخطوط الملاحية المنتظمة سوف تقسمها إلى مثلثين قائمين. لذلك، بفضل نظرية فيثاغورس، يمكنك العثور على المسافة التي يمكن أن يقطعها شعاع الضوء.

هذا المثال، بالطبع، ليس هو الأكثر نجاحا، حيث أن القليل فقط يمكن أن يكونوا محظوظين بما يكفي لتجربته عمليا. لذلك، دعونا ننظر في المزيد من التطبيقات الدنيوية لهذه النظرية.

نطاق نقل الإشارات المتنقلة

لم يعد من الممكن تصور الحياة الحديثة دون وجود الهواتف الذكية. ولكن ما مدى فائدتها إذا لم تتمكن من توصيل المشتركين عبر اتصالات الهاتف المحمول؟!

تعتمد جودة الاتصالات المتنقلة بشكل مباشر على الارتفاع الذي يوجد به هوائي مشغل الهاتف المحمول. من أجل حساب مدى المسافة التي يمكن أن يستقبلها الهاتف من برج الهاتف المحمول، يمكنك تطبيق نظرية فيثاغورس.

لنفترض أنك بحاجة إلى إيجاد الارتفاع التقريبي لبرج ثابت حتى يتمكن من توزيع الإشارة داخل دائرة نصف قطرها 200 كيلومتر.

AB (ارتفاع البرج) = س؛

BC (نصف قطر إرسال الإشارة) = 200 كم؛

نظام التشغيل (نصف القطر الكرة الأرضية) = 6380 كم؛

OB=OA+ABOB=r+x

وبتطبيق نظرية فيثاغورس نجد ذلك أدنى ارتفاعيجب أن يبلغ طول البرج 2.3 كيلومترًا.

نظرية فيثاغورس في الحياة اليومية

ومن الغريب أن نظرية فيثاغورس يمكن أن تكون مفيدة حتى في الأمور اليومية، مثل تحديد ارتفاع خزانة الملابس، على سبيل المثال. للوهلة الأولى، ليست هناك حاجة لاستخدام مثل هذا حسابات معقدةلأنه يمكنك ببساطة أخذ القياسات باستخدام شريط القياس. لكن يتساءل الكثير من الناس عن سبب ظهور مشاكل معينة أثناء عملية التجميع إذا تم أخذ جميع القياسات بدقة أكبر.

الحقيقة هي أن خزانة الملابس يتم تجميعها في وضع أفقي ثم يتم رفعها وتثبيتها على الحائط. لذلك، أثناء عملية رفع الهيكل، يجب أن يتحرك جانب الخزانة بحرية على طول ارتفاع الغرفة وقطريًا.

لنفترض أن هناك خزانة ملابس بعمق 800 ملم. المسافة من الأرض إلى السقف - 2600 ملم. سيقول أحد صانعي الأثاث ذوي الخبرة أن ارتفاع الخزانة يجب أن يكون أقل بـ 126 مم من ارتفاع الغرفة. ولكن لماذا بالضبط 126 ملم؟ لنلقي نظرة على مثال.

مع أبعاد الخزانة المثالية، دعونا نتحقق من تطبيق نظرية فيثاغورس:

AC =√AB2 +√BC2

AC = √2474 2 +800 2 = 2600 مم - كل شيء مناسب.

لنفترض أن ارتفاع الخزانة ليس 2474 ملم، ولكن 2505 ملم. ثم:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 ملم.

لذلك، هذه الخزانة غير مناسبة للتركيب في هذه الغرفة. لأن رفعه في وضع عمودي يمكن أن يسبب ضرراً لجسمه.

ربما، بعد النظر في طرق مختلفة لإثبات نظرية فيثاغورس من قبل علماء مختلفين، يمكننا أن نستنتج أنها أكثر من صحيحة. يمكنك الآن استخدام المعلومات التي تتلقاها في حياتك اليومية وتكون واثقًا تمامًا من أن جميع الحسابات لن تكون مفيدة فحسب، بل ستكون صحيحة أيضًا.

نظرية فيثاغورس: مجموع مساحات المربعات المرتكزة على الأرجل ( أو ب)، تساوي مساحة المربع المبني على الوتر ( ج).

صياغة هندسية:

تمت صياغة النظرية في الأصل على النحو التالي:

الصيغة الجبرية:

أي أنه يدل على طول وتر المثلث بـ ج، وأطوال الساقين من خلال أو ب :

أ 2 + ب 2 = ج 2

كلتا صيغتي النظرية متكافئتان، لكن الصيغة الثانية أكثر أولية؛ فهي لا تتطلب مفهوم المساحة. أي أنه يمكن التحقق من العبارة الثانية دون معرفة أي شيء عن المساحة، وبقياس أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية فقط.

نظرية فيثاغورس العكسية:

دليل

على هذه اللحظةالخامس الأدب العلميتم تسجيل 367 دليلاً على هذه النظرية. من المحتمل أن نظرية فيثاغورس هي النظرية الوحيدة التي تحتوي على هذا العدد الهائل من البراهين. لا يمكن تفسير هذا التنوع إلا من خلال الأهمية الأساسية للنظرية في الهندسة.

وبطبيعة الحال، من الناحية النظرية يمكن تقسيم كل منهم إلى عدد صغير من الطبقات. وأشهرها: البراهين بطريقة المساحة، والبراهين البديهية والغريبة (على سبيل المثال، باستخدام المعادلات التفاضلية).

من خلال مثلثات مماثلة

البرهان التالي للصياغة الجبرية هو أبسط البراهين، وقد تم إنشاؤه مباشرة من البديهيات. على وجه الخصوص، فإنه لا يستخدم مفهوم مساحة الشكل.

يترك اي بي سيهناك مثلث قائم الزاوية ج. دعونا نرسم الارتفاع من جوالدلالة على قاعدته ب ح. مثلث أشيشبه المثلث اي بي سيفي زاويتين. وكذلك المثلث CBHمشابه اي بي سي. من خلال إدخال التدوين

نحن نحصل

ما يعادل

بإضافة ذلك، نحصل على

البراهين باستخدام طريقة المنطقة

الأدلة التالية، على الرغم من ذلك البساطة الظاهرة، ليست بهذه البساطة على الإطلاق. كلهم يستخدمون خصائص المساحة، والدليل على ذلك إثبات أكثر صعوبةنظرية فيثاغورس نفسها.

إثبات عن طريق التكامل

1. لنرتب أربعة مثلثات قائمة الزاوية متساوية كما هو موضح في الشكل 1.
2. رباعية الجوانب جهو مربع، لأن مجموع الزاويتين الحادتين هو 90 درجة، والزاوية المستقيمة هي 180 درجة.
3. مساحة الشكل بأكمله تساوي من ناحية مساحة المربع الذي ضلعه (أ + ب) ومن ناحية أخرى مجموعها أربعة مربعاتمثلثات ومربعين داخليين.

Q.E.D.

البراهين من خلال التكافؤ

دليل أنيق باستخدام التقليب

يظهر مثال على أحد هذه الأدلة في الرسم الموجود على اليمين، حيث يتم إعادة ترتيب المربع المبني على الوتر إلى مربعين مبنيين على الساقين.

برهان اقليدس

الرسم لإثبات إقليدس

رسم توضيحي لإثبات إقليدس

فكرة برهان إقليدس هي كما يلي: دعونا نحاول أن نثبت أن نصف مساحة المربع المبني على الوتر يساوي مجموع مساحات نصف المربعين المبنيين على الساقين، ثم مساحات المربعان الكبيران والمربعان الصغيران متساويان.

دعونا نلقي نظرة على الرسم على اليسار. قمنا ببناء مربعات على جوانب المثلث القائم ورسمنا شعاعًا من قمة الزاوية القائمة C عموديًا على الوتر AB، وهو يقطع مربع ABIK، المبني على الوتر، إلى مستطيلين - BHJI وHAKJ، على التوالى. وتبين أن مساحات هذه المستطيلات تساوي تمامًا مساحات المربعات المبنية على الأرجل المقابلة لها.

دعونا نحاول إثبات أن مساحة المربع DECA تساوي مساحة المستطيل AHJK. وللقيام بذلك، سنستخدم ملاحظة مساعدة: مساحة المثلث الذي له نفس الارتفاع والقاعدة المستطيل المعطىأي ما يعادل نصف مساحة المستطيل المحدد. وهذا نتيجة لتحديد مساحة المثلث بأنها نصف حاصل ضرب القاعدة والارتفاع. ويترتب على هذه الملاحظة أن مساحة المثلث ACK تساوي مساحة المثلث AHK (غير موضح في الشكل)، والتي بدورها تساوي نصف مساحة المستطيل AHJK.

لنثبت الآن أن مساحة المثلث ACK تساوي أيضًا نصف مساحة المربع DECA. الشيء الوحيد الذي يجب القيام به لهذا هو إثبات تساوي المثلثات ACK و BDA (نظرًا لأن مساحة المثلث BDA تساوي نصف مساحة المربع وفقًا للخاصية المذكورة أعلاه). وهذه المساواة واضحة، فالمثلثان متساويان في الضلعين والزاوية بينهما. وهي - AB=AK,AD=AC - من السهل إثبات تساوي الزوايا CAK و BAD بطريقة الحركة: نقوم بتدوير المثلث CAK 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة، فمن الواضح أن الجوانب المقابلة للمثلثين في سيتزامن السؤال (نظرًا لأن الزاوية عند رأس المربع 90 درجة).

إن سبب تساوي مساحة المربع BCFG والمستطيل BHJI متشابه تمامًا.

وبذلك أثبتنا أن مساحة المربع المبني على الوتر يتكون من مساحات المربعات المبنية على الساقين. يتم توضيح الفكرة وراء هذا الدليل بشكل أكبر من خلال الرسوم المتحركة أعلاه.

إثبات ليوناردو دافنشي

إثبات ليوناردو دافنشي

العناصر الرئيسية للإثبات هي التماثل والحركة.

دعونا ننظر في الرسم، كما يتبين من التماثل، قطعة جأنايقطع المربع أبحج إلى جزأين متطابقين (بما في ذلك المثلثات أبجو جحأنامتساوون في البناء). وبتدوير 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة، نرى تساوي الأشكال المظللة جأجأنا و زدأب . الآن أصبح من الواضح أن مساحة الشكل الذي قمنا بتظليله تساوي مجموع نصف مساحات المربعات المبنية على الأرجل ومساحة المثلث الأصلي. وفي المقابل، فهو يساوي نصف مساحة المربع المبني على الوتر، بالإضافة إلى مساحة المثلث الأصلي. الخطوة الأخيرة في الإثبات تُترك للقارئ.

الإثبات بالطريقة المتناهية الصغر

غالبًا ما يُنسب الدليل التالي باستخدام المعادلات التفاضلية إلى عالم الرياضيات الإنجليزي الشهير هاردي، الذي عاش في النصف الأول من القرن العشرين.

النظر إلى الرسم الموضح في الشكل وملاحظة التغير في جانبه أيمكننا كتابة العلاقة التالية للزيادات الجانبية المتناهية الصغر معو أ(باستخدام تشابه المثلث):

الإثبات بالطريقة المتناهية الصغر

وباستخدام طريقة الفصل بين المتغيرات نجد

أكثر التعبير العاملتغيير الوتر في حالة زيادات كلا الساقين

التكامل معادلة معينةواستخدام الشروط الأولية، نحن نحصل

ج 2 = أ 2 + ب 2 + ثابت.

وبذلك نصل إلى الإجابة المطلوبة

ج 2 = أ 2 + ب 2 .

كم هو سهل أن نرى الاعتماد التربيعييظهر في الصيغة النهائية بفضل التناسب الخطيبين أضلاع المثلث والزيادات، في حين يرتبط المجموع بمساهمات مستقلة من زيادة الأرجل المختلفة.

ويمكن الحصول على دليل أبسط إذا افترضنا أن إحدى الساقين لا تشهد زيادة (في هذه الحالة، الساق ب). ثم للحصول على ثابت التكامل نحصل عليه

الاختلافات والتعميمات

• إذا قمنا بدلاً من المربعات ببناء أشكال أخرى مماثلة على الجوانب، فإن التعميم التالي لنظرية فيثاغورس يكون صحيحًا: في المثلث القائم الزاوية، مجموع مساحات الأشكال المتشابهة المبنية على الجوانب يساوي مساحة الشكل المبني على الوتر.بخاصة:
  • مجموع مساحات المثلثات المنتظمة المبنية على أضلاعها يساوي مساحتها مثلث منتظم، مبنية على الوتر.
  • مجموع مساحات نصف الدائرة المبنية على الأرجل (كما هو الحال على القطر) يساوي مساحة نصف الدائرة المبنية على الوتر. يستخدم هذا المثال لإثبات خواص الأشكال المحصورة بين أقواس دائرتين وتسمى هلال أبقراط.

قصة

تشو باي 500-200 ق.م. على اليسار يوجد نقش: مجموع مربعي طولي الارتفاع والقاعدة هو مربع طول الوتر.

يتحدث عنه الكتاب الصيني القديم Chu-pei مثلث فيثاغورسبالأوجه 3 و 4 و 5: في نفس الكتاب يقترح رسم يتطابق مع إحدى رسومات الهندسة الهندوسية لبشارة.

يعتقد كانتور (أعظم مؤرخ ألماني للرياضيات) أن المساواة 3² + 4² = 5² كانت معروفة لدى المصريين حوالي عام 2300 قبل الميلاد. أي في عهد الملك أمنمحات الأول (حسب البردية رقم 6619 بمتحف برلين). وفقًا كانتور، قامت الهاربيدونابتس، أو "ساحبات الحبال"، ببناء زوايا قائمة باستخدام مثلثات قائمة بأضلاع 3 و4 و5.

من السهل جدًا إعادة إنتاج طريقة البناء الخاصة بهم. لنأخذ حبلًا طوله 12 مترًا ونربط به شريطًا ملونًا على مسافة 3 أمتار. من أحد الطرفين و 4 أمتار من الطرف الآخر. سيتم وضع الزاوية القائمة بين الجانبين بطول 3 و 4 أمتار. يمكن الاعتراض على Harpedonaptians بأن أسلوبهم في البناء يصبح غير ضروري إذا استخدمنا، على سبيل المثال، مربعًا خشبيًا يستخدمه جميع النجارين. وبالفعل فإن الرسومات المصرية معروفة حيث توجد مثل هذه الأداة، على سبيل المثال الرسومات التي تصور ورشة نجارة.

يُعرف المزيد عن نظرية فيثاغورس بين البابليين. وفي أحد النصوص يعود تاريخه إلى زمن حمورابي، أي إلى عام 2000 قبل الميلاد. على سبيل المثال، يتم إعطاء حساب تقريبي لوتر المثلث القائم الزاوية. من هذا يمكننا أن نستنتج أنه في بلاد ما بين النهرين كانوا قادرين على إجراء العمليات الحسابية باستخدام المثلثات القائمة، على الأقل في بعض الحالات. واستنادًا، من ناحية، إلى المستوى الحالي للمعرفة بالرياضيات المصرية والبابلية، ومن ناحية أخرى، إلى دراسة نقدية للمصادر اليونانية، توصل فان دير وايردن (عالم الرياضيات الهولندي) إلى النتيجة التالية:

الأدب

بالروسية

• سكوبيتس ز.أ.المنمنمات الهندسية. م، 1990
• إلينسكي ش.على خطى فيثاغورس. م، 1961
• فان دير وايردن بي.إل.علم الصحوة. رياضيات مصر القديمة وبابل واليونان. م، 1959
• جليزر جي.تاريخ الرياضيات في المدرسة. م، 1982
• و. ليتسمان، "نظرية فيثاغورس" م، 1960.
  • موقع عن نظرية فيثاغورس يحتوي على عدد كبير من البراهين، مادة مأخوذة من كتاب ف. ليتسمان، رقم ضخميتم تقديم الرسومات في شكل ملفات رسومية منفصلة.
• نظرية فيثاغورس وثلاثيات فيثاغورس فصل من كتاب د. ف. أنوسوف "نظرة إلى الرياضيات وشيء منها"
• حول نظرية فيثاغورس وطرق إثباتها ج. جلاسر، الأكاديمي في الأكاديمية الروسية للتعليم، موسكو

باللغة الإنجليزية

• نظرية فيثاغورس في WolframMathWorld
• قطع العقدة، قسم حول نظرية فيثاغورس، حوالي 70 برهانًا ومعلومات إضافية واسعة النطاق (الإنجليزية)

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

نظرية فيثاغورس

مصير النظريات والمسائل الأخرى غريب... كيف نفسر، على سبيل المثال، مثل هذا الاهتمام الاستثنائي من جانب علماء الرياضيات ومحبي الرياضيات لنظرية فيثاغورس؟ لماذا لم يكن الكثير منهم راضين بالفعل؟ الأدلة المعروفةلكنهم وجدوا دليلهم الخاص، مما رفع كمية الأدلة إلى عدة مئات على مدى خمسة وعشرين قرنا متوقعا نسبيا؟
متى نحن نتحدث عنوفيما يتعلق بنظرية فيثاغورس، فإن الشيء غير المعتاد يبدأ باسمها. ويعتقد أن فيثاغورس لم يكن أول من صاغها. ومن المشكوك فيه أيضًا أنه قدم دليلاً على ذلك. إذا فيثاغورس - الوجه الحقيقي(حتى أن البعض يشك في هذا!) ، فمن المرجح أنه عاش في القرنين السادس والخامس. قبل الميلاد ه. هو نفسه لم يكتب أي شيء، ودعا نفسه فيلسوفا، وهو ما يعني، في فهمه، "السعي إلى الحكمة"، وأسس اتحاد فيثاغورس، الذي درس أعضاؤه الموسيقى والجمباز والرياضيات والفيزياء وعلم الفلك. ومن الواضح أنه كان أيضًا خطيبًا ممتازًا، كما يتضح من الأسطورة التالية المتعلقة بإقامته في مدينة كروتوني: "بدأ أول ظهور لفيثاغورس أمام الناس في كروتوني بخطاب أمام الشباب، حيث كان كذلك صارمة، ولكن في الوقت نفسه، حددت واجبات الشباب بشكل رائع، وطلب شيوخ المدينة عدم تركهم دون تعليمات. وأشار في خطابه الثاني إلى الشرعية ونقاء الأخلاق كأساس للأسرة. وفي السنتين التاليتين خاطب الأطفال والنساء. عاقبة الخطاب الأخير"، الذي أدان فيه الترف بشكل خاص، هو أنه تم تسليم آلاف الفساتين الثمينة إلى معبد هيرا، إذ لم تعد امرأة واحدة تجرؤ على الظهور بها في الشارع بعد الآن..." ومع ذلك، حتى في القرن الثاني الميلادي، أي. وبعد 700 عام، عاشوا وعملوا بشكل جيد. اشخاص حقيقيون، علماء غير عاديين تأثروا بشكل واضح بتحالف فيثاغورس والذين يكنون احترامًا كبيرًا لما خلقه فيثاغورس وفقًا للأسطورة.
وليس هناك شك أيضًا في أن الاهتمام بالنظرية ناتج أيضًا عن حقيقة أنها تحتل أحد الأماكن المركزية، ورضا أصحاب الأدلة الذين تغلبوا على الصعوبات التي قالها الشاعر الروماني كوينتوس هوراس فلاكوس الذي عاش قبل عصرنا: “من الصعب التعبير عن حقائق معروفة”.
في البداية، أثبتت النظرية العلاقة بين مساحات المربعات المبنية على الوتر وأرجل المثلث القائم:
.
الصيغة الجبرية:
في المثلث القائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي أطوال الساقين.
وهذا يعني أن طول وتر المثلث بـ c، وأطوال الأرجل بـ a و b: a 2 + b 2 = c 2. كلتا صيغتي النظرية متكافئتان، لكن الصيغة الثانية أكثر أولية؛ فهي لا تتطلب مفهوم المساحة. أي أنه يمكن التحقق من العبارة الثانية دون معرفة أي شيء عن المساحة، وبقياس أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية فقط.
نظرية فيثاغورس العكسية. لكل ثلاثة أرقام إيجابيةأ، ب، ج، هكذا
أ 2 + ب 2 = ج 2، يوجد مثلث قائم الزاوية بأرجله أ و ب والوتر ج.

دليل

حاليًا، تم تسجيل 367 دليلًا على هذه النظرية في الأدبيات العلمية. من المحتمل أن نظرية فيثاغورس هي النظرية الوحيدة التي تحتوي على هذا العدد الهائل من البراهين. لا يمكن تفسير هذا التنوع إلا من خلال الأهمية الأساسية للنظرية في الهندسة.
وبطبيعة الحال، من الناحية النظرية يمكن تقسيم كل منهم إلى عدد صغير من الطبقات. وأشهرها: البراهين بطريقة المساحة، والبراهين البديهية والغريبة (على سبيل المثال، استخدام المعادلات التفاضلية).

من خلال مثلثات مماثلة

البرهان التالي للصياغة الجبرية هو أبسط البراهين، وقد تم إنشاؤه مباشرة من البديهيات. على وجه الخصوص، فإنه لا يستخدم مفهوم مساحة الشكل.
اجعل ABC مثلثًا قائمًا بزاوية قائمة C. ارسم الارتفاع من C ورمز إلى قاعدته بـ H. المثلث ACH يشبه المثلث ABC عند زاويتين.
وبالمثل، فإن المثلث CBH يشبه ABC. من خلال إدخال التدوين

نحن نحصل

ما يعادل

بإضافة ذلك، نحصل على

أو

البراهين باستخدام طريقة المنطقة

البراهين أدناه، على الرغم من بساطتها الظاهرة، ليست بهذه البساطة على الإطلاق. جميعهم يستخدمون خصائص المساحة، والتي يكون إثباتها أكثر تعقيدًا من إثبات نظرية فيثاغورس نفسها.

إثبات عن طريق التكامل

1. ضع أربعة مثلثات متساوية الزاوية كما هو موضح في الشكل.
2. الشكل الرباعي الذي أضلاعه ج هو مربع، حيث أن مجموع زاويتين حادتين هو 90 درجة، والزاوية المستقيمة هي 180 درجة.
3. مساحة الشكل بأكمله تساوي من ناحية مساحة المربع الذي ضلعه (أ + ب) ومن ناحية أخرى مجموع مساحات أربعة مثلثات و الساحة الداخلية.



Q.E.D.

البراهين من خلال التكافؤ

يظهر مثال على أحد هذه الأدلة في الرسم الموجود على اليمين، حيث يتم إعادة ترتيب المربع المبني على الوتر إلى مربعين مبنيين على الساقين.

برهان اقليدس

فكرة برهان إقليدس هي كما يلي: دعونا نحاول أن نثبت أن نصف مساحة المربع المبني على الوتر يساوي مجموع مساحات نصف المربعين المبنيين على الساقين، ثم مساحات المربعان الكبيران والمربعان الصغيران متساويان. دعونا نلقي نظرة على الرسم على اليسار. قمنا ببناء مربعات على جوانب المثلث القائم ورسمنا شعاعًا من قمة الزاوية القائمة C عموديًا على الوتر AB، وهو يقطع مربع ABIK، المبني على الوتر، إلى مستطيلين - BHJI وHAKJ، على التوالى. وتبين أن مساحات هذه المستطيلات تساوي تمامًا مساحات المربعات المبنية على الأرجل المقابلة لها. دعونا نحاول إثبات أن مساحة المربع DECA تساوي مساحة المستطيل AHJK. وللقيام بذلك، سنستخدم ملاحظة مساعدة: مساحة المثلث الذي له نفس الارتفاع والقاعدة المستطيل المعطى يساوي نصف مساحة المستطيل المعطى. وهذا نتيجة لتحديد مساحة المثلث بأنها نصف حاصل ضرب القاعدة والارتفاع. ويترتب على هذه الملاحظة أن مساحة المثلث ACK تساوي مساحة المثلث AHK (غير موضح في الشكل)، والتي بدورها تساوي نصف مساحة المستطيل AHJK. لنثبت الآن أن مساحة المثلث ACK تساوي أيضًا نصف مساحة المربع DECA. الشيء الوحيد الذي يجب القيام به لهذا هو إثبات تساوي المثلثات ACK و BDA (نظرًا لأن مساحة المثلث BDA تساوي نصف مساحة المربع وفقًا للخاصية المذكورة أعلاه). وهذه المساواة واضحة، فالمثلثان متساويان في الضلعين والزاوية بينهما. وهي - AB=AK,AD=AC - من السهل إثبات تساوي الزوايا CAK و BAD بطريقة الحركة: نقوم بتدوير المثلث CAK 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة، فمن الواضح أن الجوانب المقابلة للمثلثين في سيتزامن السؤال (نظرًا لأن الزاوية عند رأس المربع 90 درجة). إن سبب تساوي مساحة المربع BCFG والمستطيل BHJI متشابه تمامًا. وبذلك أثبتنا أن مساحة المربع المبني على الوتر يتكون من مساحات المربعات المبنية على الساقين.

إثبات ليوناردو دافنشي

العناصر الرئيسية للإثبات هي التماثل والحركة.

دعونا نفكر في الرسم، كما يتبين من التماثل، فإن القطعة CI تقطع المربع ABHJ إلى جزأين متطابقين (بما أن مثلثات ABCوJHI متساويان في البناء). وباستخدام الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة بمقدار 90 درجة، نرى تساوي الأشكال المظللة CAJI وGDAB. الآن أصبح من الواضح أن مساحة الشكل الذي قمنا بتظليله تساوي مجموع نصف مساحات المربعات المبنية على الأرجل ومساحة المثلث الأصلي. وفي المقابل، فهو يساوي نصف مساحة المربع المبني على الوتر، بالإضافة إلى مساحة المثلث الأصلي. الخطوة الأخيرة في الإثبات تُترك للقارئ.

مستوى متوسط

مثلث قائم. الدليل المصور الكامل (2019)

مثلث قائم. مستوى اول.

في المشاكل، الزاوية اليمنى ليست ضرورية على الإطلاق - الزاوية اليسرى السفلية، لذلك عليك أن تتعلم كيفية التعرف على المثلث الأيمن في هذا النموذج،

وفي هذا

وفي هذا

ما الجيد في المثلث القائم الزاوية؟ حسنًا... أولاً وقبل كل شيء، هناك أشياء خاصة أسماء جميلةلجوانبه.

الاهتمام بالرسم!

تذكر ولا تخلط: هناك ساقان، ويوجد وتر واحد فقط(الواحد والوحيد والفريد والأطول)!

حسنًا، لقد ناقشنا الأسماء، والآن أهم شيء: نظرية فيثاغورس.

نظرية فيثاغورس.

هذه النظرية هي المفتاح لحل العديد من المسائل المتعلقة بالمثلث القائم الزاوية. أثبت فيثاغورس ذلك تماما زمن سحيقومنذ ذلك الحين جلبت الكثير من الفوائد لمن يعرفها. وأفضل ما في الأمر هو أنه بسيط.

لذا، نظرية فيثاغورس:

هل تتذكر النكتة: "سراويل فيثاغورس متساوية من جميع الجوانب!"؟

دعونا نرسم نفس سراويل فيثاغورس وننظر إليها.

ألا يبدو وكأنه نوع من السراويل القصيرة؟ حسنا، على أي الجانبين وأين هم متساوون؟ لماذا وأين جاءت النكتة؟ وترتبط هذه النكتة على وجه التحديد بنظرية فيثاغورس، أو بشكل أكثر دقة بالطريقة التي صاغ بها فيثاغورس نفسه نظريته. و صيغها هكذا:

"مجموع مناطق المربعات، مبني على الساقين، يساوي منطقة مربعة، مبنية على الوتر."

هل يبدو الأمر مختلفًا حقًا؟ وهكذا، عندما رسم فيثاغورس بيان نظريته، كانت هذه هي الصورة التي ظهرت بالضبط.

في هذه الصورة مجموع مساحات المربعات الصغيرة يساوي مساحة المربع الكبير. ولكي يتذكر الأطفال بشكل أفضل أن مجموع مربعات الساقين يساوي مربع الوتر، جاء شخص ذكي بهذه النكتة حول سراويل فيثاغورس.

لماذا نقوم الآن بصياغة نظرية فيثاغورس؟

هل عانى فيثاغورس وتحدث عن المربعات؟

كما ترون، في العصور القديمة لم يكن هناك... الجبر! لم تكن هناك علامات وما إلى ذلك. لم تكن هناك نقوش. هل يمكنك أن تتخيل كم كان فظيعًا أن يتذكر الطلاب القدماء الفقراء كل شيء بالكلمات؟؟! ويمكننا أن نبتهج بأن لدينا صياغة بسيطة لنظرية فيثاغورس. دعونا نكررها مرة أخرى لنتذكرها بشكل أفضل:

يجب أن يكون الأمر سهلاً الآن:

مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الساقين.

حسنًا، لقد تمت مناقشة أهم نظرية حول المثلثات القائمة. إذا كنت مهتمًا بكيفية إثبات ذلك، فاقرأ المستويات التالية من النظرية، والآن دعنا ننتقل إلى... إلى الغابة المظلمة... علم المثلثات! إلى الكلمات الرهيبة الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام.

جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام في مثلث قائم الزاوية.

في الواقع، كل شيء ليس مخيفا على الإطلاق. بالطبع، ينبغي النظر في التعريف "الحقيقي" للجيب وجيب التمام والظل وظل التمام في المقالة. لكنني حقاً لا أريد ذلك، أليس كذلك؟ يمكننا أن نبتهج: لحل المسائل المتعلقة بالمثلث القائم الزاوية، يمكنك ببساطة ملء الأشياء البسيطة التالية:

لماذا كل شيء على وشك الزاوية؟ أين الزاوية؟ لكي تفهم هذا، عليك أن تعرف كيف تتم كتابة العبارات من 1 إلى 4 بالكلمات. انظر وافهم وتذكر!

1.
في الواقع يبدو الأمر كالتالي:

ماذا عن الزاوية؟ هل هناك ساق مقابلة للزاوية، أي ساق مقابلة (للزاوية)؟ بالطبع! هذه ساق!

ماذا عن الزاوية؟ انظر بحذر. أي ساق مجاورة للزاوية؟ بالطبع الساق. وهذا يعني أنه بالنسبة للزاوية فإن الساق مجاورة، و

الآن، انتبه! انظروا ماذا حصلنا:

انظر كم هو رائع:

الآن دعنا ننتقل إلى الظل وظل التمام.

كيف يمكنني أن أكتب هذا بالكلمات الآن؟ ما هي الساق بالنسبة للزاوية؟ على العكس من ذلك، بالطبع - "يقع" مقابل الزاوية. ماذا عن الساق؟ بجوار الزاوية. اذا على ماذا حصلنا؟

هل ترى كيف تبادل البسط والمقام مكانيهما؟

والآن الزوايا مرة أخرى وقمت بالتبادل:

ملخص

دعونا نكتب بإيجاز كل ما تعلمناه.

نظرية فيثاغورس:

النظرية الرئيسية حول المثلثات القائمة هي نظرية فيثاغورس.

نظرية فيثاغورس

بالمناسبة، هل تتذكر جيدًا ما هي الأرجل والوتر؟ إذا لم تكن جيدة جدًا، فانظر إلى الصورة - قم بتحديث معرفتك

من الممكن أن تكون قد استخدمت نظرية فيثاغورس عدة مرات بالفعل، لكن هل تساءلت يومًا عن سبب صحة هذه النظرية؟ كيف لي أن أثبث ذلك؟ دعونا نفعل مثل اليونانيين القدماء. لنرسم مربعًا له جانب.

انظر كيف قسمنا جوانبها بذكاء إلى أطوال و!

الآن دعونا نربط النقاط المحددة

ومع ذلك، فقد لاحظنا شيئًا آخر، لكنك تنظر بنفسك إلى الرسم وتفكر في سبب حدوث ذلك.

ما هي المساحة تساوي؟ مربع أكبر؟ يمين، . ماذا عن منطقة أصغر؟ بالتأكيد، . تبقى المساحة الإجمالية للزوايا الأربع. تخيل أننا أخذناهما اثنين في كل مرة ووضعناهما على بعضهما البعض باستخدام الوتر. ماذا حدث؟ مستطيلين. وهذا يعني أن مساحة "القطع" متساوية.

دعونا نجمع كل ذلك معًا الآن.

دعونا تحويل:

لذلك قمنا بزيارة فيثاغورس - وأثبتنا نظريته بطريقة قديمة.

المثلث الأيمن وعلم المثلثات

في المثلث القائم تكون العلاقات التالية:

التجويف زاوية حادة يساوي النسبة الجانب المعاكسإلى الوتر

جيب تمام الزاوية الحادة يساوي النسبة الساق المجاورةإلى الوتر.

ظل الزاوية الحادة يساوي نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور.

ظل التمام للزاوية الحادة يساوي نسبة الضلع المجاور إلى الضلع المقابل.

ومرة أخرى كل هذا على شكل جهاز لوحي:

أنها مريحة جداً!

علامات المساواة في المثلثات القائمة

I. على الجانبين

ثانيا. بواسطة الساق والوتر

ثالثا. بواسطة الوتر والزاوية الحادة

رابعا. على طول الساق والزاوية الحادة

أ)

ب)

انتباه! من المهم جدًا هنا أن تكون الأرجل "مناسبة". على سبيل المثال، إذا سارت الأمور على النحو التالي:

إذن المثلثان ليسا متساويينبالرغم من أن لهما زاوية حادة واحدة.

بحاجة ل في كلا المثلثين كانت الساق متجاورة، أو في كليهما كانت متقابلة.

هل لاحظت كيف تختلف علامات تساوي المثلثات القائمة عن علامات تساوي المثلثات المعتادة؟ ألقِ نظرة على الموضوع “وانتبه إلى أنه لكي تكون المثلثات “العادية” متساوية، يجب أن تكون ثلاثة من عناصرها متساوية: الضلعان والزاوية بينهما، أو الزاويتان والضلع بينهما، أو ثلاثة أضلاع. ولكن بالنسبة للمساواة في المثلثات القائمة، فإن عنصرين متناظرين فقط يكفيان. عظيم، أليس كذلك؟

الوضع هو نفسه تقريبًا مع علامات تشابه المثلثات القائمة.

علامات تشابه المثلثات القائمة

I. على طول زاوية حادة

ثانيا. على الجانبين

ثالثا. بواسطة الساق والوتر

الوسيط في المثلث الأيمن

لماذا هو كذلك؟

بدلاً من المثلث القائم، فكر في مستطيل كامل.

لنرسم قطريًا ونفكر في نقطة - نقطة تقاطع القطرين. ماذا تعرف عن أقطار المستطيل؟

وماذا يتبع من هذا؟

لذلك اتضح ذلك

1. - الوسيط:

تذكر هذه الحقيقة! يساعد كثيرا!

والأكثر إثارة للدهشة هو أن العكس هو الصحيح أيضًا.

ما الفائدة التي يمكن الحصول عليها من حقيقة أن الوسيط المرسوم على الوتر يساوي نصف الوتر؟ دعونا ننظر إلى الصورة

انظر بحذر. لدينا: أي أن المسافات من النقطة إلى القمم الثلاثة للمثلث متساوية. ولكن هناك نقطة واحدة فقط في المثلث، والمسافات التي منها جميع القمم الثلاثة للمثلث متساوية، وهذا هو مركز الدائرة. اذا ماذا حصل؟

لذلك دعونا نبدأ مع هذا "إلى جانب ...".

دعونا ننظر إلى و.

لكن المثلثات المتشابهة جميعها لها زوايا متساوية!

ويمكن قول الشيء نفسه عن و

الآن دعونا نرسمها معًا:

ما الفائدة التي يمكن استخلاصها من هذا التشابه "الثلاثي"؟

حسنا، على سبيل المثال - صيغتان لارتفاع المثلث الأيمن.

دعونا نكتب علاقات الأطراف المقابلة:

للعثور على الارتفاع، نحل النسبة ونحصل عليها الصيغة الأولى "الارتفاع في المثلث الأيمن":

لذلك دعونا نطبق التشابه : .

ماذا سيحدث الان؟

مرة أخرى نحل النسبة ونحصل على الصيغة الثانية:

عليك أن تتذكر هاتين الصيغتين جيدًا وأن تستخدم الصيغة الأكثر ملاءمة. دعونا نكتبها مرة أخرى

نظرية فيثاغورس:

في المثلث القائم الزاوية، مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الساقين: .

علامات المساواة في المثلثات القائمة:

• على الجانبين:
• بالساق والوتر: أو
• على طول الساق والزاوية الحادة المجاورة: أو
• على طول الساق والزاوية الحادة المقابلة: أو
• بواسطة الوتر والزاوية الحادة: أو.

علامات تشابه المثلثات القائمة:

• زاوية حادة واحدة: أو
• من تناسب الساقين:
• من تناسب الساق والوتر: أو.

جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام في مثلث قائم الزاوية

• جيب الزاوية الحادة للمثلث القائم هو نسبة الضلع المقابل إلى الوتر:
• جيب تمام الزاوية الحادة للمثلث القائم هو نسبة الساق المجاورة إلى الوتر:
• ظل الزاوية الحادة للمثلث القائم هو نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور:
• ظل تمام الزاوية الحادة للمثلث القائم هو نسبة الضلع المجاور إلى الضلع المقابل: .

ارتفاع المثلث القائم: أو.

في المثلث القائم، الوسيط المرسوم من رأس الزاوية القائمة يساوي نصف الوتر: .

مساحة المثلث القائم:

• عبر الساقين: