نواصل دراسة اللوغاريتمات. في هذا المقال سنتحدث عنه حساب اللوغاريتمات، وتسمى هذه العملية اللوغاريتم. أولاً سوف نفهم حساب اللوغاريتمات حسب التعريف. بعد ذلك، دعونا نلقي نظرة على كيفية العثور على قيم اللوغاريتمات باستخدام خصائصها. بعد ذلك سنركز على حساب اللوغاريتمات من خلال القيم المحددة في البداية للوغاريتمات الأخرى. وأخيرًا، دعونا نتعلم كيفية استخدام جداول اللوغاريتمات. يتم تزويد النظرية بأكملها بأمثلة مع حلول مفصلة.
التنقل في الصفحة.
حساب اللوغاريتمات حسب التعريف
في أبسط الحالات، من الممكن تنفيذ الأمر بسرعة وسهولة إيجاد اللوغاريتم حسب التعريف. دعونا نلقي نظرة فاحصة على كيفية حدوث هذه العملية.
جوهرها هو تمثيل الرقم ب في النموذج ج، والذي، من خلال تعريف اللوغاريتم، الرقم ج هو قيمة اللوغاريتم. وهذا يعني، حسب التعريف، أن سلسلة المساواة التالية تتوافق مع إيجاد اللوغاريتم: log a b=log a a c =c.
لذا، فإن حساب اللوغاريتم حسب التعريف يتلخص في العثور على رقم c بحيث يكون a c = b، والرقم c نفسه هو القيمة المطلوبة للوغاريتم.
مع الأخذ في الاعتبار المعلومات الواردة في الفقرات السابقة، عندما يتم إعطاء الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم بواسطة قوة معينة لقاعدة اللوغاريتم، يمكنك الإشارة على الفور إلى ما يساويه اللوغاريتم - فهو يساوي الأس. دعونا نعرض الحلول بالأمثلة.
مثال.
ابحث عن السجل 2 2 −3 واحسب أيضًا اللوغاريتم الطبيعي للرقم e 5,3.
حل.
يتيح لنا تعريف اللوغاريتم أن نقول على الفور أن السجل 2 2 −3 =−3. في الواقع، الرقم الموجود تحت علامة اللوغاريتم يساوي الأساس 2 أس −3.
وبالمثل نجد اللوغاريتم الثاني: lne 5.3 =5.3.
إجابة:
سجل 2 2 −3 =−3 و lne 5,3 =5,3.
إذا لم يتم تحديد الرقم b تحت علامة اللوغاريتم كقوة لقاعدة اللوغاريتم، فأنت بحاجة إلى النظر بعناية لمعرفة ما إذا كان من الممكن التوصل إلى تمثيل للرقم b في النموذج a c . غالبًا ما يكون هذا التمثيل واضحًا تمامًا، خاصة عندما يكون الرقم الموجود تحت علامة اللوغاريتم مساويًا للأساس أس 1، أو 2، أو 3، ...
مثال.
احسب اللوغاريتمات log 5 25 و .
حل.
من السهل أن ترى أن 25=5 2، وهذا يسمح لك بحساب اللوغاريتم الأول: log 5 25=log 5 5 2 =2.
دعنا ننتقل إلى حساب اللوغاريتم الثاني. يمكن تمثيل الرقم كقوة 7: 
(انظر إذا لزم الأمر). لذلك، 
.
لنعد كتابة اللوغاريتم الثالث بالشكل التالي. الآن يمكنك أن ترى ذلك 
، ومنه نستنتج ذلك 
. لذلك، من خلال تعريف اللوغاريتم 
.
باختصار يمكن كتابة الحل كالتالي: .
إجابة:
سجل 5 25=2 , 
و .
عندما يكون هناك عدد طبيعي كبير بما فيه الكفاية تحت علامة اللوغاريتم، فلن يضر تحليله إلى عوامل أولية. غالبًا ما يساعد على تمثيل هذا الرقم كقوة لقاعدة اللوغاريتم، وبالتالي حساب هذا اللوغاريتم حسب التعريف.
مثال.
أوجد قيمة اللوغاريتم.
حل.
تسمح لك بعض خصائص اللوغاريتمات بتحديد قيمة اللوغاريتمات على الفور. تتضمن هذه الخصائص خاصية لوغاريتم واحد وخاصية لوغاريتم رقم يساوي الأساس: log 1 1=log a a 0 =0 وlog a=log a 1 =1. أي أنه عندما يكون هناك رقم 1 أو رقم يساوي أساس اللوغاريتم تحت علامة اللوغاريتم، فإن اللوغاريتمات في هذه الحالات تساوي 0 و1 على التوالي.
مثال.
ما هي اللوغاريتمات وlog10 يساوي؟
حل.
منذ ذلك الحين يتبع من تعريف اللوغاريتم 
.
في المثال الثاني، يتطابق الرقم 10 تحت علامة اللوغاريتم مع قاعدته، وبالتالي فإن اللوغاريتم العشري للعشرة يساوي واحدًا، أي lg10=lg10 1 =1.
إجابة:
و إل جي10=1 .
لاحظ أن حساب اللوغاريتمات حسب التعريف (الذي ناقشناه في الفقرة السابقة) يعني استخدام سجل المساواة a a p =p، وهو أحد خصائص اللوغاريتمات.
من الناحية العملية، عندما يتم تمثيل رقم تحت علامة اللوغاريتم وقاعدة اللوغاريتم بسهولة كقوة لرقم معين، فمن الملائم جدًا استخدام الصيغة 
وهو ما يتوافق مع إحدى خصائص اللوغاريتمات. دعونا نلقي نظرة على مثال لإيجاد لوغاريتم يوضح استخدام هذه الصيغة.
مثال.
احسب اللوغاريتم.
حل.
إجابة:
.
تُستخدم أيضًا خصائص اللوغاريتمات غير المذكورة أعلاه في العمليات الحسابية، لكننا سنتحدث عن ذلك في الفقرات التالية.
إيجاد اللوغاريتمات من خلال اللوغاريتمات المعروفة الأخرى
تستمر المعلومات الواردة في هذه الفقرة في موضوع استخدام خصائص اللوغاريتمات عند حسابها. لكن الاختلاف الرئيسي هنا هو أن خصائص اللوغاريتمات تُستخدم للتعبير عن اللوغاريتم الأصلي بدلالة لوغاريتم آخر تكون قيمته معروفة. دعونا نعطي مثالا للتوضيح. لنفترض أننا نعرف ذلك log 2 3≈1.584963، ثم يمكننا إيجاد، على سبيل المثال، log 2 6 عن طريق إجراء تحويل بسيط باستخدام خصائص اللوغاريتم: سجل 2 6=سجل 2 (2 3)=سجل 2 2+سجل 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
في المثال أعلاه، كان يكفينا استخدام خاصية لوغاريتم المنتج. ومع ذلك، في كثير من الأحيان يكون من الضروري استخدام ترسانة أوسع من خصائص اللوغاريتمات لحساب اللوغاريتم الأصلي من خلال تلك المحددة.
مثال.
احسب لوغاريتم 27 للأساس 60 إذا كنت تعلم أن log 60 2=a وlog 60 5=b.
حل.
لذلك نحن بحاجة إلى العثور على سجل 60 27 . من السهل أن نرى أن 27 = 3 3 ، واللوغاريتم الأصلي، بسبب خاصية لوغاريتم الأس، يمكن إعادة كتابته بالشكل 3·log 60 3 .
الآن دعونا نرى كيفية التعبير عن السجل 60 3 بدلالة اللوغاريتمات المعروفة. خاصية لوغاريتم الرقم الذي يساوي الأساس تسمح لنا بكتابة سجل المساواة 60 60=1. ومن ناحية أخرى، سجل 60 60=log60(2 2 3 5)= سجل 60 2 2 +سجل 60 3+سجل 60 5= 2·سجل 60 2+سجل 60 3+سجل 60 5 . هكذا، 2 سجل 60 2+سجل 60 3+سجل 60 5=1. لذلك، سجل 60 3=1−2·سجل 60 2−سجل 60 5=1−2·أ−ب.
أخيرًا، نحسب اللوغاريتم الأصلي: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
إجابة:
سجل 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
بشكل منفصل، تجدر الإشارة إلى معنى صيغة الانتقال إلى قاعدة لوغاريتم النموذج الجديدة 
. يتيح لك الانتقال من اللوغاريتمات ذات الأساس إلى اللوغاريتمات ذات الأساس المحدد والتي تكون قيمها معروفة أو من الممكن العثور عليها. عادة، من اللوغاريتم الأصلي، باستخدام صيغة الانتقال، ينتقلون إلى اللوغاريتمات في إحدى القواعد 2 أو e أو 10، حيث توجد لهذه القواعد جداول لوغاريتمية تسمح بحساب قيمها بدرجة معينة من دقة. وفي الفقرة التالية سوف نبين كيف يتم ذلك.
الجداول اللوغاريتمية واستخداماتها
يمكن استخدام الحساب التقريبي لقيم اللوغاريتم جداول اللوغاريتم. جدول اللوغاريتم الأساسي 2 الأكثر استخدامًا، وجدول اللوغاريتم الطبيعي، وجدول اللوغاريتم العشري. عند العمل في نظام الأرقام العشرية، من المناسب استخدام جدول اللوغاريتمات على أساس العشرة. بمساعدتها سوف نتعلم كيفية العثور على قيم اللوغاريتمات.
يتيح لك الجدول المعروض العثور على قيم اللوغاريتمات العشرية للأرقام من 1000 إلى 9999 (مع ثلاث منازل عشرية) بدقة تصل إلى جزء من عشرة آلاف. سنقوم بتحليل مبدأ إيجاد قيمة اللوغاريتم باستخدام جدول اللوغاريتمات العشرية باستخدام مثال محدد - الأمر أكثر وضوحًا بهذه الطريقة. لنجد log1.256.
في العمود الأيسر من جدول اللوغاريتمات العشرية نجد أول رقمين من الرقم 1.256، أي نجد 1.2 (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأزرق من أجل الوضوح). تم العثور على الرقم الثالث من الرقم 1.256 (الرقم 5) في السطر الأول أو الأخير على يسار الخط المزدوج (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأحمر). الرقم الرابع من الرقم الأصلي 1.256 (الرقم 6) موجود في السطر الأول أو الأخير على يمين الخط المزدوج (هذا الرقم محاط بدائرة بخط أخضر). الآن نجد الأرقام في خلايا جدول اللوغاريتم عند تقاطع الصف المحدد والأعمدة المحددة (يتم تمييز هذه الأرقام باللون البرتقالي). مجموع الأرقام المحددة يعطي القيمة المطلوبة للوغاريتم العشري بدقة حتى المنزلة العشرية الرابعة، أي، سجل1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
هل من الممكن باستخدام الجدول أعلاه إيجاد قيم اللوغاريتمات العشرية للأعداد التي تحتوي على أكثر من ثلاثة أرقام بعد العلامة العشرية، وكذلك تلك التي تتجاوز النطاق من 1 إلى 9.999؟ نعم يمكنك ذلك. دعونا نظهر كيف يتم ذلك مع مثال.
دعونا نحسب lg102.76332. أولا عليك أن تكتب الرقم في النموذج القياسي: 102.76332=1.0276332·10 2. بعد ذلك، ينبغي تقريب الجزء العشري إلى المنزلة العشرية الثالثة، لدينا 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2، في حين أن اللوغاريتم العشري الأصلي يساوي تقريبًا لوغاريتم الرقم الناتج، أي أننا نأخذ log102.76332≈lg1.028·10 2. الآن نطبق خصائص اللوغاريتم: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. وأخيرا نجد قيمة اللوغاريتم lg1.028 من جدول اللوغاريتمات العشرية lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. ونتيجة لذلك، تبدو عملية حساب اللوغاريتم برمتها كما يلي: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.
في الختام، تجدر الإشارة إلى أنه باستخدام جدول اللوغاريتمات العشرية، يمكنك حساب القيمة التقريبية لأي لوغاريتم. للقيام بذلك، يكفي استخدام صيغة الانتقال للانتقال إلى اللوغاريتمات العشرية، والعثور على قيمها في الجدول، وإجراء العمليات الحسابية المتبقية.
على سبيل المثال، دعونا نحسب السجل 2 3 . وفقا لصيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة للوغاريتم، لدينا . من جدول اللوغاريتمات العشرية نجد log3≈0.4771 و log2≈0.3010. هكذا، 
.
فهرس.
- كولموجوروف إيه إن، أبراموف إيه إم، دودنيتسين يو.بي. وغيرها الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10 - 11 من مؤسسات التعليم العام.
- جوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج. الرياضيات (دليل للملتحقين بالمدارس الفنية).
اليوم سنتحدث عنه الصيغ اللوغاريتميةوسوف نعطي الإرشادية أمثلة الحل.
هم أنفسهم يشيرون إلى أنماط الحل وفقًا للخصائص الأساسية للوغاريتمات. قبل تطبيق صيغ اللوغاريتم لحلها، دعونا نذكرك بجميع الخصائص:
الآن، على أساس هذه الصيغ (الخصائص)، سوف نعرض أمثلة على حل اللوغاريتمات.
أمثلة على حل اللوغاريتمات على أساس الصيغ.
اللوغاريتمالرقم الموجب b للأساس a (يُشار إليه بالسجل a b) هو الأس الذي يجب رفع a إليه للحصول على b، مع b > 0، وa > 0، و1.
وفقًا للتعريف، سجل a b = x، وهو ما يعادل a x = b، وبالتالي سجل a a x = x.
اللوغاريتمات، أمثلة:
سجل 2 8 = 3، لأن 2 3 = 8
سجل 7 49 = 2، لأن 7 2 = 49
سجل 5 1/5 = -1، لأن 5 -1 = 1/5
اللوغاريتم العشري- هذا لوغاريتم عادي، قاعدته 10. ويشار إليه بـ lg.
سجل 10 100 = 2، لأن 10 2 = 100
اللوغاريتم الطبيعي- أيضًا لوغاريتم عادي، لوغاريتم، ولكن بالأساس e (e = 2.71828... - رقم غير نسبي). يشار إليه باسم ln.
يُنصح بحفظ صيغ أو خصائص اللوغاريتمات، لأننا سنحتاجها لاحقًا عند حل اللوغاريتمات والمعادلات اللوغاريتمية والمتباينات. دعونا نعمل على كل صيغة مرة أخرى مع الأمثلة.
- الهوية اللوغاريتمية الأساسية
سجل أ ب = ب8 2 سجل 8 3 = (8 2 سجل 8 3) 2 = 3 2 = 9
- لوغاريتم المنتج يساوي مجموع اللوغاريتمات
سجل أ (قبل الميلاد) = سجل أ ب + سجل أ جسجل 3 8.1 + سجل 3 10 = سجل 3 (8.1*10) = سجل 3 81 = 4
- لوغاريتم الحاصل يساوي الفرق بين اللوغاريتمات
سجل أ (ب / ج) = سجل أ ب - سجل أ ج9 سجل 5 50 /9 سجل 5 2 = 9 سجل 5 50- سجل 5 2 = 9 سجل 5 25 = 9 2 = 81
- خصائص قوة الرقم اللوغاريتمي وأساس اللوغاريتم
أس الرقم اللوغاريتمي سجل a b m = mlog a b
أس قاعدة اللوغاريتم log a n b =1/n*log a b
تسجيل الدخول أ ن ب م = م/ن*تسجيل أ ب،
إذا م = ن، نحصل على سجل أ ن ب ن = سجل أ ب
سجل 4 9 = سجل 2 2 3 2 = سجل 2 3
- الانتقال إلى أساس جديد
سجل أ ب = سجل ج ب/سجل ج أ،إذا كان ج = ب، نحصل على سجل ب ب = 1
ثم سجل أ ب = 1/سجل ب أ
سجل 0.8 3*سجل 3 1.25 = سجل 0.8 3*سجل 0.8 1.25/سجل 0.8 3 = سجل 0.8 1.25 = سجل 4/5 5/4 = -1
كما ترون، صيغ اللوغاريتمات ليست معقدة كما تبدو. والآن بعد أن نظرنا إلى أمثلة حل اللوغاريتمات، يمكننا الانتقال إلى المعادلات اللوغاريتمية. سننظر في أمثلة حل المعادلات اللوغاريتمية بمزيد من التفصيل في المقالة: "". لا تفوت!
إذا كان لا يزال لديك أسئلة حول الحل، فاكتبها في التعليقات على المقالة.
ملاحظة: قررنا الحصول على فئة مختلفة من التعليم والدراسة في الخارج كخيار.
أحد عناصر جبر المستوى البدائي هو اللوغاريتم. يأتي الاسم من اللغة اليونانية من كلمة "رقم" أو "قوة" ويعني القوة التي يجب رفع الرقم الموجود في القاعدة إليها للعثور على الرقم النهائي.
أنواع اللوغاريتمات
- سجل أ ب – لوغاريتم الرقم ب للأساس أ (أ > 0, أ ≠ 1, ب > 0);
- السجل ب - اللوغاريتم العشري (اللوغاريتم للأساس 10، أ = 10)؛
- ln b – اللوغاريتم الطبيعي (اللوغاريتم للأساس e، a = e).
كيفية حل اللوغاريتمات؟
لوغاريتم b للأساس a هو الأس الذي يتطلب رفع b إلى الأساس a. يتم نطق النتيجة التي تم الحصول عليها على النحو التالي: "لوغاريتم b إلى الأساس a." الحل للمشكلات اللوغاريتمية هو أنك تحتاج إلى تحديد القوة المعطاة بالأرقام من الأرقام المحددة. هناك بعض القواعد الأساسية لتحديد أو حل اللوغاريتم، وكذلك تحويل الترميز نفسه. وباستخدامها يتم حل المعادلات اللوغاريتمية وإيجاد المشتقات وحل التكاملات وتنفيذ العديد من العمليات الأخرى. في الأساس، حل اللوغاريتم نفسه هو تدوينه المبسط. فيما يلي الصيغ والخصائص الأساسية:
لأي ; أ> 0؛ أ ≠ 1 ولأي x ; ص> 0.
- سجل أ ب = ب – الهوية اللوغاريتمية الأساسية
- سجل 1 = 0
- اللوغاريتم أ = 1
- سجل أ (س ص) = سجل س + سجل ص
- سجل x/ y = سجل x – سجل y
- سجل 1/x = - سجل x
- سجل أ س ع = ص سجل أ س
- log a k x = 1/k log a x لـ k ≠ 0
- سجل أ س = سجل أ ج س ج
- log a x = log b x/ log b a – صيغة للانتقال إلى قاعدة جديدة
- سجل أ س = 1/سجل س أ
كيفية حل اللوغاريتمات - تعليمات خطوة بخطوة للحل
- أولا، اكتب المعادلة المطلوبة.
يرجى ملاحظة: إذا كان اللوغاريتم الأساسي هو 10، فسيتم تقصير الإدخال، مما يؤدي إلى لوغاريتم عشري. إذا كان هناك عدد طبيعي e، فإننا نكتبه ونختصره إلى لوغاريتم طبيعي. وهذا يعني أن نتيجة جميع اللوغاريتمات هي القوة التي يتم رفع الرقم الأساسي إليها للحصول على الرقم ب.
مباشرة الحل يكمن في حساب هذه الدرجة. قبل حل تعبير باستخدام اللوغاريتم، يجب تبسيطه وفقًا للقاعدة، أي باستخدام الصيغ. يمكنك العثور على الهويات الرئيسية من خلال الرجوع قليلاً في المقالة.
عند جمع وطرح لوغاريتمات تحتوي على رقمين مختلفين ولكن بنفس الأساس، استبدلها بلوغاريتم واحد مع حاصل ضرب أو قسمة الرقمين b وc، على التوالي. في هذه الحالة، يمكنك تطبيق صيغة الانتقال إلى قاعدة أخرى (انظر أعلاه).
إذا كنت تستخدم تعبيرات لتبسيط اللوغاريتم، فهناك بعض القيود التي يجب مراعاتها. وهو: أن أساس اللوغاريتم a هو عدد موجب فقط، لكنه لا يساوي واحدًا. الرقم ب، مثل أ، يجب أن يكون أكبر من الصفر.
هناك حالات لن تتمكن فيها، من خلال تبسيط التعبير، من حساب اللوغاريتم عدديًا. يحدث أن مثل هذا التعبير لا معنى له، لأن العديد من القوى هي أرقام غير عقلانية. في ظل هذه الحالة، اترك قوة الرقم لوغاريتمًا.
تعليمات
اكتب التعبير اللوغاريتمي المعطى. إذا كان التعبير يستخدم لوغاريتم 10، فسيتم اختصار تدوينه ويبدو كما يلي: lg b هو اللوغاريتم العشري. إذا كان اللوغاريتم يحتوي على الرقم e كأساس له، فاكتب التعبير: ln b – اللوغاريتم الطبيعي. ومن المفهوم أن نتيجة أي هي القوة التي يجب رفع الرقم الأساسي إليها للحصول على الرقم ب.
عند إيجاد مجموع دالتين، ما عليك سوى التمييز بينهما واحدة تلو الأخرى وإضافة النتائج: (u+v)" = u"+v";
عند إيجاد مشتقة حاصل ضرب دالتين من الضروري ضرب مشتقة الدالة الأولى في الثانية وإضافة مشتقة الدالة الثانية مضروبة في الدالة الأولى: (u*v)" = u"*v +v"*u;
من أجل العثور على مشتق حاصل قسمة دالتين، من الضروري طرح ناتج مشتقة المقسوم مضروبًا في دالة المقسوم عليه، حاصل ضرب مشتقة المقسوم عليه في دالة المقسوم عليه، وتقسيمه كل هذا بواسطة دالة المقسوم عليها مربعة. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
إذا تم إعطاء دالة معقدة، فمن الضروري ضرب مشتق الدالة الداخلية ومشتق الدالة الخارجية. دع y=u(v(x)) ثم y"(x)=y"(u)*v"(x).
باستخدام النتائج التي تم الحصول عليها أعلاه، يمكنك التمييز بين أي وظيفة تقريبًا. لذلك دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *س));
هناك أيضًا مشاكل تتعلق بحساب المشتق عند نقطة ما. افترض أن الدالة y=e^(x^2+6x+5) معطاة، فأنت بحاجة إلى إيجاد قيمة الدالة عند النقطة x=1.
1) أوجد مشتقة الدالة: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) احسب قيمة الدالة عند نقطة معينة y"(1)=8*e^0=8
فيديو حول الموضوع
نصائح مفيدة
تعلم جدول المشتقات الأولية. وهذا سيوفر الوقت بشكل كبير.
مصادر:
- مشتق من ثابت
إذًا، ما الفرق بين المعادلة غير العقلانية والمعادلة العقلانية؟ إذا كان المتغير المجهول تحت علامة الجذر التربيعي، فإن المعادلة تعتبر غير منطقية.
تعليمات
الطريقة الرئيسية لحل مثل هذه المعادلات هي طريقة بناء كلا الطرفين المعادلاتفي مربع. لكن. هذا أمر طبيعي، أول شيء عليك فعله هو التخلص من العلامة. هذه الطريقة ليست صعبة من الناحية الفنية، ولكنها قد تؤدي في بعض الأحيان إلى مشاكل. على سبيل المثال، المعادلة هي v(2x-5)=v(4x-7). بتربيع الطرفين تحصل على 2x-5=4x-7. إن حل مثل هذه المعادلة ليس بالأمر الصعب؛ س = 1. ولكن لن يتم إعطاء الرقم 1 المعادلات. لماذا؟ استبدل واحدًا في المعادلة بدلًا من قيمة x وسيحتوي الجانبان الأيمن والأيسر على تعبيرات لا معنى لها. هذه القيمة غير صالحة للجذر التربيعي. لذلك، 1 هو جذر خارجي، وبالتالي فإن هذه المعادلة ليس لها جذور.
إذن، يتم حل المعادلة غير النسبية باستخدام طريقة تربيع طرفيها. وبعد حل المعادلة، من الضروري قطع الجذور الدخيلة. للقيام بذلك، قم بالتعويض بالجذور الموجودة في المعادلة الأصلية.
النظر في واحد آخر.
2x+vx-3=0
وبالطبع يمكن حل هذه المعادلة باستخدام نفس المعادلة السابقة. تحرك المركبات المعادلاتالتي ليس لها جذر تربيعي، إلى الجانب الأيمن ثم استخدم طريقة التربيع. حل المعادلة العقلانية الناتجة والجذور. ولكن أيضًا واحدة أخرى أكثر أناقة. أدخل متغيرا جديدا. vx=y. وبناء على ذلك، سوف تحصل على معادلة بالصيغة 2y2+y-3=0. أي معادلة تربيعية عادية. ابحث عن جذوره؛ y1=1 و y2=-3/2. التالي حل اثنين المعادلات vx=1; vx=-3/2. المعادلة الثانية ليس لها جذور؛ من الأولى نجد أن x=1. لا تنس التحقق من الجذور.
حل الهويات بسيط للغاية. للقيام بذلك، من الضروري إجراء تحولات مماثلة حتى يتم تحقيق الهدف المحدد. وهكذا، بمساعدة العمليات الحسابية البسيطة، سيتم حل المشكلة المطروحة.
سوف تحتاج
- - ورق؛
- - قلم.
تعليمات
أبسط هذه التحويلات هي الضربات الجبرية المختصرة (مثل مربع المجموع (الفرق)، فرق المربعات، المجموع (الفرق)، مكعب المجموع (الفرق)). بالإضافة إلى ذلك، هناك العديد من الصيغ المثلثية، والتي هي في الأساس نفس الهويات.
في الواقع، مربع مجموع حدين يساوي مربع الأول زائد ضعف ناتج الأول في الثاني وزائد مربع الثاني، أي (a+b)^2= (a+ ب)(أ+ب)=أ^2+آب +با+ب ^2=أ^2+2ab+ب^2.
بسّط كلا الأمرين
المبادئ العامة للحل
كرر من كتاب مدرسي عن التحليل الرياضي أو الرياضيات العليا ما هو التكامل المحدد. كما هو معروف، حل التكامل المحدد هو دالة مشتقتها سوف تعطي تكاملا. هذه الوظيفة تسمى المشتق العكسي. وعلى هذا المبدأ يتم بناء التكاملات الرئيسية.حدد حسب نوع التكامل وأي من تكاملات الجدول مناسب في هذه الحالة. ليس من الممكن دائمًا تحديد ذلك على الفور. في كثير من الأحيان، يصبح الشكل الجدولي ملحوظًا فقط بعد عدة تحويلات لتبسيط التكامل.
طريقة الاستبدال المتغيرة
إذا كان التكامل عبارة عن دالة مثلثية وسيطتها متعددة الحدود، فحاول استخدام طريقة تغيير المتغيرات. من أجل القيام بذلك، استبدل كثير الحدود في وسيطة التكامل بمتغير جديد. بناءً على العلاقة بين المتغيرات الجديدة والقديمة، حدد الحدود الجديدة للتكامل. من خلال التمييز بين هذا التعبير، ابحث عن التفاضل الجديد في . وبالتالي، سوف تحصل على شكل جديد من التكامل السابق، قريب أو حتى يتوافق مع بعض الجدول.حل التكاملات من النوع الثاني
إذا كان التكامل تكاملًا من النوع الثاني، وهو شكل متجه للتكامل، فستحتاج إلى استخدام قواعد الانتقال من هذه التكاملات إلى التكاملات العددية. إحدى هذه القواعد هي علاقة أوستروجرادسكي-غاوس. يسمح لنا هذا القانون بالانتقال من التدفق الدوار لوظيفة متجهة معينة إلى التكامل الثلاثي على مدى تباعد مجال متجه معين.استبدال حدود التكامل
بعد إيجاد المشتقة العكسية، من الضروري التعويض بحدود التكامل. أولًا، عوض بقيمة الحد الأعلى في التعبير الخاص بالمشتق العكسي. سوف تحصل على بعض الرقم. بعد ذلك، اطرح من الرقم الناتج رقمًا آخر تم الحصول عليه من الحد الأدنى إلى المشتق العكسي. إذا كانت إحدى حدود التكامل هي اللانهاية، فعند استبدالها في دالة المشتقة العكسية، فمن الضروري الذهاب إلى النهاية والعثور على ما يميل إليه التعبير.إذا كان التكامل ثنائي أو ثلاثي الأبعاد، فسيتعين عليك تمثيل حدود التكامل هندسيًا لفهم كيفية حساب التكامل. في الواقع، في حالة التكامل ثلاثي الأبعاد، على سبيل المثال، يمكن أن تكون حدود التكامل مستويات كاملة تحد من الحجم الجاري تكامله.
بهذا الفيديو أبدأ سلسلة طويلة من الدروس حول المعادلات اللوغاريتمية. والآن أمامك ثلاثة أمثلة والتي على أساسها سنتعلم حل أبسط المسائل والتي تسمى - الكائنات الاوليه.
سجل 0.5 (3س - 1) = −3
سجل (س + 3) = 3 + 2 سجل 5
دعني أذكرك أن أبسط معادلة لوغاريتمية هي كما يلي:
سجل و (س) = ب
في هذه الحالة، من المهم أن يكون المتغير x موجودًا فقط داخل الوسيطة، أي في الدالة f (x) فقط. والرقمان a وb هما مجرد أرقام، وليسا بأي حال من الأحوال دوال تحتوي على المتغير x.
طرق الحل الأساسية
هناك طرق عديدة لحل مثل هذه الهياكل. على سبيل المثال، يقدم معظم المعلمين في المدرسة هذه الطريقة: التعبير فورًا عن الدالة f (x) باستخدام الصيغة F ( س) = أ ب . وهذا هو، عندما تصادف أبسط البناء، يمكنك الانتقال على الفور إلى الحل دون إجراءات وإنشاءات إضافية.
نعم بالطبع القرار سيكون صحيحا. ومع ذلك، فإن المشكلة في هذه الصيغة هي أن معظم الطلاب لا تفهمومن أين يأتي ولماذا نرفع حرف أ إلى حرف ب.
ونتيجة لذلك، كثيرا ما أرى أخطاء مزعجة للغاية عندما يتم، على سبيل المثال، تبديل هذه الحروف. يجب أن تكون هذه الصيغة مفهومة أو مكتظة، والطريقة الثانية تؤدي إلى أخطاء في أكثر اللحظات غير المناسبة والأكثر أهمية: أثناء الامتحانات والاختبارات وما إلى ذلك.
ولهذا السبب أقترح على جميع طلابي التخلي عن الصيغة المدرسية القياسية واستخدام الطريقة الثانية لحل المعادلات اللوغاريتمية، والتي، كما خمنت على الأرجح من الاسم، تسمى الشكل الكنسي.
الفكرة وراء الشكل القانوني بسيطة. دعونا نلقي نظرة على مشكلتنا مرة أخرى: على اليسار لدينا سجل a، ونعني بالحرف a رقمًا، وليس بأي حال من الأحوال دالة تحتوي على المتغير x. وبالتالي، فإن هذه الرسالة تخضع لجميع القيود التي تنطبق على قاعدة اللوغاريتم. يسمى:
1 ≠ أ > 0
من ناحية أخرى، من نفس المعادلة نرى أن اللوغاريتم يجب أن يكون مساوياً للرقم ب، ولا توجد قيود على هذا الحرف، لأنه يمكن أن يأخذ أي قيمة - إيجابية أو سلبية. كل هذا يتوقف على القيم التي تأخذها الدالة f(x).
وهنا نتذكر قاعدتنا الرائعة التي تنص على أنه يمكن تمثيل أي رقم b على هيئة لوغاريتم للأساس a لـ a أس b:
ب = سجل أ ب
كيف تتذكر هذه الصيغة؟ نعم، بسيط جدا. لنكتب البناء التالي:
ب = ب 1 = ب سجل أ
بالطبع، في هذه الحالة تنشأ جميع القيود التي كتبناها في البداية. الآن دعونا نستخدم الخاصية الأساسية للوغاريتم ونقدم المضاعف b كقوة a. نحن نحصل:
ب = ب 1 = ب سجل أ = سجل أ أ ب
ونتيجة لذلك، سيتم إعادة كتابة المعادلة الأصلية على النحو التالي:
سجل أ و (س) = سجل أ أ ب → و (س) = أ ب
هذا كل شئ. لم تعد الدالة الجديدة تحتوي على لوغاريتم ويمكن حلها باستخدام التقنيات الجبرية القياسية.
بالطبع، سوف يعترض شخص ما الآن: لماذا كان من الضروري التوصل إلى نوع من الصيغة الأساسية على الإطلاق، لماذا قم بإجراء خطوتين إضافيتين غير ضروريتين إذا كان من الممكن الانتقال على الفور من التصميم الأصلي إلى الصيغة النهائية؟ نعم، فقط لأن معظم الطلاب لا يفهمون من أين تأتي هذه الصيغة، ونتيجة لذلك، يرتكبون أخطاء بانتظام عند تطبيقها.
لكن هذا التسلسل من الإجراءات، الذي يتكون من ثلاث خطوات، يسمح لك بحل المعادلة اللوغاريتمية الأصلية، حتى لو كنت لا تفهم من أين تأتي الصيغة النهائية. بالمناسبة، هذا الإدخال يسمى الصيغة الأساسية:
سجل أ و (س) = سجل أ أ ب
تكمن ملاءمة الشكل القانوني أيضًا في حقيقة أنه يمكن استخدامه لحل فئة واسعة جدًا من المعادلات اللوغاريتمية، وليس فقط أبسط المعادلات التي نفكر فيها اليوم.
أمثلة على الحلول
الآن دعونا نلقي نظرة على أمثلة حقيقية. لذلك، دعونا نقرر:
سجل 0.5 (3س - 1) = −3
دعنا نعيد كتابتها هكذا:
سجل 0.5 (3س − 1) = سجل 0.5 0.5 −3
العديد من الطلاب في عجلة من أمرهم ويحاولون رفع الرقم 0.5 على الفور إلى القوة التي أتت إلينا من المشكلة الأصلية. في الواقع، عندما تكون مدربًا جيدًا على حل مثل هذه المشكلات، يمكنك تنفيذ هذه الخطوة على الفور.
ومع ذلك، إذا كنت قد بدأت للتو في دراسة هذا الموضوع، فمن الأفضل عدم التسرع في أي مكان لتجنب ارتكاب الأخطاء الهجومية. إذن، لدينا الشكل القانوني. لدينا:
3س − 1 = 0.5 −3
لم تعد هذه معادلة لوغاريتمية، بل خطية بالنسبة للمتغير x. لحلها، دعونا نلقي نظرة أولًا على الرقم 0.5 أس −3. لاحظ أن 0.5 هو 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
تحويل جميع الكسور العشرية إلى كسور عادية عند حل معادلة لوغاريتمية.
نعيد الكتابة ونحصل على:
3س - 1 = 8
3س = 9
س = 3
هذا كل شيء، حصلنا على الجواب. تم حل المشكلة الأولى.
المهمة الثانية
لننتقل إلى المهمة الثانية:
وكما نرى فإن هذه المعادلة لم تعد هي الأبسط. فقط لأنه يوجد فرق على اليسار، وليس لوغاريتمًا واحدًا لقاعدة واحدة.
لذلك، نحن بحاجة إلى التخلص بطريقة أو بأخرى من هذا الاختلاف. في هذه الحالة، كل شيء بسيط جدا. دعونا نلقي نظرة فاحصة على القواعد: على اليسار يوجد الرقم الموجود تحت الجذر:
توصية عامة: في جميع المعادلات اللوغاريتمية، حاول التخلص من الجذور، أي من الإدخالات ذات الجذور والانتقال إلى دوال القوة، وذلك ببساطة لأن أسس هذه القوى يمكن إخراجها بسهولة من علامة اللوغاريتم، وفي النهاية، مثل هذا يؤدي الإدخال إلى تبسيط العمليات الحسابية وتسريعها بشكل كبير. دعنا نكتبها هكذا:
الآن دعونا نتذكر الخاصية الرائعة للوغاريتم: يمكن اشتقاق القوى من الوسيطة، وكذلك من القاعدة. وفي حالة الأسباب يحدث ما يلي:
سجل أ ك ب = 1/ك سجل ب
بمعنى آخر، يتم تقديم الرقم الذي كان في القوة الأساسية للأمام وفي نفس الوقت يتم عكسه، أي أنه يصبح رقمًا مقلوبًا. في حالتنا، كانت الدرجة الأساسية 1/2. لذلك يمكننا إخراجها على أنها 2/1. نحن نحصل:
5 2 سجل 5 x − سجل 5 x = 18
10 سجل 5 س - سجل 5 س = 18
يرجى ملاحظة: لا ينبغي بأي حال من الأحوال التخلص من اللوغاريتمات في هذه الخطوة. تذكر رياضيات الصف الرابع إلى الخامس وترتيب العمليات: يتم إجراء الضرب أولاً، وبعد ذلك فقط الجمع والطرح. في هذه الحالة نطرح أحد العناصر نفسها من 10 عناصر:
9 سجل 5 × = 18
سجل 5 × = 2
الآن تبدو المعادلة كما ينبغي. هذا هو البناء الأبسط، ونحله باستخدام الصيغة الأساسية:
سجل 5 س = سجل 5 5 2
س = 5 2
س = 25
هذا كل شئ. تم حل المشكلة الثانية.
المثال الثالث
لننتقل إلى المهمة الثالثة:
سجل (س + 3) = 3 + 2 سجل 5
دعني أذكرك بالصيغة التالية:
سجل ب = سجل 10 ب
إذا كنت مرتبكًا لسبب ما من سجل التدوين ب، فعند إجراء جميع الحسابات، يمكنك ببساطة كتابة السجل 10 ب. يمكنك العمل مع اللوغاريتمات العشرية بنفس الطريقة كما هو الحال مع الآخرين: خذ الصلاحيات، وأضف وتمثل أي أرقام في النموذج lg 10.
هذه هي الخصائص التي سنستخدمها الآن لحل المشكلة، لأنها ليست أبسط ما كتبناه في بداية درسنا.
أولاً، لاحظ أنه يمكن إضافة العامل 2 أمام lg 5 ويصبح قوة للأساس 5. بالإضافة إلى ذلك، يمكن أيضًا تمثيل الحد الحر 3 على هيئة لوغاريتم - وهذا من السهل جدًا ملاحظته من خلال تدويننا.
احكم بنفسك: يمكن تمثيل أي رقم على أنه سجل للأساس 10:
3 = سجل 10 10 3 = سجل 10 3
لنعد كتابة المشكلة الأصلية مع مراعاة التغييرات التي تم الحصول عليها:
سجل (س - 3) = سجل 1000 + سجل 25
سجل (س − 3) = سجل 1000 25
سجل (س - 3) = سجل 25000
أمامنا الشكل القانوني مرة أخرى، وحصلنا عليه دون المرور بمرحلة التحويل، أي أن أبسط معادلة لوغاريتمية لم تظهر في أي مكان.
هذا هو بالضبط ما تحدثت عنه في بداية الدرس. يتيح لك النموذج الأساسي حل فئة أوسع من المشكلات مقارنة بالصيغة المدرسية القياسية التي يقدمها معظم معلمي المدارس.
حسنًا، هذا كل شيء، لقد تخلصنا من إشارة اللوغاريتم العشري، وحصلنا على بناء خطي بسيط:
س + 3 = 25000
س = 24,997
الجميع! حلت المشكلة.
ملاحظة حول النطاق
وأود هنا أن أبدي ملاحظة هامة فيما يتعلق بنطاق التعريف. بالتأكيد سيكون هناك الآن طلاب ومعلمون سيقولون: "عندما نحل تعبيرات باللوغاريتمات، يجب أن نتذكر أن الوسيطة f (x) يجب أن تكون أكبر من الصفر!" وفي هذا الصدد يطرح سؤال منطقي: لماذا لم نشترط استيفاء هذا التفاوت في أي من المشاكل المطروحة؟
لا تقلق. في هذه الحالات، لن تظهر أي جذور إضافية. وهذه خدعة رائعة أخرى تسمح لك بتسريع الحل. اعلم فقط أنه إذا كان المتغير x موجودًا في المشكلة في مكان واحد فقط (أو بالأحرى، في وسيطة واحدة لوغاريتم واحد)، ولم يظهر المتغير x في أي مكان آخر في حالتنا، فاكتب مجال التعريف لا حاجةلأنه سيتم تنفيذه تلقائيًا.
احكم بنفسك: في المعادلة الأولى حصلنا على 3x − 1، أي أن الوسيطة يجب أن تساوي 8. وهذا يعني تلقائيًا أن 3x − 1 سيكون أكبر من الصفر.
وبنفس النجاح يمكننا أن نكتب أنه في الحالة الثانية يجب أن تكون x مساوية لـ 5 2، أي أنها بالتأكيد أكبر من الصفر. وفي الحالة الثالثة، حيث x + 3 = 25000، أي مرة أخرى، من الواضح أنها أكبر من الصفر. بمعنى آخر، يتم استيفاء النطاق تلقائيًا، ولكن فقط في حالة ظهور x فقط في وسيطة لوغاريتم واحد فقط.
هذا كل ما تحتاج إلى معرفته لحل أبسط المشاكل. ستسمح لك هذه القاعدة وحدها، إلى جانب قواعد التحويل، بحل فئة واسعة جدًا من المشكلات.
ولكن دعونا نكون صادقين: لفهم هذه التقنية أخيرًا، وتعلم كيفية تطبيق الشكل القانوني للمعادلة اللوغاريتمية، لا يكفي مجرد مشاهدة درس فيديو واحد. لذلك، قم الآن بتنزيل خيارات الحلول المستقلة المرفقة بدرس الفيديو هذا وابدأ في حل واحد على الأقل من هذين العملين المستقلين.
سوف يأخذك حرفيا بضع دقائق. لكن تأثير هذا التدريب سيكون أعلى بكثير مما لو شاهدت درس الفيديو هذا ببساطة.
آمل أن يساعدك هذا الدرس على فهم المعادلات اللوغاريتمية. استخدم النموذج الأساسي، وقم بتبسيط التعبيرات باستخدام قواعد العمل مع اللوغاريتمات - ولن تخاف من أي مشاكل. هذا كل ما لدي لهذا اليوم.
مع مراعاة مجال التعريف
الآن دعونا نتحدث عن مجال تعريف الدالة اللوغاريتمية، وكيف يؤثر ذلك على حل المعادلات اللوغاريتمية. النظر في بناء النموذج
سجل و(س) = ب
يسمى هذا التعبير الأبسط - فهو يحتوي على دالة واحدة فقط، والأرقام a و b مجرد أرقام، وليست بأي حال من الأحوال دالة تعتمد على المتغير x. يمكن حلها بكل بساطة. تحتاج فقط إلى استخدام الصيغة:
ب = سجل أ ب
هذه الصيغة هي إحدى الخصائص الأساسية للوغاريتم، وعند التعويض في التعبير الأصلي نحصل على ما يلي:
سجل أ و (س) = سجل أ أ ب
و (خ) = أ ب
هذه صيغة مألوفة من الكتب المدرسية. من المحتمل أن يكون لدى العديد من الطلاب سؤال: نظرًا لأن الوظيفة f (x) موجودة في التعبير الأصلي تحت علامة السجل، فقد تم فرض القيود التالية عليها:
و(خ) > 0
ينطبق هذا القيد بسبب عدم وجود لوغاريتم الأرقام السالبة. لذلك، ربما، نتيجة لهذا القيد، ينبغي تقديم التحقق من الإجابات؟ ربما يحتاجون إلى إدراجها في المصدر؟
لا، في أبسط المعادلات اللوغاريتمية، لا يلزم إجراء فحص إضافي. وهذا هو السبب. ألق نظرة على الصيغة النهائية لدينا:
و (خ) = أ ب
الحقيقة هي أن الرقم a أكبر من 0 بأي حال من الأحوال - وهذا المطلب يفرضه اللوغاريتم أيضًا. الرقم أ هو الأساس في هذه الحالة، لا يتم فرض أي قيود على الرقم ب. لكن هذا لا يهم، لأنه بغض النظر عن القوة التي نرفع إليها عددًا موجبًا، سنحصل على عدد موجب عند المخرج. وبالتالي، يتم استيفاء المتطلب f (x) > 0 تلقائيًا.
ما يستحق التحقق حقًا هو مجال الوظيفة الموجود أسفل علامة السجل. قد تكون هناك هياكل معقدة للغاية، ومن المؤكد أنك تحتاج إلى مراقبتها أثناء عملية الحل. دعونا نلقي نظرة.
المهمة الأولى:
الخطوة الأولى: تحويل الكسر الموجود على اليمين. نحن نحصل:
نتخلص من علامة اللوغاريتم ونحصل على المعادلة غير المنطقية المعتادة:
من الجذور التي تم الحصول عليها، فقط الأول يناسبنا، لأن الجذر الثاني أقل من الصفر. الإجابة الوحيدة ستكون الرقم 9. خلاص تم حل المشكلة. ليست هناك حاجة إلى فحوصات إضافية للتأكد من أن التعبير تحت علامة اللوغاريتم أكبر من 0، لأنه ليس أكبر من 0 فقط، ولكن حسب شرط المعادلة يساوي 2. لذلك فإن شرط "أكبر من صفر" "يتم رضاه تلقائيًا.
لننتقل إلى المهمة الثانية:
كل شيء هو نفسه هنا. نعيد كتابة البناء ونستبدل الثلاثي:
نتخلص من علامات اللوغاريتم ونحصل على معادلة غير منطقية:
نقوم بتربيع الجانبين مع مراعاة القيود ونحصل على:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
س 2 + 8س + 16 −4 + 6س + س 2 = 0
2س 2 + 14س + 12 = 0 |:2
× 2 + 7س + 6 = 0
نحل المعادلة الناتجة من خلال المميز:
د = 49 − 24 = 25
س 1 = −1
س 2 = −6
لكن x = −6 لا يناسبنا، لأننا إذا عوضنا بهذا الرقم في متباينتنا، نحصل على:
−6 + 4 = −2 < 0
في حالتنا، يجب أن يكون أكبر من 0، أو في الحالات القصوى، يساوي. لكن x = −1 يناسبنا:
−1 + 4 = 3 > 0
الإجابة الوحيدة في حالتنا ستكون x = −1. هذا هو الحل. دعنا نعود إلى بداية حساباتنا.
الدرس الرئيسي المستفاد من هذا الدرس هو أنك لا تحتاج إلى التحقق من القيود المفروضة على دالة في المعادلات اللوغاريتمية البسيطة. لأنه أثناء عملية الحل يتم استيفاء جميع القيود تلقائيًا.
ومع ذلك، هذا لا يعني بأي حال من الأحوال أنه يمكنك نسيان التحقق تمامًا. وفي عملية العمل على معادلة لوغاريتمية قد تتحول إلى معادلة غير عقلانية، والتي سيكون لها قيودها ومتطلباتها الخاصة بالجانب الأيمن، وهو ما رأيناه اليوم في مثالين مختلفين.
لا تتردد في حل مثل هذه المشاكل وكن حذرًا بشكل خاص إذا كان هناك جذر في الحجة.
المعادلات اللوغاريتمية ذات الأساسات المختلفة
نواصل دراسة المعادلات اللوغاريتمية وننظر إلى تقنيتين أكثر إثارة للاهتمام من المألوف من خلالهما حل الإنشاءات الأكثر تعقيدًا. لكن أولاً، دعونا نتذكر كيف يتم حل أبسط المشكلات:
سجل و(س) = ب
في هذا الإدخال، a و b عبارة عن أرقام، وفي الدالة f (x) يجب أن يكون المتغير x موجودًا، وهناك فقط، أي يجب أن يكون x في الوسيطة فقط. سنقوم بتحويل هذه المعادلات اللوغاريتمية باستخدام الصورة الأساسية. للقيام بذلك، لاحظ ذلك
ب = سجل أ ب
علاوة على ذلك، فإن a b هي على وجه التحديد حجة. دعونا نعيد كتابة هذا التعبير على النحو التالي:
سجل أ و (س) = سجل أ أ ب
هذا هو بالضبط ما نحاول تحقيقه، بحيث يكون هناك لوغاريتم يرتكز على كل من اليسار واليمين. في هذه الحالة، يمكننا، مجازيًا، شطب علامات السجل، ومن وجهة نظر رياضية يمكننا القول أننا ببساطة نساوي بين الحجج:
و (خ) = أ ب
ونتيجة لذلك، سوف نحصل على تعبير جديد سيكون حله أسهل بكثير. دعونا نطبق هذه القاعدة على مشاكلنا اليوم.
إذن التصميم الأول :
أولًا، ألاحظ أن على اليمين يوجد كسر مقامه لوغاريتم. عندما ترى تعبيرًا مثل هذا، فمن الجيد أن تتذكر خاصية رائعة للوغاريتمات:
وهذا يعني ترجمته إلى اللغة الروسية أنه يمكن تمثيل أي لوغاريتم كحاصل لوغاريتمين مع أي أساس c. بالطبع 0< с ≠ 1.
إذن: هذه الصيغة لها حالة خاصة رائعة، عندما يكون المتغير c مساويًا للمتغير ب. في هذه الحالة نحصل على بناء مثل:
وهذا هو بالضبط البناء الذي نراه من العلامة الموجودة على اليمين في المعادلة. لنستبدل هذا البناء بـ log a b، نحصل على:
بمعنى آخر، بالمقارنة مع المهمة الأصلية، قمنا بتبديل الوسيطة وأساس اللوغاريتم. وبدلًا من ذلك، كان علينا عكس الكسر.
ولنتذكر أنه يمكن اشتقاق أي درجة من القاعدة وفقا للقاعدة التالية:
بمعنى آخر، يتم التعبير عن المعامل k، وهو قوة القاعدة، ككسر مقلوب. لنجعله كسرًا مقلوبًا:
لا يمكن ترك العامل الكسري في المقدمة، لأنه في هذه الحالة لن نتمكن من تمثيل هذا التدوين كشكل قانوني (بعد كل شيء، في الشكل الكنسي لا يوجد عامل إضافي قبل اللوغاريتم الثاني). لذلك، دعونا نضيف الكسر 1/4 إلى الوسيط كقوة:
الآن نحن نساوي بين الحجج التي أسسها متماثلة (وأساساتنا متماثلة بالفعل)، ونكتب:
س + 5 = 1
س = −4
هذا كل شئ. لقد حصلنا على إجابة المعادلة اللوغاريتمية الأولى. يرجى ملاحظة: في المشكلة الأصلية، يظهر المتغير x في سجل واحد فقط، ويظهر في الوسيط الخاص به. لذلك، ليست هناك حاجة للتحقق من المجال، ورقمنا x = −4 هو الجواب بالفعل.
والآن ننتقل إلى التعبير الثاني:
سجل 56 = سجل 2 سجل 2 7 − 3سجل (س + 4)
هنا، بالإضافة إلى اللوغاريتمات المعتادة، سيتعين علينا العمل مع السجل f (x). كيفية حل مثل هذه المعادلة؟ بالنسبة للطالب غير المستعد، قد يبدو أن هذه مهمة صعبة نوعًا ما، ولكن في الواقع يمكن حل كل شيء بطريقة أولية.
ألق نظرة فاحصة على المصطلح lg 2 log 2 7. ماذا يمكننا أن نقول عنه؟ أسس ووسائط log وlg هي نفسها، وهذا ينبغي أن يعطي بعض الأفكار. دعونا نتذكر مرة أخرى كيف يتم إخراج القوى من تحت علامة اللوغاريتم:
سجل أ ب ن = نسجل أ ب
بمعنى آخر، ما كان قوة b في الوسيطة يصبح عاملاً أمام السجل نفسه. دعونا نطبق هذه الصيغة على التعبير lg 2 log 2 7. لا تخف من lg 2 - هذا هو التعبير الأكثر شيوعًا. يمكنك إعادة كتابتها على النحو التالي:
جميع القواعد التي تنطبق على أي لوغاريتم آخر صالحة لذلك. على وجه الخصوص، يمكن إضافة العامل الموجود في المقدمة إلى درجة الوسيطة. دعنا نكتبها:
في كثير من الأحيان، لا يرى الطلاب هذا الإجراء مباشرة، لأنه ليس من الجيد إدخال سجل واحد تحت علامة آخر. في الواقع، لا يوجد شيء إجرامي في هذا الأمر. علاوة على ذلك، حصلنا على صيغة يسهل حسابها إذا كنت تتذكر قاعدة مهمة:
يمكن اعتبار هذه الصيغة كتعريف وكأحد خصائصها. على أية حال، إذا كنت تقوم بتحويل معادلة لوغاريتمية، فيجب أن تعرف هذه الصيغة بنفس الطريقة التي تعرف بها التمثيل اللوغاريتمي لأي رقم.
دعونا نعود إلى مهمتنا. نعيد كتابتها مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن الحد الأول على يمين علامة التساوي سيكون ببساطة مساويًا لـ lg 7. لدينا:
إل جي 56 = إل جي 7 - 3 إل جي (س + 4)
لنحرك lg 7 إلى اليسار، فنحصل على:
إل جي 56 - إل جي 7 = −3إل جي (س + 4)
نطرح التعبيرات الموجودة على اليسار لأنها لها نفس الأساس:
إل جي (56/7) = −3إل جي (س + 4)
الآن دعونا نلقي نظرة فاحصة على المعادلة التي حصلنا عليها. إنه الشكل القانوني عمليا، ولكن هناك عامل −3 على اليمين. دعنا نضيفها إلى الوسيطة lg الصحيحة:
سجل 8 = سجل (س + 4) −3
أمامنا الشكل القانوني للمعادلة اللوغاريتمية، لذلك نقوم بشطب علامات lg ومساواة الحجج:
(س + 4) −3 = 8
س + 4 = 0.5
هذا كل شئ! لقد حللنا المعادلة اللوغاريتمية الثانية. في هذه الحالة، لا يلزم إجراء فحوصات إضافية، لأنه في المشكلة الأصلية كانت x موجودة في وسيطة واحدة فقط.
اسمحوا لي أن أذكر النقاط الرئيسية في هذا الدرس مرة أخرى.
الصيغة الرئيسية التي يتم تدريسها في جميع الدروس في هذه الصفحة المخصصة لحل المعادلات اللوغاريتمية هي الصيغة الأساسية. ولا تخف من حقيقة أن معظم الكتب المدرسية تعلمك كيفية حل مثل هذه المشكلات بشكل مختلف. تعمل هذه الأداة بشكل فعال للغاية وتتيح لك حل فئة أكبر بكثير من المشكلات مقارنة بأبسط المشكلات التي درسناها في بداية درسنا.
بالإضافة إلى ذلك، لحل المعادلات اللوغاريتمية سيكون من المفيد معرفة الخصائص الأساسية. يسمى:
- صيغة الانتقال إلى قاعدة واحدة والحالة الخاصة عندما نقوم بعكس السجل (كان هذا مفيدًا جدًا لنا في المشكلة الأولى)؛
- صيغة لإضافة وطرح القوى من علامة اللوغاريتم. وهنا، يتعثر العديد من الطلاب ولا يرون أن الدرجة التي تم أخذها وتقديمها يمكن أن تحتوي في حد ذاتها على السجل f (x). لا حرج في ذلك. يمكننا إدخال سجل واحد حسب إشارة الآخر وفي نفس الوقت تبسيط حل المشكلة بشكل كبير، وهو ما نلاحظه في الحالة الثانية.
في الختام، أود أن أضيف أنه ليس من الضروري التحقق من مجال التعريف في كل حالة من هذه الحالات، لأنه في كل مكان يكون المتغير x موجودًا في علامة سجل واحدة فقط، وفي نفس الوقت موجود في حجته. ونتيجة لذلك، يتم استيفاء جميع متطلبات النطاق تلقائيًا.
مشاكل مع قاعدة متغيرة
سننظر اليوم إلى المعادلات اللوغاريتمية، والتي تبدو للعديد من الطلاب غير قياسية، إن لم تكن غير قابلة للحل تمامًا. نحن نتحدث عن تعبيرات لا تعتمد على الأرقام، بل على المتغيرات وحتى الوظائف. سوف نقوم بحل مثل هذه الإنشاءات باستخدام تقنيتنا القياسية، أي من خلال الشكل القانوني.
أولاً، دعونا نتذكر كيف يتم حل أبسط المسائل بناءً على الأعداد العادية. لذلك، يسمى أبسط البناء
سجل و(س) = ب
لحل مثل هذه المشاكل يمكننا استخدام الصيغة التالية:
ب = سجل أ ب
نعيد كتابة التعبير الأصلي ونحصل على:
سجل أ و (س) = سجل أ أ ب
ثم نساوي بين الحجج، أي نكتب:
و (خ) = أ ب
وهكذا نتخلص من علامة السجل ونحل المشكلة المعتادة. في هذه الحالة، الجذور التي تم الحصول عليها من الحل ستكون جذور المعادلة اللوغاريتمية الأصلية. بالإضافة إلى ذلك، فإن السجل الذي يكون فيه كل من اليسار واليمين في نفس اللوغاريتم مع نفس الأساس يسمى على وجه التحديد بالشكل القانوني. إنه لمثل هذا السجل أننا سنحاول تقليل تصاميم اليوم. إذا هيا بنا.
المهمة الأولى:
السجل x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
استبدل 1 ب السجل x − 2 (x − 2) 1 . الدرجة التي نلاحظها في الوسيطة هي في الواقع الرقم b الذي يقع على يمين علامة المساواة. وبالتالي، دعونا نعيد كتابة تعبيرنا. نحن نحصل:
سجل x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = سجل x − 2 (x − 2)
ماذا نرى؟ أمامنا الشكل القانوني للمعادلة اللوغاريتمية، حتى نتمكن من مساواة الحجج بأمان. نحن نحصل:
2x 2 − 13x + 18 = x − 2
لكن الحل لا ينتهي عند هذا الحد، لأن هذه المعادلة لا تعادل المعادلة الأصلية. بعد كل شيء، يتكون البناء الناتج من وظائف محددة على خط الأعداد بأكمله، ولم يتم تعريف اللوغاريتمات الأصلية في كل مكان وليس دائمًا.
ولذلك، يجب علينا أن نكتب مجال التعريف بشكل منفصل. دعونا لا نقسم الشعر ونكتب أولاً جميع المتطلبات:
أولاً، يجب أن تكون وسيطة كل من اللوغاريتمات أكبر من 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
س − 2 > 0
ثانيًا، يجب ألا يكون الأساس أكبر من 0 فحسب، بل يجب أيضًا أن يكون مختلفًا عن 1:
س − 2 ≠ 1
ونتيجة لذلك نحصل على النظام:
ولكن لا تنزعج: عند معالجة المعادلات اللوغاريتمية، يمكن تبسيط هذا النظام بشكل كبير.
احكم بنفسك: من ناحية، مطلوب منا أن تكون الدالة التربيعية أكبر من الصفر، ومن ناحية أخرى، هذه الدالة التربيعية تعادل تعبيرًا خطيًا معينًا، وهو مطلوب أيضًا أن تكون أكبر من الصفر.
في هذه الحالة، إذا طلبنا ذلك x − 2 > 0، فسيتم تلبية المطلب 2x 2 − 13x + 18 > 0 تلقائيًا، لذلك يمكننا شطب المتراجحة التي تحتوي على الدالة التربيعية بأمان. وبالتالي، سيتم تقليل عدد التعبيرات الموجودة في نظامنا إلى ثلاثة.
بالطبع، يمكننا بسهولة شطب المتباينة الخطية، أي شطب x − 2 > 0 واشتراط 2x 2 − 13x + 18 > 0. لكن يجب أن توافق على أن حل أبسط المتباينة الخطية يكون أسرع بكثير أبسط من التربيعية، حتى بشرط أنه نتيجة لحل هذا النظام بأكمله نحصل على نفس الجذور.
بشكل عام، حاول تحسين الحسابات كلما أمكن ذلك. وفي حالة المعادلات اللوغاريتمية، شطب المتباينات الأكثر صعوبة.
دعونا نعيد كتابة نظامنا:
هنا نظام من ثلاثة تعبيرات، اثنان منها، في الواقع، تعاملنا معهما بالفعل. لنكتب المعادلة التربيعية بشكل منفصل ونحلها:
2س 2 − 14س + 20 = 0
س 2 − 7س + 10 = 0
أمامنا ثلاثية حدود من الدرجة الثانية مخفضة، ومن ثم يمكننا استخدام صيغ فييتا. نحن نحصل:
(س − 5)(س − 2) = 0
× 1 = 5
× 2 = 2
نعود الآن إلى نظامنا ونجد أن x = 2 لا تناسبنا، لأننا مطالبون بأن تكون x أكبر من 2.
لكن x = 5 يناسبنا تمامًا: الرقم 5 أكبر من 2، وفي نفس الوقت 5 لا يساوي 3. لذلك، فإن الحل الوحيد لهذا النظام سيكون x = 5.
كل شيء، تم حل المشكلة، بما في ذلك مراعاة ODZ. دعنا ننتقل إلى المعادلة الثانية. حسابات أكثر إثارة للاهتمام وغنية بالمعلومات تنتظرنا هنا:
الخطوة الأولى: مثل المرة السابقة، نأتي بهذا الأمر برمته إلى الشكل القانوني. وللقيام بذلك يمكننا كتابة الرقم 9 على النحو التالي:
يمكن ترك قاعدة الجذر دون تغيير، ولكن من الأفضل تحويل الوسيطة. دعنا ننتقل من الجذر إلى القوة باستخدام الأس العقلاني. دعنا نكتب:
اسمحوا لي ألا أعيد كتابة معادلتنا اللوغاريتمية الكبيرة بالكامل، ولكن سأعادل الوسيطتين على الفور:
س 3 + 10س 2 + 31س + 30 = س 3 + 9س 2 + 27س + 27
× 2 + 4س + 3 = 0
أمامنا ثلاثية حدود تربيعية مختزلة حديثًا، فلنستخدم صيغ فييتا ونكتب:
(س + 3)(س + 1) = 0
س 1 = −3
س 2 = −1
إذن، حصلنا على الجذور، لكن لم يضمن لنا أحد أنها ستناسب المعادلة اللوغاريتمية الأصلية. بعد كل شيء، تفرض علامات السجل قيودًا إضافية (هنا كان يجب أن نكتب النظام، ولكن نظرًا للطبيعة المرهقة للهيكل بأكمله، قررت حساب مجال التعريف بشكل منفصل).
أولاً، تذكر أن الوسائط يجب أن تكون أكبر من 0، وهي:
هذه هي المتطلبات التي يفرضها نطاق التعريف.
نلاحظ على الفور أنه بما أننا نساوي التعبيرين الأولين للنظام مع بعضهما البعض، فيمكننا شطب أي منهما. لنحذف الأول لأنه يبدو أكثر تهديدًا من الثاني.
بالإضافة إلى ذلك، لاحظ أن حل المتباينتين الثانية والثالثة سيكون من نفس المجموعات (مكعب رقم ما أكبر من الصفر، إذا كان هذا الرقم نفسه أكبر من الصفر؛ وبالمثل، مع جذر الدرجة الثالثة - هذه المتباينات متشابهان تمامًا، حتى نتمكن من شطبهما).
لكن مع عدم المساواة الثالث، لن ينجح هذا. دعونا نتخلص من علامة الجذر الموجودة على اليسار من خلال رفع كلا الجانبين إلى المكعب. نحن نحصل:
لذلك نحصل على المتطلبات التالية:
− 2 ≠ س > −3
أي من جذورنا: x 1 = −3 أو x 2 = −1 يلبي هذه المتطلبات؟ من الواضح أن x = −1 فقط، لأن x = −3 لا تحقق المتباينة الأولى (نظرًا لأن متباينتنا صارمة). لذا، وبالعودة إلى مسألتنا، نحصل على جذر واحد: x = −1. هذا كل شيء، تم حل المشكلة.
مرة أخرى، النقاط الرئيسية لهذه المهمة:
- لا تتردد في تطبيق وحل المعادلات اللوغاريتمية باستخدام النموذج المتعارف عليه. الطلاب الذين يقومون بمثل هذا الترميز، بدلاً من الانتقال مباشرة من المشكلة الأصلية إلى بناء مثل log a f (x) = b، يرتكبون أخطاء أقل بكثير من أولئك الذين يندفعون إلى مكان ما، ويتخطون الخطوات المتوسطة للحسابات؛
- بمجرد ظهور قاعدة متغيرة في اللوغاريتم، تتوقف المشكلة عن أن تكون الأبسط. لذلك، عند حلها، من الضروري أن نأخذ في الاعتبار مجال التعريف: يجب أن تكون الحجج أكبر من الصفر، ويجب ألا تكون القواعد أكبر من 0 فحسب، بل يجب أيضًا ألا تساوي 1.
يمكن تطبيق المتطلبات النهائية على الإجابات النهائية بطرق مختلفة. على سبيل المثال، يمكنك حل نظام كامل يحتوي على جميع متطلبات مجال التعريف. من ناحية أخرى، يمكنك أولا حل المشكلة نفسها، ثم تذكر مجال التعريف، والعمل بشكل منفصل في شكل نظام وتطبيقه على الجذور التي تم الحصول عليها.
إن الطريقة التي تختارها عند حل معادلة لوغاريتمية معينة أمر متروك لك. وفي كل الأحوال فإن الجواب سيكون هو نفسه.