Ví dụ về phân phối Poisson Phân bố Poisson

Trong đó λ bằng số lần xuất hiện trung bình của các sự kiện trong các thử nghiệm độc lập giống hệt nhau, tức là λ = n × p, trong đó p là xác suất của một sự kiện trong một lần thử, e = 2,71828.

Chuỗi phân bố luật Poisson có dạng:


Mục đích của dịch vụ. Máy tính trực tuyến được sử dụng để xây dựng phân phối Poisson và tính toán tất cả các đặc điểm của chuỗi: kỳ vọng toán học, phương sai và độ lệch chuẩn. Báo cáo kèm theo quyết định được lập dưới dạng Word.
Số lượng bài kiểm tra: n= , Xác suất p =
Tính xác suất của: m =
sẽ đến một lần
ít hơn một lần
không kém một lần
hơn một lần
không còn nữa một lần
không kém và không còn nữa một lần
sẽ xảy ra ít nhất một lần
Trong trường hợp n lớn và λ = p n > 10, công thức Poisson cho một giá trị gần đúng rất thô và các định lý cục bộ và tích phân của Moivre-Laplace được sử dụng để tính P n (m).

Đặc tính số của biến ngẫu nhiên X

Kỳ vọng về phân phối Poisson
M[X] = λ

Phương sai của phân phối Poisson
D[X] = λ

Ví dụ số 1. Hạt chứa 0,1% cỏ dại. Xác suất tìm thấy 5 hạt cỏ dại nếu bạn chọn ngẫu nhiên 2000 hạt là bao nhiêu?
Giải pháp.
Xác suất p nhỏ nhưng số n lớn. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0,03609
Kỳ vọng: M[X] = λ = 2
phân tán: D[X] = λ = 2

Ví dụ số 2. Trong số hạt lúa mạch đen có 0,4% hạt cỏ dại. Hãy vẽ luật phân bố số lượng cỏ dại bằng cách chọn ngẫu nhiên 5000 hạt. Tìm kỳ vọng và phương sai toán học của biến ngẫu nhiên này.
Giải pháp. Kỳ vọng toán học: M[X] = λ = 0,004*5000 = 20. Độ phân tán: D[X] = λ = 20
Luật phân phối:

X0 1 2 … tôi…
Pe-2020e -20200e -20… 20 m e -20 /m!…

Ví dụ số 3. Tại tổng đài điện thoại, xảy ra kết nối không chính xác với xác suất là 1/200. Tìm xác suất để trong số 200 kết nối xảy ra trường hợp sau:
a) chính xác một kết nối không chính xác;
b) ít hơn ba kết nối không chính xác;
c) nhiều hơn hai kết nối không chính xác.
Giải pháp. Theo điều kiện của bài toán, xác suất xảy ra sự kiện này thấp nên ta sử dụng công thức Poisson (15).
a) Cho: n = 200, p = 1/200, k = 1. Tìm P 200 (1).
Chúng tôi nhận được: . Khi đó P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
b) Cho: n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
Ta có: a = 1.

c) Cho: n = 200, p = 1/200, k > 2. Tìm P 200 (k > 2).
Vấn đề này có thể được giải quyết đơn giản hơn: tìm xác suất của sự kiện ngược lại, vì trong trường hợp này bạn cần tính ít số hạng hơn. Xét trường hợp trước, ta có

Xét trường hợp n đủ lớn và p đủ nhỏ; hãy đặt np = a, trong đó a là một số nào đó. Trong trường hợp này, xác suất mong muốn được xác định theo công thức Poisson:


Xác suất xuất hiện của k sự kiện trong khoảng thời gian t cũng có thể được tính bằng công thức Poisson:
trong đó λ là cường độ của dòng sự kiện, nghĩa là số lượng sự kiện trung bình xuất hiện trên một đơn vị thời gian.

Ví dụ số 4. Xác suất để bộ phận đó bị lỗi là 0,005. 400 bộ phận được kiểm tra. Hãy đưa ra công thức tính xác suất để có hơn 3 bộ phận bị lỗi.

Ví dụ số 5. Xác suất xuất hiện các bộ phận bị lỗi trong quá trình sản xuất hàng loạt là p. xác định xác suất để một lô N phần chứa a) đúng ba phần; b) không quá ba bộ phận bị lỗi.
p=0,001; N = 4500
Giải pháp.
Xác suất p nhỏ nhưng số n lớn. np = 4,5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
Biến ngẫu nhiên X có phạm vi giá trị (0,1,2,...,m). Xác suất của các giá trị này có thể được tìm thấy bằng công thức:

Hãy tìm chuỗi phân phối của X.
Ở đây λ = np = 4500*0,001 = 4,5
P(0) = e - λ = e -4,5 = 0,01111
P(1) = λe -λ = 4,5e -4,5 = 0,04999

Khi đó xác suất để một lô N phần chứa đúng ba phần là:

Khi đó xác suất để một lô N bộ phận chứa không quá ba bộ phận bị lỗi là:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

Ví dụ số 6. Một tổng đài điện thoại tự động nhận được trung bình N cuộc gọi mỗi giờ. Xác định xác suất để trong một phút nhất định cô ấy sẽ nhận được: a) đúng hai cuộc gọi; b) nhiều hơn hai cuộc gọi.
N=18
Giải pháp.
Trong một phút tổng đài điện thoại tự động nhận được trung bình λ = 18/60 phút. = 0,3
Giả sử rằng số lượng cuộc gọi ngẫu nhiên X nhận được tại PBX trong một phút,
tuân theo định luật Poisson, sử dụng công thức ta sẽ tìm được xác suất mong muốn

Hãy tìm chuỗi phân phối của X.
Ở đây λ = 0,3
P(0) = e - λ = e -0,3 = 0,7408
P(1) = λe -λ = 0,3e -0,3 = 0,2222

Xác suất để cô ấy nhận được đúng hai cuộc gọi trong một phút là:
P(2) = 0,03334
Xác suất để cô ấy nhận được nhiều hơn hai cuộc gọi trong một phút là:
P(x>2) = 1 – 0,7408 – 0,2222 – 0,03334 = 0,00366

Ví dụ số 7. Hai yếu tố hoạt động độc lập với nhau được xem xét. Khoảng thời gian hoạt động không có sự cố có phân bố hàm mũ với tham số λ1 = 0,02 cho phần tử thứ nhất và λ2 = 0,05 cho phần tử thứ hai. Tìm xác suất để trong 10 giờ: a) cả hai phần tử đều hoạt động bình thường; b) chỉ Xác suất phần tử số 1 không hỏng trong 10 giờ:
Phán quyết.
P 1 (0) = e -λ1*t = e -0,02*10 = 0,8187

Xác suất để nguyên tố số 2 không hỏng trong 10 giờ:
P 2 (0) = e -λ2*t = e -0,05*10 = 0,6065

a) cả hai phần tử sẽ hoạt động hoàn hảo;
P(2) = P 1 (0)*P 2 (0) = 0,8187*0,6065 = 0,4966
b) chỉ có một phần tử bị lỗi.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0,8187*(1-0,6065) + (1-0,8187) *0,6065 = 0,4321

Ví dụ số 7. Quá trình sản xuất tạo ra 1% lỗi. Xác suất để trong số 1100 sản phẩm được đưa đi nghiên cứu có không quá 17 sản phẩm bị từ chối là bao nhiêu?
Ghi chú: vì ở đây n*p =1100*0.01=11 > 10 nên cần phải sử dụng

Trong nhiều bài toán thực tế người ta phải giải quyết các biến ngẫu nhiên được phân bố theo một định luật đặc biệt gọi là định luật Poisson.

Hãy xem xét một biến ngẫu nhiên không liên tục chỉ có thể nhận các giá trị nguyên, không âm:

Hơn nữa, về mặt lý thuyết, chuỗi các giá trị này là không giới hạn.

Một biến ngẫu nhiên được cho là có phân phối theo định luật Poisson nếu xác suất để nó nhận một giá trị nhất định được biểu thị bằng công thức

trong đó a là đại lượng dương nào đó gọi là tham số định luật Poisson.

Chuỗi phân phối của một biến ngẫu nhiên được phân phối theo định luật Poisson có dạng:

Trước hết, chúng ta hãy đảm bảo rằng dãy xác suất được cho bởi công thức (5.9.1) có thể là một chuỗi phân phối, tức là rằng tổng của tất cả các xác suất bằng một. Chúng tôi có:

.

Trong hình. Hình 5.9.1 thể hiện các đa giác phân bố của một biến ngẫu nhiên được phân bố theo định luật Poisson, tương ứng với các giá trị khác nhau của tham số. Phụ lục Bảng 8 hiển thị các giá trị cho các tệp .

Chúng ta hãy xác định các đặc điểm chính - kỳ vọng và phương sai toán học - của một biến ngẫu nhiên được phân phối theo định luật Poisson. Theo định nghĩa của kỳ vọng toán học

.

Số hạng đầu tiên của tổng (tương ứng với ) bằng 0, do đó, phép tính tổng có thể bắt đầu bằng:

Hãy biểu thị ; Sau đó

. (5.9.2)

Vì vậy, tham số không gì khác hơn là kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên.

Để xác định độ phân tán, trước tiên chúng ta tìm thời điểm ban đầu thứ hai của đại lượng:

Theo chứng minh trước đây

Bên cạnh đó,

Do đó, phương sai của một biến ngẫu nhiên được phân phối theo định luật Poisson bằng với kỳ vọng toán học của nó.

Tính chất này của phân phối Poisson thường được sử dụng trong thực tế để quyết định xem giả thuyết về một biến ngẫu nhiên được phân phối theo định luật Poisson có hợp lý hay không. Để làm điều này, các đặc tính thống kê—kỳ vọng và phân tán toán học—của một biến ngẫu nhiên được xác định từ kinh nghiệm. Nếu giá trị của chúng gần nhau thì điều này có thể đóng vai trò là lập luận ủng hộ giả thuyết phân phối Poisson; ngược lại, sự khác biệt rõ rệt về những đặc điểm này lại phản đối giả thuyết này.

Chúng ta hãy xác định đối với một biến ngẫu nhiên được phân phối theo định luật Poisson, xác suất để nó nhận giá trị không nhỏ hơn giá trị đã cho. Hãy biểu thị xác suất này:

Rõ ràng, xác suất có thể được tính bằng tổng

Tuy nhiên, việc xác định nó dựa trên xác suất của sự kiện ngược lại sẽ dễ dàng hơn nhiều:

(5.9.4)

Cụ thể, xác suất để một đại lượng nhận giá trị dương được biểu thị bằng công thức

(5.9.5)

Chúng tôi đã đề cập rằng nhiều bài toán thực hành dẫn đến phân phối Poisson. Hãy xem xét một trong những vấn đề điển hình của loại này.

Cho các điểm được phân bố ngẫu nhiên trên trục x Ox (Hình 5.9.2). Giả sử rằng sự phân bố ngẫu nhiên của các điểm thỏa mãn các điều kiện sau:

1. Xác suất của một số điểm cụ thể rơi trên một đoạn chỉ phụ thuộc vào độ dài của đoạn đó chứ không phụ thuộc vào vị trí của nó trên trục hoành. Nói cách khác, các điểm được phân bố trên trục x với mật độ trung bình như nhau. Chúng ta hãy biểu thị mật độ này (tức là kỳ vọng toán học về số điểm trên một đơn vị chiều dài) bằng .

2. Các điểm được phân bố trên trục x độc lập với nhau, tức là. xác suất của một hoặc một số điểm khác rơi trên một đoạn nhất định không phụ thuộc vào số lượng điểm trong số đó rơi vào bất kỳ đoạn nào khác không trùng với đoạn đó.

3. Xác suất để hai hoặc nhiều điểm chạm vào một khu vực nhỏ là không đáng kể so với xác suất để một điểm chạm vào (điều kiện này có nghĩa là trên thực tế không thể có hai hoặc nhiều điểm trùng nhau).

Hãy chọn một đoạn có độ dài nhất định trên trục hoành độ và xem xét một biến ngẫu nhiên rời rạc - số điểm rơi trên đoạn này. Các giá trị có thể có sẽ là

Vì các điểm rơi trên đoạn độc lập với nhau nên về mặt lý thuyết có thể có nhiều điểm ở đó như mong muốn, tức là. chuỗi (5.9.6) tiếp tục vô tận.

Hãy chứng minh rằng biến ngẫu nhiên có luật phân phối Poisson. Để làm điều này, chúng tôi tính toán xác suất đoạn đó sẽ chứa chính xác các điểm.

Trước tiên hãy giải quyết một vấn đề đơn giản hơn. Chúng ta hãy xem xét một khu vực nhỏ trên trục Ox và tính xác suất để có ít nhất một điểm rơi trên khu vực này. Chúng tôi sẽ lý luận như sau. Kỳ vọng toán học về số điểm rơi vào phần này rõ ràng là bằng nhau (vì trung bình của các điểm rơi trên một đơn vị chiều dài). Theo điều kiện 3, đối với một đoạn nhỏ chúng ta có thể bỏ qua khả năng có hai hoặc nhiều điểm rơi vào đoạn đó. Do đó, kỳ vọng toán học về số điểm rơi trên khu vực đó sẽ xấp xỉ bằng xác suất một điểm rơi trên khu vực đó (hoặc, trong điều kiện của chúng tôi là tương đương, ít nhất là một).

Do đó, với độ chính xác lên đến vô cùng nhỏ ở bậc cao hơn, chúng ta có thể giả sử rằng xác suất để một (ít nhất một) điểm rơi trên địa điểm là bằng , và xác suất để không có điểm nào rơi bằng .

Hãy sử dụng điều này để tính xác suất các điểm rơi chính xác trên một đoạn. Chia đoạn thẳng thành các phần có độ dài bằng nhau. Chúng ta hãy đồng ý gọi một đoạn cơ bản là “trống” nếu nó không chứa một điểm nào và “chiếm” nếu có ít nhất một điểm xuất hiện. Theo công thức trên, xác suất để phân đoạn đó “bận” xấp xỉ bằng ; xác suất để nó "trống" là bằng . Vì theo điều kiện 2, các điểm rơi vào các phân đoạn không chồng chéo là độc lập, nên n phân đoạn của chúng ta có thể được coi là các “thí nghiệm” độc lập, trong đó mỗi phân đoạn có thể được “chiếm giữ” với xác suất . Hãy tìm xác suất để trong số các phân đoạn sẽ có chính xác "được chiếm giữ". Theo định lý lặp lại thí nghiệm thì xác suất này bằng

hoặc, biểu thị ,

(5.9.7)

Khi đủ lớn, xác suất này xấp xỉ bằng xác suất để các điểm rơi chính xác trên một đoạn, vì xác suất để hai hoặc nhiều điểm rơi trên một đoạn là không đáng kể. Để tìm giá trị chính xác, bạn cần đi đến giới hạn trong biểu thức (5.9.7) tại:

(5.9.8)

Hãy biến đổi biểu thức dưới dấu giới hạn:

(5.9.9)

Phân số đầu tiên và mẫu số của phân số cuối cùng trong biểu thức (5.9.9) cho , rõ ràng có xu hướng thống nhất. Biểu thức không phụ thuộc vào. Tử số của phân số cuối cùng có thể được chuyển đổi như sau:

(5.9.10)

Khi nào và biểu thức (5.9.10) có xu hướng . Như vậy, người ta đã chứng minh được xác suất để điểm rơi đúng vào một đoạn được biểu thị bằng công thức

ở đâu, tức là giá trị của X được phân phối theo định luật Poisson với tham số .

Lưu ý rằng giá trị là số điểm trung bình trên mỗi phân đoạn.

Giá trị (xác suất mà giá trị của X sẽ nhận giá trị dương) trong trường hợp này biểu thị xác suất có ít nhất một điểm sẽ rơi trên đoạn:

Do đó, chúng tôi tin rằng phân phối Poisson xảy ra khi một số điểm (hoặc phần tử khác) chiếm một vị trí ngẫu nhiên độc lập với nhau và số điểm này rơi vào một khu vực nào đó sẽ được tính. Trong trường hợp của chúng tôi, “vùng” như vậy là một đoạn trên trục hoành. Tuy nhiên, kết luận của chúng ta có thể dễ dàng mở rộng cho trường hợp phân bố các điểm trên mặt phẳng (trường điểm phẳng ngẫu nhiên) và trong không gian (trường không gian ngẫu nhiên của điểm). Không khó để chứng minh rằng nếu thỏa mãn điều kiện:

1) các điểm được phân bố đều về mặt thống kê trên thực địa với mật độ trung bình;

2) các điểm rơi vào các vùng không chồng chéo một cách độc lập;

3) các điểm xuất hiện đơn lẻ, không xuất hiện theo cặp, bộ ba, v.v., khi đó số điểm rơi vào một khu vực bất kỳ (phẳng hoặc không gian) được phân bố theo định luật Poisson:

số điểm trung bình rơi vào khu vực là bao nhiêu.

Đối với trường hợp phẳng

diện tích của khu vực ở đâu; cho không gian

khối lượng của khu vực ở đâu.

Lưu ý rằng đối với phân bố Poisson của số điểm rơi vào một đoạn hoặc một vùng, điều kiện mật độ không đổi () là không quan trọng. Nếu hai điều kiện còn lại được đáp ứng thì định luật Poisson vẫn đúng, chỉ có tham số a trong nó có một biểu thức khác: nó thu được không chỉ bằng cách nhân mật độ với chiều dài, diện tích hoặc thể tích của vùng, mà bằng cách tích phân mật độ thay đổi trên phân khúc, diện tích hoặc khối lượng. (Để biết thêm về điều này, xem số 19.4)

Sự hiện diện của các điểm ngẫu nhiên nằm rải rác trên một đường thẳng, mặt phẳng hoặc khối không phải là điều kiện duy nhất để xảy ra phân bố Poisson. Ví dụ, người ta có thể chứng minh rằng định luật Poisson giới hạn phân phối nhị thức:

, (5.9.12)

nếu đồng thời số lượng thí nghiệm có xu hướng vô cùng và xác suất bằng 0 và tích của chúng không đổi:

Thật vậy, tính chất giới hạn này của phân bố nhị thức có thể được viết là:

. (5.9.14)

Nhưng từ điều kiện (5.9.13) nó suy ra rằng

Thay (5.9.15) vào (5.9.14), ta thu được đẳng thức

, (5.9.16)

mà chúng tôi vừa chứng minh ở một dịp khác.

Tính chất giới hạn này của định luật nhị thức thường được sử dụng trong thực tế. Giả sử rằng một số lượng lớn các thí nghiệm độc lập được thực hiện, trong đó mỗi sự kiện đều có xác suất rất thấp. Sau đó, để tính xác suất một sự kiện sẽ xuất hiện đúng một lần, bạn có thể sử dụng công thức gần đúng:

, (5.9.17)

đâu là tham số của định luật Poisson gần như thay thế phân bố nhị thức.

Từ tính chất này của định luật Poisson - để biểu thị phân bố nhị thức với số lượng lớn thí nghiệm và xác suất xảy ra sự kiện thấp - xuất hiện tên của nó, thường được sử dụng trong sách giáo khoa thống kê: quy luật hiện tượng hiếm gặp.

Hãy xem xét một số ví dụ liên quan đến phân bố Poisson từ nhiều lĩnh vực thực hành khác nhau.

Ví dụ 1. Tổng đài điện thoại tự động nhận cuộc gọi với mật độ cuộc gọi trung bình mỗi giờ. Giả sử rằng số cuộc gọi trong một khoảng thời gian bất kỳ được phân phối theo định luật Poisson, hãy tìm xác suất để có đúng ba cuộc gọi đến trạm trong hai phút.

Giải pháp. Số cuộc gọi trung bình trong 2 phút là:

Sq.m. Để bắn trúng mục tiêu, ít nhất một mảnh vỡ là đủ để bắn trúng mục tiêu. Tìm xác suất bắn trúng mục tiêu tại một vị trí nhất định của điểm dừng.

Giải pháp. . Sử dụng công thức (5.9.4), chúng ta tìm được xác suất chạm vào ít nhất một mảnh:

(Để tính giá trị của hàm mũ ta sử dụng Bảng 2 của Phụ lục).

Ví dụ 7. Mật độ trung bình của vi khuẩn gây bệnh trong một mét khối không khí là 100. Lấy một mẫu 2 mét khối. dm của không khí. Tìm xác suất để có ít nhất một vi khuẩn được tìm thấy trong đó.

Giải pháp. Chấp nhận giả thuyết về phân bố Poisson của số lượng vi khuẩn trong một thể tích, chúng tôi thấy:

Ví dụ 8. 50 phát đạn độc lập được bắn vào một mục tiêu nhất định. Xác suất bắn trúng mục tiêu trong một phát bắn là 0,04. Sử dụng tính chất giới hạn của phân bố nhị thức (công thức (5.9.17)), tìm gần đúng xác suất mục tiêu sẽ bị bắn trúng: không phải một viên đạn, một viên đạn, hai viên đạn.

Giải pháp. Chúng tôi có. Sử dụng bảng 8 trong phụ lục chúng ta tìm được các xác suất.

Trường hợp phổ biến nhất của các loại phân phối xác suất khác nhau là phân phối nhị thức. Chúng ta hãy sử dụng tính linh hoạt của nó để xác định các loại phân phối cụ thể phổ biến nhất gặp phải trong thực tế.

Phân phối nhị thức

Giả sử có một biến cố nào đó A. Xác suất xảy ra biến cố A bằng P, xác suất để biến cố A không xảy ra là 1 P, đôi khi nó được chỉ định là q. Cho phép N số lượng bài kiểm tra, tôi tần suất xuất hiện của sự kiện A trong các trường hợp này N các bài kiểm tra.

Được biết, tổng xác suất của tất cả các kết quả có thể xảy ra đều bằng một, đó là:

1 = P N + N · P N 1 (1 P) + C N N 2 P N 2 (1 P) 2 + + C N tôi · P tôi· (1 P) N – tôi+ + (1 P) N .

P N xác suất rằng trong NN một lần;

N · P N 1 (1 P) xác suất rằng trong NN 1) một lần và sẽ không xảy ra 1 lần;

C N N 2 P N 2 (1 P) 2 xác suất rằng trong N kiểm tra thì sự kiện A sẽ xảy ra ( N 2) lần và sẽ không xảy ra 2 lần;

P tôi = C N tôi · P tôi· (1 P) N – tôi xác suất rằng trong N kiểm tra thì sự kiện A sẽ xảy ra tôi sẽ không bao giờ xảy ra ( N – tôi) một lần;

(1 P) N xác suất rằng trong N trong các thử nghiệm, sự kiện A sẽ không xảy ra dù chỉ một lần;

số lượng kết hợp của N Qua tôi .

Kỳ vọng M phân phối nhị thức bằng:

M = N · P ,

Ở đâu N số lượng bài kiểm tra, P xác suất xảy ra biến cố A.

Độ lệch chuẩn σ :

σ = sqrt( N · P· (1 P)) .

Ví dụ 1. Tính xác suất để một sự kiện có xác suất xảy ra P= 0,5, trong N= 10 lần thử sẽ diễn ra tôi= 1 lần. Chúng tôi có: C 10 1 = 10 và hơn thế nữa: P 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,0098. Như chúng ta có thể thấy, xác suất xảy ra sự kiện này là khá thấp. Điều này trước hết được giải thích bởi thực tế là hoàn toàn không rõ liệu sự kiện đó có xảy ra hay không, vì xác suất là 0,5 và cơ hội ở đây là “50 đến 50”; và thứ hai, phải tính toán rằng sự kiện sẽ xảy ra đúng một lần (không hơn không kém) trong số mười sự kiện.

Ví dụ 2. Tính xác suất để một sự kiện có xác suất xảy ra P= 0,5, trong N= 10 lần thử sẽ diễn ra tôi= 2 lần. Chúng tôi có: C 10 2 = 45 và hơn thế nữa: P 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,044. Khả năng sự kiện này xảy ra đã tăng lên!

Ví dụ 3. Hãy tăng khả năng xảy ra sự kiện đó. Hãy làm cho nó có nhiều khả năng hơn. Tính xác suất để một sự kiện có xác suất xảy ra P= 0,8, trong N= 10 lần thử sẽ diễn ra tôi= 1 lần. Chúng tôi có: C 10 1 = 10 và hơn thế nữa: P 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,000004. Xác suất đã trở nên ít hơn trong ví dụ đầu tiên! Câu trả lời thoạt nghe có vẻ kỳ lạ nhưng vì sự kiện này có xác suất khá cao nên khó có thể chỉ xảy ra một lần. Có nhiều khả năng nó sẽ xảy ra nhiều lần. Thật vậy, tính P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10 (xác suất xảy ra một sự kiện trong N= 10 lần thử sẽ xảy ra 0, 1, 2, 3, , 10 lần) ta sẽ thấy:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,8 0 (1 0,8) 10 0 = 1 1 0,2 10 = 0,0000…;
P 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,0000…;
P 2 = 45 0,8 2 (1 0,8) 10 2 = 45 0,8 2 0,2 ​​8 = 0,0000…;
P 3 = 120 0,8 3 (1 0,8) 10 3 = 120 0,8 3 0,2 7 = 0,0008…;
P 4 = 210 0,8 4 (1 0,8) 10 4 = 210 0,8 4 0,2 6 = 0,0055…;
P 5 = 252 0,8 5 (1 0,8) 10 5 = 252 0,8 5 0,2 5 = 0,0264…;
P 6 = 210 0,8 6 (1 0,8) 10 6 = 210 0,8 6 0,2 4 = 0,0881…;
P 7 = 120 0,8 7 (1 0,8) 10 7 = 120 0,8 7 0,2 3 = 0,2013…;
P 8 = 45 0,8 8 (1 0,8) 10 8 = 45 0,8 8 0,2 2 = 0,3020…(xác suất cao nhất!);
P 9 = 10 0,8 9 (1 0,8) 10 9 = 10 0,8 9 0,2 1 = 0,2684…;
P 10 = 1 0,8 10 (1 0,8) 10 10 = 1 0,8 10 0,2 0 = 0,1074…

Tất nhiên rồi P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Phân phối bình thường

Nếu chúng ta mô tả số lượng P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10 mà chúng ta đã tính ở ví dụ 3, trên đồ thị, hóa ra phân bố của chúng có dạng gần với luật phân phối chuẩn (xem Hình 27.1) (xem bài 25. Mô hình hóa các biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn).

Cơm. 27.1. Kiểu phân phối nhị thức
xác suất cho các m khác nhau tại p = 0,8, n = 10

Luật nhị thức trở nên chuẩn tắc nếu xác suất xảy ra và không xảy ra của sự kiện A gần như nhau, nghĩa là chúng ta có thể viết có điều kiện: P≈ (1 P) . Ví dụ, hãy lấy N= 10 và P= 0,5 (tức là P= 1 P = 0.5 ).

Ví dụ, chúng ta sẽ giải quyết vấn đề như vậy một cách có ý nghĩa nếu, chẳng hạn, chúng ta muốn tính toán về mặt lý thuyết có bao nhiêu bé trai và bao nhiêu bé gái trong số 10 đứa trẻ được sinh ra tại bệnh viện phụ sản trong cùng một ngày. Chính xác hơn, chúng ta sẽ không tính con trai và con gái mà tính xác suất chỉ sinh con trai, 1 bé trai và 9 bé gái, 2 bé trai và 8 bé gái, v.v. Để đơn giản, chúng ta hãy giả sử rằng xác suất sinh con trai và con gái là như nhau và bằng 0,5 (nhưng trên thực tế, thành thật mà nói thì không phải vậy, hãy xem khóa học “Mô hình hóa hệ thống trí tuệ nhân tạo”).

Rõ ràng là sự phân bố sẽ đối xứng, vì xác suất có 3 bé trai và 7 bé gái bằng xác suất có 7 bé trai và 3 bé gái. Khả năng sinh con lớn nhất sẽ là 5 bé trai và 5 bé gái. Nhân tiện, xác suất này bằng 0,25, nó không lớn về giá trị tuyệt đối. Hơn nữa, xác suất để 10 hoặc 9 bé trai được sinh ra cùng một lúc nhỏ hơn nhiều so với xác suất 5 ± 1 bé trai được sinh ra trong số 10 đứa trẻ. Phân phối nhị thức sẽ giúp chúng ta thực hiện phép tính này. Vì thế.

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,5 0 (1 0,5) 10 0 = 1 1 0,5 10 = 0,000977…;
P 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,009766…;
P 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,043945…;
P 3 = 120 0,5 3 (1 0,5) 10 3 = 120 0,5 10 = 0,117188…;
P 4 = 210 0,5 4 (1 0,5) 10 4 = 210 0,5 10 = 0,205078…;
P 5 = 252 0,5 5 (1 0,5) 10 5 = 252 0,5 10 = 0,246094…;
P 6 = 210 0,5 6 (1 0,5) 10 6 = 210 0,5 10 = 0,205078…;
P 7 = 120 0,5 7 (1 0,5) 10 7 = 120 0,5 10 = 0,117188…;
P 8 = 45 0,5 8 (1 0,5) 10 8 = 45 0,5 10 = 0,043945…;
P 9 = 10 0,5 9 (1 0,5) 10 9 = 10 0,5 10 = 0,009766…;
P 10 = 1 0,5 10 (1 0,5) 10 10 = 1 0,5 10 = 0,000977…

Tất nhiên rồi P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Hãy hiển thị số lượng trên biểu đồ P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10 (xem Hình 27.2).

Cơm. 27.2. Đồ thị phân bố nhị thức có tham số
p = 0,5 và n = 10, đưa nó đến gần hơn với định luật chuẩn tắc

Vì vậy, trong điều kiện tôi ≈ N/2 và P≈ 1 P hoặc P≈ 0,5 thay vì phân phối nhị thức, bạn có thể sử dụng phân phối bình thường. Đối với các giá trị lớn Nđồ thị dịch chuyển sang phải và ngày càng trở nên phẳng hơn khi kỳ vọng và phương sai toán học tăng lên khi tăng N : M = N · P , D = N · P· (1 P) .

Nhân tiện, luật nhị thức có xu hướng bình thường và tăng dần N, điều này khá tự nhiên, theo định lý giới hạn trung tâm (xem bài 34. Ghi và xử lý kết quả thống kê).

Bây giờ hãy xem xét luật nhị thức thay đổi như thế nào trong trường hợp khi P ≠ q, đó là P> 0 . Trong trường hợp này, giả thuyết về phân phối chuẩn không thể được áp dụng và phân phối nhị thức trở thành phân phối Poisson.

Phân bố Poisson

Phân phối Poisson là trường hợp đặc biệt của phân phối nhị thức (với N>> 0 và tại P>0 (sự kiện hiếm)).

Một công thức toán học được biết đến cho phép bạn tính gần đúng giá trị của bất kỳ thành viên nào trong phân phối nhị thức:

Ở đâu Một = N · P Tham số Poisson (kỳ vọng toán học) và phương sai bằng kỳ vọng toán học. Hãy để chúng tôi trình bày các phép tính toán học giải thích sự chuyển đổi này. Luật phân phối nhị thức

P tôi = C N tôi · P tôi· (1 P) N – tôi

có thể được viết nếu bạn đặt P = Một/N , ở dạng

Bởi vì P rất nhỏ nên chỉ tính đến các con số tôi, nhỏ so với N. Công việc

rất gần gũi với sự đoàn kết. Điều tương tự cũng áp dụng cho kích thước

Kích cỡ

rất gần với e – Một. Từ đây ta có công thức:

Ví dụ. Hộp chứa N= 100 bộ phận, cả chất lượng cao và bị lỗi. Xác suất nhận được sản phẩm bị lỗi là P= 0,01 . Giả sử chúng ta lấy một sản phẩm ra, xác định xem nó có bị lỗi hay không và đặt nó trở lại. Bằng cách này, hóa ra trong số 100 sản phẩm mà chúng tôi đã xem xét, có hai sản phẩm bị lỗi. Khả năng của việc này là gì?

Từ phân phối nhị thức ta có:

Từ phân phối Poisson ta có:

Như bạn có thể thấy, các giá trị hóa ra rất gần nhau, vì vậy trong trường hợp xảy ra các sự kiện hiếm hoi, việc áp dụng định luật Poisson là hoàn toàn có thể chấp nhận được, đặc biệt vì nó đòi hỏi ít nỗ lực tính toán hơn.

Chúng ta hãy biểu diễn bằng đồ họa dạng định luật Poisson. Hãy lấy các tham số làm ví dụ P = 0.05 , N= 10 . Sau đó:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,05 0 (1 0,05) 10 0 = 1 1 0,95 10 = 0,5987…;
P 1 = 10 0,05 1 (1 0,05) 10 1 = 10 0,05 1 0,95 9 = 0,3151…;
P 2 = 45 0,05 2 (1 0,05) 10 2 = 45 0,05 2 0,95 8 = 0,0746…;
P 3 = 120 0,05 3 (1 0,05) 10 3 = 120 0,05 3 0,95 7 = 0,0105…;
P 4 = 210 0,05 4 (1 0,05) 10 4 = 210 0,05 4 0,95 6 = 0,00096…;
P 5 = 252 0,05 5 (1 0,05) 10 5 = 252 0,05 5 0,95 5 = 0,00006…;
P 6 = 210 0,05 6 (1 0,05) 10 6 = 210 0,05 6 0,95 4 = 0,0000…;
P 7 = 120 0,05 7 (1 0,05) 10 7 = 120 0,05 7 0,95 3 = 0,0000…;
P 8 = 45 0,05 8 (1 0,05) 10 8 = 45 0,05 8 0,95 2 = 0,0000…;
P 9 = 10 0,05 9 (1 0,05) 10 9 = 10 0,05 9 0,95 1 = 0,0000…;
P 10 = 1 0,05 10 (1 0,05) 10 10 = 1 0,05 10 0,95 0 = 0,0000…

Tất nhiên rồi P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Cơm. 27.3. Đồ thị phân phối Poisson tại p = 0,05 và n = 10

Tại N> ∞ phân bố Poisson trở thành luật chuẩn tắc, theo định lý giới hạn trung tâm (xem phần 2).

Ngay khi yêu cầu bắt đầu đến: “Poisson ở đâu? Đâu là vấn đề khi sử dụng công thức Poisson? vân vân.. Và vì vậy tôi sẽ bắt đầu với sử dụng riêng Phân phối Poisson - do nhu cầu cao về vật liệu.

Nhiệm vụ này quen thuộc một cách đau đớn:

Và hai nhiệm vụ tiếp theo về cơ bản khác với những nhiệm vụ trước:

Ví dụ 4

Biến ngẫu nhiên tuân theo định luật Poisson với kỳ vọng toán học. Tìm xác suất để một biến ngẫu nhiên nhất định sẽ nhận giá trị nhỏ hơn kỳ vọng toán học của nó.

Sự khác biệt là ở đây chúng ta đang nói CHÍNH XÁC về phân bố Poisson.

Giải pháp: biến ngẫu nhiên nhận giá trị với xác suất:

Theo điều kiện, , và ở đây mọi thứ đều đơn giản: sự kiện bao gồm ba kết quả không nhất quán:

Xác suất để một biến ngẫu nhiên nhận giá trị nhỏ hơn kỳ vọng toán học của nó.

Trả lời:

Một nhiệm vụ hiểu tương tự:

Ví dụ 5

Biến ngẫu nhiên tuân theo định luật Poisson với kỳ vọng toán học. Tìm xác suất để một biến ngẫu nhiên nhất định nhận giá trị dương.

Đáp án và đáp án ở cuối bài.

Bên cạnh đó đang đến gầnphân phối nhị thức(Ví dụ 1-3), phân bố Poisson đã được ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết xếp hàng cho đặc điểm xác suất đơn giản nhất dòng sự kiện. Tôi sẽ cố gắng ngắn gọn:

Hãy để một số hệ thống nhận được yêu cầu (cuộc gọi điện thoại, khách hàng đến, v.v.). Luồng ứng dụng được gọi là đơn giản nhất, nếu thỏa mãn điều kiện tính cố định, không có hậu quả Và sự tầm thường. Tính dừng ngụ ý rằng cường độ của các yêu cầu không thay đổi và không phụ thuộc vào thời gian trong ngày, ngày trong tuần hoặc các khung thời gian khác. Nói cách khác, không có “giờ cao điểm” và không có “giờ chết”. Việc không có hậu quả có nghĩa là xác suất của các ứng dụng mới không phụ thuộc vào “thời tiền sử”, tức là. không có chuyện “bà này kể” còn bà kia “chạy lên” (hoặc ngược lại là bỏ chạy). Và cuối cùng, tính chất bình thường được đặc trưng bởi thực tế là đủ nhỏ khoảng thời gian gần như không thể sự xuất hiện của hai hoặc nhiều ứng dụng. "Hai bà già ở cửa?" - không, xin lỗi.

Vì vậy, hãy để một số hệ thống nhận được luồng ứng dụng đơn giản nhất với cường độ trung bìnhứng dụng mỗi phút (mỗi giờ, mỗi ngày hoặc vào một khoảng thời gian tùy ý). Khi đó xác suất mà trong một khoảng thời gian nhất định, hệ thống sẽ nhận được chính xác các yêu cầu bằng:

Ví dụ 6

Các cuộc gọi đến trung tâm điều phối taxi là một luồng Poisson đơn giản với cường độ trung bình là 30 cuộc gọi mỗi giờ. Tìm xác suất để: a) trong 1 phút. Sẽ có 2-3 cuộc gọi đến, b) sẽ có ít nhất một cuộc gọi trong vòng năm phút.

Giải pháp: chúng tôi sử dụng công thức Poisson:

a) Xét tính dừng của luồng, ta tính số cuộc gọi trung bình trong 1 phút:
cuộc gọi - trung bình trong một phút.

Theo định lý cộng xác suất của các biến cố không tương thích:
– xác suất để trong 1 phút phòng điều khiển nhận được 2-3 cuộc gọi.

b) Tính số cuộc gọi trung bình trong 5 phút:

Hãy xem xét phân phối Poisson, tính toán kỳ vọng, phương sai và mode toán học của nó. Sử dụng hàm MS EXCEL POISSON.DIST(), chúng ta sẽ xây dựng đồ thị của hàm phân phối và mật độ xác suất. Chúng ta hãy ước tính tham số phân phối, kỳ vọng toán học và độ lệch chuẩn của nó.

Đầu tiên, chúng tôi đưa ra một định nghĩa hình thức khô khan về phân phối, sau đó chúng tôi đưa ra ví dụ về các tình huống khi Phân bố Poisson(Tiếng Anh) Poissonphân bổ) là mô hình thích hợp để mô tả một biến ngẫu nhiên.

Nếu các sự kiện ngẫu nhiên xảy ra trong một khoảng thời gian nhất định (hoặc trong một khối lượng vật chất nhất định) với tần suất trung bình λ( lambda), thì số sự kiện x, xảy ra trong khoảng thời gian này sẽ có Phân bố Poisson.

Ứng dụng phân phối Poisson

Ví dụ khi Phân bố Poisson là một mô hình thích hợp:

  • số lượng cuộc gọi nhận được tại tổng đài điện thoại trong một khoảng thời gian nhất định;
  • số lượng hạt đã trải qua quá trình phân rã phóng xạ trong một khoảng thời gian nhất định;
  • số lỗi trên một mảnh vải có chiều dài cố định.

Phân bố Poisson là mô hình phù hợp nếu thoả mãn các điều kiện sau:

  • các sự kiện xảy ra độc lập với nhau, tức là xác suất của sự kiện tiếp theo không phụ thuộc vào sự kiện trước đó;
  • tỷ lệ sự kiện trung bình là không đổi. Kết quả là, xác suất của một sự kiện tỷ lệ thuận với độ dài của khoảng thời gian quan sát;
  • hai sự kiện không thể xảy ra cùng một lúc;
  • số sự kiện phải lấy giá trị 0; 1; 2…

Ghi chú: Một manh mối tốt là biến ngẫu nhiên quan sát được có Phân phối Poisson, thực tế là nó gần bằng nhau (xem bên dưới).

Dưới đây là ví dụ về các tình huống Phân bố Poisson không thểđược áp dụng:

  • số lượng sinh viên rời trường trong vòng một giờ (vì lưu lượng sinh viên trung bình không đổi: trong giờ học có ít sinh viên và trong giờ giải lao giữa các lớp, số lượng sinh viên tăng mạnh);
  • số trận động đất mạnh 5 độ richter mỗi năm ở California (vì một trận động đất có thể gây ra dư chấn có biên độ tương tự - các sự kiện không độc lập);
  • số ngày bệnh nhân nằm ở phòng chăm sóc đặc biệt (vì số ngày bệnh nhân nằm ở phòng chăm sóc đặc biệt luôn lớn hơn 0).

Ghi chú: Phân bố Poisson là xấp xỉ của phân bố rời rạc chính xác hơn: và .

Ghi chú: Về mối quan hệ Phân bố Poisson Và Phân phối nhị thức có thể đọc trong bài viết. Về mối quan hệ Phân bố Poisson Và Phân phối theo cấp số nhân có thể được đọc trong bài viết về.

Phân phối Poisson trong MS EXCEL

Trong MS EXCEL, bắt đầu từ phiên bản 2010, dành cho Phân phối Poisson có một hàm POISSON.DIST(), tên tiếng Anh - POISSON.DIST(), cho phép bạn tính toán không chỉ xác suất xảy ra trong một khoảng thời gian nhất định X sự kiện (chức năng mật độ xác suất p(x), xem công thức ở trên), nhưng cũng (xác suất để trong một khoảng thời gian nhất định ít nhất x sự kiện).

Trước MS EXCEL 2010, EXCEL có hàm POISSON(), hàm này cũng cho phép bạn tính toán hàm phân phối Và mật độ xác suất p(x). POISSON() được để lại trong MS EXCEL 2010 để tương thích.

Tệp ví dụ chứa biểu đồ phân bố mật độ xác suất Và hàm phân phối tích lũy.

Phân bố Poisson có hình dạng lệch (một cái đuôi dài ở bên phải của hàm xác suất), nhưng khi tham số λ tăng lên thì nó càng trở nên đối xứng hơn.

Ghi chú: Trung bình Và sự phân tán(vuông) bằng tham số Phân bố Poisson– λ (xem tập tin bảng ví dụ Ví dụ).

Nhiệm vụ

Ứng dụng điển hình Phân phối Poisson trong kiểm soát chất lượng là mô hình về số lượng khuyết tật có thể xuất hiện trong một dụng cụ hoặc thiết bị.

Ví dụ: với số lỗi trung bình trong một con chip λ (lambda) bằng 4, xác suất một con chip được chọn ngẫu nhiên sẽ có 2 lỗi trở xuống là: = POISSON.DIST(2,4,TRUE)=0,2381

Tham số thứ 3 trong hàm được đặt = TRUE nên hàm sẽ trả về hàm phân phối tích lũy, nghĩa là xác suất để số sự kiện ngẫu nhiên nằm trong khoảng từ 0 đến 4.

Tính toán trong trường hợp này được thực hiện theo công thức:

Xác suất để một vi mạch được chọn ngẫu nhiên có đúng 2 lỗi là: = POISSON.DIST(2,4,FALSE)=0,1465

Tham số thứ ba trong hàm được đặt = FALSE nên hàm sẽ trả về mật độ xác suất.

Xác suất để một vi mạch được chọn ngẫu nhiên có nhiều hơn 2 lỗi là: =1-POISSON.DIST(2,4,TRUE) =0,8535

Ghi chú: Nếu như x không phải là số nguyên thì khi tính công thức . Công thức =POISSON.DIST( 2 ; 4; NÓI DỐI) Và =POISSON.DIST( 2,9 ; 4; NÓI DỐI) sẽ trả về kết quả tương tự.

Tạo số ngẫu nhiên và ước tính λ

Đối với các giá trị của λ >15 , Phân bố Poisson cũng gần đúng Phân phối bình thường với các tham số sau: μ =λ , σ 2 =λ .

Bạn có thể tìm thêm thông tin chi tiết về mối quan hệ giữa các bản phân phối này trong bài viết. Ngoài ra còn có các ví dụ về phép tính gần đúng và các điều kiện khi nào có thể thực hiện được cũng như mức độ chính xác được giải thích.

KHUYÊN BẢO: Bạn có thể đọc về các bản phân phối MS EXCEL khác trong bài viết.