Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên rời rạc là tổng tích của tất cả các giá trị có thể có của nó và xác suất của chúng:
Ví dụ.
X-4 6 10
р 0,2 0,3 0,5
Giải: Kỳ vọng toán học bằng tổng các tích của tất cả các giá trị có thể có của X và xác suất của chúng:
M(X) = 4*0,2 + 6*0,3 +10*0,5 = 6.
Để tính toán kỳ vọng toán học, thật thuận tiện khi thực hiện các phép tính trong Excel (đặc biệt khi có nhiều dữ liệu), chúng tôi khuyên bạn nên sử dụng mẫu tạo sẵn ().
Một ví dụ để tự giải (bạn có thể sử dụng máy tính).
Tìm kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên rời rạc X được xác định bởi luật phân phối:
X 0,21 0,54 0,61
р 0,1 0,5 0,4
Kỳ vọng toán học có các tính chất sau.
Tính chất 1. Kỳ vọng toán học của một giá trị hằng số bằng chính hằng số đó: M(C)=C.
Tính chất 2. Hệ số không đổi có thể được coi là dấu của kỳ vọng toán học: M(CX)=CM(X).
Tính chất 3. Kỳ vọng toán học của tích các biến ngẫu nhiên độc lập lẫn nhau bằng tích các kỳ vọng toán học của các thừa số: M (X1X2 ...Xn) = M (X1) M (X2)*. ..*M (Xn)
Tính chất 4. Kỳ vọng toán học của tổng các biến ngẫu nhiên bằng tổng kỳ vọng toán học của các số hạng: M(Xg + X2+...+Xn) = M(Xg)+M(X2)+... +M(Xn).
Bài toán 189. Tìm kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên Z nếu biết kỳ vọng toán học của X và Y: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;
Lời giải: Sử dụng tính chất của kỳ vọng toán học (kỳ vọng toán học của tổng bằng tổng các kỳ vọng toán học của các số hạng; hệ số hằng số có thể được lấy ra khỏi dấu của kỳ vọng toán học), ta thu được M(Z )=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M(X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.
190. Sử dụng tính chất kỳ vọng toán học, chứng minh rằng: a) M(X - Y) = M(X) - M (Y); b) kỳ vọng toán học của độ lệch X-M(X) bằng 0.
191. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có ba giá trị có thể có: x1= 4 Với xác suất p1 = 0,5; xЗ = 6 Với xác suất P2 = 0,3 và x3 với xác suất p3. Tìm: x3 và p3, biết rằng M(X)=8.
192. Danh sách các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên rời rạc X được cho: x1 = -1, x2 = 0, x3= 1; kỳ vọng toán học của giá trị này và bình phương của nó cũng đã biết: M(X) = 0,1 , M(X^2) = 0 ,9. Tìm các xác suất p1, p2, p3 tương ứng với các giá trị có thể có của xi
194. Một lô gồm 10 chi tiết có ba chi tiết không đạt tiêu chuẩn. Hai phần được chọn ngẫu nhiên. Tìm kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên rời rạc X - số phần không chuẩn trong số hai phần được chọn.
196. Tìm kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên rời rạc X-số lần ném năm viên xúc xắc như vậy, trong đó mỗi lần ném một viên xúc xắc sẽ xuất hiện trên hai viên xúc xắc, nếu tổng số lần ném là hai mươi.
Kỳ vọng toán học của phân phối nhị thức bằng tích của số lần thử và xác suất xảy ra một sự kiện trong một lần thử:
Tức là, nếu sl. đại lượng có quy luật phân phối thì
gọi điện kỳ vọng toán học của nó. Nếu sl. đại lượng có vô số giá trị thì kỳ vọng toán học được xác định bằng tổng của chuỗi vô hạn 
, với điều kiện là chuỗi này hội tụ tuyệt đối (nếu không thì người ta nói rằng kỳ vọng toán học không tồn tại) .
Vì liên tục sl. giá trị được xác định bởi hàm mật độ xác suất f(x), kỳ vọng toán học được xác định là tích phân
với điều kiện tích phân này tồn tại (nếu tích phân phân kỳ thì người ta nói rằng kỳ vọng toán học không tồn tại).
Ví dụ 1. Chúng ta hãy xác định kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên được phân bổ trên định luật Poisson. Theo định nghĩa
hoặc hãy biểu thị
, 
Vì vậy tham số , định luật phân phối xác định của biến ngẫu nhiên Poisson bằng giá trị trung bình của biến này.
Ví dụ 2. Đối với một biến ngẫu nhiên có luật phân phối mũ, kỳ vọng toán học bằng
(
):
(lấy các giới hạn trong tích phân, có tính đến thực tế là f (x) chỉ khác 0 đối với x dương).
Ví dụ 3. Biến ngẫu nhiên được phân phối theo luật phân phối Cauchy, không có giá trị trung bình Thật sự
Tính chất của kỳ vọng toán học.
Bất động sản 1. Kỳ vọng toán học của một hằng số bằng chính hằng số đó.
Hằng số C lấy giá trị này với xác suất bằng một và theo định nghĩa, M(C)=C×1=C
Thuộc tính 2. Kỳ vọng toán học của tổng đại số của các biến ngẫu nhiên bằng tổng đại số của kỳ vọng toán học của chúng.
Chúng tôi giới hạn bản thân mình chỉ chứng minh tính chất này cho tổng của hai biến ngẫu nhiên rời rạc, tức là hãy chứng minh điều đó
Dưới tổng của hai từ rời rạc. Đại lượng được hiểu như sau. Đại lượng nhận giá trị có xác suất
Theo định nghĩa
đâu là xác suất của sự kiện được tính toán với điều kiện . Vế phải của đẳng thức cuối cùng liệt kê tất cả các trường hợp xảy ra sự kiện, do đó nó bằng tổng xác suất xảy ra sự kiện, tức là. 
. Tương tự như vậy 
. Cuối cùng chúng tôi có
Thuộc tính 3. Kỳ vọng toán học của tích hai biến ngẫu nhiên độc lập bằng tích kỳ vọng toán học của chúng.
| bạn | … | |||||||
| Q | … | |||||||
| X | … | |||||||
| R | … | |||||||
Chúng tôi trình bày bằng chứng về tính chất này chỉ với các đại lượng rời rạc. Đối với các biến ngẫu nhiên liên tục, điều đó được chứng minh theo cách tương tự.
Cho X và Y độc lập và có quy luật phân phối
Tích của các biến ngẫu nhiên này sẽ là biến ngẫu nhiên nhận các giá trị có xác suất bằng nhau, do tính độc lập của các biến ngẫu nhiên,… Sau đó
Kết quả. Hệ số không đổi có thể được coi là dấu hiệu của kỳ vọng toán học. Vì vậy, hằng số thế kỷ C không phụ thuộc vào giá trị của từ đó. giá trị X, sau đó theo tính chất 3. chúng ta có
M(CX)=M(C)×M(X)=C×M(X)
Ví dụ. Nếu a và b là hằng số thì M(ax+b)=aM(x)+b.
Kỳ vọng toán học về số lần xuất hiện của một sự kiện trong thiết kế các thử nghiệm độc lập.
Cho n thí nghiệm độc lập được thực hiện, xác suất xảy ra một sự kiện trong mỗi thí nghiệm đó bằng P. Số lần xuất hiện của một sự kiện trong n thí nghiệm này là một biến ngẫu nhiên X được phân phối theo định luật nhị thức. Tuy nhiên, việc tính toán trực tiếp giá trị trung bình của nó là rất phức tạp. Để đơn giản hóa, chúng tôi sẽ sử dụng khai triển mà chúng tôi sẽ sử dụng nhiều lần trong tương lai: Số lần xuất hiện của một sự kiện trong n thử nghiệm bao gồm số lần xuất hiện của sự kiện đó trong các thử nghiệm riêng lẻ, tức là.
luật phân phối ở đâu (lấy giá trị 1 nếu sự kiện xảy ra trong một thử nghiệm nhất định và giá trị 0 nếu sự kiện không xuất hiện trong một thử nghiệm nhất định).
| R | thứ nhất | r |
Đó là lý do tại sao
những thứ kia. số lần xuất hiện trung bình của một sự kiện trong n thí nghiệm độc lập bằng tích của số thí nghiệm và xác suất xảy ra một sự kiện trong một thí nghiệm.
Ví dụ: nếu xác suất bắn trúng mục tiêu bằng một phát bắn là 0,1 thì số lần bắn trúng mục tiêu trung bình trong 20 phát bắn là 20x0,1=2.
Nhiệm vụ 1. Xác suất nảy mầm của hạt lúa mì là 0,9. Xác suất để trong số 4 hạt được gieo có ít nhất 3 hạt sẽ nảy mầm là bao nhiêu?
Giải pháp. Hãy để sự kiện MỘT– từ 4 hạt sẽ nảy mầm ít nhất 3 hạt; sự kiện TRONG– từ 4 hạt sẽ nảy mầm 3 hạt; sự kiện VỚI– Từ 4 hạt sẽ nảy mầm 4 hạt. Theo định lý cộng xác suất
Xác suất 
Và 
chúng tôi xác định bằng công thức Bernoulli, áp dụng trong trường hợp sau. Hãy để loạt phim được tổ chức N các thử nghiệm độc lập, trong mỗi thử nghiệm đó xác suất xảy ra sự kiện là không đổi và bằng r và xác suất để sự kiện này không xảy ra là bằng 
. Khi đó xác suất để sự kiện đó MỘT V. N bài kiểm tra sẽ xuất hiện chính xác 
lần, được tính bằng công thức Bernoulli
,
Ở đâu 
- số lượng kết hợp của N các yếu tố bởi 
. Sau đó
Xác suất yêu cầu
Nhiệm vụ 2. Xác suất nảy mầm của hạt lúa mì là 0,9. Tính xác suất để trong số 400 hạt gieo có 350 hạt nảy mầm.
Giải pháp. Tính xác suất cần thiết 
việc sử dụng công thức Bernoulli gặp khó khăn do tính toán phức tạp. Do đó, chúng tôi áp dụng công thức gần đúng thể hiện định lý địa phương Laplace:
,
Ở đâu 
Và 
.
Từ điều kiện bài toán. Sau đó
.
Từ bảng 1 của phần phụ lục chúng ta tìm thấy. Xác suất cần thiết là bằng
Nhiệm vụ 3. Hạt lúa mì chứa 0,02% cỏ dại. Xác suất để nếu chọn ngẫu nhiên 10.000 hạt sẽ tìm được 6 hạt cỏ dại là bao nhiêu?
Giải pháp. Ứng dụng định lý địa phương Laplace do xác suất thấp 
dẫn đến sai lệch đáng kể về xác suất so với giá trị chính xác 
. Vì vậy, ở những giá trị nhỏ rđể tính toán 
áp dụng công thức tiệm cận Poisson
, Ở đâu .
Công thức này được sử dụng khi 
, và càng ít r và hơn thế nữa N, kết quả càng chính xác.
Theo điều kiện của vấn đề 
;
. Sau đó
Nhiệm vụ 4. Tỷ lệ nảy mầm của hạt lúa mì là 90%. Tìm xác suất để trong số 500 hạt gieo có từ 400 đến 440 hạt nảy mầm.
Giải pháp. Nếu xác suất xảy ra một sự kiện MỘT trong mỗi N các bài kiểm tra là không đổi và bằng nhau r, thì xác suất 
sự kiện đó MỘT trong những thử nghiệm như vậy sẽ không kém 
một lần và không còn nữa 
lần được xác định theo định lý tích phân Laplace theo công thức sau:
, Ở đâu
, 
.
Chức năng 
gọi là hàm Laplace. Các phụ lục (Bảng 2) đưa ra các giá trị của hàm này cho 
. Tại 
chức năng 
. Đối với giá trị âm X do tính kỳ lạ của hàm Laplace 
. Sử dụng hàm Laplace, ta có:
Theo điều kiện của nhiệm vụ. Sử dụng các công thức trên chúng ta tìm thấy 
Và 
:
Nhiệm vụ 5.Định luật phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc được đưa ra X:
Tìm: 1) kỳ vọng toán học; 2) phân tán; 3) độ lệch chuẩn.
Giải pháp. 1) Nếu quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc được cho bởi bảng
|
| ||||||
Trong đó dòng đầu tiên chứa các giá trị của biến ngẫu nhiên x và dòng thứ hai chứa xác suất của các giá trị này thì kỳ vọng toán học được tính bằng công thức
2) Phương sai 
biến ngẫu nhiên rời rạc Xđược gọi là kỳ vọng toán học của độ lệch bình phương của một biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán học của nó, tức là
Giá trị này đặc trưng cho giá trị kỳ vọng trung bình của độ lệch bình phương X từ 
. Từ công thức cuối cùng chúng ta có
Phương sai 
có thể được tìm thấy theo cách khác, dựa trên tính chất sau của nó: độ phân tán 
bằng chênh lệch giữa kỳ vọng toán học của bình phương của biến ngẫu nhiên X và bình phương kỳ vọng toán học của nó 
, đó là
Để tính toán 
Hãy xây dựng định luật phân bố số lượng sau đây 
:
3) Để mô tả sự phân tán các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó, độ lệch chuẩn được đưa ra 
biến ngẫu nhiên X, bằng căn bậc hai của phương sai 
, đó là
.
Từ công thức này ta có: 
Nhiệm vụ 6. Biến ngẫu nhiên liên tục Xđược đưa ra bởi hàm phân phối tích lũy
Tìm: 1) hàm phân phối vi phân 
; 2) kỳ vọng toán học 
; 3) phương sai 
.
Giải pháp. 1) Hàm phân phối vi phân 
biến ngẫu nhiên liên tục Xđược gọi là đạo hàm của hàm phân phối tích lũy 
, đó là
.
Hàm vi phân cần tìm có dạng sau:
2) Nếu một biến ngẫu nhiên liên tục Xđược cho bởi hàm 
, thì kỳ vọng toán học của nó được xác định bởi công thức
Kể từ khi chức năng 
Tại 
và tại 
bằng 0, thì từ công thức cuối cùng chúng ta có
.
3) Phương sai 
chúng ta sẽ xác định theo công thức
Nhiệm vụ 7. Chiều dài của bộ phận là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng toán học là 40 mm và độ lệch chuẩn là 3 mm. Tìm: 1) xác suất để chiều dài của một bộ phận được lấy tùy ý sẽ lớn hơn 34 mm và nhỏ hơn 43 mm; 2) xác suất chiều dài của bộ phận sẽ sai lệch so với kỳ vọng toán học của nó không quá 1,5 mm.
Giải pháp. 1) Hãy để X- chiều dài của phần Nếu biến ngẫu nhiên Xđược cho bởi hàm vi phân 
, thì xác suất để X sẽ lấy các giá trị thuộc phân khúc 
, được xác định bởi công thức
.
Xác suất của bất đẳng thức nghiêm ngặt 
được xác định bởi cùng một công thức. Nếu biến ngẫu nhiên Xđược phân phối theo quy luật chuẩn thì
, (1)
Ở đâu 
– Hàm Laplace, 
.
Trong nhiệm vụ. Sau đó
2) Theo điều kiện của bài toán, trong đó 
. Thay vào (1), ta có
. (2)
Từ công thức (2) ta có.
Các biến ngẫu nhiên, ngoài luật phân phối, còn có thể được mô tả đặc điểm số .
Kỳ vọng toán học M(x) của một biến ngẫu nhiên được gọi là giá trị trung bình của nó.
Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên rời rạc được tính bằng công thức
Ở đâu – giá trị biến ngẫu nhiên, p Tôi- xác suất của chúng.
Hãy xem xét các tính chất của kỳ vọng toán học:
1. Kỳ vọng toán học của một hằng số bằng chính hằng số đó
2. Nếu nhân một biến ngẫu nhiên với một số k nhất định thì kỳ vọng toán học sẽ được nhân với cùng một số đó
M(kx) = km(x)
3. Kỳ vọng toán học của tổng các biến ngẫu nhiên bằng tổng kỳ vọng toán học của chúng
M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)
4. M(x1 - x2) = M(x1) - M(x2)
5. Đối với các biến ngẫu nhiên độc lập x 1, x 2,… x n thì kỳ vọng toán học của tích bằng tích kỳ vọng toán học của chúng
M (x 1, x 2, … x n) = M (x 1) M (x 2) … M (x n)
6. M(x - M(x)) = M(x) - M(M(x)) = M(x) - M(x) = 0
Hãy tính kỳ vọng toán học cho biến ngẫu nhiên từ Ví dụ 11.
M(x) = = 
.
Ví dụ 12. Cho các biến ngẫu nhiên x 1, x 2 được xác định tương ứng theo quy luật phân phối:
x 1 Bảng 2
x 2 Bảng 3
Hãy tính M (x 1) và M (x 2)
M (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 = 0
M (x 2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 = 0
Kỳ vọng toán học của cả hai biến ngẫu nhiên đều giống nhau - chúng bằng 0. Tuy nhiên, bản chất phân phối của chúng là khác nhau. Nếu các giá trị của x 1 khác một chút so với kỳ vọng toán học của chúng, thì các giá trị của x 2 khác biệt rất nhiều so với kỳ vọng toán học của chúng và xác suất của những sai lệch đó là không nhỏ. Những ví dụ này cho thấy rằng không thể xác định từ giá trị trung bình những sai lệch nào xảy ra so với giá trị đó, cả nhỏ hơn và lớn hơn. Vì vậy, với lượng mưa trung bình hàng năm như nhau ở hai khu vực, không thể nói rằng những khu vực này thuận lợi như nhau cho công việc nông nghiệp. Tương tự, dựa vào chỉ số lương trung bình cũng không thể đánh giá được tỷ trọng lao động được trả lương cao và thấp. Do đó, một đặc tính số được đưa ra - sự phân tán D(x) , đặc trưng cho mức độ sai lệch của một biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình của nó:
D(x) = M(x - M(x)) 2 . (2)
Độ phân tán là kỳ vọng toán học của độ lệch bình phương của một biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán học. Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc, phương sai được tính bằng công thức:
D(x)= 
= 
(3)
Từ định nghĩa độ phân tán suy ra D(x) 0.
Đặc tính phân tán:
1. Phương sai của hằng số bằng 0
2. Nếu nhân một biến ngẫu nhiên với một số k nhất định thì phương sai sẽ được nhân với bình phương của số này
D(kx) = k2D(x)
3. D(x) = M(x2) – M2(x)
4. Đối với các biến ngẫu nhiên độc lập theo cặp x 1 , x 2 , … x n phương sai của tổng bằng tổng của các phương sai.
D(x 1 + x 2 + … + x n) = D(x 1) + D(x 2) +…+ D(x n)
Hãy tính phương sai cho biến ngẫu nhiên từ Ví dụ 11.
Kỳ vọng toán học M(x) = 1. Do đó, theo công thức (3) ta có:
D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2
Lưu ý rằng việc tính phương sai sẽ dễ dàng hơn nếu bạn sử dụng thuộc tính 3:
D(x) = M(x2) – M2(x).
Hãy tính phương sai của các biến ngẫu nhiên x 1 , x 2 từ Ví dụ 12 bằng công thức này. Kỳ vọng toán học của cả hai biến ngẫu nhiên đều bằng không.
D (x 1) = 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204
D (x 2) = (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 = 240 +20 = 260
Giá trị phương sai càng gần 0 thì độ chênh lệch của biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình càng nhỏ.
Đại lượng đó được gọi là độ lệch chuẩn. Chế độ biến ngẫu nhiên x loại rời rạc Md Giá trị của biến ngẫu nhiên có xác suất cao nhất được gọi.
Chế độ biến ngẫu nhiên x loại liên tục Md, là số thực được xác định là điểm cực đại của mật độ phân bố xác suất f(x).
Trung vị của một biến ngẫu nhiên x loại liên tục Mn là số thực thỏa mãn phương trình
Thuộc tính quan trọng nhất tiếp theo của một biến ngẫu nhiên sau kỳ vọng toán học là độ phân tán của nó, được định nghĩa là độ lệch bình phương trung bình so với giá trị trung bình:
Nếu biểu thị bằng thì phương sai VX sẽ là giá trị kỳ vọng. Đây là đặc điểm của sự “phân tán” của phân bố X.
Như một ví dụ đơn giản về tính phương sai, giả sử chúng ta vừa nhận được một lời đề nghị mà chúng ta không thể từ chối: ai đó đã đưa cho chúng ta hai giấy chứng nhận cho cùng một cuộc xổ số. Ban tổ chức xổ số bán 100 vé mỗi tuần, tham gia rút thăm riêng. Bốc thăm chọn ra một trong những tấm vé này thông qua quy trình ngẫu nhiên thống nhất - mỗi tấm vé có cơ hội được chọn như nhau - và chủ nhân của tấm vé may mắn đó sẽ nhận được một trăm triệu đô la. 99 người giữ vé số còn lại không trúng được gì.
Chúng ta có thể sử dụng quà tặng theo hai cách: mua hai vé trong một xổ số hoặc mua một vé để tham gia hai loại xổ số khác nhau. Chiến lược nào tốt hơn? Hãy thử phân tích nó. Để làm điều này, chúng ta hãy biểu thị bằng các biến ngẫu nhiên biểu thị quy mô tiền thắng của chúng ta trên vé thứ nhất và thứ hai. Giá trị kỳ vọng tính bằng triệu là
và điều này cũng đúng đối với các Giá trị kỳ vọng có tính cộng, vì vậy tổng lợi nhuận trung bình của chúng tôi sẽ là
bất kể chiến lược được áp dụng.
Tuy nhiên, hai chiến lược này có vẻ khác nhau. Hãy vượt xa các giá trị mong đợi và nghiên cứu phân bố xác suất đầy đủ
Nếu chúng ta mua hai vé trong một lần xổ số thì khả năng chúng ta không trúng giải nào là 98% và 2% - khả năng trúng 100 triệu. Nếu chúng ta mua vé cho các đợt rút thăm khác nhau, con số sẽ như sau: 98,01% - khả năng không trúng thưởng gì, cao hơn một chút so với trước đây; 0,01% - cơ hội trúng 200 triệu, cũng nhiều hơn trước một chút; và cơ hội trúng 100 triệu hiện nay là 1,98%. Do đó, trong trường hợp thứ hai, sự phân bố cường độ có phần phân tán hơn; giá trị trung bình, 100 triệu USD, ít có khả năng xảy ra hơn, trong khi giá trị cực đoan lại có nhiều khả năng xảy ra hơn.
Chính khái niệm về sự phân tán của một biến ngẫu nhiên mà sự phân tán nhằm phản ánh. Chúng tôi đo mức độ chênh lệch thông qua bình phương độ lệch của một biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán học của nó. Như vậy, trong trường hợp 1 phương sai sẽ là
trong trường hợp 2 phương sai là
Như chúng ta mong đợi, giá trị sau lớn hơn một chút, vì phân bố trong trường hợp 2 có phần dàn trải hơn.
Khi chúng ta làm việc với phương sai, mọi thứ đều bình phương nên kết quả có thể là những con số khá lớn. (Hệ số nhân là một nghìn tỷ, điều đó thật ấn tượng
ngay cả những người chơi đã quen với việc đặt cược lớn.) Để chuyển đổi các giá trị thành thang đo ban đầu có ý nghĩa hơn, người ta thường lấy căn bậc hai của phương sai. Số kết quả được gọi là độ lệch chuẩn và thường được ký hiệu bằng chữ cái Hy Lạp a:
Độ lệch chuẩn của độ lớn cho hai chiến lược xổ số của chúng tôi là . Ở một khía cạnh nào đó, lựa chọn thứ hai rủi ro hơn khoảng 71.247 USD.
Sự khác biệt giúp ích như thế nào trong việc lựa chọn chiến lược? Nó không rõ ràng. Một chiến lược có phương sai cao hơn sẽ rủi ro hơn; nhưng điều gì tốt hơn cho ví của chúng ta - chơi rủi ro hay chơi an toàn? Hãy để chúng tôi có cơ hội mua không phải hai vé mà là cả trăm vé. Khi đó chúng ta có thể đảm bảo trúng một lần xổ số (và phương sai sẽ bằng 0); hoặc bạn có thể chơi hàng trăm trận hòa khác nhau, xác suất không nhận được gì, nhưng có cơ hội khác 0 để giành được số tiền lên tới đô la. Việc lựa chọn một trong những lựa chọn thay thế này nằm ngoài phạm vi của cuốn sách này; tất cả những gì chúng ta có thể làm ở đây là giải thích cách thực hiện các phép tính.
Trên thực tế, có một cách đơn giản hơn để tính phương sai hơn là sử dụng trực tiếp định nghĩa (8.13). (Có mọi lý do để nghi ngờ một loại toán học ẩn nào đó ở đây; nếu không, tại sao phương sai trong các ví dụ xổ số lại trở thành bội số nguyên? Chúng ta có
kể từ - không đổi; kể từ đây,
“Phương sai là giá trị trung bình của bình phương trừ đi bình phương của giá trị trung bình.”
Ví dụ, trong bài toán xổ số, giá trị trung bình hóa ra là hoặc Phép trừ (bình phương của giá trị trung bình) cho kết quả mà chúng ta đã thu được trước đó theo một cách khó hơn.
Tuy nhiên, có một công thức thậm chí còn đơn giản hơn áp dụng khi chúng ta tính X và Y độc lập. Chúng ta có
vì, như chúng ta biết, đối với các biến ngẫu nhiên độc lập.
“Phương sai của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập bằng tổng phương sai của chúng.” Vì vậy, ví dụ, phương sai của số tiền có thể trúng được với một tờ vé số là bằng
Do đó, độ phân tán của tổng số tiền trúng thưởng của hai tờ vé số ở hai giải xổ số (độc lập) khác nhau sẽ là Giá trị phân tán tương ứng của vé số độc lập sẽ là
Phương sai của tổng số điểm tung trên hai con xúc xắc có thể được tính bằng cách sử dụng cùng một công thức, vì nó là tổng của hai biến ngẫu nhiên độc lập. chúng tôi có
cho đúng khối; do đó, trong trường hợp khối tâm bị dịch chuyển
do đó, nếu cả hai hình lập phương đều có khối tâm dịch chuyển. Lưu ý rằng trong trường hợp sau, phương sai sẽ lớn hơn, mặc dù nó thường lấy giá trị trung bình là 7 nhiều hơn so với trường hợp xúc xắc thông thường. Nếu mục tiêu của chúng ta là tạo ra nhiều số bảy may mắn hơn thì phương sai không phải là dấu hiệu thành công tốt nhất.
Được rồi, chúng ta đã thiết lập được cách tính phương sai. Nhưng chúng tôi vẫn chưa đưa ra câu trả lời cho câu hỏi tại sao cần tính phương sai. Mọi người đều làm điều đó, nhưng tại sao? Nguyên nhân chính là do bất đẳng thức Chebyshev, nó thiết lập một tính chất quan trọng của độ phân tán:
(Bất đẳng thức này khác với bất đẳng thức Chebyshev đối với tổng mà chúng ta gặp trong Chương 2.) Ở mức độ định tính, (8.17) phát biểu rằng biến ngẫu nhiên X hiếm khi nhận các giá trị xa giá trị trung bình của nó nếu phương sai VX của nó nhỏ. Bằng chứng
việc quản lý cực kỳ đơn giản. Thật sự,
phép chia để hoàn thành việc chứng minh.
Nếu chúng ta biểu thị kỳ vọng toán học bằng a và độ lệch chuẩn bằng a và thay thế vào (8.17) thì điều kiện trở thành do đó, chúng ta thu được từ (8.17)
Như vậy, X sẽ nằm trong khoảng - lần độ lệch chuẩn của giá trị trung bình của nó trừ trường hợp xác suất không vượt quá Biến ngẫu nhiên sẽ nằm trong khoảng 2a của ít nhất 75% số lần thử; từ đến - ít nhất là cho 99%. Đây là những trường hợp bất đẳng thức Chebyshev.
Nếu bạn ném một vài viên xúc xắc một lần, thì tổng số điểm trong tất cả các lần ném hầu như sẽ luôn gần bằng nhau. Lý do cho điều này là như sau: phương sai của các lần ném độc lập sẽ là Phương sai có nghĩa là độ lệch chuẩn của mọi thứ.
Do đó, từ bất đẳng thức Chebyshev ta thu được tổng các điểm sẽ nằm giữa
ít nhất là 99% số lần tung xúc xắc đúng. Ví dụ: kết quả của một triệu lần tung có xác suất trên 99% sẽ nằm trong khoảng từ 6,976 triệu đến 7,024 triệu.
Nói chung, đặt X là biến ngẫu nhiên bất kỳ trên không gian xác suất Π có kỳ vọng toán học hữu hạn và độ lệch chuẩn hữu hạn a. Sau đó, chúng ta có thể đưa vào xem xét không gian xác suất Pn, các sự kiện cơ bản của nó là các chuỗi trong đó mỗi , và xác suất được định nghĩa là
Nếu bây giờ chúng ta xác định các biến ngẫu nhiên bằng công thức
sau đó giá trị
sẽ là tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập, tương ứng với quá trình tính tổng các biểu thức độc lập của giá trị X trên P. Kỳ vọng toán học sẽ bằng và độ lệch chuẩn - ; do đó, giá trị trung bình của việc thực hiện,
sẽ dao động từ đến trong ít nhất 99% khoảng thời gian. Nói cách khác, nếu bạn chọn một giá trị đủ lớn thì trung bình số học của các phép thử độc lập hầu như sẽ luôn rất gần với giá trị mong đợi (Trong sách giáo khoa lý thuyết xác suất, một định lý còn mạnh hơn nữa đã được chứng minh, gọi là định luật mạnh của số lớn; nhưng đối với chúng tôi hệ quả đơn giản của bất đẳng thức Chebyshev mà chúng tôi vừa đưa ra.)
Đôi khi chúng ta không biết các đặc tính của không gian xác suất, nhưng chúng ta cần ước tính kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên X bằng cách sử dụng các quan sát lặp lại giá trị của nó. (Ví dụ: chúng ta có thể muốn biết nhiệt độ trung bình vào buổi trưa tháng Giêng ở San Francisco; hoặc chúng ta có thể muốn biết tuổi thọ mà các đại lý bảo hiểm dựa vào đó để tính toán). Nếu có sẵn những quan sát thực nghiệm độc lập, chúng ta có thể giả định rằng kỳ vọng toán học thực sự xấp xỉ bằng nhau
Bạn cũng có thể ước tính phương sai bằng công thức
Nhìn vào công thức này, bạn có thể nghĩ rằng có lỗi đánh máy trong đó; có vẻ như nó sẽ ở đó như trong (8.19), vì giá trị thực của độ phân tán được xác định trong (8.15) thông qua các giá trị kỳ vọng. Tuy nhiên, thay thế ở đây bằng cho phép chúng ta có được ước lượng tốt hơn, vì theo định nghĩa (8.20) thì
Đây là bằng chứng:
(Trong phép tính này chúng ta dựa vào tính độc lập của các quan sát khi thay thế bằng )
Trong thực tế, để đánh giá kết quả của một phép thử với biến ngẫu nhiên X, người ta thường tính giá trị trung bình thực nghiệm và độ lệch chuẩn thực nghiệm rồi viết kết quả dưới dạng. Ví dụ, đây là kết quả của việc ném một cặp xúc xắc, có lẽ đúng.