CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI CỦA CHÚNG.

Ngẫu nhiên Họ gọi một đại lượng nhận các giá trị tùy thuộc vào sự kết hợp của các trường hợp ngẫu nhiên. Phân biệt rời rạc và ngẫu nhiên liên tục số lượng.

rời rạc Một đại lượng được gọi nếu nó chứa một tập hợp các giá trị đếm được. ( Ví dụ: số lượng bệnh nhân tại cuộc hẹn với bác sĩ, số lượng chữ cái trên một trang, số lượng phân tử trong một tập nhất định).

liên tục là đại lượng có thể nhận các giá trị trong một khoảng nhất định. ( Ví dụ: nhiệt độ không khí, trọng lượng cơ thể, chiều cao của con người, v.v.)

Luật phân phối Biến ngẫu nhiên là tập hợp các giá trị có thể có của biến này và tương ứng với các giá trị này là xác suất (hoặc tần suất xuất hiện).

VÍ DỤ:

Đặc tính số của các biến ngẫu nhiên.

Trong nhiều trường hợp, cùng với việc phân phối một biến ngẫu nhiên hoặc thay vì biến ngẫu nhiên, thông tin về các đại lượng này có thể được cung cấp bằng các tham số số gọi là đặc tính số của một biến ngẫu nhiên . Phổ biến nhất trong số họ:

1 .Kỳ vọng - (giá trị trung bình) của một biến ngẫu nhiên là tổng tích của tất cả các giá trị có thể có của nó và xác suất của các giá trị này:

2 .phân tán biến ngẫu nhiên:

3 .Độ lệch chuẩn :

Quy tắc “BA SIGMA” - nếu một biến ngẫu nhiên được phân phối theo quy luật chuẩn tắc thì độ lệch của giá trị này so với giá trị trung bình trong giá trị tuyệt đối không vượt quá ba lần độ lệch chuẩn

Định luật Gauss - định luật phân phối chuẩn

Thường có số lượng được phân phối trên luật thông thường (định luật Gauss). Tính năng chính : đó là luật giới hạn mà các luật phân phối khác tiếp cận.

Một biến ngẫu nhiên được phân phối tuân theo luật chuẩn nếu nó mật độ xác suất có dạng:

M(X) - kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên;

 - độ lệch chuẩn.

Mật độ xác suất (hàm phân phối) cho thấy xác suất được gán cho một khoảng thay đổi như thế nào dx biến ngẫu nhiên, tùy thuộc vào giá trị của biến đó:

Các khái niệm cơ bản của thống kê toán học

Thống kê toán học - một nhánh của toán học ứng dụng liền kề với lý thuyết xác suất. Sự khác biệt chính giữa thống kê toán học và lý thuyết xác suất là thống kê toán học không xem xét các hành động theo quy luật phân phối và đặc tính số của các biến ngẫu nhiên, mà là các phương pháp gần đúng để tìm ra các quy luật và đặc tính số này dựa trên kết quả thí nghiệm.

Các khái niệm cơ bản thống kê toán học là:

Dân số nói chung;

vật mẫu;

loạt biến thể;

thời trang;

trung vị;

phần trăm,

dải tần số,

biểu đồ.

Dân số - một quần thể thống kê lớn từ đó một phần của đối tượng nghiên cứu được chọn

(Ví dụ: toàn bộ dân số trong khu vực, sinh viên đại học của một thành phố nhất định, v.v.)

Mẫu (dân số mẫu) - một tập hợp các đối tượng được chọn từ tổng thể.

Chuỗi biến thể - phân phối thống kê bao gồm các biến thể (giá trị của một biến ngẫu nhiên) và tần số tương ứng của chúng.

Ví dụ:

X , kg

tôi

x - giá trị của biến ngẫu nhiên (cân nặng của bé gái 10 tuổi);

tôi - tần suất xuất hiện.

Thời trang – giá trị của biến ngẫu nhiên tương ứng với tần suất xuất hiện cao nhất. (Trong ví dụ trên, thời trang tương ứng với giá trị 24 kg, nó phổ biến hơn các thời trang khác: m = 20).

trung bình – giá trị của một biến ngẫu nhiên chia phân phối thành một nửa: một nửa các giá trị nằm ở bên phải của trung vị, một nửa (không hơn) - ở bên trái.

Ví dụ:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

Trong ví dụ chúng ta quan sát 40 giá trị của biến ngẫu nhiên. Tất cả các giá trị được sắp xếp theo thứ tự tăng dần, có tính đến tần suất xuất hiện của chúng. Bạn có thể thấy rằng ở bên phải giá trị được đánh dấu 7 là 20 (một nửa) trong số 40 giá trị. Vì vậy, 7 là trung vị.

Để mô tả sự phân tán, chúng ta sẽ tìm các giá trị không cao hơn 25 và 75% kết quả đo. Các giá trị này được gọi là thứ 25 và 75 phần trăm . Nếu trung vị chia phân phối làm đôi thì phần trăm thứ 25 và 75 bị cắt đi một phần tư. (Nhân tiện, bản thân điểm trung vị có thể được coi là phân vị thứ 50.) Như có thể thấy từ ví dụ, phân vị thứ 25 và 75 tương ứng bằng 3 và 8.

Sử dụng rời rạc (điểm) phân phối thống kê và liên tục (khoảng) phân phối thống kê.

Để rõ ràng, phân phối thống kê được mô tả bằng đồ họa dưới dạng dải tần số hoặc - biểu đồ .

Đa giác tần số - một đường đứt nét, các đoạn nối các điểm với tọa độ ( x 1 , tôi 1 ), (x 2 , tôi 2 ), ..., hoặc cho đa giác tần số tương đối – có tọa độ ( x 1 ,P * 1 ), (x 2 ,P * 2 ), ...(Hình 1).

tôitôi Tôi / Nf(x)

x x

Hình 1 Hình 2

biểu đồ tần số - một tập hợp các hình chữ nhật liền kề được xây dựng trên một đường thẳng (Hình 2), các đáy của các hình chữ nhật bằng nhau và bằng nhau dx và độ cao bằng tỉ số giữa tần số và dx , hoặc r * ĐẾN dx (mật độ xác suất).

Ví dụ:

x, kg

Khi giải nhiều bài toán thực tế, không phải lúc nào cũng cần mô tả đầy đủ đặc tính của một biến ngẫu nhiên, tức là xác định quy luật phân phối. Ngoài ra, việc xây dựng hàm hoặc chuỗi phân phối cho một biến ngẫu nhiên rời rạc và mật độ cho một biến ngẫu nhiên liên tục là cồng kềnh và không cần thiết.

Đôi khi chỉ cần chỉ ra các tham số số riêng lẻ mô tả một phần các đặc điểm của phân bố là đủ. Cần phải biết một số giá trị trung bình của từng biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị có thể có của nó được nhóm lại hoặc mức độ phân tán của các giá trị này so với giá trị trung bình, v.v.

Các đặc điểm của các tính năng quan trọng nhất của phân phối được gọi là đặc điểm số biến ngẫu nhiên. Với sự giúp đỡ của họ, việc giải quyết nhiều vấn đề xác suất sẽ dễ dàng hơn mà không cần xác định luật phân phối cho chúng.

Đặc điểm quan trọng nhất của vị trí của biến ngẫu nhiên trên trục số là kỳ vọng toán học M[X]= một,đôi khi được gọi là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên. Vì biến ngẫu nhiên rời rạc X với giá trị có thể x 1 , x 2 , … , xn và xác suất P 1 , P 2 ,… , p n nó được xác định bởi công thức

Xét rằng =1, chúng ta có thể viết

Như vậy, kỳ vọng toán học Một biến ngẫu nhiên rời rạc là tổng các tích của các giá trị có thể có và xác suất của chúng. Với số lượng thử nghiệm lớn, giá trị trung bình số học của các giá trị quan sát được của một biến ngẫu nhiên sẽ đạt đến kỳ vọng toán học của nó.

Vì biến ngẫu nhiên liên tục X kỳ vọng toán học được xác định không phải bởi tổng, mà tích phân

Ở đâu f(x) - mật độ phân bổ số lượng X.

Kỳ vọng toán học không tồn tại đối với tất cả các biến ngẫu nhiên. Đối với một số trong số chúng, tổng hoặc tích phân phân kỳ và do đó không có kỳ vọng toán học. Trong những trường hợp này, vì lý do chính xác, nên hạn chế phạm vi thay đổi có thể có của biến ngẫu nhiên. X, mà tổng hoặc tích phân sẽ hội tụ.

Trong thực tế, các đặc điểm về vị trí của biến ngẫu nhiên như mode và trung vị cũng được sử dụng.

Chế độ biến ngẫu nhiêngiá trị có thể xảy ra nhất của nó được gọi. Nói chung, phương thức và kỳ vọng toán học không trùng nhau.

Trung vị của một biến ngẫu nhiênX là giá trị của nó mà có khả năng nhận được giá trị lớn hơn hoặc nhỏ hơn của biến ngẫu nhiên như nhau, tức là đây là trục hoành của điểm mà tại đó diện tích được giới hạn bởi đường cong phân phối được chia làm đôi. Đối với phân bố đối xứng, cả ba đặc điểm đều giống nhau.

Ngoài kỳ vọng toán học, mode và trung vị, các đặc tính khác cũng được sử dụng trong lý thuyết xác suất, mỗi đặc tính mô tả một thuộc tính cụ thể của phân bố. Ví dụ: các đặc điểm số đặc trưng cho độ phân tán của một biến ngẫu nhiên, tức là cho thấy các giá trị có thể có của nó được nhóm chặt chẽ như thế nào xung quanh kỳ vọng toán học, là độ phân tán và độ lệch chuẩn. Chúng bổ sung đáng kể cho biến ngẫu nhiên, vì trong thực tế thường có các biến ngẫu nhiên có kỳ vọng toán học bằng nhau nhưng có phân phối khác nhau. Khi xác định đặc tính phân tán sử dụng sai phân giữa biến ngẫu nhiên X và kỳ vọng toán học của nó, tức là

Ở đâu MỘT = M[X] - kỳ vọng toán học.

Sự khác biệt này được gọi là biến ngẫu nhiên tập trung, giá trị tương ứng X, và được chỉ định :

Phương sai của một biến ngẫu nhiên là kỳ vọng toán học của độ lệch bình phương của một giá trị so với kỳ vọng toán học của nó, tức là:

Đ[ X]=M[( X-a) 2], hoặc

Đ[ X]=M[ 2 ].

Sự phân tán của một biến ngẫu nhiên là một đặc tính thuận tiện của sự phân tán và phân tán các giá trị của một biến ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng toán học của nó. Tuy nhiên, nó không trực quan vì nó có kích thước bằng bình phương của một biến ngẫu nhiên.

Để mô tả trực quan sự phân tán, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng giá trị có thứ nguyên trùng với thứ nguyên của biến ngẫu nhiên. Số lượng này là độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên, là căn bậc hai dương của phương sai của nó.

Kỳ vọng, mode, trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn - các đặc tính số được sử dụng phổ biến nhất của biến ngẫu nhiên. Khi giải các bài toán thực tế, khi không thể xác định được quy luật phân bố, việc mô tả gần đúng một biến ngẫu nhiên là các đặc tính số của nó, biểu thị một số tính chất của phân bố.

Ngoài các đặc điểm chính về phân bố trung tâm (kỳ vọng toán học) và độ phân tán (phân tán), người ta thường phải mô tả các đặc điểm quan trọng khác của phân bố - sự đối xứng Và sự nhọn, có thể được biểu diễn bằng cách sử dụng các khoảnh khắc phân phối.

Sự phân bố của một biến ngẫu nhiên được xác định hoàn toàn nếu biết tất cả các khoảnh khắc của nó. Tuy nhiên, nhiều phân phối có thể được mô tả hoàn toàn bằng cách sử dụng bốn khoảnh khắc đầu tiên, đây không chỉ là các tham số mô tả phân phối mà còn rất quan trọng trong việc lựa chọn phân phối theo kinh nghiệm, tức là bằng cách tính các giá trị số của các khoảnh khắc cho một thống kê nhất định chuỗi và sử dụng các đồ thị đặc biệt, bạn có thể xác định luật phân phối.

Trong lý thuyết xác suất, khoảnh khắc có hai loại được phân biệt: ban đầu và trung tâm.

Thời điểm ban đầu của bậc thứ k biến ngẫu nhiên Tđược gọi là kỳ vọng toán học của đại lượng Xk, tức là

Do đó, đối với một biến ngẫu nhiên rời rạc, nó được biểu thị bằng tổng

và cho liên tục - bằng tích phân

Trong số các mômen ban đầu của một biến ngẫu nhiên, mômen cấp một, là kỳ vọng toán học, có tầm quan trọng đặc biệt. Những khoảnh khắc ban đầu bậc cao hơn được sử dụng chủ yếu để tính toán những khoảnh khắc trung tâm.

Momen tâm bậc k biến ngẫu nhiên là kỳ vọng toán học của giá trị ( X - M [X])k

Ở đâu MỘT = M[X].

Đối với một biến ngẫu nhiên rời rạc, nó được biểu thị bằng tổng

MỘT cho liên tục – bằng tích phân

Trong số những khoảnh khắc trung tâm của một biến ngẫu nhiên, có tầm quan trọng đặc biệt là khoảnh khắc trung tâm bậc hai,đại diện cho phương sai của biến ngẫu nhiên.

Momen trung tâm bậc một luôn bằng 0.

Thời điểm bắt đầu thứ bađặc trưng cho tính bất đối xứng (độ lệch) của phân bố và dựa trên kết quả quan sát các biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục, được xác định bằng các biểu thức tương ứng:

Vì nó có kích thước bằng một khối lập phương biến ngẫu nhiên nên để có được đặc tính không thứ nguyên, m 3 chia cho độ lệch chuẩn lũy thừa bậc ba

Giá trị kết quả được gọi là hệ số bất đối xứng và tùy theo dấu, đặc trưng cho giá trị dương ( BẰNG> 0) hoặc âm ( BẰNG< 0) độ lệch của phân phối (Hình 2.3).

“Đơn vị đo đại lượng vật lý” - Sai số tuyệt đối bằng một nửa giá trị chia của thiết bị đo. Micromet. Kết quả thu được trực tiếp bằng thiết bị đo. Chiều dài hộp: 4 cm khi thiếu, 5 cm khi thừa. Mỗi đại lượng vật lý đều có đơn vị đo tương ứng. Đồng hồ. Lỗi tương đối.

“Giá trị độ dài” - 2. Những đại lượng nào có thể so sánh với nhau: 2. Giải thích tại sao bài toán sau được giải bằng phép cộng: 2. Chứng minh sự lựa chọn hành động khi giải bài toán. Bạn đã nhận được bao nhiêu gói? Có bao nhiêu cây bút trong ba hộp này? Những chiếc váy được làm từ 12 m vải, mỗi chiếc dài 4 m.

“Các đại lượng vật lý” - Ranh giới ngăn cách vật lý và các ngành khoa học tự nhiên khác là tùy ý về mặt lịch sử. Kết quả của bất kỳ phép đo nào luôn có một số lỗi. Chủ đề mới. Tốc độ. Sự tương tác của cơ thể. Các định luật vật lý được trình bày dưới dạng các mối quan hệ định lượng được thể hiện bằng ngôn ngữ toán học. Lỗi đo lường.

“Số qua thước đo đại lượng” - “Số qua thước đo đại lượng” bài toán lớp 1. Đo độ dài của một đoạn bằng thước đo.

“Số và đại lượng” - Giới thiệu khái niệm khối lượng. So sánh khối lượng khi không đo. Đánh số bằng chữ La Mã. Dung tích. Học sinh sẽ học: Số và đại lượng (30 giờ) Tia tọa độ Khái niệm về tia tọa độ. Dự kiến ​​kết quả môn học phần “Số và Đại lượng” ở lớp 2. Nguyên tắc chung của việc hình thành các số đếm trong giới hạn của các số đã nghiên cứu.

“Lượng cầu” - Lý do thay đổi nhu cầu. Đường cong DD thu được trên biểu đồ (từ nhu cầu tiếng Anh - “nhu cầu”) được gọi là đường cầu. Nhu cầu co giãn (Epd>1). Số lượng nhu cầu. Các yếu tố ảnh hưởng đến nhu cầu. Sự phụ thuộc của lượng cầu vào mức giá được gọi là quy mô cầu. Cầu hoàn toàn không co giãn (Epd=0).

71, Đặc tính số của biến ngẫu nhiênđược sử dụng rộng rãi trong thực tế để tính toán các chỉ số độ tin cậy. Trong nhiều vấn đề thực tế, không cần thiết phải mô tả đầy đủ, đầy đủ đặc tính của một biến ngẫu nhiên. Thông thường, chỉ cần chỉ ra các tham số số ở một mức độ nào đó mô tả các đặc điểm cơ bản của phân bố một biến ngẫu nhiên, ví dụ: giá trị trung bình , xung quanh đó các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên được nhóm lại; một số đặc trưng cho sự phân tán của một biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình, v.v. Các tham số số cho phép biểu diễn dưới dạng nén những đặc điểm quan trọng nhất của biến ngẫu nhiên được gọi là đặc tính số của biến ngẫu nhiên.

MỘT) b)

Cơm. 11 Định nghĩa kỳ vọng toán học

Các đặc tính số của các biến ngẫu nhiên được sử dụng trong lý thuyết độ tin cậy được đưa ra trong Bảng. 1.

72,Kỳ vọng toán học(giá trị trung bình) của một biến ngẫu nhiên liên tục có các giá trị có thể thuộc khoảng , là tích phân xác định (Hình 11, b)

. (26)

Kỳ vọng toán học có thể được biểu diễn thông qua phần bù của hàm tích phân. Để làm điều này, chúng ta thay (11) vào (26) và tích phân biểu thức thu được theo từng phần

, (27)

bởi vì Và , Cái đó

. (28)

Đối với các biến ngẫu nhiên không âm có giá trị có thể thuộc khoảng , công thức (28) có dạng

. (29)

tức là kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên không âm có các giá trị có thể thuộc về khoảng , bằng số với diện tích bên dưới đồ thị phần bù của hàm tích phân (Hình 11, MỘT).

73, Thời gian trung bình đến khi hỏng lần đầu theo thông tin thống kêđược xác định bởi công thức

, (30)

đâu là lúc dẫn đến thất bại đầu tiên Tôi- đối tượng thứ; N- số lượng đối tượng được kiểm tra.

Tài nguyên trung bình, thời gian sử dụng trung bình, thời gian phục hồi trung bình và thời hạn sử dụng trung bình được xác định tương tự.

74, Sự phân tán của một biến ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng toán học của nóđánh giá bằng cách sử dụng phương sai độ lệch chuẩn(RMS) và hệ số biến thiên.

Phương sai của biến ngẫu nhiên liên tục X là kỳ vọng toán học của độ lệch bình phương của biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán học của nó và được tính bằng công thức

. (31)

phân tán có thứ nguyên của một biến ngẫu nhiên bình phương, điều này không phải lúc nào cũng thuận tiện.

75, Độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên là căn bậc hai của phương sai và có thứ nguyên của biến ngẫu nhiên

. (32)

76,Hệ số biến thiên là một chỉ báo tương đối về độ phân tán của một biến ngẫu nhiên và được định nghĩa là tỷ lệ giữa độ lệch chuẩn với kỳ vọng toán học

. (33)

77, Gamma - giá trị phần trăm của một biến ngẫu nhiên- giá trị của một biến ngẫu nhiên tương ứng với một xác suất nhất định rằng biến ngẫu nhiên sẽ nhận giá trị lớn hơn ,

. (34)

78. Gamma - giá trị phần trăm của một biến ngẫu nhiên có thể được xác định bằng hàm tích phân, hàm bù và hàm vi phân của nó (Hình 12). Giá trị phần trăm gamma của một biến ngẫu nhiên là một phân vị xác suất (Hình 12, MỘT)

. (35)

Trong lý thuyết độ tin cậy nó được sử dụng giá trị phần trăm gamma của tài nguyên, thời hạn sử dụng và thời hạn sử dụng(Bảng 1). Tỷ lệ phần trăm gamma là tài nguyên, thời gian sử dụng, thời hạn sử dụng, có (và vượt quá) phần trăm đối tượng thuộc một loại nhất định.

MỘT) b)

Hình 12 Xác định giá trị phần trăm gamma của một biến ngẫu nhiên

Tài nguyên phần trăm gammađặc trưng độ bềnở mức đã chọn xác suất không bị phá hủy. Tài nguyên phần trăm gamma được chỉ định có tính đến trách nhiệm của các đối tượng. Ví dụ, đối với vòng bi, tuổi thọ sử dụng 90% thường được sử dụng nhiều nhất; đối với vòng bi của các đối tượng quan trọng nhất, tuổi thọ sử dụng là 95% hoặc cao hơn được chọn, đưa tuổi thọ này lên gần 100% nếu hỏng hóc gây nguy hiểm đến tính mạng con người. .

79,Trung vị của biến ngẫu nhiên là giá trị phần trăm gamma của nó tại . Đối với trung vị cũng có khả năng là biến ngẫu nhiên sẽ T nhiều hơn hoặc ít hơn nó, tức là .

Về mặt hình học, đường trung tuyến là hoành độ của giao điểm của hàm phân bố tích phân và phần bù của nó (Hình 12, b). Trung vị có thể được hiểu là trục hoành của điểm mà tại đó tọa độ của hàm vi phân chia đôi diện tích được giới hạn bởi đường cong phân phối (Hình 12, V.).

Giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên được sử dụng trong lý thuyết độ tin cậy như một đặc tính số của tài nguyên, thời hạn sử dụng và thời hạn sử dụng (Bảng 1).

Có sự kết nối chức năng giữa các chỉ số độ tin cậy của các đối tượng. Kiến thức về một trong các chức năng
cho phép bạn xác định các chỉ số độ tin cậy khác. Tóm tắt mối quan hệ giữa các chỉ số độ tin cậy được đưa ra trong Bảng. 2.

Bảng 2. Mối quan hệ chức năng giữa các chỉ số độ tin cậy