ماذا يعني إذا كان المميز هو 0. العثور على المميز، الصيغة، المقارنة مع الصفر

التمييز هو مصطلح متعدد القيم. في هذه المقالة سوف نتحدث عن مميز كثيرة الحدود، والذي يسمح لك بتحديد ما إذا كان نظرا متعدد الحدودحلول صالحة. تظهر صيغة كثير الحدود التربيعية في دورة المدرسةالجبر والتحليل. كيفية العثور على التمييز؟ ما هو المطلوب لحل المعادلة؟

تسمى كثيرة الحدود التربيعية أو معادلة الدرجة الثانية i * w ^ 2 + j * w + k يساوي 0، حيث "i" و"j" هما المعاملان الأول والثاني على التوالي، و"k" ثابت، ويسمى أحيانًا "المصطلح الرافض" و"w" هو متغير. ستكون جذورها جميع قيم المتغير الذي يتحول عنده إلى هوية. يمكن إعادة كتابة هذه المساواة كحاصل ضرب i، (w - w1) و (w - w2) يساوي 0. في هذه الحالة، من الواضح أنه إذا لم يصبح المعامل "i" صفرًا، فإن الدالة على سيصبح الجانب الأيسر صفرًا فقط إذا كانت x تأخذ القيمة w1 أو w2. هذه القيم هي نتيجة ضبط كثير الحدود على الصفر.

للعثور على قيمة المتغير الذي تختفي عنده كثيرة الحدود التربيعية، يتم استخدام بناء مساعد مبني على معاملاته ويسمى المميز. يتم حساب هذا التصميم وفقًا للمعادلة D تساوي j * j - 4 * i * k. لماذا يتم استخدامه؟

1. تقول هل هناك أي نتائج صالحة.
2. إنها تساعد في حسابهم.

كيف تظهر هذه القيمة وجود جذور حقيقية:

• إذا كان إيجابيا، فيمكننا أن نجد جذرين في المنطقة أرقام حقيقية.
• إذا كان التمييز يساوي الصفر، فإن كلا الحلين متطابقان. يمكننا القول أن هناك حل واحد فقط، وهو من مجال الأعداد الحقيقية.
• إذا كان المميز أقل من الصفر، فإن كثيرة الحدود ليس لها جذور حقيقية.

خيارات الحساب لتأمين المواد

بالنسبة للمجموع (7 * ث^2؛ 3 * ث؛ 1) يساوي 0نحسب D باستخدام الصيغة 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28، نحصل على -19. تشير القيمة المميزة تحت الصفر إلى عدم وجود نتائج على الخط الفعلي.

إذا اعتبرنا 2 * w^2 - 3 * w + 1 يعادل 0، ثم يتم حساب D كـ (-3) مربع مطروحًا منه حاصل ضرب الأرقام (4؛ 2؛ 1) ويساوي 9 - 8، أي 1. تشير القيمة الموجبة إلى نتيجتين على الخط الحقيقي.

إذا أخذنا المجموع (w ^ 2; 2 * w; 1) وساويناه بـ 0، يتم حساب D على أنه اثنان تربيع ناقص حاصل ضرب الأرقام (4؛ 1؛ 1). سيتم تبسيط هذا التعبير إلى 4 - 4 ويصل إلى الصفر. وتبين أن النتائج هي نفسها. إذا نظرت عن كثب إلى هذه الصيغة، فسيصبح من الواضح أن هذا هو " مربع مثالي" وهذا يعني أنه يمكن إعادة كتابة المساواة على الصورة (w + 1) ^ 2 = 0. وأصبح من الواضح أن النتيجة في هذه المسألة هي "-1". في الحالة التي تكون فيها D 0، الجانب الأيسريمكن دائمًا طي المعادلات باستخدام صيغة "مربع المجموع".

استخدام المميز في حساب الجذور

لا يوضح هذا البناء المساعد عدد الحلول الحقيقية فحسب، بل يساعد أيضًا في العثور عليها. صيغة عامةحساب معادلة الدرجة الثانية هو:

w = (-j +/- d) / (2 * i)، حيث d هو المميز للأس 1/2.

لنفترض أن المميز أقل من الصفر، إذن d وهمي والنتائج خيالية.

D يساوي صفرًا، ثم d يساوي D أس 1/2 يساوي صفرًا أيضًا. الحل: -ي/(2*ط). مرة أخرى بالنظر إلى 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0، نجد نتائج تعادل -2 / (2 * 1) = -1.

لنفترض أن D > 0، فإن d عدد حقيقي، والإجابة هنا تنقسم إلى قسمين: w1 = (-j + d) / (2 * i) وw2 = (-j - d) / (2 * i) ) . كلتا النتيجتين ستكون صالحة. دعونا نلقي نظرة على 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. المميز هنا وd هما واحد. يتبين أن w1 يساوي (3 + 1) مقسومًا على (2*2) أو 1، وw2 يساوي (3 - 1) مقسومًا على 2*2 أو 1/2.

يتم حساب نتيجة مساواة التعبير التربيعي بالصفر وفقًا للخوارزمية:

1. تحديد الكمية حلول صالحة.
2. الحساب د = د^(1/2).
3. إيجاد النتيجة حسب الصيغة (-j +/- d) / (2 * i).
4. استبدال النتيجة التي تم الحصول عليها في المساواة الأصلية للتحقق.

بعض الحالات الخاصة

اعتمادا على المعاملات، قد يكون الحل مبسطا إلى حد ما. من الواضح أنه إذا كان معامل المتغير أس الثانية صفرًا، فسيتم الحصول على مساواة خطية. عندما يكون معامل المتغير للأس الأول صفرًا، يكون هناك خياران ممكنان:

1. يتم توسيع كثير الحدود إلى فرق من المربعات عندما يكون الحد الحر سالبًا؛
2. بالنسبة للثابت الإيجابي، لا يمكن إيجاد حلول حقيقية.

إذا كان الحد الحر صفرًا، فستكون الجذور (0; -j)

لكن هناك حالات خاصة أخرى تسهل إيجاد الحل.

تخفيض معادلة الدرجة الثانية

المعطى يسمىهذه ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية، حيث يكون المعامل الموجود أمام الحد الرئيسي واحدًا. في هذه الحالة، تنطبق نظرية فييتا، التي تنص على أن مجموع الجذور يساوي معامل المتغير للأس الأول، مضروبًا في -1، والناتج يتوافق مع الثابت "k".

لذلك، w1 + w2 يساوي -j وw1 * w2 يساوي k إذا كان المعامل الأول واحدًا. للتحقق من صحة هذا التمثيل، يمكنك التعبير عن w2 = -j - w1 من الصيغة الأولى واستبدالها في المساواة الثانية w1 * (-j - w1) = k. والنتيجة هي المساواة الأصلية w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

من المهم أن نلاحظ، يمكن تحقيق i * w ^ 2 + j * w + k = 0 عن طريق القسمة على "i". ستكون النتيجة: w^2 + j1 * w + k1 = 0، حيث j1 يساوي j/i وk1 يساوي k/i.

دعونا نلقي نظرة على حل 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 مع النتائج w1 = 1 وw2 = 1/2. نحن بحاجة إلى تقسيمها إلى النصف، ونتيجة لذلك w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. دعونا نتحقق من صحة شروط النظرية للنتائج التي تم الحصول عليها: 1 + 1/2 = 3/ 2 و 1*1/2 = 1 /2.

وحتى العامل الثاني

إذا كان عامل المتغير للقوة الأولى (j) يقبل القسمة على 2، سيكون من الممكن تبسيط الصيغة والبحث عن حل من خلال ربع المميز D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k. اتضح w = (-j +/- d/2) / i، حيث d/2 = D/4 أس 1/2.

إذا كان i = 1، وكان المعامل j زوجيًا، فسيكون الحل حاصل ضرب -1 ونصف معامل المتغير w، زائد/ناقص جذر مربع هذا النصف ناقص الثابت "k". الصيغة: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.

ترتيب تمييزي أعلى

إن تمييز ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية الذي تمت مناقشته أعلاه هو الأكثر استخدامًا حالة خاصة. في الحالة العامة، مميز كثير الحدود هو مضروبة في مربعات الاختلافات في جذور كثيرة الحدود هذه. ولذلك التمييز يساوي الصفريشير إلى وجود حلين متعددين على الأقل.

خذ بعين الاعتبار i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0.

D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.

لنفترض أن المميز يتجاوز الصفر. وهذا يعني أن هناك ثلاثة جذور في منطقة الأعداد الحقيقية. عند الصفر هناك حلول متعددة. إذا د< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают قيمة سلبيةعند التربيع، وأيضًا جذر واحد حقيقي.

فيديو

سيخبرك الفيديو الخاص بنا بالتفصيل عن حساب المميز.

لم تحصل على إجابة لسؤالك؟ اقتراح موضوع للمؤلفين.

تتم دراسة المعادلات التربيعية في الصف الثامن، لذلك لا يوجد شيء معقد هنا. القدرة على حلها ضرورية للغاية.

المعادلة التربيعية هي معادلة على الصورة ax 2 + bx + c = 0، حيث المعاملات a وb وc هي أرقام تعسفيةو ≠ 0.

قبل الدراسة طرق محددةالحلول، لاحظ أن كل شيء المعادلات التربيعيةيمكن تقسيمها إلى ثلاث فئات:

1. ليس لها جذور.
2. لديك جذر واحد بالضبط؛
3. احصل على اثنين جذور مختلفة.

وهذا فرق مهم بين المعادلات التربيعية والمعادلات الخطية، حيث يكون الجذر موجودًا دائمًا وفريدًا. كيفية تحديد عدد جذور المعادلة؟ هناك شيء رائع لهذا - تمييزي.

مميز

لنفترض أن المعادلة التربيعية ax 2 + bx + c = 0 يكون المميز ببساطة هو الرقم D = b 2 − 4ac.

عليك أن تعرف هذه الصيغة عن ظهر قلب. من أين يأتي ليس مهما الآن. شيء آخر مهم: من خلال علامة المميز يمكنك تحديد عدد جذور المعادلة التربيعية. وهي:

1. إذا د< 0, корней нет;
2. إذا كان D = 0، هناك جذر واحد بالضبط؛
3. إذا كان D > 0، سيكون هناك جذرين.

يرجى ملاحظة: يشير المميز إلى عدد الجذور، وليس علاماتها على الإطلاق، كما يعتقد الكثير من الناس لسبب ما. ألقِ نظرة على الأمثلة وستفهم كل شيء بنفسك:

مهمة. ما عدد جذور المعادلات التربيعية:

1. س 2 − 8س + 12 = 0;
2. 5س 2 + 3س + 7 = 0؛
3. س 2 − 6س + 9 = 0.

لنكتب معاملات المعادلة الأولى ونوجد المميز:
أ = 1، ب = −8، ج = 12؛
د = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

إذن يكون المميز موجبًا، وبالتالي فإن المعادلة لها جذرين مختلفين. نقوم بتحليل المعادلة الثانية بنفس الطريقة:
أ = 5؛ ب = 3؛ ج = 7؛
د = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

المميز سالب، ولا توجد جذور. المعادلة الأخيرة المتبقية هي:
أ = 1؛ ب = −6؛ ج = 9؛
د = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

المميز هو صفر، وسيكون الجذر واحدًا.

يرجى ملاحظة أنه تم كتابة المعاملات لكل معادلة. نعم، إنها طويلة، نعم، إنها مملة، لكنك لن تخلط بين الاحتمالات وترتكب أخطاء غبية. اختر لنفسك: السرعة أو الجودة.

بالمناسبة، إذا تمكنت من ذلك، فلن تحتاج بعد فترة إلى كتابة جميع المعاملات. سوف تقوم بإجراء مثل هذه العمليات في رأسك. يبدأ معظم الأشخاص في القيام بذلك في مكان ما بعد حل المعادلات بنسبة 50-70 - بشكل عام، ليس كثيرًا.

جذور المعادلة التربيعية

الآن دعنا ننتقل إلى الحل نفسه. إذا كان المميز D > 0، فيمكن العثور على الجذور باستخدام الصيغ:

الصيغة الأساسية لجذور المعادلة التربيعية

عندما يكون D = 0، يمكنك استخدام أي من هذه الصيغ - سوف تحصل على نفس الرقم، والذي سيكون الجواب. وأخيراً إذا كان د< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. س 2 − 2س − 3 = 0;
2. 15 − 2س − س 2 = 0;
3. × 2 + 12س + 36 = 0.

المعادلة الأولى:
س 2 − 2س − 3 = 0 ⇒ أ = 1; ب = −2؛ ج = −3;
د = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ للمعادلة جذرين. دعونا نجدهم:

المعادلة الثانية:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ أ = −1; ب = −2؛ ج = 15؛
د = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ المعادلة لها جذرين مرة أخرى. دعونا نجدهم

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \النهاية(محاذاة)\]

وأخيراً المعادلة الثالثة:
س 2 + 12س + 36 = 0 ⇒ أ = 1; ب = 12؛ ج = 36؛
د = 12 2 − 4 1 36 = 0.

د = 0 ⇒ المعادلة لها جذر واحد. يمكن استخدام أي صيغة. على سبيل المثال، الأول:

كما ترون من الأمثلة، كل شيء بسيط للغاية. إذا كنت تعرف الصيغ وتستطيع العد، فلن تكون هناك مشاكل. في أغلب الأحيان، تحدث الأخطاء عند استبدال المعاملات السلبية في الصيغة. هنا مرة أخرى، ستساعد التقنية الموضحة أعلاه: انظر إلى الصيغة حرفيًا، واكتب كل خطوة - وسرعان ما تتخلص من الأخطاء.

المعادلات التربيعية غير الكاملة

يحدث أن المعادلة التربيعية تختلف قليلاً عما ورد في التعريف. على سبيل المثال:

1. س 2 + 9س = 0؛
2. س 2 − 16 = 0.

من السهل ملاحظة أن هذه المعادلات تفتقد أحد المصطلحات. إن حل هذه المعادلات التربيعية أسهل من حل المعادلات القياسية: فهي لا تتطلب حتى حساب المميز. لذلك، دعونا نقدم مفهوما جديدا:

تسمى المعادلة ax 2 + bx + c = 0 بمعادلة تربيعية غير مكتملة إذا كان b = 0 أو c = 0، أي. معامل المتغير x أو العنصر الحر يساوي صفر.

بالطبع، قد تكون هناك حالة صعبة للغاية عندما يكون كلا هذين المعاملين مساويًا للصفر: b = c = 0. في هذه الحالة، تأخذ المعادلة الشكل ax 2 = 0. من الواضح أن هذه المعادلة لها جذر واحد: x = 0.

دعونا ننظر في الحالات المتبقية. لنفترض أن b = 0، نحصل على معادلة تربيعية غير كاملة على الصورة ax 2 + c = 0. لنحولها قليلاً:

منذ الحساب الجذر التربيعيموجود فقط من رقم غير سالب، المساواة الأخيرة منطقية فقط بالنسبة لـ (-c /a) ≥ 0. الخلاصة:

1. إذا كانت في معادلة تربيعية غير مكتملة من الصيغة ax 2 + c = 0 تم تحقيق المتراجحة (−c /a) ≥ 0، فسيكون هناك جذرين. الصيغة مذكورة أعلاه.
2. إذا (-ج /أ)< 0, корней нет.

كما ترون، لم يكن المميز مطلوبًا - في المعادلات التربيعية غير المكتملة لا يوجد حسابات معقدة. في الواقع، ليس من الضروري حتى أن نتذكر المتراجحة (−c /a) ≥ 0. يكفي التعبير عن القيمة x 2 ومعرفة ما هو على الجانب الآخر من علامة المساواة. إذا كان هناك رقم إيجابي- سيكون هناك جذرين. إذا كانت سلبية، فلن يكون هناك جذور على الإطلاق.

الآن دعونا نلقي نظرة على المعادلات ذات الصيغة ax 2 + bx = 0، حيث العنصر الحر يساوي الصفر. كل شيء بسيط هنا: سيكون هناك دائمًا جذرين. يكفي تحليل كثير الحدود إلى عوامل:

إزالة المضاعف المشتركخارج القوس

يكون الناتج صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل صفرًا. ومن هنا تأتي الجذور. وفي الختام، دعونا نلقي نظرة على عدد قليل من هذه المعادلات:

مهمة. حل المعادلات التربيعية:

1. س 2 − 7س = 0;
2. 5س 2 + 30 = 0؛
3. 4س 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; س 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. لا توجد جذور، لأنه لا يمكن للمربع أن يساوي رقمًا سالبًا.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; × 2 = −1.5.

من بين الدورة بأكملها المنهج المدرسيفي الجبر، أحد المواضيع الأكثر شمولاً هو موضوع المعادلات التربيعية. في هذه الحالة، تُفهم المعادلة التربيعية على أنها معادلة بالشكل ax 2 + bx + c = 0، حيث a ≠ 0 (اقرأ: a مضروبًا في x تربيع زائد be x زائد ce يساوي صفر، حيث a ليس كذلك يساوي الصفر). في هذه الحالة، المكان الرئيسي هو الصيغ لإيجاد مميز المعادلة التربيعية النوع المحدد، والذي يُفهم على أنه تعبير يسمح لك بتحديد وجود أو عدم وجود جذور في معادلة تربيعية، بالإضافة إلى عددها (إن وجد).

صيغة (معادلة) مميز المعادلة التربيعية

تبدو الصيغة المقبولة عمومًا لمميز المعادلة التربيعية على النحو التالي: د = ب 2 - 4ac. من خلال حساب المميز باستخدام الصيغة المحددة، لا يمكنك فقط تحديد وجود وعدد جذور المعادلة التربيعية، ولكن أيضًا اختيار طريقة للعثور على هذه الجذور، والتي يوجد العديد منها اعتمادًا على نوع المعادلة التربيعية.

ماذا يعني إذا كان المميز صفراً \ صيغة جذور المعادلة التربيعية إذا كان المميز صفراً

تتم الإشارة إلى المميز، على النحو التالي من الصيغة حرف لاتينيد. في الحالة التي يكون فيها المميز صفرًا، يجب أن نستنتج أن المعادلة التربيعية بالصيغة ax 2 + bx + c = 0، حيث a ≠ 0، لها جذر واحد فقط، والذي يتم حسابه باستخدام صيغة مبسطة . هذه الصيغةينطبق فقط عندما التمييز صفرويبدو كالتالي: x = –b/2a، حيث x هو جذر المعادلة التربيعية، وb وa هما المتغيران المقابلان في المعادلة التربيعية. للعثور على جذر معادلة من الدرجة الثانية، عليك قسمة القيمة السالبة للمتغير b على ضعف قيمة المتغير a. سيكون التعبير الناتج هو الحل لمعادلة تربيعية.

حل معادلة تربيعية باستخدام المميز

إذا، عند حساب المميز باستخدام الصيغة المذكورة أعلاه، اتضح قيمة إيجابية(D أكبر من الصفر)، فإن المعادلة التربيعية لها جذرين، ويتم حسابهما باستخدام الصيغ التالية: x 1 = (–b + vD)/2a، x 2 = (–b – vD)/2a. في أغلب الأحيان، لا يتم حساب المميز بشكل منفصل، ولكن يتم استبدال التعبير الجذري في شكل صيغة التمييز ببساطة بالقيمة D التي يتم استخراج الجذر منها. إذا كان للمتغير b قيمة زوجية، لحساب جذور معادلة تربيعية بالصيغة ax 2 + bx + c = 0، حيث a ≠ 0، يمكنك أيضًا استخدام الصيغ التالية: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a، x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a، حيث k = b/2.

في بعض الحالات ل الحل العمليبالنسبة للمعادلات التربيعية، يمكنك استخدام نظرية فييتا، التي تنص على أنه بالنسبة لمجموع جذور المعادلة التربيعية على الصورة x 2 + px + q = 0، فإن القيمة x 1 + x 2 = –p ستكون صحيحة، و بالنسبة لحاصل ضرب جذور المعادلة المحددة، التعبير x 1 x x 2 = q.

هل يمكن أن يكون المميز أقل من الصفر؟

عند حساب قيمة التمييز، قد تواجه موقفًا لا يندرج تحت أي من الحالات الموصوفة - عندما يكون للمميز قيمة سالبة (أي أقل من الصفر). في هذه الحالة، من المقبول عمومًا أن تكون المعادلة التربيعية على الشكل ax 2 + bx + c = 0، حيث a ≠ 0، جذور حقيقيةلا يوجد لديه، وبالتالي، فإن حلها سوف يقتصر على حساب المميز، والصيغ المذكورة أعلاه لجذور المعادلة التربيعية في في هذه الحالةلن يتم تطبيقها. وفي الوقت نفسه، مكتوب في إجابة المعادلة التربيعية أن "المعادلة ليس لها جذور حقيقية".

فيديو توضيحي:

غالبًا ما تظهر المعادلات التربيعية أثناء الحل مهام مختلفةالفيزياء والرياضيات. في هذه المقالة سوف ننظر في كيفية حل هذه المساواة بطريقة عالمية"من خلال التمييز". وترد أيضًا أمثلة على استخدام المعرفة المكتسبة في المقالة.

ما هي المعادلات التي سنتحدث عنها؟

يوضح الشكل أدناه صيغة تكون فيها x متغيرًا غير معروف و الشخصيات اللاتينية a، b، c تمثل بعض الأرقام المعروفة.

ويسمى كل من هذه الرموز بمعامل. كما ترون، يظهر الرقم "a" قبل المتغير x تربيع. هذا أقصى درجةللتعبير المقدم، ولهذا سميت بالمعادلة التربيعية. ويستخدم اسمها الآخر غالبًا: معادلة من الدرجة الثانية. قيمة نفسها هي معامل مربع(يقف مع المتغير تربيع)، ب هو معامل خطي(يقع بجوار المتغير المرفوع للقوة الأولى)، وأخيرًا، الرقم c هو الحد الحر.

لاحظ أن شكل المعادلة الموضح في الشكل أعلاه هو الشكل الكلاسيكي العام التعبير التربيعي. بالإضافة إلى ذلك، هناك معادلات أخرى من الدرجة الثانية يمكن أن يكون فيها المعاملان b وc صفرًا.

عندما يتم تعيين مهمة حل المساواة المعنية، فهذا يعني أنه يجب العثور على قيم المتغير x التي ترضيها. أول شيء عليك أن تتذكره هنا هو الشيء التالي: بما أن الحد الأقصى لقوة X هو 2، إذن هذا النوعلا يمكن أن تحتوي التعبيرات على أكثر من حلين. هذا يعني أنه عند حل المعادلة، تم العثور على قيمتين لـ x ترضيها، فيمكنك التأكد من عدم وجود رقم ثالث، واستبداله بـ x، وستكون المساواة صحيحة أيضًا. تسمى حلول المعادلة في الرياضيات جذورها.

طرق حل المعادلات من الدرجة الثانية

وحل المعادلات من هذا النوع يتطلب معرفة بعض النظريات عنها. في دورة الجبر المدرسية يعتبرون 4 طرق مختلفةالحلول. دعونا قائمة لهم:

• باستخدام التخصيم.
• باستخدام صيغة المربع الكامل؛
• من خلال تطبيق الرسم البياني للدالة التربيعية المقابلة؛
• باستخدام المعادلة التمييزية.

ميزة الطريقة الأولى هي بساطتها، ومع ذلك، لا يمكن استخدامها لجميع المعادلات. الطريقة الثانية عالمية ولكنها مرهقة إلى حد ما. تتميز الطريقة الثالثة بالوضوح، لكنها ليست دائما مريحة وقابلة للتطبيق. وأخيرًا، يعد استخدام المعادلة المميزة طريقة عامة وبسيطة إلى حد ما للعثور على جذور أي معادلة من الدرجة الثانية. لذلك، في هذه المقالة سننظر فيه فقط.

صيغة للحصول على جذور المعادلة

دعونا ننتقل إلى المظهر العاممعادلة تربيعية. لنكتبها: a*x²+ b*x + c =0. قبل استخدام طريقة حلها "من خلال التمييز"، يجب عليك دائمًا إحضار المساواة إلى شكلها المكتوب. أي أنه يجب أن يتكون من ثلاثة حدود (أو أقل إذا كانت b أو c تساوي 0).

على سبيل المثال، إذا كان هناك تعبير: x²-9*x+8 = -5*x+7*x²، فيجب عليك أولاً نقل جميع حدوده إلى جانب واحد من المساواة وإضافة الحدود التي تحتوي على المتغير x في نفس القوى.

في هذه الحالة ستؤدي هذه العملية إلى التعبير التالي: -6*x²-4*x+8=0، وهو ما يعادل المعادلة 6*x²+4*x-8=0 (هنا ضربنا اليسار و الجانبين الأيمن من المساواة بنسبة -1).

في المثال أعلاه، أ = 6، ب = 4، ج = -8. لاحظ أن جميع حدود المساواة قيد النظر يتم جمعها معًا دائمًا، فإذا ظهرت علامة "-"، فهذا يعني أن المعامل المقابل سلبي، مثل الرقم c في هذه الحالة.

بعد أن تناولنا هذه النقطة، دعونا ننتقل الآن إلى الصيغة نفسها، التي تتيح لنا الحصول على جذور المعادلة التربيعية. يبدو مثل الذي يظهر في الصورة أدناه.

كما يتبين من هذا التعبير، فإنه يسمح لك بالحصول على جذرين (انتبه إلى علامة "±"). للقيام بذلك، يكفي استبدال المعاملات ب، ج، وأ.

مفهوم التمييز

في الفقرة السابقةتم تقديم صيغة تسمح لك بحل أي معادلة من الدرجة الثانية بسرعة. في ذلك، يسمى التعبير الجذري بالمميز، أي D = b²-4*a*c.

لماذا تم تسليط الضوء على هذا الجزء من الصيغة، وقد تم بالفعل ذلك الاسم الصحيح؟ الحقيقة هي أن المميز يربط المعاملات الثلاثة للمعادلة في تعبير واحد. الحقيقة الأخيرةيعني أنها تحمل معلومات كاملة عن الجذور، وهو ما يمكن التعبير عنه في القائمة التالية:

1. D>0: المساواة لها 2 حلول مختلفة، وكلاهما أعداد حقيقية.
2. D=0: المعادلة لها جذر واحد فقط، وهو عدد حقيقي.

مهمة تحديد التمييز

دعونا نعطي مثالا بسيطا لكيفية العثور على المميز. لنحصل على المساواة التالية: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

دعونا نحضره إلى عرض قياسي، نحصل على: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0، ومنها نصل إلى المساواة: -2*x²+ 2*س- 11 = 0. هنا أ=-2، ب=2، ج=-11.

يمكنك الآن استخدام الصيغة المذكورة أعلاه للمميز: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. الرقم الناتج هو الجواب على المهمة. وبما أن المميز في المثال أقل من الصفر، فيمكننا القول إن هذه المعادلة التربيعية ليس لها جذور حقيقية. سيكون حلها مجرد أرقام من النوع المعقد.

مثال على عدم المساواة من خلال التمييز

دعونا نحل مشاكل من نوع مختلف قليلاً: مع مراعاة المساواة -3*x²-6*x+c = 0. من الضروري العثور على قيم c التي لها D>0.

في هذه الحالة، لا يُعرف سوى 2 من أصل 3 معاملات، لذلك لا يمكن حساب قيمة المميز بدقة، ولكن من المعلوم أنه موجب. نستخدم الحقيقة الأخيرة عند تكوين المتراجحة: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. يؤدي حل المتراجحة الناتجة إلى النتيجة: c>-3.

دعونا نتحقق من الرقم الناتج. للقيام بذلك، نحسب D لحالتين: c=-2 وc=-4. الرقم -2 يفي بالنتيجة التي تم الحصول عليها (-2>-3)، وسيكون للمميز المقابل القيمة: D = 12>0. وفي المقابل، فإن الرقم -4 لا يحقق المتراجحة (-4. وبالتالي، فإن أي أرقام c أكبر من -3 ستحقق الشرط.

مثال على حل المعادلة

دعونا نقدم مشكلة لا تتضمن إيجاد المميز فحسب، بل تتضمن أيضًا حل المعادلة. من الضروري إيجاد جذور المساواة -2*x²+7-9*x = 0.

في هذا المثال، المميز يساوي القيمة التالية: D = 81-4*(-2)*7= 137. ثم يتم تحديد جذور المعادلة على النحو التالي: x = (9±√137)/(- 4). هذا القيم الدقيقةالجذور، إذا قمت بحساب الجذر تقريبًا، فستحصل على الأرقام: x = -5.176 و x = 0.676.

مشكلة هندسية

سنحل مشكلة لا تتطلب القدرة على حساب المميز فحسب، بل تتطلب أيضًا تطبيق المهارات التفكير المجردومعرفة كيفية كتابة المعادلات التربيعية.

كان لدى بوب لحاف مقاس 5 × 4 أمتار. أراد الصبي خياطته حول المحيط بأكمله قطاع مستمرمن القماش الجميل . ما مدى سُمك هذا الشريط إذا علمنا أن لدى بوب 10 متر مربع من القماش.

لنفترض أن سمك الشريط x m، فإن مساحة القماش على طول الجانب الطويل من البطانية ستكون (5+2*x)*x، وبما أن هناك وجهين طويلين، لدينا: 2*x *(5+2*س). على الجانب القصير تكون مساحة القماش المخيط 4*x، وبما أن هناك وجهين من هذه الجوانب، نحصل على القيمة 8*x. لاحظ أنه تمت إضافة 2*x إلى الجانب الطويل لأن طول البطانية زاد بهذا الرقم. المساحة الإجمالية للقماش المخيط للبطانية 10 متر مربع. وبالتالي نحصل على المساواة: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

في هذا المثال، المميز يساوي: D = 18²-4*4*(-10) = 484. جذره هو 22. باستخدام الصيغة، نجد الجذور المطلوبة: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5؛ 0.5). ومن الواضح أن الرقم 0.5 فقط من الجذرين هو المناسب وفقًا لظروف المشكلة.

وبالتالي، فإن شريط القماش الذي يخيطه بوب لبطانيته سيكون عرضه 50 سم.