Bằng kỳ vọng toán học của tổng các biến ngẫu nhiên. Kỳ vọng và phương sai của một biến ngẫu nhiên

Các biến ngẫu nhiên, ngoài luật phân phối, còn có thể được mô tả đặc điểm số .

Kỳ vọng toán học M(x) của một biến ngẫu nhiên được gọi là giá trị trung bình của nó.

Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên rời rạc được tính bằng công thức

Ở đâu – giá trị biến ngẫu nhiên, p Tôi- xác suất của chúng.

Hãy xem xét các tính chất của kỳ vọng toán học:

1. Kỳ vọng toán học của một hằng số bằng chính hằng số đó

2. Nếu nhân một biến ngẫu nhiên với một số k nhất định thì kỳ vọng toán học sẽ được nhân với cùng một số đó

M(kx) = km(x)

3. Kỳ vọng toán học của tổng các biến ngẫu nhiên bằng tổng kỳ vọng toán học của chúng

M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)

4. M(x1 - x2) = M(x1) - M(x2)

5. Đối với các biến ngẫu nhiên độc lập x 1, x 2,… x n thì kỳ vọng toán học của tích bằng tích kỳ vọng toán học của chúng

M (x 1, x 2, ... x n) = M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M(x - M(x)) = M(x) - M(M(x)) = M(x) - M(x) = 0

Hãy tính kỳ vọng toán học cho biến ngẫu nhiên từ Ví dụ 11.

M(x) = = .

Ví dụ 12. Cho các biến ngẫu nhiên x 1, x 2 được xác định tương ứng theo quy luật phân phối:

x 1 Bảng 2

x 2 Bảng 3

Hãy tính M (x 1) và M (x 2)

M (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 = 0

M (x 2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 = 0

Kỳ vọng toán học của cả hai biến ngẫu nhiên đều giống nhau - chúng bằng 0. Tuy nhiên, bản chất phân phối của chúng là khác nhau. Nếu các giá trị x 1 khác một chút so với kỳ vọng toán học của chúng thì các giá trị x 2 trong ở một mức độ lớn khác với kỳ vọng toán học của họ và xác suất xảy ra những sai lệch như vậy là không nhỏ. Những ví dụ này cho thấy rằng không thể xác định từ giá trị trung bình những sai lệch nào xảy ra so với nó, cả nhỏ hơn và lớn hơn. mặt lớn. Vì vậy, với lượng mưa trung bình hàng năm như nhau ở hai khu vực, không thể nói rằng những khu vực này thuận lợi như nhau cho công việc nông nghiệp. Tương tự với mức trung bình tiền lương không thể phán xét được trọng lượng riêng người lao động được trả lương cao và thấp. Vì thế nó được giới thiệu đặc tính số – sự phân tán D(x) , đặc trưng cho mức độ sai lệch của một biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình của nó:

D(x) = M(x - M(x)) 2 . (2)

Độ phân tán là kỳ vọng toán học của độ lệch bình phương của một biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán học. Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc, phương sai được tính bằng công thức:

D(x)= = (3)

Từ định nghĩa độ phân tán suy ra D(x) 0.

Đặc tính phân tán:

1. Phương sai của hằng số bằng 0

2. Nếu nhân một biến ngẫu nhiên với một số k nhất định thì phương sai sẽ được nhân với bình phương của số này

D(kx) = k2D(x)

3. D(x) = M(x2) – M2(x)

4. Đối với các biến ngẫu nhiên độc lập theo cặp x 1 , x 2 , … x n phương sai của tổng bằng tổng của các phương sai.

D(x 1 + x 2 + … + x n) = D(x 1) + D(x 2) +…+ D(x n)

Hãy tính phương sai cho biến ngẫu nhiên từ Ví dụ 11.

Kỳ vọng toán học M(x) = 1. Do đó, theo công thức (3) ta có:

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

Lưu ý rằng việc tính phương sai sẽ dễ dàng hơn nếu bạn sử dụng thuộc tính 3:

D(x) = M(x2) – M2(x).

Hãy tính phương sai của các biến ngẫu nhiên x 1 , x 2 từ Ví dụ 12 bằng công thức này. Kỳ vọng toán học của cả hai biến ngẫu nhiên đều bằng không.

D (x 1) = 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204

D (x 2) = (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 = 240 +20 = 260

Làm sao giá trị gần hơnđộ phân tán về 0 thì độ phân tán của biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình càng nhỏ.

Đại lượng đó được gọi là độ lệch chuẩn. Chế độ biến ngẫu nhiên x loại rời rạc Md Giá trị của biến ngẫu nhiên có xác suất cao nhất được gọi.

Chế độ biến ngẫu nhiên x loại liên tục Md, là số thực được xác định là điểm cực đại của mật độ phân bố xác suất f(x).

Trung vị của một biến ngẫu nhiên x loại liên tục Mn là số thực thỏa mãn phương trình

Kỳ vọng toán học là định nghĩa

Chiếu tướng đang chờ đợi là một trong những khái niệm quan trọng nhất V. thống kê toán học và lý thuyết xác suất, mô tả sự phân bố của các giá trị hoặc xác suất biến ngẫu nhiên. Thường được biểu thị dưới dạng trung bình có trọng số của tất cả các tham số có thể có của một biến ngẫu nhiên. Được sử dụng rộng rãi trong phân tích kỹ thuật, nghiên cứu về dãy số, nghiên cứu các quá trình liên tục và lâu dài. Có quan trọng khi đánh giá rủi ro, dự báo các chỉ số giá khi giao dịch trên thị trường tài chính, nó được sử dụng trong việc xây dựng chiến lược và phương pháp chiến thuật chơi game trong lý thuyết cờ bạc.

chiếu tướng đang chờ- Cái này giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên, phân phối xác suất biến ngẫu nhiên được xem xét trong lý thuyết xác suất.

Chiếu tướng đang chờ đợi là thước đo giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên trong lý thuyết xác suất. Kiểm tra kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên x ký hiệu là M(x).

Kỳ vọng toán học ( Trung bình dân số) - Cái này

Chiếu tướng đang chờ đợi là

Chiếu tướng đang chờ đợi là trong lý thuyết xác suất trung bình có trọng số tất cả các giá trị có thể mà biến ngẫu nhiên này có thể nhận.

Chiếu tướng đang chờ đợi là tổng tích của tất cả các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên và xác suất của các giá trị này.

Kỳ vọng toán học (trung bình dân số) là

Chiếu tướng đang chờ đợi là lợi ích trung bình từ một quyết định cụ thể, với điều kiện là giải pháp tương tự có thể được xem xét trong khuôn khổ lý thuyết số lớn và khoảng cách xa.

Chiếu tướng đang chờ đợi là trong lý thuyết cờ bạc, số tiền thắng trung bình mà một nhà đầu cơ có thể kiếm được hoặc thua trên mỗi lần đặt cược. Theo ngôn ngữ cờ bạc những kẻ đầu cơđiều này đôi khi được gọi là "lợi thế" kẻ đầu cơ" (nếu nó là tích cực đối với nhà đầu cơ) hoặc "cạnh nhà" (nếu nó là tiêu cực đối với nhà đầu cơ).

Kỳ vọng toán học (trung bình dân số) là

Wir wenden Cookies für die beste Präsentation unserer Website. Wenn Sie diese Trang web weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. ĐƯỢC RỒI

Kỳ vọng là phân bố xác suất của một biến ngẫu nhiên

Kỳ vọng toán học, định nghĩa, kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục, mẫu, kỳ vọng có điều kiện, phép tính, tính chất, bài toán, ước lượng kỳ vọng, độ phân tán, hàm phân phối, công thức, ví dụ tính toán

Mở rộng nội dung

Thu gọn nội dung

Kỳ vọng toán học là định nghĩa

Một trong những khái niệm quan trọng nhất trong thống kê toán học và lý thuyết xác suất, mô tả đặc điểm phân bố giá trị hoặc xác suất của một biến ngẫu nhiên. Thường được biểu thị dưới dạng trung bình có trọng số của tất cả các tham số có thể có của một biến ngẫu nhiên. Được sử dụng rộng rãi trong phân tích kỹ thuật, nghiên cứu chuỗi số và nghiên cứu các quy trình liên tục và tốn thời gian. Nó quan trọng trong việc đánh giá rủi ro, dự đoán các chỉ số giá khi giao dịch trên thị trường tài chính và được sử dụng trong việc phát triển các chiến lược và phương pháp chiến thuật chơi game trong lý thuyết cờ bạc.

Kỳ vọng toán học là giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên, phân bố xác suất của một biến ngẫu nhiên được xem xét trong lý thuyết xác suất.

Kỳ vọng toán học là thước đo giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên trong lý thuyết xác suất. Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên x ký hiệu là M(x).

Kỳ vọng toán học là

Kỳ vọng toán học là trong lý thuyết xác suất, là giá trị trung bình có trọng số của tất cả các giá trị có thể có mà một biến ngẫu nhiên có thể lấy.

Kỳ vọng toán học là tổng tích của tất cả các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên và xác suất của các giá trị này.

Kỳ vọng toán học là lợi ích trung bình từ một quyết định cụ thể, với điều kiện là quyết định đó có thể được xem xét trong khuôn khổ lý thuyết số lượng lớn và khoảng cách xa.

Kỳ vọng toán học là trong lý thuyết cờ bạc, số tiền thắng trung bình mà người chơi có thể kiếm được hoặc thua cho mỗi lần đặt cược. Theo cách nói cờ bạc, điều này đôi khi được gọi là "lợi thế của người chơi" (nếu nó là tích cực đối với người chơi) hoặc "lợi thế nhà cái" (nếu nó là tiêu cực đối với người chơi).

Kỳ vọng toán học là tỷ lệ phần trăm lợi nhuận trên mỗi lần thắng nhân với lợi nhuận trung bình, trừ đi khả năng thua lỗ nhân với mức lỗ trung bình.

Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên trong lý thuyết toán học

Một trong những đặc tính số quan trọng của một biến ngẫu nhiên là kỳ vọng toán học của nó. Hãy để chúng tôi giới thiệu khái niệm về một hệ thống các biến ngẫu nhiên. Hãy xem xét một tập hợp các biến ngẫu nhiên là kết quả của cùng một thí nghiệm ngẫu nhiên. Nếu là một trong những giá trị có thể có của hệ thống thì sự kiện tương ứng với một xác suất nhất định thỏa mãn tiên đề Kolmogorov. Hàm được xác định cho bất kỳ giá trị có thể có nào của biến ngẫu nhiên được gọi là luật phân phối chung. Hàm này cho phép bạn tính toán xác suất của bất kỳ sự kiện nào từ đó. Đặc biệt, luật phân phối chung của các biến ngẫu nhiên và lấy các giá trị từ tập hợp và được đưa ra bởi xác suất.

Thuật ngữ “kỳ vọng toán học” được Pierre Simon Marquis de Laplace đưa ra (1795) và xuất phát từ khái niệm “giá trị kỳ vọng của tiền thắng cược”, xuất hiện lần đầu tiên vào thế kỷ 17 trong lý thuyết cờ bạc trong các tác phẩm của Blaise Pascal và Christiaan. Huygens. Tuy nhiên, sự hiểu biết và đánh giá lý thuyết đầy đủ đầu tiên về khái niệm này được đưa ra bởi Pafnuty Lvovich Chebyshev (giữa thế kỷ 19).

Luật phân phối ngẫu nhiên số lượng(hàm phân phối và chuỗi phân phối hoặc mật độ xác suất) mô tả đầy đủ hành vi của một biến ngẫu nhiên. Nhưng trong một số vấn đề, chỉ cần biết một số đặc tính số của đại lượng đang nghiên cứu (ví dụ: giá trị trung bình của nó và độ lệch có thể có so với nó) là đủ để trả lời câu hỏi đã đặt ra. Các đặc điểm số chính của các biến ngẫu nhiên là kỳ vọng toán học, phương sai, mode và trung vị.

Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên rời rạc là tổng các tích của các giá trị có thể có của nó và xác suất tương ứng của chúng. Đôi khi kỳ vọng toán học được gọi là trung bình có trọng số, vì nó xấp xỉ bằng giá trị trung bình số học của các giá trị quan sát được của biến ngẫu nhiên tại số lượng lớn thí nghiệm. Từ định nghĩa của kỳ vọng toán học, giá trị của nó không nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất có thể có của một biến ngẫu nhiên và không lớn hơn giá trị lớn nhất. Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên là một biến không ngẫu nhiên (không đổi).

Kỳ vọng toán học có một cách đơn giản ý nghĩa vật lý: nếu bạn đặt một khối lượng đơn vị trên một đường thẳng, đặt một khối lượng nào đó tại một số điểm (ví dụ phân phối rời rạc), hoặc “bôi nhọ” nó với một mật độ nhất định (đối với phân bố hoàn toàn liên tục), thì điểm tương ứng với kỳ vọng toán học sẽ là tọa độ “trọng tâm” của đường thẳng.

Giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên là một số nhất định, giống như “đại diện” của nó và thay thế nó trong các phép tính gần đúng thô. Khi chúng tôi nói: “thời gian hoạt động trung bình của đèn là 100 giờ” hoặc “ điểm giữa cú đánh bị dịch chuyển so với mục tiêu 2 m về bên phải,” chúng tôi chỉ ra một đặc tính số nhất định của một biến ngẫu nhiên mô tả vị trí của nó trên trục số, tức là. “đặc điểm vị trí”.

Từ đặc điểm vị trí trong lý thuyết xác suất vai trò quan trọngđóng vai trò kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên, đôi khi được gọi đơn giản là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên.

Xét biến ngẫu nhiên X, có các giá trị có thể x1, x2, …, xn với xác suất p1, p2, …, pn. Chúng ta cần mô tả bằng một số số vị trí của các giá trị của một biến ngẫu nhiên trên trục x, có tính đến thực tế là các giá trị này có xác suất khác nhau. Với mục đích này, điều tự nhiên là sử dụng cái gọi là “trung bình có trọng số” của các giá trị xi và mỗi giá trị xi trong quá trình lấy trung bình phải được tính đến với “trọng số” tỷ lệ với xác suất của giá trị này. Vì vậy, chúng ta sẽ tính giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X, mà chúng tôi biểu thị M |X|:

Giá trị trung bình có trọng số này được gọi là kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên. Vì vậy, chúng tôi đã giới thiệu một trong những khái niệm quan trọng nhất của lý thuyết xác suất - khái niệm kỳ vọng toán học. Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên là tổng tích của tất cả các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên và xác suất của các giá trị này.

Xđược kết nối bởi một sự phụ thuộc đặc biệt với giá trị trung bình số học của các giá trị quan sát được của biến ngẫu nhiên qua một số lượng lớn các thí nghiệm. Sự phụ thuộc này cùng loại với sự phụ thuộc giữa tần số và xác suất, cụ thể là: với số lượng thí nghiệm lớn, giá trị trung bình số học của các giá trị quan sát được của một biến ngẫu nhiên sẽ tiệm cận (hội tụ về xác suất) với kỳ vọng toán học của nó. Từ sự hiện diện của mối liên hệ giữa tần số và xác suất, người ta có thể suy ra kết quả là có sự hiện diện của mối liên hệ tương tự giữa giá trị trung bình số học và kỳ vọng toán học. Thật vậy, hãy xem xét biến ngẫu nhiên X, được đặc trưng bởi một chuỗi phân phối:

Hãy để nó được sản xuất N các thí nghiệm độc lập, trong đó mỗi giá trị X chấp nhận giá trị cụ thể. Giả sử rằng giá trị x1 xuất hiện m1 lần, giá trị x2 xuất hiện m2 một lần, nói chung có nghĩa là xi xuất hiện mi lần. Chúng ta hãy tính giá trị trung bình số học của các giá trị quan sát được của giá trị X, trái ngược với kỳ vọng toán học M|X| chúng tôi biểu thị M*|X|:

Với số lượng thí nghiệm ngày càng tăng N tần số số pi sẽ tiến tới (hội tụ về xác suất) các xác suất tương ứng. Do đó, giá trị trung bình số học của các giá trị quan sát của biến ngẫu nhiên M|X| với sự gia tăng số lượng thí nghiệm nó sẽ tiếp cận (hội tụ về xác suất) với kỳ vọng toán học của nó. Mối liên hệ giữa trung bình số học và kỳ vọng toán học được nêu ở trên là nội dung của một trong các dạng của định luật số lớn.

Chúng ta đã biết rằng tất cả các dạng của định luật số lớn đều phát biểu một thực tế là một số giá trị trung bình ổn định qua một số lượng lớn thí nghiệm. Đây chúng ta đang nói về về tính ổn định của trung bình số học từ một loạt các quan sát có cùng đại lượng. Với một số ít thí nghiệm, giá trị trung bình số học của kết quả là ngẫu nhiên; với sự gia tăng vừa đủ về số lượng thí nghiệm, nó trở nên “gần như không ngẫu nhiên” và, ổn định, tiếp cận giá trị không đổi- Kỳ vọng toán học

Độ ổn định của giá trị trung bình qua một số lượng lớn các thí nghiệm có thể được xác minh dễ dàng bằng thực nghiệm. Ví dụ, khi cân một cơ thể trong phòng thí nghiệm trên những chiếc cân chính xác, kết quả của việc cân là mỗi lần chúng ta thu được một giá trị mới; Để giảm sai số quan sát, chúng tôi cân cơ thể nhiều lần và sử dụng giá trị trung bình số học của các giá trị thu được. Dễ dàng nhận thấy rằng với sự gia tăng hơn nữa về số lượng thí nghiệm (cân), giá trị trung bình số học phản ứng với sự gia tăng này ngày càng ít hơn và với số lượng thí nghiệm đủ lớn, thực tế sẽ không còn thay đổi.

Cần lưu ý rằng đặc tính quan trọng nhất về vị trí của một biến ngẫu nhiên - kỳ vọng toán học - không tồn tại đối với tất cả các biến ngẫu nhiên. Có thể soạn các ví dụ về các biến ngẫu nhiên như vậy mà kỳ vọng toán học không tồn tại, vì tổng hoặc tích phân tương ứng phân kỳ. Tuy nhiên, những trường hợp như vậy không được quan tâm nhiều trong thực tế. Thông thường, các biến ngẫu nhiên mà chúng ta xử lý có một phạm vi giới hạn các giá trị có thể có và tất nhiên có kỳ vọng toán học.

Ngoài các đặc điểm quan trọng nhất về vị trí của biến ngẫu nhiên - kỳ vọng toán học - trong thực tế, các đặc điểm khác của vị trí đôi khi cũng được sử dụng, đặc biệt là mode và trung vị của biến ngẫu nhiên.

Mode của một biến ngẫu nhiên là giá trị có thể xảy ra nhất của nó. Nói một cách chính xác, thuật ngữ “giá trị có thể xảy ra nhất” chỉ áp dụng cho các đại lượng không liên tục; Vì giá trị liên tục Chế độ là giá trị tại đó mật độ xác suất là tối đa. Các hình vẽ lần lượt thể hiện chế độ của các biến ngẫu nhiên không liên tục và liên tục.

Nếu đa giác phân phối (đường cong phân phối) có nhiều hơn một mức tối đa thì phân phối được gọi là "đa phương thức".

Đôi khi có những phân phối có mức tối thiểu ở giữa thay vì mức tối đa. Những phân phối như vậy được gọi là “phản phương thức”.

TRONG trường hợp chung chế độ và kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên không trùng nhau. Trong trường hợp cụ thể, khi phân bố đối xứng và có tính chất phương thức (tức là có một phương thức) và có kỳ vọng toán học thì nó trùng với phương thức và tâm đối xứng của phương thức phân bố.

Một đặc điểm vị trí khác thường được sử dụng - cái gọi là trung vị của một biến ngẫu nhiên. Đặc tính này thường chỉ được sử dụng cho các biến ngẫu nhiên liên tục, mặc dù nó có thể được xác định chính thức cho biến không liên tục. Về mặt hình học, đường trung tuyến là hoành độ của điểm mà tại đó diện tích được bao quanh bởi đường cong phân phối được chia làm đôi.

Trong trường hợp phân phối phương thức đối xứng, trung vị trùng với kỳ vọng và phương thức toán học.

Kỳ vọng toán học là giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên - một đặc tính số của phân bố xác suất của một biến ngẫu nhiên. nhất một cách tổng quát kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên X(w)được định nghĩa là tích phân Lebesgue đối với thước đo xác suất R trong không gian xác suất ban đầu:

Kỳ vọng toán học cũng có thể được tính bằng tích phân Lebesgue của X theo phân bố xác suất px số lượng X:

Khái niệm biến ngẫu nhiên với kỳ vọng toán học vô hạn có thể được định nghĩa một cách tự nhiên. Một ví dụ điển hìnhđóng vai trò là thời gian quay trở lại trong một số bước đi ngẫu nhiên.

Với sự trợ giúp của kỳ vọng toán học, nhiều số và đặc điểm chức năng phân bố (như kỳ vọng toán học của các hàm tương ứng từ một biến ngẫu nhiên), ví dụ: hàm sinh, hàm đặc trưng, mô men theo thứ tự bất kỳ, đặc biệt là độ phân tán, hiệp phương sai.

Kỳ vọng toán học là một đặc tính về vị trí của các giá trị của một biến ngẫu nhiên (giá trị trung bình của phân bố của nó). Trong khả năng này, kỳ vọng toán học đóng vai trò như một tham số phân bố “điển hình” nào đó và vai trò của nó tương tự như vai trò của mômen tĩnh - tọa độ của trọng tâm phân bố khối lượng - trong cơ học. Nó khác với các đặc điểm vị trí khác ở chỗ sự phân bố được mô tả bằng các thuật ngữ chung - trung vị, chế độ và kỳ vọng toán học. giá trị lớn, mà nó và đặc tính tán xạ tương ứng của nó - sự phân tán - có trong định lý giới hạn lý thuyết xác suất. Ý nghĩa của kỳ vọng toán học được bộc lộ đầy đủ nhất qua định luật số lớn (bất đẳng thức Chebyshev) và định luật củng cố số lớn.

Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên rời rạc

Giả sử có một biến ngẫu nhiên nào đó có thể nhận một trong nhiều giá trị số (ví dụ: số điểm khi ném xúc xắc có thể là 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6). Thông thường trong thực tế, đối với một giá trị như vậy, câu hỏi đặt ra là: "trung bình" nó nhận được giá trị nào với một số lượng lớn các thử nghiệm? Thu nhập (hoặc lỗ) trung bình của chúng ta từ mỗi giao dịch rủi ro sẽ là bao nhiêu?

Giả sử có một loại xổ số nào đó. Chúng tôi muốn hiểu liệu việc tham gia vào nó có mang lại lợi nhuận hay không (hoặc thậm chí tham gia nhiều lần, thường xuyên). Giả sử mỗi vé thứ tư là người chiến thắng, giải thưởng sẽ là 300 rúp và giá của bất kỳ vé nào sẽ là 100 rúp. Với số lượng người tham gia vô cùng lớn, đây là điều sẽ xảy ra. Trong 3/4 trường hợp, chúng tôi sẽ thua, cứ ba lần thua sẽ tốn 300 rúp. Trong mọi trường hợp thứ tư, chúng tôi sẽ giành được 200 rúp. (giải thưởng trừ đi chi phí), nghĩa là, đối với bốn lần tham gia, chúng tôi mất trung bình 100 rúp cho một lần tham gia - trung bình là 25 rúp. Tổng cộng, tỷ lệ hủy hoại trung bình của chúng tôi sẽ là 25 rúp mỗi vé.

Chúng tôi ném xúc xắc. Nếu không gian lận (không dịch chuyển trọng tâm, v.v.), thì trung bình mỗi lần chúng ta sẽ có bao nhiêu điểm? Vì mỗi lựa chọn đều có khả năng xảy ra như nhau nên chúng ta chỉ cần lấy trung bình số học và nhận được 3,5. Vì đây là TRUNG BÌNH nên không cần phải phẫn nộ vì không có cuộn cụ thể nào sẽ cho 3,5 điểm - à, khối lập phương này không có mặt với con số như vậy!

Bây giờ hãy tóm tắt các ví dụ của chúng tôi:

Chúng ta hãy nhìn vào bức tranh vừa được đưa ra. Bên trái là bảng phân phối của một biến ngẫu nhiên. Giá trị X có thể nhận một trong n giá trị có thể (được cho ở dòng trên cùng). Không thể có bất kỳ ý nghĩa nào khác. Dưới mỗi ý nghĩa có thể xác suất của nó được viết dưới đây. Bên phải là công thức, trong đó M(X) được gọi là kỳ vọng toán học. Ý nghĩa của giá trị này là với số lượng lớn các thử nghiệm (với một mẫu lớn), giá trị trung bình sẽ có xu hướng giống với kỳ vọng toán học này.

Hãy quay trở lại cùng một khối chơi. Kỳ vọng toán học về số điểm khi ném là 3,5 (bạn tự tính theo công thức nếu bạn không tin tôi). Giả sử bạn đã ném nó một vài lần. Kết quả là 4 và 6. Điểm trung bình là 5, cách xa 3,5. Họ ném nó thêm một lần nữa, họ nhận được 3, tức là trung bình (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Không hiểu sao lại khác xa với kỳ vọng toán học. Bây giờ hãy thực hiện một thí nghiệm điên rồ - lăn khối lập phương 1000 lần! Và ngay cả khi mức trung bình không chính xác là 3,5 thì nó cũng sẽ gần với mức đó.

Hãy tính kỳ vọng toán học cho xổ số được mô tả ở trên. Tấm sẽ trông như thế này:

Khi đó kỳ vọng toán học sẽ như chúng ta đã thiết lập ở trên:

Một điều nữa là sẽ khó thực hiện “trên ngón tay” nếu không có công thức nếu có nhiều lựa chọn hơn. Chà, giả sử sẽ có 75% vé thua, 20% vé thắng và 5% đặc biệt là vé thắng.

Bây giờ một số tính chất của kỳ vọng toán học.

Thật dễ dàng để chứng minh:

hệ số nhân không đổiđược phép coi là dấu hiệu của kỳ vọng toán học, đó là:

Đây là trường hợp đặc biệt của tính chất tuyến tính của kỳ vọng toán học.

Một hệ quả khác của tính tuyến tính của kỳ vọng toán học:

nghĩa là kỳ vọng toán học của tổng các biến ngẫu nhiên bằng tổng kỳ vọng toán học của các biến ngẫu nhiên.

Đặt X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập, Sau đó:

Điều này cũng dễ chứng minh) XY chính nó là một biến ngẫu nhiên và nếu giá trị ban đầu có thể lấy N Và tôi các giá trị tương ứng thì XY có thể nhận giá trị nm. Xác suất của mỗi giá trị được tính toán dựa trên thực tế là xác suất của các sự kiện độc lập được nhân lên. Kết quả là, chúng tôi nhận được điều này:

Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên liên tục

Các biến ngẫu nhiên liên tục có đặc điểm như mật độ phân phối (mật độ xác suất). Về cơ bản nó đặc trưng cho tình huống một số giá trị từ tập hợp số thực một biến ngẫu nhiên mất thường xuyên hơn, một số - ít thường xuyên hơn. Ví dụ: hãy xem xét biểu đồ này:

Đây X- biến ngẫu nhiên thực tế, f(x)- mật độ phân bố. Đánh giá bởi lịch trình này, trong quá trình thí nghiệm giá trị X thường sẽ là một số gần bằng 0. Cơ hội đã vượt quá 3 hoặc nhỏ hơn -3 khá thuần túy về mặt lý thuyết.

Ví dụ: giả sử có sự phân bố đồng đều:

Điều này khá phù hợp với sự hiểu biết trực quan. Giả sử nếu chúng ta đạt được phân phối đồng đều nhiều số thực ngẫu nhiên, mỗi số từ một phân đoạn |0; 1| thì giá trị trung bình số học phải vào khoảng 0,5.

Các tính chất của kỳ vọng toán học - tính tuyến tính, v.v., áp dụng cho các biến ngẫu nhiên rời rạc, cũng được áp dụng ở đây.

Mối quan hệ giữa kỳ vọng toán học và các chỉ số thống kê khác

Trong phân tích thống kê, cùng với kỳ vọng toán học, có một hệ thống các chỉ số phụ thuộc lẫn nhau phản ánh tính đồng nhất của các hiện tượng và tính ổn định của các quá trình. Các chỉ số biến thiên thường không có ý nghĩa độc lập và được sử dụng để phân tích dữ liệu sâu hơn. Ngoại lệ là hệ số biến thiên, đặc trưng cho tính đồng nhất của dữ liệu, có giá trị đặc tính thống kê.

Mức độ biến đổi hoặc tính ổn định của các quá trình trong khoa học thống kê có thể được đo bằng nhiều chỉ số.

Chỉ số quan trọng nhất mô tả sự biến thiên của một biến ngẫu nhiên là phân tán, liên quan chặt chẽ và trực tiếp nhất đến kỳ vọng toán học. Tham số này được sử dụng tích cực trong các loại phân tích thống kê khác (kiểm tra giả thuyết, phân tích mối quan hệ nhân quả, v.v.). Giống như mức trung bình độ lệch tuyến tính, độ phân tán cũng phản ánh thước đo độ phân tán dữ liệu xung quanh kích thước trung bình.

Sẽ rất hữu ích nếu dịch ngôn ngữ ký hiệu sang ngôn ngữ của từ ngữ. Hóa ra độ phân tán là bình phương trung bình của độ lệch. Nghĩa là, giá trị trung bình được tính toán đầu tiên, sau đó chênh lệch giữa mỗi giá trị ban đầu và trung bình được lấy, bình phương, cộng lại, sau đó chia cho số giá trị trong tổng thể. Sự khác biệt giữa giá trị riêng biệt và mức trung bình phản ánh thước đo độ lệch. Bình phương để tất cả các sai lệch trở thành độc quyền số dương tránh phá hủy lẫn nhau những sai lệch tích cực và tiêu cực khi tổng hợp lại. Sau đó, với độ lệch bình phương, chúng ta chỉ cần tính giá trị trung bình số học. Trung bình - bình phương - độ lệch. Độ lệch được bình phương và tính giá trị trung bình. Câu trả lời cho từ kỳ diệu “phân tán” chỉ nằm trong ba từ.

Tuy nhiên, trong dạng tinh khiết, chẳng hạn như trung bình số học hoặc chỉ số, phương sai không được sử dụng. Nó đúng hơn là một chỉ báo phụ trợ và trung gian được sử dụng cho các loại phân tích thống kê khác. Nó thậm chí không có đơn vị đo lường bình thường. Đánh giá theo công thức, đây là bình phương của đơn vị đo của dữ liệu gốc.

Chúng ta hãy đo một biến ngẫu nhiên N lần, chẳng hạn, chúng tôi đo tốc độ gió mười lần và muốn tìm giá trị trung bình. Giá trị trung bình liên quan đến hàm phân phối như thế nào?

Hoặc chúng ta sẽ tung xúc xắc số lượng lớn một lần. Số điểm xuất hiện trên xúc xắc sau mỗi lần ném là một biến ngẫu nhiên và có thể nhận bất kỳ giá trị nào. giá trị tự nhiên từ 1 đến 6. Giá trị trung bình số học của số điểm rơi được tính cho tất cả các lần ném xúc xắc cũng là một biến ngẫu nhiên, nhưng đối với những lần ném lớn N nó cố gắng hoàn toàn con số cụ thể- Kỳ vọng toán học Mx. Trong trường hợp này Mx = 3,5.

Làm thế nào bạn có được giá trị này? Cho vào N kiểm tra n1 khi bạn nhận được 1 điểm, n2 một lần - 2 điểm, v.v. Sau đó, số kết quả có một điểm giảm:

Tương tự cho kết quả khi tung được 2, 3, 4, 5 và 6 điểm.

Bây giờ giả sử ta biết luật phân phối của biến ngẫu nhiên x, tức là ta biết biến ngẫu nhiên x có thể nhận các giá trị x1, x2, ..., xk với các xác suất p1, p2, ..., pk.

Kỳ vọng toán học Mx của biến ngẫu nhiên x bằng:

Kỳ vọng toán học không phải lúc nào cũng là ước tính hợp lý của một số biến ngẫu nhiên. Vì vậy, để ước tính mức lương trung bình, sẽ hợp lý hơn nếu sử dụng khái niệm trung vị, tức là giá trị sao cho số người nhận được mức lương thấp hơn mức trung vị và số người nhận mức lương cao hơn trùng khớp với nhau.

Xác suất p1 để biến ngẫu nhiên x sẽ nhỏ hơn x1/2 và xác suất p2 để biến ngẫu nhiên x sẽ lớn hơn x1/2 đều bằng nhau và bằng 1/2. Trung vị không được xác định duy nhất cho tất cả các phân phối.

Độ lệch chuẩn hoặc tiêu chuẩn trong thống kê, mức độ sai lệch của dữ liệu quan sát hoặc các tập hợp so với giá trị TRUNG BÌNH được gọi là. Ký hiệu bằng chữ cái s hoặc s. Độ lệch chuẩn nhỏ cho biết các cụm dữ liệu xung quanh giá trị trung bình, trong khi độ lệch chuẩn lớn cho biết dữ liệu ban đầu nằm cách xa giá trị trung bình. Độ lệch chuẩn bằng căn bậc hai của một đại lượng gọi là phương sai. Nó là giá trị trung bình của tổng các sai phân bình phương của dữ liệu ban đầu lệch khỏi giá trị trung bình. Độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên là căn bậc hai của phương sai:

Ví dụ. Trong điều kiện thử nghiệm khi bắn vào mục tiêu, hãy tính độ phân tán và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên:

Biến thể- sự dao động, khả năng thay đổi giá trị của một đặc tính giữa các đơn vị dân số. Chia giá trị sốđặc điểm tìm thấy trong dân số đang được nghiên cứu được gọi là các biến thể của ý nghĩa. Không đủ giá trị trung bình cho đầy đủ đặc điểm dân số buộc chúng ta phải bổ sung các giá trị trung bình bằng các chỉ số cho phép chúng ta đánh giá tính điển hình của các giá trị trung bình này bằng cách đo lường độ biến thiên (biến thiên) của đặc tính đang được nghiên cứu. Hệ số biến thiên được tính theo công thức:

Phạm vi biến đổi(R) thể hiện sự khác biệt giữa mức tối đa và giá trị tối thiểuđặc điểm của quần thể được nghiên cứu. Chỉ số này mang lại nhiều lợi ích nhất ý tưởng chung về độ biến thiên của đặc tính được nghiên cứu, vì nó chỉ cho thấy sự khác biệt giữa các giá trị giới hạn của các phương án. Sự phụ thuộc vào các giá trị cực trị của một đặc tính làm cho phạm vi biến đổi trở thành một ký tự ngẫu nhiên, không ổn định.

Độ lệch tuyến tính trung bình biểu thị giá trị trung bình số học của độ lệch tuyệt đối (modulo) của tất cả các giá trị của dân số được phân tích so với giá trị trung bình của chúng:

Kỳ vọng trong lý thuyết cờ bạc

Kỳ vọng toán học là số tiền trung bình mà một người chơi có cờ bạc có thể thắng hoặc thua trong một lần đặt cược nhất định. Đây là một khái niệm rất quan trọng đối với người chơi vì nó là nền tảng để đánh giá hầu hết các tình huống chơi game. Kỳ vọng toán học cũng là công cụ tối ưu để phân tích cách bố trí quân bài cơ bản và các tình huống chơi game.

Giả sử bạn đang chơi trò chơi xu với một người bạn, đặt cược bằng nhau 1 đô la mỗi lần, bất kể điều gì xảy ra. Mặt sấp nghĩa là bạn thắng, mặt ngửa nghĩa là bạn thua. Tỷ lệ cược là 1 ăn 1 là nó sẽ ngửa, vì vậy bạn đặt cược từ 1 đến 1 đô la. Do đó, kỳ vọng toán học của bạn bằng 0, bởi vì Từ quan điểm toán học, bạn không thể biết mình sẽ dẫn trước hay thua sau hai lần ném hay sau 200.

Tiền thắng hàng giờ của bạn bằng 0. Tiền thắng hàng giờ là số tiền bạn mong đợi giành được trong một giờ. Bạn có thể tung đồng xu 500 lần trong một giờ, nhưng bạn sẽ không thắng hay thua vì... cơ hội của bạn không tích cực cũng không tiêu cực. Nếu nhìn từ góc độ của một người chơi nghiêm túc, hệ thống cá cược này không tệ. Nhưng điều này chỉ đơn giản là một sự lãng phí thời gian.

Nhưng giả sử ai đó muốn đặt cược 2 đô la vào 1 đô la của bạn trong cùng một trò chơi. Sau đó, bạn ngay lập tức có kỳ vọng tích cực là 50 xu từ mỗi lần đặt cược. Tại sao lại là 50 xu? Trung bình, bạn thắng một lần đặt cược và thua lần thứ hai. Đặt cược đô la đầu tiên và bạn sẽ thua 1 đô la, đặt cược lần thứ hai và bạn sẽ thắng 2 đô la. Bạn đặt cược 1 đô la hai lần và dẫn trước 1 đô la. Vì vậy, mỗi lần đặt cược một đô la của bạn mang lại cho bạn 50 xu.

Nếu một đồng xu xuất hiện 500 lần trong một giờ, số tiền thắng hàng giờ của bạn sẽ là 250 USD, bởi vì... Trung bình, bạn thua 1 đô la 250 lần và thắng 2 đô la 250 lần. $500 trừ đi $250 bằng $250, là tổng số tiền thắng. Xin lưu ý rằng giá trị dự kiến, tức là số tiền trung bình bạn thắng được cho mỗi lần đặt cược, là 50 xu. Bạn đã thắng 250 đô la bằng cách đặt cược 1 đô la 500 lần, tương đương 50 xu cho mỗi lần đặt cược.

Kỳ vọng toán học không liên quan gì đến kết quả ngắn hạn. Đối thủ của bạn, người đã quyết định đặt cược 2 đô la chống lại bạn, có thể đánh bại bạn trong mười lượt đầu tiên liên tiếp, nhưng bạn, có lợi thế cá cược 2 ăn 1, tất cả các yếu tố khác đều bằng nhau, sẽ kiếm được 50 xu cho mỗi lần đặt cược 1 đô la trong bất kỳ trận đấu nào. trường hợp. Sẽ không có gì khác biệt dù bạn thắng hay thua một lần đặt cược hay nhiều lần đặt cược, miễn là bạn có đủ tiền mặt để thoải mái trang trải chi phí. Nếu bạn tiếp tục đặt cược theo cách tương tự, thì đối với thời gian dài Theo thời gian, tiền thắng của bạn sẽ đạt đến tổng giá trị mong đợi trong từng cuộn riêng lẻ.

Mỗi khi bạn đặt cược tốt nhất (một cuộc đặt cược có thể mang lại lợi nhuận về lâu dài), khi tỷ lệ cược có lợi cho bạn, bạn chắc chắn sẽ thắng được thứ gì đó ở đó, bất kể bạn có thua hay không trong trận đấu. trao tay. Ngược lại, nếu bạn đặt cược cửa dưới (cược không có lãi về lâu dài) khi tỷ lệ cược chống lại bạn, bạn sẽ thua một số thứ bất kể bạn thắng hay thua.

Bạn đặt cược với kết quả tốt nhất nếu kỳ vọng của bạn là tích cực và sẽ tích cực nếu tỷ lệ cược nghiêng về phía bạn. Khi bạn đặt cược với kết quả tồi tệ nhất, bạn có kỳ vọng tiêu cực, điều này xảy ra khi tỷ lệ cược chống lại bạn. Những người chơi nghiêm túc chỉ đặt cược vào kết quả tốt nhất; nếu điều tồi tệ nhất xảy ra, họ sẽ bỏ bài. Tỷ lệ cược có ý nghĩa gì đối với bạn? Bạn có thể sẽ thắng nhiều hơn tỷ lệ cược thực sự mang lại. Tỷ lệ cược thực sự của việc hạ cánh là 1 ăn 1, nhưng bạn nhận được 2 ăn 1 do tỷ lệ cược. Trong trường hợp này, tỷ lệ cược đang có lợi cho bạn. Bạn chắc chắn nhận được kết quả tốt nhất với kỳ vọng tích cực là 50 xu cho mỗi lần đặt cược.

Đây là nhiều hơn nữa ví dụ phức tạp kỳ vọng toán học. Một người bạn viết ra các số từ một đến năm và đặt cược 5 đô la vào 1 đô la của bạn rằng bạn sẽ không đoán được số đó. Bạn có nên đồng ý đặt cược như vậy? Sự mong đợi ở đây là gì?

Trung bình bạn sẽ sai bốn lần. Dựa trên điều này, tỷ lệ bạn đoán được số đó là 4 trên 1. Tỷ lệ bạn mất một đô la trong một lần thử. Tuy nhiên, bạn thắng 5 ăn 1, có khả năng thua 4 ăn 1. Vì vậy, tỷ lệ cược nghiêng về bạn, bạn có thể đặt cược và hy vọng vào kết quả tốt nhất. Nếu bạn đặt cược này năm lần, trung bình bạn sẽ thua 1 đô la bốn lần và thắng 5 đô la một lần. Dựa trên điều này, với tất cả năm lần thử, bạn sẽ kiếm được 1 đô la với kỳ vọng toán học dương là 20 xu cho mỗi lần đặt cược.

Một người chơi mong muốn thắng nhiều hơn số tiền đặt cược, như trong ví dụ trên, đang nắm lấy cơ hội. Ngược lại, anh ta sẽ phá hỏng cơ hội của mình khi anh ta kỳ vọng sẽ thắng ít hơn số tiền anh ta đặt cược. Người đặt cược có thể có kỳ vọng tích cực hoặc tiêu cực, điều này phụ thuộc vào việc anh ta thắng hay làm hỏng tỷ lệ cược.

Nếu bạn đặt cược 50 đô la để thắng 10 đô la với cơ hội thắng 4 ăn 1, bạn sẽ có kỳ vọng âm là 2 đô la vì... Trung bình, bạn sẽ thắng 10 đô la bốn lần và thua 50 đô la một lần, điều này cho thấy số tiền thua mỗi lần đặt cược sẽ là 10 đô la. Nhưng nếu bạn đặt cược 30 đô la để thắng 10 đô la, với cùng tỷ lệ thắng 4 ăn 1, thì trong trường hợp này bạn có kỳ vọng dương là 2 đô la, bởi vì bạn lại thắng 10 đô la bốn lần và thua 30 đô la một lần, với số tiền lãi là 10 đô la. Những ví dụ này cho thấy lần đặt cược đầu tiên là xấu và lần đặt cược thứ hai là tốt.

Kỳ vọng toán học là trung tâm của mọi tình huống trò chơi. Khi một nhà cái khuyến khích người hâm mộ bóng đá đặt cược 11 đô la để thắng 10 đô la, anh ta có kỳ vọng tích cực là 50 xu cho mỗi 10 đô la. Nếu sòng bạc trả số tiền chẵn từ đường chuyền trong xúc xắc thì kỳ vọng tích cực của sòng bạc sẽ là khoảng 1,40 đô la cho mỗi 100 đô la, bởi vì Trò chơi này được cấu trúc sao cho ai đặt cược vào dòng này thua trung bình 50,7% và thắng 49,3% tổng thời gian. Không còn nghi ngờ gì nữa, chính kỳ vọng tích cực tưởng chừng như tối thiểu này đã mang lại lợi nhuận khổng lồ cho các chủ sòng bạc trên toàn thế giới. Như chủ sở hữu sòng bạc Vegas World, Bob Stupak đã lưu ý, “xác suất âm một phần nghìn của một phần trăm trong một khoảng cách đủ dài sẽ hủy hoại người giàu nhất trên thế giới."

Kỳ vọng khi chơi Poker

Trò chơi Poker là trò chơi bộc lộ và hấp dẫn nhất một ví dụ rõ ràng từ quan điểm sử dụng lý thuyết và các tính chất của kỳ vọng toán học.

Giá trị kỳ vọng trong Poker là lợi ích trung bình từ một quyết định cụ thể, với điều kiện là quyết định đó có thể được xem xét trong khuôn khổ lý thuyết về số lượng lớn và khoảng cách xa. Một trò chơi poker thành công là luôn chấp nhận những nước đi có giá trị kỳ vọng dương.

Ý nghĩa toán học Kỳ vọng toán học khi chơi poker là chúng ta thường gặp các biến số ngẫu nhiên khi đưa ra quyết định (không biết đối phương có bài gì trên tay, bài nào sẽ ra ở các vòng đặt cược tiếp theo). Chúng ta phải xem xét từng giải pháp theo quan điểm của lý thuyết số lớn, trong đó phát biểu rằng với một mẫu đủ lớn, giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên sẽ có xu hướng giống với kỳ vọng toán học của nó.

Trong số các công thức cụ thể để tính kỳ vọng toán học, công thức sau đây được áp dụng nhiều nhất trong poker:

Khi chơi bài poker, giá trị kỳ vọng có thể được tính cho cả cược và cuộc gọi. Trong trường hợp đầu tiên, tỷ lệ gấp đôi nên được tính đến, trong trường hợp thứ hai, tỷ lệ cược của chính ngân hàng. Khi đánh giá kỳ vọng toán học của một nước đi cụ thể, bạn nên nhớ rằng một ván gấp luôn có kỳ vọng bằng 0. Vì vậy, loại bỏ quân bài sẽ luôn là một quyết định có lợi hơn bất kỳ động thái tiêu cực nào.

Kỳ vọng cho bạn biết bạn có thể mong đợi điều gì (lợi nhuận hoặc thua lỗ) đối với mỗi đô la bạn gặp rủi ro. Sòng bạc kiếm tiền vì kỳ vọng toán học của tất cả các trò chơi được chơi trong đó đều có lợi cho sòng bạc. Với một loạt trò chơi đủ dài, bạn có thể mong đợi rằng khách hàng sẽ mất tiền của mình, vì “tỷ lệ cược” nghiêng về sòng bạc. Tuy nhiên, những người chơi sòng bạc chuyên nghiệp giới hạn trò chơi của họ trong khoảng thời gian ngắn, do đó làm tăng tỷ lệ cược có lợi cho họ. Việc đầu tư cũng vậy. Nếu kỳ vọng của bạn là tích cực, bạn có thể kiếm được nhiều tiền hơn, thực hiện nhiều giao dịch trong một khoảng thời gian ngắn. Kỳ vọng là tỷ lệ phần trăm lợi nhuận trên mỗi chiến thắng nhân với lợi nhuận trung bình của bạn, trừ đi khả năng thua lỗ nhân với mức lỗ trung bình của bạn.

Poker cũng có thể được xem xét từ quan điểm kỳ vọng toán học. Bạn có thể cho rằng một nước đi nhất định sẽ mang lại lợi nhuận, nhưng trong một số trường hợp, nó có thể không phải là nước đi tốt nhất vì một nước đi khác có lợi hơn. Giả sử bạn đánh được toàn bộ bài trong bài poker rút năm lá bài. Đối thủ của bạn đặt cược. Bạn biết rằng nếu bạn tăng tiền cược, anh ta sẽ đáp lại. Vì vậy, nâng cao dường như là chiến thuật tốt nhất. Nhưng nếu bạn raise thì chắc chắn hai người chơi còn lại sẽ úp bài. Nhưng nếu bạn call, bạn hoàn toàn tin tưởng rằng hai người chơi còn lại phía sau bạn cũng sẽ làm như vậy. Khi bạn tố cược, bạn sẽ nhận được một đơn vị, và khi bạn chỉ cần theo cược, bạn sẽ nhận được hai đơn vị. Vì vậy, việc call mang lại cho bạn giá trị kỳ vọng tích cực cao hơn và sẽ là chiến thuật tốt nhất.

Kỳ vọng toán học cũng có thể đưa ra ý tưởng về chiến thuật poker nào mang lại ít lợi nhuận hơn và chiến thuật nào mang lại nhiều lợi nhuận hơn. Ví dụ: nếu bạn chơi một ván bài nhất định và bạn cho rằng số tiền thua của bạn sẽ trung bình là 75 xu bao gồm cả tiền cược, thì bạn nên chơi ván bài đó vì điều này tốt hơn là bỏ bài khi tiền cược là 1 đô la.

Khác lý do quan trọng hiểu bản chất của kỳ vọng toán học là nó mang lại cho bạn cảm giác bình yên dù bạn thắng cược hay không: nếu bạn đặt cược tốt hoặc gấp bài đúng thời hạn, bạn sẽ biết rằng bạn đã kiếm được hoặc tiết kiệm được một số tiền nhất định mà người chơi yếu hơn không thể cứu được. Sẽ khó bỏ bài hơn nhiều nếu bạn khó chịu vì đối thủ của bạn có bài mạnh hơn. Với tất cả những điều này, số tiền bạn tiết kiệm được bằng cách không chơi thay vì cá cược sẽ được cộng vào số tiền thắng của bạn trong đêm hoặc tháng.

Chỉ cần nhớ rằng nếu bạn đổi tay, đối thủ của bạn sẽ gọi lại cho bạn, và như bạn sẽ thấy trong bài viết " định lý cơ bản poker" chỉ là một trong những lợi thế của bạn. Bạn nên vui mừng khi điều này xảy ra. Bạn thậm chí có thể học cách tận hưởng việc thua một ván bài vì bạn biết rằng những người chơi khác ở vị trí của bạn sẽ thua nhiều hơn.

Như đã đề cập trong ví dụ về trò chơi tiền xu ở phần đầu, tỷ lệ lợi nhuận hàng giờ có liên quan đến kỳ vọng toán học và khái niệm này đặc biệt quan trọng đối với những người chơi chuyên nghiệp. Khi đi chơi poker, bạn nên ước tính trong đầu xem mình có thể thắng được bao nhiêu trong một giờ chơi. Trong hầu hết các trường hợp, bạn sẽ cần phải dựa vào trực giác và kinh nghiệm của mình, nhưng bạn cũng có thể sử dụng một số phép toán. Ví dụ: bạn đang chơi draw lowball và bạn thấy ba người chơi đặt cược 10 đô la rồi đổi hai lá bài, đây là một chiến thuật rất tệ, bạn có thể nhận ra rằng mỗi lần họ đặt cược 10 đô la, họ sẽ thua khoảng 2 đô la. Mỗi người trong số họ thực hiện việc này tám lần mỗi giờ, điều đó có nghĩa là cả ba người đều mất khoảng 48 USD mỗi giờ. Bạn là một trong bốn người chơi còn lại có số điểm xấp xỉ bằng nhau, vì vậy bốn người chơi này (và bạn trong số họ) phải chia 48 đô la, mỗi người kiếm được 12 đô la mỗi giờ. Tỷ lệ cược hàng giờ của bạn trong trường hợp này chỉ đơn giản bằng phần chia của bạn trong số tiền bị mất bởi ba người chơi xấu trong một giờ.

Vì khoảng cách lớn theo thời gian, tổng số tiền thắng của người chơi là tổng số kỳ vọng toán học của anh ta trong từng ván bài. Càng chơi nhiều ván bài với kỳ vọng tích cực thì bạn càng thắng nhiều, và ngược lại, bạn càng chơi nhiều ván bài với kỳ vọng tiêu cực thì bạn càng thua nhiều. Do đó, bạn nên chọn một trò chơi có thể tối đa hóa dự đoán tích cực của bạn hoặc phủ nhận dự đoán tiêu cực của bạn để bạn có thể tối đa hóa số tiền thắng hàng giờ của mình.

Kỳ vọng toán học tích cực trong chiến lược chơi game

Nếu bạn biết cách đếm bài, bạn có thể có lợi thế hơn sòng bạc, miễn là họ không chú ý và ném bạn ra ngoài. Sòng bạc yêu thích những người chơi say rượu và không thể chấp nhận được những người chơi đếm bài. Lợi thế sẽ cho phép bạn giành chiến thắng theo thời gian. số lớn hơn lần hơn là thua. Quản lý tốt vốn khi sử dụng các phép tính giá trị kỳ vọng có thể giúp bạn thu được nhiều lợi nhuận hơn từ lợi thế của mình và giảm tổn thất. Nếu không có lợi thế, tốt hơn hết bạn nên quyên tiền làm từ thiện. Trong trò chơi trên sàn giao dịch chứng khoán, lợi thế được đưa ra bởi hệ thống trò chơi, tạo ra lợi nhuận lớn hơn thua lỗ, chênh lệch giá và hoa hồng. Không có cách quản lý tiền nào có thể cứu được một khoản tồi tệ hệ thống chơi game.

Kỳ vọng tích cực được định nghĩa là giá trị lớn hơn 0. Con số này càng lớn thì kỳ vọng thống kê càng mạnh. Nếu giá trị nhỏ hơn 0 thì kỳ vọng toán học cũng sẽ âm. Mô-đun có giá trị âm càng lớn thì tình hình tồi tệ hơn. Nếu kết quả bằng 0 thì thời gian chờ là hòa vốn. Bạn chỉ có thể thắng khi bạn có giá trị kỳ vọng dương, hệ thống hợp lý trò chơi. Chơi theo trực giác sẽ dẫn đến thảm họa.

Kỳ vọng toán học và giao dịch chứng khoán

Kỳ vọng toán học là một chỉ báo thống kê được sử dụng khá rộng rãi và phổ biến khi thực hiện giao dịch hối đoái trên thị trường tài chính. Trước hết, tham số này được sử dụng để phân tích sự thành công của giao dịch. Không khó để đoán rằng càng nhiều giá trị đã cho, những thứ kia thêm lý do coi giao dịch đang được nghiên cứu là thành công. Tất nhiên, việc phân tích công việc của nhà giao dịch không thể được thực hiện chỉ bằng tham số này. Tuy nhiên, giá trị được tính toán, kết hợp với các phương pháp đánh giá chất lượng công việc khác, có thể làm tăng đáng kể độ chính xác của phân tích.

Kỳ vọng toán học thường được tính toán trong các dịch vụ giám sát tài khoản giao dịch, cho phép bạn đánh giá nhanh công việc được thực hiện đối với khoản tiền gửi. Các trường hợp ngoại lệ bao gồm các chiến lược sử dụng các giao dịch không có lợi nhuận “ngồi ngoài”. Một nhà giao dịch có thể gặp may mắn trong một thời gian nào đó và do đó công việc của anh ta có thể không bị thua lỗ chút nào. Trong trường hợp này, sẽ không thể chỉ được hướng dẫn bởi kỳ vọng toán học, bởi vì những rủi ro được sử dụng trong công việc sẽ không được tính đến.

Trong giao dịch trên thị trường, kỳ vọng toán học thường được sử dụng nhiều nhất khi dự đoán lợi nhuận của bất kỳ chiến lược giao dịch nào hoặc khi dự đoán thu nhập của nhà giao dịch dựa trên dữ liệu thống kê từ giao dịch trước đó của anh ta.

Liên quan đến quản lý tiền, điều rất quan trọng là phải hiểu rằng khi thực hiện giao dịch với kỳ vọng tiêu cực, không có kế hoạch quản lý tiền nào chắc chắn có thể mang lại lợi nhuận cao. Nếu bạn tiếp tục chơi thị trường chứng khoán trong những điều kiện này thì bất kể bạn quản lý tiền của mình như thế nào, bạn sẽ mất toàn bộ tài khoản của mình, bất kể số tiền ban đầu lớn đến đâu.

Tiên đề này không chỉ đúng với các trò chơi hoặc giao dịch có kỳ vọng tiêu cực mà còn đúng với các trò chơi có cơ hội ngang nhau. Đó là lý do tại sao trường hợp duy nhất Khi bạn có cơ hội thu được lợi ích lâu dài, nghĩa là bạn đang thực hiện giao dịch với kỳ vọng toán học tích cực.

Sự khác biệt giữa kỳ vọng tiêu cực và kỳ vọng tích cực là sự khác biệt giữa sự sống và cái chết. Không quan trọng kỳ vọng đó tích cực hay tiêu cực như thế nào; Điều quan trọng là nó tích cực hay tiêu cực. Vì vậy, trước khi cân nhắc việc quản lý tiền bạc, bạn nên tìm một trò chơi có kỳ vọng tích cực.

Nếu bạn không có trò chơi đó thì mọi cách quản lý tiền trên thế giới sẽ không cứu được bạn. Mặt khác, nếu bạn có kỳ vọng tích cực, bạn có thể, thông qua việc quản lý tiền hợp lý, biến nó thành hàm tăng trưởng theo cấp số nhân. Không quan trọng kỳ vọng tích cực nhỏ đến mức nào! Nói cách khác, việc hệ thống giao dịch có lợi nhuận như thế nào dựa trên một hợp đồng không quan trọng. Nếu bạn có một hệ thống kiếm được 10 USD cho mỗi hợp đồng cho mỗi giao dịch (sau khi trừ hoa hồng và trượt giá), bạn có thể sử dụng các kỹ thuật quản lý tiền để kiếm được nhiều lợi nhuận hơn so với hệ thống kiếm được trung bình 1.000 USD cho mỗi giao dịch (sau khi khấu trừ hoa hồng và trượt giá).

Điều quan trọng không phải là hệ thống mang lại lợi nhuận như thế nào mà là hệ thống có thể chắc chắn như thế nào để đạt được ít nhất lợi nhuận tối thiểu trong tương lai. Do đó, sự chuẩn bị quan trọng nhất mà nhà giao dịch có thể thực hiện là đảm bảo rằng hệ thống sẽ hiển thị giá trị kỳ vọng tích cực trong tương lai.

Để có giá trị kỳ vọng dương trong tương lai, điều quan trọng là không hạn chế mức độ tự do của hệ thống của bạn. Điều này đạt được không chỉ bằng cách loại bỏ hoặc giảm số lượng tham số cần tối ưu hóa mà còn bằng cách giảm càng nhiều càng tốt. hơn quy luật của hệ thống. Mọi tham số bạn thêm vào, mọi quy tắc bạn thực hiện, mọi thay đổi nhỏ bạn thực hiện đối với hệ thống đều làm giảm số bậc tự do. Lý tưởng nhất là bạn cần xây dựng một hệ thống khá nguyên thủy và đơn giản để luôn tạo ra lợi nhuận nhỏ ở hầu hết mọi thị trường. Một lần nữa, điều quan trọng là bạn phải hiểu rằng hệ thống sinh lãi như thế nào không quan trọng, miễn là nó có lãi. Số tiền bạn kiếm được từ giao dịch sẽ kiếm được thông qua quản lý hiệu quả tiền bạc.

Hệ thống giao dịch chỉ đơn giản là một công cụ mang lại cho bạn giá trị kỳ vọng tích cực để bạn có thể sử dụng việc quản lý tiền bạc. Các hệ thống hoạt động (hiển thị ít nhất lợi nhuận tối thiểu) chỉ trong một hoặc một vài thị trường hoặc có các quy tắc hoặc thông số khác nhau cho thị trường khác nhau, rất có thể, sẽ không hoạt động đủ lâu trong thời gian thực. Vấn đề với hầu hết các nhà giao dịch thiên về kỹ thuật là họ dành quá nhiều thời gian và công sức cho việc tối ưu hóa. quy tắc khác nhau và giá trị tham số hệ thống giao dịch. Điều này cho kết quả hoàn toàn trái ngược. Thay vì lãng phí năng lượng và thời gian sử dụng máy tính để tăng lợi nhuận của hệ thống giao dịch, hãy hướng năng lượng của bạn vào việc tăng mức độ tin cậy để đạt được lợi nhuận tối thiểu.

Biết rằng quản lý tiền chỉ là trò chơi sốđòi hỏi phải sử dụng những kỳ vọng tích cực, nhà giao dịch có thể ngừng tìm kiếm "chén thánh" giao dịch chứng khoán. Thay vào đó, anh ta có thể bắt đầu thử nghiệm phương pháp giao dịch của mình, tìm hiểu xem phương pháp này hợp lý đến mức nào và liệu nó có mang lại những kỳ vọng tích cực hay không. Phương pháp đúng quản lý tiền, được áp dụng cho bất kỳ phương thức giao dịch nào, thậm chí rất tầm thường, sẽ tự thực hiện phần còn lại của công việc.

Để thành công trong công việc của mình, bất kỳ nhà giao dịch nào cũng cần giải quyết ba nhiệm vụ quan trọng nhất: . Đảm bảo số lượng giao dịch thành công vượt xa những sai sót, tính toán sai lầm không thể tránh khỏi; Thiết lập hệ thống giao dịch của bạn để bạn có cơ hội kiếm tiền thường xuyên nhất có thể; Đạt được kết quả tích cực ổn định từ hoạt động của bạn.

Và ở đây, đối với chúng tôi, những nhà giao dịch đang làm việc, kỳ vọng toán học có thể giúp ích rất nhiều. Thuật ngữ này trong lý thuyết xác suất là một trong những vấn đề then chốt. Với sự trợ giúp của nó, bạn có thể đưa ra ước tính trung bình của một số giá trị ngẫu nhiên. Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên tương tự như trọng tâm, nếu bạn tưởng tượng tất cả các xác suất có thể xảy ra dưới dạng các điểm với trọng lượng khác nhau.

Liên quan đến chiến lược giao dịch, kỳ vọng toán học về lãi (hoặc lỗ) thường được sử dụng nhiều nhất để đánh giá tính hiệu quả của nó. Tham số này được định nghĩa là tổng các sản phẩm của các mức lãi và lỗ nhất định và xác suất xảy ra của chúng. Ví dụ: chiến lược giao dịch được phát triển giả định rằng 37% tất cả các giao dịch sẽ mang lại lợi nhuận và phần còn lại - 63% - sẽ không có lãi. Đồng thời, thu nhập trung bình từ một giao dịch thành công sẽ là 7 USD và mức lỗ trung bình sẽ là 1,4 USD. Hãy tính toán kỳ vọng toán học của giao dịch bằng hệ thống này:

Nó có nghĩa là gì số đã cho? Nó nói rằng, tuân theo các quy tắc của hệ thống này, trung bình chúng tôi sẽ nhận được 1.708 USD từ mỗi giao dịch đã đóng. Do ước tính hiệu quả thu được lớn hơn 0 nên hệ thống như vậy có thể được sử dụng để công việc thực tế. Nếu kết quả của phép tính là kỳ vọng toán học là âm, thì điều này đã cho thấy mức lỗ trung bình và giao dịch như vậy sẽ dẫn đến hủy hoại.

Số tiền lợi nhuận trên mỗi giao dịch cũng có thể được biểu thị bằng kích thước tương đối dưới dạng %. Ví dụ:

– tỷ lệ phần trăm thu nhập trên 1 giao dịch - 5%;

– tỷ lệ hoạt động giao dịch thành công - 62%;

– tỷ lệ thua lỗ trên 1 giao dịch - 3%;

– tỷ lệ giao dịch không thành công - 38%;

Nghĩa là, giao dịch trung bình sẽ mang lại 1,96%.

Có thể phát triển một hệ thống, mặc dù chiếm ưu thế trong các giao dịch không mang lại lợi nhuận, nhưng sẽ mang lại kết quả tích cực, vì MO > 0.

Tuy nhiên, chỉ chờ đợi thôi là chưa đủ. Rất khó kiếm tiền nếu hệ thống đưa ra rất ít tín hiệu giao dịch. Trong trường hợp này, lợi nhuận của nó sẽ tương đương với lãi suất ngân hàng. Giả sử mỗi hoạt động chỉ tạo ra trung bình 0,5 đô la, nhưng nếu hệ thống bao gồm 1000 hoạt động mỗi năm thì sao? Đây sẽ là một số tiền rất đáng kể trong một thời gian tương đối ngắn. Theo logic này thì điều khác sẽ xảy ra dấu ấn một hệ thống giao dịch tốt có thể được xem xét ngắn hạn nắm giữ các chức vụ.

Nguồn và liên kết

dic.academic.ru – từ điển học thuật trực tuyến

math.ru – trang web giáo dục về toán học

nsu.ru – trang web giáo dục của Đại học bang Novosibirsk

webmath.ru – cổng thông tin giáo dục dành cho sinh viên, người nộp đơn và học sinh.

trang web giáo dục toán học exponta.ru

ru.tradimo.com – miễn phí trường học trực tuyến giao dịch

crypto.hut2.ru – đa ngành nguồn thông tin

poker-wiki.ru – bách khoa toàn thư miễn phí bài bạc

sernam.ru – Thư viện khoa họcấn phẩm khoa học tự nhiên chọn lọc

reshim.su – website CHÚNG TÔI SẼ GIẢI QUYẾT các vấn đề trong bài kiểm tra khóa học

unfx.ru - Forex trên UNFX: đào tạo, tín hiệu giao dịch, quản lý niềm tin

slovopedia.com – Lớn Từ điển bách khoa Tiếng Slovopedia

pokermansion.3dn.ru – Hướng dẫn bạn trong thế giới poker

statanaliz.info – blog thông tin « Phân tích thống kê dữ liệu"

forex-trader.rf – Cổng thông tin Forex-Trader

megafx.ru – phân tích Forex hiện tại

fx-by.com – mọi thứ dành cho nhà giao dịch

Lý thuyết xác suất là một nhánh toán học đặc biệt chỉ được nghiên cứu bởi sinh viên của các cơ sở giáo dục đại học. Bạn có thích tính toán và công thức? Bạn có sợ hãi trước viễn cảnh làm quen với phân bố chuẩn, entropy tổng thể, kỳ vọng toán học và độ phân tán của một biến ngẫu nhiên rời rạc không? Sau đó, chủ đề này sẽ rất thú vị với bạn. Chúng ta hãy xem xét một số điều quan trọng nhất khái niệm cơ bản ngành khoa học này.

Chúng ta hãy nhớ những điều cơ bản

Kể cả khi bạn nhớ nhất khái niệm đơn giản lý thuyết xác suất, đừng bỏ qua đoạn đầu tiên của bài viết. Vấn đề là nếu không hiểu rõ những điều cơ bản, bạn sẽ không thể làm việc với các công thức được thảo luận dưới đây.

Vì vậy, một số sự kiện ngẫu nhiên xảy ra, một số thử nghiệm. Kết quả của những hành động chúng ta thực hiện là chúng ta có thể nhận được một số kết quả - một số kết quả xảy ra thường xuyên hơn, số khác xảy ra ít thường xuyên hơn. Xác suất của một sự kiện là tỷ số giữa số lượng kết quả thực tế thu được của một loại so với tổng số khả thi. Chỉ biết độ nét cổ điển Với khái niệm này, bạn có thể bắt đầu nghiên cứu kỳ vọng toán học và độ phân tán của các biến ngẫu nhiên liên tục.

trung bình số học

Trở lại trường học, trong giờ học toán, bạn bắt đầu làm việc với số trung bình số học. Khái niệm này được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết xác suất và do đó không thể bỏ qua. Điều chính đối với chúng tôi là ngay bây giờ là chúng ta sẽ gặp nó trong các công thức tính kỳ vọng và phân tán toán học của một biến ngẫu nhiên.

Chúng ta có một dãy số và muốn tìm giá trị trung bình số học. Tất cả những gì chúng ta cần là tổng hợp mọi thứ có sẵn và chia cho số phần tử trong chuỗi. Cho các số từ 1 đến 9. Tổng các phần tử sẽ bằng 45 và chúng ta sẽ chia giá trị này cho 9. Trả lời: - 5.

phân tán

Nói ngôn ngữ khoa học, độ phân tán là bình phương trung bình của độ lệch của các giá trị đặc tính thu được so với giá trị trung bình số học. Nó được biểu thị bằng một chữ cái Latinh viết hoa D. Để tính nó cần những gì? Đối với mỗi phần tử của chuỗi, chúng tôi tính toán sự khác biệt giữa số hiện có và giá trị trung bình số học và bình phương nó. Sẽ có chính xác bao nhiêu giá trị có thể có kết quả cho sự kiện mà chúng ta đang xem xét. Tiếp theo, chúng tôi tổng hợp mọi thứ nhận được và chia cho số phần tử trong chuỗi. Nếu chúng ta có năm kết quả có thể xảy ra thì chia cho năm.

Sự phân tán cũng có những đặc tính cần được ghi nhớ để sử dụng khi giải quyết vấn đề. Ví dụ: khi một biến ngẫu nhiên tăng X lần, phương sai sẽ tăng X bình phương lần (tức là X*X). Nó không bao giờ nhỏ hơn 0 và không phụ thuộc vào việc dịch chuyển các giá trị lên hoặc xuống một lượng bằng nhau. Ngoài ra, đối với kiểm tra độc lập phương sai của tổng bằng tổng của các phương sai.

Bây giờ chúng ta chắc chắn cần xem xét các ví dụ về độ phân tán của một biến ngẫu nhiên rời rạc và kỳ vọng toán học.

Giả sử chúng tôi đã thực hiện 21 thử nghiệm và nhận được 7 kết quả khác nhau. Chúng tôi quan sát mỗi người trong số họ lần lượt 1, 2, 2, 3, 4, 4 và 5 lần. Phương sai sẽ bằng bao nhiêu?

Trước tiên, hãy tính trung bình số học: tổng của các phần tử tất nhiên là 21. Chia cho 7, nhận 3. Bây giờ trừ 3 cho mỗi số trong dãy ban đầu, bình phương mỗi giá trị và cộng các kết quả lại với nhau. Kết quả là 12. Bây giờ tất cả những gì chúng ta phải làm là chia số đó cho số phần tử, và có vẻ như chỉ vậy thôi. Nhưng có một nhược điểm! Hãy thảo luận về nó.

Sự phụ thuộc vào số lượng thí nghiệm

Hóa ra khi tính phương sai, mẫu số có thể chứa một trong hai số: N hoặc N-1. Ở đây N là số lượng thí nghiệm được thực hiện hoặc số phần tử trong chuỗi (về cơ bản là giống nhau). Điều này phụ thuộc vào điều gì?

Nếu số lượng bài kiểm tra được đo bằng hàng trăm thì chúng ta phải đặt N vào mẫu số. Nếu tính theo đơn vị thì N-1. Các nhà khoa học quyết định vẽ đường viền khá tượng trưng: ngày nay nó đi qua số 30. Nếu chúng ta tiến hành ít hơn 30 thí nghiệm thì chúng ta sẽ chia số tiền cho N-1, và nếu nhiều hơn thì cho N.

Nhiệm vụ

Hãy quay lại ví dụ của chúng ta về việc giải bài toán phương sai và kỳ vọng toán học. Chúng ta có số trung gian là 12, số này cần được chia cho N hoặc N-1. Vì chúng tôi đã tiến hành 21 thí nghiệm, ít hơn 30 thí nghiệm nên chúng tôi sẽ chọn phương án thứ hai. Vậy câu trả lời là: phương sai là 12/2 = 2.

Kỳ vọng

Hãy chuyển sang khái niệm thứ hai mà chúng ta phải xem xét trong bài viết này. Kỳ vọng toán học là kết quả của việc cộng tất cả các kết quả có thể xảy ra nhân với xác suất tương ứng. Điều quan trọng là phải hiểu rằng giá trị thu được cũng như kết quả tính phương sai chỉ được lấy một lần cho toàn bộ nhiệm vụ, bất kể có bao nhiêu kết quả được xem xét.

Công thức kỳ vọng toán học khá đơn giản: chúng ta lấy kết quả, nhân với xác suất của nó, cộng kết quả tương tự cho kết quả thứ hai, thứ ba, v.v. Mọi thứ liên quan đến khái niệm này không khó tính toán. Ví dụ: tổng các giá trị kỳ vọng bằng giá trị kỳ vọng của tổng. Điều này cũng đúng với công việc. Không phải mọi đại lượng trong lý thuyết xác suất đều cho phép bạn thực hiện các phép tính đơn giản như vậy. Hãy giải bài toán và tính toán ý nghĩa của hai khái niệm mà chúng ta đã nghiên cứu cùng một lúc. Ngoài ra, chúng tôi bị phân tâm bởi lý thuyết - đã đến lúc thực hành.

Một ví dụ khác

Chúng tôi đã tiến hành 50 thử nghiệm và nhận được 10 loại kết quả - các số từ 0 đến 9 - xuất hiện với tỷ lệ phần trăm khác nhau. Lần lượt là: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Hãy nhớ lại rằng để có được xác suất, bạn cần chia các giá trị phần trăm cho 100. Do đó, chúng ta nhận được 0,02; 0,1, v.v. Chúng ta hãy trình bày một ví dụ về giải bài toán phương sai của một biến ngẫu nhiên và kỳ vọng toán học.

Chúng tôi tính toán giá trị trung bình số học bằng cách sử dụng công thức mà chúng tôi nhớ được từ trường trung học cơ sở: 50/10 = 5.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển xác suất thành số kết quả “theo từng phần” để dễ đếm hơn. Chúng ta nhận được 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 và 9. Từ mỗi giá trị thu được, chúng ta trừ đi giá trị trung bình số học, sau đó chúng ta bình phương từng kết quả thu được. Xem cách thực hiện việc này bằng cách sử dụng phần tử đầu tiên làm ví dụ: 1 - 5 = (-4). Tiếp theo: (-4) * (-4) = 16. Đối với các giá trị khác, hãy tự thực hiện các thao tác này. Nếu bạn làm đúng mọi thứ thì sau khi cộng tất cả lại, bạn sẽ nhận được 90.

Hãy tiếp tục tính phương sai và giá trị kỳ vọng bằng cách chia 90 cho N. Tại sao chúng ta chọn N thay vì N-1? Đúng, vì số lượng thí nghiệm được thực hiện vượt quá 30. Vậy: 90/10 = 9. Chúng ta có phương sai. Nếu bạn nhận được một số khác, đừng tuyệt vọng. Rất có thể, bạn đã mắc một lỗi đơn giản trong tính toán. Hãy kiểm tra kỹ những gì bạn đã viết và mọi thứ có thể sẽ đâu vào đấy.

Cuối cùng, hãy nhớ công thức tính kỳ vọng toán học. Chúng tôi sẽ không đưa ra tất cả các phép tính, chúng tôi sẽ chỉ viết câu trả lời mà bạn có thể kiểm tra sau khi hoàn thành tất cả các thủ tục cần thiết. Giá trị kỳ vọng sẽ là 5,48. Chúng ta chỉ nhớ lại cách thực hiện các thao tác, sử dụng các phần tử đầu tiên làm ví dụ: 0*0,02 + 1*0,1..., v.v. Như bạn có thể thấy, chúng tôi chỉ cần nhân giá trị kết quả với xác suất của nó.

Độ lệch

Một khái niệm khác liên quan chặt chẽ đến độ phân tán và kỳ vọng toán học là độ lệch chuẩn. Nó được chỉ định bằng chữ Latinh sd hoặc chữ thường Hy Lạp "sigma". Khái niệm này cho thấy mức độ trung bình của các giá trị lệch khỏi tính năng trung tâm. Để tìm giá trị của nó, bạn cần tính căn bậc hai khỏi sự phân tán.

Nếu bạn âm mưu phân phối bình thường và muốn xem trực tiếp độ lệch vuông, điều này có thể được thực hiện trong một số giai đoạn. Chụp một nửa hình ảnh sang trái hoặc phải của mẫu thời trang ( tầm quan trọng trung tâm), kẻ một đường vuông góc với trục hoành sao cho diện tích các hình thu được bằng nhau. Kích thước của đoạn giữa phần giữa của phân bố và hình chiếu thu được lên trục hoành sẽ biểu thị độ lệch chuẩn.

Phần mềm

Như có thể thấy từ phần mô tả các công thức và các ví dụ được trình bày, tính toán phương sai và kỳ vọng toán học không phải là thủ tục đơn giản nhất theo quan điểm số học. Để không lãng phí thời gian, nên sử dụng chương trình được sử dụng trong giáo dục đại học cơ sở giáo dục- nó tên là "R". Nó có các chức năng cho phép bạn tính toán các giá trị cho nhiều khái niệm từ thống kê và lý thuyết xác suất.

Ví dụ: bạn chỉ định một vectơ giá trị. Việc này được thực hiện như sau:vectơ<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Tóm lại

Sự phân tán và kỳ vọng toán học là những thứ mà nếu không có thì khó có thể tính toán bất cứ điều gì trong tương lai. Trong khóa học chính của các bài giảng tại các trường đại học, chúng đã được thảo luận trong những tháng đầu tiên học môn học này. Chính vì thiếu hiểu biết về những khái niệm đơn giản này và không có khả năng tính toán mà nhiều sinh viên ngay lập tức bị tụt lại phía sau trong chương trình và sau đó bị điểm kém vào cuối buổi học, khiến họ bị tước học bổng.

Luyện tập ít nhất một tuần, nửa giờ mỗi ngày, giải các bài toán tương tự như bài viết này. Sau đó, trong bất kỳ bài kiểm tra nào về lý thuyết xác suất, bạn sẽ có thể giải quyết các ví dụ mà không cần các mẹo và bảng ghi chú không liên quan.

Nhiệm vụ 1. Xác suất nảy mầm của hạt lúa mì là 0,9. Xác suất để trong số 4 hạt được gieo có ít nhất 3 hạt sẽ nảy mầm là bao nhiêu?

Giải pháp. Hãy để sự kiện MỘT– từ 4 hạt sẽ nảy mầm ít nhất 3 hạt; sự kiện TRONG– từ 4 hạt sẽ nảy mầm 3 hạt; sự kiện VỚI– Từ 4 hạt sẽ nảy mầm 4 hạt. Theo định lý cộng xác suất

Xác suất
Và
chúng tôi xác định bằng công thức Bernoulli, áp dụng trong trường hợp sau. Hãy để loạt phim được tổ chức N các thử nghiệm độc lập, trong mỗi thử nghiệm đó xác suất xảy ra sự kiện là không đổi và bằng r và xác suất để sự kiện này không xảy ra là bằng
. Khi đó xác suất để biến cố đó MỘT V. N bài kiểm tra sẽ xuất hiện chính xác lần, được tính bằng công thức Bernoulli

Ở đâu
- số lượng kết hợp của N các yếu tố bởi . Sau đó

Xác suất yêu cầu

Nhiệm vụ 2. Xác suất nảy mầm của hạt lúa mì là 0,9. Tính xác suất để trong số 400 hạt gieo có 350 hạt nảy mầm.

Giải pháp. Tính xác suất cần thiết
việc sử dụng công thức Bernoulli gặp khó khăn do tính toán phức tạp. Do đó, chúng tôi áp dụng công thức gần đúng thể hiện định lý địa phương Laplace:

Ở đâu
Và
.

Từ điều kiện bài toán. Sau đó

Từ bảng 1 của phần phụ lục chúng ta tìm thấy. Xác suất cần thiết là bằng

Nhiệm vụ 3. Hạt lúa mì chứa 0,02% cỏ dại. Xác suất để nếu chọn ngẫu nhiên 10.000 hạt sẽ tìm được 6 hạt cỏ dại là bao nhiêu?

Giải pháp. Ứng dụng định lý địa phương Laplace do xác suất thấp
dẫn đến độ lệch đáng kể của xác suất so với giá trị chính xác
. Vì vậy, ở những giá trị nhỏ rđể tính toán
áp dụng công thức tiệm cận Poisson

, Ở đâu .

Công thức này được sử dụng khi
, và càng ít r và hơn thế nữa N, kết quả càng chính xác.

Theo điều kiện của vấn đề
;
. Sau đó

Nhiệm vụ 4. Tỷ lệ nảy mầm của hạt lúa mì là 90%. Tìm xác suất để trong số 500 hạt gieo có từ 400 đến 440 hạt nảy mầm.

Giải pháp. Nếu xác suất xảy ra một sự kiện MỘT trong mỗi N các bài kiểm tra là không đổi và bằng nhau r, thì xác suất
sự kiện đó MỘT trong những thử nghiệm như vậy sẽ có ít nhất một lần và không còn nữa lần được xác định theo định lý tích phân Laplace theo công thức sau:

, Ở đâu

,
.

Chức năng
gọi là hàm Laplace. Các phụ lục (Bảng 2) đưa ra các giá trị của hàm này cho
. Tại
chức năng
. Đối với giá trị âm X do tính kỳ quặc của hàm Laplace
. Sử dụng hàm Laplace, ta có:

Theo điều kiện của nhiệm vụ. Sử dụng các công thức trên chúng ta tìm thấy
Và :

Nhiệm vụ 5.Định luật phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc được đưa ra X:

Tìm: 1) kỳ vọng toán học; 2) phân tán; 3) độ lệch chuẩn.

Giải pháp. 1) Nếu quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc được cho bởi bảng

Trong đó dòng đầu tiên chứa các giá trị của biến ngẫu nhiên x và dòng thứ hai chứa xác suất của các giá trị này thì kỳ vọng toán học được tính bằng công thức

2) Phương sai
biến ngẫu nhiên rời rạc Xđược gọi là kỳ vọng toán học của độ lệch bình phương của một biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán học của nó, tức là

Giá trị này đặc trưng cho giá trị kỳ vọng trung bình của độ lệch bình phương X từ
. Từ công thức cuối cùng chúng ta có

Phương sai
có thể được tìm thấy theo cách khác, dựa trên tính chất sau của nó: độ phân tán
bằng chênh lệch giữa kỳ vọng toán học của bình phương của biến ngẫu nhiên X và bình phương kỳ vọng toán học của nó
, đó là

Để tính toán
Hãy xây dựng định luật phân bố số lượng sau đây
:

3) Để mô tả sự phân tán các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó, độ lệch chuẩn được đưa ra
biến ngẫu nhiên X, bằng căn bậc hai của phương sai
, đó là

Từ công thức này ta có:

Nhiệm vụ 6. Biến ngẫu nhiên liên tục Xđược đưa ra bởi hàm phân phối tích lũy

Tìm: 1) hàm phân phối vi phân
; 2) kỳ vọng toán học
; 3) phương sai
.

Giải pháp. 1) Hàm phân phối vi phân
biến ngẫu nhiên liên tục Xđược gọi là đạo hàm của hàm phân phối tích lũy
, đó là

Hàm vi phân cần tìm có dạng sau:

2) Nếu một biến ngẫu nhiên liên tục Xđược cho bởi hàm
, thì kỳ vọng toán học của nó được xác định bởi công thức

Kể từ khi chức năng
Tại
và tại
bằng 0, thì từ công thức cuối cùng chúng ta có

3) Phương sai
chúng ta sẽ xác định theo công thức

Nhiệm vụ 7. Chiều dài của bộ phận là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng toán học là 40 mm và độ lệch chuẩn là 3 mm. Tìm: 1) xác suất để chiều dài của một bộ phận được lấy tùy ý sẽ lớn hơn 34 mm và nhỏ hơn 43 mm; 2) xác suất chiều dài của bộ phận sẽ sai lệch so với kỳ vọng toán học của nó không quá 1,5 mm.

Giải pháp. 1) Hãy để X- chiều dài của phần Nếu biến ngẫu nhiên Xđược cho bởi hàm vi phân
, thì xác suất để X sẽ lấy các giá trị thuộc phân khúc
, được xác định bởi công thức