Trích xuất rễ: phương pháp, ví dụ, giải pháp. Chuyển từ căn sang lũy ​​thừa và ngược lại, ví dụ, cách giải Cách giải ví dụ với lũy thừa và lũy thừa

Đã đến lúc sắp xếp nó ra phương pháp chiết xuất rễ. Chúng dựa trên các tính chất của nghiệm, đặc biệt là dựa trên đẳng thức, điều này đúng với mọi số không âm b.

Dưới đây chúng ta sẽ xem xét từng phương pháp chính để chiết xuất rễ.

Hãy bắt đầu với trường hợp đơn giản nhất - trích xuất căn từ các số tự nhiên bằng cách sử dụng bảng bình phương, bảng hình khối, v.v.

Nếu các bảng hình vuông, hình khối, v.v... Nếu bạn không có nó trong tay, sẽ hợp lý khi sử dụng phương pháp trích xuất gốc, bao gồm việc phân tách số căn thành thừa số nguyên tố.

Điều đáng đặc biệt cần đề cập là những gì có thể xảy ra đối với các nghiệm có số mũ lẻ.

Cuối cùng, hãy xem xét một phương pháp cho phép chúng ta tìm tuần tự các chữ số của giá trị gốc.

Bắt đầu nào.

Sử dụng bảng hình vuông, bảng hình khối, v.v.

Trong những trường hợp đơn giản nhất, các bảng hình vuông, hình khối, v.v. cho phép bạn trích xuất các căn. Những bảng này là gì?

Bảng bình phương các số nguyên từ 0 đến 99 (hiển thị bên dưới) bao gồm hai vùng. Vùng đầu tiên của bảng nằm trên nền màu xám; bằng cách chọn một hàng và một cột cụ thể, nó cho phép bạn soạn một số từ 0 đến 99. Ví dụ: hãy chọn một hàng gồm 8 chục và một cột gồm 3 đơn vị, với điều này chúng tôi đã cố định số 83. Khu vực thứ hai chiếm phần còn lại của bảng. Mỗi ô nằm ở giao điểm của một hàng nhất định và một cột nhất định và chứa bình phương của số tương ứng từ 0 đến 99. Tại giao điểm của hàng 8 chục và cột 3 hàng đơn vị đã chọn của chúng ta có một ô có số 6,889, là bình phương của số 83.

Bảng hình lập phương, bảng lũy ​​thừa bậc 4 của các số từ 0 đến 99, v.v., tương tự như bảng bình phương, chỉ khác là chúng chứa các hình lập phương, lũy thừa thứ tư, v.v. ở vùng thứ hai. số tương ứng.

Bảng hình vuông, hình khối, lũy thừa bậc bốn, v.v. cho phép bạn trích xuất căn bậc hai, căn bậc ba, căn bậc bốn, v.v. tương ứng từ các con số trong các bảng này. Hãy để chúng tôi giải thích nguyên tắc sử dụng của chúng khi chiết xuất rễ.

Giả sử chúng ta cần trích xuất căn bậc n của số a, trong khi số a nằm trong bảng lũy ​​thừa thứ n. Sử dụng bảng này chúng ta tìm được số b sao cho a=b n. Sau đó , do đó, số b sẽ là nghiệm mong muốn của bậc n.

Ví dụ: hãy trình bày cách sử dụng bảng khối để trích xuất căn bậc ba của 19.683. Ta tìm số 19.683 trong bảng lập phương, từ đó ta thấy số này là lập phương của số 27, do đó, .

Rõ ràng là các bảng lũy ​​thừa bậc n rất thuận tiện cho việc rút ra nghiệm. Tuy nhiên, chúng thường không có sẵn và việc biên soạn chúng cần một chút thời gian. Hơn nữa, thường cần phải trích rút các nghiệm từ các số không có trong các bảng tương ứng. Trong những trường hợp này, bạn phải dùng đến các phương pháp chiết gốc khác.

Phân tích số căn thành thừa số nguyên tố

Một cách khá thuận tiện để trích xuất căn nguyên của một số tự nhiên (tất nhiên nếu căn nguyên được trích xuất) là phân tách số căn thành thừa số nguyên tố. Của anh ấy vấn đề là thế này: sau đó, khá dễ dàng để biểu diễn nó dưới dạng lũy ​​thừa với số mũ mong muốn, điều này cho phép bạn thu được giá trị gốc. Hãy làm rõ điểm này.

Lấy căn bậc n của một số tự nhiên a và giá trị của nó bằng b. Trong trường hợp này, đẳng thức a=b n là đúng. Số b, giống như bất kỳ số tự nhiên nào, có thể được biểu diễn dưới dạng tích của tất cả các thừa số nguyên tố p 1 , p 2 , …, p m ở dạng p 1 ·p 2 ·…·p m , và số căn a trong trường hợp này được biểu diễn dưới dạng (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Vì việc phân tách một số thành thừa số nguyên tố là duy nhất nên việc phân tách số căn a thành thừa số nguyên tố sẽ có dạng (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, giúp tính được giá trị của căn thức BẰNG.

Lưu ý rằng nếu phép phân tách thành thừa số nguyên tố của một số căn a không thể biểu diễn dưới dạng (p 1 ·p 2 ·…·p m) n thì căn bậc n của số a đó không được trích xuất hoàn toàn.

Hãy tìm ra điều này khi giải các ví dụ.

Ví dụ.

Lấy căn bậc hai của 144.

Giải pháp.

Nếu nhìn vào bảng bình phương ở đoạn trước, bạn có thể thấy rõ rằng 144 = 12 2, từ đó rõ ràng căn bậc hai của 144 bằng 12.

Nhưng xét về điểm này, chúng ta quan tâm đến cách rút ra nghiệm bằng cách phân tích căn số 144 thành thừa số nguyên tố. Hãy nhìn vào giải pháp này.

Hãy phân hủy 144 đến thừa số nguyên tố:

Nghĩa là, 144=2·2·2·2·3·3. Dựa trên sự phân hủy kết quả, các phép biến đổi sau có thể được thực hiện: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Kể từ đây, .

Sử dụng các tính chất của bậc và các tính chất của nghiệm, nghiệm có thể được xây dựng hơi khác một chút: .

Trả lời:

Để củng cố tài liệu, hãy xem xét các giải pháp cho hai ví dụ nữa.

Ví dụ.

Tính giá trị gốc.

Giải pháp.

Phân tích thừa số nguyên tố của căn số 243 có dạng 243=3 5 . Như vậy, .

Trả lời:

Ví dụ.

Giá trị gốc có phải là số nguyên không?

Giải pháp.

Để trả lời câu hỏi này, hãy phân tích số căn thức thành thừa số nguyên tố và xem liệu nó có thể được biểu diễn dưới dạng lập phương của một số nguyên hay không.

Chúng ta có 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Việc khai triển kết quả không thể được biểu diễn dưới dạng lập phương của một số nguyên, vì lũy thừa của thừa số nguyên tố 7 không phải là bội số của ba. Do đó, căn bậc ba của 285.768 không thể được trích xuất hoàn toàn.

Trả lời:

KHÔNG.

Trích xuất gốc từ số phân số

Đã đến lúc tìm ra cách trích xuất gốc của một số phân số. Gọi số căn bậc hai được viết là p/q. Theo tính chất nghiệm của thương, đẳng thức sau đây đúng. Từ sự bình đẳng này suy ra quy tắc rút căn của phân số: Căn thức của một phân số bằng thương của căn của tử số chia cho căn của mẫu số.

Hãy xem một ví dụ về việc rút ra nghiệm từ một phân số.

Ví dụ.

Căn bậc hai của phân số chung 25/169 là bao nhiêu?

Giải pháp.

Sử dụng bảng bình phương, ta thấy căn bậc hai của tử số của phân số ban đầu bằng 5 và căn bậc hai của mẫu số bằng 13. Sau đó . Điều này hoàn thành việc trích xuất gốc của phân số chung 25/169.

Trả lời:

Căn nguyên của một phân số thập phân hoặc hỗn số được rút ra sau khi thay thế số căn bằng phân số thông thường.

Ví dụ.

Lấy căn bậc ba của phân số thập phân 474,552.

Giải pháp.

Hãy tưởng tượng phân số thập phân ban đầu là phân số thông thường: 474,552=474552/1000. Sau đó . Nó vẫn còn để trích xuất các căn bậc ba nằm trong tử số và mẫu số của phân số kết quả. Bởi vì 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 và 1 000 = 10 3 thì Và . Tất cả những gì còn lại là hoàn thành các tính toán .

Trả lời:

.

Lấy căn của số âm

Rất đáng để tập trung vào việc rút ra các nghiệm từ số âm. Khi nghiên cứu căn, chúng ta đã nói rằng khi số mũ căn là số lẻ thì dưới dấu căn có thể có số âm. Chúng tôi đặt cho những mục này ý nghĩa như sau: đối với số âm −a và số mũ lẻ của căn 2 n−1, . Sự bình đẳng này mang lại quy tắc rút căn lẻ từ số âm: để trích căn của một số âm, bạn cần lấy căn của số dương đối diện và đặt dấu trừ trước kết quả.

Hãy xem giải pháp ví dụ.

Ví dụ.

Tìm giá trị của gốc.

Giải pháp.

Hãy biến đổi biểu thức ban đầu để có một số dương dưới dấu căn: . Bây giờ thay thế hỗn số bằng một phân số thông thường: . Ta áp dụng quy tắc rút căn của một phân số thông thường: . Vẫn còn phải tính các gốc trong tử số và mẫu số của phân số kết quả: .

Dưới đây là một bản tóm tắt ngắn gọn về giải pháp: .

Trả lời:

.

Xác định bitwise của giá trị gốc

Trong trường hợp tổng quát, dưới gốc có một số mà khi sử dụng các kỹ thuật đã thảo luận ở trên thì không thể biểu diễn dưới dạng lũy ​​thừa bậc n của bất kỳ số nào. Nhưng trong trường hợp này cần phải biết ý nghĩa của một gốc nhất định, ít nhất là ở một dấu hiệu nhất định. Trong trường hợp này, để trích xuất gốc, bạn có thể sử dụng thuật toán cho phép bạn tuần tự lấy đủ số giá trị chữ số của số mong muốn.

Bước đầu tiên của thuật toán này là tìm ra bit quan trọng nhất của giá trị gốc là gì. Để làm được điều này, các số 0, 10, 100, ... được tuần tự nâng lên lũy thừa n cho đến khi thu được một số vượt quá số căn. Khi đó số mà chúng ta lũy thừa n ở bước trước sẽ chỉ ra chữ số có nghĩa lớn nhất tương ứng.

Ví dụ, hãy xem xét bước này của thuật toán khi trích căn bậc hai của 5. Lấy các số 0, 10, 100, ... và bình phương chúng cho đến khi chúng ta nhận được số lớn hơn 5. Chúng ta có 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, nghĩa là chữ số có nghĩa lớn nhất sẽ là chữ số hàng đơn vị. Giá trị của bit này cũng như các giá trị thấp hơn sẽ được tìm thấy trong các bước tiếp theo của thuật toán trích xuất gốc.

Tất cả các bước tiếp theo của thuật toán đều nhằm mục đích làm rõ tuần tự giá trị của gốc bằng cách tìm giá trị của các bit tiếp theo của giá trị mong muốn của gốc, bắt đầu từ giá trị cao nhất và di chuyển đến giá trị thấp nhất. Ví dụ: giá trị của gốc ở bước đầu tiên hóa ra là 2, ở bước thứ hai – 2,2, ở bước thứ ba – 2,23, v.v. 2.236067977…. Hãy để chúng tôi mô tả cách tìm thấy các giá trị của bit.

Các chữ số được tìm thấy bằng cách tìm kiếm thông qua các giá trị có thể có của chúng là 0, 1, 2, ..., 9. Trong trường hợp này, lũy thừa bậc n của các số tương ứng được tính song song và chúng được so sánh với số căn. Nếu ở một giai đoạn nào đó, giá trị của độ vượt quá số căn, thì giá trị của chữ số tương ứng với giá trị trước đó sẽ được coi là đã tìm thấy và việc chuyển sang bước tiếp theo của thuật toán trích xuất gốc sẽ được thực hiện nếu điều này không xảy ra; thì giá trị của chữ số này là 9.

Hãy để chúng tôi giải thích những điểm này bằng cách sử dụng cùng một ví dụ về việc lấy căn bậc hai của 5.

Đầu tiên ta tìm giá trị của chữ số hàng đơn vị. Chúng ta sẽ lần lượt đi qua các giá trị 0, 1, 2, ..., 9, tính 0 2, 1 2, ..., 9 2 cho đến khi thu được giá trị lớn hơn căn số 5. Thật thuận tiện để trình bày tất cả các tính toán này dưới dạng bảng:

Vậy giá trị của chữ số hàng đơn vị là 2 (vì 2 2<5 , а 2 3 >5 ). Hãy chuyển sang tìm giá trị của vị trí phần mười. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ bình phương các số 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, so sánh các giá trị thu được với căn số 5:

Kể từ 2,2 2<5 , а 2,3 2 >5 thì giá trị của vị trí thứ mười là 2. Bạn có thể tiến hành tìm giá trị của vị trí hàng trăm:

Đây là cách tìm ra giá trị tiếp theo của căn bậc 5, nó bằng 2,23. Và vì vậy bạn có thể tiếp tục tìm thấy các giá trị: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Để củng cố tài liệu, chúng tôi sẽ phân tích việc trích xuất gốc với độ chính xác hàng trăm bằng thuật toán được xem xét.

Đầu tiên chúng ta xác định chữ số có ý nghĩa nhất. Để làm điều này, chúng ta lập phương các số 0, 10, 100, v.v. cho đến khi chúng ta nhận được số lớn hơn 2.151.186. Chúng ta có 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , vậy chữ số có ý nghĩa lớn nhất là chữ số hàng chục.

Hãy xác định giá trị của nó.

Kể từ ngày 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186 thì giá trị hàng chục là 1. Hãy chuyển sang đơn vị.

Vậy giá trị của chữ số hàng đơn vị là 2. Hãy chuyển sang phần mười.

Vì số chẵn 12,9 3 nhỏ hơn số căn 2 151,186 nên giá trị của vị trí phần mười là 9. Vẫn còn phải thực hiện bước cuối cùng của thuật toán; nó sẽ cho chúng ta giá trị gốc với độ chính xác cần thiết.

Ở giai đoạn này, giá trị của gốc được tìm thấy chính xác đến phần trăm: .

Để kết thúc bài viết này, tôi muốn nói rằng có nhiều cách khác để rút rễ. Nhưng đối với hầu hết các nhiệm vụ, những nhiệm vụ chúng tôi đã nghiên cứu ở trên là đủ.

Thư mục.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Đại số: SGK lớp 8. các cơ sở giáo dục.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. và các môn khác Đại số và khởi đầu của giải tích: Sách giáo khoa lớp 10 - 11 cơ sở giáo dục phổ thông.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Toán (sổ tay dành cho học sinh vào các trường kỹ thuật).

Việc chuyển đổi biểu thức có căn và lũy thừa thường đòi hỏi phải qua lại giữa căn và lũy thừa. Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét những chuyển đổi như vậy được thực hiện như thế nào, nguyên nhân cơ bản của chúng và những điểm nào thường xảy ra lỗi nhất. Chúng tôi sẽ cung cấp tất cả những điều này với các ví dụ điển hình cùng với phân tích chi tiết về các giải pháp.

Điều hướng trang.

Chuyển đổi từ lũy thừa với số mũ phân số sang nghiệm

Khả năng chuyển từ một độ có số mũ phân số sang căn số được quyết định bởi chính định nghĩa của độ đó. Chúng ta hãy nhớ lại cách xác định nó: lũy thừa của một số dương a với số mũ phân số m/n, trong đó m là số nguyên và n là số tự nhiên, được gọi là căn bậc n của a m, nghĩa là trong đó a>0 , m∈Z, n∈ N. lũy thừa phân số của 0 được định nghĩa tương tự , với điểm khác biệt duy nhất là trong trường hợp này m không còn được coi là số nguyên nữa mà là số tự nhiên, do đó việc chia cho 0 không xảy ra.

Vì vậy, mức độ luôn có thể được thay thế bằng gốc. Ví dụ: bạn có thể đi từ đến và mức độ có thể được thay thế bằng gốc. Nhưng bạn không nên chuyển từ biểu thức sang gốc, vì bậc ban đầu không có ý nghĩa (bậc của số âm không được xác định), mặc dù thực tế là gốc có ý nghĩa.

Như bạn có thể thấy, hoàn toàn không có gì khó khăn khi chuyển từ lũy thừa của số sang căn. Việc chuyển sang nghiệm của lũy thừa với số mũ phân số, dựa trên các biểu thức tùy ý, cũng được thực hiện tương tự. Lưu ý rằng quá trình chuyển đổi này được thực hiện trên ODZ của các biến đối với biểu thức ban đầu. Ví dụ, biểu thức trên toàn bộ ODZ của biến x cho biểu thức này có thể được thay thế bằng gốc . Và từ tấm bằng đi tới gốc , việc thay thế như vậy diễn ra đối với bất kỳ tập hợp biến x, y và z nào từ ODZ cho biểu thức ban đầu.

Thay thế rễ bằng sức mạnh

Cũng có thể thay thế ngược lại, tức là thay các nghiệm bằng lũy ​​thừa bằng số mũ phân số. Nó cũng dựa trên sự bình đẳng, trong trường hợp này được sử dụng từ phải sang trái, nghĩa là trong biểu mẫu.

Đối với a tích cực, quá trình chuyển đổi được chỉ định là hiển nhiên. Ví dụ: bạn có thể thay thế độ bằng , và đi từ gốc đến độ bằng số mũ phân số có dạng .

Và đối với âm a thì đẳng thức không có ý nghĩa, nhưng căn nguyên vẫn có thể có ý nghĩa. Ví dụ, rễ có ý nghĩa, nhưng chúng không thể được thay thế bằng sức mạnh. Vì vậy, liệu có thể chuyển đổi chúng thành các biểu thức có sức mạnh không? Có thể thực hiện được nếu bạn thực hiện các phép biến đổi sơ bộ, bao gồm việc đi đến gốc với các số không âm bên dưới chúng, sau đó được thay thế bằng lũy ​​thừa với số mũ phân số. Chúng ta hãy chỉ ra những biến đổi sơ bộ này là gì và làm thế nào để thực hiện chúng.

Trong trường hợp root, bạn có thể thực hiện các phép biến đổi sau: . Và vì 4 là số dương nên căn cuối cùng có thể được thay thế bằng lũy ​​thừa. Và trong trường hợp thứ hai xác định căn bậc lẻ của số âm−a (trong đó a dương), được biểu thị bằng đẳng thức , cho phép bạn thay thế căn bậc ba bằng một biểu thức trong đó căn bậc ba của hai có thể được thay thế bằng một bậc và nó sẽ có dạng .

Vẫn còn phải tìm hiểu làm thế nào các gốc chứa các biểu thức được thay thế bằng các lũy thừa chứa các biểu thức này trong cơ sở. Không cần phải vội thay thế bằng , chúng ta đã dùng chữ A để biểu thị một biểu thức nào đó. Hãy đưa ra một ví dụ để giải thích ý nghĩa của điều này. Tôi chỉ muốn thay thế gốc bằng một mức độ, dựa trên sự bình đẳng. Nhưng việc thay thế như vậy chỉ phù hợp với điều kiện x−3 ≥0 và đối với các giá trị khác của biến x từ ODZ (thỏa mãn điều kiện x−3<0 ) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a . Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.

Do áp dụng công thức không chính xác nên thường xảy ra lỗi khi chuyển từ nghiệm sang lũy ​​thừa. Ví dụ, trong sách giáo khoa, nhiệm vụ được giao là trình bày một biểu thức dưới dạng lũy ​​thừa với số mũ hữu tỷ và câu trả lời được đưa ra, điều này đặt ra câu hỏi vì điều kiện không chỉ rõ ràng buộc b>0. Và trong sách giáo khoa có sự chuyển đổi từ cách diễn đạt , rất có thể thông qua các phép biến đổi sau đây của biểu thức vô tỉ

đến sự biểu hiện. Quá trình chuyển đổi mới nhất cũng đặt ra câu hỏi vì nó thu hẹp DZ.

Một câu hỏi hợp lý được đặt ra: “Làm thế nào người ta có thể chuyển từ gốc sang lũy ​​thừa một cách chính xác cho tất cả các giá trị của các biến từ ODZ?” Việc thay thế này được thực hiện trên cơ sở các tuyên bố sau:

Trước khi giải thích các kết quả đã ghi lại, chúng tôi đưa ra một số ví dụ về việc sử dụng chúng trong quá trình chuyển đổi từ nghiệm sang lũy ​​thừa. Đầu tiên, chúng ta hãy quay trở lại biểu thức. Lẽ ra nó phải được thay thế không phải bằng , mà bằng (trong trường hợp này m=2 là số nguyên chẵn, n=3 là số nguyên tự nhiên). Một vi dụ khac: .

Bây giờ sự biện minh đã hứa về kết quả.

Khi m là số nguyên lẻ và n là số nguyên tự nhiên chẵn thì với bất kỳ tập hợp biến nào từ ODZ của biểu thức, giá trị của biểu thức A là dương (nếu m<0 ) или неотрицательно (если m>0). Đó là lý do tại sao, .

Hãy chuyển sang kết quả thứ hai. Cho m là số nguyên dương lẻ và n là số tự nhiên lẻ. Đối với tất cả các giá trị của các biến từ ODZ mà giá trị của biểu thức A không âm, , và với nó là âm,

Kết quả sau đây được chứng minh tương tự cho số nguyên âm, số lẻ m và số nguyên tự nhiên lẻ n. Đối với tất cả các giá trị của các biến từ ODZ mà giá trị của biểu thức A là dương, , và với nó là âm,

Cuối cùng, kết quả cuối cùng. Cho m là số nguyên chẵn, n là số tự nhiên bất kỳ. Đối với tất cả các giá trị của các biến từ ODZ mà giá trị của biểu thức A là dương (nếu m<0 ) или неотрицательно (если m>0 ), . Và đối với nó là âm, . Do đó, nếu m là số nguyên chẵn, n là số tự nhiên bất kỳ, thì đối với bất kỳ tập hợp giá trị nào của biến từ biểu thức ODZ for, nó có thể được thay thế bằng .

Thư mục.

1. Đại số học và phần đầu của phân tích: Proc. cho lớp 10-11. giáo dục phổ thông tổ chức / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. Ed. A. N. Kolmogorov - tái bản lần thứ 14 - M.: Giáo dục, 2004. - 384 trang: ốm - ISBN 5-09-013651-3.
2. Đại số học và sự khởi đầu của phân tích toán học. Lớp 11: giáo dục. cho giáo dục phổ thông tổ chức: cơ bản và hồ sơ. cấp độ / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; sửa bởi A. B. Zhizhchenko. – M.: Education, 2009.- 336 pp.: ill.- ISBN 979-5-09-016551-8.

Excel sử dụng các hàm dựng sẵn và toán tử toán học để trích xuất gốc và nâng một số lên lũy thừa. Hãy xem xét các ví dụ.

Ví dụ về hàm SQRT trong Excel

Hàm SQRT tích hợp trả về giá trị căn bậc hai dương. Trong menu Hàm, nó thuộc danh mục Toán học.

Cú pháp hàm: =ROOT(số).

Đối số duy nhất và bắt buộc là số dương mà hàm tính căn bậc hai cho nó. Nếu đối số là âm, Excel sẽ trả về lỗi #NUM!

Bạn có thể chỉ định một giá trị cụ thể hoặc một tham chiếu đến một ô có giá trị số làm đối số.

Hãy xem xét các ví dụ.

Hàm trả về căn bậc hai của số 36. Đối số là một giá trị cụ thể.

Hàm ABS trả về giá trị tuyệt đối là -36. Việc sử dụng nó cho phép chúng tôi tránh được sai sót khi trích căn bậc hai của số âm.

Hàm lấy căn bậc hai của tổng 13 và giá trị của ô C1.



Hàm lũy thừa trong Excel

Cú pháp hàm: =POWER(giá trị, số). Cả hai đối số đều được yêu cầu.

Giá trị là bất kỳ giá trị số thực nào. Một số là một chỉ báo về sức mạnh mà một giá trị nhất định phải được nâng lên.

Hãy xem xét các ví dụ.

Trong ô C2 - kết quả của bình phương số 10.

Hàm trả về số 100 được nâng lên ¾.

Phép lũy thừa sử dụng toán tử

Để nâng lũy ​​thừa của một số trong Excel, bạn có thể sử dụng toán tử “^”. Để nhập nó, nhấn Shift + 6 (với bố cục bàn phím tiếng Anh).

Để Excel xử lý thông tin đã nhập dưới dạng công thức, dấu “=” được đặt trước tiên. Tiếp theo là số cần nâng lên lũy thừa. Và sau dấu “^” là giá trị của độ.

Thay vì bất kỳ giá trị nào của công thức toán học này, bạn có thể sử dụng tham chiếu đến các ô có số.

Điều này thuận tiện nếu bạn cần xây dựng nhiều giá trị.

Bằng cách sao chép công thức ra toàn bộ cột, chúng ta nhanh chóng có được kết quả nâng các số ở cột A lên lũy thừa ba.

Trích xuất rễ thứ n

ROOT là hàm căn bậc hai trong Excel. Làm thế nào để trích xuất gốc của lũy thừa thứ 3, thứ 4 và các lũy thừa khác?

Chúng ta hãy nhớ một trong các định luật toán học: để lấy căn bậc n, bạn cần nâng số này lên lũy thừa 1/n.

Ví dụ, để trích căn bậc ba, chúng ta nâng số lên lũy thừa 1/3.

Hãy sử dụng công thức để trích xuất các gốc có mức độ khác nhau trong Excel.

Công thức trả về giá trị căn bậc ba của số 21. Để nâng lũy ​​thừa phân số, toán tử “^” đã được sử dụng.

Xin chúc mừng: hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu về cội nguồn - một trong những chủ đề gây ấn tượng nhất ở lớp 8 :)

Nhiều người nhầm lẫn về căn số, không phải vì chúng phức tạp (điều phức tạp về nó - một vài định nghĩa và một vài tính chất nữa), mà bởi vì trong hầu hết các sách giáo khoa phổ thông, căn số được định nghĩa qua một khu rừng rậm mà chỉ có các tác giả của sách giáo khoa mới xác định được. bản thân họ có thể hiểu được văn bản này. Và thậm chí chỉ với một chai rượu whisky ngon :)

Vì vậy, bây giờ tôi sẽ đưa ra định nghĩa chính xác nhất và hợp lý nhất về gốc - định nghĩa duy nhất mà bạn thực sự nên nhớ. Và sau đó tôi sẽ giải thích: tại sao tất cả những điều này lại cần thiết và cách áp dụng nó vào thực tế.

Nhưng trước tiên, hãy nhớ một điểm quan trọng mà nhiều người biên soạn sách giáo khoa vì lý do nào đó mà “quên”:

Các nghiệm có thể có mức độ chẵn ($\sqrt(a)$ yêu thích của chúng tôi, cũng như tất cả các loại $\sqrt(a)$ và thậm chí $\sqrt(a)$) và mức độ lẻ (tất cả các loại $\sqrt (a)$, $\sqrt(a)$, v.v.). Và định nghĩa của nghiệm bậc lẻ hơi khác so với định nghĩa của bậc chẵn.

Có lẽ 95% tất cả các lỗi và hiểu lầm liên quan đến nguồn gốc đều được ẩn giấu trong cái "hơi khác" chết tiệt này. Vì vậy, hãy làm rõ thuật ngữ này một lần và mãi mãi:

Sự định nghĩa. Ngay cả gốc N từ số $a$ là bất kỳ không tiêu cực số $b$ sao cho $((b)^(n))=a$. Và căn lẻ của cùng một số $a$ nói chung là bất kỳ số $b$ nào có cùng đẳng thức: $((b)^(n))=a$.

Trong mọi trường hợp, gốc được biểu thị như sau:

\(Một)\]

Số $n$ trong ký hiệu như vậy được gọi là số mũ gốc và số $a$ được gọi là biểu thức căn thức. Cụ thể, với $n=2$, chúng ta nhận được căn bậc hai “yêu thích” (nhân tiện, đây là căn bậc hai) và với $n=3$, chúng ta nhận được căn bậc ba (bậc lẻ), tức là cũng thường thấy trong các bài toán và phương trình.

Ví dụ. Ví dụ cổ điển về căn bậc hai:

\[\begin(căn chỉnh) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(căn chỉnh)\]

Nhân tiện, $\sqrt(0)=0$ và $\sqrt(1)=1$. Điều này khá logic, vì $((0)^(2))=0$ và $((1)^(2))=1$.

Rễ hình khối cũng rất phổ biến - không cần phải sợ chúng:

\[\begin(căn chỉnh) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(căn chỉnh)\]

Chà, một vài “ví dụ kỳ lạ”:

\[\begin(căn chỉnh) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(căn chỉnh)\]

Nếu bạn không hiểu sự khác biệt giữa mức chẵn và mức lẻ là gì, hãy đọc lại định nghĩa. Rất quan trọng!

Trong khi chờ đợi, chúng ta sẽ xem xét một đặc điểm khó chịu của nghiệm, do đó chúng ta cần đưa ra một định nghĩa riêng cho số mũ chẵn và số lẻ.

Tại sao chúng ta cần rễ?

Sau khi đọc định nghĩa, nhiều học sinh sẽ hỏi: “Các nhà toán học đã hút gì khi họ nghĩ ra định nghĩa này?” Và thực sự: tại sao tất cả những gốc rễ này lại cần thiết?

Để trả lời câu hỏi này, chúng ta hãy quay lại trường tiểu học một lát. Hãy nhớ rằng: vào thời xa xưa, khi cây cối xanh tươi hơn và bánh bao ngon hơn, mối quan tâm chính của chúng ta là nhân các số một cách chính xác. Chà, đại loại như “năm giờ năm - hai mươi lăm”, thế thôi. Nhưng bạn có thể nhân các số không phải theo cặp mà theo bộ ba, bộ bốn và nói chung là cả bộ:

\[\begin(căn chỉnh) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(căn chỉnh)\]

Tuy nhiên, đây không phải là vấn đề. Thủ thuật lại khác: các nhà toán học là những người lười biếng, nên họ gặp khó khăn khi viết ra phép nhân của mười số năm như thế này:

Đó là lý do tại sao họ nghĩ ra bằng cấp. Tại sao không viết số thừa số dưới dạng chỉ số trên thay vì một chuỗi dài? Một cái gì đó như thế này:

Nó rất tiện lợi! Tất cả các phép tính được giảm đi đáng kể và bạn không cần phải lãng phí một đống giấy da và sổ ghi chép để viết ra khoảng 5.183. Kỷ lục này được gọi là sức mạnh của một con số; một loạt tài sản được tìm thấy trong đó, nhưng niềm hạnh phúc hóa ra chỉ tồn tại trong thời gian ngắn.

Sau một bữa tiệc rượu hoành tráng được tổ chức chỉ để “khám phá” độ, một nhà toán học đặc biệt bướng bỉnh nào đó đột nhiên hỏi: “Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta biết độ của một số, nhưng bản thân số đó lại chưa biết?” Bây giờ, thực sự, nếu chúng ta biết rằng một số $b$ nhất định, chẳng hạn, lũy thừa 5 cho 243, thì làm sao chúng ta có thể đoán chính số $b$ đó bằng bao nhiêu?

Vấn đề này hóa ra mang tính toàn cầu hơn nhiều so với cái nhìn đầu tiên. Bởi vì hóa ra đối với hầu hết các quyền hạn “làm sẵn” đều không có những con số “ban đầu” như vậy. Phán xét cho chính mình:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(căn chỉnh)\]

Điều gì sẽ xảy ra nếu $((b)^(3))=$50? Hóa ra chúng ta cần tìm một số nhất định mà khi nhân với chính nó ba lần sẽ cho ta kết quả 50. Nhưng con số này là gì? Rõ ràng nó lớn hơn 3, vì 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Đó là con số này nằm ở khoảng từ ba đến bốn, nhưng bạn sẽ không hiểu nó bằng bao nhiêu.

Đây chính xác là lý do tại sao các nhà toán học nghĩ ra căn bậc $n$. Đây chính xác là lý do tại sao ký hiệu căn $\sqrt(*)$ được giới thiệu. Để chỉ định chính số $b$, ở mức độ được chỉ định sẽ cho chúng ta một giá trị đã biết trước đó

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

Tôi không tranh luận: thường những gốc này được tính toán dễ dàng - chúng ta đã thấy một số ví dụ như vậy ở trên. Tuy nhiên, trong hầu hết các trường hợp, nếu bạn nghĩ về một số tùy ý và sau đó cố gắng rút ra nghiệm của một bậc tùy ý từ nó, bạn sẽ gặp một điều tồi tệ khủng khiếp.

Ở đó có gì vậy! Ngay cả $\sqrt(2)$ đơn giản và quen thuộc nhất cũng không thể được biểu diễn ở dạng thông thường của chúng ta - dưới dạng số nguyên hoặc phân số. Và nếu bạn nhập số này vào máy tính, bạn sẽ thấy điều này:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Như bạn có thể thấy, sau dấu thập phân có một dãy số vô tận không tuân theo bất kỳ logic nào. Tất nhiên, bạn có thể làm tròn số này để so sánh nhanh với các số khác. Ví dụ:

\[\sqrt(2)=1.4142...\khoảng 1,4 \lt 1,5\]

Hoặc đây là một ví dụ khác:

\[\sqrt(3)=1.73205...\khoảng 1,7 \gt 1,5\]

Nhưng tất cả những vòng tròn này, trước hết, khá thô; và thứ hai, bạn cũng cần có khả năng làm việc với các giá trị gần đúng, nếu không bạn có thể mắc một loạt lỗi không rõ ràng (nhân tiện, kỹ năng so sánh và làm tròn là bắt buộc phải được kiểm tra trong kỳ thi Thống nhất Tiểu bang).

Do đó, trong toán học nghiêm túc, bạn không thể làm gì nếu không có gốc - chúng là đại diện bằng nhau của tập hợp tất cả các số thực $\mathbb(R)$, giống như các phân số và số nguyên đã quen thuộc với chúng ta từ lâu.

Việc không thể biểu diễn một nghiệm dưới dạng một phân số của dạng $\frac(p)(q)$ có nghĩa là nghiệm này không phải là một số hữu tỉ. Những con số như vậy được gọi là số vô tỷ và chúng không thể được biểu diễn chính xác trừ khi có sự trợ giúp của căn thức hoặc các công trình khác được thiết kế đặc biệt cho việc này (logarit, lũy thừa, giới hạn, v.v.). Nhưng nhiều hơn về điều đó vào lúc khác.

Chúng ta hãy xem xét một vài ví dụ trong đó, sau tất cả các phép tính, các số vô tỷ sẽ vẫn còn trong câu trả lời.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\approx -1.2599... \\ \end(căn chỉnh)\]

Đương nhiên, từ sự xuất hiện của gốc, hầu như không thể đoán được số nào sẽ xuất hiện sau dấu thập phân. Tuy nhiên, bạn có thể tin tưởng vào máy tính, nhưng ngay cả máy tính ngày tiên tiến nhất cũng chỉ cung cấp cho chúng ta một vài chữ số đầu tiên của một số vô tỷ. Vì vậy, sẽ đúng hơn nhiều nếu viết câu trả lời dưới dạng $\sqrt(5)$ và $\sqrt(-2)$.

Đây chính xác là lý do tại sao chúng được phát minh. Để thuận tiện ghi lại câu trả lời.

Tại sao cần có hai định nghĩa?

Người đọc chú ý có lẽ đã nhận thấy rằng tất cả các căn bậc hai trong các ví dụ đều được lấy từ số dương. Vâng, ít nhất là từ đầu. Nhưng căn bậc ba có thể được rút ra một cách dễ dàng từ bất kỳ số nào - dù là số dương hay số âm.

Tại sao chuyện này đang xảy ra? Hãy nhìn vào đồ thị của hàm $y=((x)^(2))$:

Đồ thị của hàm bậc hai cho hai nghiệm: dương và âm

Hãy thử tính $\sqrt(4)$ bằng biểu đồ này. Để làm điều này, một đường ngang $y=4$ được vẽ trên biểu đồ (được đánh dấu màu đỏ), đường này cắt với parabol tại hai điểm: $((x)_(1))=2$ và $((x )_(2)) =-2$. Điều này khá logic, vì

Mọi thứ đều rõ ràng với số đầu tiên - nó dương, vì vậy nó là gốc:

Nhưng sau đó phải làm gì với điểm thứ hai? Giống như bốn có hai gốc cùng một lúc? Rốt cuộc, nếu chúng ta bình phương số −2, chúng ta cũng nhận được 4. Vậy tại sao không viết $\sqrt(4)=-2$? Và tại sao thầy cô lại nhìn những bài viết như vậy như muốn ăn thịt bạn vậy?

Vấn đề là nếu bạn không áp đặt thêm bất kỳ điều kiện nào thì tứ giác sẽ có hai căn bậc hai - dương và âm. Và bất kỳ số dương nào cũng sẽ có hai trong số đó. Nhưng các số âm sẽ không có gốc nào cả - điều này có thể được nhìn thấy từ cùng một biểu đồ, vì parabol không bao giờ nằm ​​dưới trục y, I E. không chấp nhận giá trị âm.

Một vấn đề tương tự xảy ra với tất cả các nghiệm có số mũ chẵn:

1. Nói đúng ra, mỗi số dương sẽ có hai nghiệm với số mũ chẵn $n$;
2. Từ các số âm, gốc có $n$ chẵn không được trích xuất.

Đó là lý do tại sao trong định nghĩa nghiệm của bậc chẵn $n$, người ta quy định cụ thể rằng đáp án phải là một số không âm. Đây là cách chúng ta thoát khỏi sự mơ hồ.

Nhưng đối với $n$ lẻ thì không có vấn đề như vậy. Để thấy điều này, chúng ta hãy nhìn vào biểu đồ của hàm $y=((x)^(3))$:

Một parabol lập phương có thể nhận bất kỳ giá trị nào, do đó căn bậc ba có thể được lấy từ bất kỳ số nào

Hai kết luận có thể được rút ra từ biểu đồ này:

1. Các nhánh của parabol hình khối, không giống như parabol thông thường, đi đến vô cực theo cả hai hướng - cả hướng lên và hướng xuống. Do đó, dù chúng ta vẽ đường ngang ở độ cao nào thì đường này chắc chắn sẽ giao nhau với đồ thị của chúng ta. Do đó, căn bậc ba luôn có thể được rút ra từ bất kỳ số nào;
2. Ngoài ra, giao điểm như vậy sẽ luôn là duy nhất, vì vậy bạn không cần phải suy nghĩ xem số nào được coi là gốc “đúng” và số nào cần bỏ qua. Đó là lý do tại sao việc xác định nghiệm của bậc lẻ lại đơn giản hơn so với bậc chẵn (không có yêu cầu về tính không âm).

Thật đáng tiếc là những điều đơn giản này không được giải thích trong hầu hết các sách giáo khoa. Thay vào đó, bộ não của chúng ta bắt đầu bay bổng với đủ loại nghiệm số học và tính chất của chúng.

Vâng, tôi không tranh luận: bạn cũng cần biết căn số học là gì. Và tôi sẽ nói chi tiết về điều này trong một bài học riêng. Hôm nay chúng ta cũng sẽ nói về nó, bởi vì nếu không có nó thì mọi suy nghĩ về nghiệm của bội số thứ $n$ sẽ không đầy đủ.

Nhưng trước tiên bạn cần hiểu rõ định nghĩa mà tôi đưa ra ở trên. Nếu không, do có quá nhiều thuật ngữ, một mớ hỗn độn như vậy sẽ bắt đầu trong đầu bạn đến mức cuối cùng bạn sẽ không hiểu được gì cả.

Tất cả những gì bạn cần làm là hiểu sự khác biệt giữa các chỉ báo chẵn và lẻ. Vì vậy, một lần nữa chúng ta hãy thu thập mọi thứ bạn thực sự cần biết về rễ:

1. Căn bậc chẵn chỉ tồn tại từ một số không âm và bản thân nó luôn là một số không âm. Đối với số âm, gốc như vậy không được xác định.
2. Nhưng căn bậc lẻ tồn tại từ bất kỳ số nào và bản thân nó có thể là số bất kỳ: đối với số dương thì nó là dương, và đối với số âm, như gợi ý ở đầu, nó là âm.

Là khó khăn? Không, nó không khó. Rõ ràng? Vâng, điều đó hoàn toàn rõ ràng! Vì vậy bây giờ chúng ta sẽ thực hành một chút về tính toán.

Thuộc tính cơ bản và hạn chế

Rễ có nhiều đặc tính và hạn chế kỳ lạ - điều này sẽ được thảo luận trong một bài học riêng. Do đó, bây giờ chúng ta sẽ chỉ xem xét "thủ thuật" quan trọng nhất, chỉ áp dụng cho các nghiệm có chỉ số chẵn. Hãy viết thuộc tính này dưới dạng công thức:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\phải|\]

Nói cách khác, nếu chúng ta nâng một số lên lũy thừa chẵn và sau đó lấy căn của cùng lũy ​​thừa đó, chúng ta sẽ không nhận được số ban đầu mà là mô đun của nó. Đây là một định lý đơn giản có thể được chứng minh dễ dàng (chỉ cần xem xét $x$ không âm một cách riêng biệt và sau đó là các giá trị âm riêng biệt). Các giáo viên liên tục nói về nó, nó được đưa ra trong mọi sách giáo khoa của trường. Nhưng ngay khi phải giải phương trình vô tỉ (tức là phương trình chứa dấu căn), học sinh nhất trí quên công thức này.

Để hiểu vấn đề một cách chi tiết, chúng ta hãy quên tất cả các công thức trong một phút và thử tính thẳng hai số:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Đây là những ví dụ rất đơn giản. Hầu hết mọi người sẽ giải quyết được ví dụ đầu tiên, nhưng nhiều người lại mắc kẹt ở ví dụ thứ hai. Để giải quyết mọi chuyện tào lao như vậy mà không gặp vấn đề gì, hãy luôn xem xét quy trình:

1. Đầu tiên, con số được nâng lên lũy thừa thứ tư. Vâng, nó khá dễ dàng. Bạn sẽ nhận được một số mới có thể tìm thấy ngay cả trong bảng cửu chương;
2. Và bây giờ từ số mới này cần phải rút ra căn bậc 4. Những thứ kia. không xảy ra hiện tượng “giảm” rễ và sức mạnh - đây là những hành động tuần tự.

Hãy xem biểu thức đầu tiên: $\sqrt(((3)^(4)))$. Rõ ràng, trước tiên bạn cần tính biểu thức dưới gốc:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Sau đó chúng ta trích ra căn bậc 4 của số 81:

Bây giờ hãy làm tương tự với biểu thức thứ hai. Đầu tiên, chúng ta nâng số −3 lên lũy thừa bốn, đòi hỏi phải nhân nó với chính nó 4 lần:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ trái(-3 \right)=81\]

Chúng tôi nhận được một số dương, vì tổng số điểm trừ trong sản phẩm là 4 và tất cả chúng sẽ triệt tiêu lẫn nhau (xét cho cùng, điểm trừ cho điểm trừ sẽ là điểm cộng). Sau đó chúng ta giải nén lại root:

Về nguyên tắc, dòng này không thể được viết ra, vì chắc chắn câu trả lời sẽ giống nhau. Những thứ kia. một gốc chẵn có cùng công suất chẵn sẽ “đốt cháy” các điểm trừ và theo nghĩa này, kết quả không thể phân biệt được với một mô-đun thông thường:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(căn chỉnh)\]

Những phép tính này phù hợp tốt với định nghĩa nghiệm của bậc chẵn: kết quả luôn không âm và dấu căn cũng luôn chứa một số không âm. Nếu không thì gốc không được xác định.

Lưu ý về thủ tục

1. Ký hiệu $\sqrt(((a)^(2)))$ có nghĩa là trước tiên chúng ta bình phương số $a$ và sau đó lấy căn bậc hai của giá trị kết quả. Do đó, chúng ta có thể chắc chắn rằng luôn có một số không âm dưới dấu gốc, vì $((a)^(2))\ge 0$ trong mọi trường hợp;
2. Nhưng ngược lại, ký hiệu $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ có nghĩa là trước tiên chúng ta lấy căn của một số nhất định $a$ và chỉ sau đó bình phương kết quả. Do đó, số $a$ trong mọi trường hợp không thể âm - đây là yêu cầu bắt buộc có trong định nghĩa.

Vì vậy, trong mọi trường hợp, người ta không nên giảm bớt gốc và mức độ một cách thiếu suy nghĩ, từ đó được cho là “đơn giản hóa” cách diễn đạt ban đầu. Bởi vì nếu có một số âm ở dưới gốc và số mũ của nó là số chẵn thì chúng ta sẽ gặp rất nhiều vấn đề.

Tuy nhiên, tất cả những vấn đề này chỉ liên quan đến các chỉ số chẵn.

Xóa dấu trừ ở dưới dấu gốc

Đương nhiên, nghiệm có số mũ lẻ cũng có đặc điểm riêng, về nguyên tắc không tồn tại với số mũ chẵn. Cụ thể là:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Nói tóm lại, bạn có thể loại bỏ dấu trừ dưới dấu của nghiệm bậc lẻ. Đây là một thuộc tính rất hữu ích cho phép bạn loại bỏ tất cả những nhược điểm:

\[\begin(căn chỉnh) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(căn chỉnh)\]

Thuộc tính đơn giản này giúp đơn giản hóa rất nhiều phép tính. Bây giờ bạn không cần phải lo lắng: điều gì sẽ xảy ra nếu một biểu thức phủ định bị ẩn dưới gốc, nhưng mức độ ở gốc lại là chẵn? Chỉ cần “vứt bỏ” tất cả các điểm trừ bên ngoài các gốc là đủ, sau đó chúng có thể được nhân với nhau, chia nhỏ và nói chung là làm nhiều điều đáng ngờ, mà trong trường hợp các gốc “cổ điển” chắc chắn sẽ dẫn chúng ta đến một lỗi.

Và ở đây, một định nghĩa khác xuất hiện - cũng chính là định nghĩa mà ở hầu hết các trường học người ta bắt đầu nghiên cứu về các biểu thức vô tỉ. Và nếu không có nó thì lý luận của chúng ta sẽ không đầy đủ. Gặp chúng tôi!

Căn bậc số học

Hãy giả sử trong giây lát rằng dưới dấu căn chỉ có thể là số dương hoặc trong trường hợp cực đoan là bằng 0. Hãy quên đi các chỉ số chẵn/lẻ, hãy quên tất cả các định nghĩa được đưa ra ở trên - chúng ta sẽ chỉ làm việc với các số không âm. Vậy thì sao?

Và sau đó chúng ta sẽ có được một gốc số học - nó trùng lặp một phần với các định nghĩa “tiêu chuẩn” của chúng ta, nhưng vẫn khác với chúng.

Sự định nghĩa. Căn số học $n$th của một số không âm $a$ là một số không âm $b$ sao cho $((b)^(n))=a$.

Như chúng ta có thể thấy, chúng ta không còn quan tâm đến tính chẵn lẻ nữa. Thay vào đó, một hạn chế mới xuất hiện: biểu thức căn thức lúc này luôn không âm và bản thân nghiệm cũng không âm.

Để hiểu rõ hơn căn thức số học khác với căn thức thông thường như thế nào, hãy xem biểu đồ của parabol bình phương và parabol bậc ba mà chúng ta đã quen thuộc:

Vùng tìm kiếm gốc số học - số không âm

Như bạn có thể thấy, từ bây giờ chúng ta chỉ quan tâm đến những phần đồ thị nằm trong phần tư tọa độ đầu tiên - trong đó tọa độ $x$ và $y$ là dương (hoặc ít nhất là bằng 0). Bạn không cần phải nhìn vào chỉ báo để hiểu liệu chúng ta có quyền đặt số âm dưới gốc hay không. Bởi vì về nguyên tắc số âm không còn được xem xét nữa.

Bạn có thể hỏi: “Ồ, tại sao chúng ta lại cần một định nghĩa trung tính như vậy?” Hoặc: “Tại sao chúng ta không thể thực hiện được với định nghĩa tiêu chuẩn nêu trên?”

Vâng, tôi sẽ chỉ đưa ra một tính chất mà định nghĩa mới trở nên phù hợp. Ví dụ: quy tắc lũy thừa:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Xin lưu ý: chúng ta có thể nâng biểu thức căn thức lên bất kỳ lũy thừa nào, đồng thời nhân số mũ gốc với cùng lũy ​​thừa - và kết quả sẽ là cùng một số! Dưới đây là ví dụ:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(căn chỉnh)\]

Vậy thỏa thuận lớn nào? Tại sao chúng ta không thể làm điều này trước đây? Đây là lý do tại sao. Hãy xem xét một biểu thức đơn giản: $\sqrt(-2)$ - con số này khá bình thường theo cách hiểu cổ điển của chúng ta, nhưng hoàn toàn không thể chấp nhận được theo quan điểm của căn số học. Hãy thử chuyển đổi nó:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Như bạn có thể thấy, trong trường hợp đầu tiên, chúng tôi đã loại bỏ dấu trừ khỏi căn thức (chúng tôi có mọi quyền vì số mũ là số lẻ) và trong trường hợp thứ hai, chúng tôi đã sử dụng công thức trên. Những thứ kia. Từ quan điểm toán học, mọi thứ đều được thực hiện theo các quy tắc.

Cái quái gì vậy?! Làm sao cùng một số có thể vừa dương vừa âm? Không đời nào. Chỉ là công thức lũy thừa, vốn hoạt động tốt với số dương và số 0, bắt đầu tạo ra sự sai lầm hoàn toàn trong trường hợp số âm.

Để thoát khỏi sự mơ hồ như vậy, các căn bậc số học đã được phát minh. Một bài học lớn riêng biệt được dành cho chúng, nơi chúng tôi xem xét chi tiết tất cả các thuộc tính của chúng. Vì vậy, bây giờ chúng ta sẽ không tập trung vào chúng - bài học hóa ra đã quá dài.

Căn bậc đại số: dành cho những ai muốn biết thêm

Tôi đã suy nghĩ rất lâu có nên đặt chủ đề này thành một đoạn riêng hay không. Cuối cùng tôi quyết định để nó ở đây. Tài liệu này dành cho những ai muốn hiểu rõ hơn về nguồn gốc - không còn ở cấp độ “trường học” trung bình nữa mà ở cấp độ gần với cấp độ Olympic.

Vì vậy: ngoài định nghĩa “cổ điển” về căn bậc $n$ của một số và cách chia liên quan thành số mũ chẵn và lẻ, còn có một định nghĩa “người lớn” hơn hoàn toàn không phụ thuộc vào tính chẵn lẻ và các yếu tố tinh tế khác. Điều này được gọi là một gốc đại số.

Sự định nghĩa. Căn bậc đại số $n$th của bất kỳ $a$ nào là tập hợp tất cả các số $b$ sao cho $((b)^(n))=a$. Không có chỉ định nào được thiết lập cho các gốc như vậy, vì vậy chúng tôi sẽ chỉ đặt một dấu gạch ngang lên trên:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Sự khác biệt cơ bản so với định nghĩa tiêu chuẩn được đưa ra ở đầu bài học là căn đại số không phải là một số cụ thể mà là một tập hợp. Và vì chúng ta làm việc với số thực nên bộ này chỉ có ba loại:

1. Bộ trống. Xảy ra khi bạn cần tìm căn bậc đại số chẵn từ một số âm;
2. Một tập hợp bao gồm một phần tử duy nhất. Tất cả các nghiệm của lũy thừa lẻ, cũng như nghiệm của lũy thừa chẵn bằng 0, đều thuộc loại này;
3. Cuối cùng, tập hợp có thể bao gồm hai số - giống $((x)_(1))$ và $((x)_(2))=-((x)_(1))$ mà chúng ta đã thấy trên đồ thị hàm số bậc hai. Theo đó, sự sắp xếp như vậy chỉ có thể thực hiện được khi trích rút căn bậc chẵn từ một số dương.

Trường hợp cuối cùng xứng đáng được xem xét chi tiết hơn. Hãy đếm một vài ví dụ để hiểu sự khác biệt.

Ví dụ. Đánh giá các biểu thức:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Giải pháp. Biểu thức đầu tiên rất đơn giản:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Đó là hai số là một phần của tập hợp. Bởi vì mỗi người bình phương sẽ được bốn.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Ở đây chúng ta thấy một tập hợp chỉ bao gồm một số. Điều này khá hợp lý vì số mũ gốc là số lẻ.

Cuối cùng, biểu thức cuối cùng:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Chúng tôi đã nhận được một bộ trống. Bởi vì không có một số thực nào mà khi nâng lên lũy thừa thứ tư (tức là số chẵn!), sẽ cho chúng ta số âm −16.

Lưu ý cuối cùng. Xin lưu ý: không phải ngẫu nhiên mà tôi nhận thấy ở mọi nơi chúng ta làm việc với số thực. Bởi vì cũng có những số phức - hoàn toàn có thể tính được $\sqrt(-16)$ ở đó, và nhiều điều kỳ lạ khác.

Tuy nhiên, số phức hầu như không bao giờ xuất hiện trong các môn toán phổ thông hiện đại. Chúng đã bị xóa khỏi hầu hết sách giáo khoa vì các quan chức của chúng tôi cho rằng chủ đề này “quá khó hiểu”.

Đó là tất cả. Trong bài học tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét tất cả các thuộc tính chính của nghiệm và cuối cùng là học cách đơn giản hóa các biểu thức vô tỷ :)

Hoạt động với quyền hạn và rễ. Bằng cấp tiêu cực ,

số không và phân số chỉ số. Về những biểu hiện không có ý nghĩa.

Hoạt động với mức độ.

1. Khi nhân các lũy thừa cùng cơ số, các số mũ của chúng cộng lại:

là · a n = a m + n .

2. Khi chia độ cùng cơ số thì số mũ của chúng được khấu trừ .

3. Mức độ tích của hai yếu tố trở lên bằng tích mức độ của các yếu tố đó.

(abc… ) n = một n· b n · c n…

4. Bậc của một tỉ số (phân số) bằng tỉ số giữa bậc của số bị chia (tử số) và số chia (mẫu số):

(a/b ) n = a n / b n .

5. Khi nâng lũy ​​thừa lên lũy thừa, số mũ của chúng được nhân lên:

(là ) n = a m n .

Tất cả các công thức trên được đọc và thực hiện theo cả hai hướng từ trái sang phải và ngược lại.

VÍ DỤ (2 · 3 · 5/15)2 = 22 3 2 52/152 = 900/225 = 4 .

Hoạt động với rễ. Trong tất cả các công thức dưới đây, ký hiệu có nghĩa gốc số học(biểu thức căn thức là dương).

1. Căn nguyên của tích của nhiều thừa số bằng tích gốc rễ của các yếu tố này:

2. Căn nguyên của một tỷ số bằng tỷ số giữa căn của số bị chia và số chia:

3. Khi nâng gốc lên sức mạnh thì chỉ cần nâng lên sức mạnh này là đủ số căn:

4. Nếu chúng ta tăng mức độ gốc trong tôi nâng cao để tôi lũy thừa th là một số căn thì giá trị của căn sẽ không thay đổi:

5. Nếu chúng ta giảm mức độ gốc trong tôi giải nén root một lần và cùng một lúc tôi lũy thừa của một số căn thì giá trị của căn số không bằng sẽ thay đổi:

Mở rộng khái niệm về mức độ. Cho đến nay chúng ta chỉ xét độ với số mũ tự nhiên; nhưng hành động với độ và rễ cũng có thể dẫn đến tiêu cực, số không Và phân số các chỉ số. Tất cả những số mũ này yêu cầu định nghĩa bổ sung.

Bằng cấp với số mũ âm. Sức mạnh của một số số c số mũ âm (số nguyên) được định nghĩa là một số được chia bởi lũy thừa của cùng một số với số mũ bằng giá trị tuyệt đốichỉ số tiêu cực:

T bây giờ là công thức là: MỘT= là - N có thể được sử dụng không chỉ chotôi, nhiều hơn N, mà còn với tôi, ít hơn N .

VÍ DỤ Một 4 :Một 7 = một 4 - 7 = một - 3 .

Nếu chúng ta muốn công thứclà : MỘT= là - Nđã công bằng khim = n, chúng ta cần một định nghĩa về độ 0.

Một mức độ có chỉ số bằng 0. Sức mạnh của bất kỳ số nào khác 0 có số mũ bằng 0 là 1.

VÍ DỤ. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Bằng cấp với số mũ phân số. Để nâng cao một số thực và lũy thừa m/n , bạn cần giải nén gốc lũy thừa thứ n của m - lũy thừa thứ của số này MỘT :

Về những biểu hiện không có ý nghĩa. Có một số biểu hiện như vậy. bất kỳ số nào.

Trong thực tế, nếu chúng ta giả sử rằng biểu thức này bằng một số nào đó x, thì theo định nghĩa của phép chia ta có: 0 = 0 · x. Nhưng sự bình đẳng này xảy ra khi bất kỳ số x nào, đó là điều cần chứng minh.

Trường hợp 3.

0 0 - bất kỳ số nào.

Thật sự,

Giải pháp Hãy xem xét ba trường hợp chính:

1) x = 0 – giá trị này không thỏa mãn phương trình này

(Tại sao?).

2) khi x> 0 ta được: x/x = 1, tức là 1 = 1, có nghĩa là

Cái gì x- bất kỳ số nào; nhưng có tính đến điều đó trong

Trong trường hợp của chúng ta x> 0, đáp án làx > 0 ;

3) khi x < 0 получаем: – x/x= 1, tức là e . –1 = 1, do đó,

Trong trường hợp này không có giải pháp.

Như vậy, x > 0.