متى يتم تغيير علامة في عدم المساواة. المتباينات الخطية

ما الذي تحتاج لمعرفته حول أيقونات عدم المساواة؟ عدم المساواة مع أيقونة أكثر (> )، أو أقل (< ) وتسمى حازم.مع الرموز أكثر أو يساوي (≥ ), أقل أو متساوية (≤ ) وتسمى ليست صارمة.أيقونة غير متساوي (≠ ) يظل منفصلًا، ولكن يتعين عليك أيضًا حل الأمثلة باستخدام هذا الرمز طوال الوقت. وسوف نقرر.)

ليس للأيقونة نفسها تأثير كبير على عملية الحل. لكن في نهاية القرار، عند اختيار الإجابة النهائية، يظهر معنى الأيقونة بكامل قوته! وهذا ما سنراه أدناه في الأمثلة. هناك بعض النكتة هناك..

إن عدم المساواة، مثل المساواة، موجودة المؤمنين وغير المؤمنين.كل شيء بسيط هنا، لا توجد حيل. دعنا نقول 5 > 2 عدم المساواة الحقيقية. 5 < 2- غير صحيح.

هذا الإعداد يعمل على عدم المساواة أي نوعوبسيطة إلى حد الرعب.) ما عليك سوى تنفيذ إجراءين أوليين (اثنتين فقط!) بشكل صحيح. هذه الإجراءات مألوفة للجميع. لكن من المميز أن الأخطاء في هذه التصرفات هي الخطأ الرئيسي في حل المتباينات، نعم... لذلك يجب تكرار هذه التصرفات. وتسمى هذه الإجراءات على النحو التالي:

تحولات متطابقة من عدم المساواة.

التحويلات المتطابقة للمتباينات تشبه إلى حد كبير التحويلات المتماثلة للمعادلات. في الواقع، هذه هي المشكلة الرئيسية. الاختلافات تتجاوز رأسك و... ها أنت هنا.) لذلك، سأسلط الضوء بشكل خاص على هذه الاختلافات. لذا، فإن التحول المطابق الأول لعدم المساواة:

1. يمكن إضافة (طرح) نفس الرقم أو التعبير إلى طرفي المتراجحة. أي. وهذا لن يغير علامة عدم المساواة.

في الممارسة العملية، يتم تطبيق هذه القاعدة على أنها نقل الحدود من الجانب الأيسر من المتراجحة إلى اليمين (والعكس صحيح) مع تغيير الإشارة. مع تغير علامة الاجل وليس التفاوت! قاعدة واحد لواحد هي نفس قاعدة المعادلات. لكن التحولات المتطابقة التالية في المتباينات تختلف اختلافًا كبيرًا عن تلك الموجودة في المعادلات. لذلك أسلط الضوء عليها باللون الأحمر:

2. يمكن ضرب (قسمة) طرفي المتراجحة على نفس الشيءإيجابيرقم. لأيإيجابي لن تتغير.

3. يمكن ضرب (قسمة) طرفي المتراجحة بنفس الشيءسلبيرقم. لأيسلبيرقم. علامة عدم المساواة من هذاسوف يتغير إلى العكس

تتذكر (آمل...) أنه يمكن ضرب/قسمة المعادلة على أي شيء. ولأي رقم، وللتعبير بعلامة X. لو لم يكن صفراً. وهذا يجعله، المعادلة، لا حاراً ولا بارداً.) لا يتغير. لكن عدم المساواة أكثر حساسية للضرب/القسمة.

مثال واضح للذاكرة الطويلة. دعونا نكتب متباينة لا تثير الشكوك:

5 > 2

اضرب الطرفين ب +3, نحن نحصل:

15 > 6

أي اعتراضات؟ لا توجد اعتراضات.) وإذا ضربنا طرفي المتراجحة الأصلية في -3, نحن نحصل:

15 > -6

وهذه كذبة صريحة.) كذبة كاملة! خداع الناس! ولكن بمجرد تغيير إشارة المتباينة إلى الإشارة المعاكسة، يصبح كل شيء في مكانه الصحيح:

15 < -6

أنا لا أقسم فقط على الأكاذيب والخداع.) "نسيت تغيير علامة المساواة..."- هذا بيتخطأ في حل عدم المساواة. هذه القاعدة التافهة والبسيطة أضرت بالكثير من الناس! الذي نسوه...) فأقسم. ربما سأتذكر...)

سوف يلاحظ الأشخاص اليقظون بشكل خاص أنه لا يمكن ضرب عدم المساواة بتعبير بعلامة X. احترام لأولئك الذين يقظون!) لماذا لا؟ الجواب بسيط. ولا نعرف إشارة هذا التعبير بعلامة X. يمكن أن تكون موجبة، أو سالبة... ولذلك، لا نعرف أي علامة من المتباينات يجب وضعها بعد الضرب. هل يجب أن أغيره أم لا؟ مجهول. وبطبيعة الحال، يمكن التحايل على هذا القيد (حظر ضرب/قسمة المتباينة بتعبير يحتوي على x). إذا كنت حقا في حاجة إليها. لكن هذا موضوع لدروس أخرى.

هذه هي كل التحولات المتطابقة لعدم المساواة. اسمحوا لي أن أذكركم مرة أخرى أنهم يعملون من أجل أيعدم المساواة الآن يمكنك الانتقال إلى أنواع محددة.

المتباينات الخطية. الحل، الأمثلة.

المتباينات الخطية هي متباينات يكون فيها x في القوة الأولى ولا يوجد قسمة على x. يكتب:

س+3 > 5x-5

كيف يتم حل هذه التفاوتات؟ من السهل جدًا حلها! وهي: بمساعدة نقوم بتقليل عدم المساواة الخطية الأكثر إرباكًا مباشرة إلى الجواب.هذا هو الحل. وسأسلط الضوء على النقاط الرئيسية للقرار. لتجنب الأخطاء الغبية.)

دعونا نحل هذا عدم المساواة:

س+3 > 5x-5

نحن نحلها بنفس طريقة حل المعادلة الخطية. مع الفارق الوحيد:

نحن نراقب علامة عدم المساواة بعناية!

الخطوة الأولى هي الأكثر شيوعا. مع X - إلى اليسار، بدون X - إلى اليمين... هذا هو أول تحويل متطابق، بسيط وخالي من المتاعب.) فقط لا تنس تغيير علامات المصطلحات المنقولة.

تبقى علامة عدم المساواة:

س-5x > -5-3

وهنا مماثلة.

تبقى علامة عدم المساواة:

4x > -8

يبقى تطبيق التحويل المتطابق الأخير: قسمة كلا الجانبين على -4.

اقسم على سلبيرقم.

سوف تتغير علامة عدم المساواة إلى العكس:

X < 2

هذا هو الجواب.

هذه هي الطريقة التي يتم بها حل جميع المتباينات الخطية.

انتباه! يتم رسم النقطة 2 باللون الأبيض، أي. غير مصبوغ. فارغة في الداخل. وهذا يعني أنها غير مشمولة في الجواب! لقد رسمتها بصحة جيدة عن قصد. تسمى هذه النقطة (فارغة وليست صحية!)) في الرياضيات نقطة مثقوبة.

يمكن وضع علامة على الأرقام المتبقية على المحور، ولكن ليس من الضروري. الأعداد الدخيلة التي لا تتعلق بمتباينتنا يمكن أن تكون مربكة، نعم... عليك فقط أن تتذكر أن الأعداد تزيد في اتجاه السهم، أي. الأرقام 3، 4، 5، الخ. نكون إلى اليمينهي اثنان، والأرقام هي 1، 0، -1، الخ. - إلى اليسار.

عدم المساواة × < 2 - حازم. X أقل من اثنين تمامًا. إذا كنت في شك، والتحقق بسيط. نعوض بالرقم المشكوك فيه في المتراجحة ونفكر: "اثنان أقل من اثنين، بالطبع!" بالضبط. عدم المساواة 2 < 2 غير صحيح.اثنان في المقابل ليس مناسبا.

هل واحد بخير؟ بالتأكيد. أقل... والصفر جيد، و-17، و0.34... نعم، كل الأرقام التي أقل من اثنين جيدة! وحتى 1.9999.... على الأقل قليلا، ولكن أقل!

لذلك دعونا نحدد كل هذه الأرقام على محور الأعداد. كيف؟ هناك خيارات هنا. الخيار الأول - التظليل. نحرك الماوس فوق الصورة (أو نلمس الصورة الموجودة على الجهاز اللوحي) ونرى أن مساحة كل x التي تحقق الشرط x مظللة < 2 . هذا كل شئ.

دعونا نلقي نظرة على الخيار الثاني باستخدام المثال الثاني:

X ≥ -0,5

ارسم محورًا وحدد الرقم -0.5. مثله:

هل تلاحظ الفرق؟) حسنًا، نعم، من الصعب عدم ملاحظة... هذه النقطة سوداء! رسمت فوق. وهذا يعني -0.5 تم تضمينه في الجواب.هنا، بالمناسبة، يمكن أن يربك التحقق شخص ما. دعونا نستبدل:

-0,5 ≥ -0,5

كيف ذلك؟ -0.5 لا يزيد عن -0.5! وهناك المزيد من الأيقونة...

لا بأس. في عدم المساواة غير الصارمة، كل ما يناسب الأيقونة مناسب. و يساويجيد و أكثرجيد. لذلك، تم تضمين -0.5 في الاستجابة.

لذلك، وضعنا علامة -0.5 على المحور؛ ويبقى تحديد جميع الأرقام الأكبر من -0.5. هذه المرة أضع علامة على مساحة قيم x المناسبة قَوس(من الكلمة قوس)، بدلاً من التظليل. نحرك المؤشر فوق الرسم ونرى هذا القوس.

لا يوجد فرق معين بين التظليل والذراعين. افعل كما يقول المعلم. إذا لم يكن هناك معلم، ارسم الأقواس. في المهام الأكثر تعقيدًا، يكون التظليل أقل وضوحًا. يمكنك الحصول على الخلط.

هذه هي الطريقة التي يتم بها رسم المتباينات الخطية على المحور. دعونا ننتقل إلى السمة التالية من عدم المساواة.

كتابة الجواب لعدم المساواة.

كانت المعادلات جيدة.) لقد وجدنا x وكتبنا الإجابة، على سبيل المثال: x=3. هناك نوعان من أشكال كتابة الإجابات في حالات عدم المساواة. أحدهما في شكل عدم المساواة النهائية. جيد للحالات البسيطة. على سبيل المثال:

X< 2.

هذه إجابة كاملة.

في بعض الأحيان تحتاج إلى كتابة نفس الشيء، ولكن بشكل مختلف، على فترات رقمية. ثم يبدأ التسجيل ليبدو علميًا للغاية):

س ∈ (-∞; 2)

تحت الأيقونة ∈ الكلمة مخفية "ينتمي".

يقرأ الإدخال مثل هذا: x ينتمي إلى الفترة من ناقص اللانهاية إلى اثنين لا يشمل. منطقي تماما. يمكن أن يكون X أي رقم من جميع الأرقام الممكنة من ناقص اللانهاية إلى اثنين. لا يمكن أن يكون هناك علامة X مزدوجة، وهذا ما تخبرنا به الكلمة "لا يشمل".

وأين في الجواب يتضح ذلك "لا يشمل"؟ هذه الحقيقة مذكورة في الجواب دائريقوس مباشرة بعد الاثنين. فإذا ضم الاثنان كان القوس مربع.ها هو:]. يستخدم المثال التالي مثل هذه الأقواس.

دعونا نكتب الجواب: س ≥ -0,5 على فترات:

س ∈ [-0.5؛ +∞)

يقرأ: x ينتمي إلى الفاصل الزمني من ناقص 0.5، مشتمل،إلى زائد اللانهاية.

لا يمكن تشغيل Infinity أبدًا. إنه ليس رقمًا، إنه رمز. لذلك، في مثل هذه الرموز، تكون اللانهاية دائمًا مجاورة للقوس.

يعد هذا النوع من التسجيل مناسبًا للإجابات المعقدة التي تتكون من عدة مسافات. ولكن - فقط للإجابات النهائية. في النتائج المتوسطة، حيث من المتوقع التوصل إلى حل آخر، فمن الأفضل استخدام الصيغة المعتادة، في شكل متباينة بسيطة. سنتعامل مع هذا في المواضيع ذات الصلة.

المهام الشعبية مع عدم المساواة.

المتباينات الخطية نفسها بسيطة. ولذلك، غالبا ما تصبح المهام أكثر صعوبة. لذلك كان من الضروري التفكير. وهذا، إذا لم تكن معتادًا عليه، فهو ليس لطيفًا للغاية.) لكنه مفيد. سأعرض أمثلة على هذه المهام. ليس عليك أن تتعلمها، فهذا غير ضروري. وحتى لا تخافوا عند مقابلة مثل هذه الأمثلة. فقط فكر قليلاً - والأمر بسيط!)

1. أوجد أي حلين للمتباينة 3س - 3< 0

إذا لم يكن ما يجب فعله واضحًا تمامًا، فتذكر القاعدة الأساسية في الرياضيات:

إذا كنت لا تعرف ما تحتاج إليه، فافعل ما تستطيع!)

X < 1

و ماذا؟ لا شيء مميز. ماذا يطلبون منا؟ مطلوب منا إيجاد رقمين محددين يمثلان حل المتباينة. أولئك. تناسب الجواب. اثنين أيأعداد. في الواقع، هذا محير.) زوجان من 0 و 0.5 مناسبان. زوجان -3 و -8. هناك عدد لا حصر له من هؤلاء الأزواج! أي إجابة صحيحة؟!

أجيب: كل شيء! أي زوج من الأرقام، كل منها أقل من واحد، سيكون الجواب الصحيح.اكتب أي واحد تريد. هيا لنذهب.

2. حل عدم المساواة:

4x - 3 ≠ 0

المهام في هذا النموذج نادرة. ولكن، كمتباينات مساعدة، عند العثور على ODZ، على سبيل المثال، أو عند العثور على مجال تعريف دالة، فإنها تحدث طوال الوقت. يمكن حل هذه المتباينة الخطية كمعادلة خطية عادية. فقط في كل مكان باستثناء علامة "=" ( يساوي) ضع علامة " ≠ " (غير متساوي). هذه هي الطريقة التي تتعامل بها مع الإجابة بعلامة المتباينة:

X ≠ 0,75

في الأمثلة الأكثر تعقيدًا، من الأفضل القيام بالأشياء بطريقة مختلفة. جعل عدم المساواة من المساواة. مثله:

4x - 3 = 0

قم بحلها بهدوء كما تم تدريسها واحصل على الإجابة:

س = 0.75

الشيء الرئيسي هو أنه في النهاية، عند كتابة الإجابة النهائية، لا تنس أننا وجدنا X، مما يعطي المساواة.ونحن بحاجة - عدم المساواة.لذلك، لا نحتاج حقًا إلى علامة X هذه.) ونحتاج إلى كتابتها بالرمز الصحيح:

X ≠ 0,75

يؤدي هذا النهج إلى أخطاء أقل. أولئك الذين يحلون المعادلات تلقائيا. وبالنسبة لأولئك الذين لا يحلون المعادلات، فإن المتباينات لا فائدة منها في الواقع...) مثال آخر على مهمة شائعة:

3. أوجد أصغر عدد صحيح لحل المتراجحة:

3(س - 1) < 5x + 9

أولًا، نقوم ببساطة بحل المتراجحة. نفتح الأقواس ونحركها ونحضر ما شابهها... فنحصل على:

X > - 6

لم يتم الأمر بهذه الطريقة!؟ هل اتبعت الإشارات!؟ ومن وراء علامات الأعضاء، ومن وراء علامة عدم المساواة...

دعونا نفكر مرة أخرى. نحتاج إلى العثور على رقم محدد يطابق الإجابة والشرط "أصغر عدد صحيح".إذا لم يخطر ببالك على الفور، يمكنك فقط أخذ أي رقم ومعرفة ذلك. اثنان على ناقص ستة؟ بالتأكيد! هل هناك عدد أصغر مناسب؟ بالطبع. على سبيل المثال، الصفر أكبر من -6. وحتى أقل؟ نحن بحاجة إلى أصغر شيء ممكن! ناقص ثلاثة أكبر من ناقص ستة! يمكنك بالفعل التقاط النمط والتوقف عن قراءة الأرقام بغباء، أليس كذلك؟)

لنأخذ رقمًا أقرب إلى -6. على سبيل المثال، -5. لقد اكتمل الجواب، -5 > - 6. هل يمكن العثور على رقم آخر أقل من -5 ولكن أكبر من -6؟ يمكنك، على سبيل المثال، -5.5... توقف! قيل لنا جميعحل! لا يتدحرج -5.5! ماذا عن ناقص ستة؟ اه اه! إن عدم المساواة صارم، ناقص 6 لا يقل بأي حال من الأحوال عن ناقص 6!

وبالتالي فإن الإجابة الصحيحة هي -5.

آمل أن يكون كل شيء واضحًا فيما يتعلق باختيار القيمة من الحل العام. مثال آخر:

4. حل عدم المساواة:

7 < 3x+1 < 13

رائع! ويسمى هذا التعبير عدم المساواة الثلاثية.بالمعنى الدقيق للكلمة، هذا هو شكل مختصر لنظام عدم المساواة. لكن مثل هذه المتباينات الثلاثية لا يزال يتعين حلها في بعض المهام... يمكن حلها بدون أي أنظمة. وفقا لنفس التحولات متطابقة.

نحن بحاجة إلى تبسيط هذه المتباينة وجعلها X نقية. لكن... ما الذي يجب أن ينقل إلى أين؟! هذا هو الوقت المناسب لتذكر أن التحرك يسارًا ويمينًا نموذج مختصرالتحول الأول للهوية

والشكل الكامل يبدو كالتالي: يمكن إضافة/طرح أي رقم أو تعبير إلى طرفي المعادلة (عدم المساواة).

هناك ثلاثة أجزاء هنا. لذلك سوف نطبق تحويلات متطابقة على الأجزاء الثلاثة!

لذا، دعونا نتخلص من الجزء الموجود في الجزء الأوسط من المتباينة. دعونا نطرح واحدًا من الجزء الأوسط بأكمله. ولكي لا تتغير المتباينة، نطرح واحدًا من الجزأين المتبقيين. مثله:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

هذا أفضل، أليس كذلك؟) كل ما تبقى هو تقسيم الأجزاء الثلاثة إلى ثلاثة:

2 < X < 4

هذا كل شئ. هذا هو الجواب. يمكن أن يكون X أي رقم من اثنين (غير شامل) إلى أربعة (غير شامل). تتم كتابة هذه الإجابة أيضًا على فترات؛ وستكون هذه الإدخالات في المتباينات التربيعية. هناك هم الشيء الأكثر شيوعا.

في نهاية الدرس سأكرر الشيء الأكثر أهمية. يعتمد النجاح في حل المتباينات الخطية على القدرة على تحويل وتبسيط المعادلات الخطية. إذا في نفس الوقت انتبه لعلامة عدم المساواة،لن تكون هناك أي مشاكل. هذا ما أتمناه لك. لا مشاكل.)

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

تلعب عدم المساواة دورًا بارزًا في الرياضيات. في المدرسة نتعامل بشكل رئيسي مع عدم المساواة العددية، بالتعريف الذي سنبدأ به هذا المقال. ومن ثم سنقوم بإدراج وتبرير خصائص المتباينات العدديةوالتي تقوم عليها جميع مبادئ العمل مع عدم المساواة.

دعونا نلاحظ على الفور أن العديد من خصائص المتباينات العددية متشابهة. ولذلك سنقدم المادة وفق نفس المخطط: نقوم بصياغة خاصية، ونعطي مبرراتها وأمثلتها، وبعد ذلك ننتقل إلى الخاصية التالية.

التنقل في الصفحة.

عدم المساواة العددية: التعريف والأمثلة

عندما قدمنا ​​مفهوم المتباينة، لاحظنا أن المتباينات يتم تعريفها غالبًا من خلال طريقة كتابتها. لذلك أطلقنا على المتباينات تعبيرات جبرية ذات معنى تحتوي على علامات لا تساوي ≠، أقل<, больше >أو أقل من أو يساوي ≥ أو أكبر من أو يساوي ≥. بناءً على التعريف أعلاه، من المناسب إعطاء تعريف للمتباينة العددية:

الالتقاء بالمتباينات العددية يحدث في دروس الرياضيات في الصف الأول، مباشرة بعد التعرف على الأعداد الطبيعية الأولى من 1 إلى 9، والتعرف على عملية المقارنة. صحيح أنها تسمى ببساطة عدم المساواة، مع حذف تعريف "العددي". وللتوضيح، لن يضر أن نعطي بضعة أمثلة لأبسط المتباينات العددية من تلك المرحلة من دراستهم: 1<2 , 5+2>3 .

وبعيدًا عن الأعداد الطبيعية، تمتد المعرفة إلى أنواع أخرى من الأعداد (الأعداد الصحيحة والعقلانية والحقيقية)، وتتم دراسة قواعد مقارنتها، وهذا يوسع بشكل كبير تنوع أنواع عدم المساواة العددية: −5>−72, 3> −0.275 (7−5, 6) , .

خصائص المتباينات العددية

من الناحية العملية، يسمح العمل مع حالات عدم المساواة بعدد من خصائص المتباينات العددية. وهي تنبع من مفهوم عدم المساواة الذي قدمناه. فيما يتعلق بالأرقام، يتم إعطاء هذا المفهوم من خلال العبارة التالية، والتي يمكن اعتبارها تعريفًا للعلاقات "أقل من" و"أكثر من" على مجموعة من الأرقام (غالبًا ما يطلق عليه تعريف الفرق لعدم المساواة):

تعريف.

• رقم a أكبر من b إذا وفقط إذا كان الفرق a−b رقمًا موجبًا؛
• الرقم a أقل من الرقم b إذا وفقط إذا كان الفرق a−b رقمًا سالبًا؛
• الرقم a يساوي الرقم b إذا وفقط إذا كان الفرق a−b يساوي صفرًا.

يمكن إعادة صياغة هذا التعريف في تعريف العلاقات "أقل من أو يساوي" و"أكبر من أو يساوي". وهنا صيغته:

تعريف.

• رقم a أكبر من أو يساوي b إذا وفقط إذا كان a−b رقمًا غير سالب؛
• a أقل من أو يساوي b إذا وفقط إذا كان a−b رقمًا غير موجب.

سوف نستخدم هذه التعريفات لإثبات خصائص المتباينات العددية، وسنواصل مراجعتها.

الخصائص الأساسية

نبدأ المراجعة بثلاث خصائص رئيسية لعدم المساواة. لماذا هم الأساسية؟ لأنها انعكاس لخصائص المتباينات بالمعنى الأعم، وليس فقط فيما يتعلق بالمتباينات العددية.

المتباينات العددية مكتوبة باستخدام العلامات< и >، صفة مميزة:

أما المتباينات العددية المكتوبة باستخدام علامتي المتباينة الضعيفة ≥ و ≥، فهي تمتلك خاصية الانعكاسية (وليست المضادة للانعكاسية)، حيث أن المتباينتين a≥a وa≥a تتضمنان حالة المساواة a=a. كما أنها تتميز بعدم التماثل والعبور.

لذا فإن المتباينات العددية المكتوبة باستخدام الإشارة ≥ و ≥ لها الخصائص التالية:

• الانعكاسية a≥a وa≥a هما عدم مساواة حقيقية؛
• عدم التماثل، إذا كان a≥b، ثم b≥a، وإذا كان a≥b، ثم b≥a.
• العبور، إذا كان a≥b وb≥c، ثم a≥c، وأيضًا إذا كان a≥b وb≥c، ثم a≥c.

إن برهانهم مشابه جدًا لتلك المقدمة بالفعل، لذلك لن نتوقف عندها، بل ننتقل إلى خصائص أخرى مهمة للمتباينات العددية.

خصائص هامة أخرى من عدم المساواة العددية

دعونا نكمل الخصائص الأساسية للمتباينات العددية بسلسلة من النتائج ذات أهمية عملية كبيرة. وتعتمد عليها طرق تقدير قيم التعبيرات؛ حلول لعدم المساواةوما إلى ذلك وهلم جرا. ولذلك، فمن المستحسن أن نفهمهم جيدا.

في هذا القسم، سنقوم بصياغة خصائص المتباينات فقط لإشارة واحدة من المتباينة الصارمة، ولكن من الجدير أن نأخذ في الاعتبار أن الخصائص المتشابهة ستكون صالحة للإشارة المعاكسة، وكذلك لعلامات المتباينة غير الصارمة. دعونا نشرح ذلك بمثال. أدناه نقوم بصياغة وإثبات الخاصية التالية للمتباينات: إذا أ

• إذا a>b ثم a+c>b+c ;
• إذا a≥b ثم a+c≤b+c ;
• إذا a≥b، ثم a+c≥b+c.

من أجل التيسير، سنقدم خصائص المتباينات العددية في شكل قائمة، بينما سنقدم العبارة المقابلة، ونكتبها رسميًا باستخدام الحروف، ونقدم برهانًا، ثم نعرض أمثلة للاستخدام. وفي نهاية المقال سنلخص جميع خصائص المتباينات العددية في جدول. يذهب!

إن إضافة (أو طرح) أي رقم إلى طرفي المتباينة العددية الحقيقية ينتج عنه متباينة عددية حقيقية. وبعبارة أخرى، إذا كان الرقمان a وb مثل a

لإثبات ذلك، دعونا نعوض الفرق بين الجانبين الأيسر والأيمن للمتباينة العددية الأخيرة، ونبين أنها سالبة بشرط أ (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. منذ بشرط أ

نحن لا نتناول إثبات خاصية المتباينات العددية هذه لطرح رقم c، حيث يمكن استبدال الطرح في مجموعة الأعداد الحقيقية بإضافة -c.

على سبيل المثال، إذا أضفت الرقم 15 إلى طرفي المتباينة العددية الصحيحة 7>3، فستحصل على المتباينة العددية الصحيحة 7+15>3+15، وهي نفس الشيء، 22>18.

إذا تم ضرب (أو قسمة) طرفي المتباينة العددية الصحيحة على نفس الرقم الموجب c، فستحصل على تباين عددي صالح. إذا تم ضرب (أو قسمة) طرفي المتراجحة على عدد سالب c، وعكست إشارة المتراجحة، فستكون المتراجحة صحيحة. بشكل حرفي: إذا كان العددان a وb يحققان المتراجحة a قبل الميلاد.

دليل. لنبدأ بالحالة التي يكون فيها c>0. دعونا نعوض الفرق بين الجانبين الأيسر والأيمن للمتباينة العددية التي تم إثباتها: a·c−b·c=(a−b)·c . منذ بشرط أ 0 ، فإن المنتج (a−b)·c سيكون رقمًا سالبًا مثل منتج الرقم السالب a−b والرقم الموجب c (الذي يتبع من ). وبالتالي، أ·ج-ب·ج<0 , откуда a·c

نحن لا نتناول إثبات الخاصية المدروسة لقسمة طرفي المتباينة العددية الحقيقية على نفس الرقم ج، حيث يمكن دائمًا استبدال القسمة بالضرب بـ 1/ج.

دعونا نعرض مثالا على استخدام الخاصية التي تم تحليلها على أرقام محددة. على سبيل المثال، يمكن أن يكون لديك طرفي المتباينة العددية الصحيحة 4<6 умножить на положительное число 0,5 , что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5 , откуда −2<3 . А если обе части верного числового неравенства −8≤12 разделить на отрицательное число −4 , и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4) , откуда 2≥−3 .

من الخاصية التي تمت مناقشتها للتو وهي ضرب طرفي المساواة العددية برقم، تتبع نتيجتان قيمتان عمليًا. لذلك نقوم بصياغتها في شكل عواقب.

جميع الخصائص التي تمت مناقشتها أعلاه في هذه الفقرة متحدة بحقيقة أنه يتم أولاً إعطاء عدم المساواة العددية الصحيحة، ومن خلال بعض التلاعب بأجزاء عدم المساواة والعلامة، يتم الحصول على عدم المساواة الرقمية الصحيحة الأخرى. سنقدم الآن مجموعة من الخصائص التي لا يتم فيها إعطاء متباينة عددية واحدة صحيحة في البداية، ويتم الحصول على نتيجة جديدة من استخدامها المشترك بعد إضافة أو ضرب أجزائها.

إذا كانت الأعداد أ، ب، ج، د تحقق المتباينات أ

دعونا نثبت أن (a+c)−(b+d) عدد سالب، وهذا سيثبت أن a+c

عن طريق الاستقراء، تمتد هذه الخاصية إلى جمع ثلاثة وأربعة حدًا تلو الآخر، وبشكل عام، أي عدد محدود من المتباينات الرقمية. لذا، إذا كانت الأعداد أ 1، أ 2، …، أ ن و ب 1، ب 2، …، ب ن فإن المتباينات التالية صحيحة: أ 1 أ 1 + أ 2 +…+ أ ن .

على سبيل المثال، لدينا ثلاث متباينات عددية صحيحة لها نفس الإشارة −5<−2 , −1<12 и 3<4 . Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4 – тоже верное.

يمكنك ضرب المتباينات العددية التي لها نفس الإشارة بحد، حيث يتم تمثيل كلا الجانبين بأرقام موجبة. على وجه الخصوص، بالنسبة لاثنين من عدم المساواة أ

لإثبات ذلك، يمكنك ضرب طرفي المتراجحة أ

تنطبق هذه الخاصية أيضًا على ضرب أي عدد محدود من المتباينات العددية الحقيقية ذات الأجزاء الموجبة. أي أنه إذا كانت a 1، a 2، …، a n و b 1، b 2، …، b n أرقامًا موجبة، وa 1 أ 1 · أ 2 ·…·أ ن .

بشكل منفصل، تجدر الإشارة إلى أنه إذا كان تدوين عدم المساواة العددية يحتوي على أرقام غير موجبة، فإن ضربها على حدة يمكن أن يؤدي إلى عدم مساواة رقمية غير صحيحة. على سبيل المثال، عدم المساواة العددية 1<3 и −5<−4 – верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4) , что то же самое, −5<−12 , а это неверное неравенство.

• عاقبة. ضرب المتباينات الحقيقية المتماثلة بالصيغة أ

وفي نهاية المقال وكما وعدنا سوف نقوم بجمع كل الخصائص المدروسة فيه جدول خصائص المتباينات العددية:

فهرس.

• مورو إم.. الرياضيات. كتاب مدرسي لفئة واحدة. بداية مدرسة في ساعتين الجزء الأول. (النصف الأول من العام) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova - الطبعة السادسة. - م: التربية، 2006. - 112 ص: مرض+إضافة. (2 منفصل ل. مريض.). - ردمك 5-09-014951-8.
• الرياضيات: كتاب مدرسي للصف الخامس. تعليم عام المؤسسات / N. Ya Vilenkin، V. I. Zhokhov، A. S. Chesnokov، S. I. Shvartsburd. - الطبعة الحادية والعشرون، محذوفة. - م: منيموسين، 2007. - 280 ص: مريض. ردمك 5-346-00699-0.
• الجبر:كتاب مدرسي للصف الثامن. تعليم عام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ حررت بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة السادسة عشرة. - م: التربية، 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
• موردكوفيتش أ.ج.الجبر. الصف 8. في ساعتين الجزء الأول. كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام / أ.ج.موردكوفيتش. - الطبعة الحادية عشرة، محذوفة. - م: منيموسين، 2009. - 215 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01155-2.

تسمى عدم المساواة خطيةوالجانبان الأيسر والأيمن منها دوال خطية بالنسبة للكمية المجهولة. وتشمل هذه، على سبيل المثال، عدم المساواة:

2x-1-س+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- س< x + 5 .

1) عدم المساواة الصارمة: الفأس +ب>0أو الفأس + ب<0

2) عدم المساواة غير الصارمة: الفأس + ب ≥0أو الفأس + ب≫ 0

دعونا نحلل هذه المهمة. طول أحد أضلاع متوازي الأضلاع 7 سم. ما طول الضلع الآخر الذي يجب أن يكون محيطه أكبر من 44 سم؟

دع الجانب المطلوب يكون Xسم في هذه الحالة، سيتم تمثيل محيط متوازي الأضلاع بـ (14 + 2x) سم. المتباينة 14 + 2x > 44 هي نموذج رياضي لمسألة محيط متوازي الأضلاع. إذا قمنا باستبدال المتغير في هذه المتباينة Xعلى سبيل المثال، الرقم 16، نحصل على المتباينة العددية الصحيحة 14 + 32 > 44. في هذه الحالة، يقولون أن الرقم 16 هو حل للمتباينة 14 + 2x > 44.

حل عدم المساواةقم بتسمية قيمة المتغير الذي يحوله إلى متباينة عددية حقيقية.

وبالتالي، كل رقم هو 15.1؛ 20;73 بمثابة حل للمتباينة 14 + 2x > 44، لكن الرقم 10، على سبيل المثال، ليس هو الحل.

حل عدم المساواةيعني إثبات جميع حلولها أو إثبات عدم وجود حلول.

إن صياغة حل المتراجحة تشبه صياغة جذر المعادلة. ومع ذلك، ليس من المعتاد أن نحدد "جذر التفاوت".

ساعدتنا خصائص المساواة العددية في حل المعادلات. وبالمثل، فإن خصائص المتباينات العددية ستساعد في حل المتباينات.

عند حل معادلة، نقوم بتغييرها إلى معادلة أخرى أبسط، ولكنها تعادل المعادلة المعطاة. تم العثور على الإجابة على عدم المساواة بطريقة مماثلة. عند تغيير معادلة إلى معادلة مكافئة، يستخدمون نظرية نقل الحدود من أحد طرفي المعادلة إلى الطرف المقابل وضرب طرفي المعادلة بنفس الرقم غير الصفر. عند حل المتراجحة، يوجد فرق كبير بينها وبين المعادلة، والذي يكمن في حقيقة أنه يمكن التحقق من أي حل للمعادلة ببساطة عن طريق التعويض في المعادلة الأصلية. في المتباينات، هذه الطريقة غائبة، لأنه ليس من الممكن استبدال عدد لا يحصى من الحلول في المتباينة الأصلية. لذلك، هناك مفهوم مهم، وهو هذه الأسهم<=>هي علامة على التحولات المكافئة أو المكافئة. يسمى التحول مقابل،أو مقابل، إذا لم يغيروا مجموعة الحلول.

قواعد مماثلة لحل عدم المساواة.

إذا نقلنا أي حد من جزء من المتباينة إلى جزء آخر، مع استبدال إشارته بالإشارة المقابلة، نحصل على متباينة مكافئة لهذه المتباينة.

إذا تم ضرب (قسمة) طرفي المتباينة على نفس العدد الموجب، فسنحصل على متباينة مكافئة لهذه المتباينة.

إذا تم ضرب (قسمة) طرفي المتباينة على نفس الرقم السالب، مع استبدال علامة المتباينة بالعلامة المقابلة، فإننا نحصل على متباينة مكافئة للمتباينة المعطاة.

باستخدام هذه قواعددعونا نحسب المتباينات التالية.

1) دعونا نحلل عدم المساواة 2س - 5 > 9.

هذا عدم المساواة الخطيةسنجد حلها ونناقش المفاهيم الأساسية.

2س - 5 > 9<=>2x>14(تم نقل 5 إلى الجانب الأيسر مع الإشارة المعاكسة)، ثم قسمنا كل شيء على 2 وأصبح لدينا س > 7. دعونا نرسم مجموعة الحلول على المحور س

لقد حصلنا على شعاع موجه بشكل إيجابي. ونلاحظ مجموعة الحلول سواء في صورة المتباينة س > 7أو على شكل الفاصل x(7; ∞). ما هو الحل المحدد لهذا التفاوت؟ على سبيل المثال، س = 10هو حل خاص لهذا عدم المساواة، س = 12- وهذا أيضًا حل خاص لعدم المساواة هذا.

هناك العديد من الحلول الجزئية، لكن مهمتنا هي إيجاد الحلول كلها. وعادة ما يكون هناك عدد لا يحصى من الحلول.

دعونا فرزها مثال 2:

2) حل عدم المساواة 4 أ - 11 > أ + 13.

دعونا حلها: أنقله إلى جانب واحد 11 نقله إلى الجانب الآخر، نحصل على 3A< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 عدم المساواة له الشكل أ<8 .

4 أ - 11 > أ + 13<=>3 أ< 24 <=>أ< 8 .

دعونا نعرض المجموعة أيضًا أ< 8 ، ولكن بالفعل على المحور أ.

إما أن نكتب الإجابة على صورة المتباينة أ< 8, либо أ(-∞;8), 8 لا يتم تشغيله.

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب على جوائز أو مسابقة أو عروض ترويجية مماثلة، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من السلطات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

على سبيل المثال، المتباينة هي التعبير \(x>5\).

أنواع عدم المساواة:

إذا كان \(a\) و \(b\) أرقامًا أو ، فسيتم استدعاء المتراجحة عددي. إنها في الواقع مجرد مقارنة رقمين. وتنقسم هذه التفاوتات إلى مخلصو غير مخلص.

على سبيل المثال:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) هي متباينة عددية غير صحيحة، نظرًا لأن \(17+3=20\)، و\(20\) أقل من \(115\) (وليس أكبر من أو يساوي) .

إذا كان \(a\) و\(b\) عبارة عن تعبيرات تحتوي على متغير، فلدينا عدم المساواة مع المتغير. تنقسم حالات عدم المساواة هذه إلى أنواع حسب المحتوى:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				متغير فقط للقوة الأولى
\(3x^2-x+5>0\)				يوجد متغير في القوة الثانية (المربع)، ولكن لا توجد قوى أعلى (الثالثة، الرابعة، الخ)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... وما إلى ذلك وهلم جرا.

ما هو الحل لعدم المساواة؟

إذا قمت باستبدال رقم بدلاً من متغير في متباينة، فسوف تتحول إلى متباينة رقمية.

إذا كانت قيمة معينة لـ x تحول المتباينة الأصلية إلى متباينة عددية حقيقية، فسيتم استدعاؤها حل عدم المساواة. إذا لم يكن الأمر كذلك، فإن هذه القيمة ليست حلا. و ل حل عدم المساواة- تحتاج إلى إيجاد جميع حلولها (أو إظهار عدم وجود أي منها).

على سبيل المثال،إذا عوضنا بالرقم \(7\) في المتراجحة الخطية \(x+6>10\)، فسنحصل على المتراجحة العددية الصحيحة: \(13>10\). وإذا عوضنا بـ \(2\)، فسيكون هناك متباينة عددية غير صحيحة \(8>10\). أي أن \(7\) هو حل للمتباينة الأصلية، لكن \(2\) ليس كذلك.

ومع ذلك، فإن المتراجحة \(x+6>10\) لها حلول أخرى. وبالفعل سنحصل على المتباينات العددية الصحيحة عند التعويض بـ \(5\)، و\(12\)، و\(138\)... وكيف يمكننا إيجاد جميع الحلول الممكنة؟ لهذا يستخدمون في حالتنا لدينا:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(س>4\)

أي أن أي عدد أكبر من أربعة سوف يناسبنا. الآن عليك أن تكتب الجواب. عادةً ما تتم كتابة حلول المتباينات عدديًا، بالإضافة إلى تمييزها على محور الأعداد بالتظليل. بالنسبة لحالتنا لدينا:

إجابة: \(x\in(4;+\infty)\)

متى تتغير علامة عدم المساواة؟

هناك فخ كبير في حالات عدم المساواة "يحب" الطلاب الوقوع فيه حقًا:

عند ضرب (أو قسمة) المتباينة في عدد سالب، يتم عكسها ("أكثر" بـ "أقل"، "أكثر أو يساوي" بـ "أقل من أو يساوي"، وهكذا)

لماذا يحدث هذا؟ لفهم ذلك، دعونا ننظر إلى تحويلات المتباينة العددية \(3>1\). صحيح، ثلاثة أكبر من واحد. أولاً، دعونا نحاول ضربه بأي رقم موجب، على سبيل المثال، اثنان:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

كما نرى، تظل المتباينة صحيحة بعد الضرب. ومهما كان العدد الموجب الذي نضرب فيه، فسنحصل دائمًا على المتباينة الصحيحة. والآن لنحاول الضرب في عدد سالب، على سبيل المثال، ناقص ثلاثة:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

والنتيجة هي متباينة غير صحيحة، لأن سالب تسعة أقل من سالب ثلاثة! وهذا يعني أنه لكي تصبح المتباينة صحيحة (وبالتالي، كان تحويل الضرب بالسالب "قانونيًا")، فأنت بحاجة إلى عكس علامة المقارنة، مثل هذا: \(−9)<− 3\).
مع القسمة، سيتم الأمر بنفس الطريقة، يمكنك التحقق من ذلك بنفسك.

تنطبق القاعدة المذكورة أعلاه على جميع أنواع المتباينات، وليس فقط على المتباينات العددية.

مثال: حل المتراجحة \(2(x+1)-1).<7+8x\)
حل:

\(2س+2-1<7+8x\)	لننتقل \(8x\) إلى اليسار، و\(2\) و \(-1\) إلى اليمين، دون أن ننسى تغيير العلامات
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	دعونا نقسم طرفي المتراجحة على \(-6\)، دون أن ننسى التغيير من "أقل" إلى "أكثر"
	لنضع علامة على الفاصل الرقمي على المحور. عدم المساواة، لذلك "نستخرج" القيمة \(-1\) نفسها ولا نعتبرها إجابة
	لنكتب الإجابة على شكل فاصل زمني

إجابة: \(x\in(-1;\infty)\)

عدم المساواة والإعاقة

المتباينات، تمامًا مثل المعادلات، يمكن أن يكون لها قيود على قيم x. وبناء على ذلك، ينبغي استبعاد تلك القيم غير المقبولة وفقا لـ DZ من نطاق الحلول.

مثال: حل المتراجحة \(\sqrt(x+1)<3\)

حل: من الواضح أنه لكي يكون الجانب الأيسر أقل من \(3\)، يجب أن يكون التعبير الجذري أقل من \(9\) (بعد كل شيء، من \(9\) فقط \(3\)). نحن نحصل:

\(س+1<9\) \(|-1\)
\(س<8\)

الجميع؟ هل هناك أي قيمة لـ x أصغر من \(8\) تناسبنا؟ لا! لأنه إذا أخذنا، على سبيل المثال، القيمة \(-5\) التي يبدو أنها تناسب الشرط، فلن تكون حلاً للمتراجحة الأصلية، لأنها ستقودنا إلى حساب جذر عدد سالب.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

لذلك، يجب علينا أيضًا أن نأخذ في الاعتبار القيود المفروضة على قيمة X - فلا يمكن أن يكون هناك رقم سالب تحت الجذر. وبالتالي، لدينا المطلب الثاني لـ x:

\(س+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

ولكي يكون x هو الحل النهائي، يجب أن يلبي كلا الشرطين في وقت واحد: يجب أن يكون أقل من \(8\) (ليكون حلاً) وأكبر من \(-1\) (ليكون مقبولاً من حيث المبدأ). وبرسمها على خط الأعداد، نحصل على الإجابة النهائية:

إجابة: \(\يسار[-1;8\يمين)\)