صيغ الدرجات ذات القواعد المختلفة. المشاركات الموسومة "أمثلة على خصائص الدرجات ذات الأسس الطبيعية"

ومن الواضح أنه يمكن إضافة الأعداد ذات القوى مثل الكميات الأخرى وذلك بإضافتها واحدة تلو الأخرى مع علاماتها.

إذن، مجموع أ 3 و ب 2 هو أ 3 + ب 2.
مجموع أ 3 - ب ن و ح 5 - د 4 هو أ 3 - ب ن + ح 5 - د 4.

احتمال القوى المتساوية للمتغيرات المتطابقةيمكن إضافتها أو طرحها.

إذن، مجموع 2a 2 و 3a 2 يساوي 5a 2.

ومن الواضح أيضًا أنه إذا أخذت مربعين أ، أو ثلاثة مربعات أ، أو خمسة مربعات أ.

لكن درجات متغيرات مختلفةو درجات مختلفة متغيرات متطابقة، فيجب تأليفها بإضافتها مع علاماتها.

إذن، مجموع 2 و 3 هو مجموع 2 + أ 3.

من الواضح أن مربع a ومكعب a لا يساوي ضعف مربع a، بل ضعف مكعب a.

مجموع أ 3 ب ن و 3 أ 5 ب 6 هو أ 3 ب ن + 3 أ 5 ب 6.

الطرحوتتم القوى بنفس طريقة الجمع، إلا أنه يجب تغيير علامات المطروح وفقًا لذلك.

أو:
2أ4 - (-6أ4) = 8أ4
3س 2 ب 6 - 4 س 2 ب 6 = -ح 2 ب 6
5(أ - ح) 6 - 2(أ - ح) 6 = 3(أ - ح) 6

مضاعفة القوى

يمكن ضرب الأعداد ذات القوى كغيرها من الكميات، وذلك بكتابتها واحدة تلو الأخرى، مع وجود علامة الضرب بينها أو بدونها.

وبالتالي، فإن نتيجة ضرب 3 في ب 2 هي 3 ب 2 أو aaabb.

أو:
س -3 ⋅ أ م = أ م × -3
3أ 6 ص 2 ⋅ (-2س) = -6أ 6 ص 2
أ 2 ب 3 ص 2 ⋅ أ 3 ب 2 ص = أ 2 ب 3 ص 2 أ 3 ب 2 ص

يمكن ترتيب النتيجة في المثال الأخير عن طريق إضافة متغيرات متطابقة.
سيأخذ التعبير الشكل: a 5 b 5 y 3.

من خلال مقارنة عدة أرقام (متغيرات) بالقوى، يمكننا أن نرى أنه إذا تم ضرب أي اثنين منها، فإن النتيجة هي رقم (متغير) بقوة تساوي كميةدرجات المصطلحات.

إذن، أ 2 .أ 3 = أ.أأ = أأأ = أ 5 .

هنا 5 هي قوة نتيجة الضرب، وتساوي 2 + 3، مجموع قوى الحدود.

إذًا، a n .a m = a m+n .

بالنسبة لـ n، يتم أخذ a كعامل عدة مرات مثل قوة n؛

ويتم أخذ m كعامل عدة مرات بقدر ما تساوي الدرجة m؛

لهذا السبب، يمكن ضرب القوى التي لها نفس الأساس عن طريق جمع أسس القوى.

إذن أ 2 .أ 6 = أ 2+6 = أ 8 . و x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

أو:
4أ ن ⋅ 2أ ن = 8أ 2ن
ب 2 ص 3 ⋅ ب 4 ص = ب 6 ص 4
(ب + ح - ص) ن ⋅ (ب + ح - ص) = (ب + ح - ص) ن+1

اضرب (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
الجواب: س 4 - ص 4.
اضرب (س 3 + س - 5) ⋅ (2س 3 + س + 1).

تنطبق هذه القاعدة أيضًا على الأعداد التي لها أسس سلبي.

1. إذن، أ -2 .أ -3 = أ -5 . يمكن كتابة هذا بالشكل (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. أ -ن .أ م = أ م-ن .

إذا تم ضرب أ + ب في أ - ب، ستكون النتيجة أ 2 - ب 2: أي

نتيجة ضرب مجموع رقمين أو الفرق بينهما يساوي مجموع مربعاتهما أو الفرق بينهما.

إذا قمت بضرب مجموع وفرق رقمين مرفوع ل مربع، ستكون النتيجة مساوية لمجموع هذه الأرقام أو الفرق بينها الرابعدرجات.

إذن (أ - ص).(أ + ص) = أ 2 - ص 2.
(أ 2 - ص 2)⋅(أ 2 + ص 2) = أ 4 - ص 4.
(أ 4 - ص 4)⋅(أ 4 + ص 4) = أ 8 - ص 8.

تقسيم الدرجات

يمكن تقسيم الأرقام ذات القوى مثل الأرقام الأخرى، عن طريق الطرح من المقسوم، أو عن طريق وضعها في صورة كسر.

وبالتالي، فإن 3 ب 2 مقسومًا على ب 2 يساوي أ 3.

أو:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

كتابة 5 مقسومًا على 3 تبدو كالتالي $\frac(a^5)(a^3)$. ولكن هذا يساوي 2 . في سلسلة من الأرقام
أ +4، أ +3، أ +2، أ +1، أ 0، أ -1، أ -2، أ -3، أ -4.
يمكن قسمة أي عدد على آخر، وسيكون الأس مساوياً لـ اختلافمؤشرات الأعداد القابلة للقسمة.

عند قسمة الدرجات على نفس الأساس، يتم طرح أسسها..

لذا، ص 3: ص 2 = ص 3-2 = ص 1. أي $\frac(yyy)(yy) = y$.

و n+1:a = a n+1-1 = a n . وهذا يعني أن $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

أو:
ص 2 م: ص م = ص م
8أ ن + م: 4 أ م = 2 أ ن
12(ب + ص) ن: 3(ب + ص) 3 = 4(ب +ص) ن-3

القاعدة تنطبق أيضًا على الأرقام ذات سلبيقيم الدرجات.
نتيجة قسمة -5 على -3 هي -2.
أيضًا، $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(أأ)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 أو $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

من الضروري إتقان الضرب وتقسيم القوى بشكل جيد للغاية، لأن مثل هذه العمليات تستخدم على نطاق واسع في الجبر.

أمثلة على حل أمثلة الكسور التي تحتوي على أرقام ذات قوى

1. قم بتقليل الأسس بمقدار $\frac(5a^4)(3a^2)$ الإجابة: $\frac(5a^2)(3)$.

2. قم بتقليل الأسس بمقدار $\frac(6x^6)(3x^5)$. الإجابة: $\frac(2x)(1)$ أو 2x.

3. اختصر الأسس a 2 /a 3 وa -3 /a -4 وتوصل إلى قاسم مشترك.
a 2 .a -4 هو -2 البسط الأول.
أ 3 .أ -3 هو 0 = 1، البسط الثاني.
a 3 .a -4 هو a -1 ، البسط المشترك.
بعد التبسيط: a -2 /a -1 و 1/a -1 .

4. اختصر الأسس 2a 4 /5a 3 و2 /a 4 وتوصل إلى قاسم مشترك.
الجواب: 2أ 3 /5أ 7 و5أ 5 /5أ 7 أو 2أ 3 /5أ 2 و5/5أ 2.

5. اضرب (أ 3 + ب)/ب 4 في (أ - ب)/3.

6. اضرب (أ 5 + 1)/س 2 في (ب 2 - 1)/(س + أ).

7. اضرب b 4 /a -2 ب h -3 /x و n /y -3 .

8. اقسم 4 /ص 3 على 3 /ص 2 . الجواب: أ/ي.

9. قسّم (ح 3 - 1)/د 4 على (د ن + 1)/س.

مستوى اول

الدرجة وخصائصها. الدليل الشامل (2019)

لماذا هناك حاجة إلى درجات؟ أين ستحتاجهم؟ لماذا يجب أن تأخذ الوقت الكافي لدراستها؟

لمعرفة كل شيء عن الدرجات العلمية، وما هي الحاجة إليها، وكيفية استخدام معرفتك في الحياة اليومية، اقرأ هذا المقال.

وبطبيعة الحال، فإن معرفة الدرجات العلمية ستقربك من اجتياز امتحان الدولة الموحدة أو امتحان الدولة الموحدة بنجاح ومن دخول جامعة أحلامك.

لنذهب لنذهب!)

ملاحظة مهمة! إذا رأيت gobbledygook بدلاً من الصيغ، فامسح ذاكرة التخزين المؤقت. للقيام بذلك، اضغط على CTRL+F5 (في نظام Windows) أو Cmd+R (في نظام Mac).

مستوى اول

الأس هو عملية رياضية مثل الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة.

الآن سأشرح كل شيء باللغة البشرية باستخدام أمثلة بسيطة جدًا. احرص. الأمثلة أولية، ولكنها تشرح أشياء مهمة.

لنبدأ بالإضافة.

لا يوجد شيء يمكن شرحه هنا. أنت تعرف كل شيء بالفعل: نحن ثمانية. كل شخص لديه زجاجتين من الكولا. كم الكولا هناك؟ هذا صحيح - 16 زجاجة.

الآن الضرب.

يمكن كتابة نفس المثال مع الكولا بشكل مختلف: . علماء الرياضيات أناس ماكرون وكسالى. يلاحظون أولاً بعض الأنماط، ثم يكتشفون طريقة "لعدها" بشكل أسرع. وفي حالتنا، لاحظوا أن كل واحد من الأشخاص الثمانية لديه نفس العدد من زجاجات الكولا، وتوصلوا إلى تقنية تسمى الضرب. أوافق، فهو يعتبر أسهل وأسرع من.

لذلك، لحساب أسرع وأسهل وبدون أخطاء، عليك فقط أن تتذكر جدول الضرب. بالطبع، يمكنك أن تفعل كل شيء بشكل أبطأ وأكثر صعوبة ومع وجود أخطاء! لكن…

هنا جدول الضرب. يكرر.

وأخرى أجمل:

ما هي حيل العد الذكية الأخرى التي ابتكرها علماء الرياضيات الكسالى؟ يمين - رفع عدد إلى قوة.

رفع رقم إلى قوة

إذا كنت بحاجة إلى ضرب رقم في نفسه خمس مرات، يقول علماء الرياضيات أنك بحاجة إلى رفع هذا الرقم إلى القوة الخامسة. على سبيل المثال، . يتذكر علماء الرياضيات أن اثنين أس خمسة يساوي... وهم يحلون مثل هذه المشاكل في رؤوسهم - بشكل أسرع وأسهل وبدون أخطاء.

كل ما عليك فعله هو تذكر ما تم تمييزه بالألوان في جدول قوى الأرقام. صدقني، هذا سيجعل حياتك أسهل بكثير.

بالمناسبة لماذا سميت بالدرجة الثانية؟ مربعالأرقام والثالثة مكعب؟ ماذا يعني ذلك؟ سؤال جيد جدا. الآن سيكون لديك المربعات والمكعبات.

مثال واقعي رقم 1

لنبدأ بالمربع أو القوة الثانية للرقم.

تخيل حوض سباحة مربعًا بقياس متر في متر واحد. حمام السباحة في داشا الخاص بك. الجو حار وأريد حقًا السباحة. لكن...البركة ليس لها قاع! تحتاج إلى تغطية الجزء السفلي من حوض السباحة بالبلاط. كم عدد البلاط الذي تحتاجه؟ من أجل تحديد ذلك، عليك أن تعرف المنطقة السفلية للمسبح.

يمكنك ببساطة أن تحسب من خلال الإشارة بإصبعك أن قاع حوض السباحة يتكون من مكعبات متر بمتر. إذا كان لديك بلاط بطول متر في متر واحد، فستحتاج إلى قطع. إنه أمر سهل... ولكن أين رأيت مثل هذا البلاط؟ من المرجح أن يكون حجم البلاط سمًا سمًا، وبعد ذلك سيتم تعذيبك عن طريق "العد بإصبعك". ثم عليك أن تتضاعف. لذلك، على جانب واحد من الجزء السفلي من حوض السباحة، سنضع البلاط (القطع) وعلى الجانب الآخر أيضًا البلاط. اضرب في وستحصل على البلاط ().

هل لاحظت أنه لتحديد مساحة قاع حوض السباحة قمنا بضرب نفس العدد في نفسه؟ ماذا يعني ذلك؟ وبما أننا نضرب نفس العدد، فيمكننا استخدام تقنية "الضرب الأسي". (بالطبع، عندما يكون لديك رقمين فقط، فلا تزال بحاجة إلى ضربهما أو رفعهما إلى قوة. ولكن إذا كان لديك الكثير منهما، فإن رفعهما إلى قوة يكون أسهل بكثير، كما أن الأخطاء في العمليات الحسابية أقل أيضًا (... بالنسبة لامتحان الدولة الموحدة، هذا مهم جدًا).
إذن، ثلاثين مرفوعًا للقوة الثانية سيكون (). أو يمكننا القول أن ثلاثين تربيع سيكون كذلك. بمعنى آخر، يمكن دائمًا تمثيل القوة الثانية لأي رقم على شكل مربع. والعكس صحيح، إذا رأيت مربعًا، فهو دائمًا القوة الثانية لعدد ما. المربع هو صورة للقوة الثانية للرقم.

مثال واقعي رقم 2

إليك مهمة لك: احسب عدد المربعات الموجودة على رقعة الشطرنج باستخدام مربع الرقم... على جانب واحد من الخلايا وعلى الجانب الآخر أيضًا. لحساب عددهم، عليك أن تضرب ثمانية في ثمانية أو... إذا لاحظت أن رقعة الشطرنج عبارة عن مربع ذو جانب، فيمكنك تربيع ثمانية. سوف تحصل على الخلايا. () لذا؟

مثال واقعي رقم 3

الآن المكعب أو القوة الثالثة للرقم. نفس المسبح. لكنك الآن بحاجة إلى معرفة كمية المياه التي يجب سكبها في هذا المسبح. تحتاج إلى حساب الحجم. (بالمناسبة، يتم قياس الأحجام والسوائل بالمتر المكعب. وهو أمر غير متوقع، أليس كذلك؟) ارسم حوض سباحة: حجم القاع متر وعمق متر، وحاول حساب عدد المكعبات التي يبلغ قياسها مترًا في متر. تتناسب مع حمام السباحة الخاص بك.

فقط أشر بإصبعك وعد! واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة... اثنان وعشرون، ثلاثة وعشرون... كم عدد ما حصلت عليه؟ غير ضائع؟ هل من الصعب العد بإصبعك؟ لهذا السبب! خذ مثالا من علماء الرياضيات. إنهم كسالى، لذلك لاحظوا أنه من أجل حساب حجم حمام السباحة، تحتاج إلى مضاعفة طوله وعرضه وارتفاعه ببعضها البعض. في حالتنا، سيكون حجم البركة مساويًا للمكعبات... أسهل، أليس كذلك؟

تخيل الآن مدى كسل ومكر علماء الرياضيات إذا قاموا بتبسيط هذا الأمر أيضًا. لقد خفضنا كل شيء إلى إجراء واحد. لاحظوا أن الطول والعرض والارتفاع متساوون وأن نفس العدد مضروب في نفسه... ماذا يعني هذا؟ هذا يعني أنه يمكنك الاستفادة من الدرجة. لذا، فإن ما عددته بإصبعك ذات مرة، يقومون به في إجراء واحد: ثلاثة مكعبات يساوي. ويكتب هكذا: .

كل ما تبقى هو تذكر جدول الدرجات. ما لم تكن بالطبع كسولًا وماكرًا مثل علماء الرياضيات. إذا كنت تحب العمل الجاد وارتكاب الأخطاء، فيمكنك الاستمرار في العد بإصبعك.

حسنًا، لإقناعك أخيرًا بأن الدرجات العلمية تم اختراعها من قبل المنهكين والأشخاص الماكرين لحل مشاكل حياتهم، وليس لخلق مشاكل لك، إليك بعض الأمثلة الأخرى من الحياة.

مثال واقعي رقم 4

لديك مليون روبل. في بداية كل عام، مقابل كل مليون تجنيه، تكسب مليونًا آخر. أي أن كل مليون لديك يتضاعف في بداية كل عام. كم من المال سيكون لديك في السنوات؟ إذا كنت تجلس الآن وتقوم "بالعد بإصبعك"، فأنت شخص مجتهد للغاية و... غبي. ولكن على الأرجح سوف تعطي إجابة في بضع ثوان، لأنك ذكي! إذًا، في السنة الأولى - اثنان مضروبًا في اثنين... وفي السنة الثانية - ماذا حدث باثنين آخرين، في السنة الثالثة... توقف! لقد لاحظت أن الرقم مضروب في نفسه مرات. إذن اثنان أس خمسة يساوي مليونًا! الآن تخيل أن لديك منافسة والشخص الذي يستطيع العد بشكل أسرع سيحصل على هذه الملايين... من الجدير أن نتذكر قوى الأرقام، ألا تعتقد ذلك؟

مثال واقعي رقم 5

لديك مليون. في بداية كل عام، مقابل كل مليون تكسبه، تكسب مليونين إضافيين. عظيم أليس كذلك؟ كل مليون يتضاعف ثلاث مرات. كم من المال سيكون لديك في السنة؟ دعونا نحسب. السنة الأولى - اضرب ب، ثم النتيجة بأخرى... إنه أمر ممل بالفعل، لأنك فهمت كل شيء بالفعل: ثلاثة مضروبة في نفسها مرات. إذن، إلى القوة الرابعة يساوي مليونًا. عليك فقط أن تتذكر أن ثلاثة أس أربعة هو أو.

الآن أنت تعلم أنه من خلال رفع الرقم إلى قوة ستجعل حياتك أسهل كثيرًا. دعونا نلقي نظرة أخرى على ما يمكنك فعله بالدرجات العلمية وما تحتاج إلى معرفته عنها.

مصطلحات ومفاهيم... حتى لا نلتبس

لذلك، أولا، دعونا نحدد المفاهيم. ماذا تعتقد، ما هو الأس؟ الأمر بسيط جدًا - إنه الرقم الموجود "في أعلى" قوة الرقم. ليست علمية، ولكنها واضحة وسهلة التذكر.

حسنا، في نفس الوقت، ماذا مثل هذا الأساس درجة؟ والأبسط من ذلك هو الرقم الموجود أدناه في القاعدة.

هنا رسم لحسن التدبير.

حسنًا، بشكل عام، من أجل التعميم والتذكر بشكل أفضل... الدرجة ذات الأساس "" والأس "" تقرأ على أنها "إلى الدرجة" وتكتب على النحو التالي:

قوة الرقم مع الأس الطبيعي

ربما خمنت بالفعل: لأن الأس عدد طبيعي. نعم، ولكن ما هو عدد طبيعي؟ ابتدائي! الأعداد الطبيعية هي تلك الأعداد التي تستخدم في العد عند إدراج الأشياء: واحد، اثنان، ثلاثة... عندما نعد الأشياء، لا نقول: "ناقص خمسة"، "ناقص ستة"، "ناقص سبعة". كما أننا لا نقول: «الثلث»، أو «صفر نقطة خمسة». هذه ليست أرقاما طبيعية. ما هي الأرقام في رأيك؟

تشير الأرقام مثل "ناقص خمسة"، و"ناقص ستة"، و"ناقص سبعة". الأعداد الكلية.بشكل عام، تتضمن الأعداد الصحيحة جميع الأعداد الطبيعية، والأرقام المقابلة للأعداد الطبيعية (أي، المأخوذة بعلامة الطرح)، والعدد. من السهل فهم الصفر - فهو يحدث عندما لا يكون هناك شيء. ماذا تعني الأرقام السالبة ("ناقص")؟ لكن تم اختراعها في المقام الأول للإشارة إلى الديون: إذا كان لديك رصيد على هاتفك بالروبل، فهذا يعني أنك مدين للمشغل بالروبل.

جميع الكسور هي أرقام عقلانية. كيف نشأت، في رأيك؟ بسيط جدا. منذ عدة آلاف من السنين، اكتشف أسلافنا أنهم يفتقرون إلى الأرقام الطبيعية لقياس الطول والوزن والمساحة وما إلى ذلك. وقد توصلوا إلى ذلك أرقام نسبية... مثير للاهتمام، أليس كذلك؟

هناك أيضًا أرقام غير منطقية. ما هي هذه الأرقام؟ باختصار، إنه كسر عشري لا نهائي. على سبيل المثال، إذا قسمت محيط الدائرة على قطرها، فستحصل على رقم غير نسبي.

ملخص:

دعونا نحدد مفهوم الدرجة التي أسها عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).

أي رقم للقوة الأولى يساوي نفسه:
تربيع الرقم يعني ضربه في نفسه:
تكعيب الرقم يعني ضربه في نفسه ثلاث مرات:

تعريف.رفع العدد إلى قوة طبيعية يعني ضرب العدد في نفسه مرات:
.

خصائص الدرجات

ومن أين أتت هذه العقارات؟ سأظهر لك الآن.

دعونا نرى: ما هو و ?

أ-بريوري:

كم عدد المضاعفات الموجودة في المجموع؟

الأمر بسيط للغاية: أضفنا مضاعفات إلى العوامل، وكانت النتيجة مضاعفات.

لكن بحكم التعريف، هذه قوة عدد ذات أس، أي: وهو ما يحتاج إلى إثبات.

مثال: تبسيط التعبير.

حل:

مثال:تبسيط التعبير.

حل:ومن المهم أن نلاحظ ذلك في حكمنا بالضرورةيجب أن تكون هناك نفس الأسباب!
ولذلك نجمع بين القوى والقاعدة، لكنه يبقى عاملاً منفصلاً:

فقط لمنتج القوى!

لا يمكنك كتابة ذلك تحت أي ظرف من الظروف.

2. هذا كل شيء القوة رقم

وكما هو الحال مع الخاصية السابقة، فلننتقل إلى تعريف الدرجة:

اتضح أن التعبير مضروب في نفسه مرات، أي حسب التعريف، هذه هي القوة العشرية للرقم:

في جوهر الأمر، يمكن أن يسمى هذا "إخراج المؤشر من الأقواس". لكن لا يمكنك أبدًا القيام بذلك بشكل إجمالي:

دعونا نتذكر صيغ الضرب المختصرة: كم مرة أردنا الكتابة؟

ولكن هذا ليس صحيحا، بعد كل شيء.

السلطة مع قاعدة سلبية

حتى هذه اللحظة، ناقشنا فقط ما يجب أن يكون عليه الأس.

ولكن ما ينبغي أن يكون الأساس؟

في صلاحيات مؤشر طبيعيقد يكون الأساس أي رقم. في الواقع، يمكننا ضرب أي أرقام في بعضها البعض، سواء كانت موجبة أو سالبة أو زوجية.

دعونا نفكر في أي العلامات ("" أو "") سيكون لها قوى الأعداد الموجبة والسالبة؟

على سبيل المثال، هل الرقم موجب أم سالب؟ أ؟ ؟ مع الأول، كل شيء واضح: بغض النظر عن عدد الأرقام الإيجابية التي نضربها ببعضنا البعض، ستكون النتيجة إيجابية.

ولكن تلك السلبية هي أكثر إثارة للاهتمام قليلا. نتذكر القاعدة البسيطة من الصف السادس: "ناقص ناقص يعطي علامة زائد". هذا هو، أو. ولكن إذا تضاعفنا، فإنه يعمل.

حدد بنفسك ما هي العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

هل تستطيع فعلها؟

وإليك الإجابات: في الأمثلة الأربعة الأولى، أتمنى أن يكون كل شيء واضحا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ونطبق القاعدة المناسبة.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

في المثال 5) كل شيء أيضًا ليس مخيفًا كما يبدو: لا يهم ما هي القاعدة - الدرجة متساوية، مما يعني أن النتيجة ستكون دائمًا إيجابية.

حسنًا، إلا عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست متساوية، أليس كذلك؟ من الواضح لا، لأن (لأن).

مثال 6) لم يعد بهذه البساطة!

6 أمثلة للممارسة

تحليل الحل 6 أمثلة

إذا تجاهلنا القوة الثامنة، فماذا نرى هنا؟ دعونا نتذكر برنامج الصف السابع. إذن، هل تتذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة، وهي الفرق بين المربعات! نحن نحصل:

دعونا ننظر بعناية إلى القاسم. إنه يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط، ولكن ما الخطأ؟ ترتيب المصطلحات خاطئ. وإذا تم عكسها، فيمكن تطبيق القاعدة.

ولكن كيف نفعل ذلك؟ اتضح أن الأمر سهل للغاية: الدرجة الزوجية للمقام تساعدنا هنا.

تغيرت الشروط الأماكن بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا بسهولة تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين.

ولكن من المهم أن نتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

جميعنحن نسمي الأعداد الطبيعية وأضدادها (أي مأخوذة بعلامة "") والرقم.

عدد صحيح موجب، ولا يختلف عن الطبيعي، فكل شيء يبدو تمامًا كما في القسم السابق.

الآن دعونا نلقي نظرة على الحالات الجديدة. لنبدأ بمؤشر يساوي.

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا:

وكما هو الحال دائمًا، دعونا نسأل أنفسنا: لماذا يحدث هذا؟

دعونا نفكر في درجة ما مع القاعدة. خذ على سبيل المثال واضرب في:

لذا، قمنا بضرب العدد في، وحصلنا على نفس النتيجة - . ما هو الرقم الذي يجب أن تضرب فيه حتى لا يتغير شيء؟ هذا صحيح، على. وسائل.

يمكننا أن نفعل الشيء نفسه مع رقم عشوائي:

دعونا نكرر القاعدة:

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا.

ولكن هناك استثناءات للعديد من القواعد. وهنا يوجد أيضًا - هذا رقم (كقاعدة).

من ناحية، يجب أن تكون مساوية لأي درجة - بغض النظر عن مدى ضرب الصفر في حد ذاته، فستظل تحصل على الصفر، فمن الواضح. لكن من ناحية أخرى، مثل أي عدد أس صفر، يجب أن يكون متساويًا. إذن ما مدى صحة هذا؟ قرر علماء الرياضيات عدم التدخل ورفضوا رفع الصفر إلى الأس صفر. وهذا هو، الآن لا يمكننا القسمة على الصفر فحسب، بل نرفعه أيضا إلى قوة الصفر.

هيا لنذهب. بالإضافة إلى الأعداد الطبيعية والأعداد، تتضمن الأعداد الصحيحة أيضًا أرقامًا سالبة. لفهم ما هي القوة السالبة، دعونا نفعل كما في المرة السابقة: ضرب عدد عادي في نفس الرقم إلى قوة سالبة:

من هنا يسهل التعبير عما تبحث عنه:

الآن دعونا نوسع القاعدة الناتجة إلى درجة تعسفية:

لذلك، دعونا صياغة القاعدة:

الرقم الذي له قوة سالبة هو مقلوب نفس الرقم الذي له قوة موجبة. و لكن في نفس الوقت لا يمكن أن تكون القاعدة فارغة:(لأنك لا تستطيع القسمة على).

دعونا نلخص:

I. لم يتم تعريف التعبير في هذه الحالة. اذا ثم.

ثانيا. أي عدد أس صفر يساوي واحدًا: .

ثالثا. الرقم الذي لا يساوي صفرًا أسًا سالبًا هو معكوس نفس العدد أسًا موجبًا: .

مهام الحل المستقل:

حسنًا، كالعادة، أمثلة للحلول المستقلة:

تحليل المشاكل للحل المستقل:

أعلم، أعلم أن الأرقام مخيفة، ولكن في امتحان الدولة الموحدة، عليك أن تكون مستعدًا لأي شيء! قم بحل هذه الأمثلة أو تحليل حلولها إذا لم تتمكن من حلها وسوف تتعلم كيفية التعامل معها بسهولة في الامتحان!

دعنا نستمر في توسيع نطاق الأرقام "المناسبة" كأساس.

الآن دعونا نفكر أرقام نسبية.ما هي الأرقام التي تسمى عقلانية؟

الجواب: كل ما يمكن تمثيله ككسر، وأين هي الأعداد الصحيحة، و.

لفهم ما هو عليه "درجة كسرية"، النظر في الكسر:

لنرفع طرفي المعادلة إلى قوة:

الآن دعونا نتذكر القاعدة حول "درجة إلى درجة":

ما العدد الذي يجب رفعه إلى قوة للحصول عليه؟

هذه الصيغة هي تعريف جذر الدرجة الرابعة.

اسمحوا لي أن أذكرك: جذر القوة رقم () هو الرقم الذي يساوي عند رفعه إلى قوة.

أي أن جذر القوة th هو العملية العكسية للرفع إلى قوة: .

لقد أتضح أن. ومن الواضح أن هذه الحالة الخاصة يمكن توسيعها: .

الآن نضيف البسط: ما هو؟ من السهل الحصول على الإجابة باستخدام قاعدة القدرة على السلطة:

لكن هل يمكن أن تكون القاعدة أي رقم؟ بعد كل شيء، لا يمكن استخراج الجذر من جميع الأرقام.

لا أحد!

دعونا نتذكر القاعدة: أي عدد مرفوع لقوة زوجية هو عدد موجب. أي أنه من المستحيل استخلاص حتى الجذور من الأعداد السالبة!

وهذا يعني أن هذه الأرقام لا يمكن رفعها إلى قوة كسرية ذات مقام زوجي، أي أن التعبير ليس له معنى.

ماذا عن التعبير؟

ولكن هنا تنشأ مشكلة.

يمكن تمثيل العدد على شكل كسور أخرى قابلة للاختزال، على سبيل المثال، أو.

واتضح أنه موجود، لكنه غير موجود، لكن هذين مجرد سجلين مختلفين لنفس الرقم.

أو مثال آخر: مرة واحدة، يمكنك كتابتها. ولكن إذا كتبنا المؤشر بشكل مختلف، فسنقع في مشكلة مرة أخرى: (أي أننا حصلنا على نتيجة مختلفة تمامًا!).

لتجنب مثل هذه المفارقات، ونحن نعتبر الأس الأساسي الموجب فقط مع الأس الكسري.

حتى إذا:

- عدد طبيعي؛
- عدد صحيح؛

أمثلة:

تعتبر الأسس المنطقية مفيدة جدًا لتحويل التعبيرات ذات الجذور، على سبيل المثال:

5 أمثلة للممارسة

تحليل 5 أمثلة للتدريب

حسنًا، الآن يأتي الجزء الأصعب. الآن سوف نكتشف ذلك درجة مع الأس غير العقلاني.

جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا بالنسبة للدرجة ذات الأس العقلاني، مع الاستثناء

بعد كل شيء، بحكم التعريف، الأرقام غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر، حيث تكون أعداد صحيحة (أي أن الأرقام غير المنطقية هي جميع الأرقام الحقيقية باستثناء الأرقام العقلانية).

عند دراسة الدرجات ذات الأسس الطبيعية والأعداد الصحيحة والعقلانية، قمنا في كل مرة بإنشاء "صورة" أو "تشبيه" أو وصف معين بمصطلحات مألوفة أكثر.

على سبيل المثال، الدرجة ذات الأس الطبيعي هي رقم مضروب في نفسه عدة مرات؛

...العدد إلى القوة صفر- يبدو أن هذا رقم مضروب في نفسه مرة واحدة، أي أنهم لم يبدأوا في ضربه بعد، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر بعد - وبالتالي فإن النتيجة هي مجرد "رقم فارغ" معين. ، أي رقم؛

...درجة عدد صحيح سلبي- يبدو الأمر كما لو أن بعض "العملية العكسية" قد حدثت، أي أن الرقم لم يُضرب في نفسه، بل تم تقسيمه.

بالمناسبة، في العلوم غالبًا ما يتم استخدام الدرجة ذات الأس المعقد، أي أن الأس ليس حتى رقمًا حقيقيًا.

لكن في المدرسة، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات، ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

أين نحن متأكدون من أنك سوف تذهب! (إذا تعلمت حل هذه الأمثلة :))

على سبيل المثال:

تقرر لنفسك:

تحليل الحلول:

1. لنبدأ بالقاعدة المعتادة لرفع قوة إلى قوة:

انظر الآن إلى المؤشر. ألا يذكرك بشيء؟ دعونا نتذكر صيغة الضرب المختصر لفرق المربعات:

في هذه الحالة،

لقد أتضح أن:

إجابة: .

2. نقوم بتبسيط الكسور في الأسس إلى نفس الصورة: إما العددان العشريان أو كلاهما العادي. فنحصل على سبيل المثال:

الجواب: 16

3. لا شيء مميز، فنحن نستخدم الخصائص المعتادة للدرجات:

مستوى متقدم

تحديد الدرجة

الدرجة هي تعبير عن الشكل: ، حيث:

— قاعدة الدرجة
- الأس.

الدرجة ذات المؤشر الطبيعي (ن = 1، 2، 3،...)

رفع العدد إلى القوة الطبيعية n يعني ضرب العدد في نفسه مرات:

الدرجة ذات الأس الصحيح (0، ±1، ±2،...)

إذا كان الأس عدد صحيح موجبرقم:

بناء إلى درجة الصفر:

التعبير غير محدد، لأنه من ناحية، إلى أي درجة هو هذا، ومن ناحية أخرى، أي رقم إلى الدرجة العاشرة هو هذا.

إذا كان الأس عدد صحيح سلبيرقم:

(لأنك لا تستطيع القسمة على).

مرة أخرى عن الأصفار: لم يتم تعريف التعبير في هذه الحالة. اذا ثم.

أمثلة:

القوة مع الأس العقلاني

- عدد طبيعي؛
- عدد صحيح؛

أمثلة:

خصائص الدرجات

ولتسهيل حل المشكلات، دعونا نحاول أن نفهم: من أين أتت هذه الخصائص؟ دعونا نثبت لهم.

دعونا نرى: ما هو و؟

أ-بريوري:

لذلك، على الجانب الأيمن من هذا التعبير نحصل على المنتج التالي:

ولكنها بحكم التعريف هي قوة عدد لها أس، أي:

Q.E.D.

مثال : تبسيط التعبير.

حل : .

مثال : تبسيط التعبير.

حل : ومن المهم أن نلاحظ ذلك في حكمنا بالضرورةيجب أن تكون هناك نفس الأسباب. ولذلك نجمع بين القوى والقاعدة، لكنه يبقى عاملاً منفصلاً:

ملاحظة مهمة أخرى: هذه القاعدة - فقط لمنتج القوى!

لا يمكنك كتابة ذلك تحت أي ظرف من الظروف.

وكما هو الحال مع الخاصية السابقة، فلننتقل إلى تعريف الدرجة:

دعونا نعيد تجميع هذا العمل على النحو التالي:

اتضح أن التعبير مضروب في نفسه مرات، أي حسب التعريف، هذه هي القوة العشرية للرقم:

في جوهر الأمر، يمكن أن يسمى هذا "إخراج المؤشر من الأقواس". لكن لا يمكنك أبدًا القيام بذلك بشكل إجمالي: !

دعونا نتذكر صيغ الضرب المختصرة: كم مرة أردنا الكتابة؟ ولكن هذا ليس صحيحا، بعد كل شيء.

السلطة مع قاعدة سلبية.

حتى هذه اللحظة، ناقشنا فقط ما ينبغي أن يكون عليه الأمر فِهرِسدرجات. ولكن ما ينبغي أن يكون الأساس؟ في صلاحيات طبيعي مؤشر قد يكون الأساس أي رقم .

في الواقع، يمكننا ضرب أي أرقام في بعضها البعض، سواء كانت موجبة أو سالبة أو زوجية. دعونا نفكر في أي العلامات ("" أو "") سيكون لها قوى الأعداد الموجبة والسالبة؟

على سبيل المثال، هل الرقم موجب أم سالب؟ أ؟ ؟

مع الأول، كل شيء واضح: بغض النظر عن عدد الأرقام الإيجابية التي نضربها ببعضنا البعض، ستكون النتيجة إيجابية.

ولكن تلك السلبية هي أكثر إثارة للاهتمام قليلا. نتذكر القاعدة البسيطة من الصف السادس: "ناقص ناقص يعطي علامة زائد". هذا هو، أو. لكن إذا ضربنا في () نحصل على - .

وهكذا إلى ما لا نهاية: مع كل عملية ضرب لاحقة ستتغير العلامة. ويمكن صياغة القواعد البسيطة التالية:

حتىالدرجة - الرقم إيجابي.
تم رفع الرقم السالب إلى غريبالدرجة - الرقم سلبي.
الرقم الموجب بأي درجة هو رقم موجب.
صفر مرفوعًا لأي قوة يساوي صفرًا.

حدد بنفسك ما هي العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

هل تستطيع فعلها؟ وهنا الإجابات:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

في الأمثلة الأربعة الأولى، آمل أن يكون كل شيء واضحا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ونطبق القاعدة المناسبة.

في المثال 5) كل شيء أيضًا ليس مخيفًا كما يبدو: لا يهم ما هي القاعدة - الدرجة متساوية، مما يعني أن النتيجة ستكون دائمًا إيجابية. حسنًا، إلا عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست متساوية، أليس كذلك؟ من الواضح لا، لأن (لأن).

المثال 6) لم يعد بهذه البساطة. هنا عليك معرفة أيهما أقل: أم؟ وإذا تذكرنا ذلك، يتبين أن ذلك يعني أن الأساس أقل من الصفر. أي أننا نطبق القاعدة الثانية: النتيجة ستكون سلبية.

ومرة أخرى نستخدم تعريف الدرجة:

كل شيء كالمعتاد - نكتب تعريف الدرجات ونقسمها على بعضها البعض ونقسمها إلى أزواج ونحصل على:

قبل أن ننظر إلى القاعدة الأخيرة، دعونا نحل بعض الأمثلة.

حساب التعبيرات:

حلول :

إذا تجاهلنا القوة الثامنة، فماذا نرى هنا؟ دعونا نتذكر برنامج الصف السابع. إذن، هل تتذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة، وهي الفرق بين المربعات!

نحن نحصل:

دعونا ننظر بعناية إلى القاسم. إنه يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط، ولكن ما الخطأ؟ ترتيب المصطلحات خاطئ. وإذا تم عكسها، فمن الممكن أن تنطبق القاعدة 3. ولكن كيف؟ اتضح أن الأمر سهل للغاية: الدرجة الزوجية للمقام تساعدنا هنا.

إذا ضربتها، فلن يتغير شيء، أليس كذلك؟ ولكن الآن اتضح مثل هذا:

تغيرت الشروط الأماكن بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا بسهولة تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين. ولكن من المهم أن نتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!ولا يمكنك استبداله بتغيير عيب واحد فقط لا نحبه!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

والآن القاعدة الأخيرة:

كيف سنثبت ذلك؟ بالطبع كالعادة: دعونا نتوسع في مفهوم الدرجة ونبسطه:

حسنًا، الآن دعونا نفتح الأقواس. كم عدد الحروف هناك في المجموع؟ مرات بالمضاعفات - بماذا يذكرك هذا؟ وهذا ليس أكثر من تعريف للعملية عمليه الضرب: لم يكن هناك سوى مضاعفات هناك. وهذا هو، بحكم التعريف، قوة الرقم مع الأس:

مثال:

درجة مع الأس غير عقلاني

بالإضافة إلى معلومات حول درجات المستوى المتوسط، سنقوم بتحليل الدرجة ذات الأس غير العقلاني. جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا بالنسبة للدرجة ذات الأس العقلاني، باستثناء - بعد كل شيء، بحكم التعريف، الأرقام غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر، حيث و هي أعداد صحيحة (أي ، الأعداد غير النسبية كلها أرقام حقيقية باستثناء الأعداد النسبية).

عند دراسة الدرجات ذات الأسس الطبيعية والأعداد الصحيحة والعقلانية، قمنا في كل مرة بإنشاء "صورة" أو "تشبيه" أو وصف معين بمصطلحات مألوفة أكثر. على سبيل المثال، الدرجة ذات الأس الطبيعي هي رقم مضروب في نفسه عدة مرات؛ الرقم أس صفر هو كما لو كان رقمًا مضروبًا في نفسه مرة واحدة، أي أنهم لم يبدأوا في ضربه بعد، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر بعد - وبالتالي فإن النتيجة ليست سوى عدد معين "رقم فارغ"، أي رقم؛ الدرجة ذات الأس السلبي الصحيح - يبدو الأمر كما لو أن بعض "العملية العكسية" قد حدثت، أي أن الرقم لم يتم ضربه في حد ذاته، بل تم تقسيمه.

من الصعب للغاية تخيل درجة ذات أس غير منطقي (تمامًا كما يصعب تخيل مساحة رباعية الأبعاد). إنه بالأحرى كائن رياضي بحت ابتكره علماء الرياضيات لتوسيع مفهوم الدرجة ليشمل مساحة الأرقام بأكملها.

بالمناسبة، في العلوم غالبًا ما يتم استخدام الدرجة ذات الأس المعقد، أي أن الأس ليس حتى رقمًا حقيقيًا. لكن في المدرسة، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات، ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

فماذا نفعل إذا رأينا أسًا غير نسبي؟ نحن نبذل قصارى جهدنا للتخلص منه! :)

على سبيل المثال:

تقرر لنفسك:

الإجابات:

دعونا نتذكر الفرق بين صيغة المربعات. إجابة: .
نقوم بتبسيط الكسور إلى نفس الصورة: إما العددان العشريان أو كلاهما العادي. فنحصل على سبيل المثال: .
لا يوجد شيء مميز، فنحن نستخدم الخصائص المعتادة للدرجات:

ملخص القسم والصيغ الأساسية

درجةيسمى تعبيرا عن النموذج:، حيث:

درجة مع الأس الصحيح

الدرجة التي أسها هو عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).

القوة مع الأس العقلاني

الدرجة التي يكون أسها أرقامًا سالبة وكسرية.

درجة مع الأس غير عقلاني

الدرجة التي أسها هو كسر عشري لا نهائي أو جذر.

خصائص الدرجات

مميزات الدرجات.

تم رفع الرقم السالب إلى حتىالدرجة - الرقم إيجابي.
تم رفع الرقم السالب إلى غريبالدرجة - الرقم سلبي.
الرقم الموجب بأي درجة هو رقم موجب.
الصفر يساوي أي قوة.
أي عدد أس صفر يساوي.

الآن لديك الكلمة...

كيف تحب المقال؟ اكتب أدناه في التعليقات إذا أعجبك ذلك أم لا.

أخبرنا عن تجربتك في استخدام خصائص الدرجة.

ربما لديك أسئلة. أو اقتراحات.

اكتب في التعليقات.

وبالتوفيق في امتحاناتك!

درس حول موضوع: "قواعد ضرب وتقسيم القوى ذات الأسس المتشابهة والمختلفة. أمثلة"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم. تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الوسائل التعليمية والمحاكيات في متجر Integral الإلكتروني للصف السابع
دليل الكتاب المدرسي Yu.N. دليل Makarycheva للكتاب المدرسي من تأليف A.G. موردكوفيتش

الغرض من الدرس: تعلم كيفية إجراء العمليات باستخدام قوى الأعداد.

أولا، دعونا نتذكر مفهوم "قوة العدد". يمكن تمثيل التعبير بالصيغة $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ كـ $a^n$.

والعكس صحيح أيضًا: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

وتسمى هذه المساواة "تسجيل الدرجة كمنتج". وسوف يساعدنا في تحديد كيفية مضاعفة وتقسيم القوى.
يتذكر:
أ– أساس الدرجة .
ن- الأس.
لو ن = 1، وهو ما يعني الرقم أاستغرق مرة واحدة وبالتالي: $a^n= 1$.
لو ن = 0، ثم $a^0= 1$.

يمكننا معرفة سبب حدوث ذلك عندما نتعرف على قواعد الضرب وتقسيم القوى.

قواعد الضرب

أ) إذا تضاعفت القوى التي لها نفس الأساس.
للحصول على $a^n * a^m$، نكتب الدرجات كمنتج: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(م)$.
ويوضح الشكل أن العدد أأخذ ن + ممرات، ثم $a^n * a^m = a^(n + m)$.

مثال.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

هذه الخاصية ملائمة للاستخدام لتبسيط العمل عند رفع رقم إلى قوة أعلى.
مثال.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

ب) إذا كانت الدرجات ذات أسس مختلفة، ولكن نفس الأس مضروبة.
للحصول على $a^n * b^n$، نكتب الدرجات كمنتج: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(م)$.
إذا قمنا بتبديل العوامل وعدد الأزواج الناتجة، فسنحصل على: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

إذن $a^n * b^n= (a * b)^n$.

مثال.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

قواعد القسمة

أ) أساس الدرجة واحد والمؤشرات مختلفة.
فكر في قسمة قوة ذات أس أكبر عن طريق قسمة قوة ذات أس أصغر.

لذلك نحن بحاجة $\frac(أ^ن)(أ^م)$، أين ن>م.

لنكتب الدرجات على شكل كسر:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

ولتسهيل الأمر، نكتب القسمة في صورة كسر بسيط.

الآن دعونا نخفض الكسر.

اتضح: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
وسائل، $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

ستساعد هذه الخاصية في شرح الموقف عند رفع الرقم إلى القوة صفر. لنفترض ذلك ن = م، ثم $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

أمثلة.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

ب) أسس الدرجات مختلفة والمؤشرات واحدة.
لنفترض أننا بحاجة إلى $\frac(a^n)(b^n)$. لنكتب قوى الأعداد على شكل كسور:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

للراحة، دعونا نتخيل.

باستخدام خاصية الكسور، نقسم الكسر الكبير إلى ناتج الكسر الصغير، ونحصل على ذلك.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
وفقًا لذلك: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

مثال.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

تحدثنا سابقًا عن قوة الرقم. لها خصائص معينة مفيدة في حل المشكلات: سنقوم بتحليلها وجميع الأسس المحتملة في هذه المقالة. وسنوضح أيضًا بالأمثلة كيف يمكن إثباتها وتطبيقها بشكل صحيح في الممارسة العملية.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

دعونا نتذكر المفهوم الذي تمت صياغته مسبقًا للدرجة ذات الأس الطبيعي: هذا هو نتاج العدد n من العوامل، كل منها يساوي أ. علينا أيضًا أن نتذكر كيفية ضرب الأعداد الحقيقية بشكل صحيح. كل هذا سيساعدنا في صياغة الخصائص التالية لدرجة ذات أس طبيعي:

التعريف 1

1. الخاصية الرئيسية للدرجة: أ م · أ ن = أ م + ن

يمكن تعميمه على: أ ن 1 · أ ن 2 · … · أ ن ك = أ ن 1 + ن 2 + … + ن ك .

2. خاصية حاصل الدرجات التي لها نفس القواعد: a m: a n = a m − n

3. خاصية درجة المنتج: (أ · ب) ن = أ ن · ب ن

ويمكن توسيع المساواة إلى: (أ 1 · أ 2 · … · أ ك) ن = أ 1 ن · أ 2 ن · … · أ ك ن

4. خاصية الحاصل إلى الدرجة الطبيعية: (أ: ب) ن = أ ن: ب ن

5. رفع القدرة إلى القوة: (a m) n = a m n ,

يمكن التعميم على: (((أ ن 1) ن 2) …) ن ك = أ ن 1 · ن 2 · … · ن ك

6. قارن الدرجة بالصفر:

إذا كان a > 0، لأي عدد طبيعي n، سيكون n أكبر من الصفر؛
إذا كانت تساوي 0، فإن n ستكون أيضًا مساوية للصفر؛
في أ< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
في أ< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. المساواة أ< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. المتراجحة a m > a n ستكون صحيحة بشرط أن يكون m وn عددين طبيعيين، وأن m أكبر من n وa أكبر من الصفر وأقل من واحد.

ونتيجة لذلك، حصلنا على العديد من المساواة؛ إذا تم استيفاء جميع الشروط المذكورة أعلاه، فستكون متطابقة. لكل من المساواة، على سبيل المثال، الخاصية الرئيسية، يمكنك تبديل الجانبين الأيمن والأيسر: a m · a n = a m + n - نفس m + n = a m · a n. في هذا النموذج غالبا ما يستخدم لتبسيط التعبيرات.

1. لنبدأ بالخاصية الأساسية للدرجة: المساواة a m · a n = a m + n ستكون صحيحة لأي m وn طبيعي وa حقيقي. كيف تثبت هذا البيان؟

إن التعريف الأساسي للقوى ذات الأسس الطبيعية سيسمح لنا بتحويل المساواة إلى نتاج عوامل. سوف نحصل على سجل مثل هذا:

يمكن اختصار هذا إلى (تذكر الخصائص الأساسية للضرب). ونتيجة لذلك، حصلنا على قوة الرقم أ مع الأس الطبيعي م + ن. وبالتالي، a m + n، مما يعني أن الخاصية الرئيسية للدرجة قد تم إثباتها.

دعونا نلقي نظرة على مثال محدد يؤكد ذلك.

مثال 1

لذلك لدينا قوتان مع الأساس 2. مؤشراتها الطبيعية هي 2 و 3 على التوالي. لدينا المساواة: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 فلنحسب القيم للتأكد من صحة هذه المساواة.

لنجري العمليات الحسابية اللازمة: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 و 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

ونتيجة لذلك حصلنا على: 2 2 · 2 3 = 2 5. وقد ثبت العقار.

ونظرًا لخصائص الضرب، يمكننا تعميم الخاصية بصياغتها على صورة ثلاث قوى أو أكثر، تكون الأسس فيها أعدادًا طبيعية والأساسات واحدة. إذا قمنا بالإشارة إلى عدد الأعداد الطبيعية n 1، n 2، وما إلى ذلك بالحرف k، نحصل على المساواة الصحيحة:

أ ن 1 · أ ن 2 · … · أ ن ك = أ ن 1 + ن 2 + … + ن ك .

مثال 2

2. بعد ذلك، نحتاج إلى إثبات الخاصية التالية، والتي تسمى خاصية حاصل القسمة وهي متأصلة في القوى ذات نفس القواعد: هذه هي المساواة a m: a n = a m − n، وهي صالحة لأي طبيعي m و n (و m أكبر من n)) وأي حقيقي غير الصفر أ .

في البداية، دعونا نوضح ما هو بالضبط معنى الشروط المذكورة في الصياغة. إذا أخذنا صفرًا، فسننتهي بالقسمة على صفر، وهو ما لا يمكننا القيام به (بعد كل شيء، 0 n = 0). إن شرط أن يكون الرقم m أكبر من n ضروري حتى نتمكن من البقاء ضمن حدود الأسس الطبيعية: بطرح n من m، نحصل على عدد طبيعي. إذا لم يتم استيفاء الشرط، فسوف ينتهي بنا الأمر إلى رقم سالب أو صفر، ومرة أخرى سنتجاوز دراسة الدرجات ذات الأسس الطبيعية.

الآن يمكننا أن ننتقل إلى الإثبات. ومما سبق أن درسناه، دعونا نتذكر الخصائص الأساسية للكسور ونصيغ المساواة على النحو التالي:

أ م – ن · أ ن = أ (م − ن) + ن = أ م

ومنه يمكن أن نستنتج: أ م – ن · أ ن = أ م

دعونا نتذكر العلاقة بين القسمة والضرب. ويترتب على ذلك أن a m − n هو حاصل قسمة القوى a m و a n . وهذا هو برهان الخاصية الثانية للدرجة.

مثال 3

من أجل الوضوح، دعونا نستبدل أرقامًا محددة في الأسس، ونشير إلى قاعدة الدرجة كـ π : π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. بعد ذلك سوف نقوم بتحليل خاصية قوة المنتج: (أ · ب) ن = أ ن · ب ن لأي حقيقي أ و ب و ن طبيعي.

وفقا للتعريف الأساسي للقوة ذات الأس الطبيعي، يمكننا إعادة صياغة المساواة على النحو التالي:

وبتذكر خواص الضرب نكتب: . وهذا يعني نفس a n · b n .

مثال 4

2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4

إذا كان لدينا ثلاثة عوامل أو أكثر، فإن هذه الخاصية تنطبق أيضًا على هذه الحالة. دعونا ندخل الرمز k لعدد العوامل ونكتب:

(أ 1 · أ 2 · … · أ ك) ن = أ 1 ن · أ 2 ن · … · أ ك ن

مثال 5

بالأرقام المحددة نحصل على المساواة الصحيحة التالية: (2 · (- 2 , 3) · أ) 7 = 2 7 · (- 2 , 3) 7 · أ

4. بعد ذلك سنحاول إثبات خاصية خارج القسمة: (a: b) n = a n: b n لأي a وb حقيقيين، إذا كان b لا يساوي 0 وn عدد طبيعي.

لإثبات ذلك، يمكنك استخدام خاصية الدرجات السابقة. إذا كانت (a: b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n و (a: b) n · b n = a n فإن (a: b) n هو حاصل القسمة أ ن بواسطة ب ن.

مثال 6

لنحسب مثالاً: 3 1 2: - 0. 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

مثال 7

لنبدأ على الفور بمثال: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

والآن دعونا نصيغ سلسلة من التساويات التي ستثبت لنا أن المساواة حقيقية:

إذا كانت لدينا درجات من الدرجات في المثال، فهذه الخاصية تنطبق أيضًا عليها. إذا كان لدينا أي أعداد طبيعية p، q، r، s، فستكون صحيحة:

أ ف ف ذ ق = أ ف ف ذ ق

مثال 8

دعونا نضيف بعض التفاصيل: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 + 2 + 5 = (5 , 2) 10

6. خاصية أخرى للقوى ذات الأس الطبيعي والتي نحتاج إلى إثباتها هي خاصية المقارنة.

أولاً، دعونا نقارن الدرجة بالصفر. لماذا n > 0، بشرط أن يكون a أكبر من 0؟

إذا ضربنا عددًا موجبًا في آخر، فسنحصل أيضًا على عدد موجب. وبمعرفة هذه الحقيقة، يمكننا القول أن الأمر لا يعتمد على عدد العوامل - فنتيجة ضرب أي عدد من الأعداد الموجبة هي رقم موجب. ما هي الدرجة إن لم تكن نتيجة ضرب الأرقام؟ إذن، بالنسبة لأي قوة n ذات أساس موجب وأُس طبيعي، سيكون هذا صحيحًا.

مثال 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 و 34 9 13 51 > 0

ومن الواضح أيضًا أن القوة التي أساسها يساوي صفرًا هي في حد ذاتها صفر. ومهما رفعنا الصفر إليه فإنه سيبقى صفرًا.

مثال 10

0 3 = 0 و 0 762 = 0

إذا كان أساس الدرجة رقمًا سالبًا، فسيكون البرهان أكثر تعقيدًا بعض الشيء، نظرًا لأن مفهوم الأس الزوجي/الفردي يصبح مهمًا. دعونا أولاً نأخذ الحالة عندما يكون الأس زوجيًا، ونشير إليها بـ 2 · m، حيث m عدد طبيعي.

دعونا نتذكر كيفية ضرب الأرقام السالبة بشكل صحيح: المنتج a · a يساوي منتج المعامل، وبالتالي سيكون رقمًا موجبًا. ثم والدرجة أ 2 م إيجابية أيضًا.

مثال 11

على سبيل المثال، (− 6) 4 > 0، (− 2, 2) 12 > 0 و - 2 9 6 > 0

ماذا لو كان الأس ذو الأساس السالب عددًا فرديًا؟ لنرمز لها بـ 2 · m − 1 .

ثم

جميع المنتجات أ · أ، وفقًا لخصائص الضرب، تكون موجبة، وكذلك منتجها. لكن إذا ضربناها في العدد الوحيد المتبقي أ، فستكون النتيجة النهائية سلبية.

ثم نحصل على: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

كيف تثبت هذا؟

ن< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

مثال 12

على سبيل المثال، المتباينات التالية صحيحة: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. علينا فقط أن نثبت الخاصية الأخيرة: إذا كان لدينا قوتان أساساهما متطابقان وموجبان، وأسسهما أعداد طبيعية، فإن التي أسها أصغر هي الأكبر؛ والقوتان اللتان لهما أسس طبيعية وأساسان متطابقان أكبر من واحد، فالذي أسه أكبر هو الأكبر.

دعونا نثبت هذه الأقوال.

أولا نحن بحاجة للتأكد من أن م< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

لنأخذ n من الأقواس، وبعد ذلك سيأخذ الفرق الشكل a n · (a m − n − 1) . وستكون نتيجته سلبية (لأن نتيجة ضرب عدد موجب بعدد سالب تكون سلبية). بعد كل شيء، وفقًا للشروط الأولية، m − n > 0، فإن a m − n − 1 سالبة، والعامل الأول موجب، مثل أي قوة طبيعية ذات قاعدة موجبة.

اتضح أن م - ن< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

يبقى إثبات الجزء الثاني من العبارة المذكورة أعلاه: a m > a صحيح بالنسبة لـ m > n و a > 1. دعونا نشير إلى الفرق ونضع n بين قوسين: (a m − n − 1) قوة n لأكبر من واحد ستعطي نتيجة إيجابية؛ وسيكون الفرق نفسه أيضًا موجبًا بسبب الظروف الأولية، وبالنسبة لـ > 1 تكون الدرجة a m - n أكبر من واحد. اتضح أن a m − a n > 0 و a m > a n ، وهو ما نحتاج إلى إثباته.

مثال 13

مثال بأرقام محددة: 3 7 > 3 2

الخصائص الأساسية للدرجات ذات الأسس الصحيحة

بالنسبة للقوى ذات الأسس الصحيحة الموجبة، ستكون الخصائص متشابهة، لأن الأعداد الصحيحة الموجبة هي أعداد طبيعية، مما يعني أن جميع التساويات المثبتة أعلاه صحيحة أيضًا بالنسبة لها. كما أنها مناسبة للحالات التي تكون فيها الأسس سالبة أو تساوي الصفر (شريطة أن يكون أساس الدرجة نفسها غير صفر).

وبالتالي، فإن خصائص القوى هي نفسها بالنسبة لأي قاعدة a وb (شريطة أن تكون هذه الأرقام حقيقية ولا تساوي 0) وأي أسس m وn (شريطة أن تكون أعدادًا صحيحة). دعونا نكتبها بإيجاز في شكل صيغ:

التعريف 2

1. أ م · أ ن = أ م + ن

2. أ م: أ ن = أ م – ن

3. (أ · ب) ن = أ ن · ب ن

4. (أ: ب) ن = أ ن: ب ن

5. (أ م) ن = أ م ن

6. نب - ن يخضع لعدد صحيح موجب ن، موجب أ و ب، أ< b

7.صباحًا< a n , при условии целых m и n , m >ن و 0< a < 1 , при a >1 م > ن .

إذا كان أساس الدرجة صفرًا، فإن الإدخالات a m وa n تكون منطقية فقط في حالة الطبيعية والإيجابية m وn. ونتيجة لذلك نجد أن الصياغات أعلاه تصلح أيضا للحالات ذات القوة ذات الأساس الصفري، إذا تم استيفاء جميع الشروط الأخرى.

البراهين على هذه الخصائص في هذه الحالة بسيطة. سنحتاج إلى أن نتذكر ما هي الدرجة ذات الأس الطبيعي والأعداد الصحيحة، بالإضافة إلى خصائص العمليات على الأعداد الحقيقية.

دعونا نلقي نظرة على خاصية القدرة إلى القدرة ونثبت أنها صحيحة لكل من الأعداد الصحيحة الموجبة وغير الموجبة. لنبدأ بإثبات التساويات (a p) q = a p · q، (a − p) q = a (− p) · q، (a p) − q = a p · (− q) و (a − p) − q = أ (− ع) · (− ف)

الشروط: ع = 0 أو العدد الطبيعي؛ ف – مماثلة.

إذا كانت قيم p و q أكبر من 0، فإننا نحصل على (a p) q = a p · q. لقد أثبتنا بالفعل مساواة مماثلة من قبل. إذا كانت ع = 0، فإن:

(أ 0) ف = 1 ف = 1 أ 0 ف = أ 0 = 1

ولذلك، (أ 0) ف = أ 0 ف

بالنسبة لـ q = 0، كل شيء هو نفسه تمامًا:

(أ ع) 0 = 1 أ ع 0 = أ 0 = 1

النتيجة: (أ ع) 0 = أ · 0 .

إذا كان كلا المؤشرين صفر، فإن (أ 0) 0 = 1 0 = 1 و 0 · 0 = أ 0 = 1، مما يعني (أ 0) 0 = أ 0 · 0.

دعونا نتذكر خاصية خارج القسمة إلى الدرجة الموضحة أعلاه ونكتب:

1 أ ف ف = 1 ف أ ف ف

إذا كان 1 ع = 1 1 … 1 = 1 و a p q = a p q، فإن 1 q a p q = 1 a p q

يمكننا تحويل هذا الترميز بموجب القواعد الأساسية للضرب إلى (− p) · q.

وأيضاً: أ - ف = 1 (أ ع) ف = 1 أ ف · ف = أ - (ع · ف) = أ ف · (- ف) .

و (أ - ع) - ف = 1 أ ف - ف = (أ ص) ف = أ ف ف = أ (- ع) (- ف)

يمكن إثبات الخصائص المتبقية للدرجة بطريقة مماثلة عن طريق تحويل المتباينات الموجودة. ولن نتناول هذا بالتفصيل، بل سنشير فقط إلى النقاط الصعبة.

إثبات الخاصية قبل الأخيرة: تذكر أن a – n > b – n صحيح لأية أعداد صحيحة سالبة n وأي قيم موجبة a وb، بشرط أن تكون a أقل من b.

ومن ثم يمكن تحويل عدم المساواة على النحو التالي:

1 أ ن > 1 ب ن

لنكتب الجانبين الأيمن والأيسر كفرق ونجري التحويلات اللازمة:

1 أ ن - 1 ب ن = ب ن - أ ن أ · ب ن

تذكر أنه في الحالة a أقل من b، إذن، وفقًا لتعريف الدرجة ذات الأس الطبيعي: - a n 0 .

a n · b n يصبح في النهاية رقمًا موجبًا لأن عوامله موجبة. ونتيجة لذلك، لدينا الكسر ب ن - أ ن ن · ب ن، والذي يعطي في نهاية المطاف أيضا نتيجة إيجابية. وبالتالي 1 a n > 1 b n حيث a − n > b − n ، وهو ما نحتاج إلى إثباته.

الخاصية الأخيرة للقوى ذات الأسس الصحيحة تثبت بشكل مشابه لخاصية القوى ذات الأسس الطبيعية.

الخصائص الأساسية للقوى ذات الأسس العقلانية

في المقالات السابقة، نظرنا إلى ما هي الدرجة ذات الأس العقلاني (الكسري). خصائصها هي نفس خصائص الدرجات ذات الأسس الصحيحة. دعنا نكتب:

التعريف 3

1. أ م 1 ن 1 · أ م 2 ن 2 = أ م 1 ن 1 + م 2 ن 2 لـ أ > 0، وإذا كان م 1 ن 1 > 0 و م 2 ن 2 > 0، إذن لـ ≥ 0 (خاصية المنتج درجات بنفس القواعد).

2. أ م 1 ن 1: ب م 2 ن 2 = أ م 1 ن 1 - م 2 ن 2، إذا كانت أ > 0 (خاصية حاصل القسمة).

3. a · b m n = a m n · b m n لـ a > 0 و b > 0، وإذا كان m 1 n 1 > 0 و m 2 n 2 > 0، إذن لـ a ≥ 0 و (أو) b ≥ 0 (خاصية المنتج في درجة كسرية).

4. a: b m n = a m n: b m n لـ a > 0 و b > 0، وإذا كان m n > 0، ثم لـ ≥ 0 و b > 0 (خاصية حاصل القسمة على قوة كسرية).

5. أ م 1 ن 1 م 2 ن 2 = أ م 1 ن 1 · م 2 ن 2 لـ أ > 0، وإذا كان م 1 ن 1 > 0 و م 2 ن 2 > 0، إذن لـ ≥ 0 (خاصية الدرجة على درجات).

6.أ ص0 ; إذا ص< 0 - a p >ب ع (خاصية مقارنة القوى ذات الأسس المنطقية المتساوية).

7.أ ص< a q при условии рациональных чисел p и q , p >ف عند 0< a < 1 ; если a >0 - ع > ف

لإثبات هذه الأحكام، علينا أن نتذكر ما هي الدرجة ذات الأسس الكسرية، وما هي خصائص الجذر الحسابي للدرجة n، وما هي خصائص الدرجة ذات الأسس الصحيحة. دعونا نلقي نظرة على كل خاصية.

وفقًا للدرجة ذات الأس الكسري، نحصل على:

أ م 1 ن 1 = أ م 1 ن 1 و م 2 ن 2 = أ م 2 ن 2، وبالتالي، أ م 1 ن 1 · أ م 2 ن 2 = أ م 1 ن 1 · أ م 2 ن 2

ستسمح لنا خصائص الجذر باستخلاص المساواة:

أ م 1 م 2 ن 1 ن 2 أ م 2 م 1 ن 2 ن 1 = أ م 1 ن 2 أ م 2 ن 1 ن 1 ن 2

ومن هذا نحصل على: أ م 1 · ن 2 · أ م 2 · ن 1 ن 1 · ن 2 = أ م 1 · ن 2 + م 2 · ن 1 ن 1 · ن 2

دعونا تحويل:

أ م 1 · ن 2 · أ م 2 · ن 1 ن 1 · ن 2 = أ م 1 · ن 2 + م 2 · ن 1 ن 1 · ن 2

يمكن كتابة الأس على النحو التالي:

م 1 ن 2 + م 2 ن 1 ن 1 ن 2 = م 1 ن 2 ن 1 ن 2 + م 2 ن 1 ن 1 ن 2 = م 1 ن 1 + م 2 ن 2

هذا هو الدليل. أما الخاصية الثانية فقد ثبتت بنفس الطريقة تماماً. لنكتب سلسلة من المساواة:

أ م 1 ن 1: أ م 2 ن 2 = أ م 1 ن 1: أ م 2 ن 2 = أ م 1 ن 2: أ م 2 ن 1 ن 1 ن 2 = = أ م 1 ن 2 - م 2 ن 1 ن 1 ن 2 = أ م 1 ن 2 - م 2 ن 1 ن 1 ن 2 = أ م 1 ن 2 ن 1 ن 2 - م 2 ن 1 ن 1 ن 2 = أ م 1 ن 1 - م 2 ن 2

أدلة المساواة المتبقية:

أ · ب م ن = (أ · ب) م ن = أ م · ب م ن = أ م ن · ب م ن = أ م ن · ب م ن ; (أ: ب) م ن = (أ: ب) م ن = أ م: ب م ن = = أ م ن: ب م ن = أ م ن: ب م ن ; أ م 1 ن 1 م 2 ن 2 = أ م 1 ن 1 م 2 ن 2 = أ م 1 ن 1 م 2 ن 2 = = أ م 1 م 2 ن 1 ن 2 = أ م 1 م 2 ن 1 ن 2 = = أ م 1 م 2 ن 2 ن 1 = أ م 1 م 2 ن 2 ن 1 = أ م 1 ن 1 م 2 ن 2

الخاصية التالية: لنثبت أنه لأي قيم a وb أكبر من 0، إذا كانت a أقل من b، فإن p سوف تتحققب ص

دعونا نمثل الرقم العقلاني p كـ m n. في هذه الحالة، m عدد صحيح، n عدد طبيعي. ثم الشروط ص< 0 и p >0 سوف يمتد إلى م< 0 и m >0 . ل م > 0 و أ< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

نستخدم خاصية الجذور والمخرجات: a m n< b m n

مع الأخذ في الاعتبار القيم الإيجابية لـ a و b، نعيد كتابة المتباينة على شكل a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

وبنفس الطريقة بالنسبة م< 0 имеем a a m >b m ، نحصل على a m n > b m n مما يعني a m n > b m n و a p > b p .

ويبقى علينا تقديم ما يثبت الملكية الأخيرة. دعونا نثبت أنه بالنسبة للأعداد النسبية p و q، p > q عند 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 سيكون صحيحا p > a q .

يمكن اختزال الأعداد النسبية p و q إلى قاسم مشترك والحصول على الكسور m 1 n و m 2 n

هنا m 1 و m 2 أعداد صحيحة، و n عدد طبيعي. إذا p > q، ثم m 1 > m 2 (مع مراعاة قاعدة مقارنة الكسور). ثم عند 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – عدم المساواة أ 1 م > أ 2 م.

ويمكن إعادة كتابتها على النحو التالي:

م 1 ن< a m 2 n a m 1 n >م 2 ن

بعد ذلك يمكنك إجراء تحويلات وينتهي الأمر بما يلي:

م 1 ن< a m 2 n a m 1 n >م 2 ن

لتلخيص: من أجل p > q و 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – ع > أ ف .

الخصائص الأساسية للقوى ذات الأسس غير المنطقية

إلى هذه الدرجة، يمكن للمرء أن يوسع جميع الخصائص الموصوفة أعلاه التي تمتلكها الدرجة ذات الأسس المنطقية. وهذا يأتي من تعريفه ذاته الذي قدمناه في إحدى المقالات السابقة. دعونا نقوم بصياغة هذه الخصائص بإيجاز (الشروط: a > 0، b > 0، الأسس p و q هما أرقام غير منطقية):

التعريف 4

1. أ ع · أ ف = أ ع + ف

2. أ ع: أ ف = أ ف − ف

3. (أ · ب) ع = أ ع · ب ع

4. (أ: ب) ع = أ ع: ب ع

5. (أ ع) ف = أ ع · ف

6.أ صب ص

7.أ ص< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0، ثم ع > ف ف.

وبالتالي، فإن جميع القوى التي أسسها p و q هي أعداد حقيقية، بشرط أن يكون a > 0، لها نفس الخصائص.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

فيديو تعليمي 2: الدرجة ذات المؤشر الطبيعي وخصائصه

محاضرة:

درجة مع مؤشر طبيعي

تحت درجةبعض العدد "أ"مع بعض المؤشرات "ن"فهم منتج الرقم "أ"من تلقاء نفسها "ن"مرة واحدة.

عندما نتحدث عن درجة ذات أس طبيعي، فهذا يعني أن الرقم "ن"يجب أن تكون صحيحة وليست سلبية.

أ- قاعدة الدرجة التي توضح العدد الذي يجب ضربه بنفسه،

ن- الأس - يوضح عدد المرات التي يجب فيها ضرب القاعدة في نفسها.

على سبيل المثال:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

في هذه الحالة، أساس الدرجة هو الرقم "8"، وأس الدرجة هو الرقم "4"، وقيمة الدرجة هي الرقم "4096".

الخطأ الأكبر والأكثر شيوعًا عند حساب الدرجة هو ضرب الأس في الأساس - وهذا غير صحيح!

عندما نتحدث عن درجة ذات أس طبيعي، فإننا نعني ذلك الأس فقط (ن)يجب أن يكون عددا طبيعيا.

يمكنك أن تأخذ أي رقم على خط الأعداد كقاعدة.

على سبيل المثال،

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

تسمى العملية الرياضية التي يتم إجراؤها على الأساس والأس بالأس.

الجمع والطرح هو عملية رياضية في المرحلة الأولى، والضرب والقسمة هو إجراء في المرحلة الثانية، ورفع القوة هو إجراء رياضي في المرحلة الثالثة، أي من أعلى العمليات.

يحدد هذا التسلسل الهرمي للعمليات الرياضية الترتيب في الحساب. إذا حدث هذا الإجراء في المهام بين المهمتين السابقتين، فسيتم تنفيذه أولاً.

على سبيل المثال:

15 + 6 *2 2 = 39

في هذا المثال، عليك أولاً رفع 2 إلى القوة، أي:

ثم اضرب النتيجة بـ 6، أي

يتم استخدام القوة ذات الأس الطبيعي ليس فقط لإجراء حسابات محددة، ولكن أيضًا لتسهيل كتابة الأعداد الكبيرة. وفي هذه الحالة، يتم استخدام المفهوم أيضًا "الشكل القياسي للرقم". يتضمن هذا الترميز ضرب رقم معين من 1 إلى 9 بقوة تساوي 10 مع بعض الأس.

على سبيل المثاللتسجيل نصف قطر الأرض بالشكل القياسي، استخدم الترميز التالي:

6400000 م = 6.4 * 10 6 م،

وكتلة الأرض، على سبيل المثال، تكتب على النحو التالي:

خصائص الدرجة

لتسهيل حل الأمثلة بالدرجات، تحتاج إلى معرفة خصائصها الأساسية:

1. إذا كنت بحاجة إلى ضرب قوتين لهما نفس الأساس، ففي هذه الحالة يجب ترك الأساس دون تغيير وإضافة الأسس.

ن * م = أ ن + م

على سبيل المثال:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. إذا كان من الضروري تقسيم درجتين لهما نفس الأساس، ففي هذه الحالة يجب ترك الأساس دون تغيير وطرح الأسس. يرجى ملاحظة أنه بالنسبة للعمليات ذات القوى ذات الأس الطبيعي، يجب أن يكون أس المقسوم أكبر من أس المقسوم عليه. وإلا فإن حاصل هذا الإجراء سيكون رقمًا له أس سالب.

أ ن / أ م = ن-م

على سبيل المثال،

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. إذا كان من الضروري رفع قوة إلى أخرى، يبقى نفس الرقم هو أساس النتيجة، ويتم ضرب الأسس.

(أ ن) م = أ ن * م

على سبيل المثال،

4. إذا كان من الضروري رفع منتج الأرقام التعسفية إلى قوة معينة، فيمكنك استخدام قانون توزيع معين، والذي بموجبه نحصل على منتج قواعد مختلفة لنفس القوة.

(أ * ب) م = أ م * ب م

على سبيل المثال،

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .

5. يمكن استخدام خاصية مشابهة لتقسيم القوى، بمعنى آخر، لرفع ضعف عادي إلى قوة.

(أ / ب) م = أ م / ب م

6. أي رقم مرفوع إلى أس يساوي واحدًا يساوي الرقم الأصلي.

أ 1 = أ

على سبيل المثال،

7. عند رفع أي رقم إلى قوة الأس صفر، ستكون نتيجة هذه العملية الحسابية دائمًا واحدًا.

و0 = 1

على سبيل المثال,