التعريف الهندسي للمنتج المتجه للمتجهات. المنتج المتقاطع - التعاريف والخصائص والصيغ والأمثلة والحلول

تعريف يتم استدعاء مجموعة مرتبة من (x 1 , x 2 , ... , x n) n من الأعداد الحقيقية ن ناقلات الأبعادوالأرقام x i (i = ) - عناصر،أو الإحداثيات,

مثال. على سبيل المثال، إذا كان مصنع سيارات معين يجب أن ينتج 50 سيارة و100 شاحنة و10 حافلات و50 مجموعة من قطع غيار السيارات و150 مجموعة للشاحنات والحافلات في كل وردية عمل، فيمكن كتابة برنامج الإنتاج لهذا المصنع كمتجه (50، 100، 10، 50، 150)، مكونة من خمسة مكونات.

الرموز. تتم الإشارة إلى المتجهات بأحرف صغيرة غامقة أو أحرف مع شريط أو سهم في الأعلى، على سبيل المثال. أأو. يتم استدعاء المتجهين متساويإذا كان لديهم نفس عدد المكونات وكانت المكونات المقابلة لها متساوية.

لا يمكن تبديل المكونات المتجهة، على سبيل المثال، (3، 2، 5، 0، 1)و (2، 3، 5، 0، 1) ناقلات مختلفة.
العمليات على المتجهات.العمل س= (x 1 , x 2 , ... ,x n) بعدد حقيقيλ يسمى ناقلλ س= (××1،××2،...،××ن).

كميةس= (x 1 , x 2 , ... ,x n) و ذ= (y 1 , y 2 , ... ,y n) يسمى متجهًا س+ص= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

مساحة المتجهات.ن -الفضاء المتجه الأبعاد ريتم تعريف n على أنه مجموعة من جميع المتجهات ذات الأبعاد n التي يتم من خلالها تحديد عمليات الضرب بالأعداد الحقيقية والجمع.

التوضيح الاقتصادي. التوضيح الاقتصادي لمساحة المتجهات ذات الأبعاد n: مساحة البضائع (بضائع). تحت بضائعسوف نفهم بعض السلع أو الخدمات التي تم طرحها للبيع في وقت معين في مكان معين. لنفترض أن هناك عددا محدودا من السلع المتاحة؛ وتتميز كميات كل منها التي يشتريها المستهلك بمجموعة من السلع

س= (س 1، س 2، ...، س ن)،

حيث تشير x i إلى مقدار السلعة i التي اشتراها المستهلك. سنفترض أن جميع السلع تتمتع بخاصية القابلية للقسمة التعسفية، بحيث يمكن شراء أي كمية غير سالبة من كل منها. إذن جميع مجموعات البضائع الممكنة هي ناقلات لمساحة البضائع C = ( س= (x 1 , x 2 , ... , x n)س ط ≥ 0، ط =).

الاستقلال الخطي. نظام ه 1 , ه 2 , ... , هتسمى المتجهات ذات الأبعاد n تعتمد خطيا، إذا كان هناك مثل هذه الأرقام 1 , 2 , ... , 1 م ، منها واحد على الأقل غير الصفر، بحيث تكون المساواة 1 ه 1 + 2 ه 2 +... + α م هم = 0؛ خلاف ذلك، يسمى هذا النظام من المتجهات مستقل خطياأي أن المساواة المشار إليها لا تكون ممكنة إلا في حالة وجود الجميع . المعنى الهندسي للاعتماد الخطي للمتجهات في ر 3، تفسر على أنها شرائح موجهة، اشرح النظريات التالية.

النظرية 1. النظام الذي يتكون من متجه واحد يعتمد خطيًا إذا وفقط إذا كان هذا المتجه صفرًا.

النظرية 2. لكي يكون المتجهان معتمدين خطياً، من الضروري والكافي أن يكونا على خط واحد (متوازيين).

النظرية 3 . لكي تكون ثلاثة نواقل مستقلة خطياً، من الضروري والكافي أن تكون متحدة المستوى (تقع في نفس المستوى).

ثلاثية اليسار واليمين من المتجهات. ثلاثية من المتجهات غير متحدة المستوى أ، ب، جمُسَمًّى يمينإذا تجاوز الراصد من أصلهما المشترك أطراف المتجهات أ، ب، جبالترتيب المعطى يبدو أنه يحدث في اتجاه عقارب الساعة. خلاف ذلك أ، ب، ج -غادر ثلاثة. يتم استدعاء جميع ثلاثيات المتجهات اليمنى (أو اليسرى). نفس الشيء الموجهة.

الأساس والإحداثيات. الترويكا ه 1, ه 2 , ه 3 ناقلات غير متحدة المستوى في ر 3 يسمى أساس، والمتجهات نفسها ه 1, ه 2 , ه 3 - أساسي. أي ناقل أيمكن توسيعها بشكل فريد إلى ناقلات أساسية، أي ممثلة في النموذج

أ= × 1 ه 1+x2 ه 2 + × 3 ه 3, (1.1)

يتم استدعاء الأرقام x 1 , x 2 , x 3 في التوسع (1.1). الإحداثياتأفي الأساس ه 1, ه 2 , ه 3 وتم تعيينهم أ(× 1، × 2، × 3).

أساس متعامد. إذا كانت ناقلات ه 1, ه 2 , ه 3 أزواج متعامدة وطول كل منها يساوي واحدا، فيسمى الأساس متعامد، والإحداثيات × 1، × 2، × 3 - مستطيلي.سيتم الإشارة إلى المتجهات الأساسية للأساس المتعامد بواسطة ط، ي، ك.

وسوف نفترض ذلك في الفضاء ر 3 تم تحديد النظام الصحيح للإحداثيات المستطيلة الديكارتية (0، ط، ي، ك}.

ناقلات العمل الفني. ناقلات العمل الفني أإلى المتجه بيسمى ناقل ج، والذي يتم تحديده بالشروط الثلاثة التالية:

1. طول المتجه جيساوي عدديًا مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات أو ب،أي.
ج= |أ||ب|الخطيئة( أ^ب).

2. المتجهات جعمودي على كل من المتجهات أو ب.

3. المتجهات أ، بو ج، مأخوذة بالترتيب المشار إليه، تشكل ثلاثية صحيحة.

لمنتج متقاطع جتم تقديم التعيين ج =[أب] أو
ج = أ × ب.

إذا كانت ناقلات أو بعلى خط مستقيم، ثم الخطيئة( أ ^ ب) = 0 و [ أب] = 0، على وجه الخصوص، [ أأ] = 0. منتجات المتجهات لمتجهات الوحدة: [ اي جاي]=ك، [jk] = أنا, [كي]=ي.

إذا كانت ناقلات أو بالمحددة في الأساس ط، ي، كالإحداثيات أ(أ 1، أ 2، أ 3)، ب(ب1، ب2، ب3)، ثم

عمل مختلط. إذا كان المنتج المتجه لمتجهين أو بمضروبة بشكل عددي بالمتجه الثالث ج،ثم يسمى هذا المنتج من ثلاثة ناقلات عمل مختلطويشار إليه بالرمز أ ب ج.

إذا كانت ناقلات أ، بو جفي الأساس ط، ي، كنظرا لإحداثياتهم
أ(أ 1، أ 2، أ 3)، ب(ب1، ب2، ب3)، ج(ج1، ج2، ج3)، ثم

المنتج المختلط له تفسير هندسي بسيط - فهو عددي، يساوي القيمة المطلقة لحجم متوازي السطوح المبني على ثلاثة ناقلات معينة.

إذا شكلت المتجهات ثلاثيًا قائمًا، فإن منتجها المختلط يكون رقمًا موجبًا يساوي الحجم المشار إليه؛ إذا كان ثلاثة أ، ب، ج -اليسار، ثم أ ب ج<0 и V = - أ ب جوبالتالي V =|أ ب ج|.

من المفترض أن تكون إحداثيات المتجهات التي تمت مواجهتها في مسائل الفصل الأول معطاة بالنسبة إلى الأساس المتعامد الصحيح. وحدة متجه codirectional مع المتجه أ،يشار إليه بالرمز أيا. رمز ص=أوميُشار إليه بمتجه نصف القطر للنقطة M أو الرموز a أو AB أو|أ|, | أ ب|يتم الإشارة إلى وحدات المتجهات أو أ.ب.

مثال 1.2. أوجد الزاوية بين المتجهات أ= 2م+4نو ب= م-ن، أين مو ن-ناقلات الوحدة والزاوية بينهما مو نيساوي 120 س.

حل. لدينا: كوس φ = أب/أب أب =(2م+4ن) (م-ن) = 2م 2 - 4ن 2 +2مليون=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; أ = ; أ 2 = (2م+4ن) (2م+4ن) =
= 4م 2 +16مليون+16ن 2 = 4+16(-0.5)+16=12، مما يعني أ = . ب = ; ب 2 =
= (م-ن)(م-ن) = م 2 -2مليون+ن 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3، مما يعني ب = . وأخيرا لدينا: كوسφ = = -1/2، φ = 120 س.

مثال 1.3.معرفة المتجهات أ.ب(-3،-2.6) و قبل الميلاد(-2،4،4)، احسب طول الارتفاع AD للمثلث ABC.

حل. بالدلالة على مساحة المثلث ABC بواسطة S، نحصل على:
ق = 1/2 ق.م. م. ثم AD=2S/BC، BC= = = 6,
ق = 1/2| أ ب ×تكييف |. أس = أ ب + ق، وهو ما يعني ناقلات مكيف الهواءلديه إحداثيات
. .

مثال 1.4 . يتم إعطاء ناقلين أ(11،10،2) و ب(4،0،3). أوجد متجه الوحدة ج،متعامد على المتجهات أو بوتوجيهها بحيث يتم ترتيب الثلاثي من المتجهات أ، ب، جكان صحيحا.

حل.دعونا نشير إلى إحداثيات المتجه جفيما يتعلق بأساس متعامد صحيح معين من حيث x، y، z.

بسبب ال ج ⊥ أ، ج ⊥ب، الذي - التي كاليفورنيا= 0، سي بي= 0. حسب شروط المشكلة يشترط أن يكون c = 1 و أ ب ج >0.

لدينا نظام معادلات لإيجاد x,y,z: 11x +10y + 2z = 0، 4x+3z=0، x 2 + y 2 + z 2 = 0.

من المعادلتين الأولى والثانية للنظام نحصل على z = -4/3 x، y = -5/6 x. بتعويض y وz في المعادلة الثالثة، نحصل على: x 2 = 36/125، ومن هنا
س =± . استخدام الشرط أ ب ج > 0 نحصل على عدم المساواة

مع الأخذ بعين الاعتبار تعبيرات z وy، نعيد كتابة المتباينة الناتجة بالصيغة: 625/6 x > 0، مما يعني أن x>0. لذا، x = , y = - , z =- .

وأخيرا، وضعت يدي على هذا الموضوع الواسع الذي طال انتظاره. الهندسة التحليلية. أولاً، القليل عن هذا القسم من الرياضيات العليا... من المؤكد أنك تتذكر الآن دورة الهندسة المدرسية مع العديد من النظريات والبراهين والرسومات وما إلى ذلك. ما الذي يجب إخفاءه، وهو موضوع غير محبوب وغالبًا ما يكون غامضًا بالنسبة لنسبة كبيرة من الطلاب. من الغريب أن الهندسة التحليلية قد تبدو أكثر إثارة للاهتمام ويمكن الوصول إليها. ماذا تعني صفة "تحليلي"؟ تتبادر إلى ذهني على الفور عبارتان رياضيتان مبتذلتان: "طريقة الحل الرسومي" و"طريقة الحل التحليلي". طريقة رسوميةوبطبيعة الحال، يرتبط ببناء الرسوم البيانية والرسومات. تحليليةنفس طريقةينطوي على حل المشاكل خاصةمن خلال العمليات الجبرية. في هذا الصدد، فإن خوارزمية حل جميع مشاكل الهندسة التحليلية تقريبا بسيطة وشفافة؛ وغالبا ما تكون كافية لتطبيق الصيغ اللازمة بعناية - والإجابة جاهزة! لا، بالطبع، لن نتمكن من القيام بذلك بدون رسومات على الإطلاق، وإلى جانب ذلك، من أجل فهم أفضل للمادة، سأحاول الاستشهاد بها بما يتجاوز الضرورة.

لا تتظاهر دورة دروس الهندسة التي تم افتتاحها حديثًا بأنها كاملة من الناحية النظرية؛ فهي تركز على حل المشكلات العملية. سأدرج في محاضراتي فقط ما هو مهم من وجهة نظري من الناحية العملية. إذا كنت بحاجة إلى مزيد من المساعدة الكاملة في أي قسم فرعي، فإنني أوصي بالأدبيات التالية التي يمكن الوصول إليها بسهولة:

1) الشيء الذي لا مزحة تعرفه عدة أجيال: الكتاب المدرسي في الهندسة، المؤلفون - إل إس. أتاناسيان وشركاه. لقد مرت شماعات غرفة خلع الملابس هذه بالمدرسة بالفعل بـ 20 نسخة (!) معاد طبعها، وهو بالطبع ليس الحد الأقصى.

2) الهندسة في مجلدين. المؤلفون إل إس. أتاناسيان ، بازيليف ف.ت.. هذا هو الأدب للمدرسة الثانوية، وسوف تحتاج المجلد الأول. قد تغيب المهام التي نادرًا ما أواجهها عن نظري، وسيكون البرنامج التعليمي مفيدًا للغاية.

يمكن تنزيل كلا الكتابين مجانًا عبر الإنترنت. بالإضافة إلى ذلك، يمكنك استخدام أرشيفي مع الحلول الجاهزة، والتي يمكن العثور عليها على الصفحة تحميل أمثلة في الرياضيات العليا.

من بين الأدوات، أقترح مرة أخرى تطويري الخاص - حزمة البرامجفي الهندسة التحليلية، الأمر الذي سيبسط الحياة بشكل كبير ويوفر الكثير من الوقت.

من المفترض أن يكون القارئ على دراية بالمفاهيم والأشكال الهندسية الأساسية: النقطة، الخط، المستوى، المثلث، متوازي الأضلاع، متوازي الأضلاع، المكعب، إلخ. يُنصح بتذكر بعض النظريات، على الأقل نظرية فيثاغورس، مرحبًا بالمكررين)

والآن سننظر بالتسلسل: مفهوم المتجه، والإجراءات مع المتجهات، وإحداثيات المتجهات. أوصي بقراءة المزيد المادة الأكثر أهمية المنتج النقطي للمتجهات، و أيضا المتجهات والمنتج المختلط للنواقل. المهمة المحلية - تقسيم الجزء في هذا الصدد - لن تكون غير ضرورية أيضًا. وبناء على المعلومات المذكورة أعلاه، يمكنك السيطرة معادلة الخط في الطائرةمع أبسط الأمثلة على الحلول، والتي سوف تسمح تعلم كيفية حل المشاكل الهندسية. المقالات التالية مفيدة أيضًا: معادلة الطائرة في الفضاء, معادلات الخط في الفضاء، المسائل الأساسية على الخط المستقيم والمستوى، أقسام أخرى من الهندسة التحليلية. وبطبيعة الحال، سيتم النظر في المهام القياسية على طول الطريق.

مفهوم المتجهات. ناقل حر

أولاً، دعونا نكرر تعريف المدرسة للمتجه. المتجهمُسَمًّى توجهالجزء الذي يشار إلى بدايته ونهايته:

في هذه الحالة، بداية المقطع هي النقطة، ونهاية المقطع هي النقطة. يُشار إلى المتجه نفسه بـ . اتجاهأمر ضروري، إذا قمت بتحريك السهم إلى الطرف الآخر من المقطع، فستحصل على متجه، وهذا بالفعل ناقلات مختلفة تماما. من السهل تحديد مفهوم المتجه مع حركة الجسم المادي: يجب أن توافق، فدخول أبواب المعهد أو الخروج من أبواب المعهد أمران مختلفان تمامًا.

من الملائم اعتبار النقاط الفردية للمستوى أو الفضاء ما يسمى ب ناقل صفر. لمثل هذا المتجه، تتزامن النهاية والبداية.

!!! ملحوظة: هنا وأكثر من ذلك، يمكنك افتراض أن المتجهات تقع في نفس المستوى أو يمكنك افتراض أنها موجودة في الفضاء - فجوهر المادة المقدمة صالح لكل من المستوى والفضاء.

التسميات:لاحظ الكثيرون على الفور أن العصا لا تحتوي على سهم في التسمية وقالوا، يوجد أيضًا سهم في الأعلى! صحيح أنه يمكنك كتابتها بسهم: ولكن من الممكن أيضًا الإدخال الذي سأستخدمه في المستقبل. لماذا؟ على ما يبدو، تطورت هذه العادة لأسباب عملية؛ تبين أن الرماة في المدرسة والجامعة كانوا مختلفين جدًا في الحجم وأشعثين. في الأدب التربوي، في بعض الأحيان لا يهتمون بالكتابة المسمارية على الإطلاق، ولكنهم يسلطون الضوء على الحروف بالخط العريض: مما يعني أن هذا ناقل.

كان ذلك يتعلق بالأسلوبية، والآن عن طرق كتابة المتجهات:

1) يمكن كتابة المتجهات بحرفين لاتينيين كبيرين:
وما إلى ذلك وهلم جرا. في هذه الحالة، الحرف الأول بالضرورةيشير إلى نقطة بداية المتجه، والحرف الثاني يشير إلى نقطة نهاية المتجه.

2) تتم كتابة المتجهات أيضًا بأحرف لاتينية صغيرة:
على وجه الخصوص، يمكن إعادة تصميم المتجه الخاص بنا للإيجاز بحرف لاتيني صغير.

طولأو وحدةيسمى المتجه غير الصفري طول القطعة. طول المتجه الصفري هو صفر. منطقي.

تتم الإشارة إلى طول المتجه بعلامة المعامل: ،

سوف نتعلم كيفية العثور على طول المتجه (أو سنكرر ذلك، اعتمادًا على من) بعد قليل.

كانت هذه معلومات أساسية عن النواقل، مألوفة لجميع تلاميذ المدارس. في الهندسة التحليلية ما يسمى ناقل حر.

بكل بساطة - يمكن رسم المتجه من أي نقطة:

لقد اعتدنا على تسمية هذه المتجهات بأنها متساوية (سيتم تقديم تعريف المتجهات المتساوية أدناه)، ولكن من وجهة نظر رياضية بحتة، فهي نفس المتجهات أو ناقل حر. لماذا مجانا؟ لأنه أثناء حل المشكلات، يمكنك "إرفاق" هذا المتجه أو ذاك بأي نقطة في المستوى أو المساحة التي تحتاجها. هذه ميزة رائعة جدًا! تخيل متجهًا للطول والاتجاه التعسفيين - يمكن "استنساخه" لعدد لا حصر له من المرات وفي أي نقطة في الفضاء، فهو موجود في الواقع في كل مكان. هناك مثل هذا الطالب يقول: كل محاضر يهتم بالناقل. بعد كل شيء، إنها ليست مجرد قافية بارعة، كل شيء صحيح رياضيا - يمكن إرفاق المتجه هناك أيضا. لكن لا تتعجل في الابتهاج، فالطلاب أنفسهم هم الذين غالبًا ما يعانون =)

لذا، ناقل حر- هذا مجموعة من شرائح موجهة متطابقة. التعريف المدرسي للمتجه، الوارد في بداية الفقرة: "الجزء الموجه يسمى المتجه..." يعني ضمنيًا محددقطعة موجهة مأخوذة من مجموعة معينة، مرتبطة بنقطة معينة في المستوى أو الفضاء.

تجدر الإشارة إلى أنه من وجهة نظر الفيزياء، فإن مفهوم المتجه الحر غير صحيح بشكل عام، ونقطة تطبيق المتجه مهمة. في الواقع، فإن الضربة المباشرة بنفس القوة على الأنف أو الجبهة، بما يكفي لتطوير مثالي الغبي، تستلزم عواقب مختلفة. لكن، غير حرتم العثور على المتجهات أيضًا في سياق vyshmat (لا تذهب إلى هناك :)).

الإجراءات مع المتجهات. العلاقة الخطية المتداخلة من المتجهات

تغطي دورة الهندسة المدرسية عددًا من الإجراءات والقواعد ذات المتجهات: الجمع وفقًا لقاعدة المثلث، والجمع وفقًا لقاعدة متوازي الأضلاع، وقاعدة فرق المتجهات، وضرب المتجه في عدد، والمنتج القياسي للمتجهات، وما إلى ذلك.كنقطة بداية، دعونا نكرر قاعدتين لهما أهمية خاصة في حل مشاكل الهندسة التحليلية.

قاعدة إضافة المتجهات باستخدام قاعدة المثلث

النظر في اثنين من المتجهات التعسفية غير الصفرية و:

تحتاج إلى العثور على مجموع هذه المتجهات. ونظرًا لحقيقة أن جميع المتجهات تعتبر مجانية، فسوف ننحي المتجه جانبًا نهايةالمتجه:

مجموع المتجهات هو المتجه. من أجل فهم أفضل للقاعدة، من المستحسن وضع معنى مادي لها: دع بعض الأجسام تسافر على طول المتجه، ثم على طول المتجه. ثم مجموع المتجهات هو متجه المسار الناتج الذي يبدأ عند نقطة المغادرة وينتهي عند نقطة الوصول. يتم صياغة قاعدة مماثلة لمجموع أي عدد من المتجهات. كما يقولون، يمكن للجسم أن يسير في طريقه منحنيًا للغاية على طول خط متعرج، أو ربما على الطيار الآلي - على طول المتجه الناتج للمجموع.

بالمناسبة، إذا تم تأجيل الناقل من بدأتالمتجه، ثم نحصل على ما يعادله قاعدة متوازي الأضلاعإضافة ناقلات.

أولاً، حول العلاقة الخطية المتداخلة بين المتجهات. يتم استدعاء المتجهين على استطرادإذا كانا يقعان على نفس الخط أو على خطين متوازيين. بشكل تقريبي، نحن نتحدث عن ناقلات متوازية. لكن صفة "على خط واحد" تستخدم دائمًا عند الإشارة إليها.

تخيل متجهين على خط واحد. إذا تم توجيه أسهم هذه المتجهات في نفس الاتجاه، فسيتم استدعاء هذه المتجهات شارك في الإخراج. إذا كانت الأسهم تشير إلى اتجاهات مختلفة، فستكون المتجهات كذلك اتجاهين متعاكسين.

التسميات:تتم كتابة العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات برمز التوازي المعتاد: ، في حين أن التفصيل ممكن: (المتجهات موجهة بشكل مشترك) أو (المتجهات موجهة بشكل معاكس).

العملالمتجه غير الصفري على الرقم هو متجه طوله يساوي، والمتجهات و موجهة بشكل مشترك وموجهة بشكل معاكس إلى .

من السهل فهم قاعدة ضرب المتجه برقم بمساعدة الصورة:

دعونا ننظر إليها بمزيد من التفصيل:

1 الاتجاه. إذا كان المضاعف سالبًا، فالمتجه يغير الاتجاهإلى العكس.

2) الطول. إذا كان المضاعف موجودًا داخل أو، فإن طول المتجه يتناقص. إذن، طول المتجه يساوي نصف طول المتجه. إذا كان معامل المضاعف أكبر من واحد، يكون طول المتجه يزيدفي الوقت المناسب.

3) يرجى ملاحظة ذلك جميع المتجهات على خط واحد، في حين يتم التعبير عن ناقل واحد من خلال آخر، على سبيل المثال، . والعكس صحيح أيضاً: إذا كان من الممكن التعبير عن متجه من خلال آخر، فإن هذه المتجهات تكون بالضرورة على خط واحد. هكذا: إذا ضربنا متجهًا بعدد، نحصل على خط مستقيم(نسبة إلى الأصل) المتجه.

4) يتم توجيه المتجهات بشكل مشترك. المتجهات ويتم توجيهها أيضًا بشكل مشترك. أي متجه من المجموعة الأولى يتم توجيهه بشكل معاكس بالنسبة لأي متجه من المجموعة الثانية.

ما هي المتجهات المتساوية؟

يكون المتجهان متساويين إذا كانا في نفس الاتجاه ولهما نفس الطول. لاحظ أن الاتجاه المشترك يعني وجود علاقة خطية متداخلة بين المتجهات. سيكون التعريف غير دقيق (زائد عن الحاجة) إذا قلنا: "المتجهان متساويان إذا كانا على خط مستقيم ومشتركي الاتجاه ولهما نفس الطول".

من وجهة نظر مفهوم المتجه الحر، فإن المتجهات المتساوية هي نفس المتجه، كما تمت مناقشته في الفقرة السابقة.

إحداثيات المتجهات على المستوى وفي الفضاء

النقطة الأولى هي النظر في المتجهات على المستوى. دعونا نصور نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل ونرسمه من أصل الإحداثيات أعزبناقلات و:

المتجهات و متعامد. متعامد = عمودي. أوصي بأن تعتاد على المصطلحات ببطء: بدلاً من التوازي والعمودي، نستخدم الكلمات على التوالي العلاقة الخطية المتداخلةو التعامد.

تعيين:تتم كتابة تعامد المتجهات برمز التعامد المعتاد، على سبيل المثال: .

تسمى المتجهات قيد النظر تنسيق المتجهاتأو orts. تتشكل هذه المتجهات أساسعلى السطح. أعتقد أن الأساس واضح بالنسبة للكثيرين؛ ويمكن العثور على معلومات أكثر تفصيلاً في المقالة الاعتماد الخطي (غير) للمتجهات. أساس المتجهاتبكلمات بسيطة، يحدد أساس وأصل الإحداثيات النظام بأكمله - وهذا هو نوع من الأساس الذي تتلخص فيه حياة هندسية كاملة وغنية.

في بعض الأحيان يتم استدعاء الأساس المبني متعامدأساس المستوى: "أورثو" - نظرًا لأن المتجهات الإحداثية متعامدة، فإن الصفة "المُطبيعة" تعني الوحدة، أي. أطوال المتجهات الأساسية تساوي واحدًا.

تعيين:عادة ما يتم كتابة الأساس بين قوسين، بداخله في تسلسل صارميتم سرد المتجهات الأساسية، على سبيل المثال: . المتجهات الإحداثية ممنوعإعادة ترتيب.

أيناقلات الطائرة الطريقة الوحيدةأعرب على النحو التالي:
، أين - أعدادالتي تسمى إحداثيات المتجهاتعلى هذا الأساس. والتعبير نفسه مُسَمًّى تحلل ناقلاتعلى أساس .

العشاء المقدم:

لنبدأ بالحرف الأول من الأبجدية: . يوضح الرسم بوضوح أنه عند تحليل المتجه إلى أساس، يتم استخدام ما تمت مناقشته للتو:
1) قاعدة ضرب المتجه برقم: و ;
2) جمع المتجهات حسب قاعدة المثلث : .

الآن قم برسم المتجه ذهنيًا من أي نقطة أخرى على المستوى. ومن الواضح تمامًا أن اضمحلاله سوف «يتبعه بلا هوادة». ها هي حرية المتجه - المتجه "يحمل كل شيء معه". هذه الخاصية، بالطبع، تنطبق على أي متجه. من المضحك أن المتجهات الأساسية (الحرة) نفسها لا يجب رسمها من الأصل؛ يمكن رسم أحدهما، على سبيل المثال، في أسفل اليسار، والآخر في أعلى اليمين، ولن يتغير شيء! صحيح أنك لست بحاجة إلى القيام بذلك، لأن المعلم سيُظهر أيضًا الأصالة وسيرسم لك "رصيدًا" في مكان غير متوقع.

توضح المتجهات تمامًا قاعدة ضرب المتجه بعدد، حيث يتم توجيه المتجه بشكل مشترك مع المتجه الأساسي، ويتم توجيه المتجه عكسًا للمتجه الأساسي. بالنسبة لهذه المتجهات، أحد الإحداثيات يساوي صفرًا، ويمكنك كتابته بدقة على النحو التالي:

والمتجهات الأساسية بالمناسبة هي هكذا: (في الحقيقة يتم التعبير عنها من خلال نفسها).

وأخيرًا: , . بالمناسبة، ما هو الطرح المتجهي، ولماذا لم أتحدث عن قاعدة الطرح؟ في مكان ما في الجبر الخطي، لا أتذكر أين، لاحظت أن الطرح هو حالة خاصة من الجمع. وبالتالي، يمكن بسهولة كتابة توسعات المتجهات "de" و"e" كمجموع: . أعد ترتيب المصطلحات وانظر في الرسم إلى أي مدى تعمل عملية الجمع القديمة الجيدة للمتجهات وفقًا لقاعدة المثلث في هذه المواقف.

التحلل المدروس للنموذج يُطلق عليه أحيانًا تحلل النواقل في نظام أورت(أي في نظام ناقلات الوحدة). لكن هذه ليست الطريقة الوحيدة لكتابة المتجه؛ فالخيار التالي شائع:

أو بعلامة المساواة:

تتم كتابة المتجهات الأساسية نفسها على النحو التالي: و

أي أن إحداثيات المتجه موضحة بين قوسين. في المسائل العملية، يتم استخدام جميع خيارات التدوين الثلاثة.

لقد شككت في التحدث، لكنني سأقولها على أي حال: لا يمكن إعادة ترتيب إحداثيات المتجهات. بدقة في المركز الأولنكتب الإحداثيات التي تتوافق مع متجه الوحدة، بدقة في المركز الثانينكتب الإحداثيات التي تتوافق مع متجه الوحدة. في الواقع، وهما ناقلان مختلفان.

لقد اكتشفنا الإحداثيات على الطائرة. الآن دعونا نلقي نظرة على المتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد، كل شيء تقريبًا هو نفسه هنا! سيضيف فقط إحداثيًا آخر. من الصعب عمل رسومات ثلاثية الأبعاد، لذا سأقتصر على متجه واحد، والذي من أجل البساطة سأضعه جانبًا عن الأصل:

أيناقلات الفضاء 3D الطريقة الوحيدةالتوسع على أساس متعامد:
أين إحداثيات المتجه (الرقم) على هذا الأساس.

مثال من الصورة: . دعونا نرى كيف تعمل قواعد المتجهات هنا. أولاً، ضرب المتجه بعدد: (السهم الأحمر)، (السهم الأخضر)، (السهم التوتي). ثانيًا، إليك مثال على إضافة عدة متجهات، في هذه الحالة ثلاثة: . يبدأ مجموع المتجه عند نقطة الانطلاق الأولية (بداية المتجه) وينتهي عند نقطة الوصول النهائية (نهاية المتجه).

جميع نواقل الفضاء ثلاثي الأبعاد، بطبيعة الحال، هي أيضًا مجانية، حاول أن تضع المتجه جانبًا من أي نقطة أخرى، وسوف تفهم أن تحلله "سيبقى معه".

تشبه الحالة المسطحة، بالإضافة إلى الكتابة تُستخدم الإصدارات ذات الأقواس على نطاق واسع: إما .

إذا كان هناك واحد (أو اثنين) من متجهات الإحداثيات مفقودة في التوسع، فسيتم وضع الأصفار في مكانها. أمثلة:
ناقلات (بدقة ) - دعنا نكتب ؛
ناقلات (بدقة ) - دعنا نكتب ؛
ناقلات (بدقة ) - دعنا نكتب .

تتم كتابة المتجهات الأساسية على النحو التالي:

ربما يكون هذا هو الحد الأدنى من المعرفة النظرية اللازمة لحل مشاكل الهندسة التحليلية. قد يكون هناك الكثير من المصطلحات والتعريفات، لذا أنصح أباريق الشاي بإعادة قراءة هذه المعلومات واستيعابها مرة أخرى. وسيكون من المفيد لأي قارئ الرجوع إلى الدرس الأساسي من وقت لآخر لاستيعاب المادة بشكل أفضل. العلاقة الخطية المتداخلة، والتعامد، والأساس المتعامد، وتحلل المتجهات - غالبًا ما سيتم استخدام هذه المفاهيم وغيرها في المستقبل. ألاحظ أن المواد الموجودة على الموقع ليست كافية لاجتياز الاختبار النظري أو الندوة في الهندسة، حيث أنني قمت بتشفير جميع النظريات بعناية (وبدون أدلة) - على حساب الأسلوب العلمي للعرض، ولكن بالإضافة إلى فهمك لـ الموضوع. للحصول على معلومات نظرية مفصلة، يرجى الانحناء للبروفيسور أتاناسيان.

وننتقل إلى الجزء العملي:

أبسط مسائل الهندسة التحليلية.
الإجراءات مع المتجهات في الإحداثيات

يُنصح بشدة بمعرفة كيفية حل المهام التي سيتم النظر فيها تلقائيًا بالكامل، وكذلك الصيغ حفظ، ليس عليك حتى أن تتذكرها عن قصد، فسوف يتذكرونها بأنفسهم =) هذا مهم جدًا، نظرًا لأن المشكلات الأخرى في الهندسة التحليلية تعتمد على أبسط الأمثلة الأولية، وسيكون من المزعج قضاء وقت إضافي في تناول البيادق . ليست هناك حاجة لإغلاق الأزرار العلوية لقميصك؛ فهناك أشياء كثيرة مألوفة لك منذ المدرسة.

سيتبع عرض المادة مسارًا موازيًا - سواء بالنسبة للمستوى أو للفضاء. لسبب أن كل الصيغ...سترى بنفسك.

كيفية العثور على ناقل من نقطتين؟

إذا تم إعطاء نقطتين من المستوى، فإن المتجه يكون له الإحداثيات التالية:

إذا كانت هناك نقطتان في الفضاء، فإن المتجه يكون له الإحداثيات التالية:

إنه، من إحداثيات نهاية المتجهتحتاج إلى طرح الإحداثيات المقابلة بداية المتجه.

يمارس:لنفس النقاط، اكتب الصيغ لإيجاد إحداثيات المتجه. الصيغ في نهاية الدرس.

مثال 1

نظرا لنقطتين من الطائرة و . البحث عن إحداثيات المتجهات

حل:وفقا للصيغة المقابلة:

وبدلاً من ذلك، يمكن استخدام الإدخال التالي:

سوف يقرر الجماليات هذا:

أنا شخصياً اعتدت على الإصدار الأول من التسجيل.

إجابة:

وفقًا للشرط، لم يكن من الضروري إنشاء رسم (وهو أمر نموذجي لمشاكل الهندسة التحليلية)، ولكن من أجل توضيح بعض النقاط للدمى، لن أكون كسولًا:

أنت بالتأكيد بحاجة إلى أن تفهم الفرق بين إحداثيات النقطة وإحداثيات المتجهات:

إحداثيات النقطة- هذه إحداثيات عادية في نظام إحداثيات مستطيل. أعتقد أن الجميع يعرف كيفية رسم النقاط على المستوى الإحداثي من الصف الخامس إلى السادس. كل نقطة لها مكان محدد على المستوى، ولا يمكن نقلها إلى أي مكان.

إحداثيات المتجه– وهذا هو توسعه على حسب الأساس في هذه الحالة. أي متجه هو حر، لذا إذا لزم الأمر، يمكننا بسهولة نقله بعيدًا عن نقطة أخرى في المستوى. ومن المثير للاهتمام أنه بالنسبة للمتجهات، لا يتعين عليك بناء محاور أو نظام إحداثيات مستطيل على الإطلاق؛ بل تحتاج فقط إلى أساس، وهو في هذه الحالة أساس متعامد للمستوى.

يبدو أن سجلات إحداثيات النقاط وإحداثيات المتجهات متشابهة: و معنى الإحداثياتقطعاً مختلف، ويجب أن تعي هذا الفرق جيدًا. وهذا الاختلاف، بالطبع، ينطبق أيضًا على الفضاء.

أيها السيدات والسادة، دعونا نملأ أيدينا:

مثال 2

أ) النقاط وتعطى. البحث عن المتجهات و .
ب) يتم إعطاء النقاط و . البحث عن المتجهات و .
ج) النقاط وتعطى. البحث عن المتجهات و .
د) يتم إعطاء النقاط. البحث عن المتجهات .

ربما هذا يكفي. هذه أمثلة عليك أن تقررها بنفسك، حاول ألا تهملها، فهذا سيؤتي ثماره؛-). ليست هناك حاجة لعمل الرسومات. الحلول والأجوبة في نهاية الدرس.

ما هو المهم عند حل مشاكل الهندسة التحليلية؟من المهم أن تكون حذرًا للغاية لتجنب الوقوع في الخطأ البارع "اثنان زائد اثنان يساوي صفرًا". أعتذر على الفور إذا ارتكبت خطأ في مكان ما =)

كيفية العثور على طول الجزء؟

الطول، كما ذكرنا سابقًا، يُشار إليه بعلامة المعامل.

إذا تم إعطاء نقطتين من المستوى و، فيمكن حساب طول المقطع باستخدام الصيغة

إذا تم إعطاء نقطتين في الفضاء، فيمكن حساب طول المقطع باستخدام الصيغة

ملحوظة: ستظل الصيغ صحيحة إذا تم تبديل الإحداثيات المقابلة: و، ولكن الخيار الأول أكثر معيارية

مثال 3

حل:وفقا للصيغة المقابلة:

إجابة:

من أجل الوضوح، سأقوم بالرسم

القطعة المستقيمة - هذا ليس ناقلوبالطبع لا يمكنك نقله إلى أي مكان. بالإضافة إلى ذلك، إذا قمت بالرسم على نطاق واسع: 1 وحدة. = 1 سم (خليتان دفتريتان)، ثم يمكن التحقق من الإجابة الناتجة باستخدام مسطرة عادية عن طريق قياس طول القطعة مباشرة.

نعم الحل قصير، لكن هناك نقطتين مهمتين فيه أود توضيحهما:

أولاً، نضع في الجواب البعد: "الوحدات". الشرط لا يذكر ما هو، ملليمتر، سنتيمتر، متر أو كيلومتر. لذلك، فإن الحل الصحيح رياضيًا هو الصيغة العامة: "الوحدات" - والمختصرة بـ "الوحدات".

ثانيًا، دعونا نكرر المواد المدرسية، وهي مفيدة ليس فقط للمهمة قيد النظر:

انتبه على تقنية مهمة – إزالة المضاعف من تحت الجذر. نتيجة للحسابات، حصلنا على نتيجة وأسلوب رياضي جيد يتضمن إزالة العامل من تحت الجذر (إن أمكن). بمزيد من التفصيل، تبدو العملية كما يلي: . وبطبيعة الحال، فإن ترك الإجابة كما هي لن يكون خطأ - ولكنه سيكون بالتأكيد قصورًا وحجة قوية للمراوغة من جانب المعلم.

فيما يلي حالات شائعة أخرى:

في كثير من الأحيان، ينتج الجذر عددًا كبيرًا إلى حد ما، على سبيل المثال . ماذا تفعل في مثل هذه الحالات؟ باستخدام الآلة الحاسبة، نتحقق مما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 4: . نعم تم تقسيمها بالكامل كالتالي: . أو ربما يمكن تقسيم الرقم على 4 مرة أخرى؟ . هكذا: . الرقم الأخير من الرقم فردي، لذا من الواضح أن القسمة على 4 للمرة الثالثة لن تنجح. دعونا نحاول القسمة على تسعة: . نتيجة ل:
مستعد.

خاتمة:إذا حصلنا تحت الجذر على رقم لا يمكن استخراجه ككل، فإننا نحاول إزالة العامل من تحت الجذر - باستخدام الآلة الحاسبة نتحقق مما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على: 4، 9، 16، 25، 36، 49، الخ.

عند حل المشكلات المختلفة، غالبًا ما تتم مواجهة الجذور؛ حاول دائمًا استخراج العوامل من تحت الجذر لتجنب الحصول على درجة أقل والمشاكل غير الضرورية في إنهاء الحلول بناءً على تعليقات المعلم.

لنكرر أيضًا الجذور التربيعية والقوى الأخرى:

يمكن العثور على قواعد التعامل مع القوى بشكل عام في كتاب الجبر المدرسي، لكنني أعتقد أنه من خلال الأمثلة المقدمة، كل شيء أو كل شيء تقريبًا واضح بالفعل.

مهمة الحل المستقل مع قطعة في الفضاء:

مثال 4

النقاط وتعطى. أوجد طول القطعة.

الحل والجواب في نهاية الدرس .

كيفية العثور على طول المتجه؟

إذا تم إعطاء متجه مستوي، فسيتم حساب طوله بواسطة الصيغة.

إذا تم إعطاء متجه الفضاء، فسيتم حساب طوله بواسطة الصيغة .

حتى النصر- هذا المتجه، القيمة المطلقة (المعامل) التي تساوي الوحدة. للدلالة على متجه الوحدة، سوف نستخدم الحرف e، إذا تم إعطاء متجه أ، فسيكون متجه وحدته هو المتجه أهـ. يتم توجيه متجه الوحدة هذا في نفس اتجاه المتجه نفسه أ، ووحدتها تساوي واحدًا، أي أن a e = 1.

بوضوح، أ= أ أه (أ - وحدة المتجهات أ). يأتي هذا من القاعدة التي يتم من خلالها تنفيذ عملية ضرب العدد القياسي بالمتجه.

ناقلات الوحدةغالبًا ما يرتبط بالمحاور الإحداثية لنظام الإحداثيات (على وجه الخصوص، مع محاور نظام الإحداثيات الديكارتية). اتجاهات هؤلاء ثلاثة أبعادتتزامن مع اتجاهات المحاور المقابلة، وغالبًا ما يتم دمج أصولها مع أصل نظام الإحداثيات.

دعني أذكرك بذلك نظام الإحداثيات الديكارتيةفي الفضاء، يُطلق تقليديًا على ثلاثي المحاور المتعامدة المتقاطعة عند نقطة تسمى أصل الإحداثيات. يُشار إلى المحاور الإحداثية عادةً بالأحرف X وY وZ وتسمى المحور الإحداثي والمحور الإحداثي والمحور التطبيقي على التوالي. استخدم ديكارت نفسه محورًا واحدًا فقط، تم رسم الحروف الأبجدية عليه. ميزة الاستخدام أنظمةمحاور ينتمي إلى طلابه. ولذلك العبارة نظام الإحداثيات الديكارتيةخطأ تاريخيا. من الأفضل التحدث مستطيلي نظام الإحداثياتأو نظام الإحداثيات المتعامد. ومع ذلك، لن نغير التقاليد وسنفترض في المستقبل أن أنظمة الإحداثيات الديكارتية والمستطيلة (المتعامدة) هي نفسها.

حتى النصر، يتم الإشارة إليه على طول المحور X أنا, حتى النصر، الموجه على طول المحور Y، يشار إليه ي، أ حتى النصر، الموجه على طول المحور Z، يشار إليه ك. ثلاثة أبعاد أنا, ي, كوتسمى orts(الشكل 12، على اليسار)، لديهم وحدات واحدة، أي
ط = 1، ي = 1، ك = 1.

محاور و ناقلات الوحدة نظام الإحداثيات المستطيلةفي بعض الحالات لديهم أسماء وتسميات مختلفة. وبالتالي، يمكن تسمية محور الإحداثي السيني X بمحور الظل، ويُشار إليه بمتجه وحدته τ (الحرف اليوناني الصغير tau)، المحور الإحداثي هو المحور الطبيعي، ويُشار إلى متجه الوحدة الخاص به ن، المحور المطبق هو المحور الثنائي، ويشار إلى متجه الوحدة الخاص به ب. لماذا تتغير الأسماء إذا بقي الجوهر كما هو؟

والحقيقة هي أنه، على سبيل المثال، في الميكانيكا، عند دراسة حركة الأجسام، يتم استخدام نظام الإحداثيات المستطيل في كثير من الأحيان. لذا، إذا كان نظام الإحداثيات نفسه ثابتًا، وتم تتبع التغيير في إحداثيات جسم متحرك في هذا النظام الثابت، فعادةً ما يتم تحديد المحاور X، Y، Z، ومحاورها ناقلات الوحدةعلى التوالى أنا, ي, ك.

ولكن في كثير من الأحيان، عندما يتحرك كائن ما على طول نوع من المسار المنحني (على سبيل المثال، في دائرة)، يكون من الملائم أكثر مراعاة العمليات الميكانيكية في نظام الإحداثيات التي تتحرك مع هذا الكائن. بالنسبة لنظام الإحداثيات المتحرك هذا، يتم استخدام أسماء أخرى للمحاور ومتجهات الوحدات الخاصة بها. انها مجرد النحو الذي هي عليه. في هذه الحالة، يتم توجيه المحور X بشكل عرضي إلى المسار عند النقطة التي يوجد بها هذا الكائن حاليًا. ومن ثم لم يعد هذا المحور يسمى المحور السيني، بل محور الظل، ولم يعد متجه وحدته محددًا أنا، أ τ . يتم توجيه المحور Y على طول نصف قطر انحناء المسار (في حالة الحركة في دائرة - إلى مركز الدائرة). وبما أن نصف القطر عمودي على المماس، فإن المحور يسمى المحور العمودي (العمودي والعمودي هما نفس الشيء). لم يعد يُشار إلى متجه الوحدة لهذا المحور ي، أ ن. المحور الثالث (Z سابقًا) متعامد مع المحورين السابقين. هذا أمر ثنائي مع orth ب(الشكل 12، يمين). بالمناسبة، في هذه الحالة من هذا القبيل نظام الإحداثيات المستطيلةغالبا ما يشار إليها باسم "طبيعي" أو طبيعي.

7.1. تعريف المنتج المتقاطع

ثلاثة نواقل غير متحدة المستوى أ، ب، ج، مأخوذة بالترتيب المشار إليه، تشكل ثلاثية يمينية إذا شوهد من نهاية المتجه الثالث ج، أقصر دورة من المتجه الأول أ إلى المتجه الثاني ب يكون عكس اتجاه عقارب الساعة، وثلاثي أعسر إذا كان في اتجاه عقارب الساعة (انظر الشكل 16).

يسمى المنتج المتجه للمتجه أ والمتجه ب المتجه ج، والذي:

1. عمودي على المتجهين a و b، أي c ^ a و c ^ ب ؛

2. له طول يساوي عدديًا مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات a وبكما في الجوانب (انظر الشكل 17)، أي.

3. تشكل المتجهات a وb وc ثلاثية قائمة.

يُشار إلى المنتج المتقاطع بـ x b أو [a,b]. العلاقات التالية بين متجهات الوحدة أتبعها مباشرة من تعريف منتج المتجه، يو ك(انظر الشكل 18):

i x j = k، j x k = i، k x i = j.
دعونا نثبت ذلك، على سبيل المثالأنا xj = ك.

1) ك ^ ط، ك ^ ي ;

2) |ك |=1، لكن | ط س ي| = |أنا | |ي | الخطيئة (90 درجة) = 1؛

3) المتجهات ط، ي و كشكل ثلاثيًا قائمًا (انظر الشكل 16).

7.2. خصائص المنتج المتقاطع

1. عند إعادة ترتيب العوامل، تتغير إشارة المنتج المتجه، أي. و xb =(b xa) (انظر الشكل 19).

المتجهات a xb و b xa متداخلة، ولها نفس الوحدات (تبقى مساحة متوازي الأضلاع دون تغيير)، ولكنها موجهة بشكل معاكس (ثلاثية a، b، a xb و a، b، b x a ذات اتجاه معاكس). إنه com.axb = -(ب أ).

2. المنتج المتجه له خاصية الدمج فيما يتعلق بالعامل العددي، أي l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

دع ل> 0. المتجه l (a xb) متعامد مع المتجهين a وb. المتجه ( لفأس بهو أيضا عمودي على المتجهات و ب(المتجهات أ، لولكن تكمن في نفس الطائرة). وهذا يعني أن المتجهات ل(أ إكس ب) و ( لفأس بعلى استطراد. ومن الواضح أن اتجاهاتهم متطابقة. لديهم نفس الطول:

لهذا ل(أ إكس ب)= لإكس بي. وقد ثبت بطريقة مماثلة ل ل<0.

3. متجهان غير صفريين a و بتكون على خط مستقيم إذا وفقط إذا كان منتجها المتجه يساوي المتجه الصفري، أي a ||b<=>و إكس بي = 0.

على وجه الخصوص، i *i =j *j =k *k =0 .

4. المنتج المتجه له خاصية التوزيع:

(أ+ب)س ج = أ س ج + ب xs.

سوف نقبل بدون دليل.

7.3. التعبير عن المنتج الاتجاهي بدلالة الإحداثيات

سوف نستخدم جدول الضرب الاتجاهي للمتجهات i، يو ك:

إذا كان اتجاه أقصر مسار من المتجه الأول إلى الثاني يتزامن مع اتجاه السهم، فإن المنتج يساوي المتجه الثالث إذا لم يتطابق، يتم أخذ المتجه الثالث بعلامة ناقص.

دع المتجهين a =a x i +a y معطى ي+أ ض كو ب = ب س أنا+ب ي ي+ب ض ك. دعونا نجد المنتج المتجه لهذه المتجهات عن طريق ضربها في كثيرات الحدود (وفقًا لخصائص المنتج المتجه):

يمكن كتابة الصيغة الناتجة بشكل أكثر إيجازًا:

وبما أن الجانب الأيمن من المساواة (7.1) يتوافق مع توسيع محدد الدرجة الثالثة بدلالة عناصر الصف الأول (7.2) فمن السهل تذكره.

7.4. بعض تطبيقات المنتج المتقاطع

إنشاء علاقة خطية متداخلة من المتجهات

إيجاد مساحة متوازي الأضلاع والمثلث

حسب تعريف المنتج المتجه للمتجهات أوب |أ إكس بي | =|أ | * |b |sin g، أي أزواج S = |a x b |. وبالتالي، D S =1/2|a x b |.

تحديد عزم القوة حول نقطة ما

دع القوة تطبق عند النقطة أ و = أ بدعها تذهب عن- نقطة ما في الفضاء (انظر الشكل 20).

ومن المعروف من الفيزياء أن لحظة القوة F نسبة إلى النقطة عنيسمى ناقل م،الذي يمر عبر النقطة عنو:

1) عمودي على المستوى الذي يمر عبر النقاط يا، أ، ب؛

2) يساوي عدديًا حاصل ضرب القوة لكل ذراع

3) يشكل ثلاثيًا قائمًا مع المتجهات OA وAB.

لذلك، M = الزراعة العضوية × F.

إيجاد سرعة الدوران الخطية

سرعة الخامسالنقطة M لجسم صلب يدور بسرعة زاوية ثحول محور ثابت، يتم تحديده بواسطة صيغة أويلر v =w xr، حيث r =OM، حيث O هي نقطة ثابتة في المحور (انظر الشكل 21).

Yandex.RTB RA-A-339285-1

قبل إعطاء مفهوم المنتج المتجه، دعونا ننتقل إلى مسألة اتجاه ثلاثية مرتبة من المتجهات a →، b →، c → في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

في البداية، دعونا نضع جانبًا المتجهات a → , b → , c → من نقطة واحدة. يمكن أن يكون اتجاه الثلاثي a → , b → , c → يمينًا أو يسارًا، اعتمادًا على اتجاه المتجه c → نفسه. سيتم تحديد نوع الثلاثي a → , b → , c → من الاتجاه الذي يتم فيه أقصر دورة من المتجه a → إلى b → من نهاية المتجه c → .

إذا تم تنفيذ أقصر دورة عكس اتجاه عقارب الساعة، فسيتم استدعاء ثلاثية المتجهات a → , b → , c → يمين، إذا كان في اتجاه عقارب الساعة - غادر.

بعد ذلك، خذ متجهين غير خطيين a → وb →. دعونا بعد ذلك نرسم المتجهات A B → = a → و A C → = b → من النقطة A. لنقم ببناء المتجه A D → = c →، والذي يكون متعامدًا في الوقت نفسه على كل من A B → وAC →. وهكذا، عند بناء المتجه نفسه A D → = c →، يمكننا القيام بذلك بطريقتين، مع إعطائه إما اتجاه واحد أو الاتجاه المعاكس (انظر الشكل التوضيحي).

يمكن لثلاثية المتجهات المرتبة a → , b → , c → أن تكون، كما اكتشفنا، يمينًا أو يسارًا اعتمادًا على اتجاه المتجه.

مما سبق يمكننا تقديم تعريف المنتج المتجه. يتم تقديم هذا التعريف لمتجهين محددين في نظام إحداثيات مستطيل لمساحة ثلاثية الأبعاد.

التعريف 1

المنتج المتجه لمتجهين a → و b → سوف نسمي هذا المتجه المحدد في نظام إحداثيات مستطيل لمساحة ثلاثية الأبعاد مثل:

إذا كان المتجهان a → و b → على خط واحد، فسيكون صفرًا؛
سيكون عموديًا على كل من المتجه a → والمتجه b → أي. ∠ أ → ج → = ∠ ب → ج → = π 2 ;
يتم تحديد طوله بالصيغة: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
ثلاثية المتجهات a → , b → , c → لها نفس اتجاه نظام الإحداثيات المحدد.

يحتوي المنتج المتجه للمتجهات a → و b → على الترميز التالي: a → × b →.

إحداثيات المنتج المتجه

نظرًا لأن أي متجه له إحداثيات معينة في نظام الإحداثيات، فيمكننا تقديم تعريف ثانٍ لمنتج المتجهات، مما سيسمح لنا بإيجاد إحداثياته باستخدام الإحداثيات المعطاة للمتجهات.

التعريف 2

في نظام إحداثي مستطيل للفضاء ثلاثي الأبعاد المنتج المتجه لمتجهين a → = (a x ; a y ; a z) و b → = (b x ; b y ; b z) يسمى المتجه c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → حيث i → , j → , k → هي متجهات إحداثية.

يمكن تمثيل حاصل الضرب المتجه كمحدد لمصفوفة مربعة من الدرجة الثالثة، حيث يحتوي الصف الأول على المتجهات المتجهة i → , j → , k → , ويحتوي الصف الثاني على إحداثيات المتجه a → , والصف الثالث يحتوي على إحداثيات المتجه b → في نظام إحداثيات مستطيل معين، وهذا هو محدد المصفوفة كما يلي: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

بتوسيع هذا المحدد إلى عناصر الصف الأول، نحصل على المساواة: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × ب → = (أ ذ ب ض - أ ض ب ذ) i → + (أ ض ب س - أ س ب ض) ي → + (أ × ب ذ - أ ذ ب س) ك →

خصائص المنتج المتقاطع

من المعروف أن حاصل الضرب المتجه في الإحداثيات يمثل كمحدد للمصفوفة c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ، ثم على الأساس خصائص محدد المصفوفةيتم عرض ما يلي خصائص المنتج المتجه:

مضاد التبديل أ → × ب → = - ب → × أ → ;
التوزيعية أ (1) → + أ (2) → × ب = أ (1) → × ب → + أ (2) → × ب → أو أ → × ب (1) → + ب (2) → = أ → × ب (1) → + أ → × ب (2) → ;
الترابط π a → × b → = π a → × b → أو a → × (lect b →) = π a → × b →، حيث π هو رقم حقيقي تعسفي.

هذه الخصائص لها براهين بسيطة.

على سبيل المثال، يمكننا إثبات الخاصية المضادة للتبديل للمنتج المتجه.

إثبات مضاد التبديل

حسب التعريف، a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z و b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . وإذا تم تبديل صفين من المصفوفة، فيجب أن تتغير قيمة محدد المصفوفة إلى العكس، وبالتالي، a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → والذي يثبت أن المنتج المتجه مضاد للتبادل.

منتج المتجهات - الأمثلة والحلول

في معظم الحالات، هناك ثلاثة أنواع من المشاكل.

في المسائل من النوع الأول، عادةً ما يتم إعطاء طولي متجهين والزاوية بينهما، وتحتاج إلى إيجاد طول حاصل ضرب المتجه. في هذه الحالة، استخدم الصيغة التالية c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

مثال 1

أوجد طول حاصل ضرب المتجهات للمتجهين a → وb → إذا كنت تعرف a → = 3، b → = 5، ∠ a →، b → = π 4.

حل

من خلال تحديد طول المنتج المتجه للمتجهين a → و b →، نحل هذه المشكلة: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

إجابة: 15 2 2 .

مشاكل النوع الثاني لها علاقة بإحداثيات المتجهات، حيث يوجد منتج المتجه وطوله وما إلى ذلك. يتم البحث من خلال الإحداثيات المعروفة للمتجهات المعطاة أ → = (أ س؛ أ ص؛ أ ض) و ب → = (ب س ; ب ص ; ب ض) .

بالنسبة لهذا النوع من المشاكل، يمكنك حل الكثير من خيارات المهام. على سبيل المثال، لا يمكن تحديد إحداثيات المتجهين a → وb →، ولكن يمكن تحديد توسعاتهم في المتجهات الإحداثية للنموذج ب → = ب س · أنا → + ب ذ · ي → + ب ض · ك → و c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →، أو يمكن تحديد المتجهات a → و b → بإحداثيات بدايتها ونقاط النهاية.

النظر في الأمثلة التالية.

مثال 2

في نظام الإحداثيات المستطيل، يتم إعطاء متجهين: a → = (2; 1; - 3)، b → = (0; - 1; 1). ابحث عن منتجهم المتقاطع.

حل

بالتعريف الثاني، نجد حاصل الضرب المتجه لمتجهين في الإحداثيات المعطاة: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( أ س · ب ص - أ ص · ب س) · ك → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · ي → + (2) · (- 1) - 1 · 0) · ك → = = - 2 ط → - 2 ي → - 2 ك → .

إذا كتبنا حاصل الضرب المتجه من خلال محدد المصفوفة، فإن حل هذا المثال يبدو كما يلي: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 ط → - 2 ي → - 2 ك → .

إجابة: أ → × ب → = - 2 ط → - 2 ي → - 2 ك → .

مثال 3

أوجد طول حاصل ضرب المتجهات للمتجهات i → - j → وi → + j → + k →، حيث i →، j →، k → هي متجهات الوحدة لنظام الإحداثيات الديكارتية المستطيل.

حل

أولاً، دعونا نوجد إحداثيات منتج متجه معين i → - j → × i → + j → + k → في نظام إحداثيات مستطيل معين.

من المعروف أن المتجهات i → - j → و i → + j → + k → لها إحداثيات (1؛ - 1؛ 0) و (1؛ 1؛ 1)، على التوالي. لنوجد طول حاصل الضرب المتجه باستخدام محدد المصفوفة، ثم لدينا i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - ي → + 2 ك → .

ولذلك، فإن المنتج المتجه i → - j → × i → + j → + k → له إحداثيات (- 1 ; - 1 ; 2) في نظام الإحداثيات المحدد.

نجد طول حاصل ضرب المتجه باستخدام الصيغة (انظر القسم الخاص بإيجاد طول المتجه): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

إجابة: أنا → - ي → × أنا → + ي → + ك → = 6 . .

مثال 4

في نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل، يتم إعطاء إحداثيات ثلاث نقاط A (1، 0، 1)، B (0، 2، 3)، C (1، 4، 2). أوجد متجهًا متعامدًا على A B → و A C → في نفس الوقت.

حل

المتجهان A B → و A C → لهما الإحداثيات التالية (- 1 ; 2 ; 2) و (0 ; 4 ; 1) على التوالي. بعد العثور على المنتج المتجه للمتجهين A B → و A C →، فمن الواضح أنه متجه عمودي حسب التعريف لكل من A B → و A C →، أي أنه حل لمشكلتنا. لنجدها A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

إجابة: - 6 ط → + ي → - 4 ك → . - أحد المتجهات المتعامدة.

وتتركز مشاكل النوع الثالث على استخدام خصائص المنتج المتجه للمتجهات. وبعد تطبيق ذلك سنحصل على حل للمشكلة المحددة.

مثال 5

المتجهان a → و b → متعامدان وأطوالهما هي 3 و 4 على التوالي. أوجد طول المنتج المتجه 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · أ → × - 2 · ب → + - ب → × أ → + - ب → × - 2 · ب → .

حل

من خلال الخاصية التوزيعية للمنتج المتجه، يمكننا كتابة 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 أ → × أ → + 3 أ → × - 2 ب → + - ب → × أ → + - ب → × - 2 ب →

بواسطة خاصية الترابط، نخرج المعاملات العددية من إشارة نواتج المتجهات في التعبير الأخير: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - ب → × - 2 · ب → = = 3 · أ → × أ → + 3 · (- 2) · أ → × ب → + (- 1) · ب → × أ → + (- 1) · (- 2) · ب → × ب → = = 3 أ → × أ → - 6 أ → × ب → - ب → × أ → + 2 ب → × ب →

منتجات المتجهات a → × a → و b → × b → تساوي 0، حيث أن a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 و b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0، ثم 3 · أ → × أ → - 6 · أ → × ب → - ب → × أ → + 2 · ب → × ب → = - 6 · أ → × ب → - ب → × أ → . .

من عكسية المنتج المتجه يتبع - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × ب → . .

باستخدام خصائص المنتج المتجه، نحصل على المساواة 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

حسب الحالة، يكون المتجهان a → و b → متعامدين، أي أن الزاوية بينهما تساوي π 2. الآن كل ما تبقى هو استبدال القيم التي تم العثور عليها في الصيغ المناسبة: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → ب → · الخطيئة (أ → ، ب →) = 5 · 3 · 4 · الخطيئة π 2 = 60 .

إجابة: 3 أ → - ب → × أ → - 2 ب → = 60.

طول المنتج المتجه للمتجهات حسب التعريف يساوي a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . حيث أنه من المعروف (من المقرر الدراسي) أن مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب طولي ضلعيه مضروباً في جيب الزاوية الواقعة بين هذين الضلعين. وبالتالي، فإن طول المنتج المتجه يساوي مساحة متوازي الأضلاع - مثلث مضاعف، أي منتج الجوانب في شكل ناقلات a → و b →، المنصوص عليها من نقطة واحدة، بواسطة جيب الزاوية بينهما الخطيئة ∠ أ →، ب →.

هذا هو المعنى الهندسي للمنتج المتجه.

المعنى المادي للمنتج ناقلات

في الميكانيكا، أحد فروع الفيزياء، بفضل المنتج المتجه، يمكنك تحديد عزم القوة بالنسبة إلى نقطة ما في الفضاء.

التعريف 3

بحلول لحظة تطبيق القوة F → على النقطة B، بالنسبة إلى النقطة A، سوف نفهم المنتج المتجه التالي A B → × F →.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter