1 درجة. المعادلات الأسيةتسمى المعادلات التي تحتوي على متغير في الأس.
يعتمد حل المعادلات الأسية على خاصية القوى: قوتان لهما نفس الأساس متساويان إذا وفقط إذا كانت أسسهما متساوية.
2 درجة. الطرق الأساسية لحل المعادلات الأسية:
1) أبسط معادلة لها حل.
2) معادلة النموذج اللوغاريتمي للقاعدة أ تقليل إلى الشكل؛
3) معادلة الشكل تعادل المعادلة ;
4) معادلة النموذج 
يعادل المعادلة.
5) يتم اختزال معادلة من الشكل من خلال التعويض في معادلة، ثم يتم حل مجموعة من المعادلات الأسية البسيطة؛
6) المعادلة مع المقلوبات 
عن طريق الاستبدال يختزلون إلى معادلة، ثم يحلون مجموعة من المعادلات؛
7) المعادلات المتجانسة فيما يتعلق ز(خ)و ب ز(خ)بشرط 
عطوف 
ومن خلال الاستبدال يتم اختزالها إلى معادلة، ومن ثم يتم حل مجموعة من المعادلات.
تصنيف المعادلات الأسية.
1. حل المعادلات بالذهاب إلى قاعدة واحدة.
مثال 18. حل المعادلة 
.
الحل: لنستفيد من أن جميع قواعد القوى هي قوى الرقم 5: .
2. المعادلات التي تم حلها بالتمرير إلى الأس واحد.
يتم حل هذه المعادلات عن طريق تحويل المعادلة الأصلية إلى النموذج ، والتي تم اختزالها إلى أبسط حالاتها باستخدام خاصية التناسب.
مثال 19. حل المعادلة:
3. حل المعادلات بإخراج العامل المشترك من الأقواس.
إذا كان كل أس في معادلة يختلف عن الآخر بعدد معين، يتم حل المعادلات بوضع الأس ذو الأس الأصغر خارج القوسين.
مثال 20. حل المعادلة.
الحل: لنأخذ الدرجة ذات الأس الأصغر بين قوسين على الجانب الأيسر من المعادلة:
مثال 21. حل المعادلة 
الحل: لنجمع بشكل منفصل على الجانب الأيسر من المعادلة الحدود التي تحتوي على القوى ذات الأساس 4، وعلى الجانب الأيمن - مع الأساس 3، ثم نضع القوى ذات الأس الأصغر بين قوسين:
4. المعادلات التي يتم اختزالها إلى معادلات تربيعية (أو مكعبة)..
تم تحويل المعادلات التالية إلى معادلة تربيعية للمتغير الجديد y:
أ) نوع الاستبدال في هذه الحالة.
ب) نوع الاستبدال و .
مثال 22. حل المعادلة 
.
الحل: لنغير المتغير ونحل المعادلة التربيعية:
.
الجواب: 0؛ 1.
5. المعادلات المتجانسة فيما يتعلق بالدوال الأسية.
معادلة الشكل هي معادلة متجانسة من الدرجة الثانية بالنسبة إلى المجهولات فأسو ب س. يتم اختزال مثل هذه المعادلات عن طريق قسمة الطرفين أولاً ثم استبدالهما بمعادلات تربيعية.
مثال 23. حل المعادلة.
الحل: قسمة طرفي المعادلة على:
وبذلك نحصل على معادلة تربيعية ذات جذور.
الآن تكمن المشكلة في حل مجموعة من المعادلات 
. من المعادلة الأولى نجد أن . المعادلة الثانية ليس لها جذور، لأنه لأي قيمة س.
الجواب: -1/2.
6. المعادلات المنطقية فيما يتعلق بالوظائف الأسية.
مثال 24. حل المعادلة.
الحل: قسمة بسط الكسر ومقامه على 3 ×وبدلاً من اثنين نحصل على دالة أسية واحدة:
7. معادلات النموذج 
.
مثل هذه المعادلات ذات مجموعة القيم المقبولة (APV)، التي يحددها الشرط، عن طريق أخذ لوغاريتم طرفي المعادلة، يتم اختزالها إلى معادلة مكافئة، والتي بدورها تعادل مجموعة من معادلتين أو.
مثال 25. حل المعادلة: .
.
المادة التعليمية.
حل المعادلات:
1. ; 2. ; 3. 
;
4. 
; 5. ; 6. ;
9. 
; 10. 
; 11. 
;
14. 
; 15. ;
16. 
; 17. 
;
18. ; 19. 
;
20. ; 21. 
;
22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
.
26. أوجد حاصل ضرب جذور المعادلة 
.
27. أوجد مجموع جذور المعادلة 
.
ابحث عن معنى العبارة:
28. حيث × 0- جذر المعادلة ;
29. حيث × 0- الجذر الكامل للمعادلة 
.
حل المعادلة:
31. 
; 32. .
الإجابات: 10؛ 2.-2/9؛ 3. 1/36؛ 4.0، 0.5؛ 50؛ 6.0; 7. -2؛ 8.2؛ 9. 1، 3؛ 10. 8؛ 11.5؛ 12.1؛ 13. ¼؛ 14.2؛ 15. -2، -1؛ 16. -2، 1؛ 17.0; 18.1؛ 19.0; 20. -1، 0؛ 21. -2، 2؛ 22. -2، 2؛ 23.4؛ 24. -1، 2؛ 25. -2، -1، 3؛ 26. -0.3؛ 27.3؛ 28.11؛ 29.54؛ 30. -1، 0، 2، 3؛ 31.؛ 32. .
الموضوع رقم 8.
عدم المساواة الأسية.
1 درجة. تسمى المتباينة التي تحتوي على متغير في الأس عدم المساواة الأسية.
2 درجة. يعتمد حل المتباينات الأسية للنموذج على العبارات التالية:
إذا، فإن عدم المساواة يعادل؛
إذا، فإن عدم المساواة يعادل .
عند حل المتباينات الأسية، يتم استخدام نفس الأساليب المستخدمة عند حل المعادلات الأسية.
المثال 26. حل عدم المساواة 
(طريقة الانتقال إلى قاعدة واحدة).
الحل: لأنه 
، فيمكن كتابة عدم المساواة المعطاة على النحو التالي: 
. وبما أن هذه المتباينة تعادل المتباينة 
.
وبحل المتباينة الأخيرة نحصل على .
مثال 27. حل المتراجحة: ( وذلك بإخراج العامل المشترك من الأقواس).
الحل: نخرج الأقواس الموجودة على الجانب الأيسر من المتراجحة، وعلى الجانب الأيمن من المتراجحة ونقسم طرفي المتراجحة على (-2)، ونغير إشارة المتراجحة إلى العكس:
منذ ذلك الحين، عند الانتقال إلى عدم المساواة في المؤشرات، تتغير علامة عدم المساواة مرة أخرى إلى العكس. استلمنا. ومن ثم، فإن مجموعة جميع الحلول لهذه المتباينة هي الفترة.
مثال 28. حل عدم المساواة ( وذلك من خلال إدخال متغير جديد).
الحل : اسمح . ثم سوف يأخذ هذا عدم المساواة الشكل: 
أو 
، الذي حله هو الفاصل الزمني.
من هنا. وبما أن الدالة تزيد، إذن .
المادة التعليمية.
حدد مجموعة الحلول للمتباينة:
1. ; 2. ; 3. ;
6. بأي قيم سهل تقع النقاط على الرسم البياني للدالة أسفل الخط المستقيم؟
7. بأي قيم سهل النقاط على الرسم البياني للدالة تقع على الأقل حتى الخط المستقيم؟
حل عدم المساواة:
8. 
; 9. 
; 10. ;
13. حدد أكبر حل صحيح للمتراجحة 
.
14. أوجد حاصل ضرب أكبر عدد صحيح وأصغر عدد صحيح في حلول المتراجحة 
.
حل عدم المساواة:
15. ; 16. 
; 17. 
;
18. 
; 19. ; 20. ;
21. 
; 22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
; 26. 
.
أوجد مجال الدالة:
27. 
; 28. 
.
29. ابحث عن مجموعة قيم الوسيطات التي تكون قيم كل دالة فيها أكبر من 3:
و 
.
الإجابات: 11.3؛ 12.3؛ 13.-3؛ 14.1؛ 15. (0; 0.5); 16.؛ 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2؛ 2]؛ 19. (0; +∞); 20. (0؛ 1)؛ 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0.5; +∞); 23. (0; 1); 24.(-١;١); 25. (0; 2]; 26. (3; 3.5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. (a)=a^(\frac( 1) (n))\) حصلنا على \(\sqrt(3^3)=((3^3))^(\frac(1)(2))\). بعد ذلك، باستخدام خاصية الدرجة \((a^b)^c=a^(bc)\)، نحصل على \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)
ونعلم أيضًا أن \(a^b·a^c=a^(b+c)\). وبتطبيق ذلك على الجانب الأيسر، نحصل على: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1.5 + س-1)=3^(س+0.5)\).
\(3^(x+0.5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)
تذكر الآن أن: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). يمكن أيضًا استخدام هذه الصيغة في الاتجاه المعاكس: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). ثم \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)
وبتطبيق الخاصية \((a^b)^c=a^(bc)\) على الجانب الأيمن، نحصل على: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)
والآن قواعدنا متساوية ولا توجد معاملات تداخل، وما إلى ذلك. حتى نتمكن من إجراء التحول.
مثال
. حل المعادلة الأسية \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\)
حل:
|
\(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) |
نستخدم مرة أخرى خاصية الطاقة \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) في الاتجاه المعاكس. |
|
|
\(4^x 4^(0.5)-5 2^x+2=0\) |
تذكر الآن أن \(4=2^2\). |
|
|
\((2^2)^x·(2^2)^(0.5)-5·2^x+2=0\) |
باستخدام خصائص الدرجات، نقوم بتحويل: |
|
|
\(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) |
ننظر بعناية إلى المعادلة ونرى أن الاستبدال \(t=2^x\) يقترح نفسه. |
|
|
\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) |
ومع ذلك، وجدنا قيم \(t\)، ونحتاج إلى \(x\). نعود إلى X، ونجري استبدالًا عكسيًا. |
|
|
\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) |
لنحول المعادلة الثانية باستخدام خاصية القوة السالبة... |
|
|
\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) |
...ونحن نقرر حتى الجواب. |
|
|
\(x_1=1\) \(x_2=-1\) |
إجابة : \(-1; 1\).
يبقى السؤال - كيف نفهم متى نستخدم أي طريقة؟ وهذا يأتي مع الخبرة. حتى تقوم بتطويره، استخدم التوصية العامة لحل المشكلات المعقدة - "إذا كنت لا تعرف ماذا تفعل، فافعل ما تستطيع". أي ابحث عن كيفية تحويل المعادلة من حيث المبدأ، وحاول القيام بذلك - ماذا لو حدث ماذا؟ الشيء الرئيسي هو إجراء التحولات الرياضية فقط.
المعادلات الأسية بدون حلول
دعونا نلقي نظرة على موقفين آخرين غالبًا ما يربكان الطلاب:
- الرقم الموجب للأس يساوي صفر، على سبيل المثال، \(2^x=0\);
- الرقم الموجب يساوي قوة الرقم السالب، على سبيل المثال، \(2^x=-4\).
دعونا نحاول حلها بالقوة الغاشمة. إذا كان x رقمًا موجبًا، فمع نمو x، ستزداد القوة بأكملها \(2^x\) فقط:
\(س=1\); \(2^1=2\)
\(س=2\); \(2^2=4\)
\(س=3\); \(2^3=8\).
\(س=0\); \(2^0=1\)
ايضا بواسطة. تبقى علامة X السالبة. تذكر الخاصية \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\)، نتحقق من:
\(س=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\)
\(س=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\)
\(س=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\)
ورغم أن الرقم يقل مع كل خطوة، إلا أنه لن يصل إلى الصفر أبدًا. لذا فإن الدرجة السلبية لم تنقذنا. نصل إلى نتيجة منطقية:
الرقم الموجب بأي درجة سيظل رقمًا موجبًا.
وبالتالي، كلا المعادلتين أعلاه ليس لهما حلول.
المعادلات الأسية ذات الأساسات المختلفة
من الناحية العملية، نواجه أحيانًا معادلات أسية ذات أسس مختلفة لا يمكن اختزالها إلى بعضها البعض، وفي نفس الوقت بنفس الأسس. تبدو كالتالي: \(a^(f(x))=b^(f(x))\)، حيث \(a\) و \(b\) أرقام موجبة.
على سبيل المثال:
\(7^(x)=11^(x)\)
\(5^(x+2)=3^(x+2)\)
\(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\)
يمكن حل مثل هذه المعادلات بسهولة عن طريق القسمة على أي طرف من أطراف المعادلة (عادةً ما يتم القسمة على الجانب الأيمن، أي على \(b^(f(x))\). يمكنك القسمة بهذه الطريقة لأن الرقم الموجب موجب لأي قوة (أي أننا لا نقسم على صفر).
\(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x))))\) \(=1\)
مثال
. حل المعادلة الأسية \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
حل:
|
\(5^(x+7)=3^(x+7)\) |
لن نتمكن هنا من تحويل الرقم خمسة إلى ثلاثة، أو العكس (على الأقل بدون استخدام ). هذا يعني أننا لا نستطيع الوصول إلى الصيغة \(a^(f(x))=a^(g(x))\). ومع ذلك، فإن المؤشرات هي نفسها. |
|
|
\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) |
تذكر الآن الخاصية \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) واستخدمها من اليسار في الاتجاه المعاكس. على اليمين، نقوم ببساطة بتبسيط الكسر. |
|
|
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) |
ويبدو أن الأمور لم تتحسن. لكن تذكر خاصية أخرى للقوة: \(a^0=1\)، بمعنى آخر: "أي عدد أس صفر يساوي \(1\)." والعكس صحيح أيضًا: "يمكن تمثيل الواحد بأي رقم أس صفر". دعونا نستفيد من ذلك من خلال جعل القاعدة الموجودة على اليمين هي نفسها الموجودة على اليسار. |
|
|
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) |
هاهو! دعونا نتخلص من القواعد. |
|
|
نحن نكتب الرد. |
إجابة : \(-7\).
في بعض الأحيان لا يكون "تشابه" الأسس واضحًا، لكن الاستخدام الماهر لخصائص الأسس يحل هذه المشكلة.
مثال
. حل المعادلة الأسية \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
حل:
|
\(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
تبدو المعادلة حزينة جدًا... ليس فقط أنه لا يمكن اختزال الأسس إلى نفس العدد (سبعة لن تساوي بأي حال من الأحوال \(\frac(1)(3)\)) ولكن أيضًا الأسس مختلفة. .. ومع ذلك، دعونا نستخدم الأس الأيسر الشيطان. |
|
|
\(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
تذكر الخاصية \((a^b)^c=a^(b·c)\) ، نقوم بالتحويل من اليسار: |
|
|
\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
الآن، تذكر خاصية الدرجة السالبة \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\)، نحول من اليمين: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) |
|
|
\(49^(x-2)=3^(x-2)\) |
الحمد لله! المؤشرات هي نفسها! |
إجابة : \(2\).