المثلث هو شكل هندسي يتكون من ثلاثة خطوط مستقيمة متصلة في نقاط لا تقع على نفس الخط المستقيم. نقاط اتصال الخطوط هي رؤوس المثلث، والتي تم تحديدها بأحرف لاتينية(على سبيل المثال أ، ب، ج). تسمى الخطوط المستقيمة التي تربط المثلث بالقطاعات، والتي يُشار إليها عادةً أيضًا بأحرف لاتينية. يميز الأنواع التاليةمثلثات:

• مستطيلي.
• منفرج الزاوية.
• الزاوي الحاد.
• متنوع القدرات.
• متساوي الاضلاع.
• متساوي الساقين.

الصيغ العامة لحساب مساحة المثلث

صيغة مساحة المثلث على أساس الطول والارتفاع

ق = أ*ح/2،
حيث a هو طول ضلع المثلث المطلوب إيجاد مساحته، h هو طول الارتفاع المرسوم على القاعدة.

صيغة هيرون

S=√ص*(ص-أ)*(ص-ب)*(ص-ج),
حيث √ هو الجذر التربيعي، p هو نصف محيط المثلث، a,b,c هو طول كل ضلع من أضلاع المثلث. يمكن حساب نصف محيط المثلث باستخدام الصيغة p=(a+b+c)/2.

صيغة مساحة المثلث بناءً على زاوية وطول القطعة

S = (أ*ب*الخطيئة(α))/2،
أين ب، ج هوطول أضلاع المثلث، sin(α) هو جيب الزاوية المحصورة بين الجانبين.

صيغة مساحة المثلث بمعلومية نصف قطر الدائرة المنقوشة وثلاثة أضلاع

ق = ص * ص،
حيث p هو نصف محيط المثلث الذي يجب إيجاد مساحته، و r هو نصف قطر الدائرة الموضحة في هذا المثلث.

صيغة مساحة المثلث مبنية على ثلاثة أضلاع ونصف قطر الدائرة المحيطة به

ص= (أ*ب*ج)/4*ر،
حيث a,b,c هو طول كل ضلع من أضلاع المثلث، و R هو نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث.

صيغة لمنطقة المثلث باستخدام الإحداثيات الديكارتية للنقاط

الإحداثيات الديكارتية للنقاط هي إحداثيات في نظام xOy، حيث x هي الإحداثيات، وy هي الإحداثيات. النظام الديكارتيتسمى إحداثيات xOy على المستوى بالمحاور العددية المتعامدة بشكل متبادل Ox وOy مع بداية مشتركةالنقطة المرجعية عند النقطة O. إذا كانت إحداثيات النقاط على هذا المستوى معطاة بالشكل A(x1, y1) وB(x2, y2) وC(x3, y3)، فيمكنك حساب مساحة النقطة المرجعية عند النقطة O. المثلث باستخدام الصيغة التالية، والتي يتم الحصول عليها من منتج ناقلاتاثنين من المتجهات.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
حيث || لتقف على الوحدة النمطية.

كيفية العثور على مساحة المثلث الأيمن

المثلث القائم هو مثلث ذو زاوية واحدة قياسها 90 درجة. يمكن أن يحتوي المثلث على زاوية واحدة فقط.

صيغة لمنطقة المثلث القائم على الجانبين

ق = أ*ب/2،
حيث a,b هو طول الساقين. الأرجل هي الجوانب المجاورة للزاوية القائمة.

صيغة مساحة المثلث القائم على أساس الوتر والزاوية الحادة

S = أ*ب*الخطيئة(α)/ 2،
حيث a، b هما أرجل المثلث، وsin(α) هو جيب الزاوية التي يتقاطع عندها الخطان a، b.

صيغة مساحة المثلث القائم على أساس الضلع والزاوية المقابلة

S = أ*ب/2*تيراغرام(β)،
حيث a، b هي أرجل المثلث، tan(β) هو ظل الزاوية التي تتصل بها الأرجل a، b.

كيفية حساب مساحة المثلث متساوي الساقين

المثلث متساوي الساقين هو الذي له ضلعان متساويان. تسمى هذه الجوانب الجوانب، والجانب الآخر هو القاعدة. لحساب مساحة مثلث متساوي الساقين، يمكنك استخدام إحدى الصيغ التالية.

الصيغة الأساسية لحساب مساحة المثلث متساوي الساقين

ص=ح*ج/2،
حيث c هي قاعدة المثلث، h هو ارتفاع المثلث المنخفض إلى القاعدة.

صيغة مثلث متساوي الساقين على أساس الجانب والقاعدة

S=(ج/2)* √(أ*أ – ج*ج/4),
حيث c هي قاعدة المثلث، و a هو حجم أحد أضلاع المثلث متساوي الساقين.

كيفية العثور على مساحة مثلث متساوي الأضلاع

المثلث متساوي الأضلاع هو مثلث تكون جميع أضلاعه متساوية. لحساب المساحة مثلث متساوي الاضلاعيمكنك استخدام الصيغة التالية:
س = (√3*أ*أ)/4,
حيث a هو طول ضلع المثلث متساوي الأضلاع.

ستسمح لك الصيغ المذكورة أعلاه بحساب المساحة المطلوبة للمثلث. من المهم أن تتذكر أنه لحساب مساحة المثلثات، عليك أن تأخذ في الاعتبار نوع المثلث والبيانات المتاحة التي يمكن استخدامها في الحساب.

كما يمكنك أن تتذكر من المنهج المدرسيوفقا للهندسة، المثلث هو شكل يتكون من ثلاثة أجزاء متصلة بثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط المستقيم. يشكل المثلث ثلاث زوايا، ومن هنا جاء اسم الشكل. قد يكون التعريف مختلفا. يمكن أيضًا تسمية المثلث بمضلع بثلاث زوايا، وستكون الإجابة صحيحة أيضًا. يتم تقسيم المثلثات حسب عدد الأضلاع المتساوية وحجم الزوايا في الأشكال. وهكذا، يتم تمييز المثلثات على أنها متساوية الساقين، ومتساوية الأضلاع، ومختلف الأضلاع، وكذلك مستطيلة، وحادة، ومنفرجة، على التوالي.

هناك الكثير من الصيغ لحساب مساحة المثلث. اختر كيفية العثور على مساحة المثلث، أي. ما هي الصيغة التي ستستخدمها متروك لك. ولكن تجدر الإشارة فقط إلى بعض الرموز المستخدمة في العديد من الصيغ لحساب مساحة المثلث. لذلك تذكر:

S هي مساحة المثلث

أ، ب، ج هي أضلاع المثلث،

ح هو ارتفاع المثلث،

R هو نصف قطر الدائرة المقيدة،

p هو نصف المحيط.

فيما يلي الرموز الأساسية التي قد تكون مفيدة لك إذا نسيت دورة الهندسة تمامًا. وفيما يلي الأكثر مفهومة وليس خيارات معقدةحساب المساحة المجهولة والغامضة للمثلث. إنه ليس بالأمر الصعب وسيكون مفيدًا لاحتياجاتك المنزلية ولمساعدة أطفالك. دعونا نتذكر كيفية حساب مساحة المثلث بسهولة قدر الإمكان:

في حالتنا مساحة المثلث هي: S = ½ * 2.2 سم * 2.5 سم = 2.75 سم مربع. تذكر أن المساحة تقاس بـ سنتيمترات مربعة(سم مربع).

المثلث القائم ومساحته.

المثلث القائم هو مثلث فيه زاوية واحدة تساوي 90 درجة (وبالتالي تسمى قائمة). تتكون الزاوية القائمة من خطين متعامدين (في حالة المثلث، اثنان عمودي على هذا الجزء). في المثلث القائم لا يمكن أن يكون هناك سوى زاوية قائمة واحدة، لأن... مجموع زوايا أي مثلث واحد يساوي 180 درجة. اتضح أن الزاويتين الأخريين يجب أن تشتركا في الـ 90 درجة المتبقية، على سبيل المثال 70 و 20، 45 و 45، إلخ. لذلك، تتذكر الشيء الرئيسي، كل ما تبقى هو معرفة كيفية العثور على المنطقة مثلث قائم. لنتخيل أن أمامنا مثلثًا قائم الزاوية، وعلينا إيجاد مساحته S.

1. إن أبسط طريقة لتحديد مساحة المثلث القائم الزاوية يتم حسابها باستخدام الصيغة التالية:

في حالتنا مساحة المثلث القائم هي: S = 2.5 سم * 3 سم / 2 = 3.75 سم مربع.

من حيث المبدأ، لم تعد هناك حاجة للتحقق من مساحة المثلث بطرق أخرى، لأن هذا فقط سيكون مفيدًا وسيساعد في الحياة اليومية. ولكن هناك أيضًا خيارات لقياس مساحة المثلث من خلال الزوايا الحادة.

2. بالنسبة لطرق الحساب الأخرى، يجب أن يكون لديك جدول جيب التمام وجيب التمام والظل. احكم بنفسك، إليك بعض الخيارات لحساب مساحة المثلث القائم الذي لا يزال من الممكن استخدامه:

قررنا استخدام الصيغة الأولى مع بعض البقع البسيطة (رسمناها في دفتر واستخدمنا مسطرة ومنقلة قديمتين)، لكننا حصلنا على الحساب الصحيح:

س = (2.5*2.5)/(2*0.9)=(3*3)/(2*1.2). لقد حصلنا على النتائج التالية: 3.6=3.7، ولكن مع الأخذ في الاعتبار تحول الخلايا، يمكننا أن نتسامح مع هذا الفارق الدقيق.

المثلث متساوي الساقين ومساحته.

إذا كنت تواجه مهمة حساب صيغة مثلث متساوي الساقين، فإن أسهل طريقة هي استخدام الصيغة الرئيسية وكيفية حسابها الصيغة الكلاسيكيةمساحة المثلث .

لكن أولاً، قبل إيجاد مساحة المثلث متساوي الساقين، دعونا نتعرف على نوع هذا الشكل. المثلث متساوي الساقين هو مثلث له ضلعان نفس طول. ويسمى هذان الجانبان جانبيًا، ويسمى الجانب الثالث القاعدة. لا تخلط بين مثلث متساوي الساقين ومثلث متساوي الأضلاع، أي. مثلث منتظم جميع أضلاعه الثلاثة متساوية. في مثل هذا المثلث لا توجد ميول خاصة للزوايا، أو بالأحرى لحجمها. ومع ذلك، فإن الزوايا عند القاعدة في المثلث متساوي الساقين متساوية، ولكنها تختلف عن الزاوية الواقعة بينهما جوانب متساوية. إذن، أنت تعرف بالفعل الصيغة الأولى والرئيسية، ويبقى معرفة ما هي الصيغ الأخرى المعروفة لتحديد مساحة المثلث المتساوي الساقين:

المثلث هو واحد من الأكثر شيوعا الأشكال الهندسية، والذي نلتقي فيه بالفعل مدرسة إبتدائية. يواجه كل طالب مسألة كيفية العثور على مساحة المثلث في دروس الهندسة. إذن، ما هي مميزات إيجاد مساحة شكل معين التي يمكن تحديدها؟ في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على الصيغ الأساسية اللازمة لإكمال هذه المهمة، وكذلك تحليل أنواع المثلثات.

أنواع المثلثات

يمكنك العثور على مساحة المثلث تماما طرق مختلفةلأنه في الهندسة يوجد أكثر من نوع من الأشكال التي تحتوي على ثلاث زوايا. تشمل هذه الأنواع:

• منفرج الزاوية.
• متساوي الأضلاع (صحيح).
• مثلث قائم.
• متساوي الساقين.

دعونا نلقي نظرة فاحصة على كل واحد منهم الأنواع الموجودةمثلثات.

يعتبر هذا الشكل الهندسي هو الأكثر شيوعًا عند الحل مشاكل هندسية. عندما يصبح من الضروري الرسم مثلث تعسفي، هذا الخيار يأتي للإنقاذ.

في المثلث الحاد، كما يوحي الاسم، جميع الزوايا حادة ومجموعها يصل إلى 180 درجة.

هذا النوع من المثلثات شائع جدًا أيضًا، ولكنه أقل شيوعًا إلى حد ما من المثلث حاد الزوايا. على سبيل المثال، عند حل المثلثات (أي أن العديد من أضلاعها وزواياها معروفة وتحتاج إلى العثور على العناصر المتبقية)، تحتاج أحيانًا إلى تحديد ما إذا كانت الزاوية منفرجة أم لا. جيب التمام هو رقم سلبي.

ب، تتجاوز قيمة إحدى الزوايا 90 درجة، وبالتالي يمكن أن تأخذ الزاويتان المتبقيتان قيمًا صغيرة (على سبيل المثال، 15 درجة أو حتى 3 درجات).

للعثور على مساحة المثلث من هذا النوع، أنت بحاجة إلى معرفة بعض الفروق الدقيقة التي سنتحدث عنها بعد ذلك.

مثلثات منتظمة ومتساوية الساقين

مضلع منتظمهو شكل يتضمن زوايا n وتكون أضلاعه وزواياه متساوية. هذا هو المثلث المنتظم. بما أن مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة، فإن قياس كل زاوية من الزوايا الثلاث هو 60 درجة.

المثلث المنتظم، بسبب خصائصه، يسمى أيضًا شكل متساوي الأضلاع.

ومن الجدير بالذكر أيضًا أنه يمكن رسم دائرة واحدة فقط في مثلث منتظم، ويمكن وصف دائرة واحدة فقط حولها، وتقع مراكزها في نفس النقطة.

بالإضافة إلى النوع متساوي الأضلاع، يمكن أيضًا تمييز المثلث متساوي الساقين، والذي يختلف قليلاً عنه. في مثل هذا المثلث، يكون الضلعان والزاويتان متساويتان، والضلع الثالث (المجاور له). زوايا متساوية) هي القاعدة.

يوضح الشكل مثلثًا متساوي الساقين DEF، زاويته D وF متساوية وDF هي القاعدة.

مثلث قائم

سمي المثلث القائم بهذا الاسم لأن إحدى زواياه قائمة، أي تساوي 90 درجة. مجموع الزاويتين الأخريين يصل إلى 90 درجة.

أكثر الجانب الكبيرفي هذا المثلث، يكون الوتر الذي يقع مقابل الزاوية 90 درجة، بينما الضلعان المتبقيان هما الأرجل. بالنسبة لهذا النوع من المثلثات، تنطبق نظرية فيثاغورس:

مجموع مربعات أطوال الساقين يساوي مربع طول الوتر.

يوضح الشكل المثلث القائم BAC مع الوتر AC والساقين AB وBC.

للعثور على مساحة مثلث ذو زاوية قائمة، عليك أن تعرف القيم الرقميةساقيه.

دعنا ننتقل إلى الصيغ لإيجاد مساحة شكل معين.

الصيغ الأساسية لإيجاد المنطقة

في الهندسة، هناك صيغتان مناسبتان لإيجاد مساحة معظم أنواع المثلثات، وهما المثلثات الحادة، والمنفرجة، والمنتظمة، ومتساوية الساقين. دعونا ننظر إلى كل واحد منهم.

من الجانب والارتفاع

هذه الصيغةعالمي للعثور على مساحة الشكل الذي ندرسه. للقيام بذلك، يكفي معرفة طول الجانب وطول الارتفاع المرسوم عليه. تبدو الصيغة نفسها (نصف منتج القاعدة والارتفاع). بالطريقة الآتية:

حيث A هو الجانب المثلث المعطىو H هو ارتفاع المثلث.

على سبيل المثال، للعثور على المنطقة مثلث حاد الزوايا ACB، تحتاج إلى ضرب جانبه AB في قرص الارتفاع المضغوط وتقسيم القيمة الناتجة على اثنين.

ومع ذلك، ليس من السهل دائمًا العثور على مساحة المثلث بهذه الطريقة. على سبيل المثال، لاستخدام هذه الصيغة ل مثلث منفرج الزاوية، من الضروري الاستمرار في أحد جوانبه وبعد ذلك فقط رسم ارتفاع له.

في الممارسة العملية، يتم استخدام هذه الصيغة في كثير من الأحيان أكثر من غيرها.

على كلا الجانبين والزاوية

هذه الصيغة، مثل الصيغة السابقة، مناسبة لمعظم المثلثات وفي معناها هي نتيجة لصيغة إيجاد المساحة بجانب وارتفاع المثلث. أي أن الصيغة المعنية يمكن استخلاصها بسهولة من الصيغة السابقة. صيغتها تبدو كالتالي:

S = ½*سينO*A*B,

حيث A وB هما أضلاع المثلث، وO هي الزاوية المحصورة بين الضلعين A وB.

أذكر أنه يمكن رؤية جيب الزاوية في جدول خاص سمي على اسم عالم الرياضيات السوفيتي المتميز V. M. Bradis.

الآن دعنا ننتقل إلى الصيغ الأخرى المناسبة فقط للأنواع الاستثنائية من المثلثات.

مساحة المثلث الأيمن

بالإضافة إلى الصيغة العالمية، والتي تتضمن ضرورة إيجاد الارتفاع في المثلث، يمكن العثور على مساحة المثلث الذي يحتوي على زاوية قائمة من ساقيه.

وبالتالي فإن مساحة المثلث الذي يحتوي على زاوية قائمة هي نصف حاصل ضرب ساقيه، أو:

حيث a و b هما أرجل المثلث القائم الزاوية.

مثلث منتظم

هذا النوعتختلف الأشكال الهندسية في أنه يمكن العثور على مساحتها بالقيمة المشار إليها لجانب واحد فقط (نظرًا لأن جميع الجوانب مثلث منتظممتساوون). لذا، عندما تواجه مهمة "إيجاد مساحة المثلث عندما تكون أضلاعه متساوية"، فأنت بحاجة إلى استخدام الصيغة التالية:

س = أ 2 *√3 / 4،

حيث A هو جانب المثلث متساوي الأضلاع.

صيغة هيرون

الخيار الأخيرللعثور على مساحة المثلث هي صيغة هيرون. من أجل استخدامه، عليك أن تعرف أطوال الجوانب الثلاثة من الشكل. تبدو صيغة هيرون كما يلي:

S = √p·(ع - أ)·(ع - ب)·(ص - ج)،

حيث a وb وc هي أضلاع مثلث معين.

في بعض الأحيان يتم طرح المشكلة: "مساحة المثلث المنتظم هي إيجاد طول جانبه". في في هذه الحالةنحتاج إلى استخدام الصيغة التي نعرفها بالفعل لإيجاد مساحة مثلث منتظم واستخلاص قيمة الجانب (أو مربعه):

أ2 = 4س / √3.

مهام الفحص

هناك العديد من الصيغ في مشاكل GIA في الرياضيات. وبالإضافة إلى ذلك، في كثير من الأحيان يكون من الضروري العثور على مساحة المثلث ورقة متقلب.

في هذه الحالة، يكون من الأنسب رسم الارتفاع على أحد جوانب الشكل وتحديد طوله من الخلايا واستخدامه صيغة عالميةللعثور على المنطقة:

لذلك، بعد دراسة الصيغ المقدمة في المقالة، لن تواجه أي مشاكل في العثور على مساحة المثلث من أي نوع.

من قمة المعاكس) وتقسيم المنتج الناتج على اثنين. هذا يبدو مثل هذا:

ق = ½ * أ * ح،

أين:
س - مساحة المثلث،
a هو طول ضلعه،
h هو الارتفاع الذي تم خفضه إلى هذا الجانب.

يجب تقديم طول الجانب وارتفاعه بنفس وحدات القياس. في هذه الحالة، سيتم الحصول على مساحة المثلث بالوحدات "" المقابلة.

مثال.
على أحد جانبي مثلث مختلف الأضلاع طوله 20 سم، يتم إنزال عمودي من الرأس المقابل طوله 10 سم.
مساحة المثلث مطلوبة .
حل.
ق = ½ * 20 * 10 = 100 (سم²).

إذا كان طول أي ضلعين في مثلث مختلف الأضلاع والزاوية بينهما معروفة، فاستخدم الصيغة:

S = ½ * أ * ب * الخطيئة،

حيث: a، b هما طولا الجانبين، و γ هي الزاوية بينهما.

في الممارسة العملية، على سبيل المثال، عند القياس قطع ارض، يكون استخدام الصيغ المذكورة أعلاه أمرًا صعبًا في بعض الأحيان، لأنه يتطلب إنشاءًا إضافيًا وقياسًا للزوايا.

إذا كنت تعرف أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث المختلف الأضلاع، فاستخدم صيغة هيرون:

S = √(ع(ع-أ)(ص-ب)(ص-ج))،

أ، ب، ج - أطوال أضلاع المثلث،
ص – نصف المحيط: ع = (أ+ب+ج)/2.

إذا كان نصف قطر الدائرة الموضحة في المثلث معروفًا، بالإضافة إلى أطوال جميع أضلاعه، فاستخدم الصيغة المدمجة التالية:

حيث: r - نصف قطر الدائرة المنقوشة (ص - نصف المحيط).

لحساب مساحة مثلث مختلف الأضلاع وطول أضلاعه، استخدم الصيغة:

حيث: R – نصف قطر الدائرة المحدودة.

إذا كنت تعرف طول أحد جوانب المثلث وثلاث زوايا (من حيث المبدأ، اثنتان تكفيان - يتم حساب قيمة الثالثة من تساوي مجموع زوايا المثلث الثلاث - 180 درجة)، ثم استخدم الصيغة:

S = (أ² * الخطيئة β * الخطيئة γ) / 2 الخطيئة α،

حيث α هي الكمية الجانب المعاكسزاوية؛
β, γ – قيم الزاويتين المتبقيتين للمثلث.

الحاجة إلى العثور عليها عناصر مختلفة، بما في ذلك المناطق مثلثظهرت عدة قرون قبل الميلاد علماء الفلك اليونان القديمة. مربع مثلثيمكن حسابها طرق مختلفةاستخدام صيغ مختلفة. تعتمد طريقة الحساب على العناصر مثلثمعروف.

تعليمات

إذا عرفنا من الشرط قيم الضلعين b، c والزاوية المتكونة منهما؟، فالمساحة مثلثتم العثور على ABC بالصيغة:
S = (بسين؟)/2.

إذا عرفنا من الشرط قيم الضلعين أ، ب والزاوية التي لا تشكلهما؟، فالمساحة مثلثتم العثور على ABC على النحو التالي:
إيجاد الزاوية؟ الخطيئة؟ = bsin?/a، ثم استخدم الجدول لتحديد الزاوية نفسها.
أوجد الزاوية ؟, ؟ = 180°-؟-؟.
نجد المنطقة نفسها S = (أبسين؟)/2.

إذا من الشرط نعرف قيم ثلاثة جوانب فقط مثلثأ، ب، ج، ثم المنطقة مثلثتم العثور على ABC بالصيغة:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) حيث p هو نصف المحيط p = (a+b+c)/2

إذا من ظروف المشكلة نعرف الارتفاع مثلث h والجانب الذي ينخفض ​​إليه هذا الارتفاع، ثم المساحة مثلث ABC حسب الصيغة:
S = آه(أ)/2 = bh(ب)/2 = ch(ج)/2.

إذا عرفنا معاني الجوانب مثلث a، b، c ونصف القطر الموصوف حول هذا الموضوع مثلث R، ثم مساحة هذا مثلثيتم تحديد ABC بالصيغة:
ق = اي بي سي / 4R.
إذا كانت الجوانب الثلاثة أ، ب، ج، ونصف قطر المنقوشة معروفة، فإن المساحة مثلثتم العثور على ABC بالصيغة:
S = pr، حيث p هو نصف المحيط، p = (a+b+c)/2.

إذا كان ABC متساوي الأضلاع، فسيتم إيجاد المساحة بالصيغة:
س = (أ^2v3)/4.
لو المثلث ABC- متساوي الساقين، ثم يتم تحديد المنطقة بالصيغة:
S = (cv(4a^2-c^2))/4، حيث c – مثلث.
إذا كان المثلث ABC قائم الزاوية، فسيتم تحديد المساحة بالصيغة:
S = ab/2، حيث a وb ساقان مثلث.
إذا كان المثلث ABC مثلثًا متساوي الساقين قائمًا، فسيتم تحديد مساحته بالصيغة:
S = c^2/4 = a^2/2، حيث c هو الوتر مثلث، أ=ب – الساق.

فيديو حول الموضوع

مصادر:

• كيفية قياس مساحة المثلث

نصيحة 3: كيفية إيجاد مساحة المثلث إذا كانت الزاوية معروفة

معرفة معلمة واحدة فقط (الزاوية) لا تكفي للعثور على المنطقة تري مربع . إذا كان هناك أي أبعاد إضافية، لتحديد المنطقة، يمكنك اختيار إحدى الصيغ التي تستخدم فيها قيمة الزاوية أيضًا كأحد المتغيرات المعروفة. فيما يلي العديد من الصيغ الأكثر استخدامًا.

تعليمات

إذا، بالإضافة إلى حجم الزاوية (γ) التي يشكلها الجانبان تري مربع فإن أطوال هذين الضلعين (أ، ب) معروفة أيضًا مربعيمكن تعريف الأشكال (S) بأنها نصف حاصل ضرب أطوال الأضلاع وجيب هذا زاوية معروفة: S=½×A×B×sin(γ).