Sử dụng cái này chương trình toán bạn có thể giải hệ hai phương trình tuyến tính với hai phương pháp biến phương pháp thay thế và bổ sung.

Chương trình không chỉ đưa ra lời giải của bài toán mà còn đưa ra lời giải chi tiết kèm theo lời giải thích các bước giải theo hai cách: phương pháp thay thế và phương pháp cộng.

Chương trình này có thể hữu ích cho học sinh trung học trường trung họcđể chuẩn bị cho kiểm tra và các kỳ thi, khi kiểm tra kiến ​​thức trước Kỳ thi Thống nhất, để phụ huynh kiểm soát cách giải nhiều bài toán, đại số. Hoặc có thể việc thuê gia sư hoặc mua sách giáo khoa mới là quá đắt? Hay bạn chỉ muốn hoàn thành nó càng nhanh càng tốt? bài tập về nhà

trong toán học hay đại số? Trong trường hợp này, bạn cũng có thể sử dụng các chương trình của chúng tôi với các giải pháp chi tiết. Bằng cách này, bạn có thể tiến hành đào tạo và/hoặc đào tạo riêng cho mình. em trai

hoặc chị em, trong khi trình độ học vấn trong lĩnh vực vấn đề đang được giải quyết ngày càng tăng.

Quy tắc nhập phương trình
Bất kỳ chữ cái Latinh nào cũng có thể hoạt động như một biến.

Ví dụ: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), v.v. Khi nhập phương trình bạn có thể sử dụng dấu ngoặc đơn
. Trong trường hợp này, các phương trình đầu tiên được đơn giản hóa.

Các phương trình sau khi đơn giản hóa phải tuyến tính, tức là có dạng ax+by+c=0 với độ chính xác về thứ tự các phần tử. Ví dụ: 6x+1 = 5(x+y)+2 Trong các phương trình, bạn không chỉ có thể sử dụng số nguyên mà còn có thể sử dụng

số phân số
dưới dạng số thập phân và phân số thông thường. Quy tắc nhập phân số thập phân. Phần nguyên và phần phân số trong
số thập phân

có thể cách nhau bằng dấu chấm hoặc dấu phẩy.
Ví dụ: 2,1n + 3,5m = 55
Quy tắc nhập phân số thông thường.
Chỉ một số nguyên mới có thể đóng vai trò là tử số, mẫu số và phần nguyên của một phân số. Mẫu số không thể âm. Khi vào /
phân số Tử số được phân cách với mẫu số bằng dấu chia: &

Toàn bộ phần
được phân tách khỏi phân số bằng dấu và:
Ví dụ.

Ví dụ: 3x-4y = 5

Ví dụ: 6x+1 = 5(x+y)+2
Giải hệ phương trình
Người ta phát hiện ra rằng một số tập lệnh cần thiết để giải quyết vấn đề này đã không được tải và chương trình có thể không hoạt động.

JavaScript bị vô hiệu hóa trong trình duyệt của bạn.
Để giải pháp xuất hiện, bạn cần bật JavaScript.
Dưới đây là hướng dẫn về cách bật JavaScript trong trình duyệt của bạn.

Bởi vì Có rất nhiều người sẵn sàng giải quyết vấn đề, yêu cầu của bạn đã được xếp hàng đợi.
Trong vài giây, giải pháp sẽ xuất hiện bên dưới.
Vui lòng chờ giây...

Nếu bạn nhận thấy một lỗi trong giải pháp, thì bạn có thể viết về điều này trong Biểu mẫu phản hồi.
Đừng quên cho biết nhiệm vụ nào bạn quyết định cái gì nhập vào các trường.

Trò chơi, câu đố, trình giả lập của chúng tôi:

Một chút lý thuyết.

Giải hệ phương trình tuyến tính. Phương pháp thay thế

Trình tự các thao tác khi giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp thay thế:
1) biểu thị một biến từ một số phương trình của hệ thống theo một biến khác;
2) thay thế biểu thức thu được vào một phương trình khác của hệ thay vì biến này;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Hãy biểu thị y theo x từ phương trình đầu tiên: y = 7-3x. Thay biểu thức 7-3x vào phương trình thứ hai thay cho y, chúng ta thu được hệ:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Dễ dàng chứng minh rằng hệ thứ nhất và hệ thứ hai có cùng nghiệm. Trong hệ thứ hai, phương trình thứ hai chỉ chứa một biến. Hãy giải phương trình này:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Thay 1 vào x vào đẳng thức y=7-3x, ta tìm được giá trị tương ứng của y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Cặp (1;4) - nghiệm của hệ thống

Hệ phương trình hai biến có cùng nghiệm được gọi là tương đương. Những hệ thống không có nghiệm cũng được coi là tương đương.

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phép cộng

Chúng ta hãy xem xét một cách khác để giải hệ phương trình tuyến tính - phương pháp cộng. Khi giải hệ theo cách này, cũng như khi giải bằng phép thay thế, chúng ta chuyển từ hệ này sang hệ khác, hệ tương đương, trong đó một trong các phương trình chỉ chứa một biến.

Trình tự các thao tác khi giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp cộng:
1) nhân các phương trình của hệ số với số hạng, chọn hệ số sao cho hệ số của một trong các biến trở thành số đối diện;
2) cộng vế trái và vế phải của hệ phương trình theo từng số hạng;
3) giải phương trình thu được với một biến;
4) tìm giá trị tương ứng của biến thứ hai.

Ví dụ. Hãy giải hệ phương trình:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Trong các phương trình của hệ này, các hệ số của y là các số đối nhau. Cộng vế trái và vế phải của từng số hạng của phương trình, chúng ta thu được phương trình có một biến 3x=33. Hãy thay thế một trong các phương trình của hệ, chẳng hạn như phương trình đầu tiên, bằng phương trình 3x=33. Hãy lấy hệ thống
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Từ phương trình 3x=33 ta tìm được x=11. Thay thế giá trị x này vào phương trình \(x-3y=38\) chúng ta thu được một phương trình với biến y: \(11-3y=38\). Hãy giải phương trình này:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Như vậy, chúng ta đã tìm ra nghiệm của hệ phương trình bằng phép cộng: \(x=11; y=-9\) hoặc \((11;-9)\)

Lợi dụng thực tế là trong các phương trình của hệ, các hệ số của y là các số đối nhau nên ta rút gọn nghiệm của nó thành nghiệm hệ thống tương đương(bằng cách tính tổng cả hai vế của mỗi phương trình của ký hiệu ban đầu), trong đó một trong các phương trình chỉ chứa một biến.

Sách (sách giáo khoa) Tóm tắt Kỳ thi Thống nhất và Kỳ thi Thống nhất trực tuyến Trò chơi, câu đố Vẽ đồ thị chức năng Từ điển chính tả tiếng Nga Từ điển tiếng lóng của giới trẻ Danh mục các trường học ở Nga Danh mục các cơ sở giáo dục trung học của Nga Danh mục các trường đại học Nga Danh sách nhiệm vụ

Phương trình tuyến tính. Giải pháp, ví dụ.

Chú ý!
Có thêm
tài liệu trong Mục Đặc biệt 555.
Dành cho những người rất "không..."
Và đối với những người “rất nhiều…”)

Phương trình tuyến tính.

Phương trình tuyến tính không phải là tốt nhất chủ đề phức tạp toán học ở trường. Nhưng có một số thủ thuật có thể khiến ngay cả một học sinh đã qua đào tạo cũng phải bối rối. Chúng ta hãy tìm ra nó?)

Thông thường, một phương trình tuyến tính được định nghĩa là một phương trình có dạng:

rìu + b = 0 Ở đâu a và b- bất kỳ số nào

2x + 7 = 0. Ở đây a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Ở đây a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Ở đây a=12, b=1/2

Không có gì phức tạp phải không? Đặc biệt nếu bạn không chú ý đến những từ: "trong đó a và b là số bất kỳ"... Và nếu bạn để ý và bất cẩn nghĩ về nó?) Rốt cuộc, nếu a=0, b=0(có thể có con số nào không?), thì chúng ta sẽ có một biểu thức hài hước:

Nhưng đó không phải là tất cả! Nếu, nói, a=0, MỘT b=5,Điều này hóa ra là một cái gì đó hoàn toàn vô lý:

Điều đó thật khó chịu và làm suy giảm sự tự tin trong môn toán, vâng...) Đặc biệt là trong các kỳ thi. Nhưng trong số những biểu thức kỳ lạ này bạn cũng cần tìm X! Điều đó hoàn toàn không tồn tại. Và thật ngạc nhiên là chữ X này lại rất dễ tìm. Chúng ta sẽ học cách làm điều này. Trong bài học này.

Làm thế nào để nhận biết một phương trình tuyến tính bởi sự xuất hiện của nó? Nó phụ thuộc vào những gì vẻ bề ngoài.) Bí quyết là không chỉ các phương trình có dạng được gọi là phương trình tuyến tính rìu + b = 0 , mà còn bất kỳ phương trình nào có thể được rút gọn về dạng này bằng các phép biến đổi và đơn giản hóa. Và ai biết liệu nó có rơi xuống hay không?)

Một phương trình tuyến tính có thể được nhận biết rõ ràng trong một số trường hợp. Giả sử, nếu chúng ta có một phương trình trong đó chỉ có ẩn số ở bậc một và các số. Và trong phương trình không có phân số chia cho không rõ , điều này quan trọng! Và chia cho con số, hoặc một phần số - điều đó được hoan nghênh! Ví dụ:

Đây là một phương trình tuyến tính. Ở đây có các phân số, nhưng không có x trong hình vuông, hình lập phương, v.v. và không có x trong mẫu số, tức là KHÔNG chia cho x. Và đây là phương trình

không thể gọi là tuyến tính. Ở đây tất cả các chữ X đều ở mức độ đầu tiên, nhưng có chia cho biểu thức với x. Sau khi đơn giản hóa và biến đổi, bạn có thể nhận được phương trình tuyến tính, phương trình bậc hai hoặc bất cứ thứ gì bạn muốn.

Hóa ra là không thể nhận ra phương trình tuyến tính trong một số ví dụ phức tạp cho đến khi bạn gần như giải được nó. Điều này thật khó chịu. Nhưng trong bài tập, theo quy định, họ không hỏi về dạng phương trình, phải không? Các bài tập yêu cầu phương trình quyết định.Điều này làm tôi hạnh phúc.)

Giải phương trình tuyến tính. Ví dụ.

Toàn bộ nghiệm của phương trình tuyến tính bao gồm các phép biến đổi giống hệt nhau của phương trình. Nhân tiện, những phép biến đổi này (hai trong số đó!) là cơ sở của các giải pháp mọi phương trình toán học. Nói cách khác, giải pháp bất kì phương trình bắt đầu với chính những phép biến đổi này. Trong trường hợp phương trình tuyến tính, nó (lời giải) dựa trên các phép biến đổi này và kết thúc bằng một câu trả lời đầy đủ. Thật hợp lý khi theo liên kết, phải không?) Ngoài ra, còn có các ví dụ về giải phương trình tuyến tính ở đó.

Đầu tiên, hãy xem ví dụ đơn giản nhất. Không có bất kỳ cạm bẫy nào. Giả sử chúng ta cần giải phương trình này.

x - 3 = 2 - 4x

Đây là một phương trình tuyến tính. Các chữ X đều có lũy thừa bậc một, không có sự chia cho X. Nhưng trên thực tế, đối với chúng ta nó là loại phương trình nào không quan trọng. Chúng ta cần giải quyết nó. Đề án ở đây rất đơn giản. Thu thập mọi thứ có chữ X ở bên trái của phương trình, mọi thứ không có chữ X ở bên phải.

Để làm được điều này bạn cần chuyển - 4x trong bên trái, tất nhiên là với sự đổi dấu, và - 3 - bên phải. Nhân tiện, đây là phép biến đổi giống hệt đầu tiên của phương trình. Ngạc nhiên? Điều này có nghĩa là bạn đã không theo liên kết nhưng vô ích...) Chúng tôi nhận được:

x + 4x = 2 + 3

Dưới đây là những cái tương tự, chúng tôi xem xét:

Chúng ta cần gì để có được hạnh phúc trọn vẹn? Vâng, vậy nên có một chữ X thuần túy ở bên trái! Năm người đang cản đường. Loại bỏ năm điều đó với sự giúp đỡ phép biến đổi giống hệt thứ hai của phương trình. Cụ thể, chúng ta chia cả hai vế của phương trình cho 5. Chúng ta có sẵn câu trả lời:

Tất nhiên là một ví dụ cơ bản. Cái này là để khởi động.) Không rõ lắm tại sao tôi lại nhớ những phép biến đổi giống hệt nhau ở đây? ĐƯỢC RỒI. Hãy nắm lấy sừng con bò đực.) Hãy quyết định điều gì đó chắc chắn hơn.

Ví dụ: đây là phương trình:

Chúng ta bắt đầu từ đâu? Có chữ X - ở bên trái, không có chữ X - ở bên phải? Có thể như vậy. Trong những bước nhỏ con đường dài. Hoặc bạn có thể làm điều đó ngay lập tức, một cách phổ quát và mạnh mẽ. Tất nhiên, nếu bạn có các phép biến đổi phương trình giống hệt nhau trong kho vũ khí của mình.

tôi hỏi bạn câu hỏi then chốt: Bạn không thích điều gì nhất ở phương trình này?

95 trên 100 người sẽ trả lời: phân số ! Câu trả lời là đúng. Vì vậy, hãy loại bỏ chúng. Vì vậy, chúng tôi bắt đầu ngay với chuyển đổi danh tính thứ hai. Bạn cần nhân phân số bên trái với mẫu số nào để mẫu số giảm hoàn toàn? Đúng vậy, ở mức 3. Và bên phải? Với 4. Nhưng toán học cho phép chúng ta nhân cả hai vế với cùng một số. Làm sao chúng ta có thể thoát ra được? Hãy nhân cả hai vế với 12! Những thứ kia. TRÊN mẫu số chung. Thế thì cả ba và bốn sẽ được giảm thiểu. Đừng quên rằng bạn cần nhân từng phần toàn bộ. Đây là bước đầu tiên trông như thế nào:

Mở rộng dấu ngoặc:

Hãy chú ý! Tử số (x+2) Tôi đặt nó trong ngoặc! Điều này là do khi nhân các phân số, toàn bộ tử số sẽ được nhân lên! Bây giờ bạn có thể giảm phân số:

Mở rộng các dấu ngoặc còn lại:

Không phải là một ví dụ, mà là niềm vui thuần túy!) Bây giờ chúng ta hãy nhớ lại câu thần chú từ lớp học cơ sở: có chữ X - ở bên trái, không có chữ X - ở bên phải! Và áp dụng phép biến đổi này:

Dưới đây là một số cái tương tự:

Và chia cả hai phần cho 25, tức là áp dụng lại phép biến đổi thứ hai:

Thế thôi. Trả lời: X=0,16

Hãy lưu ý: đưa phương trình khó hiểu ban đầu về khung cảnh dễ chịu, chúng tôi đã sử dụng hai (chỉ hai!) chuyển đổi danh tính– dịch trái-phải với sự đổi dấu và nhân-chia của một phương trình cho cùng một số. Cái này phương pháp phổ quát! Chúng tôi sẽ làm việc theo cách này với bất kì phương trình! Tuyệt đối là bất cứ ai. Đó là lý do tại sao tôi cứ lặp đi lặp lại những phép biến đổi giống hệt nhau này một cách tẻ nhạt.)

Như bạn có thể thấy, nguyên tắc giải phương trình tuyến tính rất đơn giản. Chúng tôi lấy phương trình và đơn giản hóa nó bằng cách sử dụng các phép biến đổi giống hệt nhau cho đến khi chúng tôi nhận được câu trả lời. Vấn đề chính ở đây nằm ở tính toán chứ không phải ở nguyên tắc giải.

Nhưng... Có những điều bất ngờ trong quá trình giải các phương trình tuyến tính cơ bản nhất có thể khiến bạn rơi vào trạng thái sững sờ...) May mắn thay, chỉ có thể có hai điều bất ngờ như vậy. Hãy gọi chúng là những trường hợp đặc biệt.

Các trường hợp đặc biệt khi giải phương trình tuyến tính.

Bất ngờ đầu tiên.

Giả sử bạn đã hiểu phương trình cơ bản nhất, đại loại như:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Hơi chán, chúng ta di chuyển nó bằng dấu X sang trái, không có dấu X - sang phải... Với sự thay đổi dấu hiệu, mọi thứ đều hoàn hảo... Chúng ta nhận được:

2x-5x+3x=5-2-3

Chúng tôi đếm, và... ôi!!! Chúng tôi nhận được:

Bản thân sự bình đẳng này không có gì đáng phản đối. Thực sự là không bằng 0. Nhưng X bị thiếu! Và chúng ta phải viết ra câu trả lời, Tại sao bằng x. Nếu không thì giải pháp không được tính, phải không...) Bế tắc?

Điềm tĩnh! Trong những trường hợp đáng ngờ như vậy, những quy tắc chung nhất sẽ giúp bạn tiết kiệm. Làm thế nào để giải phương trình? Việc giải một phương trình có ý nghĩa gì? Điều này có nghĩa là, tìm tất cả các giá trị của x, khi thay vào phương trình ban đầu sẽ cho ta sự bình đẳng thực sự.

Nhưng chúng ta có sự bình đẳng thực sự đã nó đã hoạt động! 0=0, chính xác hơn bao nhiêu?! Vẫn còn phải tìm hiểu điều gì xảy ra với x. Những giá trị nào của X có thể thay thế vào nguyên bản phương trình nếu những x này liệu chúng vẫn sẽ giảm về 0 chứ? Cố lên?)

Đúng!!! X có thể được thay thế bất kì! Bạn muốn cái nào? Ít nhất là 5, ít nhất là 0,05, ít nhất là -220. Chúng vẫn sẽ co lại. Nếu không tin, bạn có thể kiểm tra.) Thay thế bất kỳ giá trị nào của X vào nguyên bản phương trình và tính toán. Lúc nào bạn cũng sẽ nhận được sự thật thuần túy: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1, v.v.

Đây là câu trả lời của bạn: x - bất kỳ số nào.

Câu trả lời có thể được viết bằng các ký hiệu toán học khác nhau, bản chất không thay đổi. Đây là một câu trả lời hoàn toàn chính xác và đầy đủ.

Bất ngờ thứ hai.

Hãy lấy cùng một phương trình tuyến tính cơ bản và chỉ thay đổi một số trong đó. Đây là điều chúng ta sẽ quyết định:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Sau những phép biến đổi giống hệt nhau, chúng ta nhận được một điều hấp dẫn:

Như thế này. Chúng tôi đã giải một phương trình tuyến tính và thu được một đẳng thức kỳ lạ. Về mặt toán học, chúng ta có sự bình đẳng sai lầm. Và đang nói bằng ngôn ngữ đơn giản, điều này không đúng. Rave. Tuy nhiên, điều vô lý này lại là một lý do rất chính đáng để quyết định đúng đắn phương trình.)

Một lần nữa chúng tôi nghĩ dựa trên quy tắc chung. Những gì x, khi được thay thế vào phương trình ban đầu, sẽ cho chúng ta ĐÚNG VẬY bình đẳng? Vâng, không có! Không có X như vậy. Dù bạn có bỏ vào thứ gì thì mọi thứ sẽ giảm đi, chỉ còn lại những điều vô nghĩa.)

Đây là câu trả lời của bạn: không có giải pháp nào

Đây cũng là một câu trả lời hoàn toàn đầy đủ. Trong toán học, những câu trả lời như vậy thường được tìm thấy.

Như thế này. Bây giờ, tôi hy vọng rằng sự biến mất của X trong quá trình giải bất kỳ phương trình nào (không chỉ tuyến tính) sẽ không làm bạn bối rối chút nào. Đây đã là một vấn đề quen thuộc.)

Bây giờ chúng ta đã giải quyết được tất cả các cạm bẫy trong phương trình tuyến tính, việc giải chúng là điều hợp lý.

Nếu bạn thích trang web này...

Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)

Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.

Phương trình tuyến tính khá vô hại và chủ đề rõ ràng toán học ở trường. Tuy nhiên, thật kỳ lạ, số lỗi bất ngờ khi giải phương trình tuyến tính chỉ ít hơn một chút so với các chủ đề khác - phương trình bậc hai, logarit, lượng giác và những thứ khác. Nguyên nhân của hầu hết các lỗi là do sự biến đổi tầm thường của các phương trình. Trước hết, đây là sự nhầm lẫn về dấu khi chuyển các số hạng từ phần này sang phần khác của phương trình, cũng như các lỗi khi làm việc với phân số và tỷ lệ cược phân số. Vâng, vâng! Phân số cũng xuất hiện trong phương trình tuyến tính! Tất cả xung quanh. Dưới đây chúng tôi chắc chắn sẽ phân tích những phương trình xấu xa như vậy.)

Chà, chúng ta đừng kéo đuôi con mèo và hãy bắt đầu tìm hiểu nó, phải không? Sau đó chúng ta đọc và đi sâu vào nó.)

Phương trình tuyến tính là gì? Ví dụ.

Thông thường phương trình tuyến tính trông như thế này:

rìu + b = 0,

Trong đó a và b là số bất kỳ. Bất kỳ loại nào: số nguyên, phân số, số âm, số vô tỉ - chúng có thể là bất cứ thứ gì!

Ví dụ:

7x + 1 = 0 (ở đây a = 7, b = 1)

x – 3 = 0 (ở đây a = 1, b = -3)

x/2 – 1.1 = 0 (ở đây a = 1/2, b = -1.1)

Nói chung, bạn hiểu, tôi hy vọng.) Mọi thứ đều đơn giản, giống như trong một câu chuyện cổ tích. Hiện tại... Và nếu bạn nhìn kỹ vào hồ sơ chung ax+b=0 hãy nhìn kỹ hơn và suy nghĩ một chút? Suy cho cùng, a và b là bất kỳ số nào! Và nếu chúng ta có, chẳng hạn như a = 0 và b = 0 (bạn có thể lấy bất kỳ số nào!), thì khi đó chúng ta sẽ nhận được gì?

0 = 0

Nhưng đó không phải là tất cả niềm vui! Điều gì sẽ xảy ra nếu a = 0, b = -10? Sau đó hóa ra lại là một điều vô nghĩa nào đó:

0 = 10.

Điều này rất, rất khó chịu và làm xói mòn niềm tin vào toán học có được bằng mồ hôi và máu... Đặc biệt là trong các bài kiểm tra và kỳ thi. Nhưng trong số những đẳng thức khó hiểu và kỳ lạ này, bạn cũng cần tìm X! Điều đó hoàn toàn không tồn tại! Và ở đây, ngay cả những học sinh được chuẩn bị tốt đôi khi cũng có thể rơi vào tình trạng gọi là sững sờ... Nhưng đừng lo lắng! Trong bài học này chúng ta cũng sẽ xem xét tất cả những điều ngạc nhiên như vậy. Và chúng ta chắc chắn sẽ tìm thấy X từ những đẳng thức như vậy.) Hơn nữa, cũng có thể tìm thấy X này rất, rất đơn giản. Vâng, vâng! Đáng ngạc nhiên nhưng có thật.)

Được rồi, điều đó có thể hiểu được. Nhưng làm thế nào bạn có thể biết được qua vẻ bề ngoài của nhiệm vụ rằng đó là một phương trình tuyến tính chứ không phải một phương trình nào khác? Thật không may, không phải lúc nào cũng có thể nhận ra loại phương trình chỉ bằng vẻ bề ngoài. Vấn đề là không chỉ các phương trình có dạng ax+b=0 được gọi là tuyến tính, mà còn bất kỳ phương trình nào khác, bằng các phép biến đổi giống hệt nhau, bằng cách này hay cách khác, đều được rút gọn về dạng này. Làm thế nào để bạn biết nếu nó cộng lại hay không? Cho đến khi bạn khó có thể giải được ví dụ - gần như không hề. Điều này thật khó chịu. Nhưng đối với một số loại phương trình, bạn có thể tự tin ngay lập tức biết liệu nó có tuyến tính hay không chỉ bằng một cái nhìn nhanh.

Để làm điều này, chúng ta hãy quay lại một lần nữa cấu trúc chung bất kỳ phương trình tuyến tính nào:

rìu + b = 0

Xin lưu ý: trong phương trình tuyến tính Luôn luôn chỉ có biến x hiện diện ở mức độ đầu tiên và một số con số! Thế thôi! Không còn gì nữa. Đồng thời, không có X trong hình vuông, trong hình lập phương, dưới căn bậc ba, dưới logarit và những thứ kỳ lạ khác. Và (quan trọng nhất!) không có phân số với mẫu số là X! Nhưng các phân số có mẫu số hoặc phép chia mỗi số- một cách dễ dàng!

Ví dụ:

Đây là một phương trình tuyến tính. Phương trình chỉ chứa X lũy thừa bậc một và các số. Và không còn X nữa độ cao- hình vuông, hình khối, v.v. Đúng, ở đây có phân số, nhưng đồng thời mẫu số của phân số chứa chỉ có những con số. Cụ thể là - hai và ba. Nói cách khác, không có chia cho x.

Và đây là phương trình

Nó không còn có thể được gọi là tuyến tính nữa, mặc dù ở đây cũng vậy, chỉ có các số và X lũy thừa bậc một. Bởi vì, trong số những thứ khác, cũng có những phân số với mẫu số là X. Và sau khi đơn giản hóa và biến đổi, một phương trình như vậy có thể trở thành bất cứ thứ gì: tuyến tính, bậc hai - bất cứ thứ gì.

Làm thế nào để giải phương trình tuyến tính? Ví dụ.

Vậy làm thế nào để bạn giải phương trình tuyến tính? Hãy đọc tiếp và bạn sẽ ngạc nhiên.) Toàn bộ lời giải của phương trình tuyến tính chỉ dựa trên hai điều chính. Hãy liệt kê chúng.

1) Tập hợp các hành động và quy tắc toán học cơ bản.

Đó là sử dụng dấu ngoặc đơn, dấu ngoặc đơn mở, làm việc với phân số, làm việc với số âm, bảng nhân, v.v. Kiến thức và kỹ năng này không chỉ cần thiết cho việc giải các phương trình tuyến tính mà còn cần thiết cho tất cả các môn toán nói chung. Và nếu bạn gặp vấn đề với điều này, hãy nhớ lớp học cơ sở. Nếu không bạn sẽ gặp khó khăn...

2)

Chỉ có hai người trong số họ. Vâng, vâng! Hơn nữa, những phép biến đổi nhận dạng rất cơ bản này làm cơ sở cho việc giải quyết không chỉ tuyến tính mà nói chung là bất kỳ phương trình toán học nào! Nói một cách dễ hiểu, giải pháp cho bất kỳ phương trình nào khác - bậc hai, logarit, lượng giác, vô tỷ, v.v. – như một quy luật, nó bắt đầu bằng những phép biến đổi rất cơ bản này. Nhưng trên thực tế, việc giải các phương trình tuyến tính lại kết thúc bằng chúng (các phép biến đổi). Câu trả lời đã sẵn sàng.) Vì vậy, đừng lười biếng và hãy xem liên kết.) Hơn nữa, các phương trình tuyến tính cũng được phân tích chi tiết ở đó.

Chà, tôi nghĩ đã đến lúc bắt đầu xem xét các ví dụ.

Để bắt đầu, để khởi động, chúng ta hãy xem xét một số nội dung cơ bản. Không có bất kỳ phân số hoặc chuông và còi khác. Ví dụ: phương trình này:

x – 2 = 4 – 5x

Đây là một phương trình tuyến tính cổ điển. Tất cả các X nhiều nhất đều có lũy thừa bậc một và không có phép chia nào cho X ở bất kỳ đâu. Sơ đồ giải pháp trong các phương trình như vậy luôn giống nhau và cực kỳ đơn giản: tất cả các số hạng có X phải được thu thập ở bên trái và tất cả các số hạng không có X (tức là các số) phải được thu thập ở bên phải. Vì vậy, hãy bắt đầu thu thập.

Để làm điều này, chúng tôi khởi động quá trình chuyển đổi danh tính đầu tiên. Chúng ta cần di chuyển -5x sang trái và di chuyển -2 sang phải. Tất nhiên là đổi dấu.) Vì vậy, chúng tôi chuyển:

x + 5x = 4 + 2

Đây nhé. Một nửa trận chiến đã hoàn thành: các chữ X đã được tập hợp lại thành một đống và các con số cũng vậy. Bây giờ chúng tôi trình bày những cái tương tự ở bên trái và chúng tôi đếm chúng ở bên phải. Chúng tôi nhận được:

6x = 6

Hiện nay chúng ta còn thiếu gì để có được hạnh phúc trọn vẹn? Có, để chữ X thuần vẫn ở bên trái! Và sáu người cản đường. Làm thế nào để thoát khỏi nó? Bây giờ chúng ta chạy phép biến đổi đồng nhất thứ hai - chia cả hai vế của phương trình cho 6. Và - thì đấy! Câu trả lời đã sẵn sàng.)

x = 1

Tất nhiên, ví dụ này hoàn toàn nguyên thủy. Để có được ý tưởng chung. Được rồi, hãy quyết định điều gì đó quan trọng hơn. Ví dụ: chúng ta hãy xem phương trình này:

Chúng ta hãy xem xét nó một cách chi tiết.) Đây cũng là một phương trình tuyến tính, mặc dù có vẻ như có các phân số ở đây. Nhưng trong phân số có phép chia cho hai và có phép chia cho ba, nhưng không có phép chia cho biểu thức có chữ X! Vì vậy, hãy quyết định. Sử dụng các phép biến đổi giống hệt nhau, vâng.)

Đầu tiên chúng ta nên làm gì? Có chữ X - ở bên trái, không có chữ X - ở bên phải? Về nguyên tắc, điều này là có thể. Bay đến Sochi qua Vladivostok.) Hoặc bạn có thể đi con đường ngắn nhất, ngay lập tức sử dụng một phương pháp phổ quát và mạnh mẽ. Tất nhiên là nếu bạn biết các phép biến đổi danh tính.)

Đầu tiên, tôi hỏi một câu hỏi quan trọng: điều gì nổi bật nhất và không thích nhất trong phương trình này? 99 trên 100 người sẽ nói: phân số! Và họ sẽ đúng.) Vì vậy, hãy loại bỏ chúng trước. An toàn cho chính phương trình.) Vì vậy, hãy bắt đầu ngay với chuyển đổi danh tính thứ hai- từ phép nhân. Chúng ta nên nhân vế trái với bao nhiêu để mẫu số được giảm thành công? Đúng rồi, hai. Còn phía bên phải thì sao? Cho ba! Nhưng... Toán học là một cô nàng thất thường. Bạn thấy đấy, cô ấy chỉ yêu cầu nhân cả hai vế cho cùng một số! Nhân mỗi phần với số của chính nó không được... Chúng ta sẽ làm gì? Có điều gì đó... Hãy tìm kiếm một sự thỏa hiệp. Để thỏa mãn mong muốn của chúng ta (loại bỏ phân số) và không xúc phạm toán học.) Hãy nhân cả hai phần với sáu!) Tức là với mẫu số chung của tất cả các phân số có trong phương trình. Sau đó, trong một cú trượt, cả hai và ba sẽ bị giảm đi!)

Vì vậy, hãy nhân lên. Toàn bộ bên trái và toàn bộ bên phải! Vì vậy, chúng tôi sử dụng dấu ngoặc đơn. Bản thân quy trình trông như thế này:

Bây giờ chúng ta mở các dấu ngoặc tương tự:

Bây giờ, biểu thị 6 là 6/1, hãy nhân sáu với mỗi phân số ở bên trái và bên phải. Cái này phép nhân thông thường phân số, nhưng cứ như vậy đi, tôi sẽ viết chi tiết:

Và đây - chú ý! Tôi đặt tử số (x-3) trong ngoặc! Tất cả là do khi nhân các phân số, tử số được nhân hoàn toàn, hoàn toàn! Và biểu thức x-3 phải được xử lý như một cấu trúc nguyên. Nhưng nếu bạn viết tử số như thế này:

6x – 3,

Nhưng chúng tôi có mọi thứ đúng đắn và chúng tôi cần hoàn thiện nó. Làm gì tiếp theo? Mở dấu ngoặc đơn ở tử số bên trái? Không đời nào! Bạn và tôi nhân cả hai vế với 6 để loại bỏ phân số, và không phải lo mở ngoặc. TRÊN ở giai đoạn này chúng tôi cần giảm phân số của chúng tôi. Với cảm giác hài lòng sâu sắc, chúng ta rút gọn tất cả các mẫu số và thu được phương trình không có phân số, trên thước:

3(x-3) + 6x = 30 – 4x

Và bây giờ các dấu ngoặc còn lại có thể được mở:

3x – 9 + 6x = 30 – 4x

Phương trình ngày càng tốt hơn! Bây giờ chúng ta hãy nhớ lại phép biến đổi giống hệt đầu tiên. VỚI mặt lạnh lùng Chúng tôi lặp lại câu thần chú từ trường tiểu học: với X - ở bên trái, không có X - ở bên phải. Và áp dụng phép biến đổi này:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

Chúng tôi trình bày những cái tương tự ở bên trái và đếm ở bên phải:

13x = 39

Vẫn còn phải chia cả hai phần cho 13. Nghĩa là, áp dụng lại phép biến đổi thứ hai. Chúng tôi chia và nhận được câu trả lời:

x = 3

Công việc đã hoàn thành. Như bạn có thể thấy, trong phương trình đã cho chúng tôi phải áp dụng phép biến đổi đầu tiên một lần (chuyển số hạng) và lần thứ hai hai lần: khi bắt đầu giải pháp, chúng tôi sử dụng phép nhân (với 6) để loại bỏ các phân số và ở cuối giải pháp, chúng tôi sử dụng phép chia (bằng 13) để loại bỏ hệ số đứng trước X. Và lời giải cho bất kỳ phương trình tuyến tính nào (vâng, bất kỳ!) nào bao gồm sự kết hợp của các phép biến đổi giống nhau này theo chuỗi này hay chuỗi khác. Chính xác bắt đầu từ đâu phụ thuộc vào phương trình cụ thể. Ở một số nơi, sẽ có lợi hơn nếu bắt đầu bằng phép chuyển và ở những nơi khác (như trong ví dụ này) bằng phép nhân (hoặc chia).

Chúng tôi làm việc từ đơn giản đến phức tạp. Bây giờ chúng ta hãy xem xét sự tàn ác hoàn toàn. Với một loạt các phân số và dấu ngoặc đơn. Và tôi sẽ cho bạn biết cách không làm quá sức mình.)

Ví dụ: đây là phương trình:

Chúng ta nhìn vào phương trình trong một phút, kinh hoàng nhưng vẫn cố gắng tập trung lại! Vấn đề chính là bắt đầu từ đâu? Bạn có thể thêm phân số ở phía bên phải. Bạn có thể trừ phân số trong ngoặc đơn. Bạn có thể nhân cả hai phần với một cái gì đó. Hoặc chia... Vậy còn có thể làm được gì? Trả lời: mọi thứ đều có thể! Toán học không cấm bất kỳ hành động nào được liệt kê. Và cho dù bạn chọn chuỗi hành động và biến đổi nào, câu trả lời sẽ luôn giống nhau - câu trả lời đúng. Tất nhiên, trừ khi ở một bước nào đó bạn vi phạm danh tính của các phép biến đổi của mình và do đó mắc sai lầm...

Và, để không mắc sai lầm, trong những ví dụ phức tạp như ví dụ này, việc đánh giá diện mạo của nó và hình dung trong đầu luôn là điều hữu ích nhất: bạn có thể làm gì trong ví dụ để tối đađơn giản hóa nó trong một bước?

Vì vậy, hãy tìm ra nó. Bên trái là sáu mẫu số. Cá nhân tôi không thích chúng và chúng rất dễ loại bỏ. Hãy để tôi nhân cả hai vế của phương trình với 6! Khi đó số sáu ở bên trái sẽ được giảm thành công, các phân số trong ngoặc sẽ không đi đến đâu. Không sao đâu. Chúng ta sẽ giải quyết chúng sau.) Nhưng ở bên phải, chúng ta có mẫu số 2 và 3 bị hủy bỏ. Với hành động này (nhân với 6), chúng ta đạt được sự đơn giản hóa tối đa trong một bước!

Sau khi nhân, toàn bộ phương trình xấu xa của chúng ta sẽ trở thành như thế này:

Nếu bạn không hiểu chính xác phương trình này diễn ra như thế nào thì bạn chưa hiểu rõ cách phân tích ví dụ trước. Và nhân tiện, tôi đã cố gắng...

Vì vậy, hãy tiết lộ:

Bây giờ, bước hợp lý nhất sẽ là tách các phân số ở vế trái và gửi 5x sang vế phải. Đồng thời, chúng tôi sẽ trình bày những cái tương tự ở phía bên phải. Chúng tôi nhận được:

Tốt hơn nhiều rồi. Bây giờ phía bên trái đã tự chuẩn bị cho phép nhân. Chúng ta nên nhân vế trái với bao nhiêu để cả năm và bốn đều giảm cùng một lúc? Vào ngày 20! Nhưng chúng ta cũng có nhược điểm ở cả hai vế của phương trình. Do đó, sẽ thuận tiện nhất khi nhân cả hai vế của phương trình không phải với 20 mà với -20. Sau đó, trong một cú trượt, cả dấu trừ và phân số sẽ biến mất.

Vì vậy, chúng tôi nhân lên:

Bất cứ ai vẫn không hiểu bước này có nghĩa là vấn đề không nằm ở phương trình. Vấn đề nằm ở chỗ cơ bản! Chúng ta hãy nhớ lại quy tắc vàng dấu ngoặc mở:

Nếu một số được nhân với một số biểu thức trong ngoặc thì số này phải được nhân tuần tự với từng số hạng của chính biểu thức đó. Hơn nữa, nếu số dương thì dấu của biểu thức được giữ nguyên sau khi khai triển. Nếu âm thì đổi sang ngược lại:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

Nhược điểm của chúng tôi biến mất sau khi nhân cả hai vế với -20. Và bây giờ chúng ta nhân dấu ngoặc có phân số ở bên trái với khá nhiều số dương 20. Vì vậy, khi những dấu ngoặc này được mở ra, tất cả những dấu hiệu bên trong chúng vẫn được giữ nguyên. Nhưng dấu ngoặc trong tử số của phân số đến từ đâu, tôi đã giải thích chi tiết trong ví dụ trước.

Bây giờ bạn có thể giảm phân số:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

Mở các dấu ngoặc còn lại. Một lần nữa, chúng tôi tiết lộ nó một cách chính xác. Dấu ngoặc đầu tiên được nhân với số dương 4 và do đó, tất cả các dấu hiệu được giữ nguyên khi chúng được mở. Nhưng dấu ngoặc thứ hai được nhân với tiêu cực số đó là -5 và do đó, tất cả các dấu hiệu đều bị đảo ngược:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

Chỉ còn lại những chuyện vặt vãnh. Với X ở bên trái, không có X ở bên phải:

-20x – 15x = 20 – 10 – 12

-35x = -2

Đó gần như là tất cả. Ở bên trái, bạn cần một chữ X thuần túy, nhưng số -35 lại bị cản trở. Vì vậy chúng ta chia cả hai vế cho (-35). Hãy để tôi nhắc bạn rằng phép biến đổi đồng nhất thứ hai cho phép chúng ta nhân và chia cả hai vế cho bất cứ điều gì con số. Bao gồm cả số âm.) Miễn là nó không bằng 0! Hãy chia ra và nhận được câu trả lời:

X = 2/35

Lần này X hóa ra là phân số. Không sao đâu. Một ví dụ như vậy.)

Như chúng ta có thể thấy, nguyên tắc giải các phương trình tuyến tính (ngay cả những phương trình phức tạp nhất) khá đơn giản: chúng ta lấy phương trình ban đầu và sử dụng các phép biến đổi giống hệt nhau, liên tục đơn giản hóa nó cho đến khi nhận được câu trả lời. Tất nhiên là với những điều cơ bản! Vấn đề chính ở đây chính là việc không tuân thủ những điều cơ bản (ví dụ: có một dấu trừ ở phía trước dấu ngoặc và họ quên thay đổi dấu khi mở rộng), cũng như trong số học tầm thường. Vì vậy, đừng bỏ qua những điều cơ bản! Chúng là nền tảng của tất cả các môn toán học khác!

Một số điều thú vị cần làm khi giải phương trình tuyến tính. Hoặc những dịp đặc biệt.

Mọi thứ sẽ ổn thôi. Tuy nhiên... Trong số các phương trình tuyến tính cũng có những viên ngọc ngộ nghĩnh đến mức trong quá trình giải chúng có thể khiến bạn rơi vào trạng thái sững sờ. Thậm chí là một học sinh xuất sắc.)

Ví dụ: đây là một phương trình trông có vẻ vô hại:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

Ngáp dài và hơi chán nản, chúng tôi thu thập tất cả các chữ X ở bên trái và tất cả các số ở bên phải:

7x-4x-3x = 5-2-3

Chúng tôi trình bày những cái tương tự, đếm và nhận:

0 = 0

Thế thôi! Tôi đã đưa ra một mẹo mẫu! Bản thân sự bình đẳng này không gây ra bất kỳ sự phản đối nào: số 0 thực sự bằng số không. Nhưng X bị thiếu! Không một dấu vết! Và chúng ta phải viết ra câu trả lời, x bằng bao nhiêu. Nếu không thì quyết định đó không được tính, vâng.) Phải làm gì?

Không hoảng loạn! Trong những trường hợp không chuẩn như vậy, hầu hết khái niệm chung và các nguyên tắc của toán học. Phương trình là gì? Làm thế nào để giải phương trình? Việc giải một phương trình có ý nghĩa gì?

Giải phương trình có nghĩa là tìm Tất cả các giá trị của biến x mà khi thay thế vào nguyên bản phương trình sẽ cho chúng ta sự bình đẳng (danh tính) chính xác!

Nhưng chúng ta có sự bình đẳng thực sự nó đã xảy ra rồi! 0=0, hay đúng hơn là không ở đâu cả!) Chúng ta chỉ có thể đoán xem chúng ta có được đẳng thức này ở X nào. Loại X nào có thể được thay thế trong nguyên bản phương trình nếu, khi thay thế, tất cả chúng liệu chúng vẫn sẽ giảm về 0 chứ? Bạn vẫn chưa tìm ra nó à?

Vâng, tất nhiên! X có thể được thay thế bất kì!!! Hoàn toàn có. Gửi bất cứ điều gì bạn muốn. Ít nhất là 1, ít nhất -23, ít nhất 2,7 - sao cũng được! Chúng vẫn sẽ bị giảm bớt và kết quả là sự thật thuần khiết sẽ vẫn còn. Hãy thử nó, thay thế nó và tự mình xem.)

Đây là câu trả lời của bạn:

x - bất kỳ số nào.

Trong ký hiệu khoa học, đẳng thức này được viết như sau:

Mục này đọc như thế này: “X là số thực bất kỳ.”

Hoặc ở dạng khác, theo từng khoảng thời gian:

Thiết kế nó theo cách bạn thích nhất. Đây là một câu trả lời chính xác và hoàn toàn đầy đủ!

Bây giờ tôi sẽ chỉ thay đổi một số trong phương trình ban đầu của chúng ta. Bây giờ hãy giải phương trình này:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x – 2

Một lần nữa chúng tôi chuyển các điều khoản, đếm và nhận được:

7x – 4x – 3x = 5 – 2 – 2

0 = 1

Và bạn nghĩ gì về trò đùa này? Có một phương trình tuyến tính thông thường, nhưng nó đã trở thành một đẳng thức khó hiểu

0 = 1…

Nói ngôn ngữ khoa học, chúng tôi có sự bình đẳng sai lầm. Nhưng trong tiếng Nga điều này không đúng. Vớ vẩn. Vô nghĩa.) Bởi vì số 0 không bao giờ bằng một!

Và bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu lại xem loại X nào, khi thay vào phương trình ban đầu, sẽ cho chúng ta sự bình đẳng thực sự? Cái mà? Nhưng không có! Cho dù bạn thay thế X bằng gì, mọi thứ vẫn sẽ bị rút ngắn và mọi thứ sẽ vẫn là thứ nhảm nhí.)

Đây là câu trả lời: không có giải pháp.

Trong ký hiệu toán học, câu trả lời này được viết như thế này:

Nó ghi: “X thuộc tập rỗng”.

Những câu trả lời như vậy trong toán học cũng xảy ra khá thường xuyên: không phải lúc nào phương trình cũng có gốc về nguyên tắc. Một số phương trình có thể không có gốc nào cả. Không có gì cả.

Đây là hai điều ngạc nhiên. Tôi hy vọng rằng bây giờ sự biến mất đột ngột của X khỏi phương trình sẽ không khiến bạn bối rối mãi mãi. Điều này khá quen thuộc.)

Và sau đó tôi nghe thấy một câu hỏi hợp lý: họ sẽ tham gia Kỳ thi OGE hay Kỳ thi Thống nhất? Trong Kỳ thi Thống nhất, họ không tự mình thực hiện nhiệm vụ. Quá đơn giản. Nhưng trong các vấn đề OGE hoặc trong từ - thật dễ dàng! Vì vậy, bây giờ hãy đào tạo và quyết định:

Câu trả lời (hỗn loạn): -2; -1; bất kỳ số nào; 2; không có giải pháp; 13/7.

Mọi việc đã thành công chứ? Tuyệt vời! Bạn có một cơ hội tốt trong kỳ thi.

Có điều gì đó không được thêm vào? Hm... Nỗi buồn, tất nhiên rồi. Điều này có nghĩa là vẫn còn những khoảng trống ở đâu đó. Hoặc ở dạng cơ bản hoặc chuyển đổi danh tính. Hoặc đơn giản đó chỉ là vấn đề thiếu chú ý. Đọc lại bài học. Bởi vì đây không phải là một chủ đề có thể dễ dàng bỏ qua trong toán học...

Chúc may mắn! Cô ấy chắc chắn sẽ mỉm cười với bạn, tin tôi đi!)

Phương trình tuyến tính là phương trình đại số, bằng cấp đầy đủ có đa thức bằng một. Giải phương trình tuyến tính - phần chương trình giảng dạy ở trường, và không phải là khó khăn nhất. Tuy nhiên, một số vẫn gặp khó khăn khi hoàn thành chủ đề này. Chúng tôi hy vọng sau khi đọc vật liệu này, mọi khó khăn đối với bạn sẽ chỉ là quá khứ. Vì vậy, chúng ta hãy tìm ra nó. cách giải phương trình tuyến tính.

Chế độ xem chung

Phương trình tuyến tính được biểu diễn dưới dạng:

• ax + b = 0, trong đó a và b là số bất kỳ.

Mặc dù a và b có thể là số bất kỳ nhưng giá trị của chúng ảnh hưởng đến số nghiệm của phương trình. Có một số trường hợp giải đặc biệt:

• Nếu a=b=0 thì phương trình có tập vô hạn quyết định;
• Nếu a=0, b≠0 thì phương trình vô nghiệm;
• Nếu a≠0, b=0 thì phương trình có nghiệm: x = 0.

Trong trường hợp cả hai số đều có giá trị khác 0, phương trình phải được giải để rút ra biểu thức cuối cùng cho biến.

Làm thế nào để quyết định?

Giải phương trình tuyến tính có nghĩa là tìm giá trị của biến đó. Làm thế nào để làm điều này? Có, rất đơn giản - sử dụng đơn giản phép toán đại số và tuân theo các quy tắc chuyển giao. Nếu phương trình xuất hiện trước mặt bạn ở dạng tổng quát thì bạn thật may mắn;

1. Di chuyển b tới bên phải phương trình, không quên đổi dấu (quy tắc chuyển nguồn!), do đó, từ biểu thức có dạng ax + b = 0, sẽ thu được biểu thức có dạng: ax = -b.
2. Áp dụng quy tắc: để tìm một trong các thừa số (x - trong trường hợp của chúng ta), bạn cần chia tích (-b trong trường hợp của chúng ta) cho một thừa số khác (a - trong trường hợp của chúng ta). Vì vậy, bạn sẽ nhận được biểu thức có dạng: x = -b/a.

Thế là xong - một giải pháp đã được tìm thấy!

Bây giờ hãy xem một ví dụ cụ thể:

1. 2x + 4 = 0 - di chuyển b bằng trong trường hợp này 4, bên phải
2. 2x = -4 - chia b cho a (đừng quên dấu trừ)
3. x = -4/2 = -2

Thế thôi! Giải pháp của chúng tôi: x = -2.

Như bạn có thể thấy, nghiệm của phương trình tuyến tính một biến khá đơn giản để tìm, nhưng mọi thứ sẽ rất đơn giản nếu chúng ta may mắn bắt gặp phương trình ở dạng tổng quát của nó. Trong hầu hết các trường hợp, trước khi giải phương trình theo hai bước mô tả ở trên, bạn cũng cần rút gọn biểu thức hiện có thành ngoại hình chung. Tuy nhiên, đây cũng không phải là một nhiệm vụ quá khó khăn. Hãy xem xét một số trường hợp đặc biệt bằng cách sử dụng các ví dụ.

Giải quyết các trường hợp đặc biệt

Trước tiên, chúng ta hãy xem xét các trường hợp mà chúng tôi đã mô tả ở đầu bài viết và giải thích ý nghĩa của việc có vô số nghiệm và không có nghiệm.

• Nếu a=b=0 thì phương trình sẽ có dạng: 0x + 0 = 0. Thực hiện bước đầu tiên, ta được: 0x = 0. Điều vô lý này có nghĩa là gì, bạn kêu lên! Suy cho cùng, dù bạn nhân số nào với 0 thì bạn vẫn luôn bằng 0! Phải! Đó là lý do tại sao người ta nói rằng phương trình có vô số nghiệm - bất kể bạn lấy số nào, đẳng thức sẽ đúng, 0x = 0 hoặc 0=0.
• Nếu a=0, b≠0, phương trình sẽ có dạng: 0x + 3 = 0. Thực hiện bước đầu tiên, chúng ta nhận được 0x = -3. Lại vớ vẩn nữa! Rõ ràng là sự bình đẳng này sẽ không bao giờ đúng! Đó là lý do tại sao người ta nói rằng phương trình không có nghiệm.
• Nếu a≠0, b=0, phương trình sẽ có dạng: 3x + 0 = 0. Thực hiện bước đầu tiên, chúng ta nhận được: 3x = 0. Giải pháp là gì? Dễ thôi, x = 0.

Bị mất dịch

Các trường hợp đặc biệt được mô tả không phải là tất cả những gì phương trình tuyến tính có thể làm chúng ta ngạc nhiên. Đôi khi phương trình rất khó xác định ngay từ cái nhìn đầu tiên. Hãy xem một ví dụ:

• 12x - 14 = 2x + 6

Đây có phải là một phương trình tuyến tính? Còn số 0 ở phía bên phải thì sao? Đừng vội kết luận, hãy hành động - hãy chuyển tất cả các thành phần của phương trình của chúng ta thành bên trái. Chúng tôi nhận được:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Bây giờ trừ lượt thích khỏi lượt thích, chúng ta nhận được:

• 10x - 20 = 0

Bạn có tìm ra không? Phương trình tuyến tính nhất từ ​​trước đến nay! Đáp án là: x = 20/10 = 2.

Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta có ví dụ này:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Đúng, đây cũng là một phương trình tuyến tính, chỉ cần thực hiện thêm nhiều phép biến đổi. Đầu tiên chúng ta hãy mở ngoặc:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - bây giờ chúng ta tiến hành chuyển:
4. 25x - 4 = 0 - vẫn phải tìm nghiệm dựa trên sơ đồ đã biết:
5. 25x = 4,
6. x = 4/25 = 0,16

Như bạn có thể thấy, mọi thứ đều có thể giải quyết được, điều chính yếu không phải là lo lắng mà là hành động. Hãy nhớ rằng, nếu phương trình của bạn chỉ chứa các biến bậc một và các số, thì bạn có một phương trình tuyến tính, mà dù ban đầu nó trông như thế nào thì nó vẫn có thể được rút gọn về dạng tổng quát và được giải. Chúng tôi hy vọng mọi thứ sẽ suôn sẻ với bạn! Chúc may mắn!

Phương trình. Nói cách khác, việc giải tất cả các phương trình đều bắt đầu bằng những phép biến đổi này. Khi giải phương trình tuyến tính, nó (lời giải) dựa trên các phép biến đổi nhận dạng và kết thúc bằng đáp án cuối cùng.

Trường hợp hệ số khác 0 đối với một biến chưa biết.

ax+b=0, a ≠ 0

Chúng ta chuyển các số hạng có X sang một bên và các số sang phía bên kia. Hãy nhớ nhớ rằng việc chuyển các điều khoản sang phía đối diện phương trình cần đổi dấu:

rìu:(a)=-b:(a)

Hãy rút ngắn MỘT Tại X và chúng tôi nhận được:

x=-b:(a)

Đây là câu trả lời. Nếu bạn cần kiểm tra xem một số có phải là -b:(a) nghiệm của phương trình, thì chúng ta cần thay thế phương trình ban đầu thay vì Xđây là con số:

a(-b:(a))+b=0 ( những thứ kia. 0=0)

Bởi vì đẳng thức này đúng thì -b:(a) và sự thật là gốc của phương trình.

Trả lời: x=-b:(a), a ≠ 0.

Ví dụ đầu tiên:

5x+2=7x-6

Chúng tôi chuyển các điều khoản sang một bên X, và ở phía bên kia là các số:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

Nếu chưa biết thì hệ số giảm đi và ta có đáp án:

Đây là câu trả lời. Nếu bạn cần kiểm tra xem số 4 có thực sự là nghiệm của phương trình hay không, chúng ta thay thế số này thay cho X trong phương trình ban đầu:

5*4+2=7*4-6 ( những thứ kia. 22=22)

Bởi vì đẳng thức này đúng thì 4 là nghiệm của phương trình.

Ví dụ thứ hai:

Giải phương trình:

5x+14=x-49

Bằng cách chuyển những ẩn số và số vào các mặt khác nhau, đã nhận:

Chia các phần của phương trình cho hệ số tại x(bằng 4) và chúng tôi nhận được:

Ví dụ thứ ba:

Giải phương trình:

Đầu tiên, chúng ta loại bỏ sự bất hợp lý trong hệ số của ẩn số bằng cách nhân tất cả các số hạng với:

Hình thức này được coi là đơn giản hóa vì số có gốc của số ở mẫu số. Chúng ta cần đơn giản hóa câu trả lời bằng cách nhân tử số và mẫu số với cùng một số, chúng tôi có điều này:

Trường hợp không có giải pháp.

Giải phương trình:

2x+3=2x+7

Trước mặt mọi người x phương trình của chúng ta sẽ không trở thành một đẳng thức thực sự. Đó là, phương trình của chúng tôi không có gốc.

Trả lời: không có giải pháp.

Trường hợp đặc biệt có vô số nghiệm.

Giải phương trình:

2x+3=2x+3

Di chuyển chữ X và số theo các hướng khác nhau và đưa điều khoản tương tự, ta thu được phương trình:

Ở đây cũng vậy, không thể chia cả hai phần cho 0, vì điều này bị cấm. Tuy nhiên, việc đặt vào vị trí X bất kỳ số nào, chúng tôi nhận được sự bình đẳng chính xác. Nghĩa là, mọi số đều là nghiệm của phương trình đó. Như vậy, ở đây số vô hạn các quyết định.

Trả lời: vô số cách giải.

Trường hợp đẳng thức của hai dạng hoàn chỉnh.

ax+b=cx+d

ax-cx=d-b

(a-c)x=d-b

x=(d-b):(a-c)

Trả lời: x=(d-b):(a-c), Nếu như d≠b và a≠c, ngược lại có vô số nghiệm, nhưng nếu a=c, MỘT d≠b, thì không có giải pháp nào cả.