Giá trị nhỏ nhất của hàm số là. Cách tìm giá trị nhỏ nhất của hàm

Quá trình tìm kiếm các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của một hàm trên một đoạn gợi nhớ đến một chuyến bay hấp dẫn xung quanh một vật thể (đồ thị của hàm) trên trực thăng, bắn vào một số điểm nhất định từ một khẩu pháo tầm xa và chọn rất điểm đặc biệt từ những điểm này cho các cú đánh kiểm soát. Điểm được chọn theo một cách nhất định và theo quy tắc nhất định. Theo quy luật nào? Chúng ta sẽ nói về điều này hơn nữa.

Nếu chức năng y = f(x) liên tục trên khoảng [ Một, b] , thì nó sẽ đến đoạn này ít nhất Và giá trị cao nhất . Điều này có thể xảy ra ở điểm cực trị, hoặc ở cuối đoạn. Vì vậy, để tìm ít nhất Và giá trị lớn nhất của hàm , liên tục trên khoảng [ Một, b] , bạn cần tính các giá trị của nó trong tất cả điểm quan trọng và ở cuối đoạn, sau đó chọn phần nhỏ nhất và lớn nhất từ chúng.

Ví dụ, bạn cần xác định giá trị cao nhất chức năng f(x) trên đoạn [ Một, b] . Để làm điều này, bạn cần tìm tất cả các điểm tới hạn của nó nằm trên [ Một, b] .

Điểm tới hạn được gọi là điểm mà tại đó hàm được xác định, và cô ấy phái sinh bằng 0 hoặc không tồn tại. Sau đó, các giá trị của hàm tại các điểm tới hạn sẽ được tính toán. Và cuối cùng, người ta nên so sánh các giá trị của hàm tại các điểm tới hạn và ở cuối đoạn ( f(Một) Và f(b)). Số lớn nhất trong số này sẽ là giá trị lớn nhất của hàm trên đoạn [Một, b] .

Các vấn đề về tìm giá trị hàm nhỏ nhất .

Chúng ta cùng nhau tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm

Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm trên phân khúc [-1, 2] .

Giải pháp. Tìm đạo hàm của hàm này. Hãy đánh đồng đạo hàm với 0 () và nhận được hai điểm tới hạn: và . Để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm trên vì phân khúc này chỉ cần tính giá trị của nó ở cuối đoạn và tại điểm là đủ, vì điểm đó không thuộc đoạn [-1, 2]. Các giá trị hàm này như sau: , , . Từ đó suy ra rằng giá trị nhỏ nhất chức năng(được biểu thị bằng màu đỏ trên biểu đồ bên dưới), bằng -7, đạt được ở đầu bên phải của đoạn - tại điểm , và vĩ đại nhất(cũng có màu đỏ trên biểu đồ), bằng 9, - tại điểm tới hạn.

Nếu một hàm số liên tục trong một khoảng nhất định và khoảng này không phải là một đoạn (chẳng hạn, là một khoảng; sự khác biệt giữa một khoảng và một đoạn: các điểm biên của khoảng không được bao gồm trong khoảng, nhưng các điểm biên của đoạn được bao gồm trong đoạn đó), thì trong số các giá trị của hàm có thể không có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất. Vì vậy, ví dụ, hàm hiển thị trong hình bên dưới là liên tục trên ]-∞, +∞[ và không có giá trị lớn nhất.

Tuy nhiên, với bất kỳ khoảng nào (đóng, mở hoặc vô hạn), tính chất sau đây của hàm liên tục đều đúng.

Ví dụ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm trên phân khúc [-1, 3] .

Giải pháp. Chúng ta tìm thấy đạo hàm của hàm này là đạo hàm của thương:

Chúng ta đánh đồng đạo hàm bằng 0, điều này cho chúng ta một điểm tới hạn: . Nó thuộc đoạn [-1, 3] . Để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm trên một đoạn nhất định, chúng ta tìm giá trị của nó ở cuối đoạn và tại điểm tới hạn tìm được:

Hãy so sánh các giá trị này. Kết luận: bằng -5/13, tại điểm và giá trị cao nhất bằng 1 tại điểm .

Chúng ta tiếp tục cùng nhau tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số

Có những giáo viên khi tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số không đưa ra cho học sinh những ví dụ giải phức tạp hơn những ví dụ vừa trình bày, tức là những ví dụ trong đó hàm đó là đa thức hoặc a. phân số có tử số và mẫu số là đa thức. Nhưng chúng ta sẽ không giới hạn mình trong những ví dụ như vậy, vì trong số các giáo viên có những người thích ép học sinh suy nghĩ đầy đủ (bảng đạo hàm). Do đó, hàm logarit và hàm lượng giác sẽ được sử dụng.

Ví dụ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm trên phân khúc .

Giải pháp. Chúng tôi tìm thấy đạo hàm của hàm này là phái sinh của sản phẩm :

Chúng ta đánh đồng đạo hàm bằng 0, điều này cho một điểm tới hạn: . Nó thuộc về phân khúc. Để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm trên một đoạn nhất định, chúng ta tìm giá trị của nó ở cuối đoạn và tại điểm tới hạn tìm được:

Kết quả của mọi hành động: hàm đạt giá trị nhỏ nhất, bằng 0, tại điểm và tại điểm và giá trị cao nhất, bình đẳng e², tại điểm.

Ví dụ 7. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm trên phân khúc .

Giải pháp. Tìm đạo hàm của hàm này:

Chúng ta đánh đồng đạo hàm bằng 0:

Điểm quan trọng duy nhất thuộc về phân khúc. Để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm trên một đoạn nhất định, chúng ta tìm giá trị của nó ở cuối đoạn và tại điểm tới hạn tìm được:

Phần kết luận: hàm đạt giá trị nhỏ nhất, bằng , tại điểm và giá trị cao nhất, bằng , tại điểm .

Trong các bài toán cực trị được áp dụng, việc tìm các giá trị nhỏ nhất (tối đa) của hàm, theo quy luật, sẽ dẫn đến việc tìm giá trị tối thiểu (tối đa). Nhưng bản thân mức tối thiểu hoặc mức tối đa không phải là điều được quan tâm thực tế hơn mà là những giá trị của đối số mà chúng đạt được. Khi giải các bài toán ứng dụng sẽ nảy sinh thêm khó khăn- tổng hợp các chức năng mô tả hiện tượng hoặc quá trình đang được xem xét.

Ví dụ 8. Một bể chứa có sức chứa 4 người, có hình song song với đế vuông và mở ở trên cùng, bạn cần phải thiếc nó. Kích thước của bể phải là bao nhiêu để nó có thể che được nó? số tiền ít nhất vật liệu?

Giải pháp. Cho phép x- mặt đế, h- chiều cao bể, S- diện tích bề mặt của nó không có lớp phủ, V.- khối lượng của nó. Diện tích bề mặt của bể được biểu thị bằng công thức, tức là là hàm hai biến. Để thể hiện S là hàm của một biến, chúng ta sử dụng thực tế là , từ đâu . Thay thế biểu thức tìm thấy h vào công thức tính S:

Chúng ta hãy xem xét chức năng này đến cực trị của nó. Nó được xác định và khả vi ở mọi nơi trong ]0, +∞[ và

Chúng ta đánh đồng đạo hàm bằng 0 () và tìm điểm tới hạn. Ngoài ra, khi đạo hàm không tồn tại nhưng giá trị này không nằm trong miền định nghĩa và do đó không thể là điểm cực trị. Vì vậy, đây là điểm quan trọng duy nhất. Hãy kiểm tra sự tồn tại của cực trị bằng cách sử dụng dấu đủ thứ hai. Hãy tìm đạo hàm thứ hai. Khi đạo hàm bậc hai lớn hơn 0 (). Điều này có nghĩa là khi hàm đạt cực tiểu . Vì điều này cực tiểu là cực trị duy nhất của hàm này, nó là giá trị nhỏ nhất của nó. Vậy cạnh đáy của bể phải là 2 m và chiều cao của nó là .

Ví dụ 9. Từ điểm MỘT nằm trên tuyến đường sắt, đến điểm VỚI, nằm cách nó một khoảng tôi, hàng hóa phải được vận chuyển. Chi phí vận chuyển một đơn vị trọng lượng trên một đơn vị khoảng cách bằng đường sắt bằng , và bằng đường cao tốc bằng . Đến điểm nào M dòng đường sắt nên xây dựng đường cao tốc để vận chuyển hàng hóa từ MỘT V. VỚI là tiết kiệm nhất (phần ABđường sắt được coi là thẳng)?

Điểm cực trị của hàm số là gì và điều kiện cần để có điểm cực trị là gì?

Cực trị của hàm số là cực đại và cực tiểu của hàm số.

Điều kiện tiên quyết Cực đại và cực tiểu (cực đại) của một hàm như sau: nếu hàm f(x) có cực trị tại điểm x = a thì tại điểm này đạo hàm bằng 0, vô hạn hoặc không tồn tại.

Điều kiện này là cần thiết nhưng chưa đủ. Đạo hàm tại điểm x = a có thể tiến tới 0, vô cùng hoặc không tồn tại nếu hàm số không có cực trị tại điểm này.

Điều kiện đủ để đạt cực trị của hàm số (cực đại hoặc cực tiểu) là gì?

Điều kiện đầu tiên:

Nếu, ở đủ gần điểm x = a, đạo hàm f?(x) dương ở bên trái a và âm ở bên phải a, thì tại điểm x = a hàm f(x) có tối đa

Nếu, ở đủ gần điểm x = a, đạo hàm f?(x) âm ở bên trái a và dương ở bên phải a, thì tại điểm x = a hàm f(x) có tối thiểu với điều kiện hàm f(x) ở đây là liên tục.

Thay vào đó, bạn có thể sử dụng cái thứ hai đủ điều kiện cực trị của hàm số:

Giả sử tại điểm x = a đạo hàm bậc nhất f?(x) biến mất; nếu đạo hàm bậc hai f??(a) âm thì hàm f(x) có cực đại tại điểm x = a, nếu nó dương thì nó có cực tiểu.

Điểm tới hạn của hàm số là gì và làm thế nào để tìm thấy nó?

Đây là giá trị của đối số hàm mà tại đó hàm có cực trị (tức là cực đại hoặc cực tiểu). Để tìm thấy nó bạn cần tìm đạo hàm hàm f?(x) và, đánh đồng nó bằng 0, giải phương trình f?(x) = 0. Các nghiệm của phương trình này, cũng như những điểm mà tại đó đạo hàm của hàm này không tồn tại, là các điểm tới hạn, tức là các giá trị của đối số mà tại đó có thể có cực trị. Chúng có thể dễ dàng được xác định bằng cách nhìn vào đồ thị đạo hàm: chúng ta quan tâm đến các giá trị của đối số mà tại đó đồ thị của hàm giao với trục abscissa (trục Ox) và các giá trị mà tại đó đồ thị chịu sự gián đoạn.

Ví dụ, chúng ta hãy tìm cực trị của parabol.

Hàm số y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Đạo hàm của hàm số: y?(x) = 6x + 2

Giải phương trình: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

TRONG trong trường hợp nàyđiểm tới hạn là x0=-1/3. Chính với giá trị đối số này mà hàm có cực độ. Gửi anh ấy tìm thấy, thay thế số tìm thấy trong biểu thức của hàm thay vì “x”:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Làm thế nào để xác định mức tối đa và tối thiểu của hàm, tức là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của nó?

Nếu dấu của đạo hàm khi đi qua điểm tới hạn x0 thay đổi từ “cộng” thành “trừ” thì x0 là điểm tối đa; nếu dấu của đạo hàm thay đổi từ âm sang dương thì x0 là điểm tối thiểu; nếu dấu không thay đổi thì tại điểm x0 không có cực đại hay cực tiểu.

Đối với ví dụ được xem xét:

Hãy lấy nó giá trị tùy ý lập luận bên trái của điểm tới hạn: x = -1

Tại x = -1, giá trị của đạo hàm sẽ là y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (tức là dấu là “trừ”).

Bây giờ chúng ta lấy một giá trị tùy ý của đối số ở bên phải điểm tới hạn: x = 1

Tại x = 1, giá trị của đạo hàm sẽ là y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (tức là dấu là “cộng”).

Như bạn có thể thấy, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm tới hạn. Điều này có nghĩa là ở giá trị tới hạn x0 chúng ta có điểm tối thiểu.

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên khoảng thời gian(trên một đoạn) được tìm thấy bằng cách sử dụng cùng một quy trình, chỉ tính đến thực tế là có lẽ không phải tất cả các điểm tới hạn sẽ nằm trong khoảng được chỉ định. Những điểm tới hạn nằm ngoài khoảng phải được loại khỏi việc xem xét. Nếu chỉ có một điểm tới hạn trong khoảng thì nó sẽ có giá trị cực đại hoặc cực tiểu. Trong trường hợp này, để xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm, chúng ta cũng tính đến các giá trị của hàm ở cuối khoảng.

Ví dụ: hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

trong khoảng thời gian:

Vậy đạo hàm của hàm số là

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Ta giải phương trình 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Chúng tôi tìm thấy các điểm tới hạn trong khoảng [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (không bao gồm trong khoảng)

x = -arccos(0.16667) – 2π*1 = -7.687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0.16667) + 2π*0 = -1.403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (không bao gồm trong khoảng)

Ta tìm các giá trị của hàm tại giá trị quan trọng lý lẽ:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Có thể thấy rằng trên khoảng [-9; 9] hàm số có giá trị lớn nhất tại x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

và nhỏ nhất - tại x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Trên khoảng [-6; -3] chúng ta chỉ có một điểm tới hạn: x = -4,88. Giá trị của hàm số tại x = -4,88 bằng y = 5,398.

Tìm giá trị của hàm số ở cuối khoảng:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Trên khoảng [-6; -3] chúng ta có giá trị lớn nhất của hàm

y = 5,398 tại x = -4,88

giá trị nhỏ nhất -

y = 1,077 tại x = -3

Làm cách nào để tìm điểm uốn của đồ thị hàm số và xác định các cạnh lồi, lõm?

Để tìm tất cả các điểm uốn của đường thẳng y = f(x), bạn cần tìm đạo hàm bậc hai, cho nó bằng 0 (giải phương trình) và kiểm tra tất cả các giá trị của x mà đạo hàm bậc hai bằng 0, vô hạn hoặc không tồn tại. Nếu khi đi qua một trong các giá trị này, đạo hàm bậc hai đổi dấu thì đồ thị của hàm số có điểm uốn tại điểm này. Nếu nó không thay đổi thì không có sự uốn cong.

Các nghiệm của phương trình f? (x) = 0, cũng như các điểm gián đoạn có thể có của hàm số và đạo hàm bậc hai, chia miền định nghĩa của hàm số thành một số khoảng. Độ lồi trên mỗi khoảng của chúng được xác định bằng dấu của đạo hàm bậc hai. Nếu đạo hàm bậc hai tại một điểm trong khoảng đang nghiên cứu là dương thì đường y = f(x) lõm lên trên và nếu âm thì lõm xuống.

Làm thế nào để tìm cực trị của hàm hai biến?

Để tìm cực trị của hàm f(x,y), khả vi trong miền đặc tả của nó, bạn cần:

1) tìm các điểm tới hạn và để làm được điều này - giải hệ phương trình

fх? (x,y) = 0, vậy? (x,y) = 0

2) với mỗi điểm tới hạn P0(a;b) hãy kiểm tra xem dấu của hiệu có giữ nguyên không

với mọi điểm (x;y) đủ gần P0. Nếu chênh lệch vẫn dương thì tại điểm P0 chúng ta có mức tối thiểu, nếu âm thì chúng ta có mức tối đa. Nếu hiệu không giữ nguyên dấu thì tại điểm P0 không có cực trị.

Cực trị của hàm số được xác định tương tự với hơn lý lẽ.

Phim hoạt hình "Shrek Forever After" nói về chủ đề gì?
Phim hoạt hình: “Shrek Forever After” Năm phát hành: 2010 Công chiếu (Liên bang Nga): 20 tháng 5 năm 2010 Quốc gia: Mỹ Đạo diễn: Michael Pitchel Kịch bản: Josh Klausner, Darren Lemke Thể loại: hài gia đình, giả tưởng, phiêu lưu Trang web chính thức: www.shrekforeverafter .com Âm mưu con la

Có thể hiến máu trong thời kỳ kinh nguyệt?
Các bác sĩ không khuyến khích hiến máu trong thời kỳ kinh nguyệt vì... Mất máu, mặc dù với số lượng không đáng kể, nhưng lại dẫn đến giảm nồng độ huyết sắc tố và sức khỏe của người phụ nữ suy giảm. Trong quá trình hiến máu, tình hình sức khỏe của bạn có thể trở nên tồi tệ hơn cho đến khi xuất hiện chảy máu. Vì vậy, phụ nữ nên hạn chế hiến máu trong thời kỳ kinh nguyệt. Và đã vào ngày thứ 5 sau khi hoàn thành

Giặt sàn tiêu tốn bao nhiêu kcal/giờ?
Giống loài hoạt động thể chất Tiêu thụ năng lượng, kcal/giờ Nấu ăn 80 Mặc quần áo 30 Lái xe 50 Lau bụi 80 Ăn 30 Làm vườn 135 Là ủi 45 Dọn giường 130 Mua sắm 80 Công việc tĩnh tại 75 Chặt củi 300 Rửa sàn 130 Quan hệ tình dục 100-150 Nhảy aerobic cường độ thấp

Từ "kẻ gian" có nghĩa là gì?
Kẻ lừa đảo là một tên trộm chuyên trộm cắp vặt, hoặc một kẻ xảo quyệt có xu hướng lừa đảo. Định nghĩa này được xác nhận trong từ điển từ nguyên Krylov, theo đó từ “kẻ lừa đảo” được hình thành từ chữ “zhal” (kẻ trộm, kẻ lừa đảo), liên quan đến động từ &la

Câu chuyện được xuất bản gần đây nhất của anh em nhà Strugatsky có tên là gì?
Một câu chuyện ngắn Arkady và Boris Strugatsky "Về câu hỏi về chu kỳ" được xuất bản lần đầu tiên vào tháng 4 năm 2008 trong tuyển tập tiểu thuyết "Buổi trưa. Thế kỷ XXI" (phần bổ sung cho tạp chí "Vòng quanh thế giới", được xuất bản dưới sự biên tập của Boris Strugatsky). Việc xuất bản được ấn định trùng với lễ kỷ niệm 75 năm của Boris Strugatsky.

Bạn có thể đọc những câu chuyện từ những người tham gia chương trình Work And Travel USA ở đâu?
Làm việc và Du lịch Mỹ (làm việc và du lịch tại Mỹ) - chương trình phổ biến trao đổi sinh viên, theo đó bạn có thể dành mùa hè ở Mỹ, làm việc hợp pháp trong lĩnh vực dịch vụ và đi du lịch. Lịch sử của chương trình Work & Travel nằm trong chương trình trao đổi liên chính phủ Cultural Exchange Pro

Tai. Bối cảnh lịch sử và ẩm thực Trong hơn hai thế kỷ rưỡi, từ “ukha” đã được dùng để chỉ các món súp hoặc nước sắc từ cá tươi. Nhưng đã có lúc từ này được hiểu rộng hơn. Nó có nghĩa là súp - không chỉ cá, mà còn cả thịt, đậu và thậm chí cả đồ ngọt. Vì vậy, trong tài liệu lịch sử — «

Cổng thông tin và tuyển dụng Superjob.ru - cổng thông tin tuyển dụng Superjob.ru hoạt động trên thị trường Nga tuyển dụng trực tuyến từ năm 2000 và là công ty dẫn đầu trong số các nguồn cung cấp việc làm và tìm kiếm nhân sự. Mỗi ngày, hơn 80.000 sơ yếu lý lịch của các chuyên gia và hơn 10.000 vị trí tuyển dụng được thêm vào cơ sở dữ liệu của trang web.

Động lực là gì
Định nghĩa động lực Động lực (từ tiếng Latin moveo - Tôi di chuyển) - động cơ khuyến khích hành động; một quá trình sinh lý và tâm lý năng động kiểm soát hành vi của con người, xác định phương hướng, tổ chức, hoạt động và sự ổn định của nó; khả năng của một người để đáp ứng nhu cầu của mình thông qua công việc. Motivac

Bob Dylan là ai
Bob Dylan (tiếng Anh Bob Dylan, tên thật - Robert Allen Zimmerman người Anh. Robert Allen Zimmerman; sinh ngày 24 tháng 5 năm 1941) là một nhạc sĩ người Mỹ, theo một cuộc thăm dò của tạp chí Rolling Stone, là người thứ hai (

Cách vận chuyển cây trồng trong nhà
Sau khi mua cây trồng trong nhà, người làm vườn phải đối mặt với nhiệm vụ làm thế nào để giao những bông hoa kỳ lạ đã mua mà không hề hấn gì. Kiến thức về các quy tắc cơ bản để đóng gói và vận chuyển cây trồng trong nhà sẽ giúp giải quyết vấn đề này. Cây trồng phải được đóng gói để vận chuyển hoặc vận chuyển. Cho dù cây được vận chuyển quãng đường ngắn đến đâu, chúng vẫn có thể bị hư hỏng, khô héo và vào mùa đông & m

Đôi khi trong các bài toán B15 có những hàm “xấu” mà rất khó tìm được đạo hàm. Trước đây, điều này chỉ xảy ra trong các bài kiểm tra mẫu, nhưng giờ đây những nhiệm vụ này phổ biến đến mức không thể bỏ qua khi chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất thực sự.

Trong trường hợp này, các kỹ thuật khác hoạt động, một trong số đó là đều đều.

Hàm số f(x) được gọi là tăng đơn điệu trên đoạn thẳng nếu với mọi điểm x 1 và x 2 của đoạn này thỏa mãn điều kiện sau:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Hàm số f(x) được gọi là giảm đơn điệu trên đoạn thẳng nếu với mọi điểm x 1 và x 2 của đoạn này thỏa mãn điều kiện sau:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).

Nói cách khác, đối với hàm tăng, x càng lớn thì f(x) càng lớn. Đối với hàm giảm thì điều ngược lại đúng: x càng lớn thì ít hơn f(x).

Ví dụ: logarit tăng đơn điệu nếu cơ số a > 1 và giảm đơn điệu nếu 0< a < 1. Не забывайте про область giá trị chấp nhận được logarit: x > 0.

f(x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Căn bậc hai số học (và không chỉ bình phương) tăng đơn điệu trên toàn bộ miền định nghĩa:

Hàm số mũ hoạt động tương tự như logarit: nó tăng khi a > 1 và giảm khi 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, hàm số mũđược xác định cho tất cả các số, không chỉ x > 0:

f(x) = ax(a > 0)

Cuối cùng, bằng cấp với chỉ số tiêu cực. Bạn có thể viết chúng dưới dạng phân số. Họ có một điểm đột phá khi sự đơn điệu bị phá vỡ.

Tất cả những chức năng này không bao giờ được tìm thấy trong dạng tinh khiết. Họ thêm các đa thức, phân số và những thứ vô nghĩa khác, khiến việc tính đạo hàm trở nên khó khăn. Hãy xem điều gì xảy ra trong trường hợp này.

Tọa độ đỉnh parabol

Thông thường, đối số hàm được thay thế bằng tam thức bậc hai có dạng y = ax 2 + bx + c. Đồ thị của nó là một parabol tiêu chuẩn mà chúng ta quan tâm:

Các nhánh của parabol có thể đi lên (với a > 0) hoặc đi xuống (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
Đỉnh của parabol là điểm cực trị của hàm bậc hai mà tại đó hàm số này đạt cực tiểu (với a > 0) hoặc cực đại (a< 0) значение.

Quan tâm lớn nhất là đỉnh của parabol, trục hoành được tính theo công thức:

Như vậy ta đã tìm được điểm cực trị của hàm số bậc hai. Nhưng nếu hàm số ban đầu là đơn điệu thì với nó điểm x 0 cũng sẽ là điểm cực trị. Vì vậy, chúng ta hãy xây dựng quy tắc chính:

Điểm cực trị tam thức bậc hai Và hàm phức tạp, mà nó được bao gồm trong, trùng khớp. Do đó, bạn có thể tìm x 0 cho tam thức bậc hai và quên mất hàm này.

Từ lý do trên, vẫn chưa rõ chúng ta đạt được điểm nào: tối đa hay tối thiểu. Tuy nhiên, các nhiệm vụ được thiết kế đặc biệt nên điều này không thành vấn đề. Thẩm phán cho chính mình:

Không có phân đoạn nào trong báo cáo vấn đề. Do đó, không cần tính f(a) và f(b). Vẫn chỉ xem xét các điểm cực trị;
Nhưng chỉ có một điểm như vậy - đây là đỉnh của parabol x 0, tọa độ của nó được tính bằng miệng và không có bất kỳ đạo hàm nào.

Do đó, việc giải quyết vấn đề được đơn giản hóa rất nhiều và chỉ gồm hai bước:

Viết phương trình của parabol y = ax 2 + bx + c và tìm đỉnh của nó bằng công thức: x 0 = −b /2a ;
Tìm giá trị của hàm số ban đầu tại thời điểm này: f (x 0). Nếu không điều kiện bổ sung không, đó sẽ là câu trả lời.

Thoạt nhìn, thuật toán này và cơ sở lý luận của nó có vẻ phức tạp. Tôi cố tình không đăng sơ đồ giải pháp “trần trụi”, vì việc áp dụng thiếu suy nghĩ các quy tắc như vậy sẽ có nhiều sai sót.

Hãy nhìn vào những vấn đề thực tế từ thi thống nhất trong toán học - chính xác là ở đó kỹ thuật này xảy ra thường xuyên nhất. Đồng thời, chúng tôi sẽ đảm bảo rằng bằng cách này, nhiều vấn đề về B15 gần như trở thành vấn đề bằng miệng.

Đứng dưới gốc hàm bậc hai y = x 2 + 6x + 13. Đồ thị của hàm số này là một parabol có các nhánh hướng lên trên, vì hệ số a = 1 > 0.

Đỉnh của parabol:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

Vì các nhánh của parabol hướng lên trên nên tại điểm x 0 = −3 hàm y = x 2 + 6x + 13 có giá trị nhỏ nhất.

Căn nguyên tăng đơn điệu, nghĩa là x 0 là điểm cực tiểu của toàn hàm. Chúng tôi có:

Nhiệm vụ. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Dưới logarit lại có hàm bậc hai: y = x 2 + 2x + 9. Đồ thị là một parabol có các nhánh hướng lên trên, bởi vì a = 1 > 0.

Đỉnh của parabol:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

Vì vậy, tại điểm x 0 = −1 hàm bậc hai có giá trị nhỏ nhất. Nhưng hàm số y = log 2 x là đơn điệu nên:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Số mũ chứa hàm bậc hai y = 1 − 4x − x 2 . Hãy viết lại nó ở dạng bình thường: y = −x 2 − 4x + 1.

Rõ ràng, đồ thị của hàm số này là một parabol, phân nhánh xuống (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Hàm ban đầu là hàm số mũ, đơn điệu nên giá trị lớn nhất sẽ ở điểm tìm được x 0 = −2:

Một người đọc chú ý có thể sẽ nhận thấy rằng chúng tôi đã không viết ra phạm vi giá trị cho phép của căn bậc hai và logarit. Nhưng điều này là không bắt buộc: bên trong có các hàm có giá trị luôn dương.

Hệ quả từ miền của hàm

Đôi khi chỉ cần tìm đỉnh của parabol là không đủ để giải Bài toán B15. Giá trị bạn đang tìm kiếm có thể nói dối ở cuối đoạn, và không hề ở điểm cực trị. Nếu vấn đề không chỉ định một phân đoạn nào cả, hãy xem khoảng giá trị chấp nhận được chức năng ban đầu. Cụ thể là:

Xin lưu ý lại: số 0 có thể nằm dưới căn bậc hai, nhưng không bao giờ nằm trong logarit hoặc mẫu số của một phân số. Hãy xem cách này hoạt động như thế nào với các ví dụ cụ thể:

Nhiệm vụ. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

Dưới gốc lại là một hàm bậc hai: y = 3 − 2x − x 2 . Đồ thị của nó là một parabol, nhưng phân nhánh xuống vì a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический căn bậc hai số âm không tồn tại.

Chúng tôi viết ra phạm vi giá trị cho phép (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Bây giờ hãy tìm đỉnh của parabol:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Điểm x 0 = −1 thuộc đoạn ODZ - và điều này tốt. Bây giờ chúng ta tính giá trị của hàm tại điểm x 0, cũng như ở các điểm cuối của ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

Vì vậy, chúng ta có các số 2 và 0. Chúng ta được yêu cầu tìm số lớn nhất - đây là số 2.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

Bên trong logarit có hàm bậc hai y = 6x − x 2 − 5. Đây là một parabol có các nhánh hướng xuống, nhưng trong logarit không thể có số âm, vì vậy chúng ta viết ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Xin lưu ý: bất đẳng thức là nghiêm ngặt nên các đầu không thuộc về ODZ. Điều này khác với logarit gốc, ở đó các đầu của đoạn này khá phù hợp với chúng ta.

Chúng ta đang tìm đỉnh của parabol:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Đỉnh của parabol khớp theo ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Nhưng vì không quan tâm đến phần cuối của đoạn nên chúng tôi chỉ tính giá trị của hàm tại điểm x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

Thông thường trong vật lý và toán học người ta yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số. Bây giờ chúng tôi sẽ cho bạn biết làm thế nào để làm điều này.

Cách tìm giá trị nhỏ nhất của hàm: hướng dẫn

Để tính giá trị nhỏ nhất hàm liên tục trên một phân khúc nhất định, bạn cần tuân theo thuật toán sau:
Tìm đạo hàm của hàm số.
Tìm trên một đoạn đã cho các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0, cũng như tất cả các điểm tới hạn. Sau đó tìm ra các giá trị của hàm tại các điểm này, tức là giải phương trình trong đó x bằng 0. Tìm giá trị nào nhỏ nhất.
Xác định giá trị của hàm điểm cuối. Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số tại các điểm đó.
So sánh dữ liệu thu được với giá trị thấp nhất. Số kết quả nhỏ hơn sẽ là giá trị nhỏ nhất của hàm.

Lưu ý rằng nếu một hàm trên một đoạn không có điểm nhỏ nhất, điều này có nghĩa là trong một đoạn nhất định nó tăng hoặc giảm. Do đó, giá trị nhỏ nhất phải được tính trên các phân đoạn hữu hạn của hàm.

Trong tất cả các trường hợp khác, giá trị của hàm được tính theo thuật toán đã chỉ định. Tại mỗi điểm của thuật toán, bạn sẽ cần giải một bài toán đơn giản phương trình tuyến tính với một gốc. Giải phương trình bằng hình ảnh để tránh sai sót.

Làm cách nào để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm trên đoạn nửa mở? Trong khoảng thời gian nửa mở hoặc mở của hàm số, cần tìm giá trị nhỏ nhất như sau. Tại các điểm cuối của giá trị hàm, tính giới hạn một phía của hàm. Nói cách khác, giải một phương trình trong đó các điểm có khuynh hướng được cho bởi các giá trị a+0 và b+0, trong đó a và b là tên của các điểm tới hạn.

Bây giờ bạn đã biết cách tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số. Điều chính là thực hiện tất cả các phép tính một cách chính xác, chính xác và không có lỗi.

Điểm cực trị của hàm số là gì và điều kiện cần để có điểm cực trị là gì?

Cực trị của hàm số là cực đại và cực tiểu của hàm số.

Điều kiện cần để cực đại và cực tiểu (cực trị) của một hàm số như sau: nếu hàm f(x) có cực trị tại điểm x = a thì tại điểm này đạo hàm có thể bằng 0, vô hạn hoặc không hiện hữu.

Điều kiện đủ để đạt cực trị của hàm số (cực đại hoặc cực tiểu) là gì?

Điều kiện đầu tiên:

Nếu, ở đủ gần điểm x = a, đạo hàm f?(x) dương ở bên trái a và âm ở bên phải a, thì tại điểm x = a hàm f(x) có tối đa

Thay vào đó, bạn có thể sử dụng điều kiện đủ thứ hai cho cực trị của hàm:

Điểm tới hạn của hàm số là gì và làm thế nào để tìm thấy nó?

Ví dụ, chúng ta hãy tìm cực trị của parabol.

Hàm số y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Đạo hàm của hàm số: y?(x) = 6x + 2

Giải phương trình: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Trong trường hợp này, điểm tới hạn là x0=-1/3. Chính với giá trị đối số này mà hàm có cực độ. Gửi anh ấy tìm thấy, thay thế số tìm thấy trong biểu thức của hàm thay vì “x”:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Làm thế nào để xác định mức tối đa và tối thiểu của hàm, tức là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của nó?

Đối với ví dụ được xem xét:

Chúng ta lấy một giá trị tùy ý của đối số ở bên trái điểm tới hạn: x = -1

Tại x = -1, giá trị của đạo hàm sẽ là y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (tức là dấu là “trừ”).

Bây giờ chúng ta lấy một giá trị tùy ý của đối số ở bên phải điểm tới hạn: x = 1

Tại x = 1, giá trị của đạo hàm sẽ là y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (tức là dấu là “cộng”).

Ví dụ: hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

trong khoảng thời gian:

Vậy đạo hàm của hàm số là

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Ta giải phương trình 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Chúng tôi tìm thấy các điểm tới hạn trong khoảng [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (không bao gồm trong khoảng)

x = -arccos(0.16667) – 2π*1 = -7.687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0.16667) + 2π*0 = -1.403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (không bao gồm trong khoảng)

Chúng ta tìm các giá trị hàm tại các giá trị tới hạn của đối số:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Có thể thấy rằng trên khoảng [-9; 9] hàm số có giá trị lớn nhất tại x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

và nhỏ nhất - tại x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Trên khoảng [-6; -3] chúng ta chỉ có một điểm tới hạn: x = -4,88. Giá trị của hàm số tại x = -4,88 bằng y = 5,398.

Tìm giá trị của hàm số ở cuối khoảng:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Trên khoảng [-6; -3] chúng ta có giá trị lớn nhất của hàm

y = 5,398 tại x = -4,88

giá trị nhỏ nhất -

y = 1,077 tại x = -3

Làm cách nào để tìm điểm uốn của đồ thị hàm số và xác định các cạnh lồi, lõm?

Làm thế nào để tìm cực trị của hàm hai biến?

Để tìm cực trị của hàm f(x,y), khả vi trong miền đặc tả của nó, bạn cần:

1) tìm các điểm tới hạn và để làm được điều này - giải hệ phương trình

fх? (x,y) = 0, vậy? (x,y) = 0

2) với mỗi điểm tới hạn P0(a;b) hãy kiểm tra xem dấu của hiệu có giữ nguyên không

Cực trị của hàm được xác định tương tự đối với số lượng đối số lớn hơn.