لكي تتعلم كيفية حل التكاملات المحددة عليك أن:
1) أن تكون قادرة على يجدالتكاملات غير المحددة.
2) أن تكون قادرة على احسبتكامل محدد.
كما ترون، لكي تتقن التكامل المحدد، يجب أن يكون لديك فهم جيد إلى حد ما للتكاملات غير المحددة "العادية". لذلك، إذا كنت قد بدأت للتو في الغوص في حساب التفاضل والتكامل، ولم تغلي الغلاية بعد على الإطلاق، فمن الأفضل أن تبدأ بالدرس تكامل غير محدد. أمثلة على الحلول.
وبشكل عام، يتم كتابة التكامل المحدد على النحو التالي:
ما الذي يضاف مقارنة بالتكامل غير المحدد؟ أكثر حدود التكامل.
الحد الأدنى للتكامل
الحد الأعلى للتكامليشار إليه بشكل قياسي بالحرف .
يسمى الجزء شريحة التكامل.
قبل أن ننتقل إلى الأمثلة العملية، القليل من "اللعنة" على التكامل المحدد.
ما هو التكامل المحدد؟يمكنني أن أخبرك عن قطر القطعة، وحدود المجاميع التكاملية، وما إلى ذلك، لكن الدرس ذو طبيعة عملية. ولذلك، سأقول أن التكامل المحدد هو رقم. نعم، نعم، الرقم الأكثر عادية.
هل للتكامل المحدد معنى هندسي؟يأكل. وجيد جدا. المهمة الأكثر شعبية هي حساب المساحة باستخدام تكامل محدد.
ماذا يعني حل تكامل محدد؟حل تكامل محدد يعني إيجاد رقم.
كيفية حل تكامل محدد؟باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز المألوفة في المدرسة:
من الأفضل إعادة كتابة الصيغة على قطعة منفصلة من الورق، ويجب أن تكون أمام عينيك طوال الدرس.
خطوات حل التكامل المحدد هي كما يلي:
1) أولا نجد دالة المشتقة العكسية (التكامل غير المحدد). لاحظ أن الثابت في التكامل المحدد لم تتم إضافتها أبدًا. التسمية تقنية بحتة، والعصا العمودية لا تحمل أي معنى رياضي في الواقع، فهي مجرد علامة. لماذا هناك حاجة للتسجيل نفسه؟ التحضير لتطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز.
2) عوّض بقيمة الحد الأعلى في دالة المشتق العكسي: .
3) عوّض بقيمة الحد الأدنى في دالة المشتقة العكسية: .
4) نحسب (بدون أخطاء!) الفرق، أي نجد الرقم.
هل يوجد تكامل محدد دائمًا؟لا، ليس دائما.
على سبيل المثال، التكامل غير موجود لأن شريحة التكامل غير مدرجة في مجال تعريف التكامل (لا يمكن أن تكون القيم تحت الجذر التربيعي سالبة). إليك مثال أقل وضوحًا: . مثل هذا التكامل أيضًا غير موجود، لأنه لا يوجد مماس عند نقاط القطعة. بالمناسبة، من لم يقرأ المادة التعليمية بعد؟ الرسوم البيانية والخصائص الأساسية للوظائف الأولية- الوقت للقيام بذلك هو الآن. سيكون أمرًا رائعًا المساعدة طوال دورة الرياضيات العليا.
لكي يكون هناك تكامل محدد على الإطلاق، من الضروري أن تكون الدالة التكاملية متصلة على فترة التكامل.
مما سبق، تتبع التوصية المهمة الأولى: قبل أن تبدأ في حل أي تكامل محدد، عليك التأكد من أن الدالة التكاملية مستمرة على فترة التكامل. عندما كنت طالبًا، تعرضت لحادثة مرارًا وتكرارًا عندما كافحت لفترة طويلة للعثور على مشتق عكسي صعب، وعندما وجدته أخيرًا، أزعجت ذهني بسؤال آخر: "ما نوع هذا الهراء الذي تبين أنه كان؟ ؟" في نسخة مبسطة، يبدو الوضع كما يلي:
???!!!
لا يمكنك استبدال الأرقام السالبة تحت الجذر!
إذا كان الحل (في اختبار، اختبار، امتحان) يُعرض عليك تكامل غير موجود مثل
فأنت بحاجة إلى إعطاء إجابة مفادها أن التكامل غير موجود وتبرير السبب.
هل يمكن للتكامل المحدد أن يساوي عددًا سالبًا؟ربما. وعدد سلبي. والصفر. قد يكون الأمر لا نهاية له، لكنه سيكون كذلك بالفعل تكامل غير لائق، والتي تعطى محاضرة منفصلة.
هل يمكن أن يكون الحد الأدنى للتكامل أكبر من الحد الأعلى للتكامل؟ولعل هذا الوضع يحدث بالفعل في الممارسة العملية.
– يمكن حساب التكامل بسهولة باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز.
ما هو الرياضيات العليا الذي لا غنى عنه؟ وبطبيعة الحال، دون كل أنواع الخصائص. لذلك، دعونا نتناول بعض خصائص التكامل المحدد.
في التكامل المحدد، يمكنك إعادة ترتيب الحدود العليا والدنيا، مع تغيير الإشارة:
على سبيل المثال، في التكامل المحدد، قبل التكامل، من المستحسن تغيير حدود التكامل إلى الترتيب "العادي":
- في هذا النموذج يكون التكامل أكثر ملاءمة.
كما هو الحال مع التكامل غير المحدد، التكامل المحدد له خصائص خطية:
- وهذا لا ينطبق فقط على وظيفتين، ولكن أيضًا على أي عدد من الوظائف.
في تكامل محدد يمكن للمرء أن ينفذ استبدال متغير التكاملومع ذلك، بالمقارنة مع التكامل غير المحدد، فإن هذا له تفاصيله الخاصة، والتي سنتحدث عنها لاحقًا.
بالنسبة للتكامل المحدد، ينطبق ما يلي: التكامل بواسطة صيغة الأجزاء:
مثال 1
حل:
(١) نحذف الثابت من إشارة التكامل.
(2) التكامل عبر الجدول باستخدام الصيغة الأكثر شيوعًا 
. ومن المستحسن فصل الثابت الناشئ عن القوس ووضعه خارج القوس. ليس من الضروري القيام بذلك، ولكن من المستحسن - لماذا الحسابات الإضافية؟
(3) نستخدم صيغة نيوتن-لايبنتز
.
أولًا، نعوض عن الحد الأعلى، ثم الحد الأدنى. نقوم بإجراء المزيد من الحسابات ونحصل على الإجابة النهائية.
مثال 2
حساب التكامل المحدد
هذا مثال عليك أن تحله بنفسك، الحل والإجابة موجودان في نهاية الدرس.
دعونا نعقد المهمة قليلاً:
مثال 3
حساب التكامل المحدد 
حل: 
(1) نستخدم الخصائص الخطية للتكامل المحدد.
(2) نتكامل حسب الجدول مع إخراج جميع الثوابت - فهي لن تشارك في استبدال الحدين الأعلى والأدنى.
(3) لكل من المصطلحات الثلاثة نطبق صيغة نيوتن-لايبنتز: 
الحلقة الضعيفة في التكامل المحدد هي الأخطاء الحسابية والارتباك الشائع في الإشارات. احرص! وأركز اهتمامًا خاصًا على المصطلح الثالث:
- المركز الأول في قائمة الأخطاء الناتجة عن عدم الانتباه، وغالبًا ما يكتبون تلقائيًا
(خاصة عندما يتم استبدال الحدود العليا والدنيا شفهيًا ولا يتم كتابتها بمثل هذه التفاصيل). مرة أخرى، ادرس المثال أعلاه بعناية.
تجدر الإشارة إلى أن الطريقة المدروسة لحل التكامل المحدد ليست الوحيدة. مع بعض الخبرة، يمكن تقليل الحل بشكل كبير. على سبيل المثال، أنا نفسي معتاد على حل مثل هذه التكاملات مثل هذا:
لقد استخدمت هنا قواعد الخطية لفظيًا وتكاملت لفظيًا باستخدام الجدول. انتهى بي الأمر بقوس واحد فقط مع تحديد الحدود:
(على عكس الأقواس الثلاثة في الطريقة الأولى). وفي دالة المشتقة العكسية "الكاملة"، استبدلت أولاً 4، ثم -2، وقمت مرة أخرى بتنفيذ جميع الإجراءات في ذهني.
ما هي عيوب الحل القصير؟ كل شيء هنا ليس جيدًا جدًا من وجهة نظر عقلانية الحسابات، لكنني شخصيًا لا أهتم - فأنا أحسب الكسور العادية على الآلة الحاسبة.
بالإضافة إلى ذلك، هناك خطر متزايد لحدوث خطأ في الحسابات، لذلك من الأفضل لطالب الشاي استخدام الطريقة الأولى مع طريقة الحل "الخاصة بي"، ومن المؤكد أن العلامة ستضيع في مكان ما.
المزايا التي لا شك فيها للطريقة الثانية هي سرعة الحل، وضغط التدوين وحقيقة أن المشتق العكسي
هو في قوس واحد.
تسمى عملية حل التكاملات في العلم الذي يسمى الرياضيات بالتكامل. باستخدام التكامل، يمكنك العثور على بعض الكميات الفيزيائية: المساحة والحجم وكتلة الأجسام وأكثر من ذلك بكثير.
يمكن أن تكون التكاملات غير محددة أو محددة. دعونا نفكر في شكل التكامل المحدد ونحاول فهم معناه المادي. ويتم تمثيله بهذا الشكل: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. السمة المميزة لكتابة تكامل محدد من تكامل غير محدد هي أن هناك حدود للتكامل أ و ب. الآن سوف نكتشف سبب الحاجة إليها، وماذا يعني التكامل المحدد في الواقع. بالمعنى الهندسي، مثل هذا التكامل يساوي مساحة الشكل الذي يحده المنحنى f(x)، والخطين a وb، ومحور الثور.
يتضح من الشكل 1 أن التكامل المحدد هو نفس المساحة المظللة باللون الرمادي. دعونا نتحقق من ذلك بمثال بسيط. دعونا نوجد مساحة الشكل في الصورة أدناه باستخدام التكامل، ثم نحسبها بالطريقة المعتادة بضرب الطول في العرض.
يتضح من الشكل 2 أن $ y=f(x)=3 $، $ a=1، b=2 $. الآن نعوض بها في تعريف التكامل، نحصل على $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(units)^2 $$ لنجري الفحص بالطريقة المعتادة. في حالتنا، الطول = 3، عرض الشكل = 1. $$ S = \text(length) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(units)^2 $$ كما يمكنك ترى، كل شيء يتطابق تماما.
السؤال الذي يطرح نفسه: كيفية حل التكاملات غير المحددة وما معناها؟ حل هذه التكاملات هو إيجاد دوال مشتقة عكسية. هذه العملية هي عكس إيجاد المشتق. من أجل العثور على المشتق العكسي، يمكنك استخدام مساعدتنا في حل المشكلات في الرياضيات، أو تحتاج إلى حفظ خصائص التكاملات وجدول تكامل أبسط الوظائف الأولية بشكل مستقل. تبدو النتيجة كما يلي: $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(where) F(x) $ هو المشتق العكسي لـ $ f(x)، C = const $.
لحل التكامل، تحتاج إلى دمج الدالة $ f(x) $ على متغير. إذا كانت الدالة جدولية، فسيتم كتابة الإجابة بالشكل المناسب. إذا لم يكن الأمر كذلك، فإن العملية تتلخص في الحصول على دالة جدولية من الدالة $ f(x) $ من خلال تحويلات رياضية صعبة. هناك طرق وخصائص مختلفة لهذا، والتي سننظر فيها أكثر.
إذن، دعونا الآن ننشئ خوارزمية لحل التكاملات للنماذج الافتراضية؟
خوارزمية لحساب التكاملات
- دعونا معرفة التكامل المحدد أم لا.
- إذا لم يتم تحديدها، فأنت بحاجة إلى العثور على الدالة المشتقة العكسية $ F(x) $ للتكامل $ f(x) $ باستخدام التحويلات الرياضية التي تؤدي إلى شكل جدولي للدالة $ f(x) $.
- إذا تم تحديدها، فستحتاج إلى تنفيذ الخطوة 2، ثم استبدال الحدود $ a $ و $ b $ في دالة المشتق العكسي $ F(x) $. سوف تكتشف الصيغة التي يجب استخدامها للقيام بذلك في مقالة "صيغة نيوتن-لايبنيز".
أمثلة على الحلول
لقد تعلمت كيفية حل التكاملات للدمى، وتم فرز أمثلة على حل التكاملات. لقد تعلمنا معناها المادي والهندسي. سيتم وصف طرق الحل في مقالات أخرى.
في كل فصل، ستكون هناك مهام للحل المستقل، والتي يمكنك رؤية الإجابات عليها.
مفهوم التكامل المحدد وصيغة نيوتن-لايبنتز
بواسطة تكامل محدد من دالة مستمرة F(س) في الجزء الأخير [ أ, ب] (حيث) تسمى زيادة بعضه مشتق مضادعلى هذا الجزء. (بشكل عام الفهم سيكون أسهل بكثير إذا كررت الموضوع تكامل غير محدد) في هذه الحالة، يتم استخدام التدوين
كما هو موضح في الرسوم البيانية أدناه (يُشار إلى زيادة دالة المشتق العكسي بالرمز )، يمكن أن يكون التكامل المحدد رقمًا موجبًا أو سالبًا(يتم حسابه على أنه الفرق بين قيمة المشتق العكسي في الحد الأعلى وقيمته في الحد الأدنى، أي كما يلي: F(ب) - F(أ)).
أعداد أو بويطلق عليهما الحدان الأدنى والأعلى للتكامل على التوالي، والقطعة [ أ, ب] – شريحة التكامل.
وهكذا إذا F(س) - بعض وظائف المشتقات العكسية لـ F(س)، إذن، حسب التعريف،
(38)
تسمى المساواة (38). صيغة نيوتن-لايبنتز . اختلاف F(ب) – F(أ) يتم كتابته بإيجاز على النحو التالي:
لذلك سنكتب صيغة نيوتن-لايبنتز على النحو التالي:
(39)
دعونا نثبت أن التكامل المحدد لا يعتمد على المشتقة العكسية للتكامل المأخوذة عند حسابه. يترك F(س) و ف ( X) هي مشتقات عكسية تعسفية للتكامل. وبما أن هذه مشتقات عكسية لنفس الوظيفة، فإنها تختلف بمصطلح ثابت: Ф( X) = F(س) + ج. لهذا
وهذا يثبت أنه على الجزء [ أ, ب] زيادات جميع المشتقات العكسية للدالة F(س) تطابق.
وبالتالي، لحساب تكامل محدد، فمن الضروري العثور على أي مشتق عكسي للتكامل، أي. تحتاج أولاً إلى العثور على التكامل غير المحدد. ثابت مع مستبعدة من الحسابات اللاحقة. ثم يتم تطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز: يتم استبدال قيمة الحد الأعلى في دالة المشتق العكسي ب , كذلك - قيمة الحد الأدنى أ ويتم حساب الفرق و(ب) - و(أ) . سيكون الرقم الناتج تكاملاً محددًا..
في أ = ببالتعريف مقبول
مثال 1.
حل. أولا، دعونا نجد التكامل غير المحدد:
تطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز على المشتق العكسي
(في مع= 0)، نحصل على
ومع ذلك، عند حساب تكامل محدد، فمن الأفضل عدم العثور على المشتق العكسي بشكل منفصل، ولكن كتابة التكامل على الفور في النموذج (39).
مثال 2.حساب التكامل المحدد
حل. باستخدام الصيغة
أوجد التكامل المحدد بنفسك ثم انظر إلى الحل
خصائص التكامل المحدد
النظرية 2.لا تعتمد قيمة التكامل المحدد على تسمية متغير التكامل، أي.
(40)
يترك F(س) - مشتق مضاد ل F(س). ل F(ر) المشتق العكسي هو نفس الوظيفة F(ر)، حيث يتم تعيين المتغير المستقل بشكل مختلف فقط. لذلك،
واستنادا إلى الصيغة (39)، فإن المساواة الأخيرة تعني مساواة التكاملات
النظرية 3.يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة التكامل المحدد، أي.
(41)
النظرية 4.التكامل المحدد للمجموع الجبري لعدد محدود من الدوال يساوي المجموع الجبري للتكاملات المحددة لهذه الدوال، أي.
(42)
النظرية 5.إذا تم تقسيم جزء التكامل إلى أجزاء، فإن التكامل المحدد على الجزء بأكمله يساوي مجموع التكاملات المحددة على أجزائه، أي. لو
(43)
النظرية 6.عند إعادة ترتيب حدود التكامل، فإن القيمة المطلقة للتكامل المحدد لا تتغير، بل تتغير إشارته فقط، أي.
(44)
النظرية 7(يعني نظرية القيمة). التكامل المحدد يساوي حاصل ضرب طول قطعة التكامل وقيمة التكامل عند نقطة ما داخلها، أي.
(45)
النظرية 8.إذا كان الحد الأعلى للتكامل أكبر من الحد الأدنى وكان التكامل غير سالب (موجب)، فإن التكامل المحدد يكون أيضًا غير سالب (موجب)، أي. لو
النظرية 9.إذا كان الحد الأعلى للتكامل أكبر من الحد الأدنى وكانت الدوال متصلة، فإن المتراجحة
يمكن أن تكون متكاملة مصطلحا بعد مصطلح، أي.
(46)
خصائص التكامل المحدد تجعل من الممكن تبسيط الحساب المباشر للتكاملات.
مثال 5.حساب التكامل المحدد
باستخدام النظريتين 4 و3، وعند إيجاد المشتقات العكسية - تكاملات الجدول(7) و (6) نحصل عليه
التكامل المحدد مع الحد الأعلى المتغير
يترك F(س) – مستمر على المقطع [ أ, ب] وظيفة، و F(س) هو مشتقه المضاد. النظر في التكامل المحدد
(47)
ومن خلال رتم تعيين متغير التكامل بحيث لا يتم الخلط بينه وبين الحد الأعلى. عندما يتغير Xالتكامل المحدد (47) يتغير أيضًا، أي. إنها دالة الحد الأعلى للتكامل X، والتي نشير بها F(X)، أي.
(48)
دعونا نثبت أن الوظيفة F(X) هو مشتق مضاد ل F(س) = F(ر). في الواقع، التفريق F(X)، نحن نحصل
لأن F(س) - مشتق مضاد ل F(س)، أ F(أ) هي قيمة ثابتة.
وظيفة F(X) - واحد من عدد لا حصر له من المشتقات العكسية لـ F(س) أي الذي س = أيذهب إلى الصفر. ويتم الحصول على هذا البيان إذا وضعنا في المساواة (48). س = أواستخدم النظرية 1 من الفقرة السابقة.
حساب التكاملات المحددة بطريقة التكامل بالأجزاء وطريقة تغيير المتغير
حيث، بحكم التعريف، F(س) - مشتق مضاد ل F(س). إذا قمنا بتغيير المتغير في التكامل
ثم، وفقا للصيغة (16)، يمكننا أن نكتب
في هذا التعبير
دالة مشتقة عكسية لـ
في الواقع، مشتق منه، وفقا ل قاعدة التمايز بين الوظائف المعقدة، متساوي
دع α و β هما قيم المتغير ر، والتي الوظيفة
يأخذ القيم وفقا لذلك أو ب، أي.
ولكن، وفقا لصيغة نيوتن-لايبنتز، فإن الفرق F(ب) – F(أ) هنالك
تكامل محدد. أمثلة على الحلول
مرحبا مجددا. في هذا الدرس سوف ندرس بالتفصيل شيئًا رائعًا مثل التكامل المحدد. هذه المرة ستكون المقدمة قصيرة. الجميع. لأن هناك عاصفة ثلجية خارج النافذة.
لكي تتعلم كيفية حل التكاملات المحددة عليك أن:
1) أن تكون قادرة على يجدالتكاملات غير المحددة.
2) أن تكون قادرة على احسبتكامل محدد.
كما ترون، لكي تتقن التكامل المحدد، يجب أن يكون لديك فهم جيد إلى حد ما للتكاملات غير المحددة "العادية". لذلك، إذا كنت قد بدأت للتو في الغوص في حساب التفاضل والتكامل، ولم تغلي الغلاية بعد على الإطلاق، فمن الأفضل أن تبدأ بالدرس تكامل غير محدد. أمثلة على الحلول. بالإضافة إلى ذلك، هناك دورات pdf ل تحضير سريع للغاية- إذا بقي لك يوم حرفيًا، فقد بقي نصف يوم.
وبشكل عام، يتم كتابة التكامل المحدد على النحو التالي:
ما الذي يضاف مقارنة بالتكامل غير المحدد؟ أكثر حدود التكامل.
الحد الأدنى للتكامل
الحد الأعلى للتكامليشار إليه بشكل قياسي بالحرف .
يسمى الجزء شريحة التكامل.
قبل أن ننتقل إلى الأمثلة العملية، هناك أسئلة سريعة حول التكامل المحدد.
ماذا يعني حل تكامل محدد؟حل تكامل محدد يعني إيجاد رقم.
كيفية حل تكامل محدد؟باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز المألوفة في المدرسة:
من الأفضل إعادة كتابة الصيغة على قطعة منفصلة من الورق، ويجب أن تكون أمام عينيك طوال الدرس.
خطوات حل التكامل المحدد هي كما يلي:
1) أولا نجد دالة المشتقة العكسية (التكامل غير المحدد). لاحظ أن الثابت في التكامل المحدد غير مضافة. التسمية تقنية بحتة، والعصا العمودية لا تحمل أي معنى رياضي في الواقع، فهي مجرد علامة. لماذا هناك حاجة للتسجيل نفسه؟ التحضير لتطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز.
2) عوّض بقيمة الحد الأعلى في دالة المشتق العكسي: .
3) عوّض بقيمة الحد الأدنى في دالة المشتقة العكسية: .
4) نحسب (بدون أخطاء!) الفرق، أي نجد الرقم.
هل يوجد تكامل محدد دائمًا؟لا، ليس دائما.
على سبيل المثال، لا يوجد تكامل لأن جزء التكامل غير مدرج في مجال التكامل (لا يمكن أن تكون القيم تحت الجذر التربيعي سالبة). إليك مثال أقل وضوحًا: . هنا على فترة التكامل الظليتحمل فواصل لا نهاية لهاعند النقاط ، وبالتالي فإن مثل هذا التكامل المحدد غير موجود أيضًا. بالمناسبة، من لم يقرأ المادة التعليمية بعد؟ الرسوم البيانية والخصائص الأساسية للوظائف الأولية- الوقت للقيام بذلك هو الآن. سيكون أمرًا رائعًا المساعدة طوال دورة الرياضيات العليا.
من أجل هذا لكي يوجد تكامل محدد على الإطلاق، يكفي أن يكون التكامل مستمرًا على فترة التكامل.
مما سبق، تتبع التوصية المهمة الأولى: قبل أن تبدأ في حل أي تكامل محدد، عليك التأكد من أن الدالة التكاملية مستمرة على فترة التكامل. عندما كنت طالبًا، تعرضت لحادثة مرارًا وتكرارًا عندما كافحت لفترة طويلة للعثور على مشتق عكسي صعب، وعندما وجدته أخيرًا، أزعجت ذهني بسؤال آخر: "ما نوع هذا الهراء الذي تبين أنه كان؟ ؟" في نسخة مبسطة، يبدو الوضع كما يلي:
؟؟؟! لا يمكنك استبدال الأرقام السالبة تحت الجذر! ماذا بحق الجحيم هو هذا؟! عدم الاهتمام الأولي.
إذا عُرض عليك تكامل مثل أو للحصول على حل (في اختبار أو اختبار أو اختبار)، فأنت بحاجة إلى إعطاء إجابة مفادها أن هذا التكامل المحدد غير موجود وتبرير السبب.
! ملحوظة : وفي الحالة الأخيرة، لا يمكن حذف كلمة "معين"، لأن ينقسم التكامل مع انقطاعات النقطة إلى عدة تكاملات، في هذه الحالة إلى 3 تكاملات غير صحيحة، وتصبح صياغة "هذا التكامل غير موجود" غير صحيحة.
هل يمكن للتكامل المحدد أن يساوي عددًا سالبًا؟ربما. وعدد سلبي. والصفر. قد يكون الأمر لا نهاية له، لكنه سيكون كذلك بالفعل تكامل غير لائق، والتي تعطى محاضرة منفصلة.
هل يمكن أن يكون الحد الأدنى للتكامل أكبر من الحد الأعلى للتكامل؟ولعل هذا الوضع يحدث بالفعل في الممارسة العملية.
– يمكن حساب التكامل بسهولة باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز.
ما هو الرياضيات العليا الذي لا غنى عنه؟ وبطبيعة الحال، دون كل أنواع الخصائص. لذلك، دعونا نفكر في بعض خصائص التكامل المحدد.
في التكامل المحدد، يمكنك إعادة ترتيب الحدود العلوية والسفلية، وتغيير العلامة:
على سبيل المثال، في التكامل المحدد، قبل التكامل، من المستحسن تغيير حدود التكامل إلى الترتيب "العادي":
- في هذا النموذج يكون التكامل أكثر ملاءمة.
- وهذا لا ينطبق فقط على وظيفتين، ولكن أيضًا على أي عدد من الوظائف.
في تكامل محدد يمكن للمرء أن ينفذ استبدال متغير التكاملومع ذلك، بالمقارنة مع التكامل غير المحدد، فإن هذا له تفاصيله الخاصة، والتي سنتحدث عنها لاحقًا.
بالنسبة للتكامل المحدد، ينطبق ما يلي: التكامل بواسطة صيغة الأجزاء:
مثال 1
حل:
(١) نحذف الثابت من إشارة التكامل.
(2) التكامل عبر الجدول باستخدام الصيغة الأكثر شيوعًا 
. ومن المستحسن فصل الثابت الناشئ عن القوس ووضعه خارج القوس. ليس من الضروري القيام بذلك، ولكن من المستحسن - لماذا الحسابات الإضافية؟
. أولًا، نعوض عن الحد الأعلى، ثم الحد الأدنى. نقوم بإجراء المزيد من الحسابات ونحصل على الإجابة النهائية.
مثال 2
حساب التكامل المحدد
هذا مثال عليك أن تحله بنفسك، الحل والإجابة موجودان في نهاية الدرس.
دعونا نعقد المهمة قليلاً:
مثال 3
حساب التكامل المحدد 
حل: 
(1) نستخدم الخصائص الخطية للتكامل المحدد.
(2) نتكامل حسب الجدول مع إخراج جميع الثوابت - فهي لن تشارك في استبدال الحدين الأعلى والأدنى.
(3) لكل من المصطلحات الثلاثة نطبق صيغة نيوتن-لايبنتز: 
الحلقة الضعيفة في التكامل المحدد هي الأخطاء الحسابية والارتباك الشائع في الإشارات. احرص! وأركز اهتمامًا خاصًا على المصطلح الثالث: 
- المركز الأول في قائمة الأخطاء الناتجة عن عدم الانتباه، وغالبًا ما يكتبون تلقائيًا 
(خاصة عندما يتم استبدال الحدود العليا والدنيا شفهيًا ولا يتم كتابتها بمثل هذه التفاصيل). مرة أخرى، ادرس المثال أعلاه بعناية.
تجدر الإشارة إلى أن الطريقة المدروسة لحل التكامل المحدد ليست الوحيدة. مع بعض الخبرة، يمكن تقليل الحل بشكل كبير. على سبيل المثال، أنا نفسي معتاد على حل مثل هذه التكاملات مثل هذا:
لقد استخدمت هنا قواعد الخطية لفظيًا وتكاملت لفظيًا باستخدام الجدول. انتهى بي الأمر بقوس واحد فقط مع تحديد الحدود: 
(على عكس الأقواس الثلاثة في الطريقة الأولى). وفي دالة المشتقة العكسية "الكاملة"، استبدلت أولاً 4، ثم -2، وقمت مرة أخرى بتنفيذ جميع الإجراءات في ذهني.
ما هي عيوب الحل القصير؟ كل شيء هنا ليس جيدًا جدًا من وجهة نظر عقلانية الحسابات، لكنني شخصيًا لا أهتم - فأنا أحسب الكسور العادية على الآلة الحاسبة.
بالإضافة إلى ذلك، هناك خطر متزايد لحدوث خطأ في الحسابات، لذلك من الأفضل لطالب الشاي استخدام الطريقة الأولى مع طريقة الحل "الخاصة بي"، ومن المؤكد أن العلامة ستضيع في مكان ما.
ومع ذلك، فإن المزايا التي لا شك فيها للطريقة الثانية هي سرعة الحل، وضغط التدوين وحقيقة أن المشتق العكسي يقع بين قوسين.
نصيحة: قبل استخدام صيغة نيوتن-لايبنتز، من المفيد التحقق مما يلي: هل تم العثور على المشتق العكسي نفسه بشكل صحيح؟
لذلك، فيما يتعلق بالمثال قيد النظر: قبل استبدال الحدين العلوي والسفلي في وظيفة المشتق العكسي، فمن المستحسن التحقق من المسودة ما إذا كان التكامل غير المحدد قد تم العثور عليه بشكل صحيح؟ دعونا نفرق:
تم الحصول على دالة التكامل الأصلية، مما يعني أنه تم العثور على التكامل غير المحدد بشكل صحيح. الآن يمكننا تطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز.
لن يكون مثل هذا الفحص غير ضروري عند حساب أي تكامل محدد.
مثال 4
حساب التكامل المحدد 
هذا مثال لك لحل نفسك. حاول حلها بطريقة قصيرة ومفصلة.
تغيير متغير في تكامل محدد
بالنسبة للتكامل المحدد، تكون جميع أنواع البدائل صالحة بالنسبة للتكامل غير المحدد. وبالتالي، إذا لم تكن جيدًا في استخدام البدائل، فيجب عليك قراءة الدرس بعناية طريقة الاستبدال في التكامل غير المحدد.
لا يوجد شيء مخيف أو صعب في هذه الفقرة. الجدة تكمن في السؤال كيفية تغيير حدود التكامل عند الاستبدال.
في الأمثلة، سأحاول تقديم أنواع البدائل التي لم يتم العثور عليها بعد في أي مكان على الموقع.
مثال 5
حساب التكامل المحدد
السؤال الرئيسي هنا ليس التكامل المحدد، ولكن كيفية إجراء الاستبدال بشكل صحيح. دعنا ننظر إلى جدول التكاملاتومعرفة كيف تبدو دالتنا التكاملية أكثر؟ من الواضح أنه بالنسبة للوغاريتم الطويل: 
. ولكن هناك تناقض واحد، في جدول التكامل تحت الجذر، وفي جدولنا - "x" للقوة الرابعة. تنبع فكرة الاستبدال أيضًا من المنطق - سيكون من الجيد تحويل قوتنا الرابعة بطريقة أو بأخرى إلى مربع. انه حقيقي.
أولاً، نقوم بإعداد التكامل الخاص بنا للاستبدال:
من الاعتبارات المذكورة أعلاه، ينشأ البديل بشكل طبيعي تمامًا:
وهكذا سيكون كل شيء على ما يرام في القاسم: .
نكتشف ما سيتحول إليه الجزء المتبقي من التكامل، ولهذا نجد التفاضل:
بالمقارنة مع الاستبدال في التكامل غير المحدد، نضيف خطوة إضافية.
إيجاد حدود جديدة للتكامل.
انها بسيطة جدا. دعونا نلقي نظرة على الاستبدال والحدود القديمة للتكامل، .
أولًا، نعوض بالحد الأدنى للتكامل، وهو صفر، في تعبير الاستبدال:
ثم نعوض بالحد الأعلى للتكامل في تعبير الاستبدال، وهو جذر الثلاثة:
مستعد. و فقط...
لنواصل مع الحل.
(١) على حسب الاستبدال كتابة تكامل جديد بحدود تكامل جديدة.
(2) هذا هو أبسط تكامل للجدول، نقوم بتكامله فوق الجدول. من الأفضل ترك الثابت خارج الأقواس (ليس عليك القيام بذلك) حتى لا يتعارض مع العمليات الحسابية الإضافية. على اليمين نرسم خطًا يشير إلى الحدود الجديدة للتكامل - وهذا تمهيدًا لتطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز.
(3) نستخدم صيغة نيوتن-لايبنتز 
.
نحن نسعى جاهدين لكتابة الإجابة في الصورة الأكثر إحكاما؛ هنا استخدمت خصائص اللوغاريتمات.
هناك اختلاف آخر عن التكامل غير المحدد وهو أنه بعد إجراء الاستبدال، ليست هناك حاجة لتنفيذ أي بدائل عكسية.
والآن إليك بعض الأمثلة لتقررها بنفسك. ما هي البدائل التي يجب عليك إجراؤها - حاول التخمين بنفسك.
مثال 6
حساب التكامل المحدد
مثال 7
حساب التكامل المحدد
هذه أمثلة يمكنك حلها بنفسك. الحلول والأجوبة في نهاية الدرس.
وفي نهاية الفقرة بضع نقاط مهمة ظهر تحليلها بفضل زوار الموقع. الأول يتعلق مشروعية الاستبدال. وفي بعض الحالات لا يمكن القيام بذلك!وبالتالي، يبدو أن المثال 6 يمكن حله باستخدام الاستبدال المثلثي العالميومع ذلك، فإن الحد الأعلى للتكامل ("باي")غير مدرجة في اِختِصاصهذا الظل وبالتالي هذا الاستبدال غير قانوني! هكذا، يجب أن تكون وظيفة "الاستبدال" مستمرة في كل شيءنقاط قسم التكامل.
وفي بريد إلكتروني آخر، تم تلقي السؤال التالي: "هل نحتاج إلى تغيير حدود التكامل عندما ندرج دالة تحت العلامة التفاضلية؟" في البداية أردت "رفض هذا الهراء" والإجابة تلقائيًا "بالطبع لا"، ولكن بعد ذلك فكرت في سبب مثل هذا السؤال واكتشفت فجأة أنه لا توجد معلومات يفتقر. ولكن على الرغم من وضوحها، إلا أنها مهمة للغاية:
إذا أدخلنا الدالة تحت العلامة التفاضلية، فلا داعي لتغيير حدود التكامل! لماذا؟ لأنه في هذه الحالة لا يوجد انتقال فعلي إلى متغير جديد. على سبيل المثال: 
وهنا يكون الجمع أكثر ملاءمة من الاستبدال الأكاديمي بـ "الرسم" اللاحق لحدود التكامل الجديدة. هكذا، إذا لم يكن التكامل المحدد معقدًا للغاية، فحاول دائمًا وضع الدالة تحت العلامة التفاضلية! إنه أسرع، وأكثر إحكاما، وهو أمر شائع - كما سترون عشرات المرات!
شكرا جزيلا على رسائلك!
طريقة التكامل بالأجزاء في تكامل محدد
هناك حداثة أقل هنا. جميع حسابات المادة التكامل بالأجزاء في التكامل غير المحددصالحة تماما للتكامل المحدد.
هناك تفصيل واحد فقط يعتبر زائدا في صيغة التكامل بالأجزاء، ويتم إضافة حدود التكامل:
يجب تطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز مرتين هنا: بالنسبة للمنتج وبعد أن نأخذ التكامل.
على سبيل المثال، اخترت مرة أخرى نوع التكامل الذي لم يتم العثور عليه بعد في أي مكان على الموقع. المثال ليس أبسط، ولكنه مفيد للغاية.
مثال 8
حساب التكامل المحدد
دعونا نقرر. 
دعونا نتكامل بالأجزاء: 
من لديه صعوبة في التكامل فليراجع الدرس تكاملات الدوال المثلثية، وقد تمت مناقشته بالتفصيل هناك.
(1) نكتب الحل وفقا لصيغة التكامل بالأجزاء.
(2) بالنسبة للمنتج نطبق صيغة نيوتن-لايبنتز. بالنسبة للتكامل المتبقي، نستخدم خصائص الخطية، وتقسيمه إلى تكاملين. لا تخلط بين العلامات!
(4) قمنا بتطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز على المشتقتين العكسيتين الموجودتين.
لأكون صادقًا، أنا لا أحب الصيغة. 
وإذا كان ذلك ممكنا، ... سأستغني عنه على الإطلاق! لننظر إلى الحل الثاني، من وجهة نظري، فهو أكثر عقلانية.
حساب التكامل المحدد
في المرحلة الأولى أجد التكامل غير المحدد:
دعونا نتكامل بالأجزاء:
تم العثور على وظيفة المشتق العكسي. ليس هناك فائدة من إضافة ثابت في هذه الحالة.
ما هي ميزة مثل هذا الارتفاع؟ ليست هناك حاجة إلى "تحمل" حدود التكامل؛ في الواقع، قد يكون من المرهق كتابة الرموز الصغيرة لحدود التكامل عشرات المرات
في المرحلة الثانية أتحقق(عادة في المسودة).
منطقي أيضا. إذا وجدت الدالة المشتقة العكسية بشكل غير صحيح، فسوف أقوم بحل التكامل المحدد بشكل غير صحيح. من الأفضل معرفة ذلك على الفور، فلنفرق بين الإجابة:
تم الحصول على دالة التكامل الأصلية، مما يعني أنه تم العثور على دالة المشتق العكسي بشكل صحيح.
المرحلة الثالثة هي تطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز:
وهناك فائدة كبيرة هنا! في طريقة الحل "الخاصة بي"، هناك خطر أقل بكثير للارتباك في البدائل والحسابات - يتم تطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز مرة واحدة فقط. إذا قام إبريق الشاي بحل تكامل مماثل باستخدام الصيغة 
(في الطريقة الأولى)، فإنه بالتأكيد سوف يخطئ في مكان ما.
يمكن تطبيق خوارزمية الحل المدروسة على أي تكامل محدد.
عزيزي الطالب اطبع واحفظ:
ماذا تفعل إذا تم إعطاؤك تكاملًا محددًا يبدو معقدًا أو لم يكن من الواضح على الفور كيفية حله؟
1) أولا نجد التكامل غير المحدد (دالة الاشتقاق العكسي). إذا كانت هناك مشكلة في المرحلة الأولى، فلا فائدة من مواصلة هز القارب مع نيوتن ولايبنيز. هناك طريقة واحدة فقط - لزيادة مستوى معرفتك ومهاراتك في حل المشكلة التكاملات غير المحددة.
2) نتحقق من دالة المشتق العكسي الموجودة عن طريق التمايز. إذا تم العثور عليه بشكل غير صحيح، فإن الخطوة الثالثة ستكون مضيعة للوقت.
3) نستخدم صيغة نيوتن-لايبنتز. نقوم بإجراء جميع الحسابات بعناية فائقة - وهذه هي الحلقة الأضعف في المهمة.
ولوجبة خفيفة، جزء لا يتجزأ من الحل المستقل.
مثال 9
حساب التكامل المحدد
الحل والجواب في مكان قريب.
الدرس الموصى به التالي حول هذا الموضوع هو كيفية حساب مساحة الشكل باستخدام تكامل محدد؟
دعونا نتكامل بالأجزاء:
هل أنت متأكد أنك قمت بحلها وحصلت على هذه الإجابات؟ ;-) وهناك إباحية لامرأة عجوز.